文档文本内容
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⽬
录
【专题⼗⼀：不等式】
题型01：不等式性质
题型02：基本不等式-和定积最⼤
题型03：基本不等式-积定和最⼩
题型04：基本不等式-凑项
变号
题型05：基本不等式-换元法
题型06：基本不等式-“1”的妙⽤
题型07：基本不等式-代⼊消元法
题型08：基本不等式-代换法构造“对勾”型
题型09：基本不等式-分离法构造“对勾”型
题型10：基本不等式-凑系数
题型11：基本不等式-万能K 法
题型12：基本不等式-构造分⺟：分⺟单构造
题型13：基本不等式-构造分⺟：分⺟双构造
题型14：基本不等式-构造分⺟：分离再构造
题型15：基本不等式-因式分解型
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题型16：基本不等式-反解代⼊型
题型17：基本不等式-同除消去型
题型18：基本不等式-⼆次型
题型19：基本不等式-三元型
题型20：基本不等式-均值⽤两次
题型21：基本不等式-权⽅和不等式
题型22：基本不等式-裂项型均值
题型23：分式不等式解法
题型24：绝对值不等式解法
题型25：指对不等式解法
题型26：⼀元⼆次不等式解法
题型27：⼀元⼆次不等式含参解法
题型28：不等式综合
题型29：柯⻄不等式
题型30：不等式的证明
第9⻚（共23⻚）
不等式篇—题型01～题型07 答案
⼀．选择题（共16 ⼩题）
1．若m，n∈R，且|m|＜n，则下列结论⼀定成⽴的是（
）
A．m2＞n2
B．
C．m＜n
D．m＜﹣n
【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解．
【解答】解：对于A，令m＝0，n＝1，满⾜|m|＜n，但m2＜n2，故A 错误；
对于B，令m＝2，n＝3，满⾜|m|＜n，但
，故B 错误；
对于C，由n＞|m|≥m 易得C 项正确，
对于D，令m＝0，n＝2，满⾜|m|＜n，但m＞﹣n，故D 错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式关系与不等式，属于基础题．
2．若a＞b，c＞d，下列不等式正确的是（
）
A．c﹣b＞d﹣a
B．ac＞bd
C．a﹣c＞b﹣d
D．＞
【分析】本题可利⽤不等式的基本性质，运⽤已知条件，进⾏正确推导，得本题结论．
【解答】解：∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，即﹣b＞﹣a．
∵c＞d，
∴c﹣b＞d﹣a．
故选：A．
【点评】本题考查的是不等式的基本性质，要求准确掌握不等式的基本性质，本题计算⼩，属于基础题．
3．设a，b，c 为实数，则下列命题为真命题的是（
）
A．若a＞b，则a+c＞b+c
B．若a＞b，则ac＞bc
C．若
，则a＞b
D．若a2＞b2，则a＞b
【分析】结合不等式性质检验选项A，举出反例检验选项B，C，D 即可判断．
【解答】解：由不等式的性质可知，当a＞b 时，a+c＞b+c 成⽴，A 正确；
当c＝0 时，B 显然错误；
当a＝﹣1，b＝1 时，C，D 显然错误．
第10⻚（共23⻚）
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应⽤，属于基础题．
4．已知⾮零实数a，b 满⾜a＞|b|+1，则下列不等关系不⼀定成⽴的是（
）
A．a2＞b2+1
B．2a＞2b+1
C．a2＞4b
D．
＞b+1
【分析】利⽤不等式的基本性质即可判断出结论．
【解答】解：⾮零实数a，b 满⾜a＞|b|+1⇔a2＞b2+2|b|+1＞b2+1，A ⼀定成⽴；
a＞|b|+1≥b+1⇒2a＞2b+1，B ⼀定成⽴；
⼜b2+1≥2|b|，故a2＞4|b|≥4b，C ⼀定成⽴；
令a＝5，b＝3，即可推得D 不⼀定成⽴．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于基础题．
5．已知a＜b＜0，那么下列不等式成⽴的是（
）
A．
B．ab＜b2
C．
D．
【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：因为a＜b＜0，
所以
，A 错误；
由不等式性质可知，ab＞b2，B 错误；
由a＜b＜0 可得，
，C 错误；
＝1+
＞1 显然成⽴，D 正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应⽤，属于基础题．
6．若a，b∈R，且a＞b，则（
）
A．
B．a2b＞ab2
C．a2＞ab＞b2
D．
【分析】举出反例检验选项A，B，C，结合不等式性质检验选项D．
【解答】解：当a＝1，b＝﹣1 时，A，B 显然错误；
当a＜0，b＜0 时，C 显然错误；
第11⻚（共23⻚）
由a＞b 可得2a＞a+b＞2b，
即a＞
＞b，D 正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应⽤，属于基础题．
7．已知a、b∈R，a＞b，则下列不等式中不⼀定成⽴的是（
）
A．a+2＞b+2
B．2a＞2b
C．a2＞b2
D．
【分析】根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D．
【解答】解：对于A，B，a，b∈R，a＞b，则a+2＞b+2，2a＞2b ⼀定成⽴；
对于C，取a＝﹣1，b＝﹣2，满⾜a＞b，则a2＜b2，
当a＞b＞0 时，a2＞b2，故C 中不等式不⼀定成⽴；
对于D，由a＞b，由于y＝
在R 上单调递减，则
成⽴．
故选：C．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
8．下列命题中，正确的是（
）
A．若ab≠0 且a＜b，则
B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
D．若a＞b，则a+c＞b+c
【分析】举出反例检验选项A，B，C，结合不等式性质检验选项D．
【解答】解：当a＜0，b＞0 时，A 显然错误；
当a＝1，b＝﹣1 时，B 显然错误；
当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，d＝﹣2 时，C 显然错误；
若a＞b，则a+c＞b+c，D 正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应⽤，属于基础题．
9．已知a，b∈R+且a+b＝1，则ab 的最⼤值等于（
）
A．1
B．
C．
D．
第12⻚（共23⻚）
【分析】利⽤基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵a，b∈R+且a+b＝1，
∴ab
＝，当且仅当a＝b＝时取等号．
∴ab 的最⼤值等于
．
故选：B．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
10．若a＞0，b＞0，且a+2b﹣2＝0，则ab 的最⼤值为（
）
A．
B．1
C．2
D．4
【分析】由于a＞0，b＞0，a+2b＝2，故可利⽤基本不等式求ab 的最⼤值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+2b＝2
∴
∴ab
当且仅当a＝2b＝1 即a＝1，b＝时取等号
∴ab 的最⼤值为
故选：A．
【点评】本题以等式为载体，考查基本不等式，关键是注意基本不等式的使⽤条件：⼀正，⼆定，三相
等．
11．已知x+2y＝1，则2x+4y 的最⼩值为（
）
A．8
B．6
C．
D．
【分析】利⽤基本不等式得
2x+4y＝21﹣2y+22y≥2
，求得最⼩值．
【解答】解：∵x+2y＝1，则2x+4y＝21﹣2y+22y≥2
，当且仅当21﹣2y＝22y 时，等号成⽴，
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式的应⽤，注意基本不等式的使⽤条件，并注意检验等号成⽴的条件．
12．若a＞0，b＞0，且ab＝a+b+3，则a+b 的最⼩值为（
）
A．2
B．6
C．9
D．12
【分析】由基本不等式得到（a+b）2﹣4（a+b）﹣12≥0，求出a+b≥6．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，由基本不等式可得：
，
即（a+b）2﹣4（a+b）﹣12≥0，
因为a＞0，b＞0，解得：a+b≥6，当且仅当a＝b＝3 时，等号成⽴，
第13⻚（共23⻚）
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应⽤，属于中档题．
13．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝3，则x+2y 的最⼩值是（
）
A．
B．4
C．3
D．2
【分析】⾸先分析题⽬由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝3，求x+2y 的最⼩值，猜想到基本不等式的⽤法，
利⽤a+b≥2
代⼊已知条件，化简为函数求最值．
【解答】解：考察基本不等式x+2y＝3﹣x•（2y）≥3﹣（
）2（当且仅当x＝2y 时取等号）
整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣12≥0
即（x+2y﹣2）（x+2y+6）≥0，⼜x+2y＞0，
所以x+2y≥2（当且仅当x＝2y 时取等号）
则x+2y 的最⼩值是2
故选：D．
【点评】此题主要考查基本不等式的⽤法，对于不等式a+b≥2
在求最⼤值最⼩值的问题中应⽤⾮常
⼴泛，需要同学们多加注意．
14．已知x＞1，函数y＝x+
的最⼩值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】由x＞1 可得x﹣1＞0，从⽽y＝x+
＝x﹣1+
+1，进⼀步即可利⽤基本不等式进⾏求解．
【解答】解：由x＞1，得x﹣1＞0，所以y＝x+
＝x﹣1+
+1≥2
+1＝3，
当且仅当x﹣1＝
，即x＝2 时等号成⽴，
所以y＝x+
的最⼩值为3．
故选：A．
【点评】本题考查基本不等式的应⽤，考查学⽣的逻辑推理和运算求解的能⼒，属于基础题．
15．若已知x＞，函数y＝4x+
的最⼩值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【分析】转化函数，通过基本不等式求解即可．
【解答】解：x＞，函数y＝4x+
＝4x﹣5+
+5≥2
+5＝7，
第14⻚（共23⻚）
当且仅当4x﹣5＝
即x＝时取等号．
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式在最值中的应⽤，考查计算能⼒．
16．已知x＜，则函数
的最⼤值是（
）
A．1
B．2
C．3
D．5
【分析】由题意化简
＝3﹣（（5﹣4x）+
），利⽤基本不等式求最值．
【解答】解：∵x＜，∴4x﹣5＜0，
∴
＝4x﹣5+
+3
＝3﹣（（5﹣4x）+
）
≤3﹣2＝1，
（当且仅当5﹣4x＝
，即x＝1 时，等号成⽴），
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式的应⽤及转化思想的应⽤，属于基础题．
⼆．填空题（共22 ⼩题）
17．设x＜0 则
的最⼤值为
﹣4
．
【分析】
＝﹣[（﹣x）+（﹣）]，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为x＜0，
则
＝﹣[（﹣x）+（﹣）]
＝﹣4，当且仅当x＝即x＝﹣2 时取等号．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应⽤，属于基础题．
18．已知x＜，则函数y＝4x﹣1+
的最⼤值为
2
．
【分析】变形利⽤基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x＜，∴5﹣4x＞0．
∴函数y＝4x﹣1+
＝﹣
+4≤
+4＝2，当且仅当x＝1 时取等
号．
第15⻚（共23⻚）
∴函数y＝4x﹣1+
的最⼤值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
19．设a＞b＞0，则a2+
+
的最⼩值是
4
．
【分析】变形可得a2+
+
＝ab+
+a（a﹣b）+
，由基本不等式可得．
【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，
∴a2+
+
＝a2﹣ab+ab+
+
＝ab+
+a（a﹣b）+
≥2
+2
＝4，
当且仅当ab＝
且a（a﹣b）＝
即a＝
且b＝
时取等号．
故答案为：4．
【点评】本题考查基本不等式求最值，添项并变形为可⽤基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档
题．
20．设x，y 是正实数，且x+y＝1，则
的最⼩值是
．
【分析】该题是考查利⽤基本不等式求最值问题，但直接运⽤基本不等式⽆从下⼿，可考虑运⽤换元思
想，把要求最值的分⺟变为单项式，然后利⽤“1”的代换技巧转化为能利⽤基本不等式求最值得问题．
【解答】解：设x+2＝s，y+1＝t，则s+t＝x+y+3＝4，
所以
＝
＝
．
因为
所以
．
当且仅当s＝2t，即
，即x＝
时等号成⽴．
故答案为：．
【点评】本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关
第16⻚（共23⻚）
键是运⽤换元后使分式的分⺟由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化．
21．已知正实数x、y 满⾜y＞2x，则
最⼩值为
4
．
【分析】分⼦分⺟同除以x2并换元可得t 的式⼦t+
+2，由基本不等式可得．
【解答】解：∵正实数x、y 满⾜y＞2x，∴
＞2，
∴t＝﹣2＞0，∴
＝t+2，
∴
＝
＝
＝
＝t+
+2≥2
+2＝4，
当且仅当t＝即t＝1 即y＝3x 时取等号．
故答案为：4．
【点评】本题考查基本不等式求最值，换元并变形为可⽤基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档
题．
22．已知x≥
，则f（x）＝
有最⼩值
1
．
【分析】由题意可得t＝2x﹣4≥1，可得x＝
，换元可得y＝+
，由基本不等式可得．
【解答】解：∵x≥
，∴t＝2x﹣4≥1，∴x＝
，
∴换元可得y＝
＝
＝+
≥2
＝1，
当且仅当
＝即t＝2 即x＝3 时取等号．
故答案为：1．
【点评】本题考查基本不等式求最值，换元并转化为可以基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档
题．
23．设x＞0，y＞1，且
，若x+y 的最⼩值为4，则实数a 的值为
．
第17⻚（共23⻚）
【分析】利⽤“1”的代换思想，求x+y 的最⼩值，并验证等号成⽴的条件，即可求a．
【解答】解：∵x＞0，y＞1，且
，∴y﹣1＞0，a＞0，
∴x+y＝x+y﹣1+1＝
•a（x+y﹣1）+1＝
•（
+
）（x+y﹣1）+1＝
（2+
+
）+1≥
（2+2
）+1＝+1，
当且仅当
＝
，⼜
，即x＝，y＝+1 取等号，
此时x+y 的最⼩值为
+1＝4，则a＝．
故答案为：．
【点评】本题考查基本不等式“1”的代换思想，属于基础题．
24．已知正数x，y 满⾜2x+y﹣xy＝0，则
的最⼤值为
．
【分析】利⽤均值定理1 的代换即可求得
的最⼤值．
【解答】解；∵正数x，y 满⾜2x+y﹣xy＝0，
∴2x+y＝xy，故
，
∴
，
当且仅当x＝y＝3 时等号成⽴，
故
，则
的最⼤值为
．
故答案为：．
【点评】本题考查基本不等式的运⽤，考查学⽣归纳推理与数学运算的能⼒，属于基础题．
25．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝1，则
的最⼩值是
16
．
【分析】根据题意，利⽤“1 的代换”，结合基本不等式加以计算，可得
的最⼩值．
【解答】解：根据题意，可得
＝
，
当且仅当
，即
时，
的最⼩值是16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查不等式的性质、运⽤基本不等式求最值等知识，考查了计算能⼒，属于基础题．
26．已知x＞0，y＞0，x+2y＝1，则
的最⼩值是
6
第18⻚（共23⻚）
【分析】有已知可知，
＝（
）（x+2y），展开后利⽤基本不等式即可求解
【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，
则
＝（
）（x+2y）＝6
当且仅当
且x+2y＝1 即x＝2﹣
，y＝
时取等最⼩值6+4
故答案为：6+4
【点评】本题主要考查了利⽤基本不等式求解最值，解题的关键是应⽤条件的配凑
27．若正数x，y 满⾜
＝1，则x+y 的最⼩值为
16
．
【分析】由题意知正数x，y 满⾜
＝1，则x+y＝（
）（x+y）展开即为基本不等式应⽤．
【解答】解：由题意知正数x，y 满⾜
＝1，
则x+y＝（
）（x+y）＝10+
+
≥16，当x＝4，y＝12 时取到等号．
故答案为：16．
【点评】本题考查基本不等式的应⽤，属于简单题．
28．已知正实数x，y 满⾜x+y＝1，则
﹣
的最⼩值是
【分析】由已知分离
﹣
＝
＝
，然后进⾏1 的代换后利⽤基本不等式即可求
解．
【解答】解：正实数x，y 满⾜x+y＝1，
则
﹣
＝
＝
＝（
）[x+（y+1）]﹣4
＝（5+
）﹣4
＝
当且仅当
且x+y＝1 即y＝，x＝时取得最⼩值是
/
故答案为：
【点评】本题主要考查了利⽤基本不等式求解最值，解题的关键是进⾏分离后利⽤1 的代换
29．已知x，y 为正实数，且x+y＝2，则
的最⼩值为
1+
．
【分析】先由题意将
整理为
，再利⽤“1 的代换”与基本不等式的性质即可求解．
第19⻚（共23⻚）
【解答】解：∵x，y 为正实数，且x+y＝2，
∴
＝1
∴
＝+
＝
＝（
）•（x+y）＝1+
（
）
≥1+
＝1+
，
当且仅当
，即y＝
，x＝3﹣
时取等号，
∴
的最⼩值为1+
．
故答案为：1+
．
【点评】本题考查了“1 的代换”与基本不等式的性质，属于基础题．
30．已知正实数m，n 满⾜m+2n＝1，则
的最⼩值为
17
．
【分析】由题意可得m＝1﹣2n，代数式整理可得1+
+
，再由“1”的活⽤及均值不等式，可得代数式的
最⼩值．
【解答】解：因为正实数m，n 满⾜m+2n＝1，所以m＝1﹣2n，
所以5﹣m＝5﹣（1﹣2n）＝4+2n，
所以
＝+
＝1+
+
＝1+（+
）（m+2n）＝1+4+4+
+
≥9+2
＝9+8＝17，
当且仅当
＝
，即m＝2n，⼜m+2n＝1，解得m＝，n＝时，等号成⽴，
所以
的最⼩值为：17．
故答案为：17．
【点评】本题考查均值不等式的应⽤及“1”的活⽤的应⽤，属于基础题．
31．若x＞0，y＞0，且
，则4x+2y 的最⼩值为
．
【分析】根据题意利⽤“1 的代换”，结合基本不等式加以计算，可得4x+2y 的最⼩值．
【解答】解：根据题意，可得4x+2y＝
，
当且仅当
，即
，
时，4x+2y 的最⼩值为
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查了不等式的性质、利⽤基本不等式求函数的最值等知识，属于基础题．
第20⻚（共23⻚）
32．函数f（x）＝1﹣logax（a＞0．a≠1）的图象恒过定点，若定点在直线mx+ny﹣2＝0 上，其中mn＞0，则
的最⼩值为
2
．
【分析】根据对数函数的性质求出函数过定点的坐标，再把定点代⼊直线⽅程，可得到m，n 的关系式，
最后利⽤“1”的整体代换及基本不等式计算可得．
【解答】解：∵函数f（x）＝1﹣logax（a＞0．a≠1）的图象恒过定点（1，1），
⼜定点（1，1）在直线mx+ny﹣2＝0 上，
∴m+n＝2，
则
，
当且仅当
，即m＝n＝1 时取等号，
所以
的最⼩值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查基本不等式的应⽤，函数图象过定点问题，属于基础题．
33．已知正数a，b 满⾜a+2b＝6，则
的最⼩值为
．
【
分
析
】
a+2b
＝
6
，
a
，
b
＞
0
，
变
为
a+2+2b+2
＝
10
，
可
得
，化简利⽤基本不
等式即可得出结论．
【解答】解：∵a+2b＝6，a，b＞0，
∴a+2+2b+2＝10，
∴
＝
（5+
+
）≥
（5+2
）＝
，
当且仅当2b+2＝2（a+2），即
，
时，等号成⽴．
∴
的最⼩值为
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了基本不等式的应⽤、转化⽅法，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于基础题．
34．已知
，则
的最⼩值为
9
．
第21⻚（共23⻚）
【分析】利⽤“1”的代换求
的最⼩值即可．
【解答】解：
＝（
）（sin2x+cos2x）＝5+
+
≥5+2
＝9，
当且仅当
＝
，⼜sin2x+cos2x＝1，
，
即sinx＝
，cosx＝
时取等号，则
的最⼩值为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查基本不等式，考查三⻆函数同⻆关系，属于基础题．
35．已知ab＝，a，b∈（0，1），则
+
的最⼩值为
10+4
；
【分析】先根据条件消掉b，即将b＝
代⼊原式得
+
＝
+
+4，并乘“1”法，最后运
⽤基本不等式求其最⼩值
【解答】解：∵ab＝，a，b∈（0，1），
∴b＝
，
∴1﹣a＞0，1﹣b＝1﹣
＞0，
∴2a﹣1＞0，
∴
+
＝
+
＝
+
，
＝
+
，
＝
+
+4，
＝
+
+4，
＝2（
+
）+4，
＝2（
+
）[（2﹣2a）+（2a﹣1）]+4，
＝2（1+2+
+
）+4，
≥2（3+2
）+4＝2（3+2
