文档文本内容
平⾯向量——题型01～05
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
D
C
A
A
C
C
B
A
B
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
答案
C
D
A
D
D
D
A
A
B
A
D
题号
23
24
25
26
答案
A
C
C
A
⼀．选择题（共26 ⼩题）
1．已知平⾯向量，和实数λ，则“
”是“ 与共线”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：
，
则与共线，充分性成⽴，
若与共线，⽐如，
，
，
则
不成⽴，必要性不成⽴，
故“
”是“ 与共线”的充分不必要条件．
故选：A．
2．下列说法正确的是（
）
A．若
，
，则
B．若
，则2
C．对任意⾮零向量，
是和它同向的⼀个单位向量
D．零向量没有⽅向
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当
时，任意向量都与共线，则
不⼀定共线，故A 错误；
对于B，向量不能⽐较⼤⼩，故B 错误；
对于C，因为是⾮零向量，所以
是和它共线的⼀个单位向量，故C 正确；
对于D，因为向量是有⽅向和⼤⼩的量，所以零向量是有⽅向的，零向量的⽅向是任意的，故D 错误．
故选：C．
3．已知点A（4，3），B（1，﹣1），则与向量
共线的单位向量为（
）
A．（﹣3，﹣4）
B．（3，4）或（﹣3，﹣4）
C．
D．
或
【解答】解：∵A（4，3），B（1，﹣1），
∴
，
∴与
共线的单位向量为
，即
或
．
故选：D．
4．下列选项中，与向量（1，2）平⾏的单位向量为（
）
A．（4，2）
B．（﹣2，1）
C．
D．
【解答】解：设
，
则与平⾏的单位向量为：
，
即为
或
．
故选：C．
5．设
都是⾮零向量，下列四个条件，使⽤
成⽴的充要条件是（
）
A．与同向
B．
C．
且
D．
【解答】解：
分别表示与
同向的单位向量，
若使得
，则根据向量等的条件可知，与必须⽅向相同，
故使其成⽴的充要条件是与同向．
故选：A．
6．在梯形ABCD 中，
，AC 与BD 交于点E，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，
由
得，
，
所以
．
故选：A．
7．在△ABC 所在平⾯中有⼀点P 满⾜
，且
，则λ＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由
，可得
，
整理得
，
⼜
＝
，
则有
，
即
，
所以3λ+1＝0，即
．
故选：C．
8．已知向量，，在正⽅形⽹格中的位置如图所示．若＝λ +µ （λ，µ∈R），则λ＝（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】解：设⽔平向右的单位向量为
，竖直向上的单位向量为
，
由题意可得：
，
，
，
⼜＝λ +µ （λ，µ∈R），
则
＝
，
即
，
即
．
故选：C．
9．如图，在平⾏四边形ABCD 中，M 为BC 的靠近点C 的三等分点，AC 与MD 相交于点P，若
，
则xy＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵平⾏四边形ABCD 中，M 为BC 的靠近点C 的三等分点，AC 与MD 相交于点P，
∴
，
∴
，⼜
，
∴
，
．
故选：B．
10．已知四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则
等于（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由平⾏四边形法则可得：
＝
，
∴
＝
＝
．
故选：A．
11．设
是平⾯内的⼀个基底，则下⾯的四组向量不能构成基底的是（
）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【解答】解：对于A，可设
+
＝λ（
），可知λ＝2 且λ＝﹣1，显然不成⽴，所以这两个向
量可作为基底，
同理可知，C，D 选项中的两个向量都可构成基底；
对于B，
﹣6
＝﹣2（
﹣
），所以这两个向量不构成基底．
故选：B．
12．下列向量组中，能作为表示它们所在平⾯内所有向量的基底的是（
）
A．
＝（0，0），
＝（
，
）
B．
＝（1，3），
＝（3，9）
C．
＝（2，6），
＝（4，9）
D．
＝（1，﹣1），
＝（﹣3，3）
【解答】解：对于A，包含零向量，不能作为基底，故A 错误；
对于B，
，故两个向量不能作为基底，故B 错误；
对于C，两个向量不共线，可以作为基底，故C 正确；
对于D，
，故两个向量不能作为基底，故D 错误．
故选：C．
13．若
是平⾯内的⼀组基底，则下列四组向量中能作为平⾯向量的基底的是（
）
A．
B．2
C．
D．
【解答】解：因为
与
共线，A 不符合题意；
假设2 + ＝2（
），则
与
共线，B 不符合题意；
＝﹣2（
），即
与
共线，C 不符合题意；
不存在实数λ，使得
＝λ（
），即
与
不共线，D 符合题意．
故选：D．
14．已知，是不共线的向量，且
＝﹣，
＝2 +m ，
＝4 +3 ，若
与
不能作为平⾯内所
有向量的⼀组基底，则m＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由
＝﹣，
＝2 +m ，
可得
＝
，
若
与
不能作为平⾯内所有向量的⼀组基底，
则
与
共线，⼜
＝4 +3 ，
所以存在实数λ，使得
，
即
，
⼜，是不共线的向量，
则有
，解得
．
故选：A．
15．已知，是两个不共线的向量，命题甲：向量t
与
共线；命题⼄：
，则甲是⼄的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：向量
与
共线，等价于
，
因为
是两个不共线的⾮零向量，
所以由平⾯向量基本定理，可得
，
解得
，
所以甲是⼄的既不充分也不必要条件．
故选：D．
16．已知
不共线，且
，
，那么A，B，C 三点共线的充要条件为（
）
A．λ+µ＝2
B．λ﹣µ＝2
C．λµ＝1
D．λµ＝﹣1
【解答】解：由A，B，C 三点共线，可得
与
共线，
设
，则有
，
由
不共线，
可得
，解得λµ＝﹣1．
故选：D．
17．已知，是两个不共线的向量，若向量2 +3 ，x ﹣9 共线，则x＝（
）
A．6
B．4
C．﹣4
D．﹣6
【解答】解：，是两个不共线的向量，若向量2 +3 ，x ﹣9 共线，
则
，解得x＝﹣6．
故选：D．
18．
是平⾯内不共线两向量，已知
，
，
，若A，B，D 三
点共线，则k 的值为（
）
A．3
B．﹣3
C．﹣2
D．2
【解答】解：
是平⾯内不共线两向量，已知
，
，
，
可得
，
由A，B，D 三点共线，得
∥
，⼜
，
不共线，
则
，所以k＝3．
故选：A．
19．已知
是两个不共线的向量，
，若与是共线向量，则实数k 的
值为（
）
A．﹣6
B．6
C．
D．
【解答】解：
是两个不共线的向量，
，与是共线向量，
由向量
，可得
，
可得
，解得k＝﹣6．
故选：A．
20．如图，在△ABC 中，D 是BC 延⻓线上⼀点，且BD＝3BC，则
＝（
）
A．4
﹣3
B．3
﹣2
C．
﹣
D．
﹣
【解答】解：由BD＝3BC，得
，
结合
＝
﹣
且
＝
﹣
，
可得
﹣
＝3（
﹣
），整理得
＝3
﹣2
．
故选：B．
21．在△ABC 中，点D 在直线AB 上，且满⾜
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由点D 在直线AB 上，且
，
可得
，
则
＝
＝
＝
．
故选：A．
22．如图，在△ABC 中，
，P 是BN 的中点，若
，则m+n＝（
）
A．
B．1
C．
D．
【解答】解：∵在△ABC 中，
，P 是BN 的中点，
∴
＝
，
∴m＝，n＝，
∴m+n＝，
故选：D．
23．如图，在平⾏四边形ABCD 中，M 是AB 的中点，DM 与AC 交于点N，设
，
，则
＝
（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可知，
，
，设
，
∴
，
⼜点D，N，M 三点共线，所以
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
＝
＝
＝
，
故选：A．
24．如图，在△ABC 中，
为CD 的中点，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，可得
，
，
因为BP 是△DBC 的中线，所以
＝
＝
+
．
故选：C．
25．如图，四边形ABCD 为平⾏四边形，
＝2
，F 为线段BE 的中点，若以
，
为基底表示向量
，
则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平⾏四边形，∴
，
∵
，∴
，
∵F 是BE 中点，∴
，
∵
＝
＝
＝
＝
＝
．
故选：C．
26．在△ABC 中，AB＝1，AC＝2，∠A＝120°．D 为AB 的中点，P 为CD 上⼀点，且
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为D 为AB 的中点，
则
，
因为P 为CD 上⼀点，
设
，
则
＝
，
⼜
、
不共线，
所以
，
解得
，
所以
，
所以
＝
，
即
．
故选：A．
⼆．解答题（共10 ⼩题）
27．在△ABC 中，点D，E 分别在边BC 和边AB 上，且DC＝2BD，BE＝2AE，AD 交CE 于点P，设
，
．
（1）试⽤，表示
；
（2）在边AC 上有点F，使得
，求证：B，P，F 三点共线．
【解答】解：（1）设
，由题意
，
所以
，
①，
设
，由
，
，
＝
②，
由①、②得，
，
所以
，解得
，所以
；
（2）证明：由
，得
，所以
，
所以
，因为
与
有公共点B，所以B，P，F 三点共线．
28．已知⾮零向量，满⾜
，且
．
（1）若向量
与
共线，求实数k 的值；
（2）若向量
与
垂直，求实数k 的值；
【解答】解：（1）由向量
与
共线，
得存在实数µ，使得
，则
，
所以
．
（2）由
，
，得
，
由向量
与
垂直，得
，
整理得
，即
，⽽
，
所以
．
29．在平⾏四边形ABCD 中，
，
，AE 和BF 交于点P．
（1）若
，求x 的值；
（2）求
的值．
【解答】解：（1）根据题意得
，
结合
，且
，可得
，所以
；
（2）由（1）可得
，则
，即
．
因为
，即
，
所以
，整理得
，即
，可得
．
30．如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上⼀点，且
，若D，E，F 三点共线，且
，
（λ＞0，µ＞0）．
（1）⽤
，
表示
；
（2）求2λ+µ的最⼩值．
【解答】解：（1）因为
，即
，
整理可得：
；
（2）因为
，
，
，
所以
＝
，
＝
•
，
所以
，
由图可知λ＞0，µ＞0，⼜因为D、E、F 三点共线，所以
，
所以2λ+µ＝（2λ+µ）•（
+
）＝+
+
＝≥
+2
＝，
当
，即
时，2λ+µ取最⼩值
．
31．如图，在△ABC 中，点P 满⾜
，O 是线段AP 的中点，过点O 的直线与边AB，AC 分别交于
点E，F．
（1）若
，求
的值；
（2）若
，
，求
的最⼩值．
【解答】解：（1）因为
，所以
，
因为O 是线段AP 的中点，所以
，
⼜因为
，设
，则有
，
因为E、O、F 三点共线，所以
，解得
，即
，所以
；
（2）因为
，
＝
+
＝（1+λ）
，同理可得
＝（1+µ）
，
由（1）的结论，可知
，所以
，
因为E，O，F 三点共线，所以
，即2λ+µ＝3，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号，所以
的最⼩值为
．
32．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，
，
，AC 与EF 交于点G，记
＝，
＝．
（1）试⽤基底{ ，}表示
，
；
（2）记△ABC 的⾯积为S1，△CEG 的⾯积为S2，求
的值．
【解答】解：（1）由图可知
，因为AB∥CD，AB＝2CD，
所以
，
因为
，
＝
，
所以
＝
+
＝
+
＝
+
（
+
）＝
﹣
＝
﹣
（
+
）＝
﹣
＝
﹣
；
即
＝a﹣
；
（2）AC 与EF 交于点G，设
＝λ
，
＝µ
，
＝
﹣
＝λ
﹣（
+
）＝λ（
+ ）﹣（+
）＝
+（λ﹣1），
λ
＝
﹣
，
所以
，解得λ＝，µ＝，
设△ABC 边AB 上的⾼为h1，△CEG 边CE 上的⾼为h2，则
，
则
．
33．如图，在△ABC 中，已知AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，N 是AC 的中点，
，设AM 与BN 相
交于点P．
（1）求cos∠MPN 的值；
（2）若
，求x+y 的值．
【解答】解：（1）根据题意，可得
•
＝|
|•|
|cos60°＝3，
因为N 是AC 的中点，所以
＝
﹣
＝
﹣
，
由
，得
＝（
），可得
＝
+
，
所以
•
＝（
+
