6.7 平面向量在几何与物理中的应用
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：向量在平面几何中的应用..................................................2
考点二：用向量解决平面几何问题的步骤.........................................2
考点三：用向量证明平面几何问题的两种基本思路............................. 2
考点四：向量在物理中的应用举例..................................................2
考点五：利用向量法解决物理问题的步骤.........................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：用向量解决平面几何中的平行问题......................................3
题型二：用向量解决平面几何中的垂直问题......................................6
题型三：用向量解决线段的长度问题.............................................13
题型四：用向量解决夹角问题......................................................18
题型五：判断几何图形的形状......................................................22
题型六：向量与几何最值........................................................... 25
题型七：力的合成.................................................................... 30
题型八：速度、位移的合成........................................................ 36
题型九：功、动量的计算........................................................... 43
模块三：综合巩固....................................................................... 45
6.7 平面向量在几何与物理中的应用
模块一：基础知识
考点一：向量在平面几何中的应用
（1）平面两个向量的数量积：
| ||
| cos
a b
a b
；
1
2
1
2.
a b
x x
y y
（2）向量平行的判定:
/ / (
0)
a
b b
a
b
；
1
2
2
1
/ /
0.
a
b
x y
x y
（3）向量平行与垂直的判定:
0
a
b
a b
；
1
2
1
2
0.
a
b
x x
y y
（4）平面内两点间的距离公式：
2
2
1
2
1
2
|
|
(
)
(
)
AB
x
x
y
y
（其中
)
,
(
1
1 y
x
A
，
)
,
(
2
2 y
x
B
）
（5）求模：
a
a a
；
2
2
a
x
y
；
2
2
1
2
1
2
(
)
(
)
a
x
x
y
y
（6）对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平
面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”).
考点二：用向量解决平面几何问题的步骤
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系.
考点三：用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
考点四：向量在物理中的应用举例
向量的定义有着丰富的物理背景,物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就
是向量的数量积的物理背景,因此,向量可以解决一些物理问题归纳.
（1）力学问题的向量处理方法
①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,
再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；
②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既
有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上.
（2）速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成.
①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果.
②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标
来求解.
（3）功、动量问题的向量处理方法
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力F
与位移s
的数量积,
即
|
|| | cos
W
F s
F
s
(为F
与s
的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量mv
实际上是数乘向
量.
在解决问题时要注意数形结合
考点五：利用向量法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
①问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
模块二：题型分类
题型一：用向量解决平面几何中的平行问题
1.在四边形����中，��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ，�，�是��，��上的点，且��＝��.
求证：��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ.
【解题思路】利用��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ，可得四边形����是平行四边形，结合��= ��，即可证明��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬሬ.
【解答过程】∵��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ，∴��റ
ሬሬሬሬ
= ��റ
ሬሬሬሬ且��∥��，
∴四边形����是平行四边形
∴��= ��
,∵��= ��，∴��= ��
又∵��∥��
∴四边形����是平行四边形，∴��= ��
又��റ
ሬሬሬሬ与��റ
ሬሬሬሬሬ方向相同
∴��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬሬ.
2.已知在四边形ABCD中，
/ /
AB
CD
，求AD
与BC
分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况.
(1)四边形ABCD是等腰梯形；
(2)四边形ABCD是平行四边形.
【答案】(1) AD
BC
uuur
uuur
，且AD
与BC
不平行；
(2) AD
BC
（或
//
AD BC
）.
【分析】（1）根据向量共线的定义和梯形的判定条件可得结论；
（2）根据向量共线的定义和平行四边形的判定条件可得答案.
【详解】（1）解：AD
BC
uuur
uuur
，且AD
与BC
不平行.
因为
/ /
AB
CD
，所以四边形ABCD 为梯形或平行四边形.
若四边形ABCD 为等腰梯形，则AD
BC
uuur
uuur
，同时两向量不平行.
（2）解：AD
BC
（或
//
AD BC
）.
若AD
BC
，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD 为平行四边形.
3.求证：顺次连接任意凸四边形各边中点，构成一个平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】作图，连接四边形对角线，根据已知得出向量关系，根据向量的加减运算可推得
1
2
FE
CA
，同
理得出
1
2
GH
CA
.即可推得FE
GH
，进而得出证明.
【详解】
如图，凸四边形ABCD，
,
,
,
E F G H 分别为各边的中点.
连接
,
BD AC ，
因为
,
,
,
E F G H 分别为各边的中点，
所以，
1
2
BE
BA
，
1
2
BF
BC
，
所以，
1
1
1
2
2
2
BE
BF
BA
BC
BA
BC
，
即
1
2
FE
CA
.
同理可得，
1
2
GH
CA
.
所以，FE
GH
，
所以，
/ /
EF
GH ，且EF
GH
，
所以，四边形EFGH 为平行四边形.
4.证明：三角形两边中点所连线段平行于第三边且其长度等于第三边长度的一半.
【答案】证明见解析
【分析】转化题目为在ABC
中，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，即证：
//
DE BC ，且
1
2
DE
BC
，进
而利用向量的线性运算性质证明即可.
【详解】如图，在ABC
中，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，
即证：
//
DE BC ，且
1
2
DE
BC
.
证明：因为D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，
所以
1
2
AD
AB
，
1
2
AE
AC
，
所以
1
1
1
2
2
2
DE
AE
AD
AC
AB
BC
，
又D 不在BC 上，
所以
//
DE BC ，且
1
2
DE
BC
.
所以三角形两边中点所连线段平行于第三边且其长度等于第三边长度的一半.
5.在ABC
中，点M ，N 分别在线段AB ，AC 上，
2
AM
MB
，
2
AN
NC
.求证：
//
MN BC .
【答案】证明见解析
【分析】设AB
a
，AC
b
，即可表示出BC
，再由
2
3
AM
AB
，
2
3
AN
AC
，即可表示出MN
，从而得
到
2
3
MN
BC
，即可得证；
【详解】证明：设AB
a
，AC
b
，则BC
AC
AB
b
a
.
又
2
AM
MB
，
2
AN
NC
.所以
2
2
3
3
AM
AB
a
，
2
2
3
3
AN
AC
b
.
在AMN
中，
2
3
MN
AN
AM
b
a
，
所以
2
3
MN
BC
，即MN
与BC
共线，故
//
MN BC .
题型二：用向量解决平面几何中的垂直问题
1.在平面四边形ABCD 中，
2,3
AC
，
6,4
BD
，则该四边形的面积为（
）
A．52
B．2 52
C．13
D．26
【答案】C
【分析】根据AC BD
uuur uuur 判断AC 与BD 关系，根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半即可
求解.
【详解】∵
12 12
0
AC BD
，∴AC⊥BD，
所以四边形ABCD 面积为：1
1
4
9
36
16
13
2
2
AC
BD
.
故选：C.
2.用向量的方法证明在等腰三角形ABC 中，AB
AC
，点M 为边BC 的中点，求证：AM
BC
．
【答案】证明过程见解析
【分析】先得到
1
2
AM
AB
AC
uuur
uuur
uuur
，BC
AC
AB
，从而利用数量积公式求出
0
AM BC
，得到垂直关
系.
【详解】由题意得
1
2
AM
AB
AC
uuur
uuur
uuur
，BC
AC
AB
，
故
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
AM BC
AB
AC
AC
AB
AC
AB
AC
AB
，
因为AB
AC
，所以
2
2
1
0
2
AM BC
AC
AB
，
故AM
BC
.
3.如图，正方形ABCD 的边长为a，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，求证：DE⊥AF.
【答案】证明见解析
【分析】利用平面向量加法、数乘的几何意义有DE
· AF
＝
1
(
)
2
DA
AB
·
1
(
)
2
AB
AD
，根据数量积的运算
律，线段的位置、数量关系可得DE
· AF
＝0，即可证结论.
【详解】∵DE
· AF
＝
1
(
)
2
DA
AB
·
1
(
)
2
AB
AD
＝1
2 AB
2－1
2 AD
2
1
4 AD AB
DA AB
，而
,
AD
AB AD
AB
，
∴DE
· AF
＝0，
∴DE
⊥AF
，即DE⊥AF.
4.(多选)已知点
2,1
A
，
3, 2
B
，
18
5, 5
C
，
1,6
D
，则以下四个结论正确的是（
）
A．
/ /
AB
CD
B．AB
AD
C．AC
BD
D．AC
BD
【答案】AB
【分析】根据点
2,1
A
，
3, 2
B
，
18
5, 5
C
，
1,6
D
，得到
,
,
,
,
AB CD AC AD BD
的坐标，然后逐项判
断.
【详解】因为点
2,1
A
，
3, 2
B
，
18
5, 5
C
，
1,6
D
，
所以
12
13
5, 3 ,
4,
,
7,
,
3,5 ,
2,8
5
5
AB
CD
AC
AD
BD
，
因为
12
5
3
4
5
，所以
/ /
AB
CD
，故正确；
因为
5 3
3
5
0
，所以AB
AD
，故正确；
因为
2
2
2
2
13
1394
7
,
8
2
68
5
5
AC
BD
，所以AC
BD
，故错误；
因为
13
7
2
8
0
5
，所以AC
BD
不成立，故错误.
故选：AB
5.用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直．
【答案】证明见详解
【分析】根据向量的线性运算结合数量积分析证明.
【详解】对于菱形ABCD，可知AB
AD
，即AB
AD
，
因为
,
AC
AB
AD BD
AD
AB
，
可得
2
2
0
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
AC BD
AB
AD
AD
AB
AD
AB
，则AC
BD
，
所以菱形的两条对角线互相垂直.
6.在平面直角坐标系中，ABC
的三个顶点坐标分别为
0,
A
b ，
,0
B
a
，
,0
C a
(且
0
ab
)，D 为AB 的
中点，E 为ACD
的重心，F 为ABC
的外心．
(1)求重心E 的坐标；
(2)用向量法证明：EF
CD
．
【答案】(1)
,
6 2
a b
E
(2)证明见解析
【分析】（1）求出D 的坐标，根据重心坐标公式即可求出E 的坐标；
（2）求出F 的坐标，证明
0
CD EF
即可．
【详解】（1）如图，
∵
0,
A
b ，
,0
B
a
，
,0
C a
，
∴
,
2 2
a b
D
，则由重心坐标公式，得
,
6 2
a b
E
；
（2）
3 ,
2
2
a b
CD
．
易知ABC
的外心F 在y 轴上，可设为
0, y ．
由AF
CF
，得
2
2
2
y
b
a
y
，
∴
2
2
2
b
a
y
b
，即
2
2
0,
2
b
a
F
b
．
∴
2
,
6
2
a
a
EF
b
．
∴
2
3
0
2
6
2
2
a
a
b
a
CD EF
b
，
∴CD
EF
，即CD
EF
．
7.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F，G 分别是AD，BC 的三等分点
1
1
,
3
3
AF
AD BG
BC
.设AB a
= ，AD
b
.
(1)用a
，b
表示EF
，EG
.
(2)如果
3
|
|
|
|
2
b
a
，EF，EG 有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.
【答案】(1)
1
1
3
2
EF
b
a
；
1
1
2
3
EG
a
b
(2)
EF
EG ，证明见解析
【分析】（1）根据向量加减法法则和向量数乘即可求解；
（2）证明
0
EF EG
即可判断EF⊥EG.
