专题2.6 函数的周期性和对称性
2.6.1 函数的周期性
知识点梳理
1.周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何
值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期.
2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最
小正数数叫做f(x)的最小正周期.
3.函数周期性结论：
①若f(x+a)=f(x),则T=|a|；
②若f(x+a)=f(x−a),则T=2|a|；
③若f(x+a)=−f(x),则T=2|a|；
④若f(x+a)=±1
f(x) ,则T=2|a|；
⑤若f(x+a)=f(x+ b),(a≠b)则T=|a−b|；
⑥若f(x+a)=1−f(x)
1+f(x)
，则f(x)的周期都是T=2|a|；
⑦若f(x)=1-1
f(x+a)
，则f(x)的周期都是T=3|a|；
⑧若f(x+a)=1+f(x)
1−f(x)
，则f(x)的周期都是T=4|a|；
⑨若f(x+2a)= f(x+a)-f(x)，则f(x)的周期都是T=6|a|.
典型例题
例1.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)；当x∈[3,4]时，f(x)=x
2
−，则
( )
A.f(sin1
2)<f(cos1
2)
B.f(sin1)<f(cos1)
C.f(sinπ
3 )>f(cosπ
3 )
D.f(sin3
2)>f(cos3
2)
例2.已知f(x+1)=1−f(x)
a+f(x)
.若f(x)是以2为最小正周期的周期函数，则a =（ ）
A. 2 B. 1 C.
1
− D.
2
−
例3. 已知函数f(x)满足f(x+π
3 )=−1
1+f(x) ,且f(
π
3 )=1，则∑
i=1
2024
f(
πi
3 )=
.
例4.已知f（x）是定义域为R 的偶函数，f（5.5）＝4，g（x）＝（x﹣1）f（x），若g
（x+1）
是偶函数，则g（﹣0.5）＝
．
例5.已知函数f（x）的定义域为R，f（x）＝g（x﹣1）+2，若函数g（x）为奇函数，g
（x+1）
为偶函数，且f（2）＝1，则∑
k =1
23
g(k )=（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
随堂演练
1.在R 上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2−x)，若f(x)在区间[1,2]上是减
函数，则f(x)
（ ）
A.在区间[
2
−
上是增函数，在区间[3,4]上是增函数
B.在区间[
2
−
上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[
2
−
上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[
2
−
上是减函数，在区间[3,4]上是减函数
2.已知f(x)是定义域为R 的奇函数且满足f(x)+f(2−x)=0,则f(20)= ( )
A. 1
− B.0 C.1 D.±1
3.已知f(x)在R 上是奇函数，且f(x+4)=f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)=2x
2，则
f(7)= ( )
A. 2
− B.2 C. 98
−
D.98
4. 定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(x+3)=f(1−x)，当x∈[0,2]时，
f(x)= m e
x
1
−，则f(31)=（ ）
A. e+1 B. e
1
− C. 1−e D. −e
5.已知f(x)是定义在R 上的函数，若函数f(x+1)为偶函数，函数f(x+2)为奇函数，则
∑
k=1
2023
f(k)=（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D.
1
−
6. 已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1,则
∑
k=1
22
f(k)=( )
A.
3
− B.
2
− C. 0 D. 1
7. 已知定义域为R 的函数f(x)满足f(x+1)=3f(x),且当x∈[0,1]时，
f(x)=4x(x
1)
−
，则当x∈[ 2,0]
−
时，f(x)的最小值为( )
A. −1
81
B. −1
27
C. −1
9
D. −1
3
8. 函数f ( x)对于任意实数x满足条件f ( x +2)=
1
f ( x)，若f (1)=−5，则f (f (5))=
.
9. 定义R 上的函数f(x)满足f(x)=1
f(x+4)
，且当x∈[0,4]时，f(x)=x+1，则
f(2023)= .
10.已知f(x+2)为偶函数，且f(x+2)+f(x)= 6
−，则f(2027)= .
11. 函数f(x)满足f(x+4)=f(x)（x∈R），且在区间( 2,2]
−
上，
f(x)={
cosπx
2
,
0<x≤2,
|
1
2 x+2),
2<
−
x≤0,)
则f(f(15))的值为 .
12. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x+4)=f(x
2)
−
. 若当x∈[ 3,0]
−
时，
f(x)=6
−x，则 f(919)= .
13.若存在常数p>0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px−p
2 )(x∈R),则f(x)的一个正
周期为 .
2.6.2 函数的对称性
知识点梳理
1.函数的对称性：
（1）若函数y =f(x)的图像关于直线x=a 对称，则有f(a+x)= f(a-x)或者f(x)= f(2a-x).
（2）若函数y =f(x+a)是偶函数，则f(x+a)= f(-x+a)，即x=a 是该函数图像的对称轴.
（3）若函数y =f(x)的图像关于点（a,0）中心对称，则有f(a+x)=-f(a-x)或f(x)=-f(2a-x).
（4）若函数y =f(x+a)是奇函数，则f(-x+a)=- f(x+a),即（a,0）是该函数图像的对称中
心.
（5）若函数y =f(x)的图像关于点（a,b）中心对称，则有f(a+x)+f(a-x)=2b 或f(x)+f(2a-
x)=2b.
