专题08：直线与圆（答案）_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_高考数学冲刺笔记猫老师猫老师2026版高考数学冲刺笔记+猫老师2026年高考数学考点一遍过全套(完整版)

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⽬
录
【专题⼋：直线与圆】
题型01：直线的倾斜⻆与斜率
题型02：直线的图像特征
题型03：直线的⽅程
题型04：三⻆形中欧拉线⽅程
题型05：三⻆形中线/⾼线/⻆平分线⽅程
题型06：直线平⾏与垂直
题型07：直线夹⻆与到⻆公式
题型08：动直线与恒过定点问题
题型09：点到点距离公式
题型10：平⾏线距离公式
题型11：点到线距离公式
题型12：三点共线问题
题型13：中点坐标公式
题型14：与直线关于点、直线对称的⽅程
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题型15：与直线有关的动点轨迹⽅程
题型16：距离范围最值问题综合
题型17：圆的⽅程
题型18：与圆有关的轨迹⽅程
题型19：⽅程表示圆的条件求参数范围
题型20：点与圆的关系
题型21：关于点、直线对称的圆的⽅程
题型22：直线与圆的关系
题型23：圆的切线⽅程与切点弦
题型24：弦⻓公式
题型25：圆与圆的位置关系
题型26：公切线条数
题型27：圆系⽅程
题型28：相交弦⽅程
题型29：直线与圆距离范围最值综合
第8⻚（共22⻚）
直线与圆篇—题型01～题型02 答案
⼀．选择题（共28 ⼩题）
1．已知直线
的倾斜⻆为30°，则a＝（
）
A．
B．
C．
D．0
【分析】根据题意，由直线斜率与倾斜⻆的关系，求a 的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，直线
的斜率为
，其倾斜⻆为30°，
则有
，
解得
．
故选：C．
【点评】本题考查直线的倾斜⻆，涉及直线的⼀般式⽅程，属于基础题．
2．直线
的倾斜⻆为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据直线⽅程求出直线的斜率，从⽽求出直线的倾斜⻆．
【解答】解：直线
可化为y＝﹣xtan
+2，
所以斜率为k＝﹣tan
＝tan（π﹣
）＝tan
，
所以该直线的倾斜⻆为
．
故选：D．
【点评】本题考查了直线的倾斜⻆与斜率的应⽤问题，是基础题．
3．若直线l：x+ky+
＝0 与直线x+y﹣3＝0 的交点位于第⼆象限，则直线l 的倾斜⻆的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】在平⾯直⻆坐标系中画出直线x+y﹣3＝0，根据斜率与倾斜⻆的关系，运⽤运动变化思想，数
形结合思想，即可求解．
【解答】解：∵直线x+y﹣3＝0 与坐标轴的交点为A（3，0），B（0，3），倾斜⻆为
，
直线l：x+ky+
＝0 过定点C（﹣
，0），
第9⻚（共22⻚）
直线BC 的斜率为kBC＝
＝
，
∴直线BC 的倾斜⻆为
，
∵直线l：x+ky+
＝0 与直线x+y﹣3＝0 的交点位于第⼆象限，
∴直线l 倾斜⻆的取值范围是（
，
），
故选：D．
【点评】本题考查学⽣会根据两直线的⽅程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜⻆
与直线斜率的关系，是中档题．
4．若直线经过A（1，0），B（2，﹣
）两点，则直线AB 的倾斜⻆为（
）
A．30°
B．150°
C．60°
D．120°
【分析】由题意，利⽤直线的斜率公式，直线的斜率和倾斜⻆的定义，得出结论．
【解答】解：∵直线经过A（1，0），B（2，﹣
）两点，
∴直线AB 的斜率为
＝﹣
，
则直线AB 的倾斜⻆为120°，
故选：D．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式，直线的斜率和倾斜⻆的定义，属于基础题．
5．已知直线l：2x+3y﹣1＝0 的倾斜⻆为θ，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意先求得
，然后根据同⻆三⻆函数的基本关系式与诱导公式，算出所求式⼦
的值．
【解答】解：根据题意，直线l：2x+3y﹣1＝0 的斜率k＝
，
，
第10⻚（共22⻚）
则
，解得
，或
（舍），
所以
．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜⻆、同⻆三⻆函数的基本关系与诱导公式等知识，属于中档题．
6．若直线l 的⼀个⽅向向量为
，则它的倾斜⻆为（
）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
【分析】由已知先求出直线的斜率，进⽽可求直线的倾斜⻆．
【解答】解：因为直线l 的⼀个⽅向向量为
，
所以直线的斜率k＝﹣
＝﹣
，
故直线的倾斜⻆为120°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线的斜率与倾斜⻆关系的应⽤，属于基础题．
7．直线l1经过两点A（0，0），B（1，
），直线l1的倾斜⻆是直线l2的倾斜⻆的2 倍，则l2的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意算出直线AB 的斜率，由此得到直线l1的倾斜⻆，从⽽得到直线l2的倾斜⻆，进⽽可
得答案．
【解答】解：根据题意得
，可得直线l1的倾斜⻆为60°，
所以l2的倾斜⻆为
＝30°，可得直线l2的斜率k＝tan30°＝
．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的⽅程、直线的斜率与倾斜⻆等知识，考查了计算能⼒，属于基础题．
8．直线y＝2x﹣3 的斜率和在y 轴上的截距分别等于（
）
A．2，3
B．﹣3，﹣3
C．﹣3，2
D．2，﹣3
【分析】由直线⽅程直接求解该直线的斜率和在y 轴上的截距即可．
【解答】解：由直线y＝2x﹣3，可得该直线的斜率为2；
令x＝0，得y＝﹣3，
∴该直线在y 轴上的截距是﹣3．
第11⻚（共22⻚）
故选：D．
【点评】本题考查了直线的斜率和截距的求法，是基础题．
9．直线3x+4y﹣2＝0 的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．﹣3
【分析】把直线⽅程化成斜截式，再求出斜率即得．
【解答】解：根据题意，直线3x+4y﹣2＝0，即
，所以该直线的斜率为
．
故选：C．
【点评】本题考查直线的斜率，注意直线的⼀般式⽅程，属于基础题．
10．设α∈R，对于直线l：xsinα+y+2＝0，下列说法中正确的是（
）
A．l 的斜率为sinα
B．l 在y 轴上的截距为﹣2
C．l 不可能平⾏于x 轴
D．l 与直线x﹣ysinα﹣1＝0 平⾏
【分析】根据直线的⽅程及其基本概念，对各项中的结论依次加以判别，即可得到本题的答案．
【解答】解：将直线l 化成斜截式，得y＝﹣xsinα﹣2，
可知直线l 的斜率为﹣sinα，且在y 轴上的截距为﹣2，故A 项不正确，B 项正确．
当α＝kπ，k∈Z 时，直线l ⽅程为y+2＝0，与x 轴平⾏，故C 项不正确．
当α＝kπ，k∈Z 时，l 与直线x﹣ysinα﹣1＝0 分别为y+2＝0 与x﹣1＝0，两条直线垂直，故D 项不正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的基本量与基本形式等知识，考查概念的理解能⼒，属于基础题．
11．直线l1：mx﹣y+3m＝0 与直线l2：x+my﹣3＝0 相交于点P（x0，y0），则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】求出直线l1、l2所过定点的坐标，分析可知l1⊥l2，即PA⊥PB，然后求出点P 的轨迹⽅程，设
，根据直线kx﹣y﹣5k＝0 与曲线x2+y2＝9（x≠﹣3）有公共点，利⽤直线与圆的位置关系列出
关于k 的不等式，解之即可得到本题的答案．
第12⻚（共22⻚）
【解答】解：直线l1的⽅程可化为m（x+3）﹣y＝0，可知直线l1经过x+3＝0 与y＝0 的交点A（﹣3，0）
同理可得直线l2经过x﹣3＝0 与y＝0 的交点B（3，0），
因为m×1+（﹣1）×m＝0，所以l1⊥l2，即PA⊥PB，
因为
，
，
所以
，整理
，
当x0＝﹣3，y0＝0，点（﹣3，0）不在直线l2上，所以点P 的轨迹是曲线x2+y2＝9（x≠﹣3），
设
，可得kx0﹣y0﹣5k＝0，
由题意得直线kx﹣y﹣5k＝0 与曲线x2+y2＝9（x≠﹣3）有公共点，
曲线x2+y2＝9 是圆⼼为原点，半径为3 的圆，所以
，解得
，
当x0＝﹣3，y0＝0 时，
；当x0＝3，y0＝0 时，
，所以
的取值范围是
．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的⽅程及其性质、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于
中档题．
12．已知点A（﹣2，4），B（﹣1，﹣3），若直线y＝kx 与线段AB 有公共点，则（
）
A．k∈[﹣∞，﹣2]∪[3，+∞]
B．k∈[﹣2，3]
C．k∈[﹣∞，﹣]∪[
，+∞]
D．k∈[﹣，]
【分析】作出图像，求斜率范围即可．
【解答】解：
若y＝kx 与线段AB 有公共点，分析y＝kx 必过（0，0），
且kOA＝﹣2，kOB＝3，
则k∈[﹣2，3]．
第13⻚（共22⻚）
故选：B．
【点评】本题考查了⼀次函数图象上点的坐标特征，⽤⼀次函数图象上点的坐标特征，找出关于k 的最
值是解题的关键，是基础题．
13．已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜⻆分别为α，β．若
，则下列关系正确的
是（
）
A．0＜k1＜k2
B．k1＜k2＜0
C．k1＜0＜k2
D．k2＜0＜k1
【分析】根据题意，利⽤直线的倾斜⻆与斜率的关系加以解答，即可得到本题的答案．
【解答】解：∵直线l1、l2的倾斜⻆分别为α、β，
，
，
∴tanα＞0，tanβ＜0．
⼜∵直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，
∴k1＝tanα，k2＝tanβ，可知k2＜0＜k1．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜⻆及其应⽤，考查了概念的理解能⼒，属于基础题．
14．将直线
绕着坐标原点按顺时针⽅向旋转90°，得到直线的斜率是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意可得已知直线的斜率
，进⽽利⽤垂直的两条直线的斜率关系，算出旋转后的
直线斜率．
【解答】解：直线
即
，其斜率
，
将直线
绕着坐标原点按顺时针⽅向旋转90°，得到的直线与直线
垂直，
故旋转后的直线斜率
．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线的⽅程及其性质、两条直线垂直与⽅程的关系等知识，属于基础题．
15．已知A（1，2），B（﹣2，0），过点C（﹣1，4）的直线l 与线段AB 不相交，则直线l 斜率k 的取值范
围是（
）
A．k＞1 或k＜﹣4
B．﹣4＜k＜1
C．﹣1＜k＜4
D．k＞4 或k＜﹣1
【分析】根据A，B，C 三点的坐标，写出直线AC、BC 的斜率，再由直线l 与线段AB ⽆交点，得解．
【解答】解：因为A（1，2），B（﹣2，0），C（﹣1，4），
第14⻚（共22⻚）
所以直线AC 的斜率kAC＝﹣1，直线BC 的斜率kBC＝4，
因为直线l 过点C（﹣1，4）与线段AB 不相交，
所以kAC＜k＜kBC，
即k 的取值范围是（﹣1，4）．
故选：C．
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜⻆，考查运算求解能⼒，属于基础题．
16．已知直线l 的倾斜⻆α满⾜120°＜α≤135°，则l 的斜率k 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利⽤直线的倾斜⻆的范围求出斜率的范围．
【解答】解：根据函数k＝tanα的单调性，可知k 的取值范围是
．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜⻆和斜率的关系，主要考查学⽣的理解能⼒和计算能⼒，属
于基础题．
17．已知A（2，﹣3），B（2，1），若直线l 经过点P（0，﹣1），且与线段AB 有交点，则l 的斜率的取值范
围为（
）
A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
B．[﹣2，2]
C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
D．[﹣1，1]
【分析】直接利⽤直线与线段有交点的条件建⽴关系式，进⼀步求出直线l 的斜率的取值范围．
【解答】解：已知A（2，﹣3），B（2，1），若直线l 经过点P（0，﹣1），且与线段AB 有交点，
如图所示：
第15⻚（共22⻚）
故kAP＝﹣1，kBP＝1，
则l 的斜率的取值范围为[﹣1，1]．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率，直线与线段有交点的条件，主要考查学⽣的理解能⼒和计
算能⼒，属于基础题和易错题．
18．经过点P（﹣2，0）作直线l，若直线l 与连接A（3，1），B（﹣1，﹣2）两点的线段总有公共点，则直
线l 的斜率k 的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
【解答】解：P（﹣2，0），A（3，1），B（﹣1，﹣2）
则
，
，画出图象，如图所示：
由图象可知，若直线l 与连接A（3，1），B（﹣1，﹣2）两点的线段总有公共点，
则直线l 的斜率k 的范围为[
]．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
19．已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）．若直线l：mx+y﹣m﹣1＝0 与线段AB 相交，则实数m 的取值范围
是（
）
A．（﹣∞，﹣]∪[4，+∞）
B．（﹣∞，﹣4]∪[
，+∞）
第16⻚（共22⻚）
C．[﹣，4]
D．[﹣4，]
【分析】根据已知条件，先求出直线l 的定点，再结合直线的斜率公式，即可求解．
【解答】解：直线l：mx+y﹣m﹣1＝0 可变形为m（x﹣1）+y﹣1＝0，
令
，解得
，即直线l 过定点P（1，1），
∵A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），
∴
，
，
由图象可知，
或﹣m≤﹣4，解得
或m≥4，
则实数m 的取值范围是
．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
20．若直线l：y＝kx﹣3 与直线2x+3y﹣6＝0 的交点位于第⼀象限，则直线l 的倾斜⻆的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】联⽴两直线⽅程到底⼀个⼆元⼀次⽅程组，求出⽅程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点
在第⼀象限得到横纵坐标都⼤于0，联⽴得到关于k 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k 的范
围，然后根据直线的倾斜⻆的正切值等于斜率k，根据正切函数图象得到倾斜⻆的范围．
【解答】解：联⽴两直线⽅程得：
，
将①代⼊②得：x＝
③，把③代⼊①，求得y＝
，
所以两直线的交点坐标为（
，
），
因为两直线的交点在第⼀象限，所以得到
＞0，且
＞0，
解得：k＞1，
设直线l 的倾斜⻆为θ，则tanθ＞1，所以θ∈（
，
）．
第17⻚（共22⻚）
故选：C．
【点评】本题主要考查根据两直线的⽅程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜⻆与
直线斜率的关系，是⼀道综合题．
21．直线2xcosα﹣y﹣3＝0（
）的倾斜⻆的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】设直线倾斜⻆为θ，由直线2xcosα﹣y﹣3＝0（
）得y＝2xcosα﹣3＝0
（
），然后可得tanθ＝2cosα，最后可求得倾斜⻆的取值范围．
【解答】解：设直线倾斜⻆为θ，由直线2xcosα﹣y﹣3＝0（
）得y＝2xcosα﹣3＝0
（
），
∴tanθ＝2cosα∈[1，
]，∴θ∈[
，
]．
故选：B．
【点评】本题考查直线倾斜⻆和斜率，考查数学运算能⼒，属于基础题．
22．如果ac＜0，bc＜0，那么直线ax+by+c＝0 不通过（
）
A．第⼀象限
B．第⼆象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】先把直线ax+by+c＝0 化为y＝﹣
再由ac＜0，bc＜0 得到﹣＜0，﹣＞0，数形结合即
可获取答案．
【解答】解：∵直线ax+by+c＝0 可化为y＝﹣
，
ac＜0，bc＜0
∴ab＞0，
∴﹣＜0，﹣＞0，
∴直线过⼀、⼆、四象限，不过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查直线的⼀般式⽅程与直线的斜截式的互化，以及学⽣数形结合的能⼒，属容易题
23．如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
第18⻚（共22⻚）
A．k1＞k2＞k3
B．k3＞k1＞k2
C．k2＞k1＞k3
D．k2＞k3＞k1
【分析】应⽤斜率与倾斜⻆的关系即可判断．
【解答】解：由k＝tanα，结合y＝tanx 的函数图像，
直线l3对应的倾斜⻆为钝⻆，则k3＜0，
直线l1与l2都为锐⻆，且l2的倾斜⻆⼤于l1的倾斜⻆，
则k2＞k1＞0，故k2＞k1＞k3．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
24．如图，已知直线PM、QP、QM 的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3的⼤⼩关系为（
）
A．k1＜k2＜k3
B．k1＜k3＜k2
C．k2＜k1＜k3
D．k3＜k2＜k1
【分析】直接利⽤直线的倾斜⻆和斜率的关系求出结果．
【解答】解：根据函数的图象：k1＜0，k2＞k3＞0；
故k2＞k3＞k1．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜⻆和斜率的关系，主要考查学⽣的运算能⼒和数学思维能⼒，
属于基础题．
第19⻚（共22⻚）
25．直线l1：ax﹣y+b＝0 与l2：bx﹣y+a＝0（其中a≠0，b≠0，a≠b），在同⼀坐标系中的图象是图中的（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】数形结合，看直线的斜率的⼤⼩关系和在y 轴上的截距的⼤⼩关系是否⽭盾，从⽽得出结论．