【详解】（1）
1
1
1
1
3
2
3
2
EF
AF
AE
AD
AB
b
a
；
1
1
1
1
1
2
2
3
2
3
EG
EB
BG
AB
AF
AB
AD
a
b
.
（2）
EF
EG .
证明如下：
由（1）知，
1
1
3
2
EF
b
a
，
1
1
3
2
EG
b
a
，
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
9
1
0
3
2
3
2
9
4
9
4
4
EF EG
b
a
b
a
b
a
a
a
.
EF
EG
，
EF
EG
.
8.已知平面四边形ABCD中，|
| |
| 2|
| 2,|
|
3
AB
AD
DC
BC
，向量
,
AB AD
的夹角为3
.
(1)求证：AB
BC
；
(2)点E 是线段BC 中点，求EA ED
的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) 5
4 .
【分析】（1）画出示意图，根据边的关系可得
2
ABC
，因而AB
BC
．
（2）以B 为原点建立平面直角坐标系，写出各个点坐标，进而根据平面向量数量积的坐标运算即可求出
结果．
【详解】（1）根据题意，画出示意图如下图所示
由题意可知|
|=|
|=2
AB
AD
，
3
BAD
，所以三角形ABD 为等边三角形，
则
2
BD
，又
1,
3
DC
BC
，所以
2
2
2
DC
BC
BD
，
即
BCD
△
为直角三角形，且
,
2
6
C
B
，所以
3
6
2
ABC
，所以AB
BC
；
（2）根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
则
0,2 ,
3,1
A
D
，因为点E 是线段BC 中点，所以
3 ,0
2
E
，
则
3
3
,2 ,
,1
2
2
EA
ED
，所以
3
3
,2
,1
2
2
EA ED
，
3
2
4
5
4
9.已知在ABC
中，点M 是BC 边上靠近点B 的四等分点，点N 为AB 中点，设AM 与CN 相交于点P .
(1)请用AB
、AC
表示向量AM
；
(2)设AB
和AC
的夹角为，若
1
cos
4
，且
2
AC
AB
，求证：CN
AB
.
【答案】(1)
3
1
4
4
AM
AB
AC
.
(2)证明见解析.
【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得.
（2）以AB
、AC
为基底表示出向量CN
，结合向量的数量积公式，可证得CN
AB
.
【详解】（1）AM
AB
BM
1
4
AB
BC
1 (
)
4
AB
AC
AB
3
1
4
4
AB
AC
.
（2）
1
2
CN
AN
AC
AB
AC
，
1
2
CN AB
AB
AC
AB
2
1
2 AB
AB AC
2
1
cos
2 AB
AB
AC
2
1
1
2
2
4
AB
AB
AB
2
1
1
2
2
4
AB
AB
AB
0
，
CN
AB
.
10.如图所示，以△���两边��，��为边向外作正方形����和����，�为��的中点.求证：��⊥��.
【解题思路】把��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ看做两组基底向量，��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ，采用向量数量积公式，再结合角度关系进行
转化求解，进而得证
【解答过程】因为�是��的中点，所以��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
�
�(��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ).
又因为��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ，
所以��Ԧ
ሬሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
�(��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ) ⋅(��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ)
= �
�(��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ)
= �
�(�+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−�)
= �
�(��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ)
=
�
�[|��Ԧ
ሬሬሬሬ| ⋅|��Ԧ
ሬሬሬሬ|���(��° + ∠���) −|��Ԧ
ሬሬሬሬ||��Ԧ
ሬሬሬሬ| ⋅���(��° + ∠���)] = �，
所以��Ԧ
ሬሬሬሬሬ⊥��Ԧ
ሬሬሬሬ，即��⊥��.
11.如图，正方形ABCD 的边BC 在正方形BEFG 的边BG 上，联结AG、CE，AG 交DC 于H．
（1）证明：��⊥��；
（2）当点C 在BG 的什么位置时，��റ
ሬሬሬሬ⋅��റ
ሬሬሬ最小？
【解题思路】（1）建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用向量法证明
（2）建立直角坐标系，利用向量几何均值不等式求解即可.
【解答过程】以B 为原点，BE 所在所在直线为x 轴，以BG 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．设��= �，
��= �，且a<b，
∴�−�, �、��, �、��, �，��, �，∴��റ
ሬሬሬሬ= �, �，��റ
ሬሬሬሬ= �, −�，
∴��റ
ሬሬሬሬ⋅��റ
ሬሬሬሬ= ��−��= �，∴��റ
ሬሬሬሬ⊥��റ
ሬሬሬሬ，即��⊥��．
（2）易知�−
��−�
�
, �，��റ
ሬሬሬሬ= −
��−�
�
, �，
∴��റ
ሬሬሬሬ⋅��റ
ሬሬሬሬ=−��−�≥
��
�，当且仅当�=
�
��时取等号，
∴点C 在BG 的中点时，��റ
ሬሬሬሬ⋅��റ
ሬሬሬሬ最小．
12.在平面直角坐标系中，△���的三个顶点坐标分别为�0, �，�−�, 0 ，��, 0 (且��≠0)，D 为AB 的
中点，E 为△���的重心，F 为△���的外心．
(1)求重心E 的坐标；
(2)用向量法证明：��⊥��．
【解题思路】（1）求出D 的坐标，根据重心坐标公式即可求出E 的坐标；
（2）求出F 的坐标，证明��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= �即可．
【解答过程】（1）如图，
∵��, �，�−�, �，��, �，
∴�−
�
�,
�
�，则由重心坐标公式，得�
�
�,
�
�；
（2）��Ԧ
ሬሬሬሬ= −
��
�,
�
�．
易知△���的外心F 在y 轴上，可设为�, �．
由��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬሬ，得�−��= −��+ ��，
∴�=
��−��
��，即��,
��−��
��
．
∴��Ԧ
ሬሬሬሬ= −
�
�, −
��
��．
∴��
→
⋅��
→
= ( −
��
�) × ( −
�
�) +
�
�× ( −
��
��) = �，
∴��Ԧ
ሬሬሬሬ⊥��Ԧ
ሬሬሬሬ，即��⊥��．
题型三：用向量解决线段的长度问题
1.已知ABC
，
1
AB ，
2
AC
，
60
BAC
，点D 在BC 边上且
1
3
BD
BC
，则AD 长度为（
）
A．
3
B．
3
2
C．
3
3
D．2 3
3
【答案】D
【分析】利用向量数量积去求AD 长度即可.
【详解】ABC
中，点D 在BC 边上且
1
3
BD
BC
，
则
1
1
2
+
3
3
3
AD
AB BD
AB
AC
AB
AC
AB
又
1
AB
uuur
，
2
AC
，
60
BAC
，
则
2
2
2
1
2
1
4
4
=
3
3
9
9
9
AD
AC
AB
AC
AB
AC AB
1
4
4
1
2
4
1
1 2
3
9
9
9
2
3
，即AD 长度为2
3
3
故选：D
2.已知
,
2 ,|
| 2 |
| 2, ,
AB
a
b AC
a
b a
b
a b
的夹角为π
3 ，则三角形ABC 的BC 边上中线的长
为
.
【答案】13
2
【分析】设D 为BC 的中点，则2AD
AB
AC
，再由向量数量积的运算性质求解即可.
【详解】设D 为BC 的中点，则2AD
AB
AC
，
所以
2
2
2AD
AB
AC
，
所以
2
2
4
2
AD
a
b
，
所以
2
2
2
2
1
1
13
2
2 1
4
4
2
2
b
AD
a
a b
.
故答案为：
13
2
3.一个人骑自行车由A 地出发向东骑行了6km到达B 地，由B 地向南东30方向骑行了6km到达C 地，从
C 地向北偏东60骑行了2 3km 到达D 地，则A，D 两地的距离是
km ．
【答案】2 39
【分析】结合题意建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出AD
，从而求出AD
即可.
【详解】以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图，
则
(0,0),
(6,0)
A
B
，
(6
6sin30 , 6cos30 )
C
，即
(9, 3 3)
C
，
(9
2 3sin60 , 3 3
2 3cos60 )
D
，即
(12, 2 3)
D
，
所以
(12, 2 3)
AD
，故
2
2
12
( 2 3)
2 39
AD
.
所以A，D 两地距离为2 39km.
故答案为：2 39 .
4.在ABC
中，点D 是边BC 的中点，
120
BAC
，
3
AB ，
19
2
AD
，则AC 的值为（
）
A．5
B．6
C．
31
D．33
【答案】A
【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可.
【详解】如图所示，由题意可得：
2
2
2
1
1
19
2
2
4
4
AD
AB
AC
AD
AB
AC
AB AC
，
即
2
9
1
3
19
4
4
4
4
AC
AC
，解之得
5
AC
.
故选：A
5.已知向量
6
AB AC
，线段BC 的中点为M ，且
6
AM
，则BC
（
）
A．2 30
B．3 30
C．2 26
D．3 26
【答案】A
【分析】用平面向量基底
,
AB AC
表示
,
AM BC
，找到
,
AM
BC
的关系求解即可.
【详解】设
,
AB
a AC
b
，
则
1
1
,
2
2
AM
AB
AC
a
b
BC
AC
AB
b
a
，
由
2
2
2
2
2
2
1
2
,
2
4
AM
a
a b
b
BC
a
a b
b
，
得
2
2
4
4
AM
BC
a b
，又已知
6
AB AC
a b
，且
6
AM
，
则有
2
2
4
4
4(36
6)
120
BC
AM
a b
，
故
2 30
BC
.
故选：A.
6. ABC
中，
60
A
，∠A 的平分线AD 交边BC 于D，已知
3
AB ，且
1
2
3
3
AD
AC
AB
，则AD 的长
为（
）
A．
3
B．3
C．2 3
D．3 3
【答案】C
【分析】过D 作
/ /
DE
AC 交AB 于E ，作
/ /
DF
AB 交AC 于F ，由向量加法的平行四边形法则和向量的基
本定理得
2
3
AE
AB
，
1
3
AF
AC
，从而得BD
DC ，即可求得AC ，最后把
1
2
3
3
AD
AC
AB
平方可求得AD
．
【详解】如图，过D 作
/ /
DE
AC 交AB 于E ，作
/ /
DF
AB 交AC 于F ，
则AD
AE
AF
，又
1
2
3
3
AD
AC
AB
，
所以
2
3
AE
AB
，
1
3
AF
AC
，
所以
1
3
BD
AF
BC
AC
，即
1
2
BD
DC
，
又AD 是
BAC
的平分线，所以
1
2
AB
BD
AC
CD
，而
3
AB ，所以
6
AC
，
cos
3 6 cos60
9
AB AC
AB AC
BAC
，
2
2
2
2
1
2
1
4
4
(
)
3
3
9
9
9
AD
AC
AB
AC
AC AB
AB
2
2
1
4
4
6
9
3
12
9
9
9
，
所以
2 3
AD
，
故选：C．
7.如图，在ABC
中，
1
1
1
4,
6,
,
,
,
4
2
2
2
AB
AC
BD
DC BE
EA AF
FC DE DF
.
(1)求BC 的长；
(2)求AD 的长.
【答案】(1)2 22
(2) 2 7
3
【分析】（1）确定
1
3
DE
AC
，
2
3
DF
AB
，
18
AB AC
，
2
BC
AC
AB
，计算得到答案.
