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2.1 函数的概念及其表示
1.函数的概念
概念
一般地,设A,B 是非空的实数集,如果对于集合A 中
的任意一个数
x ,按照某种确定的对应关系f,在集合
B 中都有唯一确定的数y 和它对应,那么就称
f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数
三
要
素
对应关系
y＝f(x),x∈A
定义域
x 的取值范围
值域
与x 对应的y 的值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一个函数的概念
(1)前提条件:①定义域相同;②对应关系相同.
(2)结论:这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为
分段函数.
(2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函
数的值域的并集.
常用的结论
1.直线x＝a(a 是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1 个交点.
2.注意以下几种特殊函数的定义域:
(1)分式型函数,分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1 的实数集合.
(4)若f(x)＝x0,则定义域为{x|x≠0}.
考点一 函数的概念与相同函数判断
考点二 具体函数的定义域
考点三 抽象函数的定义域
考点四 已知定义域求参数
考点五 待定系数法求解析式
考点六 换元法求解析式
考点七 方程组法求解析式
考点八 抽象函数求解析式
考点九 分段函数求值
考点十 利用分段函数求参
考点一 函数的概念与相同函数判断
1．（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线
，
与函数
的图象的交点个数为（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．0 或1 或2
【答案】C
【详解】根据函数定义可知，当
在定义域中时，直线
与函数
的图象有一个交点，
当
不在定义域中时，直线
与函数
的图象没有交点，
所以直线
，
与函数
的图象的交点个数为0 或1.
2．（25-26 高三上·浙江杭州·期中）（多选）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】ACD
【详解】对于A：
，定义域为
，而
，定义域也是
，两个函数的定义域和对应法则都
相同，所以是同一个函数，故A 正确；
对于B：
，定义域为
，而
，定义域为
，定义域不同，所以不是同一个函数，故B 错误；
对于C：
，需满足
，即
，而
，需满足
，即
，
且
，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C 正确；
对于D：
，定义域为
，而
，定义域为
，且
，所以两个函数的定义域和对应
法则相同，为同一个函数，故D 正确.
3．（25-26 高三上·安徽铜陵·期末）已知集合
，下列对应关系不能视作函数
的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】由函数的定义得，设A，B 为非空数集，如果A 中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B 中都有唯一
确定的元素y 与之对应，则能视作函数
.
选项A：
，当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，满足函数定义，不符合题意；
选项B：
，当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，满足函数定义，不符合题意；
选项C：
，当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，满足函数定义，不符合题意；
选项D：
，当
时，
无意义，不满足函数定义，符合题意.
故选：D
4．（25-26 高三·全国·寒假作业）下列从集合
到集合
的对应关系
中，
是
的函数的是（ ）
A．
，对应关系
B．
，对应关系
C．
，对应关系
D．
，对应关系
【答案】B
【分析】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解.
【详解】A，当
时，函数
没有意义，所以
不是
的函数，不符合；
B，当
时，对于
，任意
，都有唯一的
与之相对应，所以
是
的函数，符
合；
C，当
时，函数
没有意义，所以
不是
的函数，不符合；
D，令
，由
，得
，不符合函数的定义，所以
不是
的函数，不符合.
故选：B
5．（25-26 高三上·浙江杭州·期中）（多选）下列函数中，与函数
是同一个函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】先求得函数的定义域，根据同一函数的概念，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】由题意知
的定义域为R，
的定义域为
，故与函数
不是同一个函数，A 错误；
的定义域为R，且
，与函数
是同一个函数，B 正确；
，函数定义域为R，则
，与
对应关系不一样，
故与函数
不是同一个函数，C 错误；
，函数定义域为R，且
，
与函数
是同一个函数，D 正确.
6．（25-26 高三下·河南信阳·开学考试）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据相等函数的概念一一判断即可得解.
【详解】对于A，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，故A 错误；
对于B，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，故B 错误；
对于C，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，故C 错误；
对于D，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，且
，故D 正确.
考点二 具体函数的定义域
7．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
需要满足
，所以
，所以
；
因为
且
，所以
，所以
，
则
.