）+4＝10+4
，
第22⻚（共23⻚）
当且仅当
＝
时，即a＝
时取等号，
故
+
的最⼩值为10+4
，
故答案为：10+4
【点评】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应⽤，涉及消元，裂项，凑配，乘1 等恒等变形，
以及取等条件的确定，属于难题．
36．已知正实数x，y 满⾜（x﹣1）（y+1）＝16，则x+y 的最⼩值为
8
．
【分析】变形利⽤基本不等式即可得出．
【解答】解：∵正实数x，y 满⾜（x﹣1）（y+1）＝16，
∴
，
∴x+y＝
＝8，当且仅当y＝3，（x＝5）时取等号．
∴x+y 的最⼩值为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了变形利⽤基本不等式的性质，属于基础题．
37．设实数x、y 满⾜x+2xy﹣1＝0，则x+y 取值范围是
∪
．
【分析】由x+2xy﹣1＝0，可得y＝
，（x≠0）．则x+y＝x+
＝x+
﹣
，对x 分类讨论，利⽤基
本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x+2xy﹣1＝0，∴y＝
，（x≠0）．
则x+y＝x+
＝x+
﹣，
x＞0 时，x+y≥
﹣＝
﹣，当且仅当x＝
时取等号．
x＜0 时，x+y＝
﹣≤﹣2
﹣＝﹣
﹣，当且仅当x＝﹣
时取等号．
综上可得：x+y 取值范围是
∪
．
故答案为：
∪
．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了分类讨论⽅法、推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．
38．已知正实数x，y 满⾜xy+2x+y＝4，则x+y 的最⼩值为
2
﹣3
，xy 的最⼤值为
8﹣4
．
【分析】由xy+2x+y＝4 求得y＝
（0＜x＜2），代⼊化简x+y＝x+
，转化为x+1+
﹣3，利⽤
第23⻚（共23⻚）
基本不等式求最值即可；由4﹣xy＝2x+y≥2
，转化为不等式，将xy 作为⼀个整体解不等式即可．
【解答】解：∵xy+2x+y＝4，∴y＝
（0＜x＜2），
∴x+y＝x+
＝x+1+
﹣3≥2
﹣3，
（当且仅当x+1＝
，即x＝
﹣1 时，等号成⽴），
故x+y 的最⼩值为2
﹣3，
∵4﹣xy＝2x+y≥2
，
（当且仅当2x＝y，即x＝
﹣1，y＝2
﹣2 时，等号成⽴），
∴（4﹣xy）2≥8xy，即（xy）2﹣16xy+16≥0，
解得，xy≤8﹣4
或xy≥8+4
（舍去），
故xy 的最⼤值为8﹣4
，
故答案为：2
﹣3，8﹣4
．
【点评】本题考查了最值问题及基本不等式，考查了化简运算的能⼒及转化思想与整体思想的应⽤，属
于中档题．
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第4⻚（共8⻚）
不等式篇—题型08～10 答案
⼀．选择题（共9 ⼩题）
1．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则
的最⼩值是（
）
A．3
B．2
C．
D．
【分析】由已知结合乘1 法，然后利⽤基本不等式即可求解．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x+2y＝1，
则
＝
＝
＝
＝2
，当且仅当
且x+2y＝1 时取
等号，
故则
的最⼩值2
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了乘1 法及基本不等式在最值求解中的应⽤，解题的关键是应⽤条件的配凑．
2．若a，b 都是正数，且ab＝1，则
的最⼩值为（
）
A．4
B．8
C．
D．
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．
【解答】解：因为a，b 都是正数，且ab＝1，
所以
＝
+
＝
＝4，
当且仅当
且ab＝1 时取等号，
所以
的最⼩值为4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应⽤，属于基础题．
3．已知x＞0，y＞0，x+y＝2，则
的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
第5⻚（共8⻚）
【分析】因为x+y＝2，所以y＝2﹣x，则
，再由基本不等式求解即可．
【解答】解：因为x+y＝2，所以y＝2﹣x，
⼜x＞0，y＞0，所以0＜x＜2，
，
因为0＜x＜2，所以3﹣x＞0，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最⼩值为
，
故选：C．
【点评】本题主要考查基本不等式求最值的⽅法，属于中等题．
4．已知x＞0，y＞0，x+2y＝1，则
的最⼩值为（
）
A．6
B．5
C．3
D．2
【分析】由已知结合乘1 法，利⽤基本不等式即可求解．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，x+2y＝1，
则
＝
＝
＝2
+2，当且仅当
且x+2y＝1，即y＝1﹣
，x＝
时取等号．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应⽤，属于基础题．
5．函数f（x）＝
有（
）
A．最⼤值
B．最⼩值
C．最⼤值2
D．最⼩值2
【分析】利⽤基本不等式以及配⽅法化简即可求解．
【解答】解：当x
时，f（x）＝
＝
＝x﹣2+
＝2，
当且仅当x﹣2＝
，即x＝3 时取得最⼩值为2，
故选：D．
【点评】本题考查了基本不等式的应⽤，考查了学⽣的运算能⼒，属于基础题．
第6⻚（共8⻚）
6．若a＞﹣3，则
的最⼩值为（
）
A．2
B．4
C．5
D．6
【分析】把
常数分离后即可利⽤基本不等式求最值．
【解答】解：a＞﹣3，
＝
≥2
＝4，
当且仅当a+3＝
，即a＝﹣1 取等号．
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式的应⽤，属于基础题．
7．函数
的图象的最低点坐标是（
）
A．（0，2）
B．不存在
C．（1，2）
D．（1，﹣2）
【分析】本题考查的知识点是函数的最值及基本不等式，我们易将函数
的解析
式化为y＝
，⼜由（x＞﹣1）由基本不等式，我们易得x＝0，y 取最⼩值2，即得函数
的图象的最低点坐标．
【解答】解：∵
＝
＝
≥2（x＞﹣1）
当且仅当x+1＝1，即x＝0 时，y 取最⼩值2
故函数
的图象的最低点坐标是（0，2）
故选：A．
【点评】利⽤基本不等式：a+b≥2
，求某些函数值域（或最值）时应满⾜三个条件：①a＞0，b＞0；
②a+b（或ab）为定值；③取等号条件a＝b．三个条件缺⼀不可
8．函数y＝
（x＞﹣1）图象的最低点坐标是（
）
A．（1，2
）
B．（0，2）
C．（1，
）
D．（1，4）
【分析】根据y＝
＝（x+1）+
，利⽤基本不等式求得函数的最⼩值，以及函数取得最⼩
值时x 的值，即可求得函数图象的最低点坐标．
【解答】解：∵函数y＝
（x＞﹣1），∴y＝
＝（x+1）+
≥2
＝4，
当且仅当（x+1）＝
，即x＝1 时等号成⽴，
第7⻚（共8⻚）
故函数y＝
（x＞﹣1）图象的最低点坐标是（1，4），
故选：D．
【点评】本题主要考查基本不等式的应⽤，注意基本不等式的使⽤条件，并注意检验等号成⽴的条件，
属于基础题．
9．若0＜x＜1，则f（x）＝x（4﹣3x）取得最⼤值时，x 的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】将式⼦变形为
•[3x（4﹣3x）]，⽬的是3x 与（4﹣3x）]的和为常数，然后使⽤基本不等式，
注意等号成⽴的条件．
【解答】解：∵0＜x＜1，∴4﹣3x＞0，
∴x（4﹣3x）＝•3x（4﹣3x）
≤
•（
）2＝，
当且仅当3x＝4﹣3x，即x＝时取得等号．
故x＝时，则f（x）＝x（4﹣3x）取得最⼤值
，
故选：D．
【点评】此题还可以结合图象，利⽤⼆次函数单调性来解．
⼆．填空题（共2 ⼩题）
10．已知正实数a，b 满⾜ab＝2a+b+6，则2a+b 的最⼩值是
12
．
【分析】由a＞0，b＞0 可得ab＝•2ab≤
×（
）2＝
，从⽽（2a+b）+6≤
，进
⼀步即可求出2a+b 的最⼩值．
【解答】解：由a＞0，b＞0，得ab＝•2ab≤
×（
）2＝
，当且仅当2a＝b 时等号成⽴，
⼜ab＝2a+b+6，所以（2a+b）+6≤
，解得2a+b≥12，或2a+b≤﹣4（舍去），
所以2a+b 的最⼩值为12．
故答案为：12．
【点评】本题考查基本不等式的应⽤，考查学⽣的逻辑推理和运算求解的能⼒，属于基础题．
11．已知
，则
的最⼤值为
．
第8⻚（共8⻚）
【分析】由0＜x＜可得0＜5﹣4x＜5，从⽽
＝
，进⼀步即可利⽤基本不
等式进⾏求解．
【解答】解：由0＜x＜，得0＜5﹣4x＜5，
所以
＝
≤
＝，
当且仅当4x＝5﹣4x，即x＝时等号成⽴，
所以
的最⼤值为
．
故答案为：．
【点评】本题考查基本不等式的应⽤，考查学⽣的逻辑推理和运算求解的能⼒，属于基础题．
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第5⻚（共12⻚）
不等式篇—题型11～题型14 答案
⼀．选择题（共16 ⼩题）
1．已知正实数x，y 满⾜
，则x+y 的最⼩值为（
）
A．
B．2
C．
D．
【分析】由题意可得
，再将两边同时乘以x+y，然后利⽤均值不等式，可得关于整体x+y
的⼀元⼆次不等式，最后解不等式即可得解．
【解答】解：∵正实数x，y 满⾜
，
∴
，
∴
，
∴
＝9，
当且仅当
，即y＝2x，⼜
，
∴当且仅当y＝2x＝
时，取得等号，
∴（x+y）2﹣4（x+y）≥9，
解得x+y≥2+
，
∴x+y 的最⼩值为
．
故选：C．
【点评】本题考查化归转化思想，均值不等式的应⽤，⼀元⼆次不等式的求解，属中档题．
2．已知a＞0，b＞0，且a+b+
+
＝5，则a+b 的取值范围是（
）
A．[1，4]
B．[2，+∞）
C．（2，4）
D．（4，+∞）
【分析】a，b∈R+，由
≥ab，可得
≥
．⼜
，可得（a+b）
＝
5≥（a+b）
，化简整理即可得出．
【解答】解：∵a，b∈R+，∴
≥ab，可得
≥
．
∵
，
第6⻚（共12⻚）
∴（a+b）
＝5≥（a+b）
，
化为：（a+b）2﹣5（a+b）+4≤0，
解得1≤a+b≤4，
则a+b 的取值范围是[1，4]．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式的性质、⼀元⼆次不等式的解法，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中
档题．
3．已知正数x，y 满⾜
，则x+y 的最⼩值为（
）
A．
B．2
C．
D．6
【分析】由题意可得x+y＝x+y+1﹣1＝（+
）（x+y+1）﹣1＝（1+4+
+
）﹣1，从⽽即可
运⽤基本不等式进⾏求解．
【解答】解：由
+
＝3，得
（+
）＝1，⼜x＞0，y＞0，
则x+y＝x+y+1﹣1＝
（
+
）（x+y+1）﹣1＝
（1+4+
+
）﹣1≥
（5+2
）﹣1
＝2，
当且仅当
＝
，即x＝y＝1 时，等号成⽴，所以x+y 的最⼩值为2．
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式的运⽤，解题的关键是常量代换，考查学⽣的逻辑推理和运算求解的能⼒，
属于基础题．
4．已知正实数a，b，满⾜
，则a+b 的最⼩值为（
）
A．5
B．
C．
D．
【分析】将已知不等式两边同时乘上a+b，再利⽤基本不等式求解即可．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b≥
+
，
∴（a+b）2≥（
+
）（a+b）＝
+
+
≥
+2
＝
，
当且仅当4a2＝9b2，即2a＝3b 时取等号，
所以a+b≥
，
第7⻚（共12⻚）
a+b 的最⼩值为
．
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式的应⽤，考查学⽣计算能⼒，属于基础题．
5．已知x＞0，y＞0，若x+y＝2，则
的最⼩值是（
）
A．9
B．
C．
D．
【分析】由已知可得（2x+1）+2y＝5，所以
＝（
）[（2x+1）+2y]，再利⽤基本不等
式即可求出结果．
【解答】解：∵x+y＝2，∴（2x+1）+2y＝5，
⼜∵x＞0，y＞0，
∴
＝（
）[（2x+1）+2y]＝[1+
+
+4]＝[5+
+
]
（5+2
）＝，
当且仅当
＝
，即
时，等号成⽴，
∴
的最⼩值是
，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是基本不等式的应⽤，使⽤时要注意“⼀正，⼆定，三相等”三个条件缺⼀不可，
属于基础题．
6．已知正实数a，b 满⾜a+2b＝4，则
的最⼩值是（
）
A．1
B．
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：a+2b＝4，
则a+2b+2＝6，
故
＝
＝
＝
，
当且仅当
时，等号成⽴．
第8⻚（共12⻚）
故选：C．
【点评】本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．
7．已知正实数x，y 满⾜2x+y＝3，则
的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤“乘1 法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：依题意，6x+3y＝5x+y+x+2y＝9，
故
，
当且仅当
时等号成⽴．
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应⽤，属于中档题．
8．已知2a﹣b＝2，且0＜a+b＜2，则
的最⼩值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】由2a﹣b＝（a+b）+（a﹣2b）＝2，利⽤基本不等式即可求出
+
的最⼩值．
【解答】解：因为2a﹣b＝（a+b）+（a﹣2b）＝2，且0＜a+b＜2，
所以a﹣2b＞0，
则
+
＝（
+
）[（a+b）+（a﹣2b）]＝（2+
+
）≥（2+2
）
＝2，
当且仅当
＝
且2a﹣b＝2，即a＝1，b＝0 时取等号，
所以
的最⼩值为2．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应⽤问题，解题的关键是基本不等式的应⽤条件的配凑，
是中档题．
9．若x＞0，y＞0，且
，则4x+2y 的最⼩值为（
）
A．4
B．
C．
D．
【分析】设x+1＝a，x+2y＝b，可将题⽬转化为已知
，求4（a﹣1）+b﹣a+1 的最⼩值，再结合
基本不等式可求最⼩值．
第9⻚（共12⻚）
【解答】解：设x+1＝a，x+2y＝b，则x＝a﹣1，2y＝b﹣a+1，且a＞0，b＞0，
题⽬转化为已知
，求4（a﹣1）+b﹣a+1 的最⼩值，
即4x+2y＝4（a﹣1）+b﹣a+1＝3a+b﹣3，
⽽
，
当且仅当
，即
时等式成⽴．
所以
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应⽤，属于中档题．
10．已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则
的最⼩值是（
）
A．2
B．4
C．
D．9
【分析】根据“乘1 法”，运⽤基本不等式即可求解．
【解答】解：因为a+b＝2，所以（a+1）+（b+1）＝4，
则
＝
，
当且仅当
，
时，等号成⽴．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应⽤，属于基础题．
11．已知正实数a，b 满⾜
，则
的最⼩值为（
）
A．6
B．5
C．12
D．10
【分析】利⽤3a+3b＝5 得出
，结合基本不等式求解．
【解答】解：因为
，
所以3a+3b＝5，⽽a＞0，b＞0，
，
当且仅当
，即
时，等号成⽴．
第10⻚（共12⻚）
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应⽤，属于中档题．
12．设|a|＜1，则
的最⼩值为（
）
A．
B．
C．1
D．2
【分析】先得到1﹣a＞0，1+a＞0，再变形
，利⽤基本不等式
求最值即可．
【解答】解：∵|a|＜1，
∴1﹣a＞0，1+a＞0，
∴
，
当且仅当
，即
时，等号成⽴．
故选：A．
【点评】本题主要考查基本不等式及其应⽤，属于基础题．
13．已知
，
，且2a+b＝2，则
的最⼩值是（
）
A．1
B．
C．2
D．
【分析】由2a+b＝2 得（4a﹣1）+（2b﹣1）＝2，巧⽤常数的关系即可求解．
【解答】解：因为
2a+b ＝2 ，所以（4a ﹣1 ）+ （2b ﹣1 ）＝2 ，则
，
当且仅当
，即
，b＝1 时，等号成⽴．
故选：C．
【点评】本题主要考查基本不等式在最值求解中的应⽤，属于基础题．
14．已知a，b 为⾮负实数，且2a+b＝1，则
的最⼩值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】由已知先对所求式⼦分离变形，然后利⽤乘1 法结合基本不等式可求．
【解答】解：因为a，b 为⾮负实数，且2a+b＝1，
第11⻚（共12⻚）
则
＝
+b+
＝2a+
+b+
﹣2
＝
+
﹣1
＝（
+
）[2（a+1）+b]﹣1
＝[4+
]﹣1
＝+
（
）
﹣1＝2，
当且仅当
＝
且2a+b＝1，即a＝0，b＝1 时取等号．
故选：B．
【点评】本题主要考查了乘1 法及基本不等式在最值求解中的应⽤，属于中档题．
15．若正数a，b 满⾜a+b＝1，则
的最⼩值是（
）
A．5
B．6
C．9
D．11
【分析】利⽤基本不等式“1”的代换求最⼩值，注意取值条件．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，
所以
，
当且仅当a＝b，即
时等号成⽴，
所以
的最⼩值为9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应⽤，属于中档题．
16．正实数x，y 满⾜x+y＝1，则
的最⼩值是（
）
A．3+
B．2+2
C．5
D．
【分析】利⽤“1”的代换，然后利⽤基本不等式求解即可．
【解答】解：正实数x，y 满⾜x+y＝1，则
＝
＝2+
≥2+2
＝2
．
当且仅当x＝
＝2﹣
时取等号．
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式在最值中的应⽤，考查计算能⼒．
第12⻚（共12⻚）
声明：试题解析著作权属菁优⽹所有，未经书⾯同意，不得复制发布⽇期：2024/5/2216:48:25；⽤户：13659236337；邮箱：13659236337；学号：33232166
第4⻚（共9⻚）
不等式篇—题型15～题型17 答案
⼀．选择题（共12 ⼩题）
1．设x，y 为正实数，若2x+y+2xy＝，则2x+y 的最⼩值是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【分析】由2x+y+2xy＝（2x+1）（y+1）﹣1，令m＝2x+1，n＝y+1，即可得到mn＝，则2x+y＝m+n﹣2，
利⽤基本不等式计算可得．
【解答】解：因为x，y 为正实数，且
＝2x+y+2xy＝（2x+1）（y+1）﹣1，
令m＝2x+1，n＝y+1，则mn＝，
则2x+y＝m+n﹣2
﹣2＝1，
当且仅当m＝n，即y＝，x＝时取等号．
故选：D．
【点评】本题主要考查了利⽤基本不等式求最值，属于基础题．
2．已知a＞0，b＞0，c＞0，（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，则3a+3b﹣c 的最⼩值为（
）
A．8
B．10
C．4
D．2
【分析】由题意可知a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，3a+3b﹣c＝（a+b+c）+2（a+b﹣c），再利⽤基本不等式求解
即可．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a+b+c＞0，
⼜∵（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，∴a+b﹣c＞0，
∴3a+3b﹣c＝（a+b+c）+2（a+b﹣c）
＝4
，当且仅当a+b+c＝2（a+b﹣c），
即a+b＝3c 时，等号成⽴，
即3a+3b﹣c 的最⼩值为4
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应⽤，属于基础题．
3．已知x＞0，y＞0，且xy+x﹣2y＝4，则2x+y 的最⼩值是（
）
A．4
B．5
C．7
D．9
【分析】利⽤已知求出x 的表达式，然后求出2x+y 的关系式，利⽤基本不等式化简即可求解．
第5⻚（共9⻚）
【解答】解：因为xy+x﹣2y＝4，故（y+1）x＝4+2y，解得
，
故2x+y＝4+
+y+1﹣1
﹣1＝7，当且仅当
，即x＝4，y＝1 时取等号．
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式的应⽤，考查了学⽣的运算转化能⼒，属于基础题．
4．若a，b，c 均为正数，且满⾜a2+3ab+3ac+9bc＝18，则2a+3b+3c 的最⼩值是（
）
A．6
B．
C．
D．
【分析】利⽤因式分解法，结合基本不等式进⾏求解即可．
【解答】解：a2+3ab+3ac+9bc＝18⇒a（a+3b）+3c（a+3b）＝18⇒（a+3b）（a+3c）＝18，
因为a，b，c 均为正数，
所以
，
当且仅当a+3b＝a+3c 时取等号，即
时取等号，
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应⽤，属于基础题．