【解答】解：如图：直线l1：ax﹣y+b＝0 与l2：bx﹣y+a＝0（其中a≠0，b≠0，a≠b），
在图A 中，由直线的斜率可得a＞b，⽽由截距可得b＞a，⽭盾，故A 不可能；
在图B 中，由直线的斜率可得a＜b，⽽由截距可得b＞a，故B 可能；
在图C 中，由直线的斜率可得b 正、a 负，⽽由截距可得b＞a＞0，故C 不可能；
在图D 中，由直线的斜率可得a＞b，⽽由截距可得b＜a，⽭盾，故D 不可能，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的斜率和截距，倾斜⻆和斜率的关系，属于基础题．
26．已知直线l1的⽅程是y＝mx+n，l2的⽅程是y＝nx﹣m（mn≠0，m≠n），则下列各图形中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利⽤直线中m 和n 的取值范围判断函数的图象．
【解答】解：根据直线l1的⽅程是y＝mx+n，l2的⽅程是y＝nx﹣m（mn≠0，m≠n），
①当m＞0 时，﹣m＜0，n＞0，﹣n＜0，选项A 错误；
②当n＞0，﹣m＜0，则m＞0，故D 正确；
第20⻚（共22⻚）
③当m＞0，n＞0 时，﹣m＜0，故B 错误；
④由于两直线的交点在y 轴上，故m＝﹣n，故m 和n 异号，故C 错误．
故根据函数的图象只有A 符合答案．
选项ABC 都不对．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：直线和图象的关系，主要考查学⽣视图能⼒和数学思维能⼒，属于基础
题．
27．两直线
＝a 与
＝a（其中a 为不为零的常数）的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意可得这两条直线的斜率互为倒数，且同号，逐⼀检验各个选项，可得结论．
【解答】解：两直线
＝a 与
＝a（其中a 为不为零的常数）的斜率分别为
，，
斜率之积等于1，故它们的斜率互为倒数，且同号．
由于A、C、D 中两直线的斜率异号，故排除A、C、D；
由于B 中两直线的斜率都是负值，可能满⾜条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查确定直线位置的要素，属于基础题．
28．关于x、y 的⽅程a2x﹣ay﹣1＝0（a≠0）表示的直线（图中实线）可能是（
）
A．
B．
C．
D．
第21⻚（共22⻚）
【分析】由题意可得直线的斜率为a，在y 轴上的截距为﹣
，直线的斜率和它在y 轴上的截距的乘积
等于﹣1，逐⼀检验，可得结论．
【解答】解：∵关于x、y 的⽅程a2x﹣ay﹣1＝0（a≠0）表示的直线，
直线的斜率为a，在y 轴上的截距为﹣，直线的斜率和它在y 轴上的截距的乘积等于﹣1，
图A 中，直线的斜率和它在y 轴上的截距都是正的，这不满⾜条件，故排除A；
图B 中，直线的斜率⼩于1，它在y 轴上的截距⼤于﹣1 ⼩于零，这不满⾜条件，故排除B；
图C 中，直线的斜率和它在y 轴上的截距都是负值，这不满⾜条件，故排除C；
图D 中，直线的斜率⼩于﹣1，它在y 轴上的截距⼤于零⼩于1，能满⾜条件，故D 可能成⽴，
故选：D．
【点评】本题主要考查直线的斜率和它在y 轴上的截距，属于基础题．
⼆．多选题（共1 ⼩题）
（多选）29．直线l1，l2的⽅程分别为l1：x+ay+b＝0，l2：x+cy+d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则
下列结论中正确的是（
）
A．b＞0，d＜0
B．b＜0，d＞0
C．a＞c
D．a＜c
【分析】⾸先把直线的⼀般式，转换为斜截式，进⼀步利⽤直线的斜率和直线的截距的⼤⼩关系确定结
果．
【解答】解：根据直线l1的⽅程：x+ay+b＝0，
所以
，
根据直线在坐标系中的位置，
所以
，
，
故a＜0，b＜0；
直线l2：x+cy+d＝0，所以
；
第22⻚（共22⻚）
根据直线在坐标系中的位置；
所以
，
所以c＜0，d＞0．
由于
，
所以c＜a．
故选：BC．
【点评】本题考查的知识要点：直线的⽅程，直线的⼀般式⽅程和斜截式直线⽅程的转换，主要考查学
⽣的运算能⼒和数学思维能⼒，属于中档题．
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第10⻚（共28⻚）
直线与圆篇—题型03～05 答案
⼀．选择题（共35 ⼩题）
1．已知平⾯直⻆坐标系内两点A（1，2），B（﹣2，3），则过点A 且以
为法向量的直线l 的⽅程为（
）
A．3x﹣y﹣1＝0
B．3x﹣y﹣2＝0
C．3x+y﹣5＝0
D．3y﹣x﹣5＝0
【分析】求出向量
，进⽽利⽤两个向量垂直的性质，列式算出直线l 的⽅程．
【解答】解：因为A（1，2），B（﹣2，3），所以
，
设点C（x，y）是直线l 上任意⼀点，根据题意得
，
结合
，可得﹣3（x﹣1）+（y﹣2）＝0，整理得3x﹣y﹣1＝0，即为所求直线l 的⽅程．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线的⽅程及其性质、平⾯向量垂直的坐标表示等知识，属于基础题．
2．过点P（1，1）且⽅向向量为（﹣1，3）的直线⽅程为（
）
A．3x+y+4＝0
B．3x+y﹣4＝0
C．3x﹣y+2＝0
D．3x﹣y﹣2＝0
【分析】根据已知条件，结合⽅向向量的定义，即可求解．
【解答】解：因为直线的⽅向向量为（﹣1，3），
所以直线的斜率为：
＝﹣3，
∴所求的直线⽅程为y﹣1＝﹣3（x﹣1），即3x+y﹣4＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线⽅程的求解，属于基础题．
3．已知直线l 的倾斜⻆为60°，且经过点（0，1），则直线l 的⽅程为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式⽅程求解即可．
【解答】解：由题意知：直线l 的斜率为
，则直线l 的⽅程为
．
故选：C．
【点评】本题考查直线⽅程的求法，是基础题．
4．经过点P（2，2）且倾斜⻆为
的直线⽅程是（
）
A．y＝x
B．y＝x﹣2
C．y＝﹣x+4
D．y＝x+2
第11⻚（共28⻚）
【分析】先求出直线的斜率，再结合直线所过的点，即可求解．
【解答】解：直线的倾斜⻆为
，
则直线的斜率为
，
直线经过点（2，2），
故直线⽅程为y﹣2＝x﹣2，即y＝x．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线的点斜式⽅程，属于基础题．
5．斜率为
，且经过点（1，﹣1）的直线⽅程为（
）
A．3x+4y﹣1＝0
B．3x+4y+1＝0
C．3x﹣4y﹣7＝0
D．3x﹣4y﹣1＝0
【分析】由点斜式⽅程可得直线的⽅程．
【解答】解：由点斜式⽅程可得：y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣1），即3x+4y+1＝0．
故选：B．
【点评】本题考查点斜式求直线的⽅程的⽅法，属于基础题．
6．经过点
且倾斜⻆为90°的直线⽅程为（
）
A．
B．y＝2
C．
D．x＝2
【分析】根据题意，倾斜⻆为90°的直线斜率不存在，结合直线经过的定点，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，倾斜⻆为90°的直线斜率不存在，
⼜由该直线经过点
，则该直线的⽅程为x＝﹣
．
故选：C．
【点评】本题考查直线的⽅程，涉及直线的倾斜⻆，属于基础题．
7．已知直线l 的倾斜⻆为
，且在y 轴上的截距为﹣2，则l 的⽅程为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意先利⽤直线斜率的定义求出直线的斜率，再利⽤斜截式求出直线的⽅程．
【解答】解：由于直线l 的倾斜⻆为
，则l 的斜率
，
所以l 的⽅程为
，即
．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线斜率的定义、直线的斜截式⽅程，属于基础题．
第12⻚（共28⻚）
8．斜率为﹣3，在x 轴上的截距为2 的直线的⼀般式⽅程是（
）
A．3x+y+6＝0
B．3x﹣y+2＝0
C．3x+y﹣6＝0
D．3x﹣y﹣2＝0
【分析】由已知条件知，直线经过点（2，0），⼜斜率为﹣3，可⽤点斜式写出直线⽅程，并化为⼀般式．
【解答】解：在x 轴上的截距为2 的直线经过点（2，0），
⼜斜率为﹣3，
点斜式可得直线的⽅程为：y﹣0＝﹣3（x﹣2），
即3x+y﹣6＝0，
故选：C．
【点评】本题考查直线⽅程的求法，先找出直线经过的点的坐标，再根据斜率，点斜式斜直线⽅程．
9．已知直线l 的斜率是2，且在y 轴上的截距是﹣3，则直线l 的⽅程是（
）
A．y＝2x﹣3
B．y＝2x+3
C．y＝﹣2x﹣3
D．y＝﹣2x+3
【分析】根据已知条件，结合直线的斜截式⽅程，即可求解．
【解答】解：直线l 的斜率是2，且在y 轴上的截距是﹣3，
则直线l 的⽅程为y＝2x﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线的斜截式⽅程，属于基础题．
10．在y 轴上截距为﹣2，倾斜⻆为60°的直线⽅程为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意，利⽤直线的斜率的定义，斜截式求出直线的⽅程．
【解答】解：y 轴上截距为﹣2，倾斜⻆为60°的直线⽅程为y＝tan60°x﹣2，
即
x﹣y﹣2＝0，
故选：A．
【点评】本题主要考查直线的斜率的定义，斜截式求直线的⽅程，属于基础题．
11．在直⻆坐标系xOy 中，在y 轴上截距为﹣1 且倾斜⻆为
的直线⽅程为（
）
A．x+y+1＝0
B．x+y﹣1＝0
C．x﹣y+1＝0
D．x﹣y﹣1＝0
【分析】由直线的倾斜⻆可求直线的斜率，根据直线⽅程的斜截式可求直线⽅程
【解答】解：由题意可得，直线的斜率k＝﹣1
根据直线⽅程的截距式可知所求的直线⽅程为y＝﹣x﹣1 即x+y+1＝0
故选：A．
第13⻚（共28⻚）
【点评】本题主要考查了直线⽅程的斜截式的简单应⽤，属于基础试题
12．直线l 的斜率是﹣2，在y 轴上的截距是4，则直线l 的⽅程是（
）
A．y＝2x﹣4
B．y＝3x+3
C．y＝﹣2x+4
D．y＝﹣2x﹣4
【分析】由已知结合直线⽅程的斜截式即可求解．
【解答】解：因为直线l 的斜率是﹣2，在y 轴上的截距是4，
则直线l 的⽅程是y＝﹣2x+4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线⽅程的斜截式的应⽤，属于基础题．
13．在直⻆坐标系xOy 中，在y 轴上截距为﹣1 且倾斜⻆为135°的直线⽅程为（
）
A．x+y+1＝0
B．x+y﹣1＝0
C．x﹣y+1＝0
D．x﹣y﹣1＝0
【分析】由直线的倾斜⻆可求直线的斜率，根据直线⽅程的斜截式可求直线⽅程．
【解答】解：由题意可得，直线的斜率k＝tan135°＝﹣1，
根据直线⽅程的截距式可知所求的直线⽅程为y＝﹣x﹣1 即x+y+1＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线⽅程的斜截式的简单应⽤，属于基础试题．
14．设直线y＝2x+1 的斜率为k，在y 轴上的截距为b，则（
）
A．k＝﹣，b＝1
B．k＝2，b＝1
C．k＝﹣，b＝
D．k＝﹣2，b＝
【分析】根据题意，由直线的斜截式⽅程分析可得答案．
【解答】解：根据题意，直线y＝2x+1，则该直线的斜率k＝2，在y 轴上的截距为b＝1；
故选：B．
【点评】本题考查直线的斜截式⽅程，注意直线斜截式⽅程的含义，属于基础题．
15．若直线l 经过点A（2，﹣3）、B（3，1），则以下是直线l 的⽅程的为（
）
A．
B．y﹣1＝4（x﹣3）
C．4x﹣y+11＝0
D．（x﹣2）+4（y+3）＝0
【分析】由直线l 过两点的坐标，可得直线的斜率，由两点式或点斜式可得直线的⽅程．
第14⻚（共28⻚）
【解答】解：因为直线l 经过点A（2，﹣3）、B（3，1），所以直线的斜率k＝
＝4，
所以直线的两点式⽅程为：
＝
，所以A 不正确．
直线的点斜式⽅程为y﹣1＝4（x﹣3），整理可得4x﹣y﹣11＝0，所以B 正确，CD 不正确．
故选：B．
【点评】本题考查直线过两点的直线⽅程的求法，属于基础题．
16．过点A（3，2），B（4，3）的直线⽅程是（
）
A．x+y+1＝0
B．x+y﹣1＝0
C．x﹣y+1＝0
D．x﹣y﹣1＝0
【分析】写出直线的两点式⽅程，化为⼀般式即可．
【解答】解：由题意可得直线的两点式⽅程为：
＝
，
化为⼀般式可得：x﹣y﹣1＝0
故选：D．
【点评】本题考查直线的两点式⽅程，属基础题．
17．已知直线l 经过点（﹣3，﹣2），（1，2），则下列不在直线l 上的点是（
）
A．（﹣2，﹣1）
B．（﹣1，0）
C．（0，1）
D．（2，1）
【分析】由已知的两点求出直线l 的⽅程，将点的坐标代⼊直线⽅程即可求解．
【解答】解：由直线的两点式⽅程，得直线l 的⽅程为
，即x﹣y+1＝0，
将各个选项中的坐标代⼊直线⽅程，
可知点（﹣2，﹣1），（﹣1，0），（0，1）都在直线l 上，点（2，1）不在直线l 上．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：直线的⽅程的求法，点和直线的位置关系，主要考查学⽣的理解能⼒和
计算能⼒，属于中档题．
18．已知直线l 经过点P（﹣2，5），点
，则直线l 的⽅程为（
）
A．3x+4y﹣14＝0
B．3x﹣4y+14＝0
C．4x+3y﹣14＝0
D．4x﹣3y+14＝0
【分析】先求出直线的斜率，根据点斜式⽅程求出直线⽅程．
【解答】解：因为直线l 经过点P（﹣2，5），点
，
所以
，
第15⻚（共28⻚）
所以PQ：
，
整理得，3x+4y﹣14＝0，
故直线PQ：3x+4y﹣14＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了直线的点斜式⽅程，考查了点斜式和⼀般式的互化，是基础题．
19．过点A（5，6）和点B（﹣1，2）的直线的两点式⽅程是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】将点A，B 的坐标代⼊两点式⽅程即可．
【解答】解：过点A（5，6）和点B（﹣1，2）的直线的两点式⽅程是：
＝
或
＝
，
故选：B．
【点评】本题考查了直线的两点式⽅程，是基础题．
20．若直线
经过点（1，2），则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和取最⼩值时，
＝（
）
A．2
B．
C．
D．
【分析】根据题意，将点（1，2）代⼊直线⽅程，可得
，然后利⽤基本不等式加以计算，即可
得到本题的答案．
【解答】解：因为直线
经过点（1，2），所以
，
可得
，
当且仅当
时，即
时，等号成⽴，
所以直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和取最⼩值为
，此时
，则
．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线的⽅程及其应⽤、利⽤基本不等式求最值等知识，考查了计算能⼒、逻辑推
理能⼒，属于基础题．
第16⻚（共28⻚）
21．过点（2，﹣3）斜率为
的直线在y 轴上的截距为（
）
A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
【分析】利⽤点斜式可得直线⽅程，令x＝0，即可得出直线在y 轴上的截距．
【解答】解：由题意可得直线⽅程为：y+3＝﹣（x﹣2），令x＝0，解得y＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了直线的点斜式、截距，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于基础题．
22．已知直线l 过点（0，4），且与直线
及x 轴围成等腰三⻆形，则l 的⽅程为（
）
A．
，或
B．
，或
C．
D．
【分析】根据直线l 所过点、倾斜⻆以及等腰三⻆形等知识求得正确答案．
【解答】解：设A（0，4），直线
过A（0，4）和
，显然|4|≠|﹣
|，
当l：x＝0 时，直线l，直线
与x 轴为成的三⻆形是△AOB，不是等腰三⻆形，
所以直线l 的斜率存在，
设B 关于y 轴的对称点为
，
当直线l 过A，C 两点时，|AB|＝|AC|，三⻆形ABC 是等腰三⻆形，
同时由于直线AB 的斜率为
，倾斜⻆为
，
所以三⻆形ABC 是等边三⻆形，
所以|AC|＝|BC|，此时直线l 的⽅程为
+
＝1，即
x+y﹣4＝0，
设直线l 与x 轴相交于点D，如图所示，
若|AB|＝|BD|，则
，
所以直线AD 的斜率，即直线l 的斜率为
，
对应⽅程为y＝
x+4，即
x﹣3y+12＝0．
故选：A．
第17⻚（共28⻚）
【点评】本题考查直线的截距式⽅程的求法及分类讨论的思想，属于基础题．
23．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，直线
在y 轴上的截距为（
）
A．﹣8
B．8
C．
D．
【分析】根据题意，直线的⽅程与截距的概念，算出该直线在y 轴上的截距，可得答案．
【解答】解：对于直线
，令x＝0，解得y＝﹣8，
即直线
在y 轴上的截距为﹣8．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线的⽅程、直线在坐标轴上的截距等知识，考查了概念的理解能⼒，属于基础
题．
24．直线4x﹣y+2＝0 在x 轴上的截距为（
）
A．﹣2
B．
C．
D．2
【分析】直接利⽤定义求解截距即可．
【解答】解：令y＝0，解得
，显然截距是
．
故选：B．
【点评】本题主要考查截距的定义，属于基础题．
25．已知直线l 的倾斜⻆为
，且过点（1，3），则它在y 轴上的截距为（
）
A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
【分析】先根据直线⽅程的点斜式，求出直线l 的⽅程，然后求出直线l 与y 轴的交点坐标，即可得到
本题的答案．
【解答】解：根据题意，可得直线l 的斜率
，
结合直线l 过点（1，3），求得l 的⽅程为y﹣3＝x﹣1，即y＝x+2，
当x＝0 时，y＝2，直线l 交y 轴于点（0，2），即直线l 在y 轴上的截距为2．
第18⻚（共28⻚）
故选：A．
【点评】本题主要考查直线的基本量与基本形式，考查了概念的理解能⼒，属于基础题．
26．已知直线l 过点（1，3），且在y 轴上的截距为在x 轴上的截距的2 倍，则直线l 的⽅程为（
）
A．3x﹣y＝0
B．2x+y﹣5＝0
C．3x﹣y＝0 或2x+y﹣5＝0
D．3x﹣y＝0 或x+2y﹣7＝0
【分析】法（1）分直线过原点和不过原点两种情况讨论，当直线不过原点时，设直线的截距式⽅程，将
点（1，3）的坐标代⼊，可得直线的⽅程；
法（2）由题意设直线在x，y 轴的交点坐标，分a＝0 和a≠0 两种情况讨论，求出直线的⽅程．
【解答】解：法（1）由题意直线过原点时，则直线的⽅程为y＝
x，即y＝3x，
当直线不过原点时，设直线的⽅程为
+
＝1，
将点（1，3）代⼊直线的⽅程可得：+