8．（25-26 高三下·浙江杭州·阶段检测）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，得
，解得
，
所以函数
的定义域是
.
9．（2026·贵州贵阳·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】集合
，
由
，解得
且
，所以
，
所以
.
10．（2026·北京石景山·二模）函数
的定义域是______．
【答案】
【详解】要使函数
有意义，
则
，解得
且
，
所以函数的定义域为
.
11．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】要使函数有意义，则需
，解得
且
，
所以函数
的定义域为
12．（2026·北京丰台·一模）函数
的定义域为___________．
【答案】
【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案.
【详解】由题意得
，则
，
因为
在
上单调递增，
所以
，则
的定义域为
.
考点三 抽象函数的定义域
13．（25-26 高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知
定义域为
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可.
【详解】设
，则
可化为
.
因为
定义域为
，即
，则
中的
，
即
，解得
.
所以
的定义域为
.
14．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是
__________．
【答案】
【详解】要使函数有意义，则
，解得
，取交集得
．
15．（25-26 高三下·江西宜春·开学考试）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义
域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数有意义建立不等式组求解即可.
【详解】由函数
的定义域为
，
所以函数
要有意义则：
，解得：
，
所以函数
的定义域为：
.
16．（25-26 高三上·广东深圳·月考）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求解出
的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求
的定义域.
【详解】因为
的定义域为
，所以
中
，
所以
，
在
中令
，解得
，
所以
的定义域为
.
故选：B.
17．（2025·安徽合肥·一模）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出
的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于
的不等式组，解不等式组即可求出答案.
【详解】由
的定义域为
，得
的定义域为
.
所以
或
，
综上，
的定义域为
.
故选：C.
18．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为
，求函数
的定义域.
【答案】
【分析】设
，根据
的范围求出
的范围即可.
【详解】
函数
的定义域为
，
，
，则令
，则
，解得
.
故
的定义域为
.
故答案为：
.
考点四 已知定义域求参数
19．（24-25 高三上·广东梅州·开学考试）已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，当系数为零时验证一次函数是否满足要求，当系数不为零时利用
二次函数图象在横轴上或上方得出判别式不大于零且开口向上，再综合两种情况解出参数范围.
【详解】因为函数
的定义域是
，所以不等式
对任意
恒成立，
当
时，
，对任意
恒成立，符合题意；
当
时，
即
解得
，
综上，实数
的取值范围是
．
故选：D.
20．（25-26 高三上·江苏无锡·月考）若函数
定义域为R，则k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将函数的定义域转化为
恒成立即可．
【详解】因为函数
的定义域为R，所以
在R 上恒成立，
所以
在R 上恒成立.
当
时，
符合题意；
当
时，
，解得
.
综上，实数
的取值范围是
；
故选：D
21．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数
的定义域为实数集
，则实数
的取值范围为
______.
【答案】
【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解.
【详解】要使
有意义，则有
，
函数
的定义域为实数集
，
在
上恒成立，
当
时，
，恒成立；
当
时，则有
，解得
；
综上，实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
22．（25-26 高三上·四川绵阳·阶段检测）（多选）已知函数
，则下列选项正确的是（ ）
A．若
的定义域为
，则
B．若
的值域为
，则
C．若
的定义域为
，则
D．若
在
上单调递增，则
【答案】AC
【分析】对于A，根据函数的定义域为
，可得
在
上恒成立，分情况讨论计算即可；对于B，
根据对数型函数的值域为
，可得
取遍一切正数，数形结合得不等式组，求解即得；对于C，由函数
的定义域为
，可转化成不等式
的解集为
，利用三个“二次”的关系计算即得；对
于D，根据复合函数的单调性，结合对数函数的定义域，列出不等式组求解即可.
【详解】对于A，
的定义域为
等价于
在
恒成立，
当
时，不等式为
，符合题意；当
时，有
，解得
.