5．当x，y∈（0，+∞）时，
恒成⽴，则m 的取值范围是（
）
A．（25，+∞）
B．（26，+∞）
C．
D．（27，+∞）
【分析】将左侧分式的分⼦因式分解成（4x2+y）（x2+4y）的形式，再利⽤基本不等式的结论进⾏计算即
可以得到结果．
【解答】当x，y∈（0，+∞）时，
＝
≤
＝
，
当且仅当4x2+y＝x2+4y，即y＝x2时，等号成⽴，
所以
的最⼤值为
，
所以
＞
，解得m＞25，
即m 的取值范围是（25，+∞）．
故选：A．
第6⻚（共9⻚）
【点评】本题主要考查不等式恒成⽴问题，考查基本不等式的应⽤，考查运算求解能⼒，属于中档题．
6．已知x＞0，y＞0，xy+2x﹣y＝10，则x+y 的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】⽤y 表示x+y 后，根据基本不等式可求出结果．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，由xy+2x﹣y＝10，得
，
所以
，
当且仅当
时，等号成⽴．
故x+y 的最⼩值为
．
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式，属于中档题．
7．已知x＞0，y＞0，且xy+2x+y＝6，则2x+y 的最⼩值为（
）
A．4
B．6
C．8
D．12
【分析】依题意，得2x+y＝6﹣
×2x•y，利⽤基本不等式可得（2x+y）2+8（2x+y）﹣48≥0，解之可得答
案．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且xy+2x+y＝6，
∴2x+y＝6﹣xy＝6﹣×2x•y≥6﹣
，当且仅当2x＝y＝2 时取等号，
整理得：（2x+y）2+8（2x+y）﹣48≥0，
解得2x+y≥4 或2x+y≤﹣12（舍），
∴2x+y 的最⼩值为4．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式及其应⽤，考查转化思想与运算能⼒，属于基础题．
8．若正实数x，y 满⾜x+2y+xy＝7，则x+y 的最⼩值为（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【分析】由已知先⽤x 表示y，代⼊到所求式⼦后，进⾏分离变形，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为x+2y+xy＝7，
所以
＞0，
所以0＜x＜7，
第7⻚（共9⻚）
所以
＝
﹣3＝6，
当且仅当
，即x＝1，y＝2 时，等号成⽴，
所以x+y 的最⼩值为3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应⽤，属于基础题．
9．已知正实数a，b 满⾜2a+b＝ab，则
﹣的最⼩值为（
）
A．0
B．2
C．4
D．6
【分析】根据题意得出
＝1﹣，代⼊
﹣，利⽤基本不等式求最⼩值即可．
【解答】解：因为正实数a，b 满⾜2a+b＝ab，所以
+
＝1，所以
＝1﹣＞0，解得a＞1，
所以
﹣＝﹣（1﹣）＝+
﹣1≥2
﹣1＝2×
﹣1＝0，当且仅当a＝2 时取“＝”，
所以最⼩值为0．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式应⽤问题，是基础题．
10．设a＞0，b＞0，且a+b＝1，则
最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由已知结合乘1 法，利⽤基本不等式即可求解．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，
所以
＝（
）（a+b）＝5+
＝9，当且仅当a＝，b＝时取等号，
则
＝
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应⽤，属于基础题．
11．设x，y 为正实数，则M＝
的最⼩值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】将所要求解的式⼦进⾏变形，然后利⽤基本不等式求解最值即可．
【解答】解：因为x，y 为正实数，
第8⻚（共9⻚）
所以M＝
＝
，
当且仅当
，即x＝3y 时取等号，
故M＝
的最⼩值为3．
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式的运⽤，在使⽤基本不等式求解最值时要满⾜三个条件：⼀正、⼆定、
三相等，属于中档题．
12．已知x，y 为正实数，则
的最⼩值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．8
【分析】由已知令t＝，则t＞0，代⼊到所求式⼦，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为x，y 为正实数，
令t＝，则t＞0，
则
＝
＝t+
＝t+2+
﹣2
﹣2＝6，
当且仅当t+2＝
，即t＝2 时取等号．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应⽤，属于基础题．
⼆．填空题（共1 ⼩题）
13．已知x，y 为正实数，则
的最⼩值为
．
【分析】
＝
＝
，然后⽤基本不等式计算即可．
【解答】解：∵x，y 为正实数，
∴
＝
＝
＝
第9⻚（共9⻚）
≥
＝
，
当且仅当
时取等号．
∴
的最⼩值为：
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了基本不等式及其应⽤，考查了运算能⼒，属中档题．
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第4⻚（共9⻚）
不等式篇—题型18～题型20 答案
⼀．选择题（共11 ⼩题）
1．已知x2﹣3xy+2y2＝1（x，y∈R），则x2+y2的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】法⼀：因式分解后根据式⼦特征，设x﹣y＝t，
（t≠0），从⽽表达出
，
结合基本不等式可求最⼩值；
法⼆：采⽤三⻆换元，结合三⻆函数恒等变换，利⽤三⻆函数有界性求出最⼩值．
【解答】解：法⼀：∵x2﹣3xy+2y2＝（x﹣y）（x﹣2y）＝1，
∴可设x﹣y＝t，
（t≠0），
∴
，
代⼊所求式⼦得，
，
当且仅当
，
时等号成⽴．所以x2+y2的最⼩值为
．
法⼆：设x2+y2＝t2，x＝tcosθ，y＝tsinθ，
代⼊已知等式得，t2cos2θ﹣3t2sinθcosθ+2t2sin2θ＝1，
∴
，
其中
，
．
∴
，所以x2+y2的最⼩值为
．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式及三⻆函数性质在最值求解中的应⽤，属于中档题．
2．已知4x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最⼩值是（
）
A．2
B．
C．
D．
第5⻚（共9⻚）
【分析】由已知可得y≠0，则由4x2y2+y4＝1 可得x
，然后整理出x2+y2的关系式，利⽤基本不等
式即可求解．
【解答】解：由已知可得y≠0，
则由4x2y2+y4＝1 可得x
，
所以x
＝
＝2×
＝
，
当且仅当
时取得最⼩值为
，
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式的应⽤，考查了学⽣的运算转化能⼒，属于基础题．
3．已知实数a，b，c 满⾜
a2+
b2+c2＝1，则ab+2bc+2ca 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，4]
B．[﹣4，4]
C．[﹣2，4]
D．[﹣1，4]
【分析】把已知的等式变形，得到2a2+2b2+8c2＝8，然后结合基本不等式求得ab+2bc+2ca≤4；再由
（a+
b+c）2≥0，结合已知的等式求得ab+2bc+2ca≥﹣2．
【解答】解：由
a2+
b2+c2＝1，得a2+b2+4c2＝4，即2a2+2b2+8c2＝8．
∴8＝2a2+2b2+8c2＝（a2+b2）+（a2+4c2）+（b2+4c2）≥2ab+4ac+4bc．
∴ab+2bc+2ca≤4（当且仅当a＝b＝2c 时取等号）；
⼜
a2+
b2+c2+2（ab+
bc+
ca）＝（a+
b+c）2≥0，
∴1+
（ab+2bc+2ca）≥0，
∴ab+2bc+2ca≥﹣2．
则ab+2bc+2ca 的取值范围是[﹣2，4]．
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式求最值，考查了灵活变形能⼒，是中档题．
4．已知实数a，b，c 满⾜a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，则a+b 的取值范围是（
）
A．[﹣1，1]
B．
C．
D．[0，2]
【分析】利⽤a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，可得a+b＝1﹣c，ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝c2﹣c，结合基本不
第6⻚（共9⻚）
等式，求出c 的范围，即可求出a+b 的取值范围．
【解答】解：∵a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，
∴a+b＝1﹣c，ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝c2﹣c，
∵ab≤
，
∴c2﹣c≤
，
∴﹣
，
∴0≤1﹣c≤
，
∴0≤a+b≤
，
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式的运⽤，属于基础题．
5．已知正实数a，b，c 满⾜a2﹣ab+4b2﹣c＝0，当
取最⼩值时，下列说法正确的是（
）
A．a＝4b
B．c＝4b2
C．a+b﹣c 的最⼤值为
D．a+b﹣c 的最⼤值为
【分析】由题意可知，c＝a2﹣ab+4b2，且a＞0，b＞0，所以
＝
＝
﹣1，再利⽤基
本不等式即可求出
的最⼩值，以及此时a 与b 的关系式，可判断A，把a 与b 的关系式代⼊c＝a2﹣
ab+4b2可得此时a 与c 的关系式，可判断B，再结合⼆次函数的性质判断CD．
【解答】解：由题意可知，c＝a2﹣ab+4b2，且a＞0，b＞0，
∴
＝
＝
﹣1
﹣1＝3，当且仅当
＝
，即a＝2b 时，等号成⽴，此
时
取得最⼩值，故A 错误，
当a＝2b 时，c＝a2﹣ab+4b2＝6b2，故B 错误，
a+b﹣c＝2b+b﹣6b2＝﹣6b2+3b＝﹣6（b﹣）2+
，当且仅当a＝，b＝，c＝时，等号成⽴，
∴a+b﹣c 的最⼤值为
，故C 错误，D 正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应⽤，属于中档题．
6．已知a＞0，b＞0，c＞0，则
的最⼩值为（
）
第7⻚（共9⻚）
A．8
B．9
C．10
D．11
【分析】设a+b＝x，2b+3c＝y，2c+a＝z，即可表示出a、b、c，再利⽤基本不等式计算可得．
【解答】解：设a+b＝x，2b+3c＝y，2c+a＝z，则x＞0，y＞0，z＞0，
且
，
，
，
∴b+5c＝﹣x+y+z，8a+2c＝4x﹣2y+4z，3b+c＝x+y﹣z，
∴
，
令
＝
＝
，
∴
，
当且仅当
，即y＝2x，z＝x，y＝2z，即y＝2x，z＝x 时等号成⽴，
故
的最⼩值为9．
故选：B．
【点评】本题主要考查基本不等式及其应⽤，属于中档题．
7．设正实数x，y，z 满⾜x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．则当
取得最⼤值时，
的最⼤值为（
）
A．0
B．1
C．
D．3
【分析】先求出
取得最⼤值为1，得到x，y，z 的关系，代⼊所求式⼦，得到关于y 的函数求解即可．
【解答】解：正实数x，y，z 满⾜x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，
即z＝x2﹣3xy+4y2，
所以
，当且仅当x＝2y 时，取等号
所以
的最⼤值为1，且x＝2y，此时z＝xy＝2y2，
＝
，
令t＝，则
＝3t﹣t2＝﹣（t﹣）2+
，
故选：C．
【点评】考查了均值不等式的应⽤，⼀元⼆次函数求最值，换元法等，中档题．
第8⻚（共9⻚）
8．若正实数x，y，z 满⾜
，则x+y+z 的最⼤值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
【分析】利⽤等式变形构造基本不等式，即可求得最⼤值．
【解答】解：由正实数x，y，z 满⾜
，
所以
，
即
，
所以x+y+z≤4，
当
时取到等号，
所以x+y+z 最⼤值为4．
故选：C．
【点评】本题主要考察哦了基本不等式在最值求解中的应⽤，解题的关键是应⽤条件的配凑．
9．设a＞b＞0，那么a2+
的最⼩值是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】先利⽤基本不等式求得b（a﹣b）范围，进⽽代⼊原式，进⼀步利⽤基本不等式求得问题答案．
【解答】解：因为a＞b＞0，
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号．
那么
的最⼩值是4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应⽤，解题的时候注意两次基本不等式等号成⽴的
条件要同时成⽴．
10．已知a＞0，b＞0，且a+b+
+
＝5，则a+b 的取值范围是（
）
A．[1，4]
B．[2，+∞）
C．（2，4）
D．（4，+∞）
【分析】a，b∈R+，由
≥ab，可得
≥
．⼜
，可得（a+b）
＝
5≥（a+b）
，化简整理即可得出．
【解答】解：∵a，b∈R+，∴
≥ab，可得
≥
．
第9⻚（共9⻚）
∵
，
∴（a+b）
＝5≥（a+b）
，
化为：（a+b）2﹣5（a+b）+4≤0，
解得1≤a+b≤4，
则a+b 的取值范围是[1，4]．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式的性质、⼀元⼆次不等式的解法，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中
档题．
11．已知实数a，b＞0，a+2b＝1，则
的最⼩值为（
）
A．1
B．27
C．8
D．9
【分析】根据题意利⽤a+2b＝a+b+b＝1≥3
，
+
＝
+
+
≥3
进⾏求
解即可．
【解答】解：根据题意，a+2b＝a+b+b＝1≥3
，即ab2≤
，
当且仅当a＝b＝时等号成⽴，
所以
+
＝
+
+
≥3
≥3
＝27，当且仅当a＝b＝时等号成⽴，
所以
+
的最⼩值为27．
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式的运⽤，考查学⽣的逻辑推理和运算求解的能⼒，属于中档题．
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第2⻚（共4⻚）
不等式篇—题型21 答案
⼀．选择题（共2 ⼩题）
1．已知a＞0，b＞0，a+b＝2，则
的最⼩值是（
）
A．
B．4
C．
D．5
【分析】利⽤题设中的等式，把y 的表达式转化成（
）（
）展开后，利⽤基本不等式求得y 的
最⼩值．
【解答】解：∵a+b＝2，
∴
＝1
∴
＝（
）（
）＝+
+
≥
+2＝（当且仅当b＝2a 时等号成⽴）
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好⼀定，⼆正，三相等的原则．
2．已知a＞1，b＞0，a+b＝2，则
的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤“乘1 法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：已知a＞1，b＞0，a+b＝2，可得：（a﹣1）+b＝1，a﹣1＞0，
则
＝[（a﹣1）+b][
]＝1+
+
+
≥
+2
＝+
；
当且仅当
＝
，a+b＝2，时取等号．
则
的最⼩值为：+
；
故选：A．
【点评】本题是应⽤题，考查的是基本不等式的应⽤，乘1 法”与基本不等式的性质使⽤时要注意“⼀正，
⼆定，三相等”．属于中档题．
⼆．填空题（共3 ⼩题）
3．设x，y 是正实数，且x+y＝3，则
+
的最⼩值是
．
第3⻚（共4⻚）
【
分
析
】
由
已
知
可
得
+
＝
＝
，分离之后结合基本不等式即可求解
【解答】解：∵x+y＝3，x＞0，y＞0
∴
+
＝
＝
＝
＝x+1
+y+1+
﹣8
＝﹣11+16（
）
＝﹣11+
（
＝﹣11
（2
）
）＝
当且仅当
即x＝y＝时取等号
故答案为：
【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应⽤解题的关键是对已知式在进⾏化简，配凑基本
不等式成⽴的条件
4．已知正实数x，y 满⾜x+2y＝xy，则x+y 的最⼩值为
3+2
．
【分析】由题意可得
＝1，
+3，由基本不等式性质可得x+y 的最⼩值．
【解答】解：由x+2y＝xy，可得
＝1，
可得
，
故x+y 的最⼩值为3+2
．
故答案为：3+2
．
【点评】本题主要考查基本不等式，注意灵活运⽤其性质进⾏求解．
5．已知正实数x，y 满⾜
+
＝1，则x+y 的最⼩值为
．
【分析】构造与已知条件有关的等式关系．x+y＝
，利⽤基本不等式的性质即
第4⻚（共4⻚）
可解决．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴2x+y＞0，2x+3y＞0，x+y＞0，
+
＝1，x+y＝
，
那么：x+y＝（x+y）×1＝
×（
+
）
＝（1+
）
＝
∵
＝1，当且仅当2x＝y＝时取等号．
所以：x+y≥
．
故：x+y 的最⼩值为
．
【点评】本题考查了整体思想的构造和转化．构造出与已知条件的形式．利⽤基本不等式的性质求解．属
于中档题．
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第6⻚（共14⻚）
不等式篇—题型22～题型24 答案
⼀．选择题（共21 ⼩题）
1．若a，b，c 均为正实数，则
的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由已知结合基本不等式进⾏变形即可直接求解最⼤值．
【解答】解：因为a，b，c 均为正实数，
则
＝
≤
＝
＝
＝
≤
＝，
当且仅当
＝2b 且a＝c，即a＝b＝c 时取等号，
则
的最⼤值为
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了利⽤基本不等式求解最值，解题的关键是公式的灵活应⽤，属于中档题．
2．已知x，y，z 为正实数，则
的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据基本不等式可得x2+
y2≥
xy，z2+
y2≥
yz，问题得以解决．
【解答】解：x2+
y2≥
xy，z2+
y2≥
yz，
∴x2+y2+z2≥
xy+
yz＝
（xy+yz），
∴
≤
，当且仅当x＝z＝
y 时取等号，
故
的最⼤值为
，
故选：B．
第7⻚（共14⻚）
【点评】本题主要考查基本不等式的应⽤，注意检验等号成⽴的条件，式⼦的变形是解题的关键，属于
基础题
3．已知集合
，N＝{x|1＜x≤4}，则M∩N＝（
）
A．{x|1＜x＜3}
B．{1，2}
C．{2}
D．{2，3，4}
【分析】结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合
＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|1＜x≤4}，
则M∩N＝{2}．
故选：C．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
4．已知集合M＝
，N＝{0，1，2}，则M∩N＝（
）
A．{0，1}
B．{0，2}
C．{1，2}
D．{0，1，2}
【分析】可求出集合M，然后进⾏交集的运算即可．
【解答】解：∵M＝{x|0≤x＜2}，N＝{0，1，2}，
∴M∩N＝{0，1}．
故选：A．
【点评】本题考查了分式不等式的解法，交集的定义及运算，是基础题．
5．已知集合
，则A∩B＝（
）
A．{﹣1，0，1，2，3}
B．{0，1，2，3}
C．{1，2，3}
D．{0，1，2}
【分析】根据题意，求出集合B，由集合交集的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，B＝{x|
≤0}＝{x|﹣1＜x≤3}，
则A∩B＝{0，1，2}．
故选：D．
【点评】本题考查不等式的解法，涉及集合的运算，属于基础题．
6．不等式
解集为（
）
A．
B．
C．
D．
第8⻚（共14⻚）
【分析】根据题意，分析可得原不等式变形可得（x﹣1）（2x+1）≥0 且2x+1≠0，解可得x 的取值范围，
即可得答案．
【解答】解：根据题意，不等式
，
则有（x﹣1）（2x+1）≥0 且2x+1≠0，
解可得：x＜﹣或x≥1，
则不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪[1，+∞）；
故选：A．
【点评】本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式转化为整式不等式．
7．“
≤1”是“|x﹣|≤
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分⼜不必要条件
【分析】分别解分式不等式及⼆次不等式，即可判断充分性及必要性．
【解答】解：由
≤1 可得
＝
≤0，
解得﹣2＜x≤3，
由|x﹣|≤
可得，﹣2≤x≤3，