）•（
﹣
）＝﹣|
|2﹣
•
+
|
|2＝
﹣+3＝，
因为|
|＝
＝
＝
＝
，
|
|＝
＝
＝
＝
，
所以cos∠MPN＝cos＜
，
＞＝
＝
＝
．
（2）设
＝λ
，则
＝
﹣
＝
＝（
+
）﹣
＝（
﹣1）
+
，
因为
＝
﹣
，且
与
共线，所以
，解得λ＝，可得
＝
＝
+
，
所以
＝
﹣
＝
﹣
，结合
，可得x＝，y＝
，即x+y＝
．
34．如图，在平⾏四边形ABCD 中，点M 为AB 中点，点N，P 在线段BD 上，满⾜
＝
，设
，
．
（1）⽤，表示向量
；
（2）若
，
，
，求
．
【解答】解：（1）由已知可得：
＝
＝
＝
＝
；
（2）
＝
＝
＝
＝
，
⼜
，
，
，
则
，
，
，
则
＝
＝
＝
．
35．如图，在等腰直⻆三⻆形ABC 中，
，D，E 是线段BC 上的点，且
．
（1）若
，M 是AB 边的中点，N 是AC 边靠近A 的四等分点，⽤向量
表示
；
（2）求
的取值范围．
【解答】解：（1）因为
，M 是AB 边的中点，N 是AC 边靠近A 的四等分点，
，
所以
＝
，
；
（2）因为等腰直⻆三⻆形ABC 中，
，所以
，
因为
，则设
，
，则
，
所以
＝
＝
＝
，
因为
，
所以当
时，
有最⼩值
；
当λ＝0 或
时，
有最⼤值
，
所以
的取值范围是
．
36．如图，在矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝1，点E 是线段AB 上的⼀点，且AE＝2EB，点F 是线段BD 上
的⼀点．
（1）若DF＝FB，且
，求x+y 的值；
（2）求
的取值范围．
【解答】解：（1）已知在矩形ABCD 中，
，
因为DF＝FB，
所以点F 是线段BD 的中点，
所以
，
⼜点E 是线段AB 上的⼀点，且AE＝2EB，
所以
，
⼜
，
所以
，
所以
，
解得
，
，
所以
．
（2）在矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝1，
设
，
所以
，
，
所以
＝
＝
，
⼜0≤λ≤1，
则
∈
，
所以
的取值范围是
．
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平⾯向量——题型06～11
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
A
C
C
B
A
B
C
D
A
A
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
答案
D
A
B
B
B
C
D
A
C
C
B
题号
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
答案
D
B
D
B
A
B
B
D
A
D
⼀．选择题（共32 ⼩题）
1．已知向量、满⾜
，
，且与夹⻆的余弦值为
，则
＝（
）
A．﹣36
B．﹣28
C．
D．12
【分析】根据给定条件，利⽤数量积的运算律计算即得．
【解答】解：已知向量、满⾜
，
，且与夹⻆的余弦值为
，
则
，
所以
．
故选：A．
【点评】本题考查了平⾯向量数量积的运算，属基础题．
2．已知单位向量
，
的夹⻆为120°，则
＝（
）
A．﹣2
B．0
C．1
D．2
【分析】结合平⾯向量数量积的运算求解．
【解答】解：已知单位向量
，
的夹⻆为120°，
则
，
，
则
＝
＝
．
故选：A．
【点评】本题考查了平⾯向量数量积的运算，属基础题．
3．已知向量
满⾜
，且
，则
＝（
）
A．
B．2
C．
D．
【分析】根据向量数量积定义和运算律可求得
，进⽽得到结果．
【解答】解：已知向量
满⾜
，且
，
所以
，
所以
，
则
．
故选：C．
【点评】本题考查了平⾯向量数量积的运算，重点考查了平⾯向量模的运算，属中档题．
4．已知
，且与的夹⻆为60°，则
＝（
）
A．1
B．
C．
D．2
【分析】利⽤向量数量积的运算律，结合已知条件求解．
【解答】解：因为
，且与的夹⻆为60°，
所以
＝
＝
．
故选：C．
【点评】本题考查平⾯向量的数量积运算与模的求法，属于基础题．
5．已知向量
满⾜
，且
，则
＝（
）
A．
B．2
C．
D．
【分析】利⽤向量垂直关系可得向量的数量积为零，再利⽤向量的平⽅等于模的平⽅和向量的运算公式
进⾏求解即可．
【解答】解：由题意，
，
因为
，
所以
，
所以
，
，
所以
．
故选：B．
【点评】本题考查平⾯向量的数量积运算，属基础题．
6．已知向量，满⾜| |＝2，| |＝3，•（﹣）＝﹣2，则|2 ﹣|＝（
）
A．1
B．
C．2
D．3
【分析】根据条件进⾏数量积的运算即可求出
的值，然后根据
即可得解．
【解答】解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
＝
．
故选：A．
【点评】本题考查了数量积的运算，向量⻓度的求法，是基础题．
7．若向量，的夹⻆为
，且＝（1，1），|
|＝
，则| |＝（
）
A．
B．2
C．4
D．3
【分析】由题设条件，结合平⾯向量数量积的性质及运算即可求得结论．
【解答】解：由向量，的夹⻆为
，且＝（1，1），
可得
，
，
⼜|
|＝
，所以
，
即
，解得
．
故选：B．
【点评】本题考查平⾯向量数量积的性质及运算，属基础题．
8．已知| |＝
，| |＝1，且﹣与+2 互相垂直，则向量与的夹⻆为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据两个向量垂直的性质与数量积的运算性质，算出
＝0，进⽽可得向量与的夹⻆⼤⼩．
【解答】解：因为﹣与+2 互相垂直，所以（﹣）•（+2 ）＝0，即
，
将
，
代⼊，解得
＝0，可知
，即与的夹⻆为
．
故选：C．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的条件、平⾯向量数量积及其运算性质等知识，属于基础题．
9．若⾮零向量，满⾜
，且
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据两个向量垂直的条件，算出
，结合
利⽤平⾯向量的夹⻆公式算出
cos＜，＞的值．
【解答】解：由
，得
，即
，可得
，
由
，可得| |＝| |，所以cos＜，＞＝
＝
＝
＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的条件、平⾯向量的夹⻆公式等知识，考查了计算能⼒，属于基础
题．
10．已知向量，满⾜，
，
，
，则cos＜，＞＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】结合cos＜，＞＝
求解即可．
【解答】解：已知向量，满⾜，
，
，
⼜
，
则
，
即
＝1，
则cos＜，＞＝
＝
．
故选：A．
【点评】本题考查了平⾯向量模的运算，重点考查了平⾯向量夹⻆的运算，属中档题．
11．已知
，
，
，则与的夹⻆为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，利⽤平⾯向量数量积的定义与夹⻆公式算出与的夹⻆．
【解答】解：根据题意，设与的夹⻆为α，
可得cosα＝
＝
＝
，
结合α∈（0，π），可知α＝
，即与的夹⻆为
．
故选：A．
【点评】本题主要考查平⾯向量的夹⻆公式、特殊⻆的三⻆函数值等知识，考查了概念的理解能⼒，属
于基础题．
12．设单位向量
，
的夹⻆为60°，则向量3
+4
与向量
的夹⻆的余弦值是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤向量的数量积公式求出
；利⽤向量的运算律求出
；利⽤向量模
的平⽅等于向量的平⽅求出
的模；再利⽤向量的数量积公式求出
的夹
⻆的余弦值．
【解答】解：
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点评】本题考查向量的数量积公式并利⽤此公式求向量的夹⻆余弦、考查向量模的平⽅等于向量的平
⽅并利⽤此性质解决与模有关的问题．
13．单位向量
，
的夹⻆为60°，则向量
与向量
的夹⻆的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出两个向量的模，再利⽤两个向量的夹⻆公式求出结果．
【解答】解：∵
，
是单位向量，且
，
的夹⻆为60°，
∴
，
，
∴
．
故选：A．
【点评】本题主要考查两个向量数量积的定义，求向量的模的⽅法，属于中档题．
14．已知向量＝（λ﹣1，1），＝（2，λ），若（﹣）⊥（+ ），则λ＝（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
【分析】根据题意，算出﹣与+ 的坐标，然后根据两个向量垂直的条件建⽴关于λ的⽅程，解之即
可得到本题的答案．
【解答】解：因为＝（λ﹣1，1），＝（2，λ），
所以﹣＝（λ﹣3，1﹣λ），+ ＝（λ+1，1+λ），
因为（﹣）⊥（+ ），
所以（﹣）•（+ ）＝0，即（λ﹣3）（λ+1）+（1﹣λ）（1+λ）＝0，
整理得﹣2λ﹣2＝0，解得λ＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查平⾯向量的坐标运算法则、两个向量垂直的条件等知识，属于基础题．
15．已知向量
，且
，则m＝（
）
A．8
B．2
C．﹣2
D．﹣8
【分析】利⽤向量垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵向量
，且
，
∴
＝﹣4+2m＝0．
解得m＝2．
故选：B．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
16．若向量
，则“x＝3”是“
”的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，利⽤向量平⾏的条件、充要条件的定义，对两个条件进⾏正反推理论证，即可得到
本题的答案．
【解答】解：若x＝3，则＝（9，3），＝（3，1），
此时＝2 ，可知∥
，故充分性成⽴；
若∥
，则2x+3＝x2，解得x＝3 或﹣1，可知必要性不成⽴．
综上所述，“x＝3”是“ ∥
”的充分不必要条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量平⾏的条件、充要条件的定义与判断等知识，考查了逻辑推理能⼒，属
于基础题．
17．已知平⾯向量
，
，且
，则m＝（
）
A．﹣1
B．1
C．﹣1 或﹣3
D．3
【分析】根据题意，先算出向量
的坐标，然后根据两个向量垂直的条件建⽴关于m 的⽅程，解之即
可得到本题的答案．
【解答】解：由
，
，得
＝（4+m，3），
因为
，所以m（4+m）+3＝0，解得m＝﹣1 或﹣3．
故选：C．
【点评】本题主要考查平⾯向量的坐标运算法则、两个向量垂直的条件等知识，属于基础题．
18．已知向量
，＝（2，1），则（
）
A．若
，则
B．若
，则t＝1
C．若
，则
D．若
，则
【分析】根据两个向量平⾏与垂直的坐标表示，分别建⽴关于t 的⽅程，解出t 的值，进⽽可得本题答
案．
【解答】解：若
，则﹣1×2＝1×（t+1），解得t＝﹣3，故A、B 均不正确；
若
，则2（t+1）+（﹣1）×1＝0，解得t＝
，可知C 项不正确，D 项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查两个向量平⾏与垂直的条件、平⾯向量的坐标运算法则等知识，属于基础题．
19．已知向量
，
，若
，则x＝（
）
A．2
B．0
C．1
D．﹣2
【分析】根据向量减法的坐标运算法则，可得
＝（x﹣2，2﹣x），然后根据两个向量垂直的条件，建
⽴关于x 的⽅程，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：由
，
，得
＝（x﹣2，2﹣x），
因为
，所以•（
）＝0，即2（x﹣2）+x（2﹣x）＝0，整理得（x﹣2）2＝0，解得x＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的条件、平⾯向量的坐标运算等知识，属于基础题．
20．已知平⾯向量
，
，
，且
，则m＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，利⽤两个向量垂直的坐标表示列出关于m 的⽅程，解之可得实数m 的值．
【解答】解：由题意得
，
，
因为
，所以
，
整理得m2﹣6m﹣1＝0，解得
．
故选：C．
【点评】本题主要考查平⾯向量的坐标运算法则、两个向量垂直的性质等知识，属于基础题．
21．已知向量
，若
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据向量的模的公式，算出| |＝
．设＜，＞＝θ，根据| + |＝
，利⽤平⾯向量数量积
的运算性质算出
| |cosθ+| |2＝2，根据
列式算出| |2﹣
| |cosθ＝0，两式联解算出
cosθ的值，即可得到本题的答案．
【解答】解：设＜，＞＝θ，由＝（1，2），得| |＝
＝
，
因为| + |＝
，所以（+ ）2＝| |2+2 • +| |2＝7，
即5+