（2）
2
1
3
3
AD
AB
AC
，
2
2
1
3
3
AD
AB
AC
，计算得到答案.
【详解】（1）
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
DE
DB
BE
CB
AB
AB
AC
AB
AC
；
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
DF
DC
CF
BC
CA
AB
AC
AC
AB
，
4
2
9 AB A
DE DF
C
，故
18
AB AC
，
2
2
2
2
16
36
36
2 22
BC
AC
AB
AC
AB AC
AB
.
（2）
1
1
2
1
3
3
3
3
AD
AB
BD
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
，
2
2
2
2
1
4
4
1
3
3
9
9
9
AD
AB
AC
AB
AB AC
AC
4
4
1
2 7
16
18
36
9
9
9
3
.
8.在平面四边形ABCD中，
1
1
2
AB
BC
CD
DA DC
BA BC
，
，则AC
；
BD CD
.
【答案】
1
3
1
2
【分析】根据
1
2
BA BC
求出B 的大小，从而可判断△ABC 的形状，从而求出AC
；再求出DC AC
，
从而求出∠ACD 的大小，再根据
BD CD
BC
CD
CD
即可求出BD CD
．
【详解】∵
1
1,
2
AB
BC
CD
BA BC
，
又
1
cos
2
BA BC
BA BC
B
，故
1
cos
2
B
，
∵0
π
B
，故
π
3
B
，
∴ABC
为等边三角形，则
1
AC
；
∵
1
CD
，∴
2
1
CD
，又
1
DA DC
，∴
2
CD
DA DC
，
得
2
0
DC
DA DC
DC
DC
DA
DC AC
，
∴AC
CD
，
根据以上分析作图如下：
则∠BCD=150°，
则
2
2
BD CD
BC
CD
CD
BC CD
CD
CB CD
CD
3
2
3
1 1
1
2
2
．
故答案为：1；2
3
2
9.在△ABC 中，
π
3
BAC
，
2
AB
，
3
AC
，
2
DC
BD
，AD
.
【答案】
37
3
【分析】由平面向量的基本定理得
2
1
3
3
AD
AB
AC
,再根据向量数量积与模的关系计算即可.
【详解】由题意可得：
1
1
2
1
3
3
3
3
AD
AB
BD
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
，
故
2
2
2
1
16
4
π
9
37
37
cos
3
3
9
9
3
9
9
3
AD
AB
AC
AB
AC
AD
故答案为：
37
3
题型四：用向量解决夹角问题
1.若两个非零向量,a b
满足
2
a
b
a
b
a
，则向量a
b
与a b
的夹角是（
）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】C
【分析】设
,
AB
b AD
a
，根据向量的运算与模长关系可得AB
AD
，从而确定向量a
b
与a
b
的夹角为
,
AC BD
的夹角，即可得答案.
【详解】由题意作图如下，设
,
AB
b AD
a
，
故向量
,
a
b
AC a
b
BD
，
因为a
b
a
b
，所以AC
BD
，则四边形ABCD 为矩形，则AB
AD
又因为
2
a
b
a
，所以
2
AC
AD
，则
π
6
ABD
CAB
，
故向量a
b
与a
b
的夹角为
,
AC BD
的夹角，故为2π
3 .
故选：C.
2.已知向量
1
3
,
2
2
AB
，
3
1
,
2
2
BC
，则
ABC
（
）
A．30°
B．150°
C．60°
D．120°
【答案】B
【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.
【详解】因为向量
1
3
,
2
2
AB
，
3
1
,
2
2
BC
，
所以
2
2
2
2
1
3
3
1
2
2
2
2
3
cos
,
2
1
3
3
1
2
2
2
2
AB BC
AB BC
AB
BC
，
又0
,
180
AB BC
，所以
,
30
AB BC
，所以
,
180
30
150
BA BC
，
所以
150
ABC
o .
故选：B.
3.如图所示，AC 为
O
的一条直径，
ABC
为圆周角.求证：
90
ABC
.
【答案】证明见解析
【分析】根据平面向量的运算性质设AO
a
，OB
b
，转化求解，结合平面向量的数量积运算即可证明结
论.
【详解】证明：如图，
设AO
a
，OB
b
，
则AB
a
b
uuur
r
r ，OC
a
，BC
OC
OB
a
b
，a
b
，
∴
2
2
2
2
0
AB BC
a
b
a
b
a
b
a
b
，
∴AB
BC
，∴
90
ABC
.
4.如图所示，矩形ABCD 的顶点A 与坐标原点重合，B，D 分别在x，y 轴正半轴上，
4
AB
，
2
AD
，点
E 为AB 上一点
(1)若DE
AC
，求AE 的长；
(2)若E 为AB 的中点，AC 与DE 的交点为M，求cos
CME
．
【答案】(1)1
(2) 10
10
【分析】（1）设
0
0
4
,
E x
x
，由DE
AC
可得
0
DE AC
，即可得答案；
（2）由图可知
,
CME
DE AC
，由向量夹角公式可得答案.
【详解】（1）由题，可得
0 0
4 0
0 2
4 2
,
,
,
,
,
,
,
A
B
D
C
.则
4,2
AC
.
设
0
0
4
,
E x
x
，则
2
,
DE
x
.因DE
AC
，则
4
4
0
1
DE
AC
x
x
.则
1,0
E
，
故AE 的长为1；
（2）若E 为AB 的中点，则
2,0
E
，
2
2
,
DE
，又
4,2
AC
.
由图可知
4
10
cos
cos
,
10
2 2
2 5
AC DE
CME
AC DE
AC
DE
.
5.如图，正方形ABCD 的边长为6，E 是AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等分点，AF 与DE 交于M，
则cos
EMF
.
【答案】
2
10
【分析】先利用向量的线性运算表示AF
，DE
，然后数量积求解夹角余弦值即可.
【详解】设AB a
= ，AD
b
，则
1
1
1
3
3
3
AF
AB
BF
AB
BC
AB
AD
a
b
，
1
1
2
2
DE
AE
AD
AB
AD
a
b
，又
6
a
b
，
0
a b
，
所以
1
1
2
3
cos
cos
,
1
1
2
3
a
b
a
b
DE AF
EMF
DE AF
DE
AF
a
b
a
b
2
2
2
2
2
2
1
1
6
2
2
3
10
1
1
3 5
2 10
4
9
a
b
a
b
a
b
.
故答案为：
2
10
6.在Rt
ABC
△
中，
90
A
，
2
AB
，
3
AC
，
2
AM
MC
，
1
2
AN
AB
，CN 与BM 交于点P，则cos
BPN
的值为（
）
A．
5
5
B．
2 5
5
C．
5
5
D．2 5
5
【答案】D
【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解.
【详解】解：建立如图直角坐标系，则
(0,2),
(0,1),
(3,0),
(2,0)
B
N
C
M
,
得
( 3,1),
( 2,2)
CN
MB
,
所以
5
co
8
2 5
10
2
s
2
CN MB
CN
P
B
B N
M
uuur uuur
uuur
uuur
，
故选：D.
7.在ABC
中，已知
2
AB
，
3
AC
，
π
3
BAC
，AC 和BC 边上的两条中线BM ，AN 相交于点P ，则
MPN
的余弦值为
【答案】
2 247
247
/
2
247
247
【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解.
【详解】
由已知得
MPN
即为向量AN
与BM
的夹角.
因为M、N 分别是AC ，BC 边上的中点，
所以
1
=
+
2
AN
AB AC
，
1
=
2
BM
AM
AB
AC
AB
.
又因为
π
=2 3 cos
3
3
AB AC
，
所以
1
1
=
+
2
2
AN BM
AB AC
AC
AB
2
2
1
1
1
= 4
2
4
AC
AB
AC AB
2
2
1
1
1
1
=
3
2
3
4
2
4
2
，
2
2
1
=
+
2
2
AN
AB
AC
AB AC
2
2
1
19
=
2 +3
2 3
2
2
,
2
2
1
=
4
BM
AC
AC AB
AB
2
2
1
13
=
3
3
2
4
2
,
所以cos
AN BM
MPN
AN
BM
1
2
19
13
2
2
247
247
2
.
故答案为：
7
2 247
24
题型五：判断几何图形的形状
1.在ABC
中，若AB AC
BA BC
，则ABC
的形状为（
）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】取AB 中点D ，连接CD ，则
2
CA
CB
CD
，利用向量数量积的运算律变形，得AB
CD
uuur
uuur ，从而
可判断三角形形状．
【详解】取AB 中点D ，连接CD ，则
2
CA
CB
CD
，
因为AB AC
BA BC
，所以
0
AB AC
BA BC
，所以
(
)
2
0
AB CA
AB CB
AB
CA
CB
AB CD
，
所以AB
CD
uuur
uuur ，即AB
DC
，
所以ABC
的是等腰三角形．
故选：B．
2.已知ABC
的三个顶点分别是
1,0
A
，
10
B
,
，
1
3
,
2
2
C
，则ABC
的形状是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．斜三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得
0
AC BC
，由模长公式计算可得AC
BC
，即可得出结
论.
【详解】易知
3
3
1
3
,
,
,
2
2
2
2
AC
BC
，
可得
3
1
3
3
0
2
2
2
2
AC BC
，即
AC
BC ，且
3
1
AC
BC
，
所以可得ABC
的形状是直角三角形.
故选：B
3.在△ABC 中，若|
| |
|
AB
AC
AB
AC
，则△ABC 的形状是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由已知平方可得
0
AB AC
，得出AB
AC
可判断.
【详解】|
| |
|
AB
AC
AB
AC
，
2
2
|
|
|
|
AB
AC
AB
AC
，
则
2
2
2
2
2
2
AB
AB AC
AC
AB
AB AC
AC
，
0
AB AC
，
AB
AC
，则△ABC 为直角三角形.
故选：B.
4.已知ABC
中，
0
BA
BC
AC
，
3
AB
AC
AB
AC
，则此三角形为（
）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据
0
BA
BC
AC
即可得ABC
为等腰三角形，又因为
3
AB
AC
AB
AC
可知
60
A
，所以
ABC
为等边三角形.
【详解】如下图所示：
设M 为AC 中点，则
2
0
BA
BC
AC
BM AC
，
所以BM
AC
，即ABC
为等腰三角形，
又
3
AB
AC
AB
AC
，所以
2
3
AB
AC
AB
AC
，
即
2
2
2
2
2cos
,
3
AB
AC
AB
AC
AB AC
AB
AC
AB
AC
，
所以
1
cos
,
2
AB AC
，可得
60
A
，
综上可知三角形为等边三角形.
故选：B.
5.在四边形ABCD中，
0,
AB BC
BC
AD
uuur uuur
uuur
uuur
，则四边形ABCD的形状是
.
【答案】矩形
【分析】根据向量数量积可得垂直，根据向量相等可证平行.
【详解】由
0,
AB BC
uuur uuur
可知AB
BC
,进而AB
BC
，
由BC
AD
可得BC
AD
且
/ /
BC
AD ，所以四边形为矩形，
故答案为：矩形
6.在四边形ABCD中，若
0,
0
AB
CD
AC BD
，则四边形为（
）
A．正方形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
【答案】D
【分析】依据向量相等的几何意义和向量数量积的几何意义去判断四边形的形状.