故
≤1 是|x﹣|≤
的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了分式不等式及⼆次不等式的求解，属于基础题．
8．已知集合
，则M∩N＝（
）
A．{0，1}
B．{﹣1，0，1}
C．{0，1，2}
D．{﹣1，0，1，2}
【分析】先求出集合M，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：M＝{x|（x+1）（x﹣2）⩽0 且x≠2}＝{x|﹣1⩽x＜2}，N＝{﹣1，0，1，2}，
则M∩N＝{﹣1，0，1}．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
第9⻚（共14⻚）
9．已知集合
，B＝{x∈Z|﹣3≤x≤2}，则A∩B 的元素个数为（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【分析】先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合
＝{x|（x+8）（3x+7）＞0}＝{x|x＜﹣8 或x＞
}，
B＝{x∈Z|﹣3≤x≤2}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，
故A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，其元素个数为5 个．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
10．设集合
，B＝{1，2，3，4，5}，则A∩B 的⼦集的个数为（
）
A．7
B．8
C．15
D．16
【分析】解分式不等式确定集合A，然后由交集定义计算A∩B，再由⼦集的性质得结论．
【解答】解：由题意知，
，
所以A∩B＝{1，2，3}，所以A∩B 的⼦集的个数为23＝8．
故选：B．
【点评】本题主要考查分散不等式的解法，集合交集的运算，⼦集个数的求法，考查运算求解能⼒，属
于基础题．
11．已知集合
，则∁RA＝（
）
A．{x|﹣3≤x≤2}
B．{x|﹣2＜x＜3}
C．{x|x＜﹣2，或x＞3}
D．{x|x＜﹣3，或x＞2}
【分析】先求出集合A，然后结合集合的补集运算即可求解．
【解答】解：
＝{x|x＞2 或x＜﹣3}，
则∁RA＝{x|﹣3≤x≤2}．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题．
12．设集合A＝{x∈N||x|≤3}，
，则A∩B＝（
）
A．{0，1}
B．{0，1，2}
C．{1，2}
D．{﹣1，0，1，2}
【分析】根据集合运算的定义计算即可．
第10⻚（共14⻚）
【解答】解：A＝{x∈N||x|≤3}＝{0，1，2，3}，
＝{x|﹣2＜x≤2}，则A∩B＝{0，1，2}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
13．已知集合A＝{x|
＜0}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（
）
A．（﹣1，2）
B．（﹣1，2]
C．[0，1）
D．[0，2]
【分析】解不等式求出集合A，根据集合的并集运算，即可求得答案．
【解答】解：不等式
，可化为（x+1）（x﹣1）＜0，
解得﹣1＜x＜1，
则A＝（﹣1，1），B＝[0，2]，
故A∪B＝（﹣1，2]．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
14．不等式0＜|2x﹣1|＜2 的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】去掉绝对值不等式即可得解．
【解答】解：不等式可变形为﹣2＜2x﹣1＜2 且2x﹣1≠0，解得
，且x≠
，
∴不等式的解集为
或
．
故选：A．
【点评】本题考查绝对值不等式的计算，属于基础题．
15．设集合A＝{x∈Z|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|x+1|≤1}，则A∩B＝（
）
A．{﹣1，0}
B．{﹣2，﹣1，0}
C．{0，1，2}
D．{0，1}
【分析】先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x∈Z|x2﹣3x﹣4≤0}＝{x|﹣1，0，1，2，3，4}，
B＝{x|x+1|≤1}＝{x|﹣2≤x≤0}，
故A∩B＝{﹣1，0}．
第11⻚（共14⻚）
故选：A．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
16．如果关于x 的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＞a 的解集是全体实数，则a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1）
B．（﹣∞，1）
C．（﹣1，+∞）
D．（1，+∞）
【分析】根据已知条件，结合绝对值的⼏何意义，即可求解．
【解答】解：由绝对值的⼏何意义可知，|x﹣3|+|x﹣4|≥1，
故a＜1，即a 的取值范围为（﹣∞，1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查绝对值的⼏何意义，属于基础题．
17．若关于x 的不等式|x﹣1|+|x+2|＜a 的解集为空集，则实数a 的取值范围是（
）
A．a≤1
B．a＜1
C．a＜3
D．a≤3
【分析】|x﹣1|+|x+2|的⼏何意义为数轴上的动点x 到两定点﹣2、1 的距离和，求其最⼩值，再结合原不
等式的解集为空集即可求得实数a 的取值范围．
【解答】解：|x﹣1|+|x+2|的⼏何意义为数轴上的动点x 到两定点﹣2、1 的距离和，
则|x﹣1|+|x+2|的最⼩值为1﹣（﹣2）＝3．
⽽关于x 的不等式|x﹣1|+|x+2|＜a 的解集为空集，
∴a≤3．
即实数a 的取值范围是a≤3．
故选：D．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值⼏何意义的应⽤，是基础题．
18．设集合A 是关于x 的不等式|x+a|+|2x﹣1|≤|2x+1|的解集，且[1，2]⊆A，则实数a 的取值范围是（
）
A．[﹣2，0]
B．[﹣3，0]
C．[﹣2，1]
D．[﹣3，1]
【分析】根据不等式|x+a|+|2x﹣1|≤|2x+1|的解集包含[1，2]，去绝对值，求解即可．
【解答】解：由于关于x 的不等式|x+a|+|2x﹣1|≤|2x+1|的解集，且[1，2]⊆A，
故关于x 的不等式|x+a|+|2x﹣1|≤|2x+1}在区间[1，2]上恒成⽴．
故在区间[1，2]上，
|x+a|+2x﹣1≤2x+1 恒成⽴，即|x+a|≤2 恒成⽴，即﹣2≤x+a≤2 恒成⽴，
即﹣2﹣x≤a≤2﹣x 恒成⽴．
∴﹣3≤a≤0，故实数a 的取值范围是[﹣3，0]．
故选：B．
第12⻚（共14⻚）
【点评】本题考查了含有绝对值不等式的解法与应⽤问题，注意运⽤绝对值的意义以及不等式恒成⽴问
题，是难题．
19．不等式|2x﹣a|＞|2a﹣1|﹣2|x|对⼀切x∈R 都成⽴，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣3，﹣1）
B．（1，3）
C．
D．
【分析】不等式|2x﹣a|＞|2a﹣1|﹣2|x|对⼀切x∈R 都成⽴，由于|2x﹣a|+|2x|≥|（2x﹣a）﹣2x|＝|a|，因此有
|a|＞|2a﹣1|，解不等式即可．
【解答】解：|2x﹣a|＞|2a﹣1|﹣2|x|对⼀切x∈R 都成⽴，
即|2x﹣a|+|2x|＞|2a﹣1|对⼀次x∈R 都成⽴，
∵|2x﹣a|+|2x|≥|（2x﹣a）﹣2x|＝|a|，
∴只需|a|＞|2a﹣1|，
∴a2＞4a2﹣4a+1，∴
，
∴a 的取值范围为：（，1）．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值三⻆不等式恒成⽴问题，属基础题．
20．如果不等式|x﹣a|＜1 成⽴的充分不必要条件是
，则实数a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
或
D．
或
【分析】解不等式|x﹣a|＜1 得其解集，进⽽结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得不等
式组，解这个不等式组可得答案．
【解答】解：根据题意，不等式|x﹣a|＜1 的解集是a﹣1＜x＜a+1，设此命题为p，
命题
，设为q；
则p 的充分不必要条件是q，
即q 表示的集合是p 表示集合的真⼦集；
则有
，（等号不同时成⽴）；
解得
≤a≤
．
第13⻚（共14⻚）
故选：B．
【点评】本题考查充分、必要条件的判断及运⽤，注意与集合间关系的对应即可，对于本题应注意得到
的不等式的等号不同时成⽴，需要验证分析．
⼆．填空题（共4 ⼩题）
21．已知f（x）＝2x+x，则不等式f（|2x﹣3|）＜3 的解集为
（1，2）．
【分析】根据已知条件，结合函数的单调性，以及绝对值不等式的解法，即可求解．
【解答】解：f（x）＝2x+x，
则f（x）在R 上为单调递增函数，
f（1）＝3，
不等式f（|2x﹣3|）＜3＝f（1），
则|2x﹣3|＜1，解得1＜x＜2，
故不等式的解集为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．
22．不等式|x﹣2|＞1 的解集为
（﹣∞，1）∪（3，+∞）．
【分析】根据已知条件，结合绝对值不等式的解法，即可求解．
【解答】解：|x﹣2|＞1，
则x﹣2＞1 或x﹣2＜﹣1，解得x＞3 或x＜﹣1，
故所求解集为（﹣∞，1）∪（3，+∞）．
故答案为：（﹣∞，1）∪（3，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．
23．不等式|2x﹣1|＜3 的解集为
{x|﹣1＜x＜2}
．
【分析】将2x﹣1 看成整体，利⽤绝对值不等式将原不等式转化成整式不等式，最后利⽤不等式基本性
质求解即可．
【解答】解：∵|2x﹣1|＜3
⇔﹣3＜2x﹣1＜3
⇔﹣1＜x＜2，
∴不等式|2x﹣1|＜3 的解集为{x|﹣1＜x＜2}．
故答案为：{x|﹣1＜x＜2}．
【点评】本⼩题主要考查函数不等式、绝对值不等式、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能⼒、
第14⻚（共14⻚）
化归与转化思想．属于基础题．
24．不等式|x﹣1|＜2 的解集为
（﹣1，3）
．
【分析】直接利⽤绝对值不等式的解法求出结果．
【解答】解：|x﹣1|＜2，整理得﹣2＜x﹣1＜2，
解得﹣1＜x＜3；
故不等式的解集为（﹣1，3）．
【点评】本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法，主要考查学⽣的理解能⼒和计算能⼒，属于基础
题．
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第14⻚（共39⻚）
不等式篇—题型25～题型27 答案
⼀．选择题（共36 ⼩题）
1．已知集合
，则（∁RA）∩（B
∩C）＝（
）
A．{x|﹣3＜x⩽﹣1}
B．{x|﹣2＜x⩽﹣1}
C．{x|﹣1＜x＜1}
D．{x|﹣1＜x＜2}
【分析】先分别求出集合A，B，C，然后结合集合的交集及补集运算即可求解．
【解答】解：由题意得，A＝{x|x≤﹣1}，B＝{x|﹣2＜x＜4}，C＝{x|﹣3＜x＜1}，
所以∁RA＝{x|x＞﹣1}，B∩C＝{x|﹣2＜x＜1}，
所以（∁RA）∩（B∩C）＝{x|﹣1＜x＜1}．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合交集及补集运算，属于基础题．
2．已知x∈R，则“x＜2”是“log2（x+2）＜2”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】结合对数函数单调性解对数不等式，即可判断充分必要性即可．
【解答】解：由log2（x+2）＜2 可得﹣2＜x＜2，
故“x＜2”是“log2（x+2）＜2”必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查了对数函数单调性在不等式求解中的应⽤，属于基础题．
3．已知集合A＝{x|lnx≤0}，B＝{x|2x≤2}，则“x∈A”是“x∈B”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】先求出集合A，B，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|lnx≤0}＝{x|0＜x≤1}，B＝{x|2x≤2}＝{x|x≤1}，
第15⻚（共39⻚）
故“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
4．已知集合A＝{x|x2﹣4x＞0}，B＝{x|lnx＞0}，则（∁RA）∩B＝（
）
A．（0，4）
B．（0，4]
C．（1，4]
D．[1，4]
【分析】先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4x＞0}＝{x|x＞4 或x＜0}，B＝{x|lnx＞0}＝{x|x＞1}，
则∁RA＝{x|0≤x≤4}，
故（∁RA）∩B＝（1，4]．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
5．已知集合M＝{x|2x﹣1＞0}，P＝{x|2log2x﹣1＜0}，则M∩P＝（
）
A．
B．
C．
D．{x|2
＜x＜4}
【分析】求出集合M，P，根据集合交集运算可得结果．
【解答】解：因为
，
所以
．
故选：A．
【点评】本题考查了对数函数的单调性，交集的定义及运算，是基础题．
6．已知集合A＝{x|0＜log2（x﹣1）＜2}，B＝{x|x2﹣2x＞3}，则A∩B＝（
）
A．（1，3）
B．（2，3）
C．（3，4）
D．（3，5）
【分析】先求出集合A，B，再结合交集的运算，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|0＜log2（x﹣1）＜2}＝{x|2＜x＜5}，
B＝{x|x2﹣2x＞3}＝{x|x＞3 或x＜﹣1}，
故A∩B＝（3，5）．
故选：D．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
7．设集合P＝{x|2x＞1}，Q＝{x|x∈Z，|x|⩽3}，则P∩Q 的⼦集个数是（
）
A．3
B．4
C．8
D．16
第16⻚（共39⻚）
【分析】可求出集合P，Q，然后进⾏交集的运算求出P∩Q，然后根据⼦集个数的计算公式即可得解．
【解答】解：P＝{x|x＞0}，Q＝{x|x∈Z，﹣3≤x≤3}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
∴P∩Q＝{1，2，3}，
∴P∩Q 的⼦集个数为：23＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数的单调性，绝对值不等式的解法，交集的运算，⼦集个数的计算公式，是
基础题．
8．若全集U＝R，集合
，则A∩（∁UB）＝（
）
A．（0，3）
B．（3，+∞）
C．[3，+∞）
D．[0，3]
【分析】先求出集合A，B，再结合集合的运算，即可求解．
【解答】解：由题意可知，A＝{y|y≥0}，B＝{x|x≤3}，
则∁U＝{x|x＞3}，
故A∩（∁UB）＝（3，+∞）．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
9．设集合A＝{x|y＝lg（x﹣1）}，B＝{x|x＜﹣2}，则A∪（∁RB）＝（
）
A．（﹣2，1）
B．[﹣2，1）
C．[﹣2，+∞）
D．（1，+∞）
【分析】根据已知条件，结合集合的运算，即可求解．
【解答】解：合A＝{x|y＝lg（x﹣1）}＝{x|x＞1}，∁RB＝{x|x≥﹣2}，
故A∪（∁RB）＝[﹣2，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查并集、补集的运算，属于基础题．
10．已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】对原不等式变形，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
【解答】解：log2a＞log2b，
第17⻚（共39⻚）
则a＞b＞0，
，
则a＞b，
故“log2a＞log2b”是“
”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
11．设m，n 为实数，则
是0.1m＞0.1n 的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性、充分条件和必要条件的定义即可得解．
【解答】解：若
，则
，∴0＜m＜n，∴0.1m＞0.1n，充分性成⽴；
若0.1m＞0.1n，则m＜n，m，n 都是负数时，
和
都不存在，必要性不成⽴，
∴
是0.1m＞0.1n 的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，充分条件和必要条件的定义，是基础题．
12．已知a，b∈R，且a＞0，b＞0，则ab＞1 是lna•lnb＞0 的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】通过举反例结合充分必要条件的判定即可求解结论．
【解答】解：当a＝4，b＝时，ab＞1，但lna•lnb＜0，
当a＝b＝时，lna•lnb＞0，但ab＜1．
故ab＞1 是lna•lnb＞0 的既不充分也不必要条件．
故选：D．
第18⻚（共39⻚）
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
13．已知全集U＝R，集合A＝{x|log2x⩽2}，则∁UA＝（
）
A．（4，+∞）
B．[4，+∞）
C．（﹣∞，0）∪[4，+∞）
D．（﹣∞，0]∪（4，+∞）
【分析】由已知结合集合的补集运算即可求解．
【解答】解：因为A＝{x|0＜x≤4}，
所以∁UA＝{x|x＞4 或x≤0}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题．
14．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|ex＜1}，则（
）
A．A∩B＝{x|x＜0}
B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x＞1}
D．A∩B＝∅
【分析】先求出集合B，然后结合集合的交集及并集运算检验各选项即可判断．
【解答】解：A＝{x|x＜1}，B＝{x|ex＜1}＝{x|x＜0}，
则A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合的交集及并集运算，属于基础题．
15．集合A＝{x∈N|2x＜8}，B＝{x|x2﹣7x﹣8＜0}，则A∩B 的真⼦集有（
）
A．3 个
B．4 个
C．7 个
D．8 个
【分析】化简集合A、B，计算A∩B，再求出它的真⼦集个数．
【解答】解：集合A＝{x∈N|2x＜8}＝{x∈N|x＜3}＝{0，1，2}，
B＝{x|x2﹣7x﹣8＜0}＝{x|﹣1＜x＜8}，
所以A∩B＝{0，1，2}，真⼦集有23﹣1＝7（个）．
故选：C．
【点评】本题考查了解不等式与集合运算问题，是基础题．
16．已知集合
，则（
）
A．A⊆B
B．B⊆A
C．A∩B＝∅
D．A∪B＝R
【分析】由已知先求出B，然后结合集合的包含关系及基本运算即可判断．
【解答】解：由
，得
，则
，
所以A⊆B，A 正确，B 错误；
第19⻚（共39⻚）
A∩B＝{x|0＜x＜3}，A∪B＝{x|0＜x＜
}，C，D 错误．
故选：A．
【点评】本题考查集合间的基本关系，要求考⽣了解集合的基本概念
17．已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|log3x＜1}，则A∪B＝（
）
A．[0，3]
B．[0，3）
C．（0，3）
D．（0，3]
【分析】先求出集合B，然后结合集合的并集运算即可求解．
【解答】解：A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|log3x＜1}＝{x|0＜x＜3}，
则A∪B＝{x|0≤x≤3}．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．
18．已知集合A＝{x|log2（x+1）≤2}，B＝{﹣1，0，1，3，4，5}，则A∩B＝（
）
A．{﹣1，0，1，3}
B．{0，1，3}
C．{﹣1，0，1}
D．{0，1}
【分析】由已知先求出集合A，然后结合集合的交集运算即可求解．
【解答】解：由题意可得A＝{x|﹣1＜x≤3}，
因为B＝{﹣1，0，1，3，4，5}，
则A∩B＝{0，1，3}．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
19．已知全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x≥0}，B＝{x|ln（x﹣1）＜1}，则（∁UA）∩B＝（
）
A．（0，2）
B．（1，2）
C．（2，e+1）
D．[2，e+1）
【分析】先求出集合A，B，再结合交集、补集的定义，即可求解．
【解答】解：全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x≥0}＝{x|x≥2 或x≤0}，
则∁UA＝{x|0＜x＜2}，