| |cosθ+| |2＝7，整理得
| |cosθ+| |2＝2…①．
因为
，所以•（﹣2 ）＝0，即| |2﹣
| |cosθ＝0…②．
由①②组成⽅程组，解得| |＝1，cosθ＝
，即cos＜，＞＝
．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量的模的公式、平⾯向量数量积的定义与运算性质等知识，考查了计算能⼒，
属于基础题．
22．已知向量＝（﹣1，2），＝（1，﹣1），且（k ﹣）⊥（2 + ），则k＝（
）
A．﹣2
B．
C．
D．2
【分析】根据题意，求出k ﹣与2 + 的坐标，然后利⽤两个向量垂直的公式建⽴关于k 的⽅程，解
之可得实数k 的值．
【解答】解：因为＝（﹣1，2），＝（1，﹣1），
所以k ﹣＝（﹣k﹣1，2k+1），2 + ＝（﹣1，3），
因为（k ﹣）⊥（2 + ），
所以（k ﹣）•（2 + ）＝0，
即﹣（﹣k﹣1）+3（2k+1）＝0，解得k＝
．
故选：B．
【点评】本题主要考查平⾯向量的坐标运算法则、两个向量垂直的条件等知识，属于基础题．
23．已知向量
，
，则向量在向量⽅向上的投影向量的模为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意求出
，
，结合投影向量的计算公式即可求解．
【解答】解：∵向量
，
，
∴
，
，
∴向量在向量⽅向上的投影向量的模为
．
故选：D．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算，考查投影向量的概念，属基础题．
24．已知、满⾜
，且
，则在上投影的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】据题意设
，代⼊条件可推得点（x，y）在以
为圆⼼，半径为
的圆上运
动，再根据投影概念得出投影与x﹣y 有关，利⽤直线和圆的位置关系求得x﹣y 的范围，进⽽求出投影
最⼩值．
【解答】解：设
，则
，
由
，可得（2x+1）2+（2y﹣1）2＝1，
即
，
所以点（x，y）在以
为圆⼼，半径为
的圆上，
⼜在上投影为
＝
，
令x﹣y＝t，则由直线x﹣y﹣t＝0 与圆
有公共点，
可得
，即|t+1|
，解得
，
故在上投影的最⼩值为
．
故选：B．
【点评】本题考查平⾯向量数量积的性质及坐标运算，考查投影概念，考查直线与圆的位置关系，考查
数形结合思想，属中档题．
25．向量与的夹⻆为
，
，
，在上投影数量为（
）
A．2
B．
C．1
D．
【分析】由已知直接利⽤向量在向量⽅向式投影的概念求解．
【解答】解：∵向量与的夹⻆为
，| |＝1，| |＝3，
∴
在上投影为| |•cos
＝1×
．
故选：D．
【点评】本题考查向量在向量⽅向式投影的概念，是基础题．
26．已知
，
，
，向量在⽅向上的投影是（
）
A．12
B．4
C．﹣8
D．2
【分析】根据题意，结合向量投影公式直接计算即可．
【解答】解：记向量与的夹⻆为θ，
所以在⽅向上的投影为：
．
故选：B．
【点评】本题考查了投影的计算公式，考查了计算能⼒，属于基础题．
27．已知向量，满⾜
，且
，则向量在向量上的投影向量为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据投影向量公式求解即可．
【解答】解：向量在向量上的投影向量为
．
故选：A．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
28．已知向量
，
，则向量在向量上的投影向量为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据投影向量的计算公式即可求解．
【解答】解：
，
，
，
所以向量在向量上的投影向量为
．
故选：B．
【点评】本题主要考查投影向量公式，属于基础题．
29．已知向量
满⾜
，
，则向量在向量⽅向上的投影向量为
（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，⾸先求出
，再将
两边平⽅，结合数量积的运算律求出
，最后
根据投影向量的定义计算可得．
【解答】解：根据题意，因为
，所以
，
⼜
，所以
，即
，
即
，所以
，
所以向量在向量⽅向上的投影向量为
．
故选：B．
【点评】本题考查投影向量的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
30．已知向量在向量⽅向上的投影为﹣1，向量在向量⽅向上的投影为
，且
，则
＝（
）
A．12
B．4
C．
D．2
【分析】由已知求得
，进⼀步可得
，再由
，展开后得答案．
【解答】解：设向量与向量的夹⻆为θ，
由题意，
，
，
⼜
，∴cosθ＝﹣，则
，
＝
，
∴
＝
＝
．
故选：D．
【点评】本题考查平⾯向量数量积的性质及运算，考查向量在向量⽅向上投影的概念，是基础题．
31．设平⾯向量，满⾜
，
，
，则在上投影向量的模为（
）
A．
B．
C．3
D．6
【分析】根据投影向量的定义计算即可．
【解答】解：因为
，
，
所以| |＝
＝3，⼜
，
所以在上投影向量的模为|| |cos＜，＞
|＝|
|＝
＝．
故选：A．
【点评】本题考查了投影向量的定义和投影向量的模的求法，是基础题．
32．已知向量
，则向量在上的投影向量的坐标为（
）
A．
B．
C．（﹣2，﹣4）
D．（2，4）
【分析】根据投影向量的定义，计算即可．
【解答】解：因为向量
，
所以向量在上的投影向量的坐标为
．
故选：D．
【点评】本题考查了投影向量的定义与应⽤问题，是基础题．
⼆．多选题（共2 ⼩题）
（多选）33．已知向量在向量⽅向上的投影向量为
，向量
，且与夹⻆
，
则向量可以为（
）
A．（0，2）
B．（2，0）
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，以及向量的数量积运算，即可求解．
【解答】解：向量
，
则
，
向量在向量⽅向上的投影向量为
，与夹⻆
，
则
＝
，解得
，
故
，
对于A，满⾜
，
，符合题意，故A 正确；
对于B，
，不符合题意，故B 错误；
对于C，
，不符合题意，故C 错误；
对于D，满⾜
，
，符合题意，故D 正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查向量的投影公式，以及向量的数量积运算，是基础题．
（多选）34．已知向量
，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．向量在向量⽅向上的投影的数量是
D．与向量⽅向相同的单位向量是
【分析】根据向量的数量积的坐标运算，向量的⼏何意义，以及单位向量的计算⽅法，逐项判定，即可
求解．
【解答】解：由题意，向量
，
由+ ＝（﹣1，2），则（+ ）• ＝﹣1×2+2×1＝0，所以（+ ）⊥
，故A 正确；
由+2 ＝（﹣4，3），则| +2 |＝
＝5，故B 正确；
由向量在向量⽅向上的投影的数量为
＝
＝﹣
，故C 错误；
由| |＝
＝
，所以与向量⽅向相同的单位向量是
＝
，故D 正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查数量积判断向量的垂直关系，向量的模，平⾯向量数量积的含义，单位向量的求
法，考查运算求解能⼒，属于基础题．
三．解答题（共11 ⼩题）
35．已知向量
，
，
．
（1）求
；
（2）若向量
，试⽤
表示；
（3）若
，求实数k 的值．
【分析】（1）根据题意求出的坐标，然后根据向量的模的公式算出答案；
（2）设
，根据向量的坐标运算法则建⽴关于x、y 的解⽅程组，解之可得答案；
（3）先求出向量
的坐标，再根据两个向量平⾏的条件建⽴关于k 的等式，解出实数k 的值．
【解答】解：（1）根据＝（1，2），＝（﹣3，2），可得
＝（1，2）﹣2（﹣3，2）＝（7，﹣2），
所以
．
（2）根据题意，与不共线，因此设
（x，y∈R），
所以（5，2）＝x（1，2）+y（﹣3，2），可得
，
解得x＝2，y＝﹣1，可得
．
（3）由题意得k +2 ＝k（1，2）+2（﹣3，2）＝（k﹣6，2k+4）．
因为＝（7，﹣2），且∥k +2 ，所以﹣2（k﹣6）＝7（2k+4），解得k＝﹣1．
【点评】本题主要考查平⾯向量的坐标运算法则、向量的模的公式、两个向量平⾏的条件等知识，属于
基础题．
36．已知
，且
．
（1）若
，求k 的值；
（2）求与
夹⻆的余弦值．
【分析】（1）根据两个向量垂直的条件，建⽴关于k 的等式，解之可得实数k 的值；
（2）先利⽤向量模的公式与数量积的运算性质，求出| + |与•（+ ），然后根据两个向量的夹⻆公式
算出与
夹⻆的余弦值．
【解答】解：（1）若
，则（+k ）• ＝0，即
2+k（• ）＝0，可得22﹣4k＝0，解得k＝1；
（2）由（+ ）2＝
2+2 • +
2＝4+2×（﹣4）+9＝5，可得| + |＝
（舍负）．
因为•（+ ）＝• +
2＝﹣4+9＝5，
所以与
的夹⻆θ满⾜cosθ＝
＝
＝
．
【点评】本题主要考查平⾯向量垂直的条件、向量数量积的运算性质、向量的夹⻆公式等知识，属于基
础题．
37．已知向量＝（﹣5，7），＝（﹣1，3），＝（﹣2，2）．
（1）若＝m +n ，求实数m，n 的值；
（2）若（2 +k ）⊥（+ ），求实数k 的值．
【分析】（1）根据平⾯向量的线性运算法则和相等向量的定义，得到关于m、n 的⽅程组，解之可得答
案；
（2）先求得
与
的坐标，然后根据两个向量垂直的条件列式算出实数k 的值．
【解答】解：（1）根据
，
，
可得（﹣5，7）＝（﹣m﹣2n，3m+2n），
即
，解得
，所以m＝1，n＝2．
（2）2 +k ＝（﹣10，14）+（﹣2k，2k）＝（﹣10﹣2k，14+2k），+ ＝（﹣3，5），
由
，可得
，
所以（﹣10﹣2k）×（﹣3）+（14+2k）×5＝0，解得
，
即实数k 的值为
．
【点评】本题主要考查平⾯向量的线性运算法则、两个向量垂直的条件、平⾯向量数量积的坐标表示等
知识，属于基础题．
38．已知平⾯直⻆坐标系中，向量
．
（1）若
，且
，求向量的坐标；
（2）若与
的夹⻆为锐⻆，求实数λ的取值范围．
【分析】（1）设
，根据两个向量平⾏的条件建⽴关于x、y 的⽅程组，解之可得向量的坐标；
（2）根据两个向量的夹⻆为锐⻆，建⽴关于λ的不等式，进⽽解出实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，可得
，设
，
因为
，所以2x＝0×y，解得x＝0，
因为
，解得y＝±3，所以
或
．
（2）根据
，可得
，
当与
共线时，1×（﹣2+6λ）＝﹣2×（1﹣2λ），此时λ＝0，
因为与
的夹⻆为锐⻆，
所以
，解得
，且λ≠0，
综上所述，当与
的夹⻆为锐⻆时，实数λ的取值范围为
．
【点评】本题主要考查两个向量共线的条件、平⾯向量的夹⻆公式与模的公式及其应⽤，属于基础题．
39．已知单位向量
、
满⾜
，
．向量
，
，其中
．
（1）若
，⽤反正切值表示⻆α；
（2）设
，若
，求cosθ的值．
【分析】（1）根据平⾯向量的共线定理即可计算⻆α．
（2）根据
确定
，再根据
得
即可．
【解答】解：（1）已知
，
则存在实数λ，使得
，
所以
，
即
，
故tanα＝﹣2，
⼜因为
，
所以α＝π﹣arctan2．
（2）已知
，
，
，
所以
，
所以
，
所以
，
故
．
【点评】本题考查了平⾯向量的共线定理，重点考查了平⾯向量数量积的运算，属中档题．
40．已知向量与的夹⻆
，且
．
（1）求
；
（2）求
与
的夹⻆的余弦值．
【分析】（1）利⽤向量的数量积和模⻓公式即可求解；
（2）利⽤向量的夹⻆公式即可求解．
【解答】解：（1）因为向量与的夹⻆
，且
，
所以
，
．
（2）由（1）知，
，因为
，
所
以
，
，
所以
．
【点评】本题考查平⾯向量的数量积与模的求法，属于中档题．
41．已知向量
，且
．
（Ⅰ）求向量与的夹⻆；
（Ⅱ）求
的值；
（Ⅲ）若向量
与
互相垂直，求k 的值．
【分析】（Ⅰ）根据向量数量积的性质与向量夹⻆公式，即可求解；
（Ⅱ）根据向量数量积的性质与定义，即可求解；
（Ⅲ）根据向量垂直的性质，建⽴⽅程，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵向量
，
∴| |＝
＝
，
⼜
，
∴
，∴
，
∴cos＜，＞＝
＝
＝
，⼜＜，＞∈[0，π]，
∴＜，＞＝
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
＝4×8﹣4×8+16＝16，
∴
＝4；
（Ⅲ）∵向量
与
互相垂直，
∴
，
∴
，
∴8k+8（1﹣k2）﹣16k＝0，
k2+k﹣1＝0，
∴k＝
．
【点评】本题考查向量数量积的性质与定义，向量夹⻆公式，⽅程思想，属中档题．
42．已知向量
．
（1）若∥
，且x∈（0，π），求sinx﹣cosx 的值；
（2）设函数
，求函数f（x）的值域．
【分析】（1）根据两个向量平⾏的条件列式，可得
cosx＝sinx，然后根据同⻆三⻆函数基本关系算出
sinx、cosx 的值，进⽽可得答案；
（2）根据平⾯向量数量积的坐标表示，算出（
）• ＝cosx（sinx+cosx）﹣，从⽽可得f（x）＝2cosx