＝1，解得a＝，
此时直线的⽅程为
+
＝1，
整理可得2x+y﹣5＝0；
故选：C．
法（2）由题意设l 与x 轴的交点为（a，0），则其与y 轴的交点为（0，2a），
当a＝0 时，l 过原点，斜率为
，可得直线的⽅程为y＝3x，即⽅程为3x﹣y＝0；
当a≠0 时，斜率为
，故⽅程为y﹣3＝﹣2（x﹣1），
即2x+y﹣5＝0．
故选：C．
【点评】本题考查直线⽅程的求法，属于基础题．
27．直线3x﹣y+6＝0 与两坐标轴所围成三⻆形的⾯积为（
）
A．
B．
C．3
D．6
【分析】求出直线与坐标轴的交点，即可得求所围成三⻆形的⾯积．
【解答】解：令x＝0，则y＝6；令y＝0，则x＝﹣2；
所以两坐标轴所围成三⻆形的⾯积为
．
故选：D．
第19⻚（共28⻚）
【点评】本题主要考查直线的截距式⽅程，属于基础题．
28．直线l：3x﹣4y﹣1＝0 在x 轴和y 轴上的截距分别是（
）
A．，
B．
，
C．
，
D．，
【分析】根据直线的⼀般是⽅程以及截距的定义求解．
【解答】解：直线⽅程整理为截距式⽅程可得：
+
＝1，
可得直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是
，
．
故选：D．
【点评】本题考查直线的截距式⽅程的求法，属于基础题．
29．已知直线l：ax+2y﹣1＝0 在x 轴与y 轴上的截距相等，则实数a 的值为（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【分析】分别令y＝0，x＝0，可得直线在x，y 轴上的截距，由题意可得a 的值．
【解答】解：直线l：ax+2y﹣1＝0 中，令x＝0，可得y＝，此时可得a≠0，
令y＝0，可得x＝，
由题意可得
＝，解得a＝2．
故选：D．
【点评】本题考查直线的截距的求法，属于基础题．
30．数学巨星欧拉（LeonhardEuler，1707～1783）在1765 年发表的《三⻆形的⼏何学》⼀书中有这样⼀个
定理：“三⻆形的外⼼、垂⼼和重⼼都在同⼀直线上，⽽且外⼼和重⼼的距离是垂⼼和重⼼的距离之半”，
这条直线被后⼈称之为三⻆形的欧拉线．若已知△ABC 的顶点B（﹣1，0），C（0，2），且AB＝AC，则
△ABC 的欧拉线⽅程为（
）
A．2x﹣4y﹣3＝0
B．2x+4y+3＝0
C．4x﹣2y﹣3＝0
D．2x+4y﹣3＝0
【分析】根据题意得出△ABC 的欧拉线⽅程为线段BC 的垂直平分线，再根据点B 和点C 的坐标求出线
段BC 的垂直平分线即可．
【解答】解：由B（﹣1，0），C（0，2），得线段BC 中点的坐标为
，
所以线段BC 的斜率kBC＝2，
所以线段BC 垂直平分线的⽅程为：
，即2x+4y﹣3＝0，
第20⻚（共28⻚）
⼜因为AB＝AC，
所以△ABC 的外⼼、中⼼、垂⼼都在线段△ABC 的垂直平分线上，
所以△ABC 的欧拉线⽅程为2x+4y﹣3＝0．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线⽅程的求解，属于基础题．
31．数学家欧拉1765 年在其所著的《三⻆形⼏何学》⼀书中提出：任意三⻆形的外⼼、重⼼、垂⼼在同⼀
条直线上，后⼈称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点分别为A（3，1），B（4，2），C（2，3），则△
ABC 的欧拉线⽅程为（
）
A．x+y﹣5＝0
B．x+y+5＝0
C．x﹣y﹣1＝0
D．x+2y﹣7＝0
【分析】求出重⼼坐标，求出AB 边上⾼和AC 边上⾼所在直线⽅程，联⽴两直线可得垂⼼坐标，即可
求出欧拉线⽅程．
【解答】解：由题可知，△ABC 的重⼼为G（3，2），
可得直线AB 的斜率为
，则AB 边上⾼所在的直线斜率为﹣1，
则⽅程为y﹣3＝﹣（x﹣2），即x+y﹣5＝0，
直线AC 的斜率为
，则AC 边上⾼所在的直线斜率为
，
则⽅程为
，即x﹣2y＝0，
联⽴⽅程
，解得
，即△ABC 的垂⼼为
，
则直线GH 斜率为
，则可得直线GH ⽅程为y﹣2＝﹣（x﹣3），
故△ABC 的欧拉线⽅程为x+y﹣5＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了推理能⼒与计算能⼒，考查直线⽅程的求解，属于中档题．
32．数学家欧拉在1765 年提出定理：三⻆形的外⼼，重⼼，垂⼼依次位于同⼀直线上，且重⼼到外⼼的距
离是重⼼到垂⼼距离的⼀半．这条直线被后⼈称为三⻆形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A（2，0），B（0，
1），且AC＝BC，则△ABC 的欧拉线的⽅程为（
）
A．2x+4y﹣3＝0
B．x﹣2y﹣3＝0
C．2x﹣y﹣3＝0
D．4x﹣2y﹣3＝0
第21⻚（共28⻚）
【分析】先根据题意求出AB 的垂直平分线，再根据AC＝BC，可知三⻆形的外⼼、重⼼、垂⼼依次位
于AB 的垂直平分线上，即AB 的垂直平分线即为所求．
【解答】解：线段AB 的中点为（1，），
，
∴线段AB 的垂直平分线为：y＝2（x﹣1）+
，即4x﹣2y﹣3＝0，
∵AC＝BC，
∴三⻆形的外⼼、重⼼、垂⼼依次位于AB 的垂直平分线上，
因此△ABC 的欧拉线⽅程为4x﹣2y﹣3＝0．
故选：D．
【点评】本题考查三⻆形的重⼼，垂⼼，外⼼，以及直线的垂直平分线，属于基础题．
33．数学家欧拉在1765 年发表的《三⻆形的⼏何学》⼀书中有这样⼀个定理：三⻆形的外⼼、垂⼼和重⼼
都在同⼀直线上．这条直线被后⼈称为三⻆形的欧拉线．已知△ABC 的顶点分别为A（0，2），B（﹣1，
0），C（4，0），则△ABC 的欧拉线⽅程为（
）
A．4x﹣3y﹣6＝0
B．3x+4y+3＝0
C．4x+3y﹣6＝0
D．3x+4y﹣3＝0
【分析】求出△ABC 的重⼼，推导出AB⊥AC，求出△ABC 的外⼼为BC 的中点
，由此能求
出△ABC 的欧拉线⽅程．
【解答】解：∵△ABC 的顶点分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0），
∴△ABC 的重⼼为
．
∵kAB＝2，
，∴kAB•kAC＝﹣1，∴AB⊥AC，
∴△ABC 的外⼼为BC 的中点
，
三⻆形的外⼼、垂⼼和重⼼都在同⼀直线上，这条直线被后⼈称为三⻆形的欧拉线，
∴△ABC 的欧拉线⽅程为
，即4x+3y﹣6＝0．
故选：C．
【点评】本题考查三⻆形重⼼、外⼼、直线与直线垂直、三⻆形欧拉线等基础知识，考查运算求解能⼒，
是基础题．
34．数学家欧拉在1765 年发现，任意三⻆形的外⼼、重⼼、垂⼼位于同⼀条直线上，这条直线称为欧拉线．已
知△ABC 的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线的⽅程为x﹣y+2＝0，则顶点C 的坐标为（
）
第22⻚（共28⻚）
A．（﹣4，0）
B．（﹣3，﹣1）
C．（﹣5，0）
D．（﹣4，﹣2）
【分析】设点C 的坐标，由重⼼公式求出△ABC 的外⼼，代⼊欧拉线公式得到⼀个⽅程，再求出AB 的
中垂线⽅程，联⽴欧拉线⽅程，求出三⻆形的外⼼，由外⼼的性质得到⼀个⽅程，联⽴两个⽅程求解即
可．
【解答】解：设C（m，n），由重⼼坐标公式可得，△ABC 的重⼼为
，
代⼊欧拉线⽅程可得m﹣n+4＝0①，
AB 的中点为（1，2），
，
故AB 的中垂线⽅程为
，即x﹣2y+3＝0，
联⽴⽅程
，解得x＝﹣1，y＝1，
所以△ABC 的外⼼为（﹣1，1），
所以（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，
整理可得m2+n2+2m﹣2n＝8②，
联⽴①②可得，m＝﹣4，n＝0 或m＝0，n＝4，
当m＝0，n＝4 时，点B，C 重合，故舍去，
所以顶点C 的坐标是（﹣4，0）．
故选：A．
【点评】本题考查了直线⽅程的求解，涉及了重⼼坐标公式的应⽤，掌握求解直线⽅程的常⽤⽅法，属
于中档题．
三．填空题（共2 ⼩题）
35．已知△ABC 的顶点A（5，1），AB 边上的中线CM 所在直线⽅程为2x﹣y﹣5＝0，AC 边上的⾼BH 所在
的直线⽅程为x﹣2y﹣5＝0，则顶点C 的坐标为
（4，3）．
【分析】设C（m，n），则由CM 所在直线⽅程为2x﹣y﹣5＝0 可得2m﹣n﹣5＝0，由AC⊥BH 可得
＝﹣1，联⽴解⽅程组可得．
【解答】解：设C（m，n），则由CM 所在直线⽅程为2x﹣y﹣5＝0 可得2m﹣n﹣5＝0，①
由AC⊥BH 可得
＝﹣1，②
联⽴①②可解得m＝4，n＝3，即顶点C 的坐标为：（4，3）
故答案为：（4，3）
【点评】本题考查直线的对称性和垂直关系，涉及⽅程组的解法，属基础题．
第23⻚（共28⻚）
36．过点（3，2）的直线l，被直线l1：2x﹣5y+9＝0，l2：2x﹣5y﹣7＝0 所截得的线段AB 的中点恰好在直线
x﹣4y﹣1＝0 上，则直线l 的⽅程为
x﹣2y+1＝0
．
【分析】先求出线段AB 的中点，在求出直线l 的斜率，最后⽤点斜式即可求出直线l 的⽅程．
【解答】解：设AB 中点为M，
因为l1∥l2，
所以M 在直线2x﹣5y+1＝0 上，
由M 在直线x﹣4y﹣1＝0 上，
联⽴可得
，解得
，即AB 中点为M（﹣3，﹣1），
所以直线l 的斜率
，所以l 的⽅程为
，即x﹣2y+1＝0．
故答案为：x﹣2y+1＝0．
【点评】本题主要考查直线平⾏的性质，属于基础题．
四．解答题（共8 ⼩题）
37．已知△ABC 的顶点B（﹣2，0），AB 边上的⾼所在的直线⽅程为x+3y﹣26＝0．
（1）求直线AB 的⽅程；
（2）若BC 边上的中线所在的直线⽅程为y＝3，求直线AC 的⽅程．
【分析】（1）根据题意，得到直线AB 的斜率k＝3，结合直线的点斜式⽅程，即可求解；
（2）根据题意，求得A（﹣1，3），设点C（x1，y1），求得y1＝6，再求得点C（8，6），进⽽求得AC 的
斜率
，进⽽求得直线AC 的⽅程．
【解答】解：（1）因为AB 边上的⾼所在的直线⽅程为x+3y﹣26＝0，可得斜率为
，
可得直线AB 的斜率k＝3，⼜因为△ABC 的顶点B（﹣2，0），
所以直线AB 的⽅程为y＝3（x+2），即3x﹣y+6＝0；
所以直线AB 的⽅程为3x﹣y+6＝0．
（2）直线BC 边上的中线所在的直线⽅程为y＝3，
由⽅程组
，解得
，所以点A（﹣1，3），
设点C（x1，y1），则BC 的中点在直线y＝3 上，所以
，即y1＝6，
⼜点C（x1，6）在直线x+3y﹣26＝0 上，x1+3×6﹣26＝0，解得x1＝8，所以C（8，6），
所以AC 的斜率
，所以直线AC 的⽅程为
，
第24⻚（共28⻚）
即直线AC 的⽅程为x﹣3y+10＝0．
【点评】本题考查直线⽅程的应⽤，属于中档题．
38．已知△ABC 的三个顶点是A（1，2），B（﹣1，4），C（4，5）．
（1）求AB 边的⾼所在直线的⽅程；
（2）若直线l 过点C，且点A，B 到直线l 的距离相等，求直线l 的⽅程．
【分析】（1）根据点斜式求得AB 边的⾼所在直线的⽅程；
（2）对l 是否与直线AB 平⾏进⾏分类讨论，由点斜式或斜截式求得直线l 的⽅程．
【解答】解：（1）直线AB 的斜率为
，
所以AB 边的⾼所在直线的斜率为1，
所以AB 边的⾼所在直线的⽅程为y﹣5＝1×（x﹣4），y＝x+1．
（2）直线AB 的斜率为﹣1，
若直线l 与直线AB 平⾏，则直线l 的⽅程为y﹣5＝﹣（x﹣4），y＝﹣x+9．
线段AB 的中点坐标为（0，3），
若直线l 过（0，3），则直线l 的⽅程为y＝
x+3，
即直线l 的⽅程为y＝﹣x+9 或y＝x+3．
【点评】本题主要考查直线的⽅程，直线的垂直关系，属于基础题．
39．已知△ABC 的三个顶点是A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）
（1）求BC 边所在直线的⽅程；
（2）求BC 边中线AM 所在直线的⽅程；
【分析】（1）求出直线BC 的斜率，再利⽤直线的点斜式⽅程求解即得．
（2）求出边BC 的中点M 的坐标，进⽽进出直线AM 的斜率，再利⽤直线的斜截式⽅程求解即得．
【解答】解：（1）依题意，直线BC 的斜率
，
所以直线BC 的⽅程为y﹣3＝x﹣2，即x﹣y+1＝0．
（2）依题意，边BC 的中点M（0，1），⽽A（﹣1，4），则直线AM 的斜率
，
所以直线AM 的⽅程为y＝﹣3x+1，即3x+y﹣1＝0．
【点评】本题考查的知识要点：直线⽅程的求法，主要考查学⽣的理解能⼒和计算能⼒，属于中档题．
40．已知△ABC 的顶点A 的坐标为（1，4），∠B，∠C 平分线的⽅程分别为x﹣2y＝0 和x+y﹣1＝0，求BC
边所在的⽅程．
第25⻚（共28⻚）
【分析】分析题意，求出A 关于x﹣2y＝0 和x+y﹣1＝0 的对称点的坐标，再根据对称点都在直线BC 上，
利⽤两点式⽅程求解即可．
【解答】解：∵∠B、∠C 的平分线分别是为x﹣2y＝0 和x+y﹣1＝0，
∴AB 与BC 关于x﹣2y＝0 对称，AC 与BC 关于x+y﹣1＝0 对称．
则A（1，4）关于x﹣2y＝0 的对称点A′（m，n）在直线BC 上．
再根据
，求得
，故点A′（
，﹣）．
同理求得A 关于x+y﹣1 的对称点A″（﹣3，0），再根据A″也在直线BC 上，
⽤两点式求的BC 的⽅程为
＝
，即4x+17y+12＝0．
【点评】本题主要考查点关于直线对称点的求法，直线⽅程的求法，考查计算能⼒，发现问题解决问题
的能⼒，属于基础题．
41．已知△ABC 的顶点B（﹣2，0），AB 边上的⾼所在的直线⽅程为4x﹣y+7＝0．
（1）求直线AB 的⽅程；
（2）在两个条件中任选⼀个，补充在下⾯问题中并作答．
①⻆A 的平分线所在直线⽅程为x+y﹣1＝0；
②BC 边上的中线所在的直线⽅程为3x+2y﹣4＝0．
若_____，求直线AC 的⽅程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第⼀个解答计分．
【分析】（1）由AB 与AB 边上⾼垂直，设直线AB 的⽅程，将B 点的坐标代⼊可得参数的值，进⽽求出
直线AB 的⽅程；
（2）分别选①②进⾏讨论，可得直线AC 的⽅程．
【解答】解：（1）因为AB 边上的⾼所在的直线⽅程为4x﹣y+7＝0．
设直线AB 的⽅程为：x+4y+m＝0，将B（﹣2，0）代⼊⽅程可得：﹣2+4×0+m＝0，
解得：m＝2，
所以直线AB 所在的直线⽅程为：x+4y+2＝0；
（2）若选①，由题意点A 为直线AB 和⻆A 的平分线所在的直线AD 的交点，
联⽴
，可得x＝2，y＝﹣1，
即A（2，﹣1），
第26⻚（共28⻚）
设B（﹣2，0）关于直线AD 的对称点B'（a，b），
则
，解得a＝1，b＝3，
即B'（1，3），
因为B'点在直线AC 上，所以kAC＝kAB'＝
＝﹣4，
所以直线AC 的⽅程为：y+1＝﹣4（x﹣2），即4x+y﹣7＝0；
若选②，设C（x，y），则BC 的中点D（
，），
因为D 点在BC 的中线3x+2y﹣4＝0 上，
所以3•
+2•
﹣4＝0，
即3x+2y﹣14＝0．
由C 点在AB 边的⾼4x﹣y+7＝0 上，
联⽴
，解得x＝0，y＝7，
即C（0，7），
所以kAC＝
＝﹣4，
所以直线AC 所在的直线⽅程：y+1＝﹣4（x﹣2），即4x+y﹣7＝0．
综上所述：直线AC 的⽅程为：4x+y﹣7＝0．
【点评】本题考查直线⽅程的求法及两条直线的交点的求法，属于基础题．
42．在△ABC 中，A（﹣3，0），B（1，4），C（3，﹣3）．
（Ⅰ）求边AB 所在直线的⽅程；
（Ⅱ）求边AB 上的中线所在直线的⽅程．
【分析】（Ⅰ）直接利⽤两点的坐标求出直线的⽅程；
（Ⅱ）利⽤中点坐标和点斜式求出直线的⽅程．
【解答】解：（Ⅰ）因为A（﹣3，0），B（1，4），
所以边AB 所在直线的斜率kAB＝1．
⼜因为该直线过点A（﹣3，0），
所以边AB 所在直线的⽅程为：y＝x+3，
即x﹣y+3＝0．
第27⻚（共28⻚）
（Ⅱ）设边AB 上的中点为M，则直线MC 即为边AB 上的中线．
因为A（﹣3，0），B（1，4），
所以M（﹣1，2），⼜因为C（3，﹣3）
所以直线MC 的斜率
．
⼜因为该直线过点M（﹣1，2），
所以直线MC 的⽅程为：
，
即5x+4y﹣3＝0．
【点评】本题考查的知识要点：直线的⽅程的求法，主要考查学⽣的理解能⼒和计算能⼒，属于中档题．
43．已知△ABC 的三个顶点是A（1，1），B（3，3），C（2，8）．
（1）过点B 的直线l1与边AC 相交于点D，若△BCD 的⾯积是△ABD ⾯积的3 倍，求直线l1的⽅程；
（2）求∠BAC 的⻆平分线所在直线l2的⽅程．
【分析】（1）根据已知条件，先推出
，再结合向量相等的条件，即可求解；
（2）根据已知条件，结合点关于直线对称的性质，即可求解．
【解答】解：（1）因为△BCD 的⾯积是△ABD ⾯积的3 倍，所以
，
设D（x0，y0），则
，
，
则
，解得
，
故直线l1的⽅程为
，即x﹣7y+18＝0．
（2）显然，l2的斜率存在且不为零，设l2的⽅程为y﹣1＝k（x﹣1），
则过点B 且与l2垂直的直线l 的⽅程为
．
设点B 关于直线l 对称的点为
，因为直线AC 的⽅程为7x﹣y﹣6＝0，
所以
，
整理得2k3﹣3k2﹣2k＝0．
第28⻚（共28⻚）
因为k≠0，所以2k2﹣3k﹣2＝0，解得k＝2 或
．
⼜kAC＝7＞0，kAB＝1＞0，所以k＞0，
故直线l2的⽅程为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0．
【点评】本题主要考查直线⽅程的求解，属于中档题．
44．已知△ABC 的三个顶点为A（4，0），B（2，3），C（4，6）．
（1）求BC 边上的⾼AD 的直线⽅程；
（2）求过点B 且与A、C 距离相等的直线⽅程．
【分析】（1）求出直线BC 的斜率，进⽽求出直线AD 的斜率，再利⽤直线的点斜式⽅程求解即得．
（2）利⽤两定点到直线距离相等的特性，分情况求解即可．
【解答】解：（1）由点B、C 的坐标，得直线BC 的斜率
，
由AD⊥BC，得直线AD 的斜率
，
由点斜式⽅程得直线AD 的⽅程为
，整理得2x+3y﹣8＝0，
所以BC 边上的⾼AD 的直线⽅程为2x+3y﹣8＝0．
（2）由点A、C 的坐标，得线段AC 的中点E 坐标为（4，3），
显然点A，C 到直线BE 的距离相等，⽽直线BE⊥y 轴，于是直线BE 的⽅程为y＝3；
⼜点A，C 到与直线AC 平⾏的直线的距离也相等，⽽直线AC⊥x 轴，此时所求直线⽅程为x＝2，
所以过点B 且与A、C 距离相等的直线⽅程为x＝2 和y＝3．
【点评】本题考查的知识要点：直线的⽅程的求法，点斜式的直线⽅程的应⽤，主要考查学⽣的理解能
⼒和计算能⼒，属于中档题．
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第12⻚（共36⻚）
直线与圆篇—题型06～题型10 答案
⼀．选择题（共60 ⼩题）
1．若直线l1：2x+（m+1）y+4＝0 与直线l2：mx+3y﹣2＝0 平⾏，则m 的值为（
）
A．2
B．﹣3
C．2 或﹣3
D．﹣2 或﹣3
【分析】根据两直线平⾏的条件即可求出m 的值．
【解答】解：直线l1：2x+（m+1）y+4＝0 与直线l2：mx+3y﹣2＝0 平⾏，
则2×3﹣（m+1）m＝0，
解得m＝﹣3 或m＝2，
当m＝﹣3 时，此时直线l1：2x﹣2y+4＝0 与直线l2：﹣3x+3y﹣2＝0 平⾏，
当m＝2 时，此时直线l1：2x+3y+4＝0 与直线l2：2x+3y﹣2＝0 平⾏，