B＝{x|ln（x﹣1）＜1}＝{x|1＜x＜e+1}，
故（∁UA）∩B＝（1，2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
20．“x＞3”是“关于x 的不等式ln（x2﹣x+1）＞ln（x+4）成⽴”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
第20⻚（共39⻚）
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】解不等式ln（x2﹣x+1）＞ln（x+4），求出x 的取值范围，再结合充分条件、必要条件的定义，
即可求解．
【解答】解：ln（x2﹣x+1）＞ln（x+4），
则
，解得x＞3 或﹣4＜x＜﹣1，
故“x＞3”是“关于x 的不等式ln（x2﹣x+1）＞ln（x+4）成⽴”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查对数不等式的解法，属于基础题．
21．已知命题p：（2x+1）（2x﹣2）＜0，q：lgx＜0，则p 是q 的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
【分析】依次对p，q 命题化简，即可判断．
【解答】解：命题p：（2x+1）（2x﹣2）＜0，即2x﹣2＜0，解得x＜1，
q：lgx＜0，即0＜x＜1，
故p 是q 的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
22．若a＜x＜3 是不等式
成⽴的⼀个必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，0）
B．（﹣∞，0]
C．[0，2）
D．（2，3）
【分析】先利⽤对数函数的性质求解不等式
的解集，再结合充分条件和必要条件的定义求
解．
【解答】解：不等式
可化为，
，
所以0＜x＜2，
第21⻚（共39⻚）
若a＜x＜3 是不等式
成⽴的⼀个必要不充分条件，则{x|0＜x＜2}⫋{x|a＜x＜3}，
解得a≤0，
即实数a 的取值范围是（﹣∞，0]．
故选：B．
【点评】本题主要考查了对数不等式的解法，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
23．已知全集是实数集R，集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，则图中阴影部分所表示的集合为（
）
A．{x|x＞2}
B．{x|﹣2≤x≤2}
C．{x|x≤2}
D．{x|x＜﹣2 或x＞2}
【分析】根据题意，求得∁RA＝{x|x≤2}且∁RB＝{x|﹣2≤x≤3}，结合∁R（A∪B）＝∁RA∩∁RB，即可求
解．
【解答】解：由不等式x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2 或x＞3，所以B＝{x|x＜﹣2 或x＞3}，
⼜由A＝{x|x＞2}，可得∁RA＝{x|x≤2}且∁RB＝{x|﹣2≤x≤3}，
⼜因为∁R（A∪B）＝∁RA∩∁RB＝{x|x≤2}∩{x|﹣2≤x≤3}＝{x|﹣2≤x≤2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合的并集及补集运算，属于基础题．
24．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2﹣3x＜0}，则M∪N＝（
）
A．{0，1，2}
B．{1，2}
C．{x|0≤x＜3}
D．{x|0＜x＜3}
【分析】根据条件，求出集合N＝{x|0＜x＜3}，再利⽤集合的运算，即可求出结果．
【解答】解：由x2﹣3x＜0，得到0＜x＜3，所以N＝{x|0＜x＜3}，
⼜M＝{0，1，2}，
所以M∪N＝{x|0≤x＜3}．
故选：C．
【点评】本题考查⼀元⼆次不等式的解法及集合的并集的求法，属于基础题．
25．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x∈N|2﹣x＞0}，则A∩B＝（
）
A．{3，4}
B．{0，1}
C．{﹣1，0，1}
D．{2，3，4}
【分析】由解⼀元⼆次不等式解出集合A，再由交集的运算求出最后结果即可．
【解答】解：由题意可得A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x∈N|x＜2}＝{0，1}，
第22⻚（共39⻚）
则A∩B＝{0，1}．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
26．设集合M＝{x|﹣1＜x≤3，x∈Z}，N＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}，则M∪N＝（
）
A．{x|﹣1≤x≤2，x＝3}
B．{﹣1，0，1，2}
C．{0，1，2}
D．{﹣1，0，1，2，3}
【分析】化简集合M、N，根据并集的定义求解即可．
【解答】解：因为集合M＝{x|﹣1＜x≤3，x∈Z}＝{0，1，2，3}，
N＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，
所以M∪N＝{x|﹣1≤x≤2，x＝3}．
故选：A．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
27．集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣12≤0}，B＝{﹣1，1，2，3，4，5}，则A∩B＝（
）
A．{0，1，3，4，5}
B．{1，2，3，4，5}
C．{1，2，3，4}
D．{﹣1，0，2，3，4}
【分析】求解⼀元⼆次不等式，得集合A，利⽤交集定义即得．
【解答】解：由x2﹣x﹣12≤0 可得﹣3≤x≤4，则A＝{0，1，2，3，4}，
于是A∩B＝{0，1，2，3，4}∩{﹣1，1，2，3，4，5}＝{1，2，3，4}．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
28．设集合A＝{x|（x﹣1）2≤9}，B＝{x|x≥4}，则A∪B＝（
）
A．{4}
B．[﹣1，+∞）
C．[﹣2，4]
D．[﹣2，+∞）
【分析】先求出集合A，然后结合集合的并集运算，即可求解．
【解答】解：因为A＝{x|（x﹣1）2≤9}＝[﹣2，4]，B＝[4，+∞），
所以A∪B＝[﹣2，+∞）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．
29．设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，B＝{x|x≥1}，则（∁UA）∩B＝（
）
A．{x|1≤x≤2}
B．{x|1＜x≤2}
C．{x|x＞2}
D．{x|1≤x＜2}
【分析】先求出集合A，再利⽤集合的基本运算求解．
第23⻚（共39⻚）
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}＝{x|x＜﹣1 或x＞2}，
所以∁UA＝{x|﹣1≤x≤2}，
⼜因为B＝{x|x≥1}，
所以（∁UA）∩B＝{x|1≤x≤2}．
故选：A．
【点评】本题主要考查了⼀元⼆次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
30．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣2＜0}，则A∩B＝（
）
A．{1}
B．{1，2}
C．{1，2，3}
D．∅
【分析】依次将集合A 中的元素代⼊集合B 验证，即可求解．
【解答】解：集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣2＜0}，
当x＝1 时，满⾜x2﹣2x﹣2＜0；
当x＝2 时，满⾜x2﹣2x﹣2＜0；
当x＝3 时，不满⾜x2﹣2x﹣2＜0，所以A∩B＝{1，2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
31．已知集合M＝{x|x2﹣6x+8＜0}，N＝{x|1＜x≤3}，则M∩N＝（
）
A．{x|2≤x≤3}
B．{x|2＜x≤3}
C．{x|2＜x≤4}
D．{x|1＜x≤3}
【分析】解⼀元⼆次不等式化简集合M，再根据交集运算求解即可．
【解答】解：因为M＝{x|x2﹣6x+8＜0}＝{x|2＜x＜4}，N＝{x|1＜x≤3}，
所以M∩N＝{x|2＜x≤3}．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
32．已知集合N＝{1，2}，则满⾜M∪N＝{x∈Z|x2﹣4x＜0}的集合M 共有（
）
A．1 个
B．3 个
C．4 个
D．8 个
【分析】根据已知求得M∪N，得到M 中⼀定有3，可能有1，2，进⽽求解结论．
【解答】解：由x2﹣4x＜0⇒0＜x＜4，
故M∪N＝{x∈Z|x2﹣4x＜0}＝{1，2，3}．
故M 中⼀定有3，可能有1，2，
故M 的个数为：22＝4 个．
故选：C．
第24⻚（共39⻚）
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，⼀元⼆次不等式的解法，集合⼦集个数的计算公式，考查
了计算能⼒，属于基础题．
33．已知集合M＝{x|x2﹣4x＞0}，N＝{x|2＜x＜8}，则M∪N＝（
）
A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
B．（0，+∞）
C．（4，8）
D．（2，4）
【分析】根据⼀元⼆次不等式化简M＝{x|x＞4 或x＜0}，即可由并集运算求解．
【解答】解：由M＝{x|x2﹣4x＞0}，可得M＝{x|x＞4 或x＜0}，
⼜因为N＝{x|2＜x＜8}，
所以M∪N＝（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了⼀元⼆次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
34．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，则（∁RA）∩B＝（
）
A．（3，+∞）
B．（﹣1，+∞）
C．（﹣1，3）
D．（﹣1，1]
【分析】根据条件，求出B＝{x|﹣1＜x＜3}和∁RA＝{x|x≤1}，再根据集合的运算，即可求出结果．
【解答】解：由（x+1）（x﹣3）＜0，得到﹣1＜x＜3，
所以B＝{x|﹣1＜x＜3}，
⼜A＝{x|x＞1}，所以∁RA＝{x|x≤1}，
故（∁RA）∩B＝{x|﹣1＜x≤1}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的补集及交集运算，属于基础题．
35．不等式（x﹣2）（1﹣2x）⩾0 的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据⼀元⼆次不等式的解法求解．
【解答】解：不等式（x﹣2）（1﹣2x）⩾0 可化为（x﹣2）（2x﹣1）⩽0，
所以
，
故原不等式的解集为
．
故选：B．
第25⻚（共39⻚）
【点评】本题主要考查了⼀元⼆次不等式的解法，属于基础题．
36．关于x 的不等式（a﹣1）x2﹣ax+a+1≥0 的解集为R，则实数a 的取值范围是（
）
A．a＞1
B．
C．
D．
或
【分析】讨论a﹣1＝0 和a﹣1≠0 时，求出不等式的解集为R 时a 的取值范围即可．
【解答】解：当a﹣1＝0，即a＝1 时，不等式为﹣x+2≥0，解集不是R，不满⾜题意；
当a﹣1≠0 时，应满⾜
，解得a≥
，
所以实数a 的取值范围是{a|a≥
}．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解集为R 的应⽤问题，是基础题．
⼆．填空题（共5 ⼩题）
37．已知集合A＝{x|x2+mx≤0}，
，且A∩B 有4 个⼦集，则实数m 的最⼩值是
．
【分析】根据题意知A∩B 中有2 个元素﹣和m﹣1，代⼊集合A 中求解即可．
【解答】解：因为A∩B 有4 个⼦集，所以A∩B 中有2 个元素是﹣和m﹣1，
所以
，解得
，即
≤m≤1，
所以实数m 的最⼩值是
．
故答案为：．
【点评】本题考查了不等式与集合的应⽤问题，是基础题．
38．已知集合A＝{x|﹣x2﹣2x+a＞0}，B＝R，若A∩B＝∅，则a 的取值范围是
{a|a≤﹣1}
．
【分析】根据A∩B＝∅得A＝∅，即不等式﹣x2﹣2x+a＞0 ⽆解，利⽤Δ≤0 求解即可．
【解答】解：集合A＝{x|﹣x2﹣2x+a＞0}，B＝R，
若A∩B＝∅，则A＝∅，
所以不等式﹣x2﹣2x+a＞0 ⽆解，即x2+2x﹣a＜0 ⽆解，
所以Δ＝4+4a≤0，解得a≤﹣1，
第26⻚（共39⻚）
所以a 的取值范围是{a|a≤﹣1}．
故答案为：{a|a≤﹣1}．
【点评】本题考查了集合的运算与应⽤问题，是基础题．
39．设a＞0，若关于x 的不等式x2﹣ax＜0 的解集是区间（0，1）的真⼦集，则a 的取值范围是
（0，1）．
【分析】解⼀元⼆次不等式结合真⼦集的概念即可得解．
【解答】解：因为a＞0，所以解不等式x2﹣ax＜0，得0＜x＜a，
⼜因为不等式x2﹣ax＜0 的解集是区间（0，1）的真⼦集，
所以a 的取值范围是（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查了含参数的不等式求解问题，是基础题．
40．若关于x 的不等式0≤ax2+bx+c≤2（a＞0）的解集为{x|﹣1≤x≤3}，则3a+b+2c 的取值范围是
[
，
4）．
【分析】根据⼀元⼆次不等式的解集得到对称轴，再根据端点得到两个等式和⼀个不等式，求出a 的取
值范围，把3a+b+2c 都表示成a 的形式即可求解．
【解答】解：因为不等式0≤ax2+bx+c≤2（a＞0）的解集为{x|﹣1≤x≤3}，
所以⼆次函数f（x）＝ax2+bx+c 的对称轴为直线x＝1，
且需满⾜
，即
，解得
，
所以a+b+c＝a﹣2a﹣3a+2≥0，解得a≤
，所以a 的取值范围是（0，]，
所以
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了⼀元⼆次不等式的解法与应⽤问题，关键是转化为⼆次函数问题，求出对称轴和端
点的值，是中档题．
41．已知关于x 的⼀元⼆次不等式mx2﹣2x+1＜0 的解集为（a，b），则3a+b 的最⼩值为
2+
．
【分析】由题意知a，b 是⽅程mx2﹣2x+1＝0 的两个不同的实数根，利⽤根与系数的关系求出
的值，
再由不等式“1”的代换求解即可．
【解答】解：因为区间（a，b）是关于x 的⼀元⼆次不等式mx2﹣2x+1＜0 的解集，
所以a，b 是关于x 的⽅程mx2﹣2x+1＝0 的两个不同的实数根，
第27⻚（共39⻚）
由根与系数的关系知
，
，且Δ＝4﹣4m＞0，0＜m＜1，
所以
＝+
＝2，且a，b 是两个不同的正数，
所以3a+b＝（3a+b）•（+
）＝（4+
+
）＝2+
+
≥2+2
＝2+
，
当且仅当
，即
时等号成⽴，
满⾜
，所以3a+b 的最⼩值是
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了⼀元⼆次⽅程与对应不等式的解集应⽤问题，也考查了基本不等式应⽤问题，是基
础题．
三．解答题（共19 ⼩题）
42．已知集合A＝{y|y＝4x﹣16，x∈[2，3]}，B＝{x|x2+3x﹣a2﹣3a＞0，a＞0}．
（1）当a＝4 时，求A∩B；
（2）若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【分析】（1）求出集合A，B 的元素，利⽤集合的基本运算即可得到结论；
（2）根据充分条件和必要条件的定义结合集合之间的关系即可得到结论．
【解答】解：（1）当a＝4 时，B＝{x|x2+3x﹣a2﹣3a＞0}＝{x|x2+3x﹣28＞0}＝{x|x＞4 或x＜﹣7}，
A＝{y|y＝4x﹣16，x∈[2，3]}＝{y|﹣8≤y≤﹣4}，
则A∩B＝{x|﹣8≤x＜﹣7}；
（2）若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，
则A⫋B，B＝{x|x2+3x﹣a2﹣3a＞0}＝{x|（x﹣a）（x+a+3）＞0}，
对应⽅程的两个根为x＝a 或x＝﹣a﹣3，
已知a＞0，此时B＝{x|x＞a 或x＜﹣a﹣3}，
若满⾜A⫋B，则﹣a﹣3≥﹣4 或a≤﹣8（舍），
解得0＜a≤1．
即实数a 的取值范围为（0，1]．
【点评】本题考查集合的运算性质的应⽤及充分不必要的性质的应⽤，属于基础题．
43．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．
（1）若f（x）＜0 的解集为{x|x＜﹣2 或x＞1}，求a 的值；
（2）求关于x 的不等式f（x）＞0 的解集．
第28⻚（共39⻚）
【分析】（1）由题意可知﹣2，1 是ax2﹣（a+1）x+1＝0 的根，再利⽤⻙达定理即可求出a 的值；
（2）对a 分情况讨论，分别求出不等式的解集．
【解答】解：（1）由题意知：﹣2，1 是ax2﹣（a+1）x+1＝0 的根，
∴
，﹣2×1＝，
解得
；
（2）由f（x）＞0 得（ax﹣1）（x﹣1）＞0，
①当a＜0 时，解集为
，
②当a＝0 时，解集为{x|x＜1}，
③当0＜a＜1 时，解集为{x|x＜1 或
，
④当a＝1 时，解集为{x|x≠1}，
⑤当a＞1 时，解集为{x|x＜或x＞1}，
综上所述，当a＜0 时，解集为
；当a＝0 时，解集为{x|x＜1}；当0＜a＜1 时，解集为{x|x
＜1 或
；当a＝1 时，解集为{x|x≠1}；当a＞1 时，解集为{x|x＜或x＞1}．
【点评】本题主要考查了⻙达定理的应⽤，考查了含参数的⼀元⼆次不等式的解法，属于中档题．
44．已知函数f（x）＝x2+（4﹣a）x+a﹣4，（a∈R）．
（1）解关于x 的不等式：f（x）≤1；
（2）命题“∀x∈（1，+∞），f（x）≥0”是真命题，求a 的最⼤值．
【分析】（1）根据条件得到（x﹣1）[x﹣（a﹣5）]≤0，利⽤含参的⼀元⼆次不等式的解法，对a 进⾏讨
论，即可求出结果；
（2）根据条件得到f（x）＝x2+（4﹣a）x+a﹣4≥0 在区间（1，+∞）上恒成⽴，从⽽转化成求f（x）在区
间（1，+∞）上的最⼩值，即可解决问题．
【解答】解：（1）由f（x）≤1，得x2+（4﹣a）x+a﹣4≤1，即（x﹣1）[x﹣（a﹣5）]≤0，
当a﹣5＜1，即a＜6 时，解得a﹣5≤x≤1，
当a＝6 时，解得x＝1，
当a﹣5＞1，即a＞6 时，解得1≤x≤a﹣5，
综上所述，a＜6 时，原不等式的解为{x|a﹣5≤x≤1}，
当a＝6 时，原不等式的解为{x|x＝1}，
第29⻚（共39⻚）
当a＞6 时，原不等式的解为{x|1≤x≤a﹣5}．
（2）由题知，f（x）＝x2+（4﹣a）x+a﹣4≥0 在区间（1，+∞）上恒成⽴，
⼜f（x）＝x2+（4﹣a）x+a﹣4 对称轴为
，
当
，即a≤6 时，f（x）＝x2+（4﹣a）x+a﹣4 在区间（1，+∞）上单调递增，
所以，当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1）＝1+4﹣a+a﹣4＝1＞0 恒成⽴，即a≤6 满⾜条件，
当
，即a＞6，由题有Δ＝（4﹣a）2﹣4（a﹣4）≤0，得到4≤a≤8，所以6＜a≤8，
综上，a 的最⼤值为8．
【点评】本题考查了函数与不等式的应⽤问题，也考查了运算求解能⼒，是中档题．
45．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，
．
（1）求A∩（∁RB）；
（2）记关于x 的不等式x2﹣2（m+1）x+m2+2m≤0 的解集为M，若M⊆B，求实数m 的取值范围．
【分析】（1）先解不等式求得集合A，B，然后根据补集、交集的知识求得正确答案．
（2）根据集合的包含关系列不等式，由此求得m 的取值范围．
【解答】解：（1）由x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）＜0 解得﹣1＜x＜2，
所以A＝（﹣1，2）．
由
得
或
，解得x≤1 或x≥4，
所以B＝（﹣∞，1]∪[4，+∞），∁RB＝（1，4），
所以A∩（∁RB）＝（1，2）．
（2）由x2﹣2（m+1）x+m2+2m＝[（x﹣m）（x﹣m﹣2）]≤0，解得m≤x≤m+2，
所以M＝[m，m+2]，要使M⊆B，
则需m+2≤1 或m≥4，解得m≤﹣1 或m≥4，
故m 的范围为{m|m≤﹣1 或m≥4}．
【点评】本题主要考查了集合的交集及补集运算，还考查了集合包含关系的应⽤，属于中档题．
46．已知不等式ax2﹣3x+b＞4 的解集为{x|x＜1 或x＞2}．
（1）求a、b 的值；
（2）解不等式ax2﹣（ac+2）x+2c＜0．
【分析】（1）不等式ax2﹣3x+b＞4 的解集为{x|x＜1 或x＞2}，则x＝1 或x＝2 是⽅程ax2﹣3x+b﹣4＝0 的
根，由此可得a、b 的值；（2）分类讨论即可．
第30⻚（共39⻚）
【解答】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+b＞4 的解集为{x|x＜1 或x＞2}，
所以x＝1 或x＝2 是⽅程ax2﹣3x+b﹣4＝0 的根，
根据⻙达定理有1+2＝，1×2＝
，解得a＝1，b＝6．
（2）由（1）可知不等式化为x2﹣（c+2）x+2c＜0，即（x﹣c）（x﹣2）＜0，
当c＞2 时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，
当c＝2 时，不等式的解集为∅，
当c＜2 时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}．
【点评】本题考查⼀元⼆次不等式的解法，属于基础题．
47．（Ⅰ）已知集合A＝{x|4≤x＜8}，B＝{x|x＜a}．若A∩B≠∅，求a 的取值范围；