【详解】由
0
AB
CD
，可得AB
DC
，即
//
AB CD ，则四边形ABCD为平行四边形；
又由
0
AC BD
，可得AC
BD
，则平行四边形四边形ABCD为菱形
故选：D
7.若平面四边形ABCD 满足：
0
AB
CD
，(
)
0
AB
AD
AC
，则该四边形一定是（
）
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
【答案】B
【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0 知对角线互相垂直可知为菱形.
【详解】
0
AB
CD
，
AB
DC
,
所以四边形ABCD 为平行四边形，
(
)
0
AB
AD
AC
,
0
DB AC
，
所以BD 垂直AC，所以四边形ABCD 为菱形.
故选：B
8.若平面四边形ABCD满足
0
AB
CD
，(
)
AB
AD
在AC
方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（
）
A．直角梯形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
【答案】C
【分析】首先根据向量相等判断四边形为平行四边形，再根据投影为零得到对角线互相垂直，即可判断；
【详解】解：因为
0
AB
CD
，所以AB
DC
，所以平面四边形ABCD为平行四边形，
又AB
AD
DB
，(
)
AB
AD
在AC
方向上的数量投影是0，即
0
DB AC
，即
DB
AC
，所以平行四边
形ABCD为菱形；
故选：C
题型六：向量与几何最值
1.在梯形ABCD 中，
//
AD BC
，AB
BC
，|
| 2
AB
，|
| 2 |
|
BC
AD
.若点P 在线段BC 上，则|
3
|
PC
PD
的
最小值是（
）
A．7
2
B．4
C．9
2
D．6
【答案】D
【分析】以B 为原点，BC
为x 轴正方向，BA
为y 轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【详解】如图示，以B 为原点，BC
为x 轴正方向，BA
为y 轴正方向建立平面直角坐标系.
则(
)
0,0 ,
B
0,2 ,
A
2 ,0 ,
C
d
,2 ,
D d
,0
0
2
P p
p
d
，
所以
2
,0
PC
d
p
，
,2
PD
d
p
.
所以
5
4 ,6
3
P
d
C
PD
p
，
所以
2
2
|
3
|
6
5
4
6
PC
d
PD
p
（当且仅当5
4
d
p
时等号成立）.
所以|
3
|
PC
PD
的最小值是6.
故选：D
2.已知ABC
为等边三角形，
2
AB
，ABC
所在平面内的点P 满足
1,
AP
AB
AC
AP
的最小值
为
．
【答案】2 3
1
/ 1
2 3
【分析】构造不等式去求AP
的最小值
【详解】
2
2
2
2
1
2
2
2
2 2 2
2 3
2
AB
AC
AB
AC
AB AC
则
2 3
1
AP
AP
AB
AC
AB
AC
AP
AB
AC
AB
AC
（当且仅当AP
AB
AC
与AB
AC
方向相反时等号成立）
故答案为：2 3
1
3.在平行四边形ABCD中，
2
3 2
1
AB
AD
AM
MD MB MC
，
，
，
，则
BAD
；点P 是线段BC
上的一个动点，当PA PB
最小时，BP
．
【答案】
2
3
/120°/ 2
3
1
2 /0.5
【分析】用AB
和AM
表示MB MC
、
，根据
1
MB MC
即可求出
BAD
；设
0
1
PB
CB
，根据
PA PB
PB
BA
PB
用λ表示PA PB
，根据二次函数性质即可求出PA PB
最小时λ的值，从而求出BP
．
【详解】
2
MB MC
AB
AM
DC
DM
AB
AM
AB
AM
2
2
|
2
|
cos
4
2
2 1 cos
2
2cos
AB
AM
AB AM
BAD
BAD
BAD
，
1
2
2cos
1
cos
120
2
BAD
BAD
BAD
；
设
0
1
PB
CB
，∵AD∥BC，∴∠ABC=60°，
则
2
2
|
|
cos
PA PB
PB
BA
PB
PB
BA BP
CB
BA BP
ABC
2
9
3
，
∴当
1
6
时，PA PB
取最小值，则
1
1
3
6
2
BP
．
故答案为：120°；1
2 ．
4.已知平面向量a
与a
b
的夹角为60，若
0
a
t b
恒成立，则实数t 的取值范围为（
）
A．2 3,
3
B．
3 ,
2
C．
2,
D．1 ,
2
【答案】A
【分析】由两向量a
与a
b
的夹角为60可画出图示表示其位置关系，再根据b
的取值范围即可求得实数
t 的取值范围是2 3,
3
.
【详解】根据题意可知，利用平面向量的三角形法则画出其几何关系，如下图所示：
记
,
OA
a AB
b
，则OB
a
b
；
由平面向量的三角形法则可知，点B 可以在射线OB （除O点外）上移动，
易知当
90
ABO
，即OB
AB
^
时，AB
b
取最小值，
此时
3
2
b
a
，即
3
2
b
a
；
若
0
a
t b
恒成立时，即
max
a
t
b
即可，
由
3
2
b
a
可得，
3
3
2
2 3
a
b
a
a
，即
2 3
3
t
;
所以，实数t 的取值范围为2 3,
3
.
故选：A
5.已知正六边形ABCDEF 边长为2，MN 是正六边形ABCDEF 的外接圆的一条动弦，
2
MN
，P 为正六
边形ABCDEF 边上的动点，则PM PN
的最小值为
.
【答案】1
【分析】若O是外接圆圆心，G 是MN 中点，连接
,
PG OG ，根据
2
1
P
P
M
G
PN
，数形结合有
|
| ||
|
|
||
PG
OG
OP
、|
| [ 3,2]
OP
即可求最小值.
【详解】若O是外接圆圆心，G 是MN 中点，连接
,
PG OG ，如下图，
所以
,
PM
PG
GM PN
PG
GN
PG
GM
，则
2
2
P
PM P
G
GM
N
，
故
2
1
P
P
M
G
PN
，而|
| ||
|
|
|| |
3 |
||
PG
OG
OP
OP
，且|
| [ 3,2]
OP
，
所以|
| 0
PG
，当且仅当
, ,
O P G 共线且
,
P G 重合为正六边形一边的中点时等号成立，
所以
1
PM PN
.
故答案为：1
6.在等腰梯形ABCD 中，已知AB
DC
，
60
ABC
，
2
BC
，
4
AB
，动点E 和F 分别在线段BC 和
DC 上，且BE
BC
，
1
2
DF
DC
，则AE BF
的最小值为
.
【答案】4 6
13
【分析】由题意可得
2
AB
DC
，
(
) (
)
AE BF
AB
BC
BC
CF
，进一步化为4
6
13
，再利用条件以及基
本不等式，求得它的最小值．
【详解】由题意
2
BC
，
4
AB
，
60
ABC
，
所以
2
cos60
4
2
2
CD
AB
BC
，
2
AB
DC
，
又动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE
BC
，
1
2
DF
DC
，所以
0
1
1
0
1
2
，解得1
1
2
，
(
) (
)
(
) (
)
AE BF
AB
BC
BC
CF
AB
BC
BC
FC
1
(
) [
(
)]
(
) (
)
2
AB
BC
BC
DC
DF
AB
BC
BC
DC
DC
1
1
2
(
) (
)
(
) (
)
2
2
2
4
AB
AB
AB
BC
BC
AB
BC
BC
AB
2
2
1
2
1
2
(1
)
4
4
AB
AB BC
BC
1
2
1
2
4
16
(1
)
4
2
cos120
4
6
13
2 24
13
4 6
13
4
4
，
当且仅当4
6
时，即
6
3
时取等号，故AE BF
的最小值为4 6
13
，
故答案为：4 6
13
．
7.如图，在ABC
中，D 为AB 的中点，
4
AB
，
3
CD
，EF 是圆心为C、半径为1 的圆的动直径，则
BE AF
的取值范围是（
）
A．
2,5
B．
1,7
C．
0,8
D．
1,9
【答案】C
【分析】计算出
5
1
4
BE AF
CE AB
CE AB
，设CE
与AB
的夹角为
[0,π]
，得到
4cos
4
BE AF
，根据
cos
1,1
，求出答案.
【详解】
2
BE AF
BC
CE
AC
CE
BC AC
CE
AC
BC
CE
2
BC AC
CE AB
CE
，
又
BC AC
BD
DC
AD
DC
AD
DC
AD
DC
2
2
9
4
5
DC
AD
，
且
2
1
CE
，所以
5
1
4
BE AF
CE AB
CE AB
．
设CE
与AB
的夹角为
[0,π]
，
则
cos
4
4cos
4
BE AF
CE
AB
．
因为
cos
1,1
，所以
[0,8]
BE AF
．
故选：C．
8.已知点M 为Rt
ABC
△
外接圆O 上的任意一点，
90 ,
1,
3
ABC
AB
BC
，则
OA
OB
BM
的最大
值为（
）
A．1
B．3
2
C．
3
D．5
【答案】B
【分析】根据向量数量积的几何意义，结合图形即可求解.
【详解】设Rt
ABC
△
外接圆的半径为r ，由正弦定理得
2
3
1
2
2
1
sin
3
AC
r
ABC
，
故
1
r ．
所以
cos
cos
OA
OB
BM
BA BM
BA
BM
ABM
BM
ABM
，
当过点圆上一点M 作平行于BC 的圆的切线时，此时
cos
BM
ABM
最大，
由于O到BC 的距离为
1
1
2
2
d
BA
,所以
cos
BM
ABM
的最大值为
3
2
d
r
故选：B
题型七：力的合成
1.一物体在力
1
2
3
(3, 4),
(2, 5),
(3,1)
F
F
F
作用下，求三个力的合力.
【答案】
8, 8
【分析】按照向量加法的坐标运算直接计算即可.
【详解】因为
1
2
3
(3, 4),
(2, 5),
(3,1)
F
F
F
，所以合力
1
2
3
(3
2
3, 4
5 1)
(8, 8)
F
F
F
F
.
2.已知作用在原点上的三个力
1
1, 2
F
，
2
3,2
F
，
3
1,2
F
，求这些力的合力F
的坐标．
【答案】
1,2
F
【分析】利用平面向量加法的坐标运算可得出合力F
的坐标.
【详解】解：已知作用在原点上的三个力
1
1, 2
F
，
2
3,2
F
，
3
1,2
F
，
则这三个力的合力为
1
2
3
1, 2
3,2
1,2
1,2
F
F
F
F
.
3．如图，两个力
1F
和
2
F
同时作用在一个物体上，其中
1F
的大小为40N ，方向向东，
2
F
的大小为30N ，
方向向北，求它们的合力．
【答案】大小为50N ，方向约为北偏东53
【分析】作出图形，利用勾股定理求出两合力的大小，并结合锐角三角函数求出合力与正北方向的夹角，
即可得出结论.
【详解】解：如下图，
1
OA
F
，
2
OB
F
，以OA、OB 为邻边作平行四边形OACB ，
由题意可知，
AOB
90
，则四边形OACB 为矩形，
1
2
OC
OA
OB
F
F
，
设两个力
1F
和
2
F
的合力为F
，则F
OC
，
由勾股定理可得
2
2
2
2
40
30
50N
F
OC
OA
OB
，
在Rt AOC
中，
40
4
tan
30
3
OA
OA
OCA
AC
OB
，所以，
53
OCA
，
所以，它们的合力大小为50N ，方向约为北偏东53.