故m＝﹣3 或m＝2．
故选：C．
【点评】本题的考点是直线的⼀般式⽅程与直线的平⾏关系，主要考查两直线平⾏的性质，属于基础题．
2．直线l1：（a﹣1）x+y+1＝0，l2：4x+（a+2）y﹣1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据两条直线平⾏与⽅程的关系，对两个条件进⾏正反推理论证，即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，当a＝2 时，直线l1：x+y+1＝0，l2：4x+4y﹣1＝0，
两条直线的斜率都为﹣1，且在y 轴上截距不相等，故l1∥l2，充分性成⽴；
反之，若l1∥l2，则（a﹣1）（a+2）＝4 且﹣（a﹣1）≠4，解得a＝2，必要性成⽴．
因此，“a＝2”是“l1∥l2”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查两条直线平⾏与⽅程的关系、充要条件的判断等知识，考查了计算能⼒、逻辑推
理能⼒，属于基础题．
3．若直线3x+2（a+1）y+1＝0 与直线（a﹣1）x+ay+a＝0 平⾏，则a 的值为（
）
A．﹣2
B．2
C．
D．2 或
第13⻚（共36⻚）
【分析】若l1：A1x+B1y+C1＝0，l2：A2x+B2y+C2＝0，则l1，l2平⾏或重合等价于A1B2﹣A2B1＝0，根据已
知求出a 的值，再代⼊直线验证是平⾏或重合，从⽽求出两直线平⾏时a 的值．
【解答】解：因为直线3x+2（a+1）y+1＝0 与（a﹣1）x+ay+a＝0 平⾏，
所以，3a﹣2（a+1）（a﹣1）＝0，
即：2a2﹣3a﹣2＝0，
解得：a＝2 或
，
当
时两直线重合，不符合题意，舍去；
当a＝2 时两直线平⾏，符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：直线平⾏的充要条件，主要考查学⽣的运算能⼒，属于中档题．
4．已知直线l1：ax﹣y﹣1＝0，l2：ax+（a+2）y﹣1＝0．若l1∥l2，则实数a＝（
）
A．0 或﹣3
B．0
C．﹣3
D．﹣1 与0
【分析】写出两条直线平⾏的充要条件，可得a 的值．
【解答】解：由题意两条直线平⾏，
可得：a（a+2）＝﹣a 且﹣1×（﹣1）≠﹣1×（a+2），
解得a＝0．
故选：B．
【点评】本题考查两条直线平⾏的性质的应⽤，属于基础题．
5．已知直线mx+2y+m+2＝0 与直线4x+（m+2）y+2m+4＝0 平⾏，则m 的值为（
）
A．4
B．﹣4
C．2 或﹣4
D．﹣2 或4
【分析】根据两条直线平⾏建⽴关于m 的⽅程，求出m 的值并加以检验，即可得到本题的答案．
【解答】解：因为直线mx+2y+m+2＝0 与直线4x+（m+2）y+2m+4＝0 平⾏，
所以m（m+2）＝2×4，解得m＝2 或m＝﹣4，
当m＝2 时，直线2x+2y+4＝0 与直线4x+4y+8＝0 重合，不符合题意；
当m＝﹣4 时，直线﹣4x+2y﹣2＝0 与直线4x﹣2y﹣4＝0 平⾏．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的⽅程、两条直线平⾏与⽅程的关系等知识，考查了计算能⼒、逻辑推理能
⼒，属于基础题．
6．已知直线l1：mx+y﹣1＝0，l2：（4m﹣3）x+my﹣3＝0，若l1∥l2，则实数m＝（
）
第14⻚（共36⻚）
A．1
B．3
C．1 或3
D．0
【分析】根据直线平⾏公式求出参数m 的值，验证是否重合．
【解答】解：因为l1∥l2，所以m2＝4m﹣3，
解得：m＝1 或m＝3，
当m＝1 时，l1：x+y﹣1＝0，l2：x+y﹣3＝0，两直线平⾏，满⾜题意，
当m＝3 时，l1：3x+y﹣1＝0，l2：3x+y﹣1＝0，两直线重合，舍，
所以m＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线平⾏条件的应⽤，属于基础题．
7．直线l1：ax+3y+2a＝0 与直线l2：2x+（a﹣1）y+（a+1）＝0 平⾏，则“l1∥l2”是“a＝﹣2”的（
）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要
【分析】根据两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系．
【解答】解：当l1∥l2时，则a（a﹣1）＝6，故a＝﹣2 或a＝3，
当a＝3 时，l1的⽅程为x+y+2＝0，l2的⽅程为x+y+2＝0，此时两条直线重合，不符合；
当a＝﹣2 时，l1的⽅程为2x﹣3y+4＝0，l2的⽅程为2x﹣3y﹣1＝0，符合；
综上，“l1∥l2”是“a＝﹣2”的充要条件．
故选：B．
【点评】本题考查充要条件的判断，属于基础题．
8．已知直线l1：mx+y+1＝0，l2：3x+（m+2）y+3m＝0，若l1∥l2，则m 的值为（
）
A．1
B．﹣3
C．1 或﹣3
D．﹣1 或3
【分析】根据两条直线平⾏与⽅程的关系，建⽴关于m 的关系式，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得m（m+2）﹣3＝0，解得m＝﹣3 或1，
当m＝﹣3 时，直线l1：﹣3x+y+1＝0，l2：3x﹣y﹣9＝0，两直线平⾏，满⾜要求．
当m＝1 时，直线l1：x+y+1＝0，l2：x+y+1＝0，两直线重合，舍去．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的⽅程及其性质、两条直线平⾏与⽅程的关系等知识，属于基础题．
9．已知直线x+ay﹣1＝0 与直线（a﹣1）x+ay+1＝0 平⾏，则实数a 的值是（
）
A．2 或0
B．2
C．0
D．﹣2
【分析】讨论a 是否为0，不等于0 时，根据直线平⾏，列式计算，求得a 的值，验证后即可确定答案．
第15⻚（共36⻚）
【解答】解：当a＝0 时，两直线都为x＝1，两直线重合，不符合题意；
当a≠0 时，由两直线平⾏，得到
，解得a＝2，
经检验，此时两直线不重合，即直线x+2y﹣1＝0 与直线x+2y+1＝0 平⾏，
综上，实数a 的值是2．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线平⾏的性质，属于基础题．
10．已知直线l1：ax+2y﹣2＝0 与l2：3x+（1﹣a）y+1＝0 垂直，则a＝（
）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣3
【分析】直接利⽤直线垂直的充要条件求出结果．
【解答】解：直线l1：ax+2y﹣2＝0 与l2：3x+（1﹣a）y+1＝0 垂直，
所以3a+2（1﹣a）＝0，解得a＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：直线垂直的充要条件，主要考查学⽣的运算能⼒，属于基础题．
11．已知直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x+（a+1）y+2＝0，l3：﹣2bx+y+1＝0，a，b∈R，䒴l1∥l2，l1⊥l3，则b
＝（
）
A．
或
B．
C．或
D．
【分析】由两直线平⾏和垂直的条件，列⽅程求解．
【解答】解：直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x+（a+1）y+2＝0，l3：﹣2bx+y+1＝0，a，b∈R，
由l1∥l2，得a（a+1）﹣2＝0，且2a+4≠0，解得a＝1，
由l1⊥l3，得﹣2ab+1＝0，故
．
故选：B．
【点评】本题考查两直线平⾏和垂直的条件等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
12．过原点且与直线2x+y﹣1＝0 垂直的直线⽅程为（
）
A．y＝2x
B．y＝﹣2x
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：直线2x+y﹣1＝0 的斜率为﹣2，
与直线2x+y﹣1＝0 垂直的直线斜率为
，
⼜直线过原点，故其⽅程为
．
第16⻚（共36⻚）
故选：C．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
13．已知命题p：∃m∈R，使得斜率存在的两直线（m+2）x+my﹣1＝0 与mx﹣y+3＝0 垂直，若命题p 是真
命题，则实数m 的值为（
）
A．﹣1
B．1
C．0
D．0 或﹣1
【分析】根据两直线垂直的关系可构造⽅程组求得m 的值，结合两直线斜率存在可得到结果．
【解答】解：若两直线垂直，则m（m+2）﹣m＝0，解得：m＝0 或m＝﹣1，
当m＝0 时，直线（m+2）x+my﹣1＝0 可化为
，即斜率不存在，不合题意；
当m＝﹣1 时，两直线斜率均存在，满⾜题意；
所以命题p 是真命题，则m＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查两条直线垂直的充要条件的应⽤，属于基础题．
14．已知直线x+2y﹣4＝0 与直线2x+my+m+3＝0 互相垂直，则m 为（
）
A．
B．1
C．﹣1
D．2
【分析】根据两直线垂直的⼀般式的结论即可得出答案．
【解答】解：两直线垂直，则有A1A2+B1B2＝0，即2+2m＝0，解得m＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查直线的⼀般式⽅程和垂直关系，属基础题．
15．已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0 且l1⊥l2，则
的最⼩值为（
）
A．2
B．4
C．8
D．9
【分析】由题意利⽤两条直线垂直的性质，求得a+2b＝1，再利⽤基本不等式的，求得
的最⼩值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0，且l1⊥l2，
∴（a﹣1）+2b＝0，即a+2b＝1≥2
∴ab≤
，
≥8，当且仅当a＝2b＝时，等号成⽴．
则
＝
＝
的最⼩值为8，
故选：C．
【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应⽤，属于基础题．
16．经过两条直线2x﹣3y+10＝0 和3x+4y﹣2＝0 的交点，且垂直于直线2x﹣y﹣1＝0 的直线⽅程为（
）
A．x﹣2y﹣6＝0
B．x+2y﹣2＝0
C．2x﹣y﹣3＝0
D．2x+y﹣2＝0
第17⻚（共36⻚）
【分析】先解⽅程组求出直线2x﹣3y+10＝0 与3x+4y﹣2＝0 的交点坐标，然后求出垂直于直线2x﹣y﹣1
＝0 的直线的斜率，利⽤点斜式算出所求直线⽅程．
【解答】解：由
，解得
，可知直线2x﹣3y+10＝0 与3x+4y﹣2＝0 交于点（﹣2，2），
与直线2x﹣y﹣1＝0 垂直的直线，其斜率k＝
，故所求直线为y﹣2＝
（x+2），即x+2y﹣2＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查求两条直线的交点坐标、两条直线垂直与⽅程的关系等知识，考查了计算能⼒，
属于基础题．
17．直线（2a+1）x+ay+1＝0 和直线ax﹣3y+3＝0 垂直，则a 的值为（
）
A．1
B．0 或1
C．0 或﹣1
D．﹣1
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：直线（2a+1）x+ay+1＝0 和直线ax﹣3y+3＝0 垂直，
则（2a+1）a﹣3a＝0，解得a＝0 或1．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
18．已知A（1，﹣2），B（m，2），直线AB 与直线l：x+2y﹣1＝0 垂直，则实数m＝（
）
A．﹣7
B．2
C．3
D．4
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的斜率公式，即可求解．
【解答】解：A（1，﹣2），B（m，2），
则
，
直线l：x+2y﹣1＝0，
则
，
直线AB 与直线l：x+2y﹣1＝0 垂直，
则
，解得m＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，以及直线的斜率公式，属于基础题．
19．已知倾斜⻆为θ的直线l 与直线2x﹣y+1＝0 垂直，则tanθ＝（
）
A．2
B．﹣2
C．
D．
第18⻚（共36⻚）
【分析】由已知直线的⽅程，可得它的斜率的⼤⼩，再由两条直线垂直，可得直线l 的斜率，即直线l
的倾斜⻆的正切值的⼤⼩．
【解答】解：因为直线2x﹣y+1＝0 的斜率为2，
⼜因为两直线垂直，
故直线l 的斜率
，
因为直线l 的倾斜⻆为θ，即
．
故选：D．
【点评】本题考查两条直线垂直的性质的应⽤，属于基础题．
20．已知直线l1：ax+3y﹣5＝0 与l2：（3a﹣2）x+ay+4＝0 垂直，则a＝（
）
A．0
B．0 或
C．
D．0 或
【分析】直接利⽤向量垂直的充要条件求出结果．
【解答】解：直线l1：ax+3y﹣5＝0 与l2：（3a﹣2）x+ay+4＝0 垂直，
故a（3a﹣2）+3a＝0，整理得3a2+a＝0，
解得a＝0 或﹣．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，主要考查学⽣的理解能⼒和计算能⼒，属于基础
题．
21．过点（0，3）与圆x2+y2﹣2x﹣3＝0 相切的两条直线的夹⻆为α，则sinα＝（
）
A．
B．1
C．
D．
【分析】根据题意，利⽤切线的性质与锐⻆三⻆函数定义，算出
的正弦值与余弦值，进⽽根据⼆倍
⻆的三⻆函数公式算出sinα．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣2x﹣3＝0 即（x﹣1）2+y2＝4，圆⼼为C（1，0），半径r＝2，
设点P（0，3），则|PC|＝
．
过点P 作圆C 的两条切线，则两条切线关于直线PC 对称，
由
，可得
，
所以
．
故选：A．
第19⻚（共36⻚）
【点评】本题主要考查圆的切线的性质、锐⻆三⻆函数的定义与⼆倍⻆的三⻆函数公式等知识，属于中
档题．
22．已知直线l1：
x+y＝0 与直线l2：kx﹣y+1＝0，若直线l1与直线l2的夹⻆为60°，则实数k 的值为（
）
A．
B．
C．
或0
D．
或
【分析】根据倾斜⻆与斜率的关系即可求解．
【解答】解：因为
的斜率为
，
所以其倾斜⻆为120°，直线l2：kx﹣y+1＝0 恒过点（0，1），
若直线l1与直线l2的夹⻆为60°，则l2的倾斜⻆为60°或者0°，
所以斜率为
或k＝0，
故选：C．
【点评】本题考查直线的斜率问题，属于中档题．
23．直线
与直线n：x＝1 的夹⻆为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】⾸先求出两直线的倾斜⻆，即可判断．
【解答】解：∵直线
，∴
，则直线m 的倾斜⻆
，
⼜直线n：x＝1，∴直线n 的倾斜⻆为
，
∴直线
与直线n：x＝1 的夹⻆为
．
故选：D．
【点评】本题考查了两直线的倾斜⻆以及两直线的夹⻆的求法，是基础题．
24．过点
且与直线
的夹⻆为
的直线⽅程是（
）
A．
B．
第20⻚（共36⻚）
C．x＝﹣2
D．
或x＝﹣2
【分析】所求直线可以绕着点P 逆时针和顺时针旋转，所以分两种情况，结合直线的斜率与倾斜⻆的关
系，可得所求直线的斜率，再由直线的点斜式⽅程，即可得解．
【解答】解：直线
的斜率为
，倾斜⻆为
，
因为所求直线与该直线的夹⻆为
，
所以所求直线的倾斜⻆为
或
，
当直线的倾斜⻆为
时，其斜率不存在，所以直线的⽅程为x＝﹣2；
当直线的倾斜⻆为
时，其斜率为tan
＝﹣
，所以直线⽅程为y﹣
＝﹣
（x+2），
综上，所求直线的⽅程为y﹣
＝﹣
（x+2）或x＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查直线⽅程的求法，熟练掌握直线的斜率与倾斜⻆的关系是解题的关键，考查逻辑推理
能⼒和运算能⼒，属于基础题．
25．已知直线l1：x+2y+3＝0，l2：x﹣3y+2＝0，则直线l1，l2的夹⻆为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】画出函数图形，通过直线斜率与倾斜⻆、直线倾斜⻆与直线夹⻆之间的关系以及三⻆恒等变换
即可求解．
【解答】解：如图所示：
直线l1，l2的倾斜⻆分别为∠ABC，∠FCO，
l1：x+2y+3＝0，l2：x﹣3y+2＝0 即
，
从⽽
，
第21⻚（共36⻚）
所以
，
所以
，
⽽0＜∠FDE＜π，所以直线l1，l2的夹⻆即为
．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：三⻆函数的关系式，直线的倾斜⻆和斜率的关系，直线的⽅程，主要考
查学⽣的理解能⼒和计算能⼒，属于中档题．
26．过直线y＝x 上的⼀点作圆x2+y2﹣10x﹣2y+24＝0 的两条切线l1，l2，当l1，l2关于y＝x 对称时，它们之
间的夹⻆为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【分析】过圆⼼M 作直线l：y＝x 的垂线交于P 点，过P 点作圆的切线能够满⾜条件，不难求出夹⻆为
600．明⽩P 点后，⽤图象法解之也很⽅便．
【解答】解：圆x2+y2﹣10x﹣2y+24＝0 可化为圆（x﹣5）2+（y﹣1）2＝2，
即圆⼼（5，1），过（5，1）与y＝x 垂直的直线⽅程：x+y﹣6＝0，它与y＝x 的交点P（3，3），
P 到（5，1）距离是
，
半径MA＝
，
两条切线l1，l2，它们之间的夹⻆为60°．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，以及数形结合的数学思想；这个解题⽅法在⾼考中应⽤的⾮常
普遍，是中档题．
27．O 为坐标原点，点A，B 的坐标分别为（2，﹣1），（﹣1，3），则tan∠AOB 等于（
）
A．1
B．﹣1
C．
D．
【分析】求出OA，OB 的斜率，然后利⽤夹⻆公式求解即可．
第22⻚（共36⻚）
【解答】解：O 为坐标原点，点A，B 的坐标分别为（2，﹣1），（﹣1，3），
可得kOA＝
，kOB＝﹣3，
tan∠AOB＝
＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查夹⻆公式的灵活应⽤，考查转化思想以及计算能⼒，是基础题．
28．直线
绕原点顺时针旋转90°后所对应的直线的斜率为（
）
A．﹣1
B．
C．
D．
【分析】根据所给直线的⽅程求出直线的斜率进⽽可得倾斜⻆，再求出旋转后直线的倾斜⻆，由斜率的
定义即可求斜率．
【解答】解：由直线
可得该直线的斜率为
，
设倾斜⻆为θ，则
，因为0°≤θ＜180°，所以θ＝60°，
所以绕原点顺时针旋转90°后所对应的直线的倾斜⻆为180﹣（90°﹣60°）＝150°，
所以斜率为
．
故选：C．
【点评】本题考查直线的倾斜⻆问题，属于基础题．
29．将直线
绕点（2，0）按逆时针⽅向旋转60°后所得直线⽅程是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先确定直线
与x 轴的交点，斜率与倾斜⻆，从⽽知所求直线的倾斜⻆与斜率，再