2.对称性、周期性判断口诀：同周异对（x 同号：周期性；x 异号：对称性）.
典型例题
例1.关于函数f(x)=sinx+1
sinx
有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=π
2
对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .
例
2.
已
知
函
数
f(x),g(x)的
定
义
域
均
为
R
，
且
f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x
4)=7.
−
若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，且g(2)=4，则∑
k=1
22
f(k)=( )
A. 21
−
B. 22
−
C. 23
−
D. 24
−
例3.已知函数f(x)=ln x+ln(2−x)，则（ ）
A.f(x)在(0,2)单调递增
B.f(x)在(0,2)单调递减
C.y=f(x)的图像关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称
随堂演练
1.若函数f(x)=4
x
4
−
2
x(x−a)
2 的图象关于点(1,0)对称，则a =（ ）
A. 0 B. -1 C. 1 D. 2
2.设函数f(x)=2−x
2+x
，则下列函数中为奇函数的是 ( )
A.f(x
2)+1
−
B.f(x
2)+2
−
C.f(x+2)+2 D.
f(x+2)+1
3.定义在R 上的函数f(x)的图像关于直线x=1对称，且当x≥1时，f(x)=3
x
1
−，则下
列关系成立的是（ ）
A.f(
1
3)<f(
3
2)<f(
2
3) B.f(
2
3)<f(
3
2)<f(
1
3)
C.f(
2
3)<f(
1
3)<f(
3
2) D.f(
3
2)<f(
2
3)<f(
1
3)
4.设函数f(x)=|x+1|+|x−a|的图像关于直线x=1对称，则a的值为（ ）
A.
1
− B. 1 C. 2 D. 3
5.已知函数f(x)=1
e
x+a
的图象关于点(1,f(1))对称，则a =（ ）
A. 1 B. 2 C. e D. e
2
6.函数f(x)=x
x
1
−
的对称中心为 .
7.
已
知
f(x)=x
2
1+x
2 ，
则
f(1)+f(2)+f(1
2 )+f(3)+f(1
3 )+f(4)+f(1
4 )=
.
8.若函数f(x)=2
|x−a|（其中a∈R满足f(1+x)=f(1−x)，且f(x)在[m ,+∞)单调递
增，则实数m的最小值等于 .
9.若函数f(x)=(1−x
2)(x
2+ax+ b)的图像关于直线x= 2
−对称，则f(x)的最大值是
.
10.已知函数f(x)=(x
2
−a)lg(1−1
x)的图像关于直线x= b对称，则a+ b= .
2.6.3 函数的的对称性与周期性的关系
知识点梳理
1.已知两个对称轴推周期：f(x)关于直线x=a,x= b对称则T=2|b−a|.
2. 已知两个对称中心推周期：f(x)关于两点A(a,y0)、B(b,y0)都对称, 则
T=2|b−a|.
3.已知一个对称中心和一个对称轴推周期:f(x)关于A(a,y0)和直线x= b都对称,则
T=4|b−a|.
典型例题
例1.若定义在R 上的函数f(x)满足f(|x|)=f(x)，且f(2+x)+f(2−x)=6，f(3)=6
，则下列结论错误的是（ ）
A.f(8+x)=f(x)
B.f(x)的图象关于直线x=4对称
C.f(201)=3
D.y=f(x+2) 3
−是奇函数
例2.定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，函数g(x)=f(x) 2
−x的图象关于
直线x=2对称，若f(0)=0，则f(1)+f(2)+
+
⋯f(50)= .
随堂演练
1.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x
4)=
−
−
f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，
则（ ）
A.f( 25)<
−
f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f( 25)
−
C.f(11)<f(80)<f( 25)
−
D.f( 25)<
−
f(80)<f(11)
2.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则（ ）
A.f(−1
2)=0 B.f( 1)=0
−
C.f(2)=0 D.f(4)=0
3.函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x
1)
−
都是奇函数，则( )
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数
4.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)为偶函数，f(x+2) 1
−为奇函数.若f(1)=0，
则 ∑
k=1
26
f(k)=( )
A. 23 B. 24 C. 25 D. 26
5.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，
f(x)=a x
2+ b。若f(0)+f(3)=6，则f(
9
2)=( )
A. −9
4
B. −3
2
C. 7
4
D. 5
2
6.已知f(x)是定义域为( ∞,+∞)
−
的奇函数，满足f(1−x)=f(1+ x).若f(1)=2，则
f(1)+f(2)+f(3)
+ +
⋯f(50)=( )
A.
50
−
B. 0 C. 2 D. 50
7.已知可导函数f(x)的定义域为R，f(
x
2
1
−)为奇函数，设g(x)是f(x)的导函数，若
g(2x+1)为奇函数，且g(0)=1
2 ，则∑
k=1
10
k g(2k)=( )
A. 13
2
B. −13
2
C. 11
2
D. −11
2
8. 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)=−f(2−x)，f(x+2)为偶函数，当
x∈[1,2]时，f(x)=a x
2+ b，若f(0)+f(3)=6，则f(
25
3 )=( )
A.32
9
B.11
3
C.−4
3
D.−17
9