4．已知质点O 受到三个力
1
OF
，
2
OF
，
3
OF
的作用，若它们的大小分别为20N ，30N ，40N，且三个力
之间的夹角都是120，求合力的大小和方向.
【答案】10 3N ,合力方向与
2
OF
方向的夹角为90，同时与
3
OF
方向的夹角为30.
【分析】根据题意建立坐标轴，用坐标表示每个力即可求解
【详解】以O为原点，
1
OF
为x 轴正方向建立直角坐标系，如图
由题意得
1
20N
x
F
,
1
0N
y
F
，
3
40cos120
20N
x
F
,
3
40cos30
20 3N
y
F
，
2
30cos120
15N
x
F
,
2
30sin 60
15 3N
y
F
，
所以
1
2
3
20,0 ,
15
15 3
20
0 3
OF
OF
OF
,
，
,2
，
所以三个力的合力坐标为
1
2
3
15 5 3
OF
OF
OF
,
，
所以三个力的合力大小为：
2
2
15
5 3
10 3N
，
设合力方向与x 轴正方向夹角为，所以
5 3
3
tan
15
3
，
因为合力坐标
15 5 3
，
在第二象限，所以
150
，
即合力方向与
2
OF
方向的夹角为90，同时与
3
OF
方向的夹角为30.
5．平面上三个力
1F
、2
F
、3
F
作用于一点且处于平衡状态，
1
|
| 1N
F
，
2
6
2
|
|
N
2
F
，1F
与
2
F
的夹角为45，
求：
(1)
3
F
的大小；
(2)
3
F
与
1F
夹角的大小．
【答案】(1)
3
1
(2)150.
【分析】（1）三个力平衡则三个力的和为0
；移项，利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的大小．
（2）利用三角函数的余弦定理求出两个向量的夹角大小．
【详解】（1）解：三个力平衡，
1
2
3
0
F
F
F
，
2
2
1
2
3
1
2
1
2
|
| |
|
2
F
F
F
F
F F
F
2
2
6
2
6
2
1
2 1
cos45
(
)
4
2 3
3
1
2
2
，
（2）解：
3
F
与
1F
的夹角可由余弦定理求得，
2
2
2
3
1
6
2
1
( 3
1)
(
)
3
2
cos
,
2
2 1 ( 3
1)
F F
，
3
F
与
1F
的夹角为30
则
3
F 与
1F 的夹角为180
30
150
．
6．解决本节开始时的问题：在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3 根细绳均匀地固定在横梁上.在其中
一个秤盘中放入质量为1kg 的物品，在另一个秤盘中放入质量为1kg 的砝码，天平平衡.3 根细绳通过秤盘
分担对物品的拉力（拉力分别为
1F
，
2
F
，
3
F
），若3 根细绳两两之间的夹角均为3
，不考虑秤盘和细绳本
身的质量，则
1F
，
2
F
，
3
F
的大小分别是多少？
【答案】
6
6 g 牛.
【分析】由题可得
1
2
3
F
F
F
，且
1F
，
2
F
，
3
F
两两之间的夹角均为3
，
1
2
3
F
F
g
F
，然后利用数
量积的运算律及数量积的定义即得.
【详解】由题可知
1
2
3
F
F
F
，且
1F
，
2
F
，
3
F
两两之间的夹角均为3
，
又
1
2
3
F
F
g
F
，（g 为重力加速度）
∴
1
2
3
1
2
1
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
F
F
F
F F
F F
F
F
g
，
∴
2
2
1
6
g
F
，
∴
1
2
3
6
6
F
F
g
F
（牛），
即
1F
，
2
F
，
3
F
的大小都是
6
6 g 牛.
7．如图，用两根绳子把重10 kg 的物体W 吊在水平杆AB 上，∠ACW=150°，∠BCW=120°.求A 和B 处所
受力的大小.(忽略绳子重量，重力加速度
2
10m / s
g
)
【答案】A 处所受的力为50 3 N，B 处受力为50N.
【分析】根据力的分解，利用向量法，和直角三角形的知识可求答案.
【详解】设A，B 处所受力分别为
1F
，
2
F
，10 kg 物体的重力用F
表示，
则
1
2
0
F
F
F
，
100N
F
，
以重力作用点C 为
1F
，
2
F
的始点，作平行四边形CFWE，使CW 为对角线，
则CF
=
2
F
，CE
=
1F
，CW
= F
，
∠ECW=180° 150°=30°，
∠FCW=180° 120°=60°，
∠FCE=90°，
所以四边形CEWF 为矩形；
所以|CE
|=|CW
|cos 30°=50 3 ，
|CF
|=|CW
|cos 60°=50.
即A 处所受的力为50 3 N，B 处受力为50 N.
8.如图，在细绳l 上作用着一个大小为200N 的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细
绳的另一端与水平面平行，求物重G 的大小．
【答案】100 2N
【分析】作图，进行力（向量）的分解，即可得出答案.
【详解】
设细绳作用力为F
，则
200N
F
，
如图，对力F
进行分解，可得
1
sin 4
100 2N
5
F
F
.
根据力的平衡可知，物重G 的大小为100 2N .
9.如图，重为4N 的匀质球，半径为
6cm
R
，放在墙与均匀的木板AB 之间，A 端固定在墙上，B 端用水
平绳索BC 拉住，板长
10cm
l
，木板AB 与墙夹角为，如果不计木板重，当为60时，求绳的拉力大
小.
【答案】9.6N
【分析】设球的重力为G
，球对板AB 的压力为
1f
，绳BC 对板的拉力为
2f
，根据力矩平衡可得出
1
2 cos60
f
l
AD
f
，再由
1 cos30
f
G
，tan30
R
AD
可求得
2f
的值，即可得解.
【详解】设球的重力为G
，球对板AB 的压力为
1f
，绳BC 对板的拉力为
2f
，
由已知得
4
G
N
，由AB 处于平衡状态，以A 为杠杆支点，有
1
2 cos60
f
l
AD
f
.
又
1 cos30
f
G
，tan30
R
AD
，
2
4 6
1
cos30
tan30
2
9.6
1
cos60
10
2
R
N
f
l
G
，
所以绳的拉力为9.6N .
10.如图，为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢丝绳的拉力都是500N，每
条钢丝绳与电线杆的夹角都是，两条钢丝绳拉力的合力大小为F．
(1)如果
30
，求F 的大小；
(2)试研究：当0
90
时，随着的增大，F 的变化趋势．
【答案】(1)500 3 N.
(2) F 在逐渐变小.
【分析】由已知，根据物理学力的合成知
1000cos
F
，结合各问的条件求F 的大小、变化趋势即可.
【详解】（1）由题设，
2 500 cos
500 3
F
N.
（2）由（1）知：
1000cos
F
，当0
90
上增大时，cos随之递减，
∴F 在逐渐变小.
题型八：速度、位移的合成
1.在平面内以点O 的正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系.质点在平面内做
直线运动，分别求下列位移向量的坐标：
(1)向量a
表示沿北偏东60移动了3 个单位长度；
(2)向量b
表示沿西北方向移动了4 个单位长度；
(3)向量c
表示沿南偏西30移动了3 个单位长度；
(4)向量d
表示沿东南方向移动了4 个单位长度.
【答案】(1)
3 3 3
,
2
2
a
(2)
2 2,2 2
b
(3)
3
3 3
,
2
2
c
(4)
2 2, 2 2
d
【分析】根据方位角及向量的模长结合三角函数值求解向量坐标即可.
【详解】（1）因为向量a
表示沿北偏东60移动了3 个单位长度，
所以向量a
对应坐标系中的角度为30且模长为3，
所以
3 3 3
3cos30 ,3sin 30
,
2
2
a
；
（2）因为向量b
表示沿西北方向移动了4 个单位长度，
所以向量b
对应坐标系中的角度为135且模长为4，
所以
4cos135 ,4sin135
2 2,2 2
b
；
（3）因为向量c
表示沿南偏西30移动了3 个单位长度，
所以向量c
对应坐标系中的角度为120
且模长为3，
所以
3
3 3
3cos
120
,3sin
120
,2
2
c
；
（4）因为向量d
表示沿东南方向移动了4 个单位长度，
所以向量d
对应坐标系中的角度为45
且模长为4，
所以
4cos
45
,4sin
45
2 2, 2 2
d
.
2.飞机从A 地向西北飞行200km 到达B 地后，又从B 地向东飞行100 2 km 到达C 地，再从C 地向南偏东
60°飞行50 2 km 到达D 地，求飞机从D 地飞回A 地的位移．
【答案】大小为50 6km，方向为南偏西30
【分析】作图，根据已知结合几何关系，即可得出答案.
【详解】
如图，飞机从A 运动到D 的过程，
由已知可得，
200
AB
，
100 2
BC
，且
45
BAC
，
所以，
100 2
AC
，
90
ACB
.
过点D 作DE
AC
，
因为
60
ECD
，
所以
cos6
25 2
0
CE
CD
，
sin6
25 6
0
DE
CD
，
所以，
75 2
AE
AC
CE
.
由勾股定理可得，
2
2
50 6
AD
DE
AE
，
25 6
1
cos
2
50 6
DE
ADE
AD
，所以
60
ADE
.
所以，飞机从D 地飞回A 地的位移大小为50 6km，方向为南偏西30.
3.如图，一艘船从长江南岸点A 出发，以2 3 km/h 的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东
2km/h．
(1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度；
(2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）．
【答案】(1)答案见解析
(2)船实际航行速度的大小为4km/h ，方向与江水速度间的夹角为60
【分析】（1）直接利用向量加法的平行四边形法则作图即可；
（2）利用勾股定理求解船速的实际大小，在求解直角三角形即可得方向.
【详解】（1）如图所示，AD
表示船速，AB
表示水速，
以
,
AB AD 为邻边作平行四边形ABCD，
则AC
表示该船实际航行的速度；
（2）由题意AB
AD
，
在Rt
ABC
△
中，
2,
2 3
AB
BC
AD
，
则
2
2
2
2 3
4
AC
，
2 3
tan
3
2
BAC
，所以
60
BAC
，
所以船实际航行速度的大小为4km/h ，方向与江水速度间的夹角为60.
4.如图，长江某地南北两岸平行，江面的宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸．假设游
船在静水中的航行速度
1v
的大小为
1
10
v
km/h ，水流速度
2v
的大小为
2
4
v
km/h ，设
1v
和
2v
的夹角
为，北岸A在A 的正北方向．
(1)当
120
=
° 时，判断游船航行到北岸时的位置是在图中A的左侧还是右侧，并说明理由．
(2)当cos多大时，游船能到达A处？需航行多长时间？
【答案】(1)左侧，理由见解析；
(2)
2
cos
5
，时间为
21
42
h.
【分析】(1)
120
=
° 时，游船水平方向的速度大小为
1
2
cos(180
)
v
v
然后确定方向即可．
(2)若游船能到A处，则有
2
1 cos(180
)
v
v
，求出cos，然后求出时间t 即可；
【详解】（1）
120
=
° 时，游船水平方向的速度大小为
1
2
cos(180
)
v
v
=1 km/h ，方向水平向左，故最
终到达北岸时游船在A点的左侧；
（2）若游船能到A处，则有
2
1 cos(180
)
v
v
，
则有
2
1
2
cos
cos(180
)
5
v
v
，
此时游船垂直江岸方向的速度
1 sin
2 21
v
v
km/h ，
时间
21
42
d
t
v
h.