由直线的点斜式⽅程，求解即可．
【解答】解：由题意知，直线
与x 轴的交点为点（2，0），其斜率为
，倾斜⻆为60°，
第23⻚（共36⻚）
所以将直线
绕点（2，0）按逆时针⽅向旋转60°后所得直线的倾斜⻆为120°，
所以所求直线的斜率为
，
所以所求直线的⽅程为
，即
．
故选：A．
【点评】本题考查直线的⽅程，直线的斜率与倾斜⻆的关系，考查逻辑推理能⼒和运算能⼒，属于基础
题．
30．直线
与直线
的夹⻆为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据斜率分别计算两条直线的倾斜⻆，进⽽可得夹⻆．
【解答】解：两直线的斜率
，因为直线倾斜⻆范围为[0，π），
则
，
故两直线夹⻆
，
故选：A．
【点评】本题考查两直线的夹⻆问题，考查运算求解能⼒，属于基础题．
31．⽆论k 为何实数，直线（2k+1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+8）＝0 恒过⼀个定点，这个定点是（
）
A．（0，0）
B．（2，3）
C．（3，2）
D．（﹣2，3）
【分析】直线恒过定点，即与参数k ⽆关，原直线⽅程整理为（2x﹣y﹣1）k+（x+2y﹣8）＝0，令k 的系
数为0，解⽅程即可得解．
【解答】解：原⽅程可化为（2x﹣y﹣1）k+（x+2y﹣8）＝0，由直线恒过定点可知，
，解得
，所以直线恒过定点（2，3）．
故选：B．
【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
32．不论k 为任何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0 恒过定点，若直线mx+ny＝2 此定点，其
中m，n 是正实数，则
的最⼩值是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出定点坐标（2，3），由此可得2m+3n＝2，再由基本不等式即可得出答案．
【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0，
第24⻚（共36⻚）
即k（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）＝0，
根据k 的任意性可得
，
解得
，
则直线（2k﹣1）x+（k+3）y﹣（k﹣11）＝0 都经过⼀个定点（2，3），
圆为直线mx+ny＝2 过此定点，所以2m+3n＝2，
＝
，
当且仅当
时取等号，即
，
时取等号．
则
的最⼩值是
．
故选：B．
【点评】本题考查直线恒过定点问题以及基本不等式的运⽤，考查运算求解能⼒，属于基础题．
33．已知A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l 过定点P（1，1），且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取
值范围是（
）
A．
B．
C．k≤﹣4 或
D．以上都不对
【分析】画出图形，由题意得所求直线l 的斜率k 满⾜k≥kPB 或k≤kPA，⽤直线的斜率公式求出kPB 和
kPA 的值，
解不等式求出直线l 的斜率k 的取值范围．
【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l 的斜率k 满⾜k≥kPB 或k≤kPA，
即k≥
＝，或k≤
＝﹣4，
∴k≥
，或k≤﹣4，
故选：C．
第25⻚（共36⻚）
【点评】本题考查直线的斜率公式的应⽤，体现了数形结合的数学思想．
34．不论m 取何值，直线（m﹣1）x﹣y+2m﹣1＝0 都过定点（
）
A．
B．（﹣2，1）
C．（2，3）
D．（﹣2，3）
【分析】根据题意整理得m（x+2）﹣（x+y+1）＝0，令
，求解即可得定点．
【解答】解：因为（m﹣1）x﹣y+2m﹣1＝0，整理得m（x+2）﹣（x+y+1）＝0，
令
，解得
，
所以直线过定点（﹣2，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了直线系的应⽤、⽅程组的解法，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于基础题．
35．已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y+m＝0 经过定点P，直线l'经过点P，且l'的⽅向向量
，则
直线l'的⽅程为（
）
A．2x﹣3y+5＝0
B．2x﹣3y﹣5＝0
C．3x﹣2y+5＝0
D．3x﹣2y﹣5＝0
【分析】直线l ⽅程变为x+y+m（2x+y+1）＝0，可得定点P（﹣1，1）．根据l'的⽅向向量
，
可得斜率为
，代⼊点斜式⽅程，化简为⼀般式即可．
【解答】解：（2m+1）x+（m+1）y+m＝0 可变形为x+y+m（2x+y+1）＝0，
解
，得x＝﹣1，y＝1，即P 点坐标为（﹣1，1）．
因为
，所以直线l'的斜率为
，⼜l'过点P（﹣1，1），
代⼊点斜式⽅程可得
，整理可得2x﹣3y+5＝0．
故选：A．
第26⻚（共36⻚）
【点评】本题主要考查了直线恒过定点，还考查了直线⽅程的点斜式的应⽤，属于基础题．
36．直线ax+y+3a﹣1＝0 恒过定点M，过点M，且与直线x+2y+2＝0 垂直的直线⽅程为（
）
A．2x﹣y+7＝0
B．2x﹣y+1＝0
C．x+2y+1＝0
D．x﹣2y+7＝0
【分析】先求出定点M，再根据垂直关系求得所求直线的斜率，最后利⽤点斜式得答案．
【解答】解：直线ax+y+3a﹣1＝0 即为（x+3）a+y﹣1＝0，则M（﹣3，1），
⼜过点M 的直线与直线x+2y+2＝0 垂直，则所求直线的斜率为2，
由点斜式可知，所求直线⽅程为y﹣1＝2（x+3），即2x﹣y+7＝0．
故选：A．
【点评】本题考查直线恒过定点问题，两直线垂直的关系以及利⽤点斜式求直线⽅程，考查运算求解能
⼒，属于基础题．
37．直线l1：x+（m+1）y﹣2m﹣2＝0 与直线l2：（m+1）x﹣y﹣2m﹣2＝0 相交于点P，对任意实数m，直线
l1，l2分别恒过定点A，B，则|PA|+|PB|的最⼤值为（
）
A．4
B．8
C．
D．
【分析】⾸先求点A，B 的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解．
【解答】解：直线l1：x+y﹣2+m（y﹣2）＝0，当
，得
，
即点A（0，2），
直线l2：x﹣y﹣2+m（x﹣2）＝0，当
，得
，即点B（2，0），
且两条直线满⾜1×（m+1）+（m+1）×（﹣1）＝0，所以l1⊥l2，即PA⊥PB，
|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝8，
，当|PA|＝|PB|时，等号成⽴，
所以|PA|+|PB|的最⼤值为4．
故选：A．
【点评】本题考查了直线过定点问题，涉及到基本不等式的应⽤，属于基础题．
38．已知直线l：kx+y+2﹣k＝0 过定点M，点P（x，y）在直线2x﹣y+1＝0 上，则|MP|的最⼩值是（
）
A．5
B．
C．
D．
【分析】先求定点，再根据点到直线距离公式求解点到直线上动点距离最⼩值即可．
【解答】解：由kx+y+2﹣k＝0 得y+2＝k（1﹣x），所以直线l 过定点M（1，﹣2），
依题意可知|MP|的最⼩值就是点M 到直线2x﹣y+1＝0 的距离，
第27⻚（共36⻚）
由点到直线的距离公式可得
．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：点到直线的距离公式的应⽤，主要考查学⽣的理解能⼒和计算能⼒，属
于基础题．
39．过定点A 的直线（a+1）x﹣y+2＝0 与过定点B 的直线x+（a+1）y﹣5a﹣2＝0 交于点P（P 与A、B 不重
合），则△PAB ⾯积的最⼤值为（
）
A．4
B．
C．2
D．
【分析】根据⽅程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利⽤基本不等式可得．
【解答】解：直线（a+1）x﹣y+2＝0 化为y＝（a+1）x+2，可知定点A（0，2），
动直线x+（a+1）y﹣5a﹣2＝0 化为a（y﹣5）+x+y﹣2＝0，令
，
解得y＝5，x＝﹣3，可知定点B（﹣3，5），
⼜（a+1）×1﹣1×（a+1）＝0，
所以直线（a+1）x﹣y+2＝0 与直线x+（a+1）y﹣5a﹣2＝0 垂直，P 为交点，
∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝（0+3）2+（2﹣5）2＝18，
∴
，当且仅当|PA|＝|PB|＝3 时，等号成⽴，
即△PAB ⾯积的最⼤值为
．
故选：B．
【点评】本题考查直线⽅程的应⽤，属于基础题．
40．直线kx﹣y+2﹣k＝0 恒过定点（
）
A．（﹣1，2）
B．（1，2）
C．（2，﹣1）
D．（2，1）
【分析】将直线变为点斜式，求出定点坐标．
【解答】解：kx﹣y+2﹣k＝0 化为y﹣2＝k（x﹣1），故恒过点（1，2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
41．设m∈R，过定点A 的直线x+my﹣m＝0 和过定点B 的直线mx﹣y﹣m+3＝0 交于点P，则|PA|2+|PB|2的
值为（
）
A．5
B．
C．
D．与m 的取值有关
第28⻚（共36⻚）
【分析】可得直线分别过定点（0，1）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2＝5．
【解答】解：由题意可知，动直线x+my﹣m＝0，即x+m（y﹣1）＝0，它经过定点A（0，1）．
动直线mx﹣y﹣m+3＝0 即m（x﹣1）﹣y+3＝0，经过点定点B（1，3）．
∵动直线x+my﹣m＝0 和动直线mx﹣y﹣m+3＝0 的斜率之积为﹣1，始终垂直．
P ⼜是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝5．
故选：A．
【点评】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系，属中档题．
42．设λ∈R，动直线l1：λx﹣y+λ＝0 过定点A，动直线l2：x+λy﹣3﹣2λ＝0 过定点B，若P 为l1与l2的交点，
则|PA|•|PB|的最⼤值为（
）
A．10
B．20
C．
D．
【分析】根据直线l1和l2的⽅程得到A（﹣1，0），B（3，2），然后根据l1⊥l2得到点P 为以AB 为直径的
圆上的点，即|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝20，最后利⽤不等式求最值即可．
【解答】解：直线l1的⽅程可整理为λ（x+1）﹣y＝0，令
，解得
，所以A（﹣1，0），
直线l2的⽅程可整理为λ（y﹣2）+x﹣3＝0，令
，解得
，所以B（3，2），
因为λ•1﹣1•λ＝0，所以l1⊥l2，所以点P 为以AB 为直径的圆上的点，
，所以|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝20，
所以
，当且仅当
时等号成⽴．
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线垂直关系的应⽤，还考查了直线交点坐标的求解，两点间的距离公式的应
⽤及基本不等式的应⽤，属于中档题．
43．已知直线kx﹣y+1﹣k＝0 恒过定点A，且点A 在直线mx+ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）上，则mn 的最⼤值
为（
）
A．
B．
C．2
D．4
【分析】把直线⽅程整理成点斜式，求得A 点的坐标，代⼊直线mx+ny﹣1＝0 中，求得m+n 的值，最后
根据基本不等式求得mn 的最⼤值．
【解答】解：整理直线⽅程得y＝k（x﹣1）+1，
∴点A 的坐标为（1，1），
∵点A 在直线mx+ny﹣1＝0（m，n＞0）上，
第29⻚（共36⻚）
∴m+n﹣1＝0，即m+n＝1，
∵m＞0，n＞0，
∴m+n≥2
，m＝n 时取等号，
∴mn≤
，
即mn 的最⼤值为
，
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式，直线⽅程问题，解题的关键是求得m+n 的值．
44．已知点O（0，0），A（﹣4，0），B（4，0），设点M 满⾜|MA|﹣|MB|＝4，且M 为函数
图
象上的点，则|OM|＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意利⽤双曲线的定义，得出点M 在双曲线
的右⽀上运动，结合M 为函数
图象上的点，解⽅程组得到M 的坐标满⾜的关系式，进⽽根据两点之间的距离公式，算
出|OM|的值．
【解答】解：根据题意，可得点M 在以A、B 为焦点的双曲线的右⽀上，
设该双曲线的⽅程为
，其中2a＝|MA|﹣|MB|＝4，可得a＝2，
由c＝4，得b2＝c2﹣a2＝12，双曲线⽅程为
，
因为M 为函数
图象上的点，所以y2＝2（8﹣x2），
代⼊双曲线⽅程得
，解得
，可得y2＝2（8﹣
）＝
，
所以点M（m，n）满⾜m2＝
，n2＝
，可得|OM|＝
＝
＝
．
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线的定义与标准⽅程、两点之间的距离公式及其应⽤等知识，属于中档题．
45．已知点P（a，b）在直线x﹣y＝0 上，则
的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】问题转化为直线x﹣y＝0 上的点到点A（1，﹣1）和B（2，0）的距离之和最⼩，再求解．
第30⻚（共36⻚）
【解答】解：因为
＝
表示P（a，b）到点A（1，﹣1）和B（2，0）的距离之和
⼜P（a，b）在直线y＝x 上，A（1，﹣1）关于y＝x 的对称点为A′（﹣1，1），
所以|PA|+|PB|＝|PA'|+|PB|≥|A'B|，当且仅当A'，P，B 三点共线时取等号，
⽽
，
所以所求的代数式的最⼩值为
．
故选：C．
【点评】本题考查点关于直线的对称点的求法及线段和的最⼩值的求法，属于基础题．
46．已知A（0，﹣1），B（0，2），若直线l：y＝ax+2 上有且只有⼀点P 满⾜|PB|＝2|PA|，则a＝（
）
A．
B．
C．
或
D．
或
【分析】设P 的坐标，由题意可得关于参数的⽅程，由题意可得参数的值，即求出a 的值．
【解答】解：由题意设P（t，at+2），
因为|PB|＝2|PA|，则
＝2
，
整理可得（1+a2）t2+8at+12＝0，
因为直线上只有⼀个点满⾜条件，即⽅程只有⼀个根，
所以Δ＝64a2﹣48（1+a2）＝0，解得a＝±
．
故选：D．
【点评】本题考查两点间的距离公式的应⽤，属于基础题．
47．在平⾯直⻆坐标系内，已知A（﹣3，4），B（﹣3，1），动点P（x，y）满⾜|PA|＝2|PB|，则（x﹣1）2+
（y﹣t）2（t∈R）的最⼩值是（
）
A．
B．2
C．4
D．16
【分析】由题意求出点P 的轨迹⽅程，则
可以看成圆（x+3）2+y2＝4 上动点P（x，
y）与定直线x＝1 上动点Q（1，t）的距离，求得其最⼩值，即可求得答案．
【解答】解：因为A（﹣3，4），B（﹣3，1），动点P（x，y）满⾜|PA|＝2|PB|，
则（x+3）2+（y﹣4）2＝4（x+3）2+4（y﹣1）2，整理得（x+3）2+y2＝4，
可以看成圆（x+3）2+y2＝4 上动点P（x，y）与定直线x＝1 上动点Q（1，t）的距
离，
其最⼩值为圆⼼M（﹣3，0）到直线x＝1 的距离减去圆的半径2，即|PQ|≥4﹣2＝2，
第31⻚（共36⻚）
因此，（x﹣1）2+（y﹣t）2的最⼩值是22＝4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了点的轨迹⽅程的求解，还考查圆的性质的求解，属于中档题．
48．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，点A（0，3），若直线l：y＝kx+3 上存在点M，使得|MA|＝2|MO|，则k 的取
值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据两点间的距离公式以及直线和圆的位置关系计算即可．
【解答】解：设M（x，y），A（0，3），O（0，0），
则|MA|＝
，|MO|＝
，
由|MA|＝2|MO|，
可得
，
整理得x2+（y+1）2＝4，
则直线l：y＝kx+3 与圆x2+（y+1）2＝4 有公共点，
则
，即k2≥3，
解得：
或
．
故选：D．
【点评】本题考查了两点间的距离公式以及直线和圆的位置关系，是基础题．
49．已知点M 是直线y＝x+1 上⼀点，A（1，0），B（2，1），则|AM|+|BM|的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意作点A 关于直线y＝x+1 的对称点A′，求出A′的坐标，连接A′B 即为|AM|+|BM|的最⼩值．
【解答】解：A（1，0），B（2，1），
M 为直线l：y＝x+1 上的动点，
设点A 关于直线y＝x+1 的对称点A′（m，n），
则
，
解得点A′（﹣1，2），
第32⻚（共36⻚）
连接A′B，交直线l 于点M，
则|AM|+|BM|的最⼩值为A′B＝
＝
．
故选：D．
【点评】本题考查了点关于直线的对称问题，也考查了数形结合的解题⽅法，是中档题．
50．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为
⼏何问题加以解决，如：
可以转化为平⾯上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结
合上述观点，可得
的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】y＝
，表示平⾯上点P（x，0）与点A（1，2）与点
B（3，﹣4）的距离和，利⽤两点间的距离公式求解．
【解答】解：y＝
，
则y 可看作x 轴上⼀点P（x，0）到点A（1，2）与点B（3，﹣4）的距离之和，即|PA|+PB|，
则可知当A，P，B 三点共线时，|PA|+|PB|取得最⼩值，
即
．
故选：A．
【点评】本题考查两点间的距离公式，考查学⽣分析解决问题的能⼒，合理转化是正确解题的关键，是
中档题．
51．点P 为x 轴上的点，A（﹣1，2），B（0，3），以A，B，P 为顶点的三⻆形的⾯积为
，则点P 的坐标
为（
）
A．（4，0）或（10，0）
B．（4，0）或（﹣10，0）
C．（﹣4，0）或（10，0）
D．（﹣4，0）或（11，0）
【分析】⾸先求出直线AB 的⽅程，再结合A，B，P 为顶点的三⻆形的⾯积为
，建⽴⽅程求出点P 的
坐标．
【解答】解：设点P（x，0），由点A（﹣1，2），B（0，3），
可知直线AB 的⽅程为x﹣y+3＝0，
所以点P 到直线x﹣y+3＝0 的距离d＝
，
第33⻚（共36⻚）
|AB|＝
＝
，
因为以A，B，P 为顶点的三⻆形的⾯积为
，
所以
，
整理得
，解得x＝4 或﹣10．