综上即得当
的定义域为
时，
，故A 正确；
对于B，由
的值域为
,可得
可以取遍一切正数，
故需使
，解得
，故B 错误；
对于C，
的定义域为
，即不等式
的解集为
，
故
，且方程
的两根为
和3，则
，解得
，故C 正确；
对于D，对于函数
在
上单调递增，显然
，
设
，因
在定义域上为增函数，
故依题意，需满足
，解得
，故D 错误.
故选：AC.
考点五 待定系数法求解析式
23．（25-26 高三·全国·一轮复习）若一次函数
满足
，求
的函数解析式.
【答案】
或
【分析】利用待定系数法求函数解析式即可得到答案.
【详解】由题意设
，
则
，
所以
，
解得
或
，
所以
的函数解析式为
或
.
24．（2026 高三·全国·专题练习）已知
是一次函数，
，且
，函数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，利用待定系数法，结合已知方程组可得
，再由换元法代入计算可得
，可得出结论.
【详解】依题意可设
，
由
可得
，
因此可得
，解得
或
；
又因为
，所以
，即
，即A 正确，B 错误；
又
可得
，
令
，所以
，因此
，
所以
，可得C 错误，D 错误.
故选：A.
25．（2025 高三·全国·专题练习）设
是
的二次函数，
，且
，求函数
和
的解析式．
【答案】
，
．
【分析】设
，根据
，得到
，比较
系数，得到方程组，求出答案.
【详解】设
，则
．
由
得：
，
即
，
即
，这是关于
的恒等式，
比较系数得
，解得
，
所以
，
．
26．（2025 高三·全国·专题练习）设二次函数
满足
，且其图象在
轴上的截距为1，在
轴上截得的线段长为
，求
的解析式．
【答案】
【分析】根据题意设二次函数的解析式
.由
得
；
，得
；以及
.即可得出解析式.
【详解】设
.
由
，得
得
；①
设
的根为
，
则
，
所以
②
又由已知得
.③
由①②③解得
，
所以
．
考点六 换元法求解析式
27．（2026 高三·全国·专题练习）若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先将已知表达式通分后配方，发现它是中间变量的平方，再通过换元得到函数的解析式.
【详解】
，所以
．
故选：D.
28．（25-26 高三·全国·二轮复习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用换元法，令
，
，代入化简即可求解.
【详解】令
，则
，因为
，所以
，
由
，可得
，
所以
．
29．（25-26 高三上·云南·期末）已知函数
，则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接利用换元法求解即可，注意定义域的限制.
【详解】设
，则
，因为
，可得
，
所以函数
．
故选：C．
30．（2026·江西上饶·一模）已知函数
，则
（ ）
A．4
B．9
C．16
D．25
【答案】C
【分析】令
，解得
，再利用原式求解
.
【详解】因为
，令
，解得
，
所以
．
故选：C.
31．（25-26 高三上·重庆·期中）已知
，则函数
的解析式为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由利用配方法和换元法求函数解析式.
【详解】
，且
，
所以
，
故选：B
考点七 方程组法求解析式
32．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
对任意的
都有
，则
________．
【答案】
【分析】将原式中的
替换为
得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去
求解
．
【详解】∵
，①
∴
，②
由
得
解得：
．
故答案为：
．
33．（2026·辽宁锦州·二模）
是定义在
上的函数，满足
对
都成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，依次代入特殊值
，，
，
联立方程组，即可求出
.
【详解】令
，则
①，
令
，则
②，
令
，则
③，
令
，则
④，
联立③④，解得
，
，将
代入②，解得
，
再将
代入①，解得
.
34．（2025 高三·全国·竞赛）设函数
的定义域为
，且满足
，则
的最小值
为_____.
【答案】1
【分析】利用方程组思想求出
的解析式，再结合基本不等式求最值.
【详解】由
得
，
解方程组得
，
因为
的定义域为
，所以
等号成立时
.
所以
的最小值为1.
故答案为：
35．（25-26 高三·全国·一轮复习）（1）已知
，求
的解析式．
（2）已知
是一次函数，并且
，求
．
（3）函数
满足方程
，
且
，求
．
【答案】（1）
，
；（2）
或
；（3）
，
.