5.如图，一条河两岸平行，河的宽度
3km
AC
，一艘船从河边的A 点出发到达对岸的B 点，船只在河内
行驶的路程
2km
AB
，行驶时间为0.2h .已知船在静水中的速度
1v 的大小为
1v ，水流的速度
2v 的大小为
2
2km/h
v
.求：
(1)
1v ；
(2)船在静水中速度
1v 与水流速度
2v 夹角的余弦值.
【答案】(1)
1
2 21
v
(2)
21
14
【分析】（1）先求出船只沿AB 方向的速度为
10km/h
v
，
2,
60
v v
，利用向量的数量积运算求出
1v ；
（2）利用数量积及夹角公式求出船在静水中速度
1v 与水流速度
2v 夹角.
【详解】（1）因为船只在河内行驶的路程
2km
AB
，行驶时间为0.2h ，
所以船只沿AB 方向的速度为
2
10km/h
0.2
v
.
由
3km
AC
，
2km
AB
，根据勾股定理可得：
2
2
3=1km
BC
,所以
30
BAC
，即
2,
60
v v
由
1
2
v
v
v
，得：
1
2
v
v
v
，
所以
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2 2 10cos60
10
2 21
v
v
v
v
v
v
v
.
（2）因为
1
2
v
v
v
，所以
2
2
1
2
v
v
v
，
即
2
2
1
2
100
2 21
2 2 21 2cos
,
2
v v
，解得：
1
2
21
cos
,
14
v v
.
即船在静水中速度
1v 与水流速度
2v 夹角的余弦值为
21
14
.
6.如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度
500m
d
，一艘船从A 点出发航行到河对岸，船航行速度的大
小为
1
10km/ h
v
ur
，水流速度的大小为
2
4km/ h
v
ur
，设
1v
和
2v
的夹角为
0
180
．
(1)当cos多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
【答案】(1)
2
5
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短，理由见解析.
【分析】（1）由题意，
1
2
v
v
v
且与
2v
垂直，即
1
2
2
0
v
v
v
，根据数量积的定义即可求解；
（2）设船航行到对岸所需的时间为h
t
，则
1
1
20sin
sin
d
t
v
ur
，比较
90
和
21
sin
5
两种情况即可
求解.
【详解】（1）解：船垂直到达对岸，即
1
2
v
v
v
且与
2v
垂直，即
1
2
2
0
v
v
v
，
所以
2
1
2
2
0
v v
v
，即
2
1
2
2
cos
0
v v
v
，
所以40cos
16
0
，解得
2
cos
5
；
（2）解：设船航行到对岸所需的时间为h
t
，则
1
0.5
1
(h)
10sin
20sin
sin
d
t
v
ur
，
所以当
90
时，船的航行时间最短为1 h
20
，
而当船垂直到达对岸时，由（1）知
21
sin
5
，
所需时间
1
0.5
21 (h)
84
21
sin
10
5
d
t
v
ur
，
21
1
84
20
，
故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短．
7.如图，设Ox、Oy 是平面内相交成60角的两条数轴，
1
2
e ,e
分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，
若向量
1
2
e
e
OP
x
y
，则把有序数对
,x y 叫做向量OP
在坐标系xOy 中的坐标，设
1
2
2e
e
OP
uuur
ur
ur
.
(1)计算OP
的大小；
(2)甲在Ox 上距O 点3 千米的点A 处，乙在Oy 上距O 点1 千米的点B 处，现在甲沿xO
的方向，乙沿Oy
的
方向同时以4 千米/小时的速度行走；
①若过半小时后甲到达C 点，乙到达D 点，请用
1e
与
2e
来表示CD
；
②若t 时刻，甲到达G 点，乙到达H 点，求GH
的最小值.
【答案】(1) 7
(2)①
2
1
3
CD
e
e
uuur
ur
ur
；②2
【分析】（1）利用
2
a
a
，直接求出OP
的大小；
（2）①先表示出
1
2
,
3
e
e
OC
OD
，利用向量的减法即可表示出CD
；
②表示出两人在t 时刻相距GH
，求出模长，利用二次函数求最值即可.
【详解】（1）因为
1
2
2
e
1
1 1 c s60
e
o
，
所以
2
2
1
2
1
2
1
(2e )
(e )
4e e
4 1 4
7
2
OP
.
（2）①因为
3
2
1,
1
2
3
OC
OD
，
所以
1
2
,
3
e
e
OC
OD
，所以
2
1e
3e
CD
；
②两人在t 时刻相距
2
1
1 4
3
4
e
e
GH
t
t
，
所以
2
2
2
1
2
1 4
3
4
2 1 4
3
4 e e
GH
t
t
t
t
2
48
24
7
t
t
2
1
48
4
4
t
当
1
4
t
时，
min
2
GH
，即1
4 小时后，他们两人相距最短．
题型九：功、动量的计算
1.质量
2.0
m
kg 的物体，在4.0N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3s，求水平力在3s
内对物体做的功．
【答案】36J
【分析】根据已知求出物体运动运动的加速度以及位移的大小，即可得出答案.
【详解】设物体运动了s m ，加速度为a
2
m / s ，
由已知可得，
2.0
m
kg，
4.0N
F
，
则由F
m a
可得，
2
a
，
所以，
2
2
1
1
2 3
9m
2
2
s
a t
.
所以，水平力在3s 内对物体做的功为
4 9
36J
W
F s
F
s
.
2.质量
2.0kg
m
的木块，在平行于斜面向上的拉力|
| 10N
F
的作用下，沿倾斜角
30
的光滑斜面向上
滑行| | 2.0m
s
的距离.(
9.8N / kg)
g
（1）分别求物体所受各力对物体所做的功；
（2）在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？
【答案】（1）拉力20(J)，支持力不做功，重力19.6(J)
；（2）0.4(J) .
【分析】（1）分析物体受力，按功的定义式求解每个力所做的功.（2）将（1）中的各值相加即可.
【详解】（1）木块受三个力的作用，重力G
，拉力F
和支持力N
，如图所示.
拉力F
与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为
F
F s | F ||s |cos0
20(J)
W
；
支持力N
与位移方向垂直，不做功，所以
N s
0
N
W
；重力G
对物体所做的功为
|
|| |cos 90
|
| | |cos 90
19.6(J)
G
W
G s
G s
mg
s
.
（2）物体所受各力对物体做功的代数和为
0.4( )
F
N
G
W
W
W
W
J
.
3.如图，质量
2.0kg
m
的木块，在平行于斜面大小为10N 向上的拉力F 的作用下，沿倾角
30
的光滑
斜面向上滑行2.0m 的距离．
9.8N / kg
g
(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；
(2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和；
(3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？
【答案】(1)拉力
20 J ，支持力不做功，重力
19.6 J
；
(2)
0.4 J ；
(3)物体所受合外力对物体做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等.
【分析】（1）分析物体受力，按功的定义式求解每个力做的功；
（2）将（1）中各值累加即可;
（3）计算物体所受合外力对物体所做的功，与物体所受各力对物体做功的代数和比较即可.
【详解】（1）木块受三个力的作用，重力G
，拉力F
和支持力N
，如图所示.
拉力F
与位移s 方向相同，
所以拉力对木块所做的功为
cos0
20(J)
F
W
F s
.
支持力N
与位移方向垂直，不做功，所以
cos90
0
N
W
N s
.
重力G
对物体所做的功为
cos 90
cos 90
19.6(J)
G
W
G s
mg
s
.
（2）物体所受各力对物体做功的代数和为
20
0 19.6
0.4(J)
W
.
（3）设物体所受合外力的大小为
1F
ur
，
则
1
sin30
0.2 N
F
F
G
,
故合外力做功为
0.2 2
0.4
W
.
故物体所受合外力对物体做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等.
模块三：综合巩固
1.如图所示，分别在平行四边形ABCD的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F 和点E ，使DF
BE
.
试用向量方法证明：四边形AECF 是平行四边形.
【答案】证明见解析
【分析】由题知AE
AB BE
，FC
FD
DC
，进而根据题意得AE
FC
，再根据向量共线即可证明.
【详解】证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB
DC
，BE
FD
，
因为AE
AB BE
，FC
FD
DC
，
所以AE
FC
，即
/ /
AE
FC ，且AE
FC
，
所以四边形AECF 是平行四边形.
2.如图，在四边形ABCD 中，点E，F，G，H 分别为BD，AB，AC 和CD 的中点.求证：四边形EFGH 为
平行四边形.
【答案】证明见解析
【分析】用向量证明FE
GH
，从而证明四边形EFGH 为平行四边形.
【详解】因为点E，F，G，H 分别为BD，AB，AC 和CD 的中点，
所以
1
1
,
,
2
2
FE
AD GH
AD
所以FE
GH
，
又因为FE 与GH 不共线，所以
//
FE GH ，且FE
GH
，
所以四边形EFGH 为平行四边形.
3.如图，正方形ABCD的边长为6, E 是AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等分点，AF 与DE 交于点M ．
(1)求
EMF
的余弦值．
(2)若点P 自A 点逆时针沿正方形的边运动到C 点，在这个过程中，是否存在这样的点P ，使得EF
MP
？
若存在，求出MP 的长度，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
10
(2)存在
2 13
7
MP
．
【分析】（1）如图所示，建立以点A 为原点的平面直角坐标系，由于
EMF
就是
,
DE AF
uuur uuur
的夹角，从而利
用向量夹角的坐标表示即可求解；
（2）根据向量的共线表示联立方程组可求解
18 6
,
7
7
M
，分点P 在AB 上、点P 在BC 上，结合向量垂直
的坐标表示即可求解.
【详解】（1）如图所示，建立以点A 为原点的平面直角坐标系．
则
0,6 ,
3,0 ,
0,0 ,
6,2 ,
3, 6 ,
6,2
D
E
A
F
DE
AF
．
由于
EMF
就是
,
DE AF
uuur uuur
的夹角．
18 12
2
cos
10
9
36
36
4
DE AF
DE AF
F
的余弦值为
2
10
．
（2）设
,
,
,
6 ,
,
3
6
6
0,
2
6
0
M x y
DM
x y
DM
DE
y
x
x
y
∥
6
,
,
6,2 ,
,
2
6
0,
3 ,
7
6,
7
AM
x y
AF
AM
AF
x
y
x
y
y
y
∥
．
18
18 6
,
,
7
7 7
x
M
．
由题得
3,2
EF
．
①当点P 在AB 上时，设
18
6
,0 , 0
6 ,
,
7
7
P x
x
MP
x
，
2
2
54
12
22
22
4
6
2 13
3
0,
,
,0 ,
7
7
7
7
7
7
7
x
x
P
MP
；
②当点P 在BC 上时，设
24
6
6,
,(0
6),
,
7
7
P
y
y
MP
y
，
72
12
30
2
0,
7
7
7
y
y
，舍去．
综上，存在
22
2
,0 ,
13
7
7
P
MP
．
4.如图，已知
,
,
AD BE CF 分别是ABC
的三条高，试用向量的方法求证：
,
,
AD BE CF 相交于同一点．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，设
,
AD BE 交于点H ，由向量数量积与向量垂直的关系证明点H 在CF 上，由此可证
得结果.