故P（4，0）或（﹣10，0）．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：直线的⽅程的求法，三⻆形的⾯积公式，点到直线的距离公式，主要考
查学⽣的运算能⼒和数学思维能⼒，属于基础题．
52．已知直线l1：x﹣y+1＝0 与直线l2：2x+ay﹣2＝0 平⾏，则l1与l2之间的距离为（
）
A．
B．2
C．
D．
【分析】在直线l2上取点（1，0），求点（1，0）到直线l1的距离即可．
【解答】解：在直线l2：2x+ay﹣2＝0 上取点（1，0），
则l1与l2之间的距离即为点（1，0）到直线l1：x﹣y+1＝0 的距离，
即为
．
故选：A．
【点评】本题考查了平⾏线的定义与距离的计算问题，是基础题．
53．若两平⾏直线x+2y+m＝0（m＞0）与x﹣ny﹣3＝0 之间的距离是
，则m+n＝（
）
A．0
B．1
C．﹣1
D．﹣2
【分析】两直线x+2y+m＝0（m＞0）与x﹣ny﹣3＝0 平⾏，可得﹣n﹣2＝0，解得n，再利⽤平⾏线之间
的距离公式即可得出．
【解答】解：∵两直线x+2y+m＝0（m＞0）与x﹣ny﹣3＝0 平⾏，
∴﹣n﹣2＝0，解得n＝﹣2．
⼜两平⾏直线x+2y+m＝0（m＞0）与x﹣ny﹣3＝0 之间的距离是
，
∴
＝
，解得m＝2．
∴m+n＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了平⾏线与斜率之间的关系、平⾏线之间的距离公式，考查了推理能⼒与计算能⼒，
第34⻚（共36⻚）
属于基础题．
54．若直线l1：ax﹣y+1＝0 与直线l2：（a+2）x﹣ay﹣1＝0 平⾏，则l1与l2之间的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据两条直线平⾏，列式算出a 的值，然后根据平⾏线的距离公式算出答案．
【解答】解：当l1：ax﹣y+1＝0 与l2：（a+2）x﹣ay﹣1＝0 平⾏时，
a×（﹣a）＝﹣（a+2）且a×（﹣1）≠1×（a+2），解得a＝2（a＝﹣1 时两条直线重合，舍去）．
所以直线l1：2x﹣y+1＝0 与直线l2：4x﹣2y﹣1＝0，
直线l1化成：4x﹣2y+2＝0，可得l1与l2之间的距离
．
故选：D．
【点评】本题主要考查两条直线平⾏与⽅程的关系、平⾏线之间的距离公式等知识，考查了计算能⼒，
属于基础题．
55．两平⾏直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x﹣y+3＝0 之间的距离是（
）
A．
B．
C．1
D．5
【分析】根据两直线平⾏可求出a 的值，然后根据两平⾏线的距离公式即ax+by+c＝0 和ax+by+d＝0，
其中c≠d，那么这两条直线的距离为
，进⾏求解即可．
【解答】解：两平⾏直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x﹣y+3＝0，则a＝﹣2，
即直线l1：﹣2x+y﹣2＝0 可化为2x﹣y+2＝0，
所以两平⾏直线l1：2x﹣y+2＝0，l2：2x﹣y+3＝0 之间的距离是
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了两条平⾏直线间的距离，同时考查了学⽣的运算能⼒，属于基础题．
56．若平⾯内两条平⾏线l1：x+（a﹣1）y+2＝0 与l2：ax+2y+1＝0 间的距离为
，则实数a＝（
）
A．﹣1
B．2
C．﹣l 或2
D．﹣2 或l
【分析】根据题意，利⽤分类讨论思想，结合平⾏直线的性质以及距离公式，可得答案．
【解答】解：当a＝1 时，可得l1：x+2＝0，l2：x+2y+1＝0，由
，则此时不符合题意；
当a≠1 时，可得直线l1的斜率
，直线l2的斜率
，
第35⻚（共36⻚）
由
，整理可得a2﹣a﹣2＝0，则（a﹣2）（a+1）＝0，解得a＝2 或﹣1，
当a＝﹣1 时，可得l1：x﹣2y+2＝0，l2：﹣x+2y+1＝0，整理l2的⽅程可得x﹣2y﹣1＝0，
由两平⾏直线之间的距离
，所以此时符合题意．
当a＝2 时，可得l1：x+y+2＝0，l2：2x+2y+1＝0，整理l2的⽅程可得
，
由两平⾏直线之间的距离
，所以此时不符合题意；
综上可得a＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查平⾏直线间的距离公式，属于基础题．
57．已知两条平⾏直线l1：x﹣
y+6＝0 与l2：x﹣
间的距离为4，则C 的值为（
）
A．14
B．﹣2
C．﹣10
D．14 或﹣10
【分析】利⽤两条平⾏线间的距离公式能求出C 的值．
【解答】解：∵两条平⾏直线l1：x﹣
y+6＝0 与l2：x﹣
间的距离为4，
∴
＝4，
解提C＝﹣2 或C＝14，
∵C＜0，∴C 的值为﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查两条平⾏线间的距离公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
58．直线x﹣y＝0 与直线x﹣y+2＝0 之间的距离是（
）
A．
B．1
C．
D．2
【分析】利⽤平⾏线之间的距离公式求解即可．
【解答】解：直线x﹣y＝0 与直线x﹣y+2＝0 之间的距离是：
＝
．
故选：C．
【点评】本题考查平⾏线之间距离的求法，是基础题．
59．平⾏直线l1：2x﹣y+2＝0 与l2：mx﹣y﹣3＝0 之间的距离为（
）
A．5
B．
C．
D．
【分析】由两直线平⾏先求出参数m，利⽤两平⾏线间的距离公式计算即可．
第36⻚（共36⻚）
【解答】解：因为l1∥l2，
所以2×（﹣1）﹣（﹣1）×m＝0，解得m＝2，
则l1，l2之间的距离为
．
故选：C．
【点评】本题考查平⾏线间的距离公式，属于基础题．
60．已知直线l：4x﹣3y+20＝0，直线m：ax﹣3y＝0 与直线l 平⾏，则直线l 与m 之间的距离为（
）
A．
B．
C．4
D．2
【分析】求解a，然后利⽤平⾏线之间的距离公式求解即可．
【解答】解：因为直线l：4x﹣3y+20＝0，直线m：ax﹣3y＝0 与直线l 平⾏，
所以
，得a＝4，
所以直线l 与m 之间的距离为
．
故选：C．
【点评】本题考查平⾏线之间距离的求法，是基础题．
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第18⻚（共52⻚）
直线与圆篇—题型11～题型16 答案
⼀．选择题（共53 ⼩题）
1．在平⾯直⻆坐标系中，记d 为点P（cosθ，sinθ）到直线kx﹣y﹣3k+4＝0 的距离，则当θ，k 变化时，d
的最⼤值与最⼩值之差为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
【分析】由直线⽅程得到其过定点A（3，4），⽽P（cosθ，sinθ）可看成单位圆上的⼀点，故可将求点P
到直线之距转化为求圆⼼到直线之距，要使距离最⼤，需使直线l⊥OA，此时最⼤距离即圆⼼到点A（3，
4）的距离再加上半径即得．
【解答】解：由直线l：kx﹣y﹣3k+4＝0 整理得k（x﹣3）﹣y+4＝0，可知直线经过定点A（3，4），
⽽由P（cosθ，sinθ）知，点P 可看成圆O：x2+y2＝1 上的动点，
于是求点P（cosθ，sinθ）到直线kx﹣y﹣3k+4＝0 的距离最值可通过求圆⼼到直线的距离得到．
如图知当直线l 与圆相交时，P（cosθ，sinθ）到直线kx﹣y﹣3k+4＝0 的距离最⼩值为dmin＝0，
要使点P 到直线l 距离最⼤，需使圆⼼O（0，0）到直线l 距离最⼤，
⼜因直线l 过定点A（3，4），故当且仅当l⊥OA 时距离最⼤，（若直线l 与OA 不垂直，则过点O 作直
线l 的垂线段⻓必定⽐OA 短），
此时|OA|＝5，故点P 到直线l 距离的最⼤值为dmax＝|OA|+r＝5+1＝6，
即d 的最⼤值与最⼩值之差为6﹣0＝6．
故选：D．
【点评】本题考查圆上的点到直线的距离的最值的求法，属于中档题．
2．已知直线l1：kx﹣y+1﹣
与直线l2：x+ky+
相交于点M，若恰有3 个不
同的点M 到直线l：x﹣y+b＝0 的距离为1，则b＝（
）
A．±1
B．
C．
D．±2
第19⻚（共52⻚）
【分析】根据已知条件，求出两直线的斜率与定点，推出点M 的轨迹⽅程，再结合点到直线的距离公式，
即可求解．
【解答】解：直线l1：kx﹣y+1﹣
，即
，直线l1恒过点（
，1），直
线l1的斜率为k，
直线l2：x+ky+
，即
，直线l2恒过点（
，﹣1），直线l2的斜率
为﹣，
，
则直线l1与直线l2垂直，
故点M 的轨迹是以（0，0）为圆⼼，半径r＝
的圆，
恰有3 个不同的点M 到直线l：x﹣y+b＝0 的距离为1，
则直线到圆⼼距离为1，
故
，解得b＝
．
故选：B．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
3．已知直线l1：mx﹣y﹣2m+4＝0（m∈R）与直线l2：x+my﹣2m﹣4＝0（m∈R）相交于点P，则P 到直线
x+y＝0 的距离d 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】两条直线联⽴，可得P 点的坐标，可得P 到直线的距离d 的表达式，由m 的范围，可得d 的
范围．
【解答】解：联⽴
，解得x＝
，y＝
，
即P（
，
），
所以P 点到直线x+y＝0 的距离d＝
＝2
•
＝2
（1+
），
因为1+m2≥1，所以0＜
≤1，
所以d∈（2
，4
]．
故选：C．
第20⻚（共52⻚）
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应⽤，属于基础题．
4．设点A（1，0），动直线l：x+ay+2a﹣1＝0，作AM⊥l 于点M，则点M 到坐标原点O 距离的最⼩值为
（
）
A．1
B．
C．
﹣1
D．
【分析】先求出直线所过的定点，再结合向量垂直的性质，求出点M 的轨迹⽅程，再运⽤两点之间的距
离公式，即可求解．
【解答】解：直线l：x+ay+2a﹣1＝0，即x﹣1+a（y+2）＝0，
令
，解得x＝1，y＝﹣2，
故直线l 恒过点P（1，﹣2），
设M（x，y），
则
，
，
AM⊥l 于点M，
则
，即（x﹣1）2+（y+1）2＝1，
故点M 的轨迹⽅程为（x﹣1）2+（y+1）2＝1，表示以（1，﹣1）为圆⼼，1 为半径的圆，
点M 到坐标原点O 距离的最⼩值为：
．
故选：C．
【点评】本题主要考查两点之间的距离公式，属于基础题．
5．已知直线l1：mx﹣y﹣m+3＝0（m∈R）与直线l2：x+my﹣m﹣5＝0（m∈R）相交于点P，则P 到直线2x+y+7
＝0 的距离的取值集合是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】分m＝0 和m≠0 两种情况，求出交点P 的坐标，再由点到直线的距离公式，可得距离的取值范
围．
【解答】解：直线l1：mx﹣y﹣m+3＝0（m∈R）与直线l2：x+my﹣m﹣5＝0（m∈R），
可得m×1﹣1×m＝0，
可得两条直线垂直，
当m＝0 时，两条直线分别为：y＝3，x＝5，
即两条直线的交点P（5，3），
第21⻚（共52⻚）
此时点P 到直线2x+y+7＝0 的距离d＝
＝4
；
当m≠0 时，联⽴
，可得x＝1+
，y＝1+
，
即点P（1+
，1+
），
此时点P 到直线2x+y+7＝0 的距离d＝
＝
∈（2
，
4
），
综上所述：点P 到直线2x+y+7＝0 的距离的范围为（2
，4
]．
故选：D．
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应⽤及两条直线交点坐标的求法，属于基础题．
6．点P 为两条直线2x﹣3y+1＝0 和x+y﹣2＝0 的交点，则点P 到直线l：kx﹣y+k+2＝0 的距离最⼤为（
）
A．
B．
C．
D．5
【分析】⾸先利⽤⽅程组求出交点P 的坐标，进⼀步求出直线l 恒过点定点，最后求出两点间的距离的
值．
【解答】解：
，解得
，故P（1，1）；
直线l：kx﹣y+k+2＝0，整理得k（x+1）﹣（y﹣2）＝0，故直线l 恒过点（﹣1，2），
故点P（1，1）到直线l 的最⼤距离d＝
．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：直线的交点坐标的求法，点到直线的距离公式，主要考查学⽣的理解能
⼒和计算能⼒，属于基础题．
7．已知在空间直⻆坐标系中，直线l 经过A（3，3，3），B（0，6，0）两点，则点P（0，0，6）到直线l 的
距离为（
）
A．
B．
C．
D．6
【分析】由向量法可得点P（0，0，6）到直线l 的距离d＝|
|sin＜，
＞，代⼊向量坐标即可求得．
【解答】解：由题意可得直线l 的⽅向向量为＝
＝（﹣3，3，﹣3），
＝（﹣3，﹣3，3），
第22⻚（共52⻚）
cos＜，
＞＝
＝
＝﹣，
sin＜，
＞＝
＝
，
点P（0，0，6）到直线l 的距离d＝|
|sin＜，
＞＝
×
＝2
．
故选：C．
【点评】本题考查了利⽤向量法求点到直线的距离，是中档题．
8．已知A（﹣2，0），B（4，a）两点到直线l：x﹣y+1＝0 的距离相等，则a＝（
）
A．4
B．6
C．2
D．4 或6
【分析】直接根据点到直线距离公式进⾏求解即可．
【解答】解：已知点A（﹣2，0），B（4，a），直线l：x﹣y+1＝0，
由于点A 与点B 到直线l 的距离相等，
则有
，解得：a＝4 或a＝6．
故选：D．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
9．若点（2，k）到直线5x﹣12y+6＝0 的距离是4，则k 的值是（
）
A．1
B．﹣3
C．1 或
D．﹣3 或
【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：∵点（2，k）到直线5x﹣12y+6＝0 的距离是4，
∴
，解得k＝﹣3 或
．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是点到直线的距离公式，需要学⽣熟练掌握公式，属于基础题．
10．已知直线l 过点A（2，1，1），且⽅向向量为
，则点P（3，2，2）到直线l 的距离为
（
）
A．
B．1
C．
D．4
【分析】求出
的坐标，再求
在上的投影，再由勾股定理可得点到直线的距离．
第23⻚（共52⻚）
【解答】解：因为A（2，1，1），且⽅向向量为
，P（3，2，2），
则
＝（1，1，1），所以|
|＝
＝
，
在上的投影为|
•
|＝|
|＝|
|＝
，
所以P 到直线的距离d＝
＝
＝1．
故选：B．
【点评】本题考查空间向量的⽅法求点到直线的距离的应⽤，属于基础题．
11．已知点A（﹣2，﹣1），B（2，3）到直线l：ax+y+1＝0 的距离相等，则a＝（
）
A．﹣1 或0
B．
C．﹣1
D．2
【分析】直接利⽤直线间的位置关系求出结果．
【解答】解：由于点A（﹣2，﹣1），B（2，3），故
；
由于点A（﹣2，﹣1），B（2，3）到直线l：ax+y+1＝0 的距离相等，
所以a＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：直线间的位置关系，主要考查学⽣的理解能⼒和计算能⼒，属于基础题．
12．原点到直线l：λx+y﹣λ+1＝0（λ∈R）的距离的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出直线l 所过定点，再结合两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：直线l：λx+y﹣λ+1＝0，即λ（x﹣1）+y+1＝0，
令
，解得
，即直线l 过定点P（1，﹣1），
故所求最⼤值为|OP|＝
．
故选：D．
【点评】本题主要考查两点之间的距离公式，属于基础题．
13．点P（﹣2，﹣1）到直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ为任意实数）的距离的最⼤值为（
）
A．
B．
C．4
D．
【分析】求出直线l 过的定点的坐标为A（1，1），当PA⊥l 时，点P（﹣2，﹣1）到直线l 的距离的最⼤
第24⻚（共52⻚）
值为d＝|PA|，然后根据两点间距离公式即可求解．
【解答】解：直线l 的⽅程化为：（3x+y﹣4）λ+x+y﹣2＝0，
令
，解得x＝1，y＝1，所以直线过定点A（1，1），
当PA⊥l 时，点P（﹣2，﹣1）到直线l 的距离的最⼤值为d＝|PA|＝
＝
，
故选：B．
【点评】本题考查了点到直线的距离的应⽤，考查了学⽣的运算转化能⼒，属于基础题．
14．已知A（2，1），B（﹣4，a）两点到直线l：x﹣y+2＝0 的距离相等，则a＝（
）
A．1
B．﹣5
C．1 或﹣5
D．1 或﹣8
【分析】利⽤点到直线的距离求解．
【解答】解：因为A（2，1），B（﹣4，a）两点到直线l：x﹣y+2＝0 的距离相等，
所以
或a＝﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应⽤，属于基础题．
15．已知直线l：kx+y﹣3k﹣4＝0（k∈R），点A（4，1）和B（6，15）到直线l 的距离分别为d1，d2且d2＝
2d1，则直线l 的⽅程为（
）
A．x+y+9＝0
B．2x+y﹣18＝0
C．x﹣y+1＝0 或17x﹣y﹣47＝0
D．x+4y﹣6＝0 或3x+y﹣12＝0
【分析】根据点到直线距离公式进⾏求解即可．
【解答】解：点A（4，1）到直线l 的距离为
，
点B（6，15）到直线l 的距离为
，
⽽d2＝2d1，
所以
，可得k2+18k+17＝0，解得k＝﹣1 或k＝﹣17，
所以直线l 的⽅程为x﹣y+1＝0 或17x﹣y﹣47＝0．
故选：C．
第25⻚（共52⻚）
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应⽤，属于基础题．
16．当点M（2，﹣3）到直线（4m﹣1）x﹣（m﹣1）y+2m+1＝0 的距离取得最⼤值时，m＝（
）
A．2
B．
C．﹣2
D．﹣4
【分析】化简直线为（4x﹣y+2）m﹣x+y+1＝0，得到直线经过定点N（﹣1，﹣2），结合直线MN 与该直
线垂直时，点M 到该直线的距离取得最⼤值，列出⽅程，即可求解．
【解答】解：由（4m﹣1）x﹣（m﹣1）y+2m+1＝0，得（4x﹣y+2）m﹣x+y+1＝0，
联⽴
，解得
，∴直线经过定点N（﹣1，﹣2），
当直线MN 与该直线垂直时，点M 到该直线的距离取得最⼤值，
此时
，解得m＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查点到直线距离公式的应⽤，考查化归与转化思想，考查运算求解能⼒，是基础题．
17．设点P（﹣2，﹣1），直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0，当点P 到l 的距离最⼤时，直线l 的斜率
为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】整理直线l 的⽅程，可得直线l 恒过点Q（1，1），当l⊥PQ 时，点P 到l 的距离最⼤时，即可
求解．
【解答】解：∵直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0，
∴可将直线⽅程变形为（x+y﹣2）+（3x+y﹣4）λ＝0，
由
，解得