【分析】（1）利用换元法求函数的解析式；
（2）利用待定系数法求函数的解析式；
（3）用
代替
，构造函数方程，求函数的解析式.
【详解】（1）设
，则
，
，且
，
所以
，
.
用
代替，得：
，
.
（2）因为
为一次函数，可设
，
.
所以
，
又
，
所以
或
.
所以
或
.
（3）因为
①
用
代替
，得
②
①
②得：
，
.
考点八 抽象函数求解析式
36．（2026·广东梅州·模拟预测）函数
满足
，且
，则
___________．
【答案】4051
【分析】利用已知条件进行赋值变换得出相应的表达式，然后代入数据计算即可.
【详解】令
可得
，①
将
赋值为
，代入①得：
，②
根据题设及①有：
，③
由①②③得：
，
即
，
令
可得
，则
，
因此
．
37．（2026·重庆·二模）已知
是偶函数，对任意
，
，
；当
时，
．则
的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可）
【答案】
（任意满足条件的即可）
【分析】利用函数的函数方程、奇偶性、单调性三个条件，找出满足条件的具体函数.
【详解】
，则
在
上满足指数函数性质，
又
时，
，则
在
上是增函数，可取
，
因为
是偶函数，所以可取
．（任意满足条件的即可）
38．（25-26 高三下·广东江门·开学考试）已知函数
对任意实数
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，可得
，
因为
，所以
，
则
.
39．（25-26 高三上·上海金山·期末）设
是定义在
上的函数，
，且满足对任意
，
，等式
恒成立，则
的解析式为______．
【答案】
【分析】根据题设，进行赋值
即可求解.
【详解】
是定义在
上的函数，
，
且对任意
，
，
恒成立，
令
，得
，
则
，
此时
，
而
，
则
，满足题意，
所以
.
故答案为：
.
40．（2025 高三·全国·专题练习）设
是定义在
上的函数，满足
，且对任意的正整数
，
都有
，求
的解析式．
【答案】
，
．
【分析】不妨令
，
，则有
，分别令
，
，…，
，然后通过累加法求得函数
解析式．
【详解】由
，
，
，
不妨令
，
，则有
，
又
，故
①．
分别令①式中的
，
，…，
，
得
，
，…，
，
将上述各式相加得
，
则
，
所以
，
．
考点九 分段函数求值
41．（2026·重庆渝中·三模）已知函数
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【详解】已知函数
， 因为
.
所以
， 又
所以
.
42．（2026·江西·二模）已知函数
，则
_____．
【答案】
【详解】因为
，
所以
43．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数
，则
为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】D
【详解】
，
.
所以
44．（2026·河北保定·二模）已知函数
，则
______________．
【答案】2
【分析】根据分段函数解析式代入求解即可.
【详解】
.
考点十 利用分段函数求参
45．（25-26 高三下·上海浦东新·期中）已知
，若
，则实数a 的值为________．
【答案】
【详解】若
，则
，解得
若
，则
，解得
，不满足
综上
46．（2026·贵州毕节·二模）设函数
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】对
分类讨论，解方程求得
，进而求解
即可.
【详解】当
时，
，即
，无解；
当
时，
，解得
，
所以
.
47．（2026·河北·一模）已知函数
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据分段函数的定义，分情况讨论
和
的符号，由
求出参数
，再代入更新
后的函数，从内到外依次计算
和
.
【详解】若
，则
，因为函数
在
单调递增，
且
，所以方程
无解；
若
，
，则
，
得到
，即
，
整理得
，解得
（舍）或
；
若
，因为函数
在
单调递减，
且
，所以方程
无解；
综上，
，
，
所以
，
.
故选：B.
48．（25-26 高三下·新疆喀什·期末）已知函数
，若
，则实数a 的值为__________．
【答案】
或
【分析】分类讨论代入求值即可.
【详解】若
，则
，得
或
；
若
，则
，得
（舍），
故实数a 的值为
或
.
故答案为：
或
49．（25-26 高三上·河北沧州·期末）已知函数
若
，
，则
______.
【答案】2
【分析】由题设可得
，据此可得答案.