（sinx+cosx）﹣1，然后利⽤三⻆恒等变换公式化简出f（x）＝
sin（2x+
），再根据正弦函数的图象
与性质，算出f（x）在[0，
]上的值域．
【解答】解：（1）
，若
，则
cosx＝sinx，
可得tanx＝
＝
，结合x∈（0，π），可知x 为钝⻆．
因为sin2x＝
＝
＝
，所以sinx＝
＝
（舍负）．
所以cosx＝
＝
，可得sinx﹣cosx＝
﹣（
）＝
．
（2）根据题意，可得
＝（sinx+cosx，
），
所以（
）• ＝cosx（sinx+cosx）﹣，
可得f（x）＝2（
）• ＝2cosx（sinx+cosx）﹣1＝2sinxcosx+2cos2x﹣1
＝sin2x+cos2x＝
sin（2x+
）．
当x∈[0，
]时，2x+
∈[
，
]，
当x＝
时，f（x）有最⼤值
＝
；当x＝0 或
时，f（x）有最⼩值
＝1．
所以f（x）在区间[0，
]上的值域为[1，
]．
【点评】本题主要考查三⻆恒等变换公式、平⾯向量数量积的坐标表示、正弦函数的图象与性质等知识，
属于中档题．
43．已知平⾯向量，，
，
，且与的夹⻆为
．
（1）求
和
的值；
（2）若
与
垂直，求λ的值．
【分析】（1）由向量数量积的定义求出
，再利⽤向量数量积的运算律计算
；
（2）利⽤向量垂直的充要条件列出⽅程，求解即得．
【解答】解：（1）∵
，
，且与的夹⻆为
，
∴
＝
，
故
＝
＝
；
（2）∵
与
垂直，
∴
，
即3+4λ+3+3λ＝0，解得：
．
【点评】本题考查平⾯向量数量积的性质及运算，属中档题．
44．设
为两个不共线的向量，若
．
（1）若
，且与的夹⻆为60°，求
；
（2）若与共线，求实数λ的值．
【分析】（1）根据题意，将
先平⽅再求算术平⽅根，代⼊题中数据算出答案；
（2）若与共线，则存在实数k，使得
，根据平⾯向量基本定理列出关于k、λ的⽅程，进⽽求
出λ的值．
【解答】解：（1）因为
，与的夹⻆为60°，所以
＝
＝
．
所以
2＝4| |2+| |2+4
＝4+2+
＝6+
，可得
＝
；
（2）若与共线，则存在实数k，使得
，即
，
所以1＝2k 且λ＝﹣k，解得
，
．
【点评】本题主要考查平⾯向量基本定理、向量数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．
45．已知| |＝
，| |＝1，与的夹⻆为45°．
（1）求在⽅向上的投影；
（2）求| +2 |的值；
（3）若向量（2 ﹣λ ）与（λ ﹣3 ）的夹⻆是锐⻆，求实数λ的取值范围．
【分析】（1）由向量投影概念可得结果；
（2）运⽤向量数量积的定义和性质，向量的平⽅即为模的平⽅，计算即可得到所求值；
（3）由题意可得（2 ﹣λ ）•（λ ﹣3 ）＞0，且（2 ﹣λ ）与（λ ﹣3 ）不共线，计算即可得到所
求范围．
【解答】解：（1）在⽅向上的投影为| |cos45°＝
×
＝1；
（2）• ＝| |•| |•cos45°＝
×1×
＝1，
| +2 |2＝
2+4 • +4
2＝2+4+4＝10，
则| +2 |＝
；
（3）向量（2 ﹣λ ）与（λ ﹣3 ）的夹⻆是锐⻆，
可得（2 ﹣λ ）•（λ ﹣3 ）＞0，且（2 ﹣λ ）与（λ ﹣3 ）不共线，
即为2λ
2+3λ
2﹣（6+λ2）• ＞0，
即有7λ﹣（6+λ2）＞0，解得1＜λ＜6，
由（2 ﹣λ ）与（λ ﹣3 ）共线，可得2•（﹣3）＝﹣λ•λ，
解得λ＝±
，
则实数λ的取值范围为（1，
）∪（
，6）．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，以及向量的投影和夹⻆为锐⻆的等价条件，考查运算能
⼒，属于中档题．
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平⾯向量——题型12～13
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
B
D
C
C
B
C
A
C
B
A
题号
12
13
14
答案
D
C
B
⼀．选择题（共14 ⼩题）
1．P 是△ABC 所在平⾯上⼀点，满⾜|
|﹣|
|＝0，则△ABC 的形状是（
）
A．等腰直⻆三⻆形
B．直⻆三⻆形
C．等腰三⻆形
D．等边三⻆形
【分析】根据平⾯向量的线性运算与模⻓公式，可以得出
•
＝0，即
⊥
，△ABC 是直⻆三⻆形．
【解答】解：P 是△ABC 所在平⾯上⼀点，且|
|﹣|
|＝0，
∴|
|﹣|（
﹣
）+（
﹣
）|＝0，
即|
|＝|
+
|，
∴|
﹣
|＝|
+
|，
两边平⽅并化简得
•
＝0，
∴
⊥
，
∴∠A＝90°，
则△ABC 是直⻆三⻆形．
故选：B．
【点评】本题考查了平⾯向量的线性运算与数量积运算问题，也考查了模⻓公式应⽤问题，是基础题．
2．已知平⾯向量，，，满⾜
＝
，且| |+| |+| |＝4，则
）的最⼤值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】由已知可得与夹⻆为120°，且与，成等⻆，均为60°，展开
），利⽤向量在向
量⽅向上投影的概念化为关于
的函数，再由⼆次函数求最值．
【解答】解：由
＝
，可得与夹⻆为120°，且与，成等⻆，均为60°，
设| |＝a，| |＝b，| |＝c，
由| |+| |+| |＝4，得a+b+c＝4，则0＜c＜4．
）
＝
＝
＝
．
∴当c＝2 时，
）的最⼤值为2．
故选：B．
【点评】本题考查平⾯向量的数量积运算，考查向量在向量⽅向上投影的概念，是中档题．
3．已知O 是△ABC 所在平⾯内⼀点，向量
满⾜条件
＝
，且
|＝1，则△P1P2P3是（
）
A．等腰三⻆形
B．直⻆三⻆形
C．等腰直⻆三⻆形
D．等边三⻆形
【分析】根据向量的运算法则计算出|
|＝|
|＝|
|＝
，从⽽判断三⻆形的形状．
【解答】解：∵
，
∴
+
＝﹣
，
∴（
+
）2＝（﹣
）2，
∴
+2
•
+
＝
，
∵
，
∴|
|2＝|
|2＝|
|2＝1，
∴
•
＝﹣，
∴|
|2＝|
﹣
|2＝
﹣2
•
+
＝3，
∴|
|＝
，
同理|
|＝|
|＝
，
∴△P1P2P3是等边三⻆形，
故选：D．
【点评】本题考查了向量的运算，向量垂直问题，是⼀道中档题．
4．若两个⾮零向量、，满⾜
，则向量
与的夹⻆（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】平⾯向量的数量积与模⻓公式，计算夹⻆的余弦值，从⽽求得夹⻆的⼤⼩．
【解答】解：⾮零向量、满⾜
，
则
，
即
，
则向量
与的夹⻆θ满⾜：
cosθ＝
＝
＝，
⼜θ∈[0，π]，
所以所求夹⻆为θ＝
．
故选：C．
【点评】本题考查了平⾯向量的数量积与模⻓和夹⻆的计算问题，是基础题．
5．设⾮零向量
满⾜
，则与的夹⻆为（
）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
【分析】根据题意，设与的夹⻆θ，且| |＝t，（t＞0），则有| |＝t，| |＝
t，由+ ＝可得（+ ）
2＝
2，代⼊数据变形可得t2﹣2t2cosθ＝0，解可得cosθ的值，结合θ的范围，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设与的夹⻆θ，且| |＝t，（t＞0），
⼜由| |＝| |＝
| |，则| |＝t，| |＝
t，
若+ ＝，则有（+ ）2＝
2，变形可得
2+2 • +
2＝
2，即t2﹣2t2cosθ＝0，
解可得：cosθ＝，⼜由0°≤θ≤180°，
则θ＝60°；
故选：C．
【点评】本题考查向量数量积的计算，注意向量数量积求向量夹⻆的公式，属于基础题．
6．已知⾮零向量
满⾜
，向量
的夹⻆为150°，且
，则向量与
的夹⻆为（
）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
【分析】根据题意，设| |＝t，分析可得| |以及• 的值，⼜由
，可得＝﹣（+ ），由数量
积的计算公式分析可得• ＝0，由向量垂直的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设| |＝t，则
＝
t，
则• ＝t×
×cos150°＝﹣t2，
⼜由
，则＝﹣（+ ），
则• ＝﹣•（+ ）＝﹣（
2+ • ）＝0，即向量与垂直，
其夹⻆为90°；
故选：B．
【点评】本题考查向量数量积的计算公式，关键是掌握向量数量积的计算公式．
7．已知△ABC 满⾜：
且
，则△ABC 为（
）
A．等腰直⻆三⻆形
B．直⻆三⻆形但不是等腰三⻆形
C．等腰三⻆形但不是等边三⻆形
D．等边三⻆形
【分析】根据已知条件，结合平⾯向量的夹⻆公式，即可求解．
【解答】解：
，
则
＝
，即cosB＝cosC，
⻆B、⻆C 均为三⻆形的内⻆，
故B＝C，即b＝c，
，
则cosA＝
，
A∈（0，π），
则A＝
，
综上所述，△ABC 为等腰三⻆形但不是等边三⻆形．
故选：C．
【点评】本题主要考查三⻆形的形状判断，属于基础题．
8．三棱锥S﹣ABC 中，（
）•（
）＝0，则△ABC 是（
）
A．等腰三⻆形
B．直⻆三⻆形
C．等腰直⻆三⻆形
D．等边三⻆形
【分析】由题意利⽤平⾯向量的运算可得|
|＝|
|，即BC＝BA，即可判断△ABC 的形状．
【解答】解：∵
＝
＝（
）+（
）
＝
，
⼜
＝
＝
，
∴（
）•（
）
＝（
）•（
）
＝
＝0，
∴|
|＝|
|，即BC＝BA，即△ABC 是等腰三⻆形．
故选：A．
【点评】本题考查了三⻆形形状的判断，考查了平⾯向量的运算，属于基础题．
9．设向量
满⾜
，
，则当
的最⼤值时，共
起点的向量
的终点所构成的三⻆形为（
）
A．直⻆三⻆形
B．等腰三⻆形
C．等边三⻆形
D．钝⻆三⻆形
【分析】根据题意作出图形，先判断O，A，C，B 四点共圆，易看出当OC 为圆的直径时，
取最⼤
值，推出OB⊥BC，OA⊥AC，通过计算△ABC 的三边⻓得出结论．
【解答】解：
由
，可得
，因
，故
．
如图，分别作出
，则
，
依题意，∠BOA＝120°，∠BCA＝60°，由∠BOA+∠BCA＝180°可知O，A，C，B 四点在⼀个圆上，
故当OC 为该圆的直径时，
取最⼤值，此时OB⊥BC，OA⊥AC．
在△OAB 中，由余弦定理，AB2＝12+12﹣2×1×1×cos120°＝3，即
，
设四边形的外接圆半径为R，由正弦定理，
，解得R＝1，则OC＝2R＝2，
于是
，故△ABC 是等边三⻆形，即共起点的向量
的终点所构成的三⻆
形为等边三⻆形．
故选：C．
【点评】本题主要考查三⻆形的形状判断，属于基础题．
10．在△ABC 中，若⾮零向量
与
满⾜
，
，则△ABC 为（
）
A．三边均不相等的三⻆形
B．等腰直⻆三⻆形
C．底边和腰不相等的等腰三⻆形
D．等边三⻆形
【分析】利⽤
和
都为单位向量，得到AB＝AC，再利⽤
，得到
⊥
，判断即
可．
【解答】解：∵
和
都为单位向量，∴
+
垂直平分
，故AB＝AC，
∵
，∴
⊥
，
∴△ABC 为等腰直⻆三⻆形．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积运算，三⻆形形状的判定，主要考查学⽣的运算能⼒和数学思维能⼒，
属于中档题．
11．已知直⻆梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝2，点M 在线段BC 上，且
，
则
＝（
）
A．﹣
B．2
C．
D．2
【分析】根据条件建⽴平⾯直⻆坐标系，求出向量
和
的坐标，然后进⾏数量积的坐标运算即可．
【解答】解：如图，以点A 为原点，边AB 和AD 所在的直线分别为x，y 轴，建⽴如图所示的平⾯直⻆
坐标系，
∵
，∴M 为BC 的中点，且AB＝2CD＝2AD＝2，
则A（0，0），B（2，0），M（
），
∴
，
，
∴
．
故选：A．
【点评】本题考查了通过建⽴坐标系，利⽤向量的坐标解决向量问题的⽅法，向量坐标的数量积运算，
是基础题．
12．在边⻓为2 的正⽅形ABCD 中，E 是AB 的中点，则
＝（
）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
【分析】建⽴平⾯直线坐标系，利⽤平⾯向量数量积的坐标运算即可求解．
【解答】解：由题意，建⽴平⾯直⻆坐标系，
由题意，A（0，0），E（1，0），C（2，2），
则
，
，
故
．
故选：D．
【点评】本题考查平⾯向量的数量积运算，属基础题．
13．在梯形ABCD 中，满⾜AD∥BC，AD＝2，BC＝6，
＝2，则
＝（
）
A．4
B．6
C．10
D．12
【分析】由向量线性运算得
，然后由
计算．
【解答】解：∵
，∴
，
∴
＝
＝
＝
＝
＝﹣62+6×2+34＝10．
故选：C．
【点评】本题考查平⾯向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
14．如图，空间四边形ABCD 的每条边和对⻆线⻓都等于1，点E，F，G 分别是AB，AD，DC 的中点，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意，四⾯体是正四⾯体，每个三⻆形都是等边三⻆形，利⽤向量的数量积的定义解答．
【解答】解：
＝
＝
，
＝
＝
＝
+
＝．
另解：
＝
•
＝
＝
故选：B．