，
由此可得直线l 恒过点Q（1，1），
当l⊥PQ 时，点P 到l 的距离最⼤时，
，
则由kPQ•kl＝﹣1，
得
．
故选：A．
【点评】本题考查直线⽅程的应⽤，属于中档题．
18．若A（1，m），B（m+1，3），C（1﹣m，7）三点共线，则m＝（
）
第26⻚（共52⻚）
A．﹣5
B．5
C．0 或﹣5
D．0 或5
【分析】由题意可得
，再利⽤向量共线求解即可．
【解答】解：因为
，
若A（1，m），B（m+1，3），C（1﹣m，7）三点共线，则
，
所以4m＝﹣2m（3﹣m），
解得m＝0 或5．
故选：D．
【点评】本题考查向量共线相关知识，属于基础题．
19．已知点P 与A（0，2），B（﹣1，0）共线，则点P 的坐标可以为（
）
A．（1，﹣1）
B．（1，4）
C．
D．（﹣2，1）
【分析】根据题意，先求出直线AB 的⽅程，再对各项中点的坐标加以判断，即可得到本题的答案．
【解答】解：点P 与A（0，2），B（﹣1，0）共线，即为点P 在直线AB 上，
由
，整理得直线AB ⽅程为2x﹣y+2＝0．
对于（1，﹣1），（1，4），
，（﹣2，1），
将它们代⼊直线AB ⽅程，只有（1，4）符合2x﹣y+2＝0，其它都不符合要求．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的⽅程及其应⽤，考查了计算能⼒，属于基础题．
20．若M（1，0，1），N（2，m，3），P（2，2，n+1）三点共线，则m+n＝（
）
A．4
B．﹣2
C．1
D．0
【分析】根据空间向量平⾏坐标关系计算求解即可．
【解答】解：因为
，
，所以
，
解得m＝n＝2．故m+n＝4．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：向量的运算，三点共线，主要考查学⽣的理解能⼒和计算能⼒，属于中
档题．
21．已知三点A（2，﹣3），B（4，3），C（5，）在同⼀直线上，则k 的值为（
）
A．12
B．9
C．﹣12
D．9 或12
第27⻚（共52⻚）
【分析】将三点在同⼀直线上，转为两条直线的斜率相等，列⽅程解出k 值．
【解答】解：三点A（2，﹣3），B（4，3），C（5，）在同⼀直线上，
则直线AB 的斜率和直线BC 的斜率相等，
即
＝
，
化简得：﹣3＝3，
解得k＝12，
故选：A．
【点评】本题考查直线的斜率公式，考查三点共线的应⽤，属于基础题．
22．已知A（0，1），B（m，3），C（4，7）三点共线，则m＝（
）
A．
B．
C．
D．2
【分析】由题意，利⽤三点共线、两个向量共线的性质，求得m 的值．
【解答】解：∵A（0，1），B（m，3），C（4，7）三点共线，∴
∥
．
∵
＝（m，2），
＝（4，6），
∴
＝，m＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查三点共线、两个向量共线的性质，属于基础题．
23．已知A（2，﹣3），B（﹣4，1），则线段AB 中点的坐标为（
）
A．（﹣3，2）
B．（3，﹣2）
C．（1，1）
D．（﹣1，﹣1）
【分析】直接将A、B 两点坐标代⼊线段中点坐标计算公式求解即可．
【解答】D 解：∵A（2，﹣3），B（﹣4，1），
∴线段AB 中点的坐标为（
，
）＝（﹣1，﹣1），
故选：D．
【点评】本题主要考查线段中点坐标的计算，解题关键在于找准线段两个端点的坐标，为基础题．
24．点A（7，8），B（1，2）的中点坐标为（
）
A．（4，4）
B．（4，5）
C．（3，5）
D．（3，﹣5）
【分析】根据题意，利⽤线段的中点坐标公式加以计算，即可得到AB 的中点坐标．
第28⻚（共52⻚）
【解答】解：∵A、B 的坐标分别为A（7，8），B（1，2），
∴线段AB 的中点坐标为
，即（4，5）．
故选：B．
【点评】本题主要考查线段的中点坐标公式及其应⽤，考查概念的理解能⼒，属于基础题．
25．已知，直⻆坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以O 为位似中⼼，按⽐例尺2：1 把△EFO 缩
⼩，则点E 的对应点E′的坐标为（
）
A．（2，﹣1）或（﹣2，1）
B．（8，﹣4）或（﹣8，4）
C．（2，﹣1）
D．（8，﹣4）
【分析】根据已知条件，结合中点坐标公式，即可求解．
【解答】解：∵点E（﹣4，2），
故点E 的对应点E′的坐标为
或
，即（2，﹣1）或（﹣2，
1）．
故选：A．
【点评】本题主要考查中点坐标公式，属于基础题．
26．直线l 与两直线y＝1 和x﹣y﹣7＝0 分别交于A，B 两点，若线段AB 的中点为M（1，﹣1），则直线l
的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】设出直线l 的斜率为k，⼜直线l 过M 点，写出直线l 的⽅程，然后分别联⽴直线l 与已知的两
⽅程，分别表示出A 和B 的坐标，根据中点坐标公式表示出M 的横坐标，让表示的横坐标等于1 列出
关于k 的⽅程，求出⽅程的解即可得到k 的值即为直线的斜率．
【解答】解：设直线l 的斜率为k，⼜直线l 过M（1，﹣1），则直线l 的⽅程为y+1＝k（x﹣1），
联⽴直线l 与y＝1，得到
，解得x＝
，所以A（
，1）；
联⽴直线l 与x﹣y﹣7＝0，得到
，解得x＝
，y＝
，所以B（
，
），
⼜线段AB 的中点M（1，﹣1），所以
+
＝2，解得k＝﹣．
第29⻚（共52⻚）
故选：D．
【点评】此题考查学⽣根据两直线⽅程求两直线的交点坐标，灵活运⽤中点坐标公式化简求值，是⼀道
中档题．
27．已知点P 在直线x+y﹣1＝0 上，点Q 在直线x+y+3＝0 上，PQ 中点M（x0，y0）且x0﹣y0+2＜0，则
的
范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】设出P 点坐标及
＝k，由M 为PQ 中点根据中点坐标公式表示出Q 的坐标，然后把P 和Q
分别代⼊到相应的直线⽅程中联⽴可得M 的横坐标，因为y0＞x0+2，把解出的M 横坐标代⼊即可得到
关于k 的不等式，求出解集即可．
【解答】解：设P（x1，y1），
＝k，则y0＝kx0，
∵PQ 中点为M（x0，y0），∴Q（2x0﹣x1，2y0﹣y1）
∵P，Q 分别在直线x+y﹣1＝0 和x+y+3＝0 上，
∴x1+y1﹣1＝0，2x0﹣x1+（2y0﹣y1）+3＝0，
∴2x0+2y0+2＝0 即x0+y0+1＝0，
∵y0＝kx0，
∴x0+kx0+1＝0 即x0＝﹣
，
⼜∵y0＞x0+2，
代⼊得kx0＞x0+2，
即（k﹣1）x0＞2，
即（k﹣1）（﹣
）＞2，
即
∴
，
解得：﹣1＜k＜﹣．
第30⻚（共52⻚）
故选：C．
【点评】此题为⼀道中档题，要求学⽣会利⽤解析法求出中点坐标，会根据条件列出不等式求解集．学
⽣做题时注意灵活变换不等式y0＞x0+2．
28．已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点（﹣2，﹣3），则点P（x，y）到原点的距离是（
）
A．4
B．
C．
D．
【分析】由A（x，5）关于点（1，y）的对称点（﹣2，﹣3），根据中点坐标公式列出⽅程即可求出x 与y
的值，得到点P 的坐标，然后利⽤两点间的距离公式求出P 到原点的距离即可．
【解答】解：根据中点坐标公式得到
，
解得
，
所以P 的坐标为（4，1）
则点P（x，y）到原点的距离d＝
＝
故选：D．
【点评】本题考查学⽣灵活运⽤中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，是⼀道基础题．
29．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（0，3），⼀束光线从点F（﹣1，0）出发经AC 反射后，再经BC 上点
D 反射，落到点E（1，0）上．则点D 的坐标为（
）
A．（，）
B．（，）
C．（1，2）
D．（2，1）
【分析】根据直线中的对称模型，分别求得点E 关于直线BC 的对称点E'，点F 关于直线AC 的对称点
F'，再求出直线E'F'与直线BC 的交点坐标，即可．
【解答】解：由B（3，0），C（0，3），知直线BC 的⽅程为y＝﹣x+3，
设点E 关于直线BC 的对称点为E'（m，n），则
，解得m＝3，n＝2，
所以点E'（3，2），
同理可得，点F 关于直线AC 的对称点为F'（﹣3，2），
所以直线E'F'的⽅程为y＝2，
第31⻚（共52⻚）
由反射的对称性知，点D 为直线E'F'与直线BC 的交点，
联⽴
，得x＝1，y＝2，即D（1，2）．
故选：C．
【点评】本题考查直线中的对称问题，熟练掌握两条直线垂直的条件，中点坐标公式是解题的关键，考
查逻辑推理能⼒和运算能⼒，属于中档题．
30．设直线l1：x﹣2y﹣2＝0 与l2关于直线l：2x﹣y﹣4＝0 对称，则直线l2的⽅程是（
）
A．11x+2y﹣22＝0
B．11x+y+22＝0
C．5x+y﹣11＝0
D．10x+y﹣22＝0
【分析】直接利⽤到⻆公式求出直线l2的斜率，进⼀步利⽤⼆元⼀次⽅程组求出交点的坐标，最后利⽤
点斜式求出直线l2的⽅程．
【解答】解：直线l1：x﹣2y﹣2＝0 的斜率
，直线l2的斜率为k2，直线l：2x﹣y﹣4＝0 的斜率k＝2，
由于直线l1与直线l2关于直线l 对称，
利⽤到⻆公式：
，解得k2＝
，
由于
，解得
，
故直线l2的⽅程为
，整理得11x+2y﹣22＝0．
第32⻚（共52⻚）
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：直线的⽅程的求法，到⻆公式，主要考查学⽣的理解能⼒和计算能⼒，
属于中档题．
31．⼀条光线从点（1，﹣1）射出，经y 轴反射后与圆（x﹣2）2+y2＝1 相交，则⼊射光线所在直线的斜率的
取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】如图所示，由题意可设⼊射光线PQ 的⽅程为：y+1＝k（x﹣1），可得Q（0，﹣1﹣k）．反射光
线QAB 的⽅程为：y＝﹣kx﹣1﹣k．利⽤直线与圆相交可得
＜1，解出即可得出．
【解答】解：如图所示，
由题意可设⼊射光线PQ 的⽅程为：y+1＝k（x﹣1），
令x＝0，则y＝﹣1﹣k，可得Q（0，﹣1﹣k）．
反射光线QAB 的⽅程为：y＝﹣kx﹣1﹣k．
则
＜1，解得：
．
∴⼊射光线所在直线的斜率的取值范围为
．
故选：C．
【点评】本题考查了⼊射光线与反射光线的性质、对称性、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，
考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．
32．直线y＝2x+1 关于直线y＝x 对称的直线⽅程为（
）
A．x﹣3y+1＝0
B．x﹣3y﹣1＝0
C．x﹣2y﹣1＝0
D．x﹣2y+1＝0
【分析】直接利⽤反函数的定义求出直线的⽅程．
【解答】解：由直线y＝2x+1，整理得x＝
，
即y＝
，故x﹣2y﹣1＝0．
第33⻚（共52⻚）
故直线y＝2x+1 关于直线y＝x 对称的直线⽅程为x﹣2y﹣1＝0．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：反函数的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和数学思维能⼒，属于基础题．
33．已知从点（﹣5，3）发出的光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0 的圆周，
则反射光线所在的直线⽅程为（
）
A．2x﹣3y+1＝0
B．2x﹣3y﹣1＝0
C．3x﹣2y+1＝0
D．3x﹣2y﹣1＝0
【分析】由圆的⽅程可得圆⼼坐标，根据反射光线经过圆⼼和（﹣5，3）关于x 轴对称的点，可利⽤两
点式整理得到所求直线⽅程．
【解答】解：由圆的⽅程得：圆⼼为（1，1），
∵反射光线恰好平分圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0 的圆周，
∴反射光线经过点（1，1），
∵（﹣5，3）关于x 轴对称的点为（﹣5，﹣3），∴反射光线所在直线经过点（﹣5，﹣3），
∴反射光线所在直线⽅程为
，即2x﹣3y+1＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线的⼀般⽅程，属于基础题．
34．点P（2，0）关于直线l：x+y+1＝0 的对称点Q 的坐标为（
）
A．（﹣1，﹣3）
B．（﹣1，﹣4）
C．（4，1）
D．（2，3）
【分析】设Q 的坐标，由题意可得直线l 为线段PQ 的中垂线，可得a，b 的值．
【解答】解：设Q（a，b）是P 关于直线l：x+y+1＝0 的对称点，由题意可得
，解得a＝
﹣1，b＝﹣3，
可得Q（﹣1，﹣3），
故选：A．
【点评】本题考查点关于直线的对称的求法，属于基础题．
35．⼀束光线从点A（2，3）射出，经x 轴上⼀点C 反射后到达圆（x+3）2+（y﹣2）2＝2 上⼀点B，则|AC|+|BC|
的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】确定圆⼼为M（﹣3，2），
，A（2，3）关于x 轴的对称点为A1（2，﹣3），|AC|+|BC|≤|A1M|+r，
计算得到答案．
第34⻚（共52⻚）
【解答】解：圆（x+3）2+（y﹣2）2＝2 的圆⼼为M（﹣3，2），
，A（2，3）关于x 轴的对称点为
A1（2，﹣3），
．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能⼒，属于基础题．
36．已知圆C 的⽅程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，直线l：（3﹣2t）x+（t﹣1）y+2t﹣1＝0 恒过定点A．若⼀条
光线从点A 射出，经直线x﹣y﹣5＝0 上⼀点M 反射后到达圆C 上的⼀点N，则|AM|+|MN|的最⼩值为
（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【分析】求得定点A，然后得到关于直线x﹣y﹣5＝0 的对称点为B，然后可得|AM|+|MN|＝|BM|+|MN|≥|BN|
≥|BC|﹣r，计算即可．
【解答】解：直线l 可化为3x﹣y﹣1﹣t（2x﹣y﹣2）＝0
令2x﹣y﹣2＝0，可得3x﹣y﹣1＝0，
求得x＝﹣1，且y＝﹣4，
所以，点A 的坐标为（﹣1，﹣4）．
设点A（﹣1，﹣4）关于直线x﹣y﹣5＝0 的
对称点为B（a，b），
则由
，求得
，
所以点B 坐标为（1，﹣6）．
⽽由圆C 的⽅程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
可得点C（1，1），半径r＝1．
由线段垂直平分线的性质可知，|AM|＝|BM|，
所以，|AM|+|MN|＝|BM|+|MN|≥|BN|
≥|BC|﹣r＝7﹣1＝6，
（当且仅当B，M，N，C 四点共线时等号成⽴），
所以，|AM|+|MN|的最⼩值为6，
故选：A．
第35⻚（共52⻚）
【点评】本题主要考查直线恒过定点问题，圆中的最值问题等知识，属于中等题．
37．已知点A 与点B（2，1）关于直线x+y+2＝0 对称，则点A 的坐标为（
）
A．（﹣1，4）
B．（4，5）
C．（﹣3，﹣4）
D．（﹣4，﹣3）
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及中点坐标公式，即可求解．
【解答】解：设A（a，b），
∵点A 与点B（2，1）关于直线x+y+2＝0 对称，
∴
，解得
，
故点A 的坐标为（﹣3，﹣4）．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，以及中点坐标公式，属于基础题．
38．在平⾯直⻆坐标系中，军营所在区域的边界为x2+y2＝1，河岸所在直线⽅程为x+y＝3，将军从点A（0，
2）处出发，先到河边饮⻢，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将
军所经过的最短路程为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，求出A 点关于直线x+y＝3 的对称点M 的坐标，然后将距离和的最值问题转化成圆
外⼀点到圆上⼀点距离的最值问题求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：如图，设将军去河岸的B 点喝⽔，回到军营的C 点，需求出|AB|+|BC|最⼩值，
第36⻚（共52⻚）
圆x2+y2＝1 的圆⼼为（0，0），半径r＝1，
设A（0，2）关于直线x+y＝3 的对称点为M（a，b），则
，解得a＝1，b＝3，
所以M（1，3），此时|AB|+|BC|＝|MB|+|BC|≥|MO|﹣r＝
﹣1＝
﹣1，
因此，这个将军所经过的最短路程为
﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查点关于直线的对称点的求法、圆的⽅程及其性质、两点间的距离公式及其应⽤，
考查了计算能⼒、逻辑推理能⼒，属于中档题．
39．如图，已知两点A（22，0），B（0，11），从点P（2，0）射出的光线经直线AB 上的点M 反射后再射到
直线OB 上，最后经直线OB 上的点N 反射后⼜回到点P，则直线MN 的⽅程为（
）
A．4x﹣3y﹣6＝0
B．4x+3y+8＝0
C．3x﹣4y+6＝0
D．4x﹣3y+8＝0
【分析】由光线的性质得，直线MN 经过点P（2，0）关于y 轴的对称点，也经过点P（2，0）关于直线
AB 的对称点，求出两个对称点坐标，即可得到直线MN 的⽅程．
【解答】解：由光线的性质得，直线MN 经过点P（2，0）关于y 轴的对称点（﹣2，0），
直线MN 也经过点P（2，0）关于直线AB 的对称点，设为（a，b），
直线AB 的斜率为
＝﹣，
所以直线AB 的⽅程为y＝﹣x+11，
第37⻚（共52⻚）
所以
，解得
，
所以点P（2，0）关于直线AB 的对称点为（10，16），
所以直线MN 过点（﹣2，0），（10，16），
所以直线MN 的斜率为
＝，
所以直线MN 的⽅程为y＝（x+2），即4x﹣3y+8＝0．
故选：D．
【点评】本题主要考查了点关于直线的对称点问题，考查了求直线的⼀般⽅程，属于中档题．
40．平⾯直⻆坐标系中xOy 中，A（a，b），B（c，d），其中⾮负实数a，b 和实数c，d 满⾜a+b＝20，c2+d2
＝21，则|AB|的最⼤值为（
）
A．20
B．21+
C．20+
D．21
【分析】判断A 点的轨迹，B 的轨迹，利⽤数形结合，转化求解最值即可．
【解答】解：根据题意，对于点A（a，b），其中⾮负实数a，b，且满⾜a+b＝20，
则A 的轨迹为线段MN，其中M（20，0），N（0，20），故其轨迹⽅程为x+y＝20（x≥0 且y≥0），
对于B（c，d），其中实数c，d 满⾜c2+d2＝21，
则B 的轨迹为圆，其圆⼼为（0，0），半径为
，其⽅程为x2+y2＝21，
|AB|的⼏何意义为圆O 上任意⼀点到线段MN 上任意⼀点的距离，
|AB|的最⼤值是圆的圆⼼到线段MN 上的点的距离的最⼤值加上圆的半径，
即20+
．
故选：C．