【详解】设
,
AD BE 交于点H ，以下只需证明点H 在CF 上，
因为AD
BC
，BE
CA
，
所以
=0
AH CB
，
=0
BH CA
.
即(
)·
=
=0
CH
CA CB CH CB
CA CB
，(
)·
=
=0
CH
CB CA CH CA
CB CA
，
两式相减，得：
·
0
CH CB
CA
即
=0
CH AB
，
所以CH
AB
，CH
AB
，又CF
AB
，
所以，
,
,
C H F 三点共线，H 在CF 上．
5.已知两点
,
E F 分别是四边形ABCD的边
,
AD BC 的中点，且
3
AB ，
2
CD
，
45
ABC
，
75
BCD
，
则线段EF 的长为是
【答案】19
2
【分析】作
//
AH CD，交BC 于点H ，可知
60
BAH
；利用向量线性运算可得到2EF
AB
DC
，根据
2
2
1
4
EF
AB
DC
，由向量数量积的定义和运算律可求解得到EF
.
【详解】作
//
AH CD，交BC 于点H ，则
75
BHA
BCD
，
180
45
75
60
BAH
，则
1
cos
,
cos
,
cos
2
AB DC
AB AH
BAH
；
EF
EA
AB
BF
，EF
ED
DC
CF
，
又EA
ED
，BF
CF
，
2EF
EA
AB
BF
ED
DC
CF
AB
DC
，
2
2
2
2
1
1
1
1
cos
,
4
4
4
2
EF
AB
DC
AB
DC
AB
DC
AB DC
9
3
19
1
4
2
4
，
19
2
EF
，
故答案为：19
2
.
6.用向量的方法证明：梯形的中位线等于两底和的一半．
【答案】证明见解析
【分析】利用向量加法法则，结合梯形的特征用两底边所表示向量表示出中位线所表示向量，即可证结论.
【详解】如下图，梯形ABCD 中，
/ /
AB
DC 且EF 为中位线，则EF
EA
AB
BF
，EF
ED
DC
CF
，
又
0
EA
ED
BF
CF
，所以
1
2
(
)
2
EF
AB
DC
EF
AB
DC
，
又
,
AB DC
同向，所以
1 (
)
2
EF
AB
DC
所以梯形的中位线等于两底和的一半.
7.证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四边形ABCD．求证：
AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
【答案】证明见解析
【分析】设AB
a
，AD
b
，利用a
、b
表示AC
、DB
，然后带入
2
2
AC
BD
中计算即可完成证明.
【详解】证明:不妨设AB
a
，AD
b
，则AC
a
b
，DB
a
b
uur
r
u
r ，
2
2
A
a
B
，
2
2
A
b
D
，得
2
2
2
(
) (
)
2
A
b
C
AC AC
①
同理
2
2
2
(
) (
)
2
D
b
B
DB DB
②，
①②得：
2
2
2
2
2
2
2
2
A
b
A
a
C
DB
B
AD
）
（
）（
2
2
2
2
AB
AD
BC
CD
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
得证.
8.如图，在▱����中，点E，F 分别是AD，DC 边的中点，BE，BF 分别与AC 交于R，T 两点，你能发现
AR，RT，TC 之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
【解题思路】由于�, �是对角线��上的两点，要判断��, ��, ��之间的关系，只需分别判断��, ��, ��与��
之间的关系即可.
【解答过程】设��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，则��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ+ �Ԧሬ.
由��Ԧ
ሬሬሬሬ//�CԦ
ሬሬሬ，可设�Ԧሬ= �(�Ԧሬ+ �Ԧሬ), �∈�，
又��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ−
�
��Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ//��Ԧ
ሬሬሬሬ，可设��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ= �(�Ԧሬ−
�
��Ԧሬ)，
∵��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ，
∴�Ԧሬ=
�
��Ԧሬ+ �(�Ԧሬ−
�
��Ԧሬ)，
综上，有�(�Ԧሬ+ �Ԧሬ) =
�
��Ԧሬ+ �(�Ԧሬ−
�
��Ԧሬ)，即(�−�)�
→+ (�+
�−�
�)�
→
= �
→
，
由于�Ԧሬ与�Ԧሬ不共线，则{
�−�= �
�+
�−�
�
= �，解得�= �=
�
�，
∴��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ.同理，��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ.
∴��= ��= ��.
9.如图，在△���中，��= 3, ��= 2, ∠���=
π
3 , �是��边的中点，��⊥��, ��与��交于点�.
(1)求��和��的长度；
(2)求cos∠���.
【解题思路】（1）利用三角函数定义即可求得��的长；利用向量法即可求得��的长度；
（2）利用向量夹角的余弦公式即可求得cos∠���的值.
【解答过程】（1）∵��是高，∴∠���=
π
�，在Rt△���中，��= �, ∠���=
π
�，
所以��= ��sin∠���= �sin
π
�=
�.
∵��是中线，∴��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ，
∴��Ԧ
ሬሬሬሬ�= �
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
�
= �
���Ԧ
ሬሬሬሬ�+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ�
=
�
���+ �× �× �cos
π
�+ ��
=
��
�，∴��=
��
�
∴��=
�, ��=
��
�
（2）∵��= ��⋅���
π
�= �=
�
���, ∴��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ，
∴��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−�
���Ԧ
ሬሬሬሬ
∴��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= �
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−�
���Ԧ
ሬሬሬሬ
= �
���Ԧ
ሬሬሬሬ�+ �
���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−�
���Ԧ
ሬሬሬሬ�
= �
���+ �
�× �× �cos π
�−�
�× ��
= �
�
∴cos∠���= cos ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ
=
��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
�
��
�× �=
��
��.
另解：过D 作��//��交��于�，
∵�是��的中点，∴�是��的中点，
∴��= ��= ��= �, ��是△���的中位线，��是△���的中位线，
∴��=
�
���=
�
���=
�
�, ��=
�
���=
��
�，
cos∠���= cos∠���=
��
��=
�
�
��
�
=
��
��.
10.如图，在ABC
中，已知
2
AB
，
5
AC
，
60
BAC
，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于
点P，
(1)求PN ；
(2)求
MPN
的正弦值.
【答案】(1)
21
6
(2) 5 273
91
【分析】（1）先通过向量线性运算求得
:
21
BP PN ：，再将BN
用AB
、AC
表示，利用平面向量数量积的
运算性质可求得BN 的长，即可求解PN 的长；
（2）把
MPN
视作AM
与BN
夹角，运用平面向量的夹角公式求解.计算出AM BN
的值，结合平面向量
的数量积可计算出cos
cos
,
MGN
AM BN
的值，最后利用同角三角函数关系求出正弦值即可.
【详解】（1）由BN 是AC 上的中线，所以
1
1
1
2
2
2
BN
BA
BC
BA
BM
，
设
:
BP PN
，则
1
1
1 2
2
1
1
BP
BN
BA
BM
BA
BM
，
又
, ,
A P M 三点共线，所以
1
2
1
1
，解得
2
，所以
:
2:1
BP PN
，
因为BN 是AC 上的中线，所以
1
2
BN
AC
AB
，
所以
2
2
2
1
4
BN
AB
AC
AB AC
1
1
25
25
21
4
25
2 5
4
5
1
4
2
4
4
4
，
所以
21
2
BN
，故
1
21
3
6
PN
BN
.
（2）
MPN
为AM
与BN
夹角，且cos
AM BN
MPN
AM
BN
，
因为AM 是BC 上的中线，所以
1
2
AM
AB
AC
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
2
1
1
1
2
4
4
4
AM
AB
AC
AB AC
1
1
1
1
4
25
2
2 5
4
4
4
2
25
5
4
25 10
39
1
4
2
4
4
，所以
39
2
AM
，
又
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
AM BN
AB
AC
AC
AB
AB
AC
AB AC
1
25
1
1
4
2 5
3
2
2
2
2
，
所以
3
cos
cos
,
39
21
2
6
AM BN
MPN
AM BN
AM
BN
4 91
91
，
所以
2
5 273
sin
1
cos
91
MPN
MPN
.
11.如图，在ABC
中，已知
2
AB
，
3
AC
，
60
BAC
，M 是BC 的中点，
2
3
AN
AC
，设AM 与BN
相交于点P ，则cos
MPN
．
【答案】
19
38
【分析】用AB
和AC
表示AM
和BN
，根据cos
MPN
cos
,
AM BN
以及
2
AB
，
3
AC
，
60
BAC
，
可求出结果.
【详解】因为M 是BC 的中点，所以
1
1
2
2
AM
AB
AC
，
2
1
1
|
|
2
2
AM
AB
AC
2
2
1
1
1
|
|
|
|
|
||
| cos60
4
4
2
AB
AC
AB
AC
9
1
1
1
2 3
4
2
2
19
2
，
因为
2
3
AN
AC
，
2
3
BN
AN
AB
AC
AB
，
2
2
|
|
3
BN
AC
AB
2
2
4
4
1
|
|
|
|
|
||
|
9
3
2
AC
AB
AC
AB
4
4
1
9
4
3 2
9
3
2
2
，
所以
AM BN
1
1
2
2
2
3
AB
AC
AC
AB
2
2
1
1
1
1
|
|
|
|
|
||
|
2
3
6
2
AB
AC
AB
AC
1
1
1
1
4
9
2 3
2
3
6
2
1
2
，
所以cos
MPN
cos
,
AM BN
|
|
|
AM BN
AM
BN
1
19
2
38
19
2
2
.
故答案为：
19
38
.
12.在ABC
中，若
2
0
BC CA
BC
，则ABC
的形状是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可.
【详解】由题意可知
2
2
2
0
0
BC
CB
BA
BC
BC
BC BA
BC
BC BA
，
所以BC
BA
，即ABC
的形状是直角三角形.
故选：C
13.在平行四边形ABCD 中，M、N 分别在BC、CD 上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，
则△AMN 的形状是(
)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
【答案】C
【分析】由图猜测AN 与MN 垂直，故验证AN MN
是否为零即可.
【详解】∵
3
1
1
4
3
4
AN MN
AD
DN
MC
CN
AD
AB
AD
AB
2
2
1
3
1
3
|
|
9
16
0
3
16
3
16
AD
AB
.
∴AN
MN
，
∴AMN
是直角三角形.
故选：C.
14.如图，在四边形ABCD中，已知
1,
3,
2
AB
AD
CB
CD
AC
，点P 在边CD 上，则AP BP
的最小
值为
.
【答案】21
16 /1.3125
【分析】解法一，设DP
x
，运用向量线性运算及数量积运算可得
2
3
21
4
16
AP BP
x
，（0
3
x
），
转化为求二次函数在区间上的最值即可，解法二、解法三，建立不同平面直角坐标系，运用向量坐标运算
及二次函数求最值即可.
【详解】解法一：
由
1,
3
AB
AD
CB
CD
，
2
AC
，得
2
2
2
2
2
2
,
AC
AB
BC
AC
AD
DC
，
所以
,
AD
DC AB
BC
，
60
DAC
BAC
，则
120
DAB
，
设DP
x
，则0
3
x
，
所以
AP BP
AD
DP
BA
AD
DP
AD BA
AD AD
AD DP
DP BA
DP AD
DP DP
2
1
3
1 1
1 1 0 1
0
2
2
x
x
2
2
3
3
3
21
21
2
2
4
16
16
x
x
x
，
当且仅当
3
4
x
时，AP BP
取得最小值21
16 .