（Ⅱ）已知关于x 的不等式x2+ax+b＜0 的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x 的不等式bx2+ax+1＞0 的解集．
【分析】（Ⅰ）由两个集合交集不是空集，可得a 的范围；
（Ⅱ）由已知不等式的解集，可得⽅程的根，进⽽求出a，b 的值，可得所求不等式的解集．
【解答】解：（Ⅰ）集合A＝{x|4≤x＜8}，B＝{x|x＜a}，
因为A∩B≠∅，所以a＞4，
即a 的取值范围为（4，+∞）；
（Ⅱ）y 关于x 的不等式x2+ax+b＜0 的解集为{x|1＜x＜2}，
所以x＝1，2 是⽅程x2+ax+b＝0 的两个根，
所以
，解得a＝﹣3，b＝2，
所以不等式2x2﹣3x+1＞0 的解集为
．
【点评】本题考查⼆次不等式的解集的求法及不等式与⽅程之间的转化，属于基础题．
48．已知函数f（x）＝x2﹣mx+1．
（1）若关于x 的不等式f（x）+n﹣1≤0 的解集为[﹣1，2]，求实数m，n 的值；
（2）求关于x 的不等式f（x）﹣x+m﹣1＞0（m∈R）的解集．
【分析】（1）不等式化为x2﹣mx+n≤0，根据不等式的解集与对应⽅程的关系，列⽅程组求出m、n 的值；
（2）不等式化为（x﹣m）（x﹣1）＞0，讨论m 与1 的⼤⼩，即可写出不等式的解集．
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝x2﹣mx+1，所以不等式f（x）+n﹣1≤0 可化为x2﹣mx+n≤0，
所以﹣1 和2 是⽅程x2﹣mx+n＝0 的两个实数根，
由根与系数的关系知，
，解得m＝1，n＝﹣2；
第31⻚（共39⻚）
（2）不等式f（x）﹣x+m﹣1＞0 可化为x2﹣（m+1）x+m＞0，
即（x﹣m）（x﹣1）＞0，
m＝1 时，不等式化为（x﹣1）2＞0，解得x≠1；
m＞1 时，解不等式得，x＜1 或x＞m；
m＜1 时，解不等式得，x＜m 或x＞1；
综上知，m＝1 时，不等式化的解集为{x|x≠1}；
m＞1 时，不等式的解集为{x|x＜1 或x＞m}；
m＜1 时，不等式的解集为{x|x＜m 或x＞1}．
【点评】本题考查了⼀元⼆次不等式的解法与应⽤问题，是基础题．
49．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+3．
（1）若关于x 的不等式f（x）≥0 的解集为R，求实数a 的取值范围；
（2）解关于x 的不等式f（x）＜0．
【分析】（1）由题意可知Δ≤0，进⽽求出实数a 的取值范围；
（2）分Δ≤0 和Δ＞0 两种情况讨论，结合⼆次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）若不等式x2﹣2ax+3≥0 的解集为R，
则Δ＝（﹣2a）2﹣12≤0，
解得﹣
，
即实数a 的取值范围[﹣
，
]；
（2）不等式x2﹣2ax+3＜0，
①当Δ≤0 时，即﹣
时，
不等式的解集为∅，
②当Δ＞0 时，即a＜﹣
或a＞
时，
由x2﹣2ax+3＝0，解得x＝
或x＝a+
，
所以不等式的解集为{x|a﹣
＜x＜a+
}，
综上所述，当﹣
时，不等式的解集为∅；当a＜﹣
或a＞
时，不等式的解集为{x|a
﹣
＜x＜a+
}．
【点评】本题主要考查了⼀元⼆次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．
50．解下列不等式．
（1）﹣x2+2x﹣3＜0；
第32⻚（共39⻚）
（2）2x2﹣5ax+2a2＜0．
【分析】（1）根据⼀元⼆次不等式运算求解；
（2）分a＞0、a＝0 和a＜0 三种情况，结合⼀元⼆次不等式运算求解．
【解答】解：（1）因为﹣x2+2x﹣3＜0，即x2﹣2x+3＞0，
注意到（x﹣1）2+2≥2＞0，
所以不等式﹣x2+2x﹣3＜0 的解集为R；
（2）因为2x2﹣5ax+2a2＜0，即（2x﹣a）（x﹣2a）＜0，
令（2x﹣a）（x﹣2a）＝0，解得
或x＝2a，
若a＞0，即
，所以不等式的解集为
，
若a＝0，即2x2＜0，所以不等式的解集为∅，
若a＜0，即
，所以不等式的解集为
，
综上所述：若a＞0，不等式的解集为
；若a＝0，不等式的解集为∅；若a＜0，不等
式的解集为
．
【点评】本题主要考查了⼀元⼆次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．
51．函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R）．
（1）若f（x）＜0 的解集是{x|x＜﹣2，或x＞3}，求不等式
的解集；
（2）当a＞0 时，求关于x 的不等式f（x）+（a﹣b+1）x＞0 的解集．
【分析】（1）不等式f（x）＜0 可化为ax2+bx+1＜0，利⽤不等式的解集与对应⽅程的关系求出a、b，代
⼊不等式
中求解即可；
（2）不等式可化为（x+
）（x+1）＞0，讨论a 与1 的⼤⼩，即可写出不等式的解集．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝ax2+bx+1，得不等式f（x）＜0 可化为ax2+bx+1＜0，
所以﹣2 和3 是⽅程ax2+bx+1＝0 的解，由根与系数的关系知，
，解得a＝﹣，b＝；
所以不等式
可化为﹣x2+
x+
＞0，
即x2﹣x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜2，
第33⻚（共39⻚）
所以该不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}；
（2）不等式f（x）+（a﹣b+1）x＞0 可化为ax2+（a+1）x+1＞0，
即（ax+1）（x+1）＞0，
因为a＞0，所以不等式化为（x+
）（x+1）＞0，
当a＝1 时，不等式为（x+1）2＞0，解得x≠﹣1；
当0＜a＜1 时，﹣＜﹣1，解不等式得，x＜﹣或x＞﹣1；
当a＞1 时，﹣＞﹣1，解不等式得，x＜﹣1 或x＞﹣；
综上，a＝1 时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}；
0＜a＜1 时，不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞﹣1}；
a＞1 时，不等式的解集为{x|x＜﹣1 或x＞﹣}．
【点评】本题考查了⼀元⼆次不等式的解法与应⽤问题，是中档题．
52．已知不等式x2+ax+b＜0 的解集为{x|﹣1＜x＜2}，设不等式ax2+bx+3＞0 的解集为集合A．
（1）求集合A；
（2）设全集为R，集合B＝{x|x2﹣mx+2＜0}，若x∈A 是x∈B 成⽴的必要条件，求实数m 的取值范围．
【分析】（1）由题意得x＝﹣1 和x＝2 是⽅程x2+ax+b＝0 的两根，代⼊求得a，b，化简所求不等式，求
解即可；
（2）将x∈A 是x∈B 成⽴的必要条件转化为⼦集关系，结合⼦集的定义及⼆次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）因为不等式x2+ax+b＜0 的解集为{x|﹣1＜x＜2}，
则x＝﹣1 和x＝2 是⽅程x2+ax+b＝0 的两根，
所以
，解得
，
所以不等式ax2+bx+3＞0 为不等式﹣x2﹣2x+3＞0，
解得﹣3＜x＜1，即集合A＝{x|﹣3＜x＜1}．
（2）因为x∈A 是x∈B 成⽴的必要条件，所以B⊆A．
当B＝∅时，Δ＝m2﹣8≤0，解得
；
当B≠∅时，
，解得
．
第34⻚（共39⻚）
综上，实数m 的取值范围是
．
【点评】本题主要考查了⼆次不等式的求解，还考查了充分必要条件与集合包含关系的转化，体现了转
化思想及分类讨论思想的应⽤，属于中档题．
53．已知关于x 的不等式x2+（a﹣3）x﹣b＜0．
（1）若该不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}，求a 和b 的值；
（2）若b＝3a，求该不等式的解集．
【分析】（1）结合⼆次不等式与⼆次⽅程转化关系即可求解；
（2）结合⼆次不等式的求法即可求解．
【解答】解：（1）因为不等式x2+（a﹣3）x﹣b＜0 的解集为{x|﹣1＜x＜2}，
所以⼆次⽅程x2+（a﹣3）x﹣b＝0 的根为﹣1，2，
由⻙达定理可得，
，
解得a＝2，b＝2；
（2）若b＝3a，则不等式为x2+（a﹣3）x﹣b＜0 可化为（x﹣3）（x+a）＜0，
令（x﹣3）（x+a）＝0，得x1＝3，x2＝﹣a，
当3＞﹣a，即a＞﹣3 时，﹣a＜x＜3；
当3＝﹣a，即a＝﹣3 时，⽆解；
当3＜﹣a，即a＜﹣3 时，3＜x＜﹣a，
综上：a＞﹣3 时，解集为（﹣a，3）；a＝﹣3 时，解集为∅；a＜﹣3 时，解集为（3，﹣a）．
【点评】本题主要考查了⼆次⽅程与⼆次不等式转化关系的应⽤，还考查了含参⼆次不等式的求解，属
于基础题．
54．已知函数f（x）＝x2﹣（m+3）x+3m．
（1）若不等式f（x）＜0 的解集为（﹣4，3），求实数m 的值；
（2）求不等式f（x）＜0 的解集．
【分析】（1）由题意可知﹣4 和3 是⽅程x2﹣（m+3）x+3m＝0 的两个根，再利⽤⻙达定理求解即可；
（2）不等式f（x）＜0 可化为（x﹣3）（x﹣m）＜0，再分m＜3，m＝3 和m＞3 三种情况讨论，分别求出
不等式的解集即可．
【解答】解：（1）由题意可知，不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0 的解集为（﹣4，3），
所以﹣4 和3 是⽅程x2﹣（m+3）x+3m＝0 的两个根，
第35⻚（共39⻚）
所以
，
解得m＝﹣4；
（2）不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0，可化为（x﹣3）（x﹣m）＜0，
①当m＜3 时，不等式的解集为{x|m＜x＜3}，
②当m＝3 时，不等式的解集为∅，
③当m＞3 时，不等式的解集为{x|3＜x＜m}，
综上所述，当m＜3 时，不等式的解集为{x|m＜x＜3}；当m＝3 时，不等式的解集为∅；当m＞3 时，不
等式的解集为{x|3＜x＜m}．
【点评】本题主要考查了⻙达定理的应⽤，考查了⼀元⼆次不等式的解法，属于基础题．
55．已知不等式ax2﹣3x+2＞0 的解集为{x|x＜1 或x＞b}（b＞1）．
（1）求a，b 的值；
（2）当c≠2 时，解关于x 的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．
【分析】（1）由⼀元⼆次不等式与⼀元⼆次⽅程的关系，可得1 和b 是相应⽅程的两个实数根，由根与
系数的关系建⽴关于a、b 的⽅程组，解之即可得到实数a、b 的值．
（2）由（1）的结论，所求不等式即x2﹣（c+2）x+2c＜0，再讨论实数c 与2 的⼤⼩关系，即可得到不等
式在各种情况下的解集，得到本题答案．
【解答】解：（1）根据题意，不等式ax2﹣3x+2＞0 的解集为{x|x＜1 或x＞b}，
即1、b 是⽅程ax2﹣3x+2＝0 的两根，
则有
，解可得
，
（2）由（1）的结论，a＝1，b＝2；
原不等式即x2﹣（c+2）x+2c＜0；即（x﹣2）（x﹣c）＜0，
⽅程x2﹣（c+2）x+2c＝0 有两根，2 和c，
当c＞2 时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，
当c＜2 时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}，
综合可得：当c＞2 时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，
当c＜2 时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}，
【点评】本题考查⼀元⼆次不等式的解法，涉及⼀元⼆次不等式的解集与⼀元⼆次⽅程的根的关系，属
于中档题．
第36⻚（共39⻚）
56．已知函数f（x）＝x2﹣（a+b）x+a．
（1）若关于x 的不等式f（x）＜0 的解集为（1，2），求a，b 的值；
（2）当b＝1 时，解关于x 的不等式f（x）＞0．
【分析】（1）由不等式f（x）＜0 的解集得出对应⽅程的实数根，利⽤根与系数的关系求出a、b 的值；
（2）b＝1 时不等式可化为（x﹣a）（x﹣1）＞0，讨论a 与1 的⼤⼩，从⽽求出不等式的解集．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝x2﹣（a+b）x+a，不等式f（x）＜0 化为x2﹣（a+b）x+a＜0，
由不等式的解集为（1，2），所以⽅程x2﹣（a+b）x+a＝0 的两根为1 和2，
由根与系数的关系知：
，解得a＝2，b＝1；
（2）b＝1 时不等式f（x）＞0 可化为x2﹣（a+1）x+a＞0，
即（x﹣a）（x﹣1）＞0；
当a＞1 时，解不等式得x＜1 或x＞a；
当a＝1 时，解不等式得x≠1；
当a＜1 时，解不等式得x＜a 或x＞1．
所以a＞1 时，不等式的解集为{x|x＜1 或x＞a}；
a＝1 时，不等式的解集为{x|x≠1}；
a＜1 时，不等式的解集为{x|x＜a 或x＞1}．
【点评】本题考查了⼀元⼆次不等式的解法与应⽤问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
57．集合A＝{x|ax2﹣3x﹣4≥0}，B＝{x|x≥b 或x≤﹣1}，且A＝B．
（1）求a，b 的值；
（2）若集合P＝{x|m+1＜x＜2m}，且“x∈P”是“x∈∁RA”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
【分析】（1）由x＝﹣1 是⽅程ax2﹣3x﹣4＝0 的根得a，再结合已知条件解⼀元⼆次不等式得b．
（2）由充分不必要条件得集合的包含关系，列不等式组求解即可．
【解答】解：（1）因为A＝B，B＝{x|x≥b 或x≤﹣1}，
所以x＝﹣1 是⽅程ax2﹣3x﹣4＝0 的根，所以a＝1．
由x2﹣3x﹣4≥0 可得x≥4 或x≤﹣1，所以A＝{x|x≥4 或x≤﹣1}，
⼜因为A＝B，B＝{x|x≥4 或x≤﹣1}，
所以b＝4，a＝1．
（2）因为A＝{x|x≥4 或x≤﹣1}，
所以∁RA＝{x|﹣1＜x＜4}，
第37⻚（共39⻚）
因为“x∈P”是“x∈∁RA”的充分不必要条件，所以P 是∁RA 的真⼦集，
所以
或
，则1＜m≤2，
所以实数a 的取值范围是（1，2]．
【点评】本题考查了⼀元⼆次不等式的解法与应⽤问题，也考查了集合的运算问题，是中档题．
58．设函数f（x）＝ax2+bx+3，关于x 的⼀元⼆次不等式f（x）＞0 的解集为（﹣3，1）．
（1）求不等式x2+ax+b＞0 的解集；
（2）若∀x∈[﹣1，3]，f（x）≥mx2，求实数m 的取值范围．
【分析】（1）由已知，结合⼆次⽅程与⼆次不等式的转化关系及⽅程的根与系数关系可求a，b，代⼊到
所求不等式，解⼆次不等式即可求解；
（2）由已知结合⼆次不等式恒成⽴与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：（1）因为⼀元⼆次不等式f（x）＞0 的解集为（﹣3，1），
所以﹣3 和1 是⽅程ax2+bx+3＝0 的两个实根，
则
，解得a＝﹣1，b＝﹣2，
因此所求不等式即为：x2﹣x﹣2＞0，解集为{x|x＜﹣1 或x＞2}；
（2）f（x）≥mx2可化为（m+1）x2≤﹣2x+3，
当x＝0 时显然成⽴；
当x≠0 时，
对x∈[﹣1，3]恒成⽴，
令
，
则m+1≤﹣2t+3t2，
即x＝3 时，
，
所以
，
即m 的范围为{m|
}．
【点评】本题主要考查了⼆次不等式与⼆次⽅程转化关系的应⽤，还考查了由不等式恒成⽴与最值关系
的转化，属于中档题．
59．已知函数f（x）＝ax2﹣x+a．
第38⻚（共39⻚）
（1）若不等式f（x）＜0 在实数R 上有解，求实数a 的取值范围；
（2）当a≤0 时，解关于x 的不等式f（x）＜0．
【分析】（1）对a 进⾏分类讨论，再根据题设条件即可求出结果；
（2）利⽤含参不等式的解法，对a 进⾏分类讨论，即可求出结果．
【解答】解：（1）因为f（x）＝ax2﹣x+a＜0 在R 上有解，
①当a＝0 时，x＞0 成⽴，
②当a＞0 时，由Δ＞0，得到1﹣4a2＞0，
解得
，
③当a＜0 时，ax2﹣x+a＜0 在R 上恒有解，
综上所述，实数a 的取值范围为{a|
}；
（2）由f（x）＜0，得到ax2﹣x+a＜0，因为a≤0，
①当a＝0 时，得到﹣x＜0，即x＞0 上，
此时不等式的解集为{x|x＞0}，
②当a＜0 时，因为Δ＝1﹣4a2，
（i）当
，Δ≥0，
此时⽅程ax2﹣x+a＝0 的两根
，且有x1＜x2，
此时不等式ax2﹣x+a＜0 的解集为
或
，
（ii）当
时，Δ＜0，此时不等式ax2﹣x+a＜0 的解集为R，
综上所述：当a＝0，解集为{x|x＞0}；当
，解集为
或
；
当
，解集为R．
【点评】本题主要考查了⼀元⼆次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．
60．已知函数f（x）＝x2﹣a（a﹣2）x+b．
（1）若关于x 的不等式f（x）＜0 的解集为（﹣2，1），求a，b 的值；
（2）当b＝2 时，⽅程f（x）＝0 有⼀个根⼤于1，⼀个根⼩于1，求实数a 的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得1，2 是⽅程x2﹣a（a﹣2）x+b＝0 的两个实数根，然后利⽤⻙达定理建⽴⽅
第39⻚（共39⻚）
程即可求解；
（2）当b＝2 时，f（x）＝x2﹣a（a﹣2）x+2，图象开⼝向下，从⽽根据题意可得f（1）＝1﹣a（a﹣2）
+2＜0，由此即可求出a 的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知，﹣2 和1 是⽅程x2﹣a（a﹣2）+b＝0 的两个实数根，
所以﹣2+1＝a（a﹣2），且﹣2×1＝b，
解得a＝1，b＝﹣2；
（2）当b＝2 时，函数f（x）的开⼝向上，
则由已知可得f（1）＝1﹣a（a﹣2）+2＜0，即a2﹣2a﹣3＞0，解得a＞3 或a＜﹣1，
所以实数a 的取值范围是（3，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．
【点评】本题考查⼀元⼆次不等式与其所对应⼆次函数之间的关系，考查学⽣的逻辑推理和运算求解的
能⼒，属于基础题．
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第6⻚（共18⻚）
不等式篇—题型28 答案
⼀．选择题（共4 ⼩题）
1．“a≥4”是“关于x 的不等式
≤a（x＞1）有解”的（
）
A．充分⽽不必要条件
B．必要⽽不充分条件
C．充分必要条件
D．即不充分也不必要条件
【分析】根据题意，分析代数式
的最⼩值，由此结合充分必要条件的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，
＝x+
＝（x﹣1）+
+1，
当x＞1 时，x﹣1＞0，则有（x﹣1）+
≥2
＝2，当且仅当x﹣1＝1 时等号成⽴，
则有
＝（x﹣1）+
+1≥3，即当x＞1 时，
有最⼩值3，
若a≥4，关于x 的不等式
≤a（x＞1）有解，
反之，若关于x 的不等式
≤a（x＞1）有解，必有a≥3，a≥4 不⼀定成⽴，
故“a≥4”是“关于x 的不等式
≤a（x＞1）有解”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查基本不等式的性质以及应⽤，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
2．若两个正实数x，y 满⾜
+
＝1，且不等式
有解，则实数m 的取值范围是（
）
A．（﹣1，4）
B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）
C．（﹣4，1）
D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
【分析】根据题意，分析可得x+
＝（
+
）（x+
），由基本不等式的性质分析可得x+
的最⼩值，
由此可得4＜m2﹣3m 有解，解可得答案．
【解答】解：根据题意，若两个正实数x，y 满⾜
+
＝1，
则x+
＝（+
）（x+
）＝2+
+
≥2+2
＝4，当且仅当y＝2x 时等号成⽴，
不等式
有解，即4＜m2﹣3m 有解，
第7⻚（共18⻚）
变形可得m2﹣3m﹣4＞0，
解可得：m＞4 或m＜﹣1，即m 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）；
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式的性质以及应⽤，涉及⼀元⼆次不等式的解法，属于中档题．
3．命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，
”为真命题的⼀个充分不必要条件是（
）
A．a≥5
B．a≥4
C．a≤5
D．a≥6
【分析】⾸先求得实数a 的取值范围，然后结合选项确定满⾜题意的条件即可．
【解答】解：由于函数
在区间[1，2]上单调递减，
故函数在区间上的最⼤值为
，
从⽽
，
据此可得命题为真的⼀个充分不必要有条件为a≥6．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的单调性及其应⽤，恒成⽴问题的处理⽅法，充分不必要条件的判定等知识，
属于基础题．
4．若不等式
对于任意正数a，b 恒成⽴，则实数λ的取值范围为（
）
A．
B．（﹣∞，1）
C．（﹣∞，2）
D．（﹣∞，3）
【分析】⾸先将不等式
变形为
，利⽤
可求．
【解答】解：由不等式
可得
，由于
，∴λ＜2，
故选：C．
【点评】本题考查不等式的性质，基本不等式的应⽤，属于基础题
⼆．多选题（共1 ⼩题）
（多选）5．已知a＞0，b＞0 且5a+3﹣b＞5b+3﹣a，则下列结论中正确的是（