【点评】本题考查了平⾯向量的数量积定义；正确运⽤数量积公式，注意向量的夹⻆⼤⼩是解答的关键．
⼆．填空题（共1 ⼩题）
15．在边⻓为2 的菱形ABCD 中，M，N 分别为BC，CD 的中点，
，则
＝
．
【分析】由平⾯向量的线性运算将
⽤表示出来，由
求出
，再由平⾯向量的
数量积计算即可．
【解答】解：因为边⻓为2 的菱形ABCD 中，M，N 分别为BC，CD 的中点，
所以
，
，
因为
，
所以
，所以
，
因为
＝
＝
＝
．
故答案为：
．
【点评】本题考查平⾯向量的线性运算与数量积运算，属于基础题．
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平⾯向量——题型14
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
C
C
A
B
D
⼀．选择题（共6 ⼩题）
1．已知点A（2，1），B（1，m+1），C（m+2，﹣3），且
，则m＝（
）
A．
B．±2
C．
D．2
【分析】由
知
与
的夹⻆为180°，所以
∥
，由平⾏向量的坐标表示求解
即可．
【解答】解：由
得
与
的夹⻆为180°．
，
，
由
∥
得m2＝4，故m＝±2．
当m＝2 时，
，
与
的夹⻆为180°；
当m＝﹣2 时，
，
与
的夹⻆为0°，舍去．
故选：D．
【点评】本题考查平⾯向量的坐标运算，属于中档题．
2．已知向量
满⾜
，则
＝（
）
A．4
B．﹣4
C．3
D．﹣3
【分析】直接利⽤给定条件，利⽤数量积的运算律及数量积的坐标表示计算即得．
【
解
答
】
解
：
由
，
则
．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，主要考查学⽣的运算能⼒，属于中
档题．
3．已知点O（0，0），向量
，
，点P 是线段AB 的三等分点，则点P 的坐标是
（
）
A．
B．
C．
或
D．
或
【分析】直接利⽤分点的坐标公式求出结果．
【解答】解：已知点O（0，0），向量
，
，
所以A（2，3），B（6，﹣3）；
由于点P 为AB 的三等分点，
当
时，点P 的横坐标x＝
，y＝
，即P（
）；
当
时，点P 的横坐标x＝
，y＝
，即P（
）．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：分点的坐标公式，主要考查学⽣的理解能⼒和计算能⼒，属于中档题．
4．已知向量
，
，则（
）
A．
B．向量在向量上的投影向量是
C．
D．与向量共线的单位向量是
【分析】由向量垂直的坐标表示，数量积的定义，模的坐标表示，共线向量的坐标表示及单位向量的定
义计算后判断．
【解答】解：因为向量
，故
，
对于
，所以
，所以
，故A 正确；
对
于
B
，
向
量
在
向
量
上
的
投
影
向
量
是
，（注：θ是向量
的夹⻆），
故B 错误；
对于C，
，所以
，故C 错误；
对于
共线的单位向量是
，即
或
，故D 错误．
故选：A．
【点评】本题考查平⾯向量的数量积运算，考查学⽣的运算能⼒，属于中档题．
5．已知
是单位向量，且
，则（
）
A．
B．在
上投影向量的坐标为
C．
D．与
的夹⻆为
【分析】由
是单位向量，且
可知
是互相垂直的单位向量，可令＝（0，﹣1），
＝（1，0）．
按照平⾯向量数量积坐标运算公式计算•（+ ），可判断A；按照投影向量的计算⽅法计算在+ 上
的投影向量坐标可判断B；
根据向量模的坐标计算⽅法计算| + |可判断C；根据平⾯向量夹⻆余弦的坐标运算⽅法计算与+ 的
夹⻆余弦值，然后得夹⻆，可判断D．
【解答】解：由
是单位向量，且
可知
是互相垂直的单位向量，可令＝（0，
﹣1），＝（1，0）．
可得•（+ ）＝1，所以A 错；可得在+ 上的投影向量坐标为| |cos
•
＝1×
×
＝（，﹣），所以B 对；
可得| + |＝
＝
，所以C 错；可得cos＜，+ ＞＝
＝
，结合题意可
知与+ 的夹⻆为
，所以D 错．
故选：B．
【点评】本题考查平⾯向量数量积及投影向量，考查数学运算能⼒，所以中档题．
6．已知向量＝（1，3），＝（2，﹣4），则下列结论错误的是（
）
A．（+ ）⊥
B．|2 + |＝2
C．向量，的夹⻆为
D．在⽅向上的投影是
【分析】根据向量坐标运算法则逐⼀进⾏判断即可．
【解答】解：对A，（
）• ＝（3，﹣1）•（1，3）＝3﹣3＝0，则（
）⊥
，故A 正确；
对B，|2 + |＝
＝
＝2
，故B 正确；
对C，cos＜，＞＝
＝
＝﹣
，所以向量
的夹⻆为
，故C 正确；
对D，在⽅向上的投影是
＝
＝﹣
，故D 错误，
故选：D．
【点评】本题考查平⾯向量数量积的运算性质，涉及向量的垂直，向量的模，夹⻆，投影等知识点，属
于中档题．
⼆．解答题（共5 ⼩题）
7．已知向量＝（2cosθ，1），＝（2sinθ，﹣1），其中
．
（1）若
，求⻆θ的⼤⼩；
（2）若| ﹣|＝2| |，求tanθ的值．
【分析】（1）由
，得
，利⽤向量垂直坐标运算列式，进⽽解出θ的值即可；
（2）由题意解出4cos2θ﹣2sinθcosθ＝3，进⽽弦化切得出3tan2θ+2tanθ﹣1＝0，再根据⻆的范围解出
即可．
【解答】解：（1）由
，得
，所以4cosθsinθ﹣1＝0，即
，
因为
，所以2θ∈（0，π），所以
或
，解得
或
；
（2）由题得，
，化简得
，
即4cos2θ+1﹣2（4sinθcosθ﹣1）＝3（4sin2θ+1），
整理得4cos2θ﹣2sinθcosθ＝3，即cos2θ﹣3sin2θ﹣2sinθcosθ＝0，
因为
，所以cosθ≠0，则3tan2θ+2tanθ﹣1＝0，
即（3tanθ﹣1）（tanθ+1）＝0，
解得
，
因为
，
所以
．
【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，弦化切公式，是中档题．
8．已知向量
，
．
（1）若
，求实数λ的值；
（2）若
与
的夹⻆为钝⻆，求实数k 的取值范围．
【分析】（1）结合向量坐标的坐标运算法则，以及向量垂直的性质，即可求解；
（2）结合向量夹⻆公式，以及向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：（1）因为
，
所以
．
因为
，
，所以
，
，
所以（
）•（
）＝7﹣6λ＝0，解得
；
（2）由已知可得
，且
与
不共线，
因为
，
，
，可得
，解得
，
若
与
共线，则可
，解得k＝﹣2，
所以由，
与
不共线可得k≠﹣2，
所以k 的取值范围为
且k≠﹣2}．
【点评】本题主要考查平⾯向量的坐标运算，属于中档题．
9．已知向量
，
，m∈R．
（1）若m＝3，求
；
（2）若
，求在上的投影向量（⽤坐标表示）．
【分析】（1）把m＝3 代⼊中，再根据
的坐标去求模⻓即可；
（2）根据
，把坐标代⼊计算求出m 的值，再列式求得在上的投影向量．
【解答】解：（1）当m＝3 时，
，
，
∴
．
（2）∵
，∴
，∴
，
即
，∴
，即
，
∴
在上的投影向量为
．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的投影向量，主要考查学⽣的运算能⼒，属于中档
题．
10．已知平⾯向量＝（1，3），＝（2x﹣1，﹣x）（x∈Z）
（1）若2 + 与﹣2 垂直，求x；
（2）若向量＝（7，﹣1），若+ 与﹣共线，求| ﹣|．
【分析】（1）根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，即可求解；
（2）根据已知条件，结合向量的坐标运算，向量平⾏的性质，求出x，再结合向量模公式，即可求解．
【解答】解：（1）＝（1，3），＝（2x﹣1，﹣x）（x∈Z），
则
，
，
∵2 + 与﹣2 垂直，
∴（2x+1）（3﹣4x）+（6﹣x）（3+2x）＝0，
故10x2﹣11x﹣21＝0，解得x＝﹣1 或x＝
（舍去）；
（2）向量＝（7，﹣1），
则
，
，
∵
+ 与﹣共线，
∴2x（1﹣x）＝（2x﹣8）（3﹣x），解得x＝2，
∴
，
，
∴| ﹣|＝
．
【点评】本题主要考查平⾯向量的数量积运算，考查转化能⼒，属于中档题．
11．已知向量
，
，
．
（1）求
和
；
（2）若函数
的最⼩值为
，求实数λ的值．
【分析】（1）根据平⾯向量的坐标运算结合和差⻆公式直接求解即可；
（2）先化简f（x），通过换元可得
，再结合⼆次函数的性质
分类讨论即可得解．
【解答】解：（1）因为
，
，
，
所以
，
＝
；
（2）由（1）得
，
因为
，所以t＝cosx∈[0，1]，
则
，
①若
，即λ≥4，则f（t）min＝f（1）＝1﹣λ，则
，解得
，与λ≥4 ⽭盾，舍去；
②若
，即0＜λ＜4，则
，则
，解得λ＝2，满⾜；
③若
，即λ≤0，则
，与题意⽭盾，舍去；
综上，实数λ的值为2．
【点评】本题考查平⾯向量的综合运⽤，考查分类讨论思想以及运算求解能⼒，属于中档题．
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平⾯向量——题型15～17
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
A
D
B
D
A
A
B
C
D
D
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
答案
D
D
A
D
C
B
C
C
B
C
D
题号
23
24
25
26
27
28
答案
A
C
A
D
B
A
⼀．选择题（共28 ⼩题）
1．已知O 是△ABC 内的⼀点，若△BOC，△AOC，△AOB 的⾯积分别记为S1，S2，S3，则S1•
+S2•
+S3•
＝．这个定理对应的图形与“奔驰”轿⻋的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，
已知O 是△ABC 的垂⼼，且
+2
+3
＝，则tan∠BAC：tan∠ABC：tan∠ACB＝（
）
A．1：2：3
B．1：2：4
C．2：3：4
D．2：3：6
【解答】解：O 是△ABC 的垂⼼，延⻓CO，BO，AO 分别交边AB，AC，BC 于点P，M，N，如图，
则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC，
因此，
，同理
，
于是得tan∠BAC：tan∠ABC：tan∠ACB＝S1：S2：S3，
⼜
，即
，
由“奔驰定理”有
，则
，
⽽
与
不共线，有
，
即S1：S2：S3＝1：2：3，
所以tan∠BAC：tan∠ABC：tan∠ACB＝1：2：3．
故选：A．
2．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的⼀点，若△BOC，△AOC，△AOB 的⾯积分别记为S1，S2，S3，则S1•
+S2•
+S3•
＝．“奔驰定理”是平⾯向量中⼀个⾮常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔
驰”轿⻋的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是△ABC 的垂⼼，且
+2
+4
＝，则cosB＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
O
是△ABC
的垂⼼，延⻓
CO
交
AB
与点
P ，则
＝tan∠BOC：tan∠AOC＝tan（π﹣A）：tan（π﹣B）＝tanA：tanB，
同理可得S1：S3＝tanA：tanC，所以S1：S2：S3＝tanA：tanB：tanC，
⼜
，所以
，
⼜
，所以tanA：tanB：tanC＝1：2：4，
不妨设tanA＝k，tanB＝2k，tanC＝2k，其中k≠0，
因为
，
所以
，解得
或
，
当
时，此时tanA＜0，tanB＜0，tanC＜0，则A，B，C 都是钝⻆，
则A+B+C＞π，⽭盾．
故
，则
，所以B 是锐⻆，sinB＞0，cosB＞0，
于是
，解得
．
故选：A．
3．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的⼀点，△BOC，△AOC，△AOB 的⾯积分别为SA，SB，SC，则SA•
+SB•
+SC•
＝．“奔驰定理”是平⾯向量中⼀个⾮常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔
驰”轿⻋的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．设O 为三⻆形ABC 内⼀点，且满⾜
+2
+3
＝3
+2
+
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵O 为三⻆形ABC 内⼀点，且满⾜
+2
+3
＝3
+2
+
，
∴
+2
+3
＝3（
﹣
）+2（
﹣
）+（
﹣
）⇒3
+
+2
＝，
∵SA•
+SB•
+SC•
＝．
∴
＝
＝
＝，
故选：D．
4．在⾯上有△ABC 及内⼀点O 满⾜关系式：S△OBC
+S△OAC
+S△OAB
＝即称为经典的“奔驰定
理”，若△ABC 的三边为a，b，c，现有a
+b
+c
＝，则O 为△ABC 的（
）
A．外⼼
B．内⼼
C．重⼼
D．垂⼼
【解答】解：∵
