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专题02 函数与基本初等函数
专题2.1 函数概念及定义域
2.1.1 基础函数概念及定义域
知识点梳理
1.函数的定义：一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A 中任意元
素x，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A
到集合B 的一个函数.记作：x ⟶y = f ( x)，x∈A.
集合A 叫做函数的定义域，记为D，集合{y|y = f ( x), x ∈A }叫做值域，记为C.
（1）函数表示法：函数书写方式为y = f ( x)，x∈D.
（2）函数三要素：定义域、值域、对应关系.
（3）同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
2.求解函数的定义域：
（1）分式的分母不为零.
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零.
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1.
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零.
（5）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函
数的定义域.
典型例题
例1.函数f(x)= ❑√log2x
1
−的定义域为 .
例2.在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，不能确定y 是x 的函数的是( )
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝；
②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x；
③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25；
④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2；
⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；
⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0.
A．①⑤⑥
B．②④⑤⑥
C．②③④
D．①②③⑤
例3.下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝·，g(x)＝；
④f(x)＝，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示同一个函数的是________(填上所有正确的序号)．
例4.函数y=ln(1+1
x )+
❑√1−x
2的定义域为 .
例5.若f ( x)=
1
log 1
2
(2 x +1), 则f ( x)的定义域为 .
随堂演练
1.已知四组函数：
①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－
2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
其中是同一个函数的是( )
A．没有
B．仅有②
C．②④
D．②③④
2.(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A 到
B 的函数关系的是( )
A．f：x→y＝x
B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x
D．f：x→y＝x
3.函数y =
❑√3−2 x−x
2的定义域是 .
4.函数f(x)= ❑√xlg(1−x)的定义域为 .
5.函数f(x)= ❑√|x
4|
−
+lgx
2
5
−x+6
x
3
−
的定义域为 .
6.函数f ( x)= lg( x +1)
x−1
的定义域是 .
7.函数y=
❑√7+6x−x
2的定义域是 .
8.函数f ( x)=
1
❑√(log2 x)
2−1
的定义域为 .
2.1.2 抽象函数的定义域
知识点梳理
已知f(x)的定义域求解f [g( x)]的定义域，或已知f [g( x)]的定义域求f(x)的定义
域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则f 下，括号内的范围
相同.
典型例题
例1.设函数f(x)=ln1+x
1−x
, 则函数g(x)=f(
x
2)+f(
1
x)的定义域为 .
例2.若函数y=f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)=f(2x)
x
1
−
的定义域为 .
随堂演练
1.若函数y＝f（2x+1）的定义域为[0，1]，则y＝f（x﹣1）的定义域为 ．
2.已知函数f（3x﹣1）的定义域为[1，+∞），则f（2x）+f（4﹣x）的定义域为
．
3.已知函数f（x2﹣1）的定义域为[1，+∞），则f（x）的定义域为 ．
4.f（x）的定义域为[1，4]，则f ( 1
x
2 )的定义域为 ．
5.设f(x)=lg2+x
2−x
, 则f(
x
2)+f(
2
x)的定义域为 ．
6. 已知函数f(x)=log2(2−x)的值域为( ∞,1]
−
, 则函数f(2x)的定义域为
．
7.已知函数f ( x)=
❑√−x
2+2 x +3，则y＝f（2x+1）的定义域为 ．
8.已知函数f(x)的定义域为[ 2,2]
−
,则函数F(x)=f(x+1)
lg|x|
的定义域为 ．
2.1.3 已知函数定义域求参数范围
知识点梳理
函数定义域是指自变量x 的取值范围（或集合），使得函数表达式有意义（如分母不
为0、偶次根式下非负、对数真数为正等）.当函数中含参数时，若已知函数的定义域，需
通过定义域的限制条件反推参数的取值或取值范围，这类问题称为“已知函数定义域求参
数”.
典型例题
例1.函数y=
❑√k x
2−2kx + 4
的定义域为R，则实数k 的取值范围为 ．
例2.函数f（x）=
1
a x
2+ 4 ax +3
的定义域为R，则实数a 的取值范围是 ．
例3.若函数
f(x)=
❑√2
x
2
2
−ax−a
1
−
的定义域为R，则a的取值范围为 ．
随堂演练
1.若函数y =
1
❑√a x
2−ax +3
的定义域为R，则实数a 的取值范围是 ．
2.已知函数f（x）=
❑√(m+1)x
2−mx +m−1的定义域为R，则实数m 的取值范围
．
3.函数f(x)=x+1
a x
2
2
−ax+1
的定义域为R，则a的取值范围为 ．
4.已知函数f ( x)=
❑√m x
2−8 x +m+6，若f（x）的定义域为R，则m 的取值范围为
．
5.已知函数f(x)=
❑√a x
2+2ax+1的定义域为R，则实数a的取值范围为 ．
6.已知函数f(x)=
❑√a x
2+2x+c的定义域为R，则a
2+4c
2的最小值为 ．
7.若函数f(x)=x
❑√m x
2+ mx+1
的定义域为R，则实数m的取值范围是 ．
8.已知函数f(x)=x+1
a x
2
2
−ax+1
的定义域为R，则实数a的取值范围是 ．