）
A．a2＞b2
B．
C．
第8⻚（共18⻚）
D．
【分析】根据题意，设f（x）＝5x﹣3﹣x＝5x﹣（
）x，分析分（x）的单调性，结合题意可得a＞b＞0，
据此依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，设f（x）＝5x﹣3﹣x＝5x﹣（）x，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，
若5a+3﹣b＞5b+3﹣a，变形可得5a﹣3﹣a＞5b﹣3﹣b，即f（a）＞f（b），
必有a＞b，
⼜由a＞0，b＞0，则有a＞b＞0，
据此依次分析选项：
对于A，若a＞b＞0，必有a2＞b2，A 正确；
对于B，若a＞b＞0，则
＞
，即
，B 正确，
对于C，若
＞3，必有2a+b＞6a﹣3b，变形可得4a＜4b，即a＜b，不成⽴，C 错误，
对于D，设g（x）＝ln（
）+
＝ln（1+
）+
，则g（x）在（0，+∞）上为减函数，
⼜由a＞b＞0，则g（a）＞g（b），即ln（
）+
＜ln（
）+
，变形可得ln（
）﹣ln（
）
＞﹣，D 正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查不等式的性质以及应⽤，涉及函数单调性的判断以及应⽤，属于中档题．
三．填空题（共18 ⼩题）
6．已知函数
，则不等式f（x）＞0 的解集是
（﹣∞，2）．
【分析】根据题意，原不等式等价于（）x+（）x＞1，设g（x）＝（）x+（）x，分析g（x）的单
调性以及特殊值，原不等式可以转化为g（x）＞g（2），结合单调性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，不等式f（x）＞0，即log2
＞log21，
则有
＞1，变形可得（）x+（）x＞1，
设g（x）＝（）x+（）x，
第9⻚（共18⻚）
⼜由g（2）＝
+
＝1，
故（）x+（）x＞1⇔g（x）＞g（2），
函数y＝（）x 和函数y＝（）x 都是R 上的减函数，故函数g（x）也是R 上的减函数，
若g（x）＞g（2），必有x＜2，
即不等式的解集为（﹣∞，2）．
故答案为：（﹣∞，2）．
【点评】本题考查对数不等式的解法，注意对数的运算性质以及函数的单调性，属于基础题．
7．不等式3x+lgx≤3 的解集是
（0，1]
．
【分析】根据题意，设f（x）＝3x+lgx，分析f（x）的定义域和单调性，可得3x+lgx≤3⇔f（x）≤f（1），结
合函数的单调性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设f（x）＝3x+lgx，其定义域为（0，+∞），
函数y＝3x 和y＝lgx 在（0，+∞）上都是增函数，则函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
⼜由f（1）＝3+0＝3，
⽽3x+lgx≤3⇔f（x）≤f（1），
⽽函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，则0＜x≤1，即不等式的解集为（0，1]．
故答案为：（0，1]．
【点评】本题考查函数与不等式的关系，涉及函数的单调性，属于基础题．
8．已知不等式
对任意正实数x，y 恒成⽴，则正实数a 的最⼩值为
9
．
【分析】由题设知
≥16 对于任意正实数x，y 恒成⽴，所以1+a+
≥16，由此能求
出正实数a 的最⼩值．
【解答】解：∵不等式
对任意正实数x，y 恒成⽴，
∴
≥16 对于任意正实数x，y 恒成⽴
∵
＝1+
≥1+a+2
，
∴1+a+
≥16
即
≥0，⼜a＞0，
第10⻚（共18⻚）
从⽽
＝9．
故答案为：9
【点评】本题考查不等式的综合应⽤，考查运算求解能⼒，推理论证能⼒；考查化归与转化思想．对数
学思维的要求⽐较⾼，是⾼考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
9．定义在R 上的运算：x*y＝x（1﹣y），若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1 对⼀切实数x 恒成⽴，则实数y 的
取值范围是
．
【分析】由题意可得，（x﹣y）*（x+y）＝（x﹣y）（1﹣x﹣y）＜1 对于任意的x 都成⽴，即y2﹣y＜x2﹣x+1
对于任意的x 都成⽴，构造函数g（x）＝x2﹣x+1，只要y2﹣y＜g（x）min 即可．
【解答】解：由题意可得，（x﹣y）*（x+y）＝（x﹣y）（1﹣x﹣y）＜1 对于任意的x 都成⽴
即y2﹣y＜x2﹣x+1 对于任意的x 都成⽴
设g（x）＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+
所以，g（x）min＝
所以y2﹣y＜
所以﹣＜y＜
所以实数y 的取值范围是
故答案为：
【点评】本题以新定义为载体考查了函数的恒成⽴问题的求解，解题的关键是把恒成⽴问题转化为求函
数的最值问题，体现了转化思想的应⽤．
10．已知正数a，b 满⾜5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则
的取值范围是
[e，7]
．
【分析】由题意可求得
≤7；由lnb≥a 可得
≥
（b≥
），设函数f（x）＝
（x≥
），利⽤其
导数可求得f（x）的极⼩值，也就是
的最⼩值，于是问题解决．
【解答】解：∵正数a，b 满⾜5﹣3a≤b≤4﹣a，
∴5﹣3a≤4﹣a，
∴a≥
．
∵5﹣3a≤b≤4﹣a，
∴
﹣3≤
≤
﹣1．
第11⻚（共18⻚）
从⽽
≤7，
∵lnb≥a，∴
≥
（b≥
），
设f（x）＝
（x≥
），则f′（x）＝
，
当0＜x＜e 时，f′（x）＜0，当x＞e 时，f′（x）＞0，当x＝e 时，f′（x）＝0，
∴当x＝e 时，f（x）取到极⼩值，也是最⼩值．
∴f（x）min＝f（e）＝e．
∴
≥e，
∴
的取值范围是[e，7]．
故答案为：[e，7]．
【点评】本题考查不等式的综合应⽤，得到
≥
（b≥
），通过构造函数求
的最⼩值是关键，也
是难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能⼒，属于难题．
11．已知函数f（x）＝ax2+bx（a≠0）满⾜1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤5，则f（﹣3）的取值范围是
[12，
27]
．
【分析】设f（﹣3）＝λf（﹣1）+µf（1），根据⼆次函数解析式和⽐较系数法，解出λ＝6 且µ＝3，再根据
不等式的基本性质将同向不等式相加，即可得到f（﹣3）的取值范围．
【解答】解：∵f（x）＝ax2+bx，
∴f（﹣1）＝a﹣b，f（1）＝a+b
由此可得不等式组
即
设f（﹣3）＝λf（﹣1）+µf（1），可得9a﹣3b＝λ（a﹣b）+µ（a+b）
∴
，解之得
，得f（﹣3）＝6f（﹣1）+3f（1），
∵1≤f（﹣1）≤2，∴6≤6f（﹣1）≤12，
同理可得6≤3f（1）≤15，两个不等式相加得：12≤6f（﹣1）+3f（1）≤27
即f（﹣3）的取值范围是[12，27]
故答案为：[12，27]
【点评】本题给出⼆次函数，在已知f（﹣1）和f（1）的取值范围情况下求f（3）的取值范围，着重考
第12⻚（共18⻚）
查了⽐较系数法和⼆元⼀次不等式的解法等知识，属于中档题．
12．对⼀切正整数n，不等式
恒成⽴，则实数x 的取值范围是
（﹣∞，0）∪[1，+∞）．
【分析】确定右边对应函数的值域，将恒成⽴问题转化为具体不等式，即可求得x 的取值范围．
【解答】解：考查y＝
，⼀切正整数n，函数为单调增函数，∴1＞y≥
∵对⼀切正整数n，不等式
恒成⽴，
∴
∴
∴x＜0 或x≥1
∴实数x 的取值范围是（﹣∞，0）∪[1，+∞）
故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞）
【点评】本题考查恒成⽴问题，考查函数的值域，解题的关键是确定右边对应函数的值域，属于中档题．
13．已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）为减函数，f（2）＝0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＜0 的解集为
{x|x
＜﹣1 或x＞3}
．
【分析】求不等式（x﹣1）f（x﹣1）＜0 的解集，先转化为求不等式xf（x）＜0 的解集，根据奇函数的
单调性作出“概念图”，分类讨论即可解决．
【解答】解：作函数f（x）的“概念图”如右
先求不等式xf（x）＜0 的解，
当x＞0 时（y 轴右侧），f（x）＜0（x 轴下⽅），∴x＞2
当x＜0 时（y 轴左侧），f（x）＞0（x 轴下⽅），∴x＜﹣2
可⻅不等式xf（x）＜0 的解为：x＜﹣2 或x＞2
再将x 换成x﹣1，
得：x﹣1＜﹣2 或x﹣1＞2 即x＜﹣1 或x＞3
故答案为{x|x＜﹣1 或x＞3}．
第13⻚（共18⻚）
【点评】本题考查了函数奇偶性与单调性的简单应⽤，关键是运⽤转化思想与分类讨论思想，同时作图
是该题的突破点，属于基础题．
14．不等式
对于任意正整数n 恒成⽴，则实数a 的取值范围是
．
【分析】根据n 是奇数与偶数分为两类，将a 分离出来，分别解出两种情况下的参数的取值范围，取其
交集即得实数a 的取值范围
【解答】解：当n 是奇数时，由题设
对于任意正整数n 恒成⽴，得对于任意
正整数n 恒成⽴﹣a＜5+
于任意正整数n 恒成⽴，解得﹣a≤5，即a≥﹣5
当n 是偶数时，a＜5﹣
对于任意正整数n 恒成⽴，故a＜5﹣＝
实数a 的取值范围是
故答案为
【点评】本题考查不等式的综合，考查了⽤分类讨论的⽅法探讨不等式恒成⽴求参数的问题，求解本题
的关键是想到了分类讨论求解，本题易因正整数n 这个条件引不起重视出错，做题是要认真审题，把题
⽬中每⼀个关系，条件理解清楚．
15．已知x＞0，y＞0，xy＝x+2y，若xy≥m+2 恒成⽴，则m 的范围是
（﹣∞，6]
．
【分析】由题设条件x＞0，y＞0，xy＝x+2y，利⽤基本不等式得到关于xy 的不等式，解出其取值范围，
令其最⼩值⼤于等于m+2 即可．
【解答】解：由题意x＞0，y＞0，xy＝x+2y，得xy≥2
，
解得xy≥8，故有m+2≤8，得m≤6
即m 的范围是（﹣∞，6]
故答案为（﹣∞，6]
【点评】本题考点是不等式的综合，综合考查基本不等式与不等式的解法，恒成⽴的问题⼀般与最值有
关，求解本题的关键利⽤基本不等式将⽅程变为不等式，此转化是基本不等式的⼀个重要运⽤，注意总
结其特点．
16．f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x﹣2）在[
，1]上恒成⽴，则实
数a 的取值范围是
[﹣2，0]
．
【分析】本题考查的是不等式、函数性质以及恒成⽴有关的综合类问题．在解答时，应先分析好函数的
单调性，然后结合条件f（ax+1）≤f（x﹣2）在[
，1]上恒成⽴，将问题转化为有关x 的不等式在[
，1]
第14⻚（共18⻚）
上恒成⽴的问题，在进⾏解答即可获得问题的解答．
【解答】解：由题意可知：f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，
∴由f（ax+1）≤f（x﹣2）在[
，1]上恒成⽴，
可知：|ax+1|≤|x﹣2|在[
，1]上恒成⽴，
∴
在[
，1]上恒成⽴，
∴﹣2≤a≤0．
故答案为：[﹣2，0]．
【点评】本题考查的是不等式、函数性质以及恒成⽴有关的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了
函数的性质、恒成⽴的思想以及问题转化的能⼒．值得同学们体会与反思．
17．已知△ABC 的三边⻓a，b，c 满⾜b+c≤2a，c+a≤2b，则
的取值范围是
．
【分析】由题设条件，本题要结合三⻆形的性质两边之和⼤于第三边及题设中的不等式b+c≤2a，c+a≤
2b，利⽤不等式的性质进⾏变形逐步寻求得到
的取值范围
【解答】解：三⻆形必须满⾜两边之和⼤于第三边，所以b+c＞a，c+a＞b，结合已知得a＜b+c≤2a
①
b＜c+a≤2b
②将①变形得﹣2a≤﹣b﹣c＜﹣a
③将②③相加得b﹣2a＜a﹣b＜2b﹣a 由不等式左
边b﹣2a＜a﹣b 得3a＞2b，所以
＜
由不等式右边a﹣b＜2b﹣a 得2a＜3b，所以
＞
所以
的取
值范围是
＜＜
故答案为
【点评】本题考查不等式的综合，熟练掌握不等式的性质，能灵活运⽤不等式的性质进⾏变形，求出要
求的范围是解答本题的关键，本题中有⼀个容易漏掉的隐含条件，三⻆形中两边之和⼤于第三边，对题
设中隐含条件的挖掘对解题的完整性很重要，谨记
18．不等式
在区间[﹣1，1]上恒成⽴，则实数a 的取值范围是
．
【分析】本题只要根据条件分别作函数
和y＝x+a 的图象，利⽤数形结合即可解决．
【解答】解：分别作函数
和y＝x+a 的图象如右
前者是以原点为圆⼼的单位圆的上半部分，后者是斜率为1 的直线．
不等式
的解即半圆在直线的下⽅的点的横坐标；
第15⻚（共18⻚）
不等式恒成⽴即半圆都在直线的下⽅
由图可⻅，只需直线在与圆相切的位置的上⽅，即
则a 的取值范围是
【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及不等式的应⽤，主要利⽤数形结合思想解此类恒成⽴问题，
属于基础题．
19．已知f（x）＝ax+
，若﹣3≤f（1）≤0，3≤f（2）≤6，则f（3）的取值范围为
．
【分析】本题利⽤f（1）、f（2）解⽅程组表示a、b，再将a、b 代⼊f（3），结合f（1）、f（2）的范围即
可得到答案．
【解答】解：由题意有
解得：
，
∴把f（1）和f（2）的范围代⼊得
；
故答案为
．
【点评】本题考查不等式的综合应⽤，解题的关键是利⽤待定系数法确定f（3），⽤a、b 的范围求解是
本题的误区，应引起注意．
20．不等式
的解集为{x|x＜1 或x＞2}，则a 的值为
．
【分析】把不等式转化为等价的⼀元⼆次不等式[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＜0，即（a﹣1）x2+ax﹣1＜0，由
⼀元⼆次不等式的解集的端点与相应⼀元⼆次⽅程的根之间的关系，建⽴⽅程求参数．
【解答】解：不等式
等价于[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＜0 即（a﹣1）x2+（2﹣a）x﹣1＜0
∵不等式
的解集为{x|x＜1 或x＞2}，
∴1+2＝
，1×2＝
，解得a＝
第16⻚（共18⻚）
故答案为：．
【点评】本题考点是不等式的综合，综合考查了不等式的解集已知的情况下，不等式解集的端点与不等
式相应⽅程的根的关系，本题解题关键是将不等式转化为等价的⼀元⼆次不等式，借助⼀元⼆次不等式
与⼀元⼆次⽅程的知识求参数．
21．设实数x，y 满⾜3≤xy2≤8，4≤
≤9，则
的取值范围是
27
．
【分析】⾸先分析题⽬求
的最⼤值的问题．不等式
的等价转换思想可得到
，然后
求解各个表达式的范围，即可求解
的最⼤值．
【解答】解：因为实数x，y 满⾜3≤xy2≤8，4≤
≤9，
则有：（
）2∈[16，81]，
∈[
，]，
再根据
＝
∈[2，27]，即当且仅当x＝3，y＝1 取得等号，
即
的最⼤值是27．
故答案为：27．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质和等价转化思想，等价转换思想在考试中应⽤不是很⼴泛，但
是对于特殊题⽬能使解答更简便，也需要注意，属于中档题．
22．若﹣2≤x＜﹣1 时，x2+2ax+a＜0 成⽴，则a 的取值范围为
A＞
．
【分析】由﹣2≤x＜﹣1 时，x2+2ax+a＜0 成⽴，可得a＞﹣
，﹣2≤x＜﹣1 时恒成⽴，求出右边的最
⼤值，即可得出结论．
【解答】解：∵﹣2≤x＜﹣1 时，x2+2ax+a＜0 成⽴，
∴a＞﹣
，﹣2≤x＜﹣1 时恒成⽴
令g（x）＝﹣
，x∈[﹣2，﹣1）即a＞g（x）max
第17⻚（共18⻚）
⽽g′（x）＝﹣
＜0，
∴函数﹣2≤x＜﹣1 时，单调递减，
∴g（x）max＝．
∴a＞．
故答案为：a＞．
【点评】本题主要考查了函数恒成⽴问题，此类问题常构造函数，转化为求解函数的最值问题：a＞f（x）
（或a＜f（x））恒成⽴⇔a＞f（x）max（或a＜f（x）min），体现了转化思想在解题中的应⽤．
23．已知函数y＝f（x）是R 上的减函数，函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若实数x，y 满⾜
不等式f（x2﹣2x）≤﹣f（2y﹣y2），且1≤x≤4，则
的取值范围是
[﹣，1]
．
【分析】由函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，可得函数f（x）是奇函数，再结合f（x2﹣2x）
+f（2y﹣y2）≤0 可得（x﹣y）（x+y﹣2）≥0（1≤x≤4），进⽽利⽤线性规划的知识解决问题．
【解答】解：函数f（x）是定义在R 上的单调递减函数．
因为函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，
所以函数y＝f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数f（x）是定义在R 上的奇函数．
⼜因为对于任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣2x）≤﹣f（2y﹣y2）成⽴，
所以f（x2﹣2x）≤f（﹣2y+y2）成⽴，
所以根据函数的单调性可得：对于任意的x，y∈R，不等式x2﹣2x≥y2﹣2y 成⽴，即（x﹣y）（x+y﹣2）≥
0（1≤x≤4），
所以可得其可⾏域，如图所示：
因为
＝
，
所以
表示点（x，y）与点（0，0）连线的斜率，
所以结合图象可得：的最⼩值是直线OC 的斜率﹣，最⼤值是直线AB 的斜率1，
所以
的范围为：[﹣，1]．
故答案为：[﹣，1]．
第18⻚（共18⻚）
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握抽象函数的性质的证明与判断，如单调性、奇偶性的证明与判
断，并且熟练的利⽤函数的性质解有关的不等式，以及熟练掌握线性规划问题，此题综合性较强知识点
也⽐较零散，对学⽣掌握知识与运⽤知识的能⼒有⼀定的要求．
声明：试题解析著作权属菁优⽹所有，未经书⾯同意，不得复制发布⽇期：2024/5/2514:57:19；⽤户：13659236337；邮箱：13659236337；学号：33232166
第9⻚（共24⻚）
不等式篇—题型29～题型30 答案
⼀．选择题（共13 ⼩题）
1．柯⻄不等式（Cauchy﹣SchwarzLnequality）是法国数学家柯⻄与德国数学家施瓦茨分别独⽴发现的，它
在数学分析中有⼴泛的应⽤．现给出⼀个⼆维柯⻄不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当ad
＝bc 时即
时等号成⽴．根据柯⻄不等式可以得知函数
的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】运⽤柯⻄不等式直接求解即可．
【解答】解：该函数的定义域为
，由柯⻄不等式可得：
，
当且仅当
时取等号，即当
时取等号．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数最值的求法，柯⻄不等式的应⽤，考查运算求解能⼒，属于基础题．
2．已知3x+2y+z＝3，则x2+y2+2z2的取最⼩值时，
为（
）
A．
B．
C．3
D．
【分析】根据已知条件，结合柯⻄不等式，即可求解．
【解答】解：由柯⻄不等式得：3＝3x+2y+z≤
，
则x2+y2+2z2≥
．则根据等号成⽴条件知
，x＝，y＝，z＝，
所以
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了柯⻄不等式的应⽤，需要学⽣熟练掌握公式，属于基础题．
3．已知a，b，c∈R，满⾜（a+2）2+b2+（c+1）2＝12，则a+b+c 的最⼤值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
【分析】利⽤柯⻄不等式直接可以得出答案．
第10⻚（共24⻚）
【解答】解：（12+12+12）[（a+2）2+b2+（c+1）2]≥（a+2+b+c+1）2，
则（a+b+c+3）2≤3×12＝36，当且仅当a+2＝b＝c+1 时等号成⽴，
所以﹣6≤a+b+c+3≤6，则﹣9≤a+b+c≤3，
即a+b+c 的最⼤值为3，
故选：B．
【点评】本题考查柯⻄不等式的运⽤，考查运算求解能⼒，属于基础题．
4．已知x，y，z∈R，且x﹣2y+3z＝4，则（x+5）2+（y﹣1）2+（z+3）2的最⼩值是（
）
A．
B．
C．36
D．40
【分析】直接利⽤柯⻄不等式求解即可．
【解答】解：∵[（x+5）2+（y﹣1）2+（z+3）2][（12+（﹣2）2+32）]
≥[（x+5）+（﹣2）（y﹣1）+3（z+3）]2＝400，
∴（x+5）2+（y﹣1）2+（z+3）2≥
，
当且仅当
，⼜x﹣2y+3z＝4，即
，
，
时取等号，
∴（x+5）2+（y﹣1）2+（z+3）2的最⼩值为
．
故选：B．
【点评】本题考查柯⻄不等式的应⽤，基本知识的考查，考查了转化思想，属基础题．
5．x+y+z＝1，则2x2+3y2+z2的最⼩值为（
）
A．1
B．
C．
D．
【分析】利⽤柯⻄不等式：（2x2+3y2+z2）×（+
+1 ）≥（x+y+z）2这个条件进⾏证明．
【解答】证明：∵（2x2+3y2+z2）×（
+
+1 ）≥（x+y+z）2＝1，
∴2x2+3y2+z2≥1×
＝
，
故2x2+3y2+z2的最⼩值为
，
故选：C．
【点评】本题考查⽤综合法证明不等式、柯⻄不等式在函数极值中的应⽤，关键是利⽤：（2x2+3y2+z2）×
（
+
+1 ）≥（x+y+z）2
6．已知实数x、y、z 满⾜x+2y+3z＝6，则x2+y2+z2的最⼩值是（
）
第11⻚（共24⻚）
A．