＝
+
，
＝
+
，
∴a
+b
+c
＝a
+b（
+
）+c（
+
）
＝（a+b+c）
+b•
+c•
＝，
∴
＝
（
+
），
∵
，
分别是
，
⽅向上的单位向量，
∴向量
+
平分∠BAC，即AO 平分∠BAC，
同理BO 平分∠ABC，
∴O 为△ABC 的内⼼，
故选：B．
5．已知O 是△ABC 内⼀点，
，若△AOB 与△ABC 的⾯积之⽐为
，则实数m 的值为
（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由
得
，
设
，则
，
由于
，所以A，B，D 三点共线，如图所示，
∵
与
反向共线，m＞0，
∴
，∴
，
∴
．
故选：D．
6．O 为等边三⻆形内⼀点，且满⾜
+λ
+（1+λ）
＝，若△AOB 与△AOC 的⾯积之⽐为3：1，则
实数λ的值为（
）
A．
B．1
C．2
D．3
【解答】解：取边AC 的中点E，BC 的中点F，连接EF，作图如下，
由
+λ
+（1+λ）
＝可得，
，即
，故点O 在中位线EF 上，
∵△AOB 与△AOC 的⾯积之⽐为3：1，
∴△AOB 与△AOE 的⾯积之⽐为6：1，
∵这两个三⻆形等⾼，
∴⾯积之⽐等于底边⻓度之⽐，即
，
故点O 是EF 上靠近E 点的三等分点，
显然此时
．
故选：A．
7．已知O 是△ABC 内部的⼀点，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a＝3，b＝2，c＝4，若sinA•
＝，则△AOB 与△ABC 的⾯积之⽐为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：已知O 是△ABC 内部的⼀点，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a＝3，b＝2，c＝4，
若sinA•
＝，则a•
＝，即3
+2
+4
＝，
由奔驰定理可得
，故S△BOC：S△AOC：S△AOB＝3：2：4，故S△
AOB：S△ABC＝4：（2+3+4）＝4：9．
故选：A．
8．已知点P 是△ABC 所在平⾯内⼀点，若
，则△ABP 与△ACP 的⾯积之⽐是（
）
A．3：1
B．2：3
C．1：3
D．1：2
【解答】解：设
＝λ
，
所以
＝
+
＝
+λ
＝
+λ（
﹣
）＝（1﹣λ）
+λ
，
因为
，
所以λ＝，即
＝
，
所以
：
＝2：3，
所以△ABP 与△ACP 的⾯积之⽐是2：3．
故选：B．
9．如图，设P，Q 为△ABC 内的两点，且
，
，则△ABP 的⾯积与△ABQ
的⾯积之⽐为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
则
由平⾏四边形法则知NP∥AB
所以
同理
故
故选：C．
10．点P 是△ABC 所在平⾯上⼀点，若
，则△ABP 与△ACP 的⾯积之⽐是（
）
A．
B．3
C．
D．
【解答】解：如图，延⻓AP 交BC 于点D，
设
，则
，且B，C，D 三点共线，
故
，得
，
故
，
，
∴
，
因
，
故
，即
，
∴
，
∴
，
故
．
故选：D．
11．已知O 是△ABC 所在平⾯内的⼀点，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a＝3，b＝2，c＝4，若
，过O 作直线l 分别交AB、AC（不与端点重合）于P、Q，若
，
，
若△PAO 与△QAO 的⾯积之⽐为
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为△PAO 与△QAO 的⾯积之⽐为
，可得
＝﹣
，．故2（
+
）+3
+
）
＝，
即2
+2
＝，整理得（5﹣2λ﹣3µ）
+2
+3
＝，
因为
，且
，
，
均不共线，故
，解得
＝，故选：D．
12．设G为等边△ABC的重⼼，过G作直线l分别交AB，AC（不与端点重合）于P，Q，若
，
，
若△PAG 与△QAG 的⾯积之⽐为
，则µ＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵G 是等边△ABC 的重⼼，
∴∠PAG＝∠QAG＝30°，
∵
＝
＝，
∴
．
∵AB＝AC，
，
，
∴
＝，即λ＝
．
∴
＝
＝
，
＝
，
延⻓AG 交BC 于D，则D 为BC 的中点，
∴
（
），
∵G 是△ABC 的重⼼，
∴
＝
＝×
（
）＝
＝
+
，
∵P，G，Q 三点共线，
∴
＝1，解得µ＝．
故选：D．
13．已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意⼀点，且EF∥BC，实数x，y 满⾜
，设△ABC，
△PBC，△PCA，△PAB 的⾯积分别为S，S1，S2，S3，记
，
，
，则λ2•λ3取
最⼤值时，3x+y 的值为（
）
A．
B．
C．1
D．2
【解答】解：由题意可知：λ1+λ2+λ3＝1，
∵P 是△ABC 的中位线EF 上任意⼀点，且EF∥BC，
∴
，
∴
，
∴λ2λ3≤（
）2＝
，
当且仅当λ2＝λ3＝时取等号，
∴λ2•λ3取最⼤值时P 为EF 的中点，
延⻓AP 交BC 于M，则M 为BC 的中点，
∴PA＝PM，
∴
＝﹣
＝﹣（
），
⼜∵
，
∴x＝y＝，
∴3x+y＝2．
故选：D．
14．在△ABC 中，⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，点O，G，P，Q 分别为△ABC 所在平⾯内⼀点，
且
有
，
，
，
，则点O，G，P，Q 分别为
△ABC 的（
）
A．垂⼼，重⼼，外⼼，内⼼
B．垂⼼，重⼼，内⼼，外⼼
C．外⼼，重⼼，垂⼼，内⼼
D．外⼼，垂⼼，重⼼，内⼼
【解答】解：
，得
，
设AB 的中点为M，则
，即M，G，C 三点共线，
∴G 在△ABC 的中线CM 上，同理可得G 在△ABC 的其余两边的中线上，
即G 为△ABC 的重⼼；
∵
，得
，
∴
，
∴
，则
，同理可得
，
，
即O 是△ABC 三边上⾼线的交点，则O 为△ABC 的垂⼼；
延⻓CQ 交AB 于点N，因为C，Q，N 三点共线，则设
（k＜0），
∵
，
，
代⼊
，得
，
∴
①，
⼜∵
与
共线，
与
、
不共线，
∴只能当ak+bk+c＝0 且
时，①成⽴，
∴
，则
，
由正弦定理得：
，
⼜∵∠BNC+∠ANC＝π，则sin∠BNC＝sin∠ANC，
即sin∠BCN＝sin∠ACN，⼜0＜∠ACB＜π，
∴∠BCN＝∠ACN，
则CN 是∠ACB 的⻆平分线，即点Q 在∠ACB 的⻆平分线上，
同理可得，Q 在∠ABC，∠BAC 的垂直平分线上，
∴Q 是△ABC 的内⼼；
由
，得
，即
，
⼜∵M 是AB 的中点，
∴P 在AB 的垂直平分线上，
同理可得，P 在△ABC 中AC，BC 的垂直平分线上，
∴P 是△ABC 的外⼼；
综上，Q 是△ABC 的垂⼼，重⼼，外⼼，内⼼．
故选：A．
15．已知平⾯上四个点A，B，C，D，其中任意三个不共线．若
，则直线AD ⼀定经过三
⻆形ABC 的（
）
A．外⼼
B．内⼼
C．重⼼
D．垂⼼
【解答】解：根据
，可得
•
﹣
•
＝0，即
•（
﹣
）＝0，
即
•
＝0，可得
⊥
，即AD⊥CB，
所以直线AD 是△ABC 中的BC 边上的⾼所在直线，
即直线AD ⼀定经过三⻆形ABC 的垂⼼．
故选：D．
16．已知O，N，P 满⾜
，
，
则点O，N，P
依次是△ABC 的（
）
A．重⼼，外⼼，垂⼼
B．重⼼，外⼼，内⼼
C．外⼼，重⼼，垂⼼
D．外⼼，重⼼，内⼼
【解答】解：由题意得|
|＝|
|＝|
|，∴O 是△ABC 外接圆的圆⼼，即O 是外⼼；
取BC 中点D，
∵
，∴
＝﹣（
）＝﹣2
，
∴NA 所在直线经过BC 中点D，与中线共线，
同理可得NB，NC 分别与AC，AB 边的中线共线，
∴N 是三⻆形中三条中线交点，∴N 是重⼼；
∵
，
∴
＝0，（
）
＝0，
，∴PB⊥AC，
同理得PC⊥AB，PA⊥BC，即P 是三⻆形的垂⼼．
故选：C．
17．已知G 为△ABC 的重⼼，则（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图所示，连接BG，并延⻓交AC 于点D，
则D 为AC 中点，∵G 为△ABC 的重⼼，
∴
＝•
＝
＝
＝
＝
．
故选：B．
18．在△ABC 中，若动点P 满⾜
，则P 点的轨迹⼀定经过△ABC 的（
）
A．重⼼
B．垂⼼
C．外⼼
D．内⼼
【解答】解：∵
，
∴
，
可得
，
∴
，
设BC 的中点为D，则
，即
，
∴
，得
，
∴点P 在线段BC 的中垂线上．
故点P 的轨迹过△ABC 的外⼼．
故选：C．
19．在△ABC 中，若动点P 满⾜
，则P 点的轨迹⼀定经过△ABC 的（
）
A．重⼼
B．垂⼼
C．外⼼
D．内⼼
【解答】解：因为
，
所以
，
设BC 的中点为D，则
，则
，
即
，所以
，
所以点P 在线段BC 的中垂线上，故点P 的轨迹过△ABC 的外⼼．
故选：C．
20．O 是△ABC 所在平⾯上⼀点，若
，则O 是△ABC
的（
）
A．重⼼
B．外⼼
C．内⼼
D．垂⼼
【解答】解：
＝
，即
，
同理可得，
，
，
故
，即O 是△ABC 的外⼼．
故选：B．
21
．
已
知
O
是
△
ABC
所
在
平
⾯
内
⼀
点
，
且
点
O
满
⾜
，则点O ⼀定是△ABC 的
（
）
A．外⼼
B．重⼼
C．内⼼
D．垂⼼
【解答】解：因为
，所以
，
则
，
即∠OAB＝∠OAC，OA 是∠BAC 的⻆平分线，
同理可得OB 是∠ABC 的⻆平分线，OC 是∠ACB 的⻆平分线，
所以点O 为△ABC 三条⻆平分线的交点，即点O 是△ABC 的内⼼．
故选：C．
22．下列命题错误的是（
）
A．两个向量的和仍是⼀个向量
B．当向量与向量不共线时，+ 与，都不同向，且| + |＜| |+| |
C．当⾮零向量，同向时，+ 与，都同向，且| + |＝| |+| |
D．当⾮零向量，反向时，﹣与或反向，且| ﹣|＝| |﹣| |
【解答】解：A．两个向量的和仍是⼀个向量，正确；
B．当向量与向量不共线时，+ 与，都不同向，且| + |＜| |+| |，正确；
C．当⾮零向量，同向时，+ 与，都同向，且| + |＝| |+| |，正确；
D．当⾮零向量，反向时，﹣与或反向，且| ﹣|＝±（| |﹣| |），因此不正确．
故选：D．
23．对于任意向量
，下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于A，任意向量、、，都有| + + |≥| + |﹣| |≥| |﹣| |﹣| |，∴A 正确；
对于B，当向量、是⾮零向量，且互为相反向量，＝时，| + + |＜| |+| |﹣| |，B 错误；
对于C，当向量、是⾮零向量，且互为相反向量，＝时，| + + |＜| |+| |，C 错误；
对于D，当向量、是⾮零向量，且互为相反向量，＝时，| + + |＜| |﹣| |，D 错误．
故选：A．
24．⻢戏表演中，⼩猴⼦模仿⼈类做引体向上运动的节⽬深受观众的喜爱，当⼩猴⼦两只胳膊拉着单杠并
处于平衡状态时，每只胳膊的拉⼒⼤⼩为50N，此时两只胳膊的夹⻆为60°，试估算⼩猴⼦的体重约为
（
）
参考数据：取重⼒加速度⼤⼩为
．
A．9.2kg
B．7.5kg
C．8.7kg
D．6.5kg
【解答】解：作出⼩猴的受⼒示意图如图所示，
由题意，
，∠AOB＝60°，
作平⾏四边形OACB，则OACB 是菱形，
则
，
，
所以
，
因此⼩猴的体重约为
．
故选：C．
25．在⽇常⽣活中，我们会看到两个⼈共提⼀桶⽔或者共提⼀个⾏李包这样的情景．假统⾏李包或者⽔桶
所受重⼒为G，作⽤在⾏李包或者⽔桶上的两个拉⼒分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹⻆为α，
下列结论中正确的是（
）
A．当
时，|F1|＝|G|
B．当
时，
C．当
时，|F1|有最⼩值
D．α越⼩越费⼒，α越⼤越省⼒
【解答】解：设
，
，
，
由题意可得：四边形ACBE 为菱形且
，
因为F1与F2的夹⻆为α，（
），
则
，
即
，
对于A，当
时，|CA|＝|CE|，
则|F1|＝|G|，
即A 正确；
对于B，当
时，
，
则|F1|＝
|G|，
即B 错误；
对于C，当
取最⼤值时，|F1|有最⼩值，
⼜
，
即当
时，|F1|取不到最⼩值，
即C 错误；
对于D，α越⼩，
越⼤，
越⼩，α越⼤，
越⼩，
越⼤，
即D 错误．
故选：A．
26．若同⼀平⾯内的三个⼒
，
，
作⽤于同⼀个物体，且该物体处于平衡状态．已知|
|＝3，|
|
＝4，且
与
的夹⻆为120°，则⼒
的⼤⼩为（
）
A．37
B．
C．13
D．
【解答】解：由题意可知，
＝，
所以
＝﹣（
），
所以|
|2＝
＝（
）2＝
＝32+2×3×4×cos120°+42＝13，
所以|
|＝
，
即⼒
的⼤⼩为
．
故选：D．
27．河⽔的流速为2m/s，⼀艘⼩船想沿垂直于河岸⽅向以10m/s 的速度驶向对岸，则⼩船实际航⾏的速度
⼤⼩为（
）
A．10m/s
B．2
m/s
C．4
m/s
D．12m/s
【解答】解：根据题意做出图形，如图：
以
表示⽔流速度，
表示船⾏速度，
表示船在静⽔中的速度．
由题意知
，
由勾股定理可得