解法二：
由
1,
3,
2
AB
AD
CB
CD
AC
，得
2
2
2
2
2
2
,
AC
AB
BC
AC
AD
DC
，
所以
,
AD
DC AB
BC
，
60 ,
30
DAC
BAC
ACB
ACD
，
如图，建立平面直角坐标系xOy ，
则
1 ,0
2
A
，
3
3
3
,
0,
,
,0 ,
0,
2
2
2
B
C
D
，
所以
3
3
,
2
2
DC
.
设
0
1
DP
DC
，则
3
3
,
2
2
DP
，所以
3
3
3
,
2
2
2
P
，
所以
1
3
3
3
,
2
2
2
2
AP
，
3
3
, 3
2
2
BP
，
则
2
2
2
2
3
9
3
3
3
3
3
3
1
21
21
3
3
4
4
2
4
2
4
2
2
4
16
16
AP BP
，
当且仅当
1
4
时，AP BP
取得最小值21
16 .
解法三：
由
1,
3,
2
AB
AD
CB
CD
AC
，得
2
2
2
2
2
2
,
AC
AB
BC
AC
AD
DC
，
所以
,
AD
DC AB
BC
，
60
DAC
BAC
，
30
ACB
ACD
，
如图，分别以
,
DA DC 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，
则
3
3
1,0 ,
,
2
2
A
B
.
因为点P 在边CD 上，所以设
0,
0
3
P
y
y
，
所以
3
3
1,
,
,
2
2
AP
y
BP
y
，
所以
2
2
3
3
3
3
3
21
21
1
2
2
2
2
4
16
16
AP BP
y
y
y
y
y
，
当且仅当
3
4
y
时，AP BP
取得最小值21
16 .
故答案为：21
16 .
15.已知圆C 的半径为1，过圆C 外一点P 作一条切线与圆C 相切于点A ，|
| 2
PA
，Q 为圆C 上一个动点，
则PA PQ
的取值范围为（
）
A．
2,4
B．
2,6
C．
0,4
D．
4,6
【答案】B
【分析】方法一：建立合适的坐标系，设
(cos ,sin )
Q
，根据余弦函数的范围即可得到数量积范围；方法
二：根据数量积与投影向量之间的关系进行转化即可.
【详解】方法一：不妨设圆心
(0,0)
C
，
(0, 1)
A
，
( 2, 1)
P
，
(cos ,sin )
Q
，
所以
(2,0) (cos
2,sin
1)
2cos
4
PA PQ
，
因为1
cos
1
，
所以2
6
PA PQ
.
方法二：如图，过圆心C 作MN
PA
∥
，且与圆C 交于点M，N，连接PM ，PN ，
过M，N 分别作MG
PA
，NH
PA
，垂足分别为G，H，过Q 作QT
PA
，垂足为T ，
则PQ
在PA
方向上的投影向量为PT
，
则PA PQ
PA PT
PA
PT
，
2
PA
，
又1
3
PT
，所以2
6
PA PQ
.
故选：B.
16.如图所示，把一个物体放在倾角为30的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G
，
沿着斜面向上的摩擦力
1F
，垂直斜面向上的弹力
2
F
．已知|
| 100
G
N，求
1F
，
2
F
的大小．
【答案】
1F
50 N ，
2
F
50 3 N ．
【分析】建立平面直角坐标系，求出向量坐标，根据向量的和向量为零向量，即可求得答案.
【详解】以平行于斜坡方向为x 轴，垂直于斜坡方向为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则
1
1 ,0
F
F
，
2
2
0,
F
F
．
又由已知可得
100sin30 ,100cos30
(50,50 3)
G
，
且
1
2
0
G
F
F
，所以
1
2
(50,50 3)
,0
0,
(0,0)
F
F
，
从而可知
1
F
50 N ，
2
F
50 3 N ．
17.如图，质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为，求斜面对物体的摩擦力f
ur
．
【答案】见解析
【分析】利用
f
G
N
，两边同乘
f
，根据数量积定义和三角形诱导公式化简可得.
【详解】物体受到三个力：重力G
（方向竖直向下，大小为mg N），斜面的支持力N
（方向与斜面垂直
向上，大小记为p N），摩擦力f
ur
（方向与斜面平行向上，大小记为f N）．
因为物体静止，所以上述三个力的合力为零，即
0
G
N
f
，
则
f
G
N
，
易知
π
,
2
G
f
，
所以
f
f
G
N
f
G
f
π
cos 2
G
f
，
即
2
sin
f
G
f
，
从而
sin
sin
N
f
G
mg
．
答：斜面对于物体的摩擦力f
ur
的大小为
sin
N
mg
，方向与斜面平行向上．
18.如图，在细绳O 处用水平力
2
F
缓慢拉起所受重力为G
的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受的
拉力为
1F
.
(1)判断
1F
ur
，
2
F
uur
随θ的变化而变化的情况；
(2)当
1
2
F
G
时，求角θ的取值范围．
【答案】(1)当θ从0°趋近90°时，
1F
ur
，
2
F
uur
都逐渐增大
(2)0
60
【分析】（1）由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：
1
2.
G
F
F ,然后画出受力分析图，并利用直
角三角形边角关系计算，结合三角函数的单调性即可得到结论；
（2）由已知得出关于cos的不等式，求解即得.
【详解】（1）解：由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：
1
2.
G
F
F
如图，根据直角三角形可得|
1F
|＝|
|
cos
G
，|
2
F
|＝|G
|·tanθ.
当θ从0°趋近90°时，
1F
ur
，
2
F
uur
都逐渐增大；
（2）解：令
1F
ur
＝|
|
cos
G
≤2|G
|，
因为0
90
，得cos1
2 ，
所以0
60
.
故角θ的取值范围为0
60
.
19.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0m/s．现在有风，风使雨滴以3.0m/s
的速度水平向东移动，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？
【答案】与地面成53.1的方向，以5m/s 的速度着地
【分析】根据平面向量的平行四边形法则分析即可.
【详解】如图所示，AB
为雨滴无风时的下落速度，AD
为雨滴有风时的水平速度，
由平行四边形法则，雨滴实际下落的速度为：AC
AB
AD
，
2
2
3
4
5
AC
，此时
53.1
BCA
．
即雨滴将沿向下偏东，与地面成53.1的方向，以5m/s 的速度着地．
20.已知某人在静水中游泳的速度为4 3 km/h ，河水的流速度为4 km/h ，现此人在河中游泳．
(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
参考数据：
2
tan35.26
2
．
【答案】(1)方向为与水流方向成60，速度为8 km/h
(2)方向与水流方向成125.26，速度为4 2 km/h
【分析】（1）用OA
表示河水的流速，OB
表示该人在静水中游泳的速度．以OA ，OB 为邻边作平行四边
形OACB ，用OC
为此人游泳的实际速度，在矩形中求解中得；
（2）同（1）用O A
表示河水的流速，O B
uuuur 表示此人自身游泳的速度，以O A
，O B
为邻边作平行四边
形O A C B
，O C
uuuur 表示此人实际游泳的速度，在平行四边形中求解．
【详解】（1）如图①，用OA
表示河水的流速，OB
表示该人在静水中游泳的速度．以OA，OB 为邻边作
平行四边形OACB ，用OC
为此人游泳的实际速度．
在Rt AOC
中，|
| 4
OA
，|
| |
| 4 3
AC
OB
uuur
uuur
，所以
2
2
|
|
|
|
|
|
8
OC
OA
AC
uuur
uur
uuur
．
所以
|
|
tan
3
|
|
AC
AOC
OA
uuur
uur
，所以
60
AOC
．
故此人实际前进速度为8 km/h ，方向为与水流方向成60．
（2）如图②，用O A
表示河水的流速，O B
uuuur 表示此人自身游泳的速度，以O A
，O B
为邻边作平行四边
形O A C B
，O C
uuuur 表示此人实际游泳的速度．
所以有
2
2
4 2
O C
O B
O A
uuuur
uuuur
uuur
，
所以
2
tan
2
B C
B O C
O C
uuuur
uuuur
，所以
35.26
B O C
．
故此人实际前进速度为4 2 km/h ，方向与水流方向成125.26．
图①
图②
21.两个力
1F
i
j
，
2
4
5
F
i
j
作用于同一质点，使该质点从点
20,15
A
移动到点
7,0
B
（其中i、j
分
别是x 轴正方向、y 轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
(1)
1F
，
2
F
分别对该质点做的功；
(2)
1F
，
2
F
的合力F
对该质点做的功.
【答案】(1)
1F
对该质点做的功为28
（N m
），
2
F
对该质点做的功23（N m
）；
(2) 5
（N m
）.
【分析】（1）根据题意，求出位移AB
，结合功的计算公式，即可求解；
（2）根据题意，求出合力F
，结合功的计算公式，即可求解.
【详解】（1）根据题意，
1
1,1
F
i
j
，
2
4
5
4, 5
F
i
j
，
13, 15
AB
uuur
，
故
1F
对该质点做的功
1
1
13 15
28
W
F AB
（N m
）；
2
F
对该质点做的功
2
2
13 4 15
5
23
W
F
AB
（N m
）.
（2）根据题意，
1F
，
2
F
的合力
1
2
5, 4
F
F
F
，
故
1F
，
2
F
的合力F
对该质点做的功
5
13
4
15
5
W
F AB
（N m
）.
22.如图，在倾角为37、高
2
h
m 的斜面上，质量为5kg 的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜
面压力的0.5倍，
10
g
N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参
考数据
4
cos37
5
，
3
sin 37
5
）．
【答案】答案见解析
【分析】首先分析物体的受力，再计算各个力所做的功.
【详解】物体受三个力，重力G
，斜面对物体的支持力
Nf
，摩擦力f
ur
，
且重力G
可分解为沿斜面向下的分力
1F
和垂直斜面的分力
2
F
，则重力G
与位移s
之间的夹角
90
37
53
，
则重力对物体做的功
2
cos53
5 10
cos53
100 J
sin37
G
W
G s
G
s
，
支持力
Nf
与位移s
方向垂直，做功为
cos90
0
N
N
N
f
W
f
s
f
s
J ，
摩擦力f
ur
与位移s
方向相反，对物体做功
2
cos180
0.5
f
W
f s
f
s
F s
2
0.5
5 10
cos37
66.7
sin37
J ．
23.如图，一物体在表面粗糙的斜面上不动，斜面沿水平方向做匀速直线运动，若物体的质量为m ，斜面的
倾角为，位移大小为s，求物体与斜面之间的摩擦力所做的功．
【答案】
sin
cos
mgs
【分析】利用物理知识和向量知识得到摩擦力和在f 方向上的位移，再利用功的公式进行求解.
【详解】设物体与斜面之间的摩擦力为f ，
则
sin
f
mg
，
又因为在f 方向上的位移为
1
cos
s
s
=
，
所以物体与斜面之间的摩擦力所做的功
为
1
sin
cos
sin
cos
W
f s
mg
s
mgs
=
×
=
×
=
.
故答案为：
sin
cos
mgs
.