B．3
C．
D．6
【分析】直接利⽤柯⻄不等式求解即可．
【解答】解：由柯⻄不等式有，（12+22+32 ）（x2+y2+z2 ）≥（x+2y+3z ）2 ，则
，
当且仅当“
”时取等号．
故x2+y2+z2的最⼩值是
．
故选：C．
【点评】本题主要考查利⽤柯⻄不等式求最值，考查运算求解能⼒，属于基础题．
7．已知a，b，c 均⼤于1，loga3+logb9+logc27＝12，则ab2c3的最⼩值为（
）
A．243
B．27
C．81
D．9
【分析】由对数的运算性质与柯⻄不等式求解即可
【解答】解：由a，b，c 均⼤于1，loga3+logb9+logc27＝12，可得loga3+2logb3+3logc3＝12，
所以
＝loga3+2logb3+3logc3
＝
（loga3+2logb3+3logc3）（loga3+2logb3+3logc3）
≥
＝
，
当且仅当log3c＝logc3，log3b＝logb3，log3a＝loga3 时，即a＝b＝c 取等号，
所以
，
所以ab2c3≥27，
即ab2c3的最⼩值为27，
故选：B．
【点评】本题考查对数运算法则的应⽤，柯⻄不等式在函数极值中的应⽤，是中档题．
8．已知2x+3y+4z＝10，则x2+y2+z2的最⼩值为（
）
A．
B．29
C．0
D．9
【分析】由条件利⽤柯⻄不等式可得，100＝（2x+3y+4z）2≤（x2+y2+z2）（22+32+42），由此求得x2+y2+z2
第12⻚（共24⻚）
的最⼩值．
【解答】解：由柯⻄不等式可得，（2x+3y+4z）2≤（x2+y2+z2）（22+32+42），
由条件可得，x2+y2+z2≥
，
当且仅当
＝＝，即当x＝
，y＝
，y＝
时取等号，
故x2+y2+z2的最⼩值为
故选：A．
【点评】本题主要考查柯⻄不等式应⽤，属于基础题．
9．已知x，y，z∈R+且x+y+z＝1 则x2+y2+z2的最⼩值是（
）
A．1
B．
C．
D．2
【分析】直接利⽤：（x2+y2+z2）×（1+1+1 ）≥（x+y+z）2这个柯⻄不等式求x2+y2+z2的最⼩值．
【解答】解：∵（x2+y2+z2）×（1+1+1 ）≥（x+y+z）2＝1，
∴x2+y2+z2≥1×
＝，
当且仅当x＝y＝z 时取等号，
故x2+y2+z2的最⼩值为
，
故选：B．
【点评】本题考查⽤⼀般形式的柯⻄不等式，关键是利⽤柯⻄不等式：（x2+y2+z2）×（1+1+1 ）≥（x+y+z）
2．
10．已知x+3y+5z＝6，则x2+y2+z2的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．6
【分析】运⽤柯⻄不等式，可得（x+3y+5z）2≤（12+32+52）（x2+y2+z2），从⽽得到x2+y2+z2的最⼩值．
【解答】解：由柯⻄不等式，可得（x+3y+5z）2≤（12+32+52）（x2+y2+z2），
即36≤35（x2+y2+z2），所以x2+y2+z2≥
，
当x＝＝时，取等号，
则x2+y2+z2的最⼩值为
．
故选：C．
【点评】本题考查利⽤柯⻄不等式求最值，考查转化思想和运算能⼒，属于基础题．
第13⻚（共24⻚）
11．若实数x+2y+3z＝1，则x2+y2+z2的最⼩值为（
）
A．14
B．
C．29
D．
【分析】由柯⻄不等式可得1＝（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32）＝14（x2+y2+z2），由不等式的性质
可得．
【解答】解：由柯⻄不等式可得1＝（x+2y+3z）2
≤（x2+y2+z2）（12+22+32）＝14（x2+y2+z2），
∴x2+y2+z2≥
，当且仅当x＝＝，即x＝
，y＝
，z＝
时取等号．
故x2+y2+z2≥
．
故选：B．
【点评】本题考查柯⻄不等式在最值中的应⽤，属于基础题．
12．已知2x+3y+4z＝1，则x2+y2+z2的最⼩值是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由条件利⽤柯⻄不等式可得（x2+y2+z2）（4+9+16）≥（2x+3y+4z）2＝1，由此求得x2+y2+z2的最⼩
值．
【解答】解：∵2x+3y+4z＝1，利⽤柯⻄不等式可得（x2+y2+z2）（4+9+16）≥（2x+3y+4z）2＝1，
故x2+y2+z2≥
，当且仅当
时，取等号，
故x2+y2+z2 的最⼩值为
，
故选：D．
【点评】本题主要考查柯⻄不等式应⽤，属于基础题．
13．∀x，y，z∈（0，+∞），
，则m 的取值范围为（
）
A．
B．（﹣∞，3]
C．（﹣∞，2]
D．
【分析】不等号左边可以运⽤两次不等式求最⼩值，右边可以求出最⼤值，则可以解出．
【解答】解：∵x，y∈（0，+∞），
∴
（当且仅当
时等号成⽴），
⼜（﹣z2+2z+m）max＝m+1，
所以m+1≤4，即m≤3，
第14⻚（共24⻚）
故选：B．
【点评】考查了不等式求参数的⽅法．不等号左边和右边的参数不同，所以分别求最值，代⼊可解
⼆．解答题（共14 ⼩题）
14．已知关于x 的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥|t﹣1|+t 有解．
（1）求实数t 的取值范围；
（2）若a，b，c 均为正数，m 为t 的最⼤值，且2a+b+c＝m．求证：
．
【分析】（1）令f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，求出f（x）的最⼤值，由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥|t﹣1|+t 有解可知f（x）
max≥|t﹣1|+t，从⽽得到关于t 的不等式3≥|t﹣1|+t，即可解出t 的取值范围；
（2）由柯⻄不等式得（a2+b2+c2）（22+12+12）≥（2a+b+c）2即可证明结论．
【解答】解：（1）令
，
所以当x≥2 时，f（x）取得最⼤值为3，
关于x 的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥|t﹣1|+t 有解等价于f（x）max≥|t﹣1|+t，即3≥|t﹣1|+t，
当t≥1 时，上述不等式转化为3≥t﹣1+t，解得1≤t≤2，
当t＜1 时，上述不等式转化为3≥﹣t+1+t，解得t＜1，
综上所述t 的取值范围为t≤2，
故实数t 的取值范（﹣∞，2]．
（2）证明：根据（1）可得a，b，c 均为正实数，且满⾜2a+b+c＝2，
所以由柯⻄不等式可得（a2+b2+c2）（22+12+12）≥（2a+b+c）2＝4，
当且仅当
，
，时取等号，
所以
．
【点评】本题主要考查不等式的证明，考查转化能⼒，属于中档题．
15．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|，不等式f（x）≥5 的解集为{x|x≤﹣2 或x≥3}．
（1）求实数a 的值；
（2）若f（x）的最⼩值为M，b+c＝M，求证：
．
【分析】（1）根据绝对值的定义，等价转化不等式，解得含参解集，建⽴⽅程，可得答案；
（2）利⽤绝对值的三⻆不等式，结合基本不等式“1”的妙⽤，可得答案．
【解答】解：（1）由f（x）≥5，得|x+a|+|x﹣2|≥5，因为不等式f（x）≥5 的解集为{x|x≤﹣2 或x≥3}，
第15⻚（共24⻚）
所以|﹣2+a|+|﹣2﹣2|＝5，|3+a|+|3﹣2|＝5，得a＝1；
经验证，a＝1 符合题意，故a＝1．
（2）证明：因为f（x）＝|x+1|+|x﹣2|≥|x+1﹣（x﹣2）|＝3，
当且仅当（x+1）（x﹣2）≤0 时取等号，所以M＝3，所以b+c＝3．
所以
，
当且仅当
，即b＝1，c＝2 时取等号．
【点评】本题主要考查不等式的证明，考查转化能⼒，属于中档题．
16．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|，实数a，b，c 满⾜ab+bc+ca＝3．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥5；
（Ⅱ）证明：对任意实数a，b，c，∃x∈R，使a2+b2+c2≥f（x）．
【分析】（Ⅰ）分类讨论，即可求得不等式的解集，得到答案；
（Ⅱ）证明对任意实数a，b，c，∃x∈R，使a2+b2+c2≥f（x）成⽴，转化为证明a2+b2+c2的最⼩值⼤于等
于f（x）的最⼩值即可．
【解答】解：（Ⅰ）当x≤﹣1 时，f（x）＝﹣2x+1﹣2x﹣2＝﹣4x﹣1，则f（x）≥5 可化为﹣4x﹣1≥5，解得x
≤﹣；
当﹣1＜x＜时，f（x）＝﹣2x+1+2x+2＝3，f（x）≥5，⽆解；
当x≥
，f（x）＝2x﹣1+2x+2＝4x+1，则f（x）≥可化为4x+1≥5，解得x≥1；
故不等式的解集为：（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）；
（Ⅱ）证明：若对任意实数a，b，c，∃x∈R，使a2+b2+c2≥f（x）成⽴，
则只需证明a2+b2+c2的最⼩值⼤于等于f（x）的最⼩值即可，
∵ab+bc+ca＝3，∴2（a2+b2+c2）≥2ab+2bc+2ca＝6，当且仅当a＝b＝c 时等号成⽴取得最⼩值，
∴a2+b2+c2的最⼩值为3，
⼜由（Ⅰ）可得fmin（x）＝3，不等式得证．
【点评】本题考查绝对值不等式以及基本不等式，属于中档题．
17．已知实数a，b，c 满⾜a+b+c＝1．
（1）若
，求证：
；
（2）若a，b，c∈（0，+∞），求证：
．
第16⻚（共24⻚）
【分析】（1）由题意可得b+c＝1﹣a，⼜
，结合基本不等式可得
，
化简求得
；
（2）由已知条件得
，同理可得
，
，三式
相加证得结论．
【解答】证明：（1）∵a+b+c＝1，∴b+c＝1﹣a．
⼜∵
，
∴
，当且仅当b＝c 时等号成⽴，
整理得5a2﹣2a≤0，故
；
（2）∵a+b+c＝1，且a，b，c∈（0，+∞），
∴1﹣a＞0，1﹣b＞0，1﹣c＞0，则
，
同理可得
，
．
以上三式相加得
，当且仅当
时等号成⽴．
【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应⽤，是中档题．
18．已知关于x 的不等式|x+2|﹣|2x﹣2|≥m 有解．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）若a、b、c 均为正数，n 为m 的最⼤值，且a+3b+4c＝n．求证：
．
【分析】（1）写出分段函数解析式，求其最⼤值，即可求解实数m 的取值范围；
（2）把要证明的不等式左侧变形，然后利⽤柯⻄不等式证明．
【解答】解：（1）令f（x）＝|x+2|﹣|2x﹣2|＝
，
当x≤﹣2 时，f（x）≤﹣6，
当﹣2＜x＜1 时，﹣6＜f（x）＜3，
当x≥1 时，f（x）≤3．
∴f（x）的最⼤值为3，⽽关于x 的不等式|x+2|﹣|2x﹣2|≥m 有解，
第17⻚（共24⻚）
∴f（x）max＝3≥m，
则实数m 的取值范围为（﹣∞，3]；
证明：（2）由（1）可知，m 的取值范围为（﹣∞，3]，且n 为m 的最⼤值，∴n＝3，
则a+3b+4c＝3，即a+b+2b+4c＝3，
由柯⻄不等式可得[（a+b）2+（2b）2+c2]（12+12+42）≥（a+b+2b+4c）2＝9，
当且仅当
，即a＝
，b＝
，c＝时等号成⽴．
⼜a2+2ab+5b2+c2＝（a+b）2+4b2+c2，
∴18（a2+2ab+5b2+c2）≥9，即
．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，训练了柯⻄不等式的应⽤，考查逻辑思维能⼒与推理论证能⼒，
是中档题．
19．已知函数f（x）＝|x﹣2m|﹣m（m＜0）．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥2x 的解集；
（Ⅱ）当m＝﹣2 时，函数f（x）的最⼩值n，若⾮零实数a，b，c 满⾜a2+b2+c2＝n，证明：
．
【分析】（Ⅰ）分类讨论，取绝对值即可；
（Ⅱ）利⽤柯⻄不等式即可解决．
【解答】解：（Ⅰ）当x≥2m 时，x﹣3m≥2x，解得2m≤x≤﹣3m；
当x＜2m 时，m﹣x≥2x，x≤3m，解得x＜2m；
综述，不等式的解集为{x|x≤﹣3m}；
（Ⅱ）由题意，当m＝﹣2 时，f（x）的最⼩值为2，∴a2+b2+c2＝2，
∴
＝
+
+
＝
+
+
﹣3
＝
（
+
+
）﹣3
≥
（
+
+
）﹣3＝，
当且仅当a2＝b2＝c2时等号成⽴，不等式得证．
第18⻚（共24⻚）
【点评】本题考查绝对值不等式和柯⻄不等式，属于中档题．
20．已知函数f（x）＝|x﹣2|+m|x+1|．
（1）当m＝2 时，求不等式f（x）≥8 的解集；
（2）若
，证明：f（x）≥a+b．
【分析】（1）分类讨论去绝对值求解即可；
（2）利⽤基本不等式结合⽴⽅和公式求出a+b≤3，再求出f（x）≥3 即可．
【解答】解：（1）当m＝2 时，
，
当x＞2 时，
；
当﹣1≤x≤2 时，f（x）＝x+4≥8，x≥4 和﹣1≤x≤2 ⽭盾，舍去；
当x＜﹣1 时，
；
故f（x）≥8 的解集为
；
证明：（2）因为
，所以
，
则
，
由均值不等式可得，
，
所以
，
所以a+b≤3，当且仅当
时等号成⽴，
⼜m＝1，f（x）＝|x﹣2|+|x+1|≥|（x﹣2）﹣（x+1）|＝3，
所以f（x）≥a+b 成⽴．
【点评】本题考查了绝对值不等式的求解和基本不等式的应⽤，属于中档题．
21．已知a，b，c 均为正实数，且满⾜9a+4b+4c＝4．
（1）求
的最⼩值；
（2）求证：
．
【分析】（1）结合已知等式，将
化为
，利⽤基本不等式，即可
求得答案；
第19⻚（共24⻚）
（2）利⽤柯⻄不等式，即可证明原不等式．
【解答】（1）解：∵a，b，c 均为正实数，且9a+4b+4c＝4，
∴
，当且仅当
，
即
时等号成⽴；
（2）证明：由柯⻄不等式有（9a2+b2+c2）（32+42+42）≥（9a+4b+4c）2＝16，
∴
．
当且仅当
，即
时等号成⽴．
即原命题得证．
【点评】本题考查基本不等式与柯⻄不等式的应⽤，考查论证求解能⼒，是中档题．
22．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝2f（x）﹣|2x+1|的最⼤值是λ．
（1）求λ的值；
（2）若a＞0，b＞0，且a+b＝λ，证明：
．
【分析】（1）根据三⻆不等式，即可求解；
（2）根据基本不等式，即可证明．
【解答】解：（1）因为f（x）＝|x﹣2|，所以g（x）＝2f（x）﹣|2x+1|＝|2x﹣4|﹣|2x+1|，
由不等式性质||a|﹣|b||⩽|a±b|⩽|a|+|b|，知g（x）⩽|（2x﹣4）﹣（2x+1）|＝5，
所以λ＝5；
（2）证明：由（1）知a+b＝5，且a+1＞0，b+2＞0，a+1+b+2＝8，
令m＝a+1＞0，n＝b+2＞0，则有
（当且仅当m＝n 时，等号成⽴），
所以
，
所以
（当且仅当m＝n 时，等号成⽴），
所以
．
【点评】本题考查三⻆不等式的应⽤，基本不等式的应⽤，属中档题．
23．若a，b 均为正实数，且满⾜a2+b2＝2．
（1）求2a+3b 的最⼤值；
第20⻚（共24⻚）
（2）求证：4≤（a3+b3）（a+b）≤
．
【分析】（1）利⽤三⻆换元设
，
，可得2a+3b ＝
cosθ+
sinθ＝
sin（θ+φ），由此容易得解；
（2）由（1）可得ab＝sin2θ，进⽽可得（a3+b3）（a+b）＝（2+2sin2θ）（2﹣sin2θ），再设sin2θ＝t，利⽤
⼆次函数的性质即可得证．
【解答】解：（1）由a＞0，b＞0 且a2+b2＝2，
可设
，
，
则
，
∵
，
∴2θ∈（0，π），
∴ab∈（0，1]；
∵2a+3b＝
cosθ+
sinθ＝
sin（θ+φ），
其中
且
，
∴当
时，2a+3b 取得最⼤值
．
（2）证明：（a3+b3）（a+b）＝（a+b）2（a2+b2﹣ab）＝（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣ab）＝（2+2sin2θ）（2﹣sin2θ），
令sin2θ＝t，则（a3+b3）（a+b）＝（2+2t）（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4（t∈（0，1]），
令f（t）＝﹣2t2+2t+4，
则f（t）在
上单调递增，在
上单调递减．
∴
，即
，
∴
．
【点评】本题考查不等式的证明以及三⻆函数的性质，考查函数与转化思想，三⻆换元思想，考查逻辑
推理能⼒以及运算求解能⼒，属于中档题．
24．已知函数f（x）＝|x﹣1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥3﹣2|x|的解集；
（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）+|x﹣5|的最⼩值为m，正数a，b 满⾜a+b＝m．求证：
．
【分析】（Ⅰ）根据f（x）≥3﹣2|x|，可得
或
或
，然后解不等式组即可得
第21⻚（共24⻚）
到解集；
（Ⅱ）先利⽤绝对值三⻆不等式求出g（x）的最⼩值，再利⽤基本不等式求出
的最⼩值即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝|x﹣1|，∴由f（x）≥3﹣2|x|，得|x﹣1|+2|x|≥3．
∵|x﹣1|+2|x|＝
，
∴由|x﹣1|+2|x|≥3，有
或
或
，
∴x≥
或x≤﹣，
∴不等式的解集为{x|x≥
或x≤﹣}．
（Ⅱ）证明：g（x）＝f（x）+|x﹣5|＝|x﹣1|+|x﹣5|≥|（x﹣1）﹣（x﹣5）|＝4，
∴g（x）min＝m＝4，∴a+b＝m＝4，
∴
＝
≥2a+2b﹣4＝4，
当且仅当a＝b＝2 时取等号，
∴
．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三⻆不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨
论思想，属中档题．
25．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x|+2|x+1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤4 的解集；
（Ⅱ）若f（x）的最⼩值为m，正实数a，b 满⾜
，证明：
．
【分析】（1）⾸先将函数写成分段函数，再分段得到不等式组，解得即可；
（2）⾸先画出f（x）的图象，即可求出m，即可得到a+b＝ab，利⽤基本不等式求出ab 的取值范围，
⼜
，令
，x∈[4，+∞），利⽤导数说明
函数的单调性，即可得证．
【解答】解：（1）∵f（x）＝|x﹣1|+|x|+2|x+1|＝
，
第22⻚（共24⻚）
∴f（x）≤4⇒
或
或
或
⇒x∈∅或
或﹣1＜x≤0 或
≤x≤﹣1，
∴f（x）≤4 的解集为
．
证明：（2）∵f（x）＝
，
∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）取最⼩值3，所以m＝3，
⼜正实数a，b 满⾜
，即
，所以a+b＝ab，
，解得ab≥4，当且仅当a＝b＝2 时取等号，
∴
＝
＝
，
令
，x∈[4，+∞），
则
，
当x≥4 时，x﹣2＞0，2x2﹣x﹣2≥2×42﹣4﹣2＝26，g'（x）＞0，
∴g（x）在[4，+∞）上单调递增，则g（x）≥g（4）＝0，
即
，当且仅当a＝b＝2 时取等号，
即
，当且仅当a＝b＝2 时取等号．
【点评】本题考查了解绝对值不等式，利⽤导数证明不等式，属于中档题．
26．已知函数f（x）＝2|x﹣1|+|x+2|，且f（x）的最⼩值为m．
（1）求m 的值；
（2）若a，b，c 为正数，且满⾜
．证明：
．
【分析】（1）去绝对值，再利⽤分段函数的单调性判断最⼩值；
（2）由柯⻄不等式即可证明不等式．
【解答】解：（1）由题意可得，当x＜﹣2 时，f（x）＝﹣3x﹣3；
当﹣2≤x＜1 时，f（x）＝x+5；当x≥1 时，f（x）＝3x+3；
∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在[﹣2，1）上单调递增，在[1，+∞）上单调递增，
第23⻚（共24⻚）
∴fmin（x）＝f（﹣2）＝3，即m＝3；
（2）由（1）知m＝3，∴a+b+c＝1，
所
以
由
柯
⻄
不
等
式
得
＝
≥
＝a2+b2+c2（当且仅当a＝b＝c＝时等号成⽴）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查柯⻄不等式在不等式的证明中的应⽤，考查运算求解
能⼒与逻辑推理能⼒，属于中档题．
27．设函数f（x）＝|2x﹣2|+|x+2|．
（1）解不等式f（x）≤6﹣x；
（2）令f（x）的最⼩值为T；正数a，b，c 满⾜a+b+c＝T，证明：
．
【分析】（1）分类讨论x 的取值，脱掉绝对值符号，解不等式，可得答案；
（2）分类讨论x 的取值，求出f（x）的最⼩值为T，将（+
+
）（a+b+c）展开，利⽤基本不等式证
明（+
+
）（a+b+c）≥16，即可证明结论．
【解答】解：（l）当x＜﹣2 时，f（x）≤6﹣x，即﹣2x+2﹣x﹣2≤6﹣x，解得x≥﹣3，故﹣3≤x＜﹣2；
当﹣2≤x≤1 时，f（x）≤6﹣x，即﹣2x+2+x+2≤6﹣x，∴4≤6，则﹣2≤x≤1；
当x＞1 时，f（x）≤6﹣x，即2x﹣2+x+2≤6﹣x，解得x≤
，故l＜x≤
，
综上所述，原不等式的解集为{x|﹣3≤x≤
}；
（2）证明：若x＜﹣2，则f（x）＝﹣3x＞6；
若﹣2≤x≤1，则f（x）＝﹣x+4≥3；
若x＞1，则f（x）＝3x＞3，
所以函数f（x）的最⼩值T＝3，故a+b+c＝3．
⼜a、b，c 为正数，
则（+
+
）×3＝（+
+
）（a+b+c）＝6+
+
+
+
+
+
≥6+2
+2
+2
＝16．
当且仅当a＝b＝，c＝时等号成⽴，
所以
．
第24⻚（共24⻚）
【点评】本题考查不等式的证明，基本不等式的换⼀法，属于中档题．
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