，解得
．
故选：B．
28．如图，⼀条河的南北两岸平⾏．游船在静⽔中的航⾏速度
的⼤⼩为10km/h，⽔流的速度
的⼤⼩
为4km/h，则游船要从A ⾏到正北⽅向上位于北岸的码头B 处，其航⾏速度的⼤⼩（
）
A．
B．
C．
D．14km/h
【解答】解：如图，以
为邻边作平⾏四边形，根据
得，航⾏速度的⼤⼩
为
．
故选：A．
⼆．填空题（共1 ⼩题）
29．⼀艘船以4km/h 的速度沿着与⽔流⽅向成120°的⽅向航⾏，已知⽔流速度为2km/h，则经过2h，船的
实际航程为
km．
【解答】解：如图，设⽔流速度与船速度的合速度为，
在△OAB 中，A＝60°，OA＝2，AB＝4，
由余弦定理可得，OB2＝OA2+AB2﹣2OA•AB•cos60°＝
，
所以OB＝
，
则
km/h，即船的实际速度为
km/h，
故经过2h，该船的实际航程为
＝
km．
故答案为：
．
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平⾯向量——题型18
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
B
B
C
D
B
B
⼀．选择题（共8 ⼩题）
1．在平⾏四边形ABCD 中，AB＝1，AD＝2，AB⊥AD，点P 为平⾏四边形ABCD 所在平⾯内⼀点，且
，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：以AB、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建⽴如图所示平⾯直⻆坐标系．
设P（x，y），则A（0，0），B（1，0），C（1，2），
所以
＝（1﹣x，﹣y），
＝（1﹣x，2﹣y），可得
＝（1﹣x）2﹣y（2﹣y）＝
，
整理得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝，
设
，θ∈[0，2π]，可得
，
因为
＝（x，y），
＝（1，2），
所以
＝x+2y＝
＝
，
其中
，
，
结合﹣1≤sin（θ+φ）≤1，可得
，
所以
的取值范围是
．
故选：B．
2．已知△ABC 中，AC＝1，
，AB＝2，点P，Q 是线段AB 上的动点，则
的取值范围是（
）
A．
B．[0，1]
C．
D．[0，3]
【解答】解：建⽴直⻆坐标系，如图：
则线段AB 的⽅程为
，
设
，Q（n，
（1﹣n））（m，n∈[0，1]），
则
＝mn+3（1﹣m）（1﹣n）＝3﹣3（m+n）+4mn≤（m+n）2﹣3（m+n）+3，
令t＝m+n，（0≤t≤2），则
，
当t＝0 时，即m＝n＝0 时，ymax＝3，所以排除A、B；
当CP⊥CQ 时，
．
所以则
的取值范围是[0，3]．
故选：D．
3．已知点A（2，0），B（4，0），P 是直线y＝x 上的动点，B 在直线AP 上的投影为Q，则
的
最⼩值为（
）
A．3
B．
C．4
D．
【解答】解：因为BQ⊥AP，所以cos∠BPQ＝
＝
，
可得
•
＝|
|•|
|cos∠BPQ＝|
|•|
|•
＝
．
根据点P 在直线y＝x 上，设P（a，a），可得
＝（2﹣a，﹣a），
＝（4﹣a，﹣a），
所以
•
＝（2﹣a）（4﹣a）+（﹣a）•（﹣a）＝2a2﹣6a+8，
由⼆次函数的性质，可知：当a＝时，
•
有最⼩值，等于2×
﹣6×
+8＝．
所以
的最⼩值
．
故选：B．
4．已知△ABC 是边⻓为2 的正三⻆形，点D 满⾜AD＝2，∠BDC＝
，则
的最⼤值为（
）
A．2
B．4
C．2
D．4
【解答】解：由题意，可知点B、C、D 在以A 为圆⼼、半径r＝2 的圆上，
取BC 的中点E，以A 为坐标原点，过点A 平⾏于BC 的直线为x 轴，
AE 所在的直线为y 轴，建⽴如图所示的平⾯直⻆坐标系，
则A（0，0），
，
，
设D（2cosθ，2sinθ），由
，可知点D 在优弧
（端点除外）上运动，故
，
根据
，
＝（2，0），可得
•
＝4cosθ≤4，当且仅当θ＝0 时等号成⽴．
所以当θ＝0 时，即点D 的坐标为（2，0）时，
•
取得最⼤值4．
故选：B．
5．在等腰△ABC 中，⻆A，B，C 所对应的边为a，b，c，B＝C＝
，a＝2
，P 是△ABC 外接圆上⼀点，
则
•
+
•
+
•
的取值范围是（
）
A．[﹣3，23]
B．[﹣1，33]
C．[﹣2，30]
D．[﹣4，20]
【解答】解：由题意等腰△ABC 中，
，
，
故
，
设△ABC 外接圆半径为R，
则
，
即R＝2，
以△ABC 的外接圆圆⼼为原点，以BC 的垂直平分线为y 轴，过点O 作BC 的平⾏线为x 轴，建⽴平⾯
直⻆坐标系，
则
，
设P（2cosθ，2sinθ），θ∈[0，2π]，
则
，
，
则
，
，
故
，
因为sinθ∈[﹣1，1]，
故14﹣16sinθ∈[﹣2，30]，
即
的取值范围是[﹣2，30]．
故选：C．
6．已知边⻓为2 的菱形ABCD 中，点F 为BD 上⼀动点，点E 满⾜
，
，则
的
最⼤值为（
）
A．0
B．
C．
D．3
【解答】解：由
，可得
，
设∠DAB＝θ，
可得
＝
＝
＝
＝cosθ﹣1
＝
，
所以
，
因为θ∈[0，π]，
所以
，
以AC 与BD 交点O 为原点，以AC，BD 所在的直线分别为x 轴和y 轴建⽴平⾯直⻆坐标系，
如图所示，
则
，
，B（0，﹣1），
设F（0，t），且﹣1≤t≤1，
则
，
，
，
当t＝1 时，
．
故选：D．
7．如图，在边⻓为2 的正⽅形ABCD 中．以C 为圆⼼，1 为半径的圆分别交CD，BC 于点E，F．当点P
在劣弧EF 上运动时，
的取值范围为（
）
A．[1﹣2
，﹣]
B．[1﹣2
，﹣1]
C．[﹣1，1﹣
]
D．[1﹣2
，1﹣
]
【解答】解：建⽴如图所示的平⾯直⻆坐标系，
则B（0，﹣2），D（﹣2，0），
设P（cosθ，sinθ），其中
，
则
＝（cosθ，sinθ+2）•（cosθ+2，sinθ）
＝2sinθ+2cosθ+1
＝
，
⼜
，
则
，
则
，
则
．
故选：B．
8．如图，在梯形ABCD 中，
且AB⊥AD，P 为以A 为圆⼼AD 为半径的
圆弧上的⼀动点，
则
的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：以AB 为x 轴，AD 为y 轴，建系如图，
则A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1），
设
，
∴
，
，
，
∴
＝2cos2α﹣3cosα+2sin2α﹣3sinα+1＝
⼜
，∴当
时，
有最⼩值
．
故选：B．
⼆．填空题（共2 ⼩题）
9．在△OAB 中，∠AOB＝90°，
，D 为AB 的中点，P，Q 是以O 为圆⼼，2 为半径的
圆上的两个动点，线段PQ 过点O，则
可⽤
，
表示为
（
+
）；
的最⼩值为
﹣
12
．
【解答】解：由D 为AB 的中点，P，Q 是以O 为圆⼼，2 为半径的圆上的两个动点，线段PQ 过点O，
如图：
＝
+
+
，
＝
+
+
，
所以，2
＝
+
+
+
+
+
，
所以，
＝（
+
）．
以OA，OB 所在直线分别为x，y 轴，建⽴平⾯直⻆坐标系，则A（2
，0），B（0，2
），
设P（2cosθ，2sinθ），则Q（﹣2cosθ，﹣2sinθ），
＝（2
﹣2cosθ，﹣2sinθ）•（2cosθ，2
+2sinθ）＝4
cosθ﹣4cos2θ﹣4
sinθ﹣4sin2θ
＝4
cosθ﹣4
sinθ﹣4＝8cos（θ+
）﹣4∈[﹣12，4]．
故答案为：（
+
）；﹣12．
10．在边⻓为2 的等边三⻆形ABC 中，点D 为边BC 的中点，点P 在三⻆形ABC 所在的平⾯内，且满⾜|DP|
＝1，则
的最⼤值为
2
+3
．
【解答】解：已知等边三⻆形ABC 的边⻓为2，点D 为边BC 的中点，可得AD⊥BC，且AD＝
，
以D 为坐标原点，BC，AD 所在的直线分别为x，y 轴建⽴平⾯直⻆坐标，
则
，B（﹣1，0），C（1，0），
设点P（x，y），则
，
＝（﹣1，
），
＝（﹣2，0），
可得
+
＝（﹣3，
），
所以
•（
+
）＝3x+
（
﹣y）＝3x﹣
y+3，
⼜因为|DP|＝1，所以x2+y2＝1，
设x＝cosθ，y＝sinθ，
则
•（
+
）＝3cosθ﹣
sinθ+3＝2
cos（θ+
）+3≤2
+3，当θ＝﹣
+2kπ，k∈Z 时取等
号．
所以
的最⼤值为
．
故答案为：
．
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平⾯向量——题型19
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
答案
A
D
A
C
D
⼀．选择题（共5 ⼩题）
1．已知△ABC 是边⻓为
的等边三⻆形，其中⼼为O，P 为平⾯内⼀点，若OP＝1，则
的最⼩
值是（
）
A．﹣11
B．﹣6
C．﹣3
D．﹣15
【分析】取AB 的中点D，则|
|＝|
|＝
，|OD|＝2，由平⾯向量的加法运算和数量积运算，可得
＝
﹣
＝
﹣12，⽽点P 在以O 为圆⼼，1 为半径的圆上，故|PD|min＝|OD|﹣1，将结果
代⼊上式即可得解．
【解答】解：如图所示，取AB 的中点D，则|
|＝|
|＝
，|OD|＝|CD|＝×
＝2，
∴
＝（
+
）（
+
）＝
﹣
＝
﹣12．
∵OP＝1，
∴点P 在以O 为圆⼼，1 为半径的圆上，
∴|PD|min＝|OD|﹣1＝2﹣1＝1
∴
的最⼩值为﹣11．
故选：A．
【点评】本题考查平⾯向量在⼏何中的应⽤、圆的最值问题等，考查学⽣的数形结合思想、逻辑推理能
⼒和运算能⼒，属于中档题．
2．四边形ABCD 是边⻓为4 的正⽅形，点P 是正⽅形内的⼀点，且满⾜
，则
的最⼤值是（
）
A．1+
B．
C．
D．
【分析】根据题意建⽴直⻆坐标系，设P（x，y），写出A，B，C，D 坐标，可得P 点的轨迹⽅程，进⽽
可求出
的最⼤值．
【解答】解：根据题意，建⽴如图所示的直⻆坐标系，
设P（x，y），A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），
则
，
，
，
，
故
，
所以
，
即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，
故点P 在以点（2，2）为圆⼼，1 为半径的圆周上运动，
所以
的最⼤值为
．
故选：D．
【点评】本题考查向量的应⽤，属于中档题．
3．在△ABC 中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，P 为△ABC 所在平⾯内的动点，且PC＝1．则|
|的最⼤
值为（
）
A．2
B．
C．
D．
+1
【分析】根据题意，点P 在以C 为圆⼼、半径r＝1 的圆上运动，设AB 的中点为D，则
+
＝2
，
由圆的性质求出P、D 两点的距离的最⼤值，进⽽可得所求答案．
【解答】解：设AB 的中点为D，则
+
＝2
，
△ACD 中，∠A＝90°，AD＝AB＝2，AC＝3，可得CD＝
＝
．
因为P 为△ABC 所在平⾯内的动点，且PC＝1，
所以点P 的轨迹是以C 为圆⼼、半径r＝1 的圆，可知|
|的最⼤值为CD+r＝
+1．
结合
+
＝2
，可知|
+
|的最⼤值为2（
+1）＝2
+2．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量的线性运算法则、三⻆形中线的性质、解三⻆形及其应⽤、圆的性质等知识，
属于中档题．
4．已知△ABC为等边三⻆形，AB＝2，△ABC所在平⾯内的点P满⾜|
﹣
﹣
|＝1，|
|的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】建⽴直⻆坐标系，设出点P 的坐标，求出点P 的轨迹⽅程，利⽤图形关系可得|
|的最⼩值．
【解答】解：以AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建⽴如图所示的直⻆坐标系，
设P（x，y），则
﹣
﹣
＝（x+1，y）﹣（2，0）﹣（1，
）＝（x﹣2，y﹣
），
因为|
﹣
﹣
|＝1，所以|
﹣
﹣
|2＝1，
即
，即点P 的轨迹为以M（2，
）为圆⼼，1 为半径的圆，
所以点P 在AM 和圆交点时最⼩，即|
|的最⼩值为AM﹣r＝2
﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平⾯向量的模，以及轨迹⽅程，解题的关键是利⽤⼏何的⽅法直观找出AP 最
⼩时P 的位置，同时考查了数形结合的思想，属于中档题．
5．设向量
满⾜
，
，
，
，则
的最⼤值等于（
）
A．1
B．2
C．
D．
【分析】由题意可设＝（1，0），＝（0，2），＝（x，y），运⽤向量的加减运算和数量积的坐标表示，
以及圆的性质，可得所求最⼤值．
【解答】解：向量
满⾜
，
，
，
可设＝（1，0），＝（0，2），＝（x，y），
，可得（x，y）•（1﹣x，2﹣y）＝x（1﹣x）+y（2﹣y）＝0，
即为x2+y2﹣x﹣2y＝0，可得圆（x﹣）2+（y﹣1）2＝，
即圆⼼（，1），半径为
，
则
的最⼤值为2r＝
，
故选：D．