【详解】注意到
，
由
，得
或
，又
，故
.
故答案为：
.
1．（25-26 高三上·广东河源·月考）下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合选项，逐项分析、判断，即可求解.
【详解】对于A，函数
与
的值域不同，不是同一函数，所以A 错误；
对于B，函数
与
，
两函数的定义域都为
，且对应关系相同，所以是同一函数，所以B 正确；
对于C，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，
两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以C 错误；
对于D，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，两函数的定义域不
同，所以两函数不是同一函数，所以D 错误.
故选：B.
2．（2026 高三·全国·专题练习）若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将函数右侧表达式配方，整理为关于
的完全平方形式，再替换变量得到
并注明定义域．
【详解】
，
所以
．
故选：D．
3．（25-26 高三·全国·二轮复习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用换元法求解析式.
【详解】令
，则
，
因为
，所以
．
由
，可得
，
∴
．
故选：B．
4．（25-26 高三上·江西宜春·期末）已知
，则函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．R
C．
D．
【答案】B
【分析】利用换元法求
，结合导数可求单调增区间.
【详解】令
，则
，得
，即
，
则函数定义域为R 且
，所以函数
在R 上单调递增.
函数
的单调递增区间为R.
故选：B.
5．（2026·山东烟台·一模）已知函数
，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
.
6．（2026·北京丰台·二模）下列函数中，定义域和值域相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】使用函数的图象性质结合图象变换，分别求各个选项中函数的定义域与值域并比较即可求解.
【详解】对于A，
的定义域为
，值域为
，
定义域与值域相同，故A 正确；
对于B，
的定义域为
，值域为
，
定义域与值域不同，故B 错误；
对于C，
的定义域为
，值域为
，
定义域与值域不同，故C 错误；
对于D，
的定义域为
，值域为
，
定义域与值域不同，故D 错误；
7．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数的真数部分大于零、被开方数不小于零、分母不为零列不等式组求解即可.
【详解】因为函数
的定义域为
，
所以
恒成立，则
，解得
，
又
，解得
，
所以
的取值范围是
，
故选：A
8．（25-26 高三上·山东·期中）函数
的定义域为
，函数
，则
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出
的定义域，再由抽象函数求定义域的法则列不等式，解不等式求
的定义域．
【详解】
函数
的定义域为
，即
，则
，
的定义域为
，
需满足
，解得
且
，
的定义域为
，故C 正确．
故选：C．
9．（25-26 高三上·河南南阳·月考）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．“
”是“
”的充分不必要条件
B．若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
C．已知函数
，则
D．若两个正实数x，y 满足
，则
的最小值为4
【答案】BD
【分析】利用充分、必要条件的定义判断A；求复合函数的定义域时注意，定义域对应的范围都是自变量
的范围，
进而判断B；换元法可求得C 中函数的解析式；利用基本不等式可判断D.
【详解】对于A，当
时，
，所以
，所以充分性不成立；
取
，满足
，但是
，所以
，
所以必要性不成立，所以“
”是“
”的既不充分也不必要条件，故A 错误.
对于B，因为函数
的定义域为
，所以对于函数
，
令
，解得
，所以函数
的定义域为
，故B 正确.
对于C，因为
，令
，则
，
所以
，即
，故C 错误.
对于D，若两个正实数
，
满足
，
等式两边同时除以正数
得
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值为4，D 正确.
故选：BD.
10．（25-26 高三上·河北保定·月考）（多选）设函数
，若
，则
的取值可能是
（ ）
A．0
B．3
C．-1
D．2
【答案】AB
【分析】对
分类讨论解方程即可求解.
【详解】若
，解得
，
若
，解得
.
故选：AB.
11．（24-25 高三上·江苏常州·期末）（多选）已知函数
若
，则实数
的取值可
能为（ ）
A．-2
B．
C．1
D．27
【答案】ABD
【分析】由题意可得
或
，分类讨论
和
，代入解方程即可得出答案.