【点评】本题考查向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查圆的⽅程的运⽤，考查运算能⼒和推理能
⼒，属于基础题．
⼆．填空题（共3 ⼩题）
6．△ABC 为等边三⻆形，且边⻓为2，则
与
的夹⻆⼤⼩为
120°
，若|
|＝1，
＝
，则
的最⼩值为
﹣3﹣
．
【分析】根据平⾯向量的夹⻆与数量积定义，平⾯向量的线性运算，函数思想即可求解．
【解答】解：∵△ABC 为等边三⻆形，∴则
与
的夹⻆为B 的补⻆，
即
与
的夹⻆⼤⼩为120°，
∵|
|＝1，∴D 在以B 为圆⼼，1 为半径的圆上，
⼜
＝
，△ABC 为等边三⻆形，且边⻓为2，
∴BE⊥AC，且BE＝
，
设
＝θ，则θ∈[0，π]，
∴
＝
＝
＝
，θ∈[0，π]，
∴θ＝π时，cosθ＝﹣1，
取得最⼩值
，
故答案为：120°；
．
【点评】本题考查平⾯向量的夹⻆与数量积定义，平⾯向量的线性运算，函数思想，属基础题．
7．已知△ABC 是边⻓为
的正三⻆形，点P 是△ABC 所在平⾯内的⼀点，且满⾜
，
则
的最⼩值是
3
．
【分析】设△ABC 的重⼼为G，根据三⻆形重⼼的性质，化简得到
，由此算出
，
可知点P 的轨迹是以G 为圆⼼，1 为半径的圆，从⽽利⽤圆的性质算出
的最⼩值．
【解答】解：设△ABC 的重⼼为G，可得
．
所以
，
结合题意
，可得
，即
．
所以点P 的轨迹是以G 为圆⼼，1 为半径的圆．
因为正△ABC 中，边⻓AB＝
，所以AG＝
＝4，
所以
的最⼩值为AG﹣1＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查正三⻆形的性质、三⻆形重⼼的性质、解三⻆形及其应⽤等知识，属于中档题．
8．已知平⾯向量
满⾜
，
，且
，若向量
，
的夹⻆为60°，则
的最⼤值是
．
【分析】由题意可得∠APB＝120°，⼜因为向量
，
的夹⻆为60°，即∠ACB＝60°，所以点C 在
优弧
上运动，故
的最⼤值是△ABC 的外接圆的直径，然后结合正弦定理求解即可．
【解答】解：设
，
，
，
由
，
，且
，
则
，
即∠APB＝120°，
因为向量
，
的夹⻆为60°，
即∠ACB＝60°，
所以点C 在优弧
上运动，
故
的最⼤值是△ABC 的外接圆的直径，
由余弦定理可得
，
由正弦定理可得
．
故
的最⼤值是
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了平⾯向量的夹⻆，重点考查了平⾯向量的⼏何意义，属基础题．
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程序
平⾯向量——题型20
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
D
C
B
D
C
C
A
⼀．选择题（共10 ⼩题）
1．如图，BC，DE 是半径为1 的圆O 的两条直径，
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵
＝2
，r＝1，∴|
|＝．
∴
＝（
）•（
）＝
+
•（
）+
＝
＝﹣．
故选：B．
2．半径为2 的圆O 上有三点A、B、C 满⾜
，点P 是圆内⼀点，则
的取值
范围为（
）
A．[﹣4，14）
B．（﹣4，14]
C．[﹣4，4）
D．（﹣4，4]
【解答】解：如图，设OA 与BC 交于点D，由
，得四边形OBAC 是菱形，且OA＝OB＝
2，
则AD＝OD＝1，BD＝DC＝
，
由图知
＝
+
，
＝
+
，⽽
＝﹣
，
所以
•
＝
2﹣
2＝|
|2﹣|
|2＝|
|2﹣3，
同理
＝
+
，
＝
+
，⽽
＝﹣
，
所以
•
＝
2﹣
2＝|
|2﹣|
|2＝|
|2﹣1，
所以
＝2|
|2﹣4，
因为点P 是圆内⼀点，则0≤|
|＜3，
所以﹣4≤
＜14．
即
的取值范围为[﹣4，14）．
故选：A．
3．正三⻆形ABC 的边⻓为3，点D 在边AB 上，且
，三⻆形ABC 的外接圆的⼀条弦MN 过点D，
点P 为边BC 上的动点，当弦MN 的⻓度最短时，
的取值范围是（
）
A．[﹣1，5]
B．[﹣1，7]
C．[0，2]
D．[1，5]
【解答】解：设O 为△ABC 外接圆的圆⼼，
因为
，所以OD＝AC＝1，
当弦MN 的⻓度最短时，MN⊥OD，
在△ABC 中，由正弦定理知，外接圆半径R＝
＝
＝
，即OM＝
，
所以MN＝2MD＝2
＝2
＝2
，
因为（
+
）2＝（
﹣
）2+4
•
，即（2
）2＝
2+4
•
，
所以
•
＝
2﹣
2＝
2﹣•
＝
2﹣2，
因为点P 为线段BC 上的动点，
所以当点P 与点Q 重合（DQ⊥BC）时，|
|min＝|DQ|＝|BD|sin60°＝2×
＝
；
当点P 与点C 重合时，|
|max＝|CD|，
在△BCD 中，由余弦定理知，|CD|2＝|BC|2+|BD|2﹣2|BC|•|BD|cos∠ABC＝9+4﹣2×3×2×
＝7，
所以|
|max＝|CD|＝
，
综上，|
|∈[
，
]，
所以
•
＝
2﹣2∈[1，5]．
故选：D．
4．如图，在半径为1 的扇形AOB 中，∠AOB＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P，则
•
的最
⼩值是（
）
A．﹣4
B．﹣
C．﹣
D．﹣
【解答】解：∵OA＝OB＝1，∠AOB＝60°，
∴△OAB 为等边三⻆形，则AB＝1，
设BP＝x，则AP＝1﹣x，（0≤x≤1），
∴
＝（
）•
＝
+
＝|
|•|
|cos＜
，
＞+|
|•|
|cos＜
，
＞
＝1•x•cos
+（1﹣x）•x•cosπ
＝x2﹣x
＝（x﹣）2﹣
，
∵0≤x≤1，
∴当x＝时，
取得最⼩值为﹣
．
故选：D．
5．已知正⽅形ABCD 的⾯积为2，点P 在边AB 上，则
•
的最⼤值为（
）
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：以AB 为x 轴，以AD 为y 轴建⽴平⾯直⻆坐标系，
∵正⽅形ABCD 的⾯积为2，∴B（
，0），C（
），D（0，
）．
设P（x，0）（0
），则
＝（
，
），
＝（﹣x，
）．
∴
＝﹣x（
）+2＝x2﹣
+2＝（x﹣
）2+
．
∴当x＝0 或
时，
取得最⼤值为2．
故选：C．
6．如图，已知正⽅形ABCD 的边⻓为2，若动点P 在以AB 为直径的半圆上（正⽅形ABCD 内部，含边界），
则
的取值范围为（
）
A．（0，4）
B．[0，4]
C．（0，2）
D．[0，2]
【解答】解：以A 为坐标原点，AB，AD 所在直线分别为x，y 轴建⽴平⾯直⻆坐标系，如图，
则A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），P（1+cosθ，sinθ）（0≤θ≤π），
所以
，
，
所以
＝cos2θ﹣1+4﹣4sinθ+sin2θ＝4﹣4sinθ，
因为0≤θ≤π，所以sinθ∈[0，1]，所以4﹣4sinθ∈[0，4]．
故选：B．
7．在直⻆梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2AB＝2BC＝2，点P 为梯形ABCD 四条边上的⼀个
动点，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．[﹣1，4]
D．
【解答】解：如图△ABP 中，O 为AB 中点，
则
，
如图，取AB 中点O，
则
，
要求
取值范围，只需要求PO2最⼤值，最⼩值即可．
由图，当P 在D 点时，PO2最⼤时，且
，
此时
，
当P 在O 点时，PO2最⼩时，且PO2＝0，
此时
，
综上所得，
取值范围为：
．
故选：D．
8．在△ABC 中，点E，F 分别是线段AB，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的⾯积为4，则
的最⼩值是（
）
A．2
B．
C．4
D．
【解答】解：如图所示，以BC 中点为原点，
BC 边为x 轴建⽴平⾯直⻆坐标系，
设BC 边⻓为4a，则BC 边上的⾼为
，
⼜E，F 分别为AB，AC 的中点，
∴
，
则
，
所以
＝
，
当且仅当
时取等号，且有最⼩值，
此时
取得最⼩值4．
故答案为：C．
9．⻘花瓷（blue and white porcelain），⼜称⽩地⻘花瓷，常简称⻘花，是中国瓷器的主流品种之⼀，属釉
下彩瓷．原始⻘花瓷于唐宋已⻅端倪，成熟的⻘花瓷则出现在元代景德镇的湖⽥窑．图⼀是⼀个由波涛
纹和葡萄纹构成的正六边形⻘花瓷盘，已知图⼆中正六边形的边⻓为2，圆O 的圆⼼为正六边形的中⼼，
半径为1，若点M 在正六边形的边上运动，动点A，B 在圆O 上运动且关于圆⼼O 对称，则
的
取值范围是（
）
A．[2，4]
B．
C．[2，3]
D．
【解答】解：连接AB，OM，
则
＝
，
根据图形可知，当点M 位于正六边形各边的中点时，|MO|有最⼩值为
，
此时
，
当点M 位于正六边形的顶点时，|MO|有最⼤值为2，
此时
，
故
，
即
的取值范围是[2，3]．
故选：C．
10．已知平⾯向量
满⾜
，则
的最
⼤值是（
）
A．
B．5
C．
D．
【解答】解：设
，
由
＝1，
得
，
∴|
|＝
＝|
|，
∴|
|2≤|
|2，
即
，
∴
．
故选：A．
⼆．填空题（共4 ⼩题）
11．如图，在平⾯四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA＝3，OC＝5，若
•
＝﹣7，则
•
的值是
9
．
【解答】解：平⾯四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，
且OA＝3，OC＝5，∴
+
＝；
若
•
＝﹣7，
则（
+
）•（
+
）＝
+
•
+
•
+
•
＝
+
•（
+
）﹣
＝32﹣
＝﹣7；
∴
＝16，
∴|
|＝|
|＝4；
∴
•
＝（
+
）•（
+
）
＝
•
+
•
+
•
+
＝﹣
+
•（
+
）+
＝﹣42+0+52
＝9．
12．如图，在平⾏四边形ABCD 中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，AD 边上的中
点，则
•
等于
．
【解答】解：在平⾏四边形ABCD 中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 边上
的中点，
则
，
，
∴
＝2
＝（
）
（
）
＝（
）＝．
故答案为：．
13．已知△OAB 的⾯积为1，AB＝2，动点P，Q 在线段AB 上滑动，且|PQ|＝1，则
的最⼩值为
．
【解答】解：设O 在AB 直线上的射影点为H，由△OAB ⾯积为1，AB＝2，
可得：OH＝1，⼜动点P，Q 在线段AB 上滑动，且|PQ|＝1，
∴
＝
＝
，
＝
，
∴当H 点落在线段PQ 之间时
，才能使得
越⼩，
此时HP+HQ＝PQ＝1，
＝
，
当且仅当HP＝HQ＝时取得等号，
∴
的最⼩值为1﹣＝．
故答案为：．
14．在⾯积为2 的平⾏四边形中ABCD 中，
，点P 是AD 所在直线上的⼀个动点，则
的最⼩值为
．
【解答】解：取BC 的中点Q，连接PQ，
则
，
则
，
∴
＝
．
当且仅当
且PQ⊥BC 时取等号．
故答案为：
．
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平⾯向量——题型21
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
答案
A
D
B
B
⼀．选择题（共4 ⼩题）
1．已知平⾯向量
满⾜
，则
的最
⼤值是（
）
A．
B．5
C．
D．
【解答】解：设
，
由
＝1，
得
，
∴|
|＝
＝|
|，
∴|
|2≤|
|2，
即
，
∴
．
故选：A．
2．已知与都是单位向量，且
，若向量满⾜
，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：，是单位向量，
，设
，
，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
表示圆上的点到原点的距离，
故
，∴
，
故选：D．
3．已知直线l：ax﹣y+2＝0 与圆M：x2+y2﹣4y+3＝0 的交点为A、B，点C 是圆M 上的⼀动点，设点P（0，
﹣1），
的最⼤值为（
）
A．12
B．10
C．9
D．8
【解答】解：由题意，圆M：x2+y2﹣4y+3＝0 可化为x2+（y﹣2）2＝1，
点P（0，﹣1），M（0，2），C（cosθ，2+sinθ），|PM|＝3，
|PC|＝
＝
≤4，
＝|2
+
|≤|2
|+|
|＝2×3+4＝10，
故选：B．
4．已知平⾯上的向量
、
满⾜|
|2+|
|2＝4，|
|＝2，设向量
＝2
+
，则|
|的最⼩值是（
）
A．1
B．2
C．
D．3
【解答】解：由于|
|2+|
|2＝4，|
|＝2，
∴|
|2+|
|2＝|
|2，
∴
⊥
，即
＝0，
由向量
＝2
+
，
则
2＝（2
+
）2＝4
2+4
+
2
＝4
2+
2
＝3
+4≥4，
∴|
|≥2，
故选：B．
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