【详解】令
，所以
，
当
时，
，解得：
，所以
，
当
时，
，解得：
，
当
时，
，解得：
，
当
，
，解得：
，所以
，
当
时，
，解得：
，
当
时，
无解，
综上：实数
的取值可能为：
.
故选：ABD.
12．（25-26 高三上·广东汕头·月考）（多选）下列各组函数能表示同一个函数的是（ ）
A．
与
B．
与
（
且
）
C．
与
D．
与
【答案】CD
【详解】化简函数解析式，并求出其定义域，从函数相等的定义入手逐一分析即可.
【分析】对于选项A：
，
，对应关系不同，
故不能表示同一个函数，故A 错误；
对于选项B：
（
且
）的定义域为
，
（
且
）的定义域为
，
即定义域不同，故不能表示同一个函数，故B 错误；
对于选项C：
，
，定义域均为
，
即定义域和对应关系均相同，可以表示同一个函数，故C 正确；
对于选项D：
，
，定义域均为
，
即定义域和对应关系均相同，可以表示同一个函数，故D 正确.
故选：CD.
13．（25-26 高三下·上海金山·月考）求函数
的定义域________.
【答案】
，
【详解】由题意，
，所以
，解不等式可得
，
，
所以函数的定义域为
，
.
14．（25-26 高三上·广东江门·月考）已知函数
的定义域为
,则函数
的定义域为
________.
【答案】
【分析】由函数
的定义域为
，列出
，解不等式即可得解.
【详解】
函数
的定义域为
，
，
，
，
的定义域为
.
故答案为：
.
15．（2025 高三·全国·竞赛）设函数
对一切实数
满足
，且
，
则函数
_____.
【答案】
【分析】先用特殊值可求出
，
，可求出
，可得到
为偶函数，同理可得到
，假定存在某个
，使得
，不妨令
，则
，当
时，左
边
，而右边
，矛盾，再根据偶函数定义可证明当
，则
代入
也矛盾，当
时，则
，同样可知矛盾，同理可知当
也是矛
盾的，综上可得
.
【详解】令
，
则可得
，
，
又
，
令
，则
，且
，
于是
为偶函数，同理
，
注意到
，
假设存在某个
，使得
，不妨令
，
则
，当
时，左边
，而右边
，矛盾.
因为
为偶函数，故当
时同样矛盾，
当
时，则
，
，同理可证，
再根据偶函数可证当
也是矛盾的，
综上，对一切
实数，有
，
当
时，有
可得
，又因
，
故对一切实数
都有
故答案为：
16．（25-26 高三上·贵州六盘水·月考）若函数
满足
，则
___________．
【答案】
【分析】将
中的
替换为
，解方程求得函数解析式
，再计算函数值．
【详解】因为
，所以
，
用
替换
可得，
，
联立可得
，
所以
，
故答案为：
.
17．（25-26 高三上·内蒙古包头·月考）设函数
，若
，则
______．
【答案】1
【分析】根据分段函数性质代入计算得出方程，解方程可得
.
【详解】函数
，易知
，
若
，
当
时，即
，可得
，
解得
，不满足
，舍去；
当
，即
时，可得
，
解得
，满足题意．
故答案为：1．
18．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数
满足
，求
的解析式.
【答案】
【分析】用
代替
得
，利用方程组法即可求得答案.
【详解】由
，用
代替
得
，
，消去
得
，
所以
的解析式为
.
19．（25-26 高三上·广东湛江·月考）(1)已知
，求
的解析式；
(2)已知
，求
的解析式．
(3)已知函数
是二次函数，且满足
，
，求
的解析式．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】（1）根据题意利用换元法分析运算求解；
（2）根据题意利用构建方程组法运算求解；
（3）根据题意利用待定系数法运算求解.
【详解】（1）已知
，令
，则
，
所以
，
即
.
（2）因为
，所以
，
即
，解得
.
（3）函数
是二次函数，设
，
∵
，∴
，
又∵
，∴
，
整理，得
，
由恒等式的性质知，上式中对应项的系数相等，
∴
，解得
，∴
.