【点评】本题考查轨迹⽅程的求法，数形结合的应⽤，是中档题．
41．已知两条动直线x+my＝0 和mx﹣y﹣4m+4＝0 交于点P，圆C：（x+2）2+（y+2）2＝3 上两点E，F 间的
第38⻚（共52⻚）
距离为
．若点Q 是线段EF 的中点，则|PQ|的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】求解P 的轨迹⽅程，求出Q 的轨迹⽅程，然后求解|PQ|的最⼩值．
【解答】解：两条动直线x+my＝0 和mx﹣y﹣4m+4＝0 交于点P，
消去m 可得P 的轨迹⽅程：x2+y2﹣4x﹣4y＝0，
即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8，不包含（4，0）点．
圆的圆⼼D（2，2），半径为R＝2
．
圆C：（x+2）2+（y+2）2＝3 上两点E，F 间的距离为
．圆的半径为：
，圆⼼C（﹣2，﹣2），
点Q 是线段EF 的中点，圆的圆⼼到Q 的距离为1，所以Q 的轨迹⽅程为：（x+2）2+（y+2）2＝1，圆的
圆⼼C（﹣2，﹣2），半径为r＝1，
|PQ|的最⼩值为：|CD|﹣R﹣r＝
﹣2
﹣1＝2
﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查轨迹⽅程的求法，直线与圆的位置关系的应⽤，考查转化思想以及计算能⼒，是中档
题．
42．若动点P 到点F（1，1）和直线3x+y﹣4＝0 的距离相等，则点P 的轨迹⽅程为（
）
A．3x+y﹣6＝0
B．x﹣3y+2＝0
C．x+3y﹣2＝0
D．3x﹣y+2＝0
【分析】因为点F（1，1）在直线3x+y﹣4＝0，所以点P 的轨迹是过点F（1，1）且垂直于已知直线的直
线，由点斜法写出即可．
【解答】解：点F（1，1）在直线3x+y﹣4＝0 上，则点P 的轨迹是过点F（1，1）且垂直于已知直线的
直线，
因为直线3x+y﹣4＝0 的斜率为﹣3，所以所求直线的斜率为
，由点斜式知点P 的轨迹⽅程为y﹣1＝（x
﹣1）
第39⻚（共52⻚）
即x﹣3y+2＝0
故选：B．
【点评】本题考查轨迹⽅程的求法、两条直线垂直的应⽤、直线的点斜式⽅程等，注意点P 的轨迹不是
抛物线．
43．已知点A（1，0），直线l：y＝2x﹣4，点R 是直线l 上的⼀个动点，若P 是RA 的中点，则点P 的轨迹
⽅程为（
）
A．y＝﹣2x
B．y＝2x﹣6
C．y＝2x﹣3
D．y＝2x+4
【分析】设出P 和R 点的坐标，利⽤中点坐标公式得到P 和R 的坐标的关系，把R 的坐标⽤P 的坐标
表示，代⼊直线l：y＝2x﹣4 整理即可得到答案．
【解答】解：设P（x，y），R（x1，y1），
已知A（1，0），由P 是RA 的中点，
∴
，则
①．
∵点R 是直线l 上的⼀个动点，∴y1＝2x1﹣4
②．
把①代⼊②得：2y＝2（2x﹣1）﹣4，即y＝2x﹣3．
点P 的轨迹⽅程为y＝2x﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了与直线有关的动点轨迹⽅程，考查了中点坐标公式，训练了利⽤代⼊法求曲线⽅程，
是中档题．
44．已知圆O′：（x﹣1）2+y2＝36，点A（﹣1，0），M 是圆上任意⼀点，线段AM 的中垂线l 和直线O′M 相
交于点Q，则点Q 的轨迹⽅程为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意画出图形，通过把Q 到A 和O′的距离转化得到Q 点的轨迹为椭圆，然后直接由椭圆定
义得⽅程．
【解答】解：如图，联结QA，由于Q 在AM 的中垂线上，有|QA|＝|QM|，
第40⻚（共52⻚）
则|QA|+|QO′|＝|QM|+|QO′|＝|O′M|．
O′M 是⊙O′的半径，|O′M|＝6．
所以Q 到A、O′的距离之和为定值，轨迹为椭圆
椭圆的焦点是A、O′，中⼼是AO′中点
由于A（﹣1，0），O′（1，0），
所以c＝1，a＝3．
则b2＝a2﹣c2＝8．
则椭圆的⽅程是：
．
即Q 的轨迹⽅程为
．
故选：C．
【点评】本题考查了与直线有关的动点轨迹⽅程，考查了椭圆的定义，利⽤线段垂直平分线上的点到线
段两端点的距离相等是解答该题的关键，是中档题．
45．已知⊙O：x2+y2＝a2，A（﹣a，0），B（a，0），P1、P2是⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP1与直
线BP2的交点P 的轨迹⽅程为（
）
A．x2+y2＝2a2
B．x2+y2＝4a2
C．x2﹣y2＝4a2
D．x2﹣y2＝a2
【分析】求出直线AP1与直线BP2的⽅程，将两⽅程联⽴解出其交点P 的坐标满⾜的⽅程即可．
【解答】解：设P1（x0，y0），则P2（x0，﹣y0），则直线AP1的⽅程为：y＝
（x+a）
①
直线BP2的⽅程为：y＝
（x﹣a）
②
①×②得
第41⻚（共52⻚）
y2＝
（x2﹣a2）
③
⼜∵P1（x0，y0）在圆上，
∴x02+y02＝a2即a2﹣x02＝y02
所以③式可化为：y2＝（x2﹣a2）＝x2﹣a2
即x2﹣y2＝a2，这就是P 点的轨迹⽅程．
故选：D．
【点评】本题考查求两直线交点的轨迹⽅程，在设出两个直线的⽅程联⽴求交点满⾜的⽅程时，⽤两式
相乘的⽅法构造出可以整体消元得到点P 的坐标满⾜⽅程的形式，消元的技巧较强，答题者应细⼼体会．
46．已知点M 是直线l1：ax+y﹣2a＝0 和l2：x﹣ay+2＝0（a∈R）的交点，A（﹣1，0），B（m，0），且点M
满⾜
恒成⽴．若C（2，2），则2|MA|+|MC|的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由
恒成⽴，结合x2+y2＝4，可得B（﹣4，0），再利⽤点到直线的距离公式即可
求解．
【解答】解：设M（x，y）．由题可知直线l1过定点（2，0），l2过定点（﹣2，0），且l1⊥l2，
所以点M 的轨迹⽅程为x2+y2＝4（x≠2），
因为
恒成⽴，
所以4（x+1）2+4y2＝（x﹣m）2+y2恒成⽴，
结合x2+y2＝4，可得m＝﹣4，
即B（﹣4，0），
由题可知2|MA|+|MC|＝|MB|+|MC|，
直线BC 的⽅程为x﹣3y+4＝0，
所以坐标原点到直线BC 的距离为
，
所以在直线BC 上存在两个点P，Q 满⾜B，P，C 或B，Q，C 共线，
所以
，
即2|MA|+|MC|的最⼩值为
．
故选：D．
【点评】本题考查轨迹⽅程及直线与圆的相关性质，属于中档题．
第42⻚（共52⻚）
47．直线l 经过定点P（2，1），且与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别相交于A，B 两点，O 为坐标原点，动圆
M 在△OAB 的外部，且与直线l 及两坐标轴的正半轴均相切，则△OAB 周⻓的最⼩值是（
）
A．3
B．5
C．10
D．12
【分析】先设动圆M 的圆⼼M 坐标为（m，m），|OA|＝a，|OB|＝b，结合直线与圆相切的性质可得
|OA|+|OB|+|AB|＝|2m，当圆M 与直线AB 相切于点P（2，1）处时，圆M 半径最⼩，结合两点间距离公
式即可求解．
【解答】解：设动圆M 的圆⼼M 坐标为（m，m），
即圆M 半径r＝m，由题意m＞0，
设|OA|＝a，|OB|＝b，圆M 与直线AB 相切于点N，则|AN|＝m﹣a，|BN|＝m﹣b，
所以|OA|+|OB|+|AB|＝|OA|+|OB|+|AN|+|BN|＝a+b+m﹣a+m﹣b＝2m，即△OAB 的周⻓为2m，
所以△OAB 的周⻓最⼩即为圆M 半径m 最⼩，因为直线AB 过定点P（2，1），
所以当圆M 与直线AB 相切于点P（2，1）处时，圆M 半径最⼩，
此时
，化简得m2﹣6m+5＝0，
则m＝1 或5，
当m＝1 时，圆⼼M（1，1）在△OAB 内，不合题意；
当m＝5 时，即圆M 半径的最⼩值为5，△OAB 周⻓的最⼩值为2m＝10．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线与圆相切性质的应⽤，直线⽅程的应⽤，属于中档题．
48．已知点M（x1，y1）在直线l1：y＝x+2，点N（x2，y2）在直线l2：y＝x 上，且MN⊥l1，
的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．5
【分析】根据两点距离公式将⽬标函数转化为点M（x1，y1）到点A（0，4）的距离与点N（x2，y2）到
点B（5，0）的距离和，过点A 作AC⊥l1，垂⾜为C，证明|AM|＝|CN|，由|CN|+|NB|≥|CB|求⽬标函数最
⼩值．
【解答】解：由已知
表示点M（x1，y1）到点A（0，4）的距离，
表示点N（x2，y2）到点B（5，0）的距离，
所以知
+
表示点M（x1，y1）到点A（0，4）的距离与点N（x2，y2）
到点B（5，0）的距离之和，
第43⻚（共52⻚）
过点A 作AC⊥l1，垂⾜为C，
因为直线l1的⽅程为x﹣y+2＝0，A（0，4），
所以
，
⼜直线l1：y＝x+2 与直线l2：y＝x 平⾏，MN⊥l1，
所以
，所以MN∥AC，|MN|＝|AC|，
所以四边形AMNC 为平⾏四边形，所以|AM|＝|CN|，
⼜|CN|+|NB|≥|CB|，当且仅当C，N，B 三点共线时等号成⽴，
所以当点N 为线段CB 与直线l2的交点时，
+
取最⼩值，最⼩值为|CB|，
因为过点A（0，4）与直线l1垂直的直线的⽅程为y＝﹣x+4，
联⽴
，可得
，
所以点C 的坐标为（1，3），所以
＝5，
所以
+
的最⼩值为5．
故选：D．
【点评】本题解决的关键在于根据两点距离公式将⽬标函数转化为求线段的距离和问题，进⼀步结合图
形将问题转化为两点之间的距离问题，是中档题．
49．若P（x，y）满⾜x2+y2＝1，A（1，2），B（1，4）则|PA|2+|PB|2最⼩值是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由已知P（x，y）满⾜x2+y2＝1，我们可以表示出P 点的坐标，代⼊两点之间的距离公式，我
们易求出|PA|2+|PB|2的表达式，根据正弦型函数的解析式，我们易求出|PA|2+|PB|2的最⼩值．
【解答】解：∵P（x，y）满⾜x2+y2＝1，
则P 点的坐标可表示为x＝cosa，y＝sina，
|PA|2+|PB|2＝[（cosa﹣1）2+（sina﹣2）2]+[（cosa﹣1）2+（sina﹣4）2]
第44⻚（共52⻚）
＝[1﹣2cosa+cos2a+4﹣4sina+sin2a]+[1﹣2cosa+cos2a+16﹣8sina+sin2a]
＝（6﹣2cosa﹣4sina）+（18﹣2cosa﹣8sina）
＝24﹣4cosa﹣12sina
＝24﹣4（cosa+3sina）
＝24﹣4
sin（a+θ）≥24﹣4
，其中tanθ＝，
则|PA|2+|PB|2的最⼩值是24﹣4
．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数的值域，其中根据点P（x，y）满⾜x2+y2＝1，我们设出P 点的坐标，
进⽽求出|PA|2+|PB|2的表达式，进⽽将问题转化为函数的最值问题是解答本题的关键，是中档题．
50．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，A（﹣1，0），B（2，0），若直线x﹣2y+m＝0 上存在点P 满⾜
，
则m 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】求出点P 的轨迹⽅程，要使直线x﹣2y+m＝0 上存在点P 满⾜
，只需满⾜直线与圆有
公共点．
【解答】解：设点P 的坐标为（x，y），因为
，A（﹣1，0），B（2，0），
所以
，整理得：（x+2）2+y2＝4，
所以点P 的轨迹是以圆⼼（﹣2，0），半径为r＝2 的圆；
所以圆⼼（﹣2，0）到x﹣2y+m＝0 的距离为
，
要使直线x﹣2y+m＝0 上存在点P 满⾜
，只需满⾜直线与圆相交或相切．
即
，解得：
．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的⽅程，点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系，是中档题．
51．设直线l：x+y﹣2＝0，点A（﹣1，0），B（1，0），P 为l 上任意⼀点，则|PA|+|PB|的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求得点A（﹣1，0）关于直线l 的对称点A 的坐标，则|A'B|即为|PA|+|PB|的最⼩值．
第45⻚（共52⻚）
【解答】解．设点A（﹣1，0）关于直线l 的对称点为A'（m，n），
则有
，解之得
，
则A'（2，3），
则|PA|+|PB|的最⼩值为
．
故选：B．
【点评】本题考查直线⽅程的应⽤，属于中档题．
52．已知A（﹣4，0），B（4，0），动点M（x，y）满⾜
，则△MAB ⾯积的最⼤值为（
）
A．24
B．15
C．12
D．6
【分析】利⽤椭圆的第⼆定义得出椭圆的⽅程即可求解．
【解答】解：因为点M（x，y）满⾜
，
所以根据椭圆的第⼆定义：点M（x，y）的轨迹是以（﹣4，0）为焦点，x＝
为准线的椭圆，
即c＝4，
，故a2＝25．b2＝a2﹣c2＝9，即b＝3，
因为
，
所以
＝4hM，
因为点M 在椭圆上，
所以hM≤b＝3，
第46⻚（共52⻚）
所以S△MAB≤12．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆⽅程的定义，属于中档题．
53．如图，已知直线l1∥l2，A 为l1，l2之间⼀定点，并且点A 到l1的距离为2，到l2的距离为1，B 为直线
l2上⼀动点，作AC⊥AB，且使AC 与直线l1交于点C，则△ABC ⾯积的最⼩值为（
）
A．1
B．
C．2
D．4
【分析】如图所示，建⽴直⻆坐标系．直线AC 的斜率存在，设⽅程为：y＝kx，k≠0，直线BC 的⽅程为：
y＝﹣x，
可得△ABC 的⾯积S＝|AC|•|AB|，再利⽤基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：如图所示，建⽴直⻆坐标系．
直线AC 的斜率存在，设⽅程为：y＝kx，k≠0．
则直线AB 的⽅程为：y＝﹣x，
∴C（2，2k），B
．
∴△ABC 的⾯积S＝|AC|•|AB|＝
×
＝
≥2，
当且仅当k＝±1 时取等号．
∴△ABC 的⾯积最⼩值为2．
故选：C．
第47⻚（共52⻚）
【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、三⻆形⾯积计算公式、基本不等式的性质，考查
了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．
⼆．填空题（共6 ⼩题）
54．已知线段AB 的端点B 的坐标是（3，4），端点A 在圆（x+2）2+（y﹣1）2＝2 上运动，则线段AB 的中
点M 的轨迹⽅程是
（2x﹣1）2+（2y﹣5）2＝2
．
【分析】设出A 和M 的坐标，由中点坐标公式把A 的坐标⽤M 的坐标表示，然后代⼊圆的⽅程即可得
到答案．
【解答】解：设A（x1，y1），线段AB 的中点M 为（x，y）．
则
，即
①．
∵端点A 在圆（x+2）2+（y﹣1）2＝2 上运动，
∴
．
把①代⼊得：（2x﹣1）2+（2y﹣5）2＝2．
∴线段AB 的中点M 的轨迹⽅程是（2x﹣1）2+（2y﹣5）2＝2．
故答案为（2x﹣1）2+（2y﹣5）2＝2．
【点评】本题考查了与直线有关的动点轨迹⽅程，考查了代⼊法，关键是运⽤中点坐标公式，是中档题．
55．已知圆C：x2+（y﹣3）2＝4，点A（0，﹣3），M 是圆上任意⼀点，线段AM 的中垂线l 和直线CM 相交
于点Q，则点Q 的轨迹⽅程为
．
【分析】由题意，Q 到A、C 的距离之差的绝对值为定值，得到Q 点的轨迹为双曲线，然后直接由双曲
线定义得⽅程．
【解答】解：如图，连结QA，由于Q 在AM 的中垂线上，有|QA|＝|QM|，
则||QA|﹣|QC||＝||QM|﹣|QC||＝|CM|．
CM 是⊙C 的半径，|CM|＝2．
所以Q 到A、C 的距离之差的绝对值为定值，则轨迹为双曲线，双曲线的焦点是A、C，中⼼是AC 中点．
由于A（0，﹣3），C（0，3），
所以c＝3，a＝1．则b2＝a2﹣c2＝8．
所以双曲线的⽅程是：
．
第48⻚（共52⻚）
故答案为：
．
【点评】本题考查了与直线有关的动点轨迹⽅程，考查了双曲线的定义，利⽤线段垂直平分线上的点到
线段两端点的距离相等是解答该题的关键，属于中档题．
56．若平⾯内两定点A，B 间的距离为2，动点P 满⾜
，则|PA|2+|PB|2的最⼤值为
．
【分析】通过建⽴平⾯直⻆坐标系，根据距离公式可得出点P 的轨迹⽅程为圆，根据圆的⼏何性质得x2+y2
的最⼤值，再代⼊|PA|2+|PB|2运算即可．
【解答】解：P（x，y），A（﹣1，0），B（1，0），
由
，得
，
即（x﹣2）2+y2＝3，
则|PA|2+|PB|2＝（x+1）2+y2+（x﹣1）2+y2＝2（x2+y2+1）．
由圆的⼏何性质可知
，
所以
，
即最⼤值为
．
故答案为：
．
【点评】本题考查圆的⽅程的应⽤，属于中档题．
第49⻚（共52⻚）
57．已知直线l1：y﹣2＝0 和直线l2：x+1＝0，则曲线（x﹣1）2+y2＝1 上⼀动点P 到直线l1和直线l2的距离
之和的最⼩值是
．
【分析】先设出点P 的坐标，表示出点P 到直线l 和直线l2的距离之和d1+d2＝x0﹣y0+3，再利⽤⼏何意
义求解得出答案．
【解答】解：设点P 的坐标为（x0，y0），
则动点P 到直线l1距离为d1＝|2﹣y0|＝2﹣y0，
动点P 直线l2的距离为d2＝|x0﹣（﹣1）|＝x0+1，
所以曲线（x﹣1）2+y2＝1 上⼀动点P 到直线l1和直线l2的距离之和为d1+d2＝2﹣y0+x0+1＝x0﹣y0+3，
令t﹣3＝x0﹣y0，即y0＝x0+3﹣t，
则3﹣t 的⼏何意义是过点P 的直线y＝x+3﹣t 在y 轴上的截距，
因为点P 在曲线（x﹣1）2+y2＝1 上，
所以当直线y＝x+3﹣t 与曲线（x﹣1）2+y2＝1 相切时t 有最值，
因为曲线（x﹣1）2+y2＝1 是以（1，0）圆⼼，1 为半径的圆，
则
，
解得
或
，
所以曲线（x﹣1）2+y2＝1 上⼀动点P 到直线l 和直线l2的距离之和的最⼩值为
．
故答案为：
．
【点评】本题考查直线⽅程的应⽤，属于中档题．
58．若平⾯内两定点A，B 间的距离为3，动点P 满⾜
，则△PAB ⾯积的最⼤值为
3
．
【分析】⾸先建⽴平⾯直⻆坐标系，根据条件，得到点P 到AB 的最⼤距离，再由三⻆形的⾯积公式求
解即可．
【解答】解：平⾯内两定点A，B 间的距离为3，设A（﹣，0），B（，0），P（x，y），
由
，得
，
所以
，
所以要使△PAB 的⾯积最⼤，只需点P 到AB 的距离最⼤，
如图所示：由图可知当点P 到AB 的距离h＝r＝2 时，△PAB ⾯积的最⼤值，
第50⻚（共52⻚）
故S△PAB 的最⼤值为
．
故答案为：3．
【点评】本题考查了两点间的距离公式，三⻆形的⾯积公式和圆的⽅程，考查了转化思想，属于中档题．
59．已知P，Q 分别在直线l1：x﹣y+1＝0 与直线l2：x﹣y﹣1＝0 上，且PQ⊥l1，点A（﹣4，6），B（5，﹣1），
则|AP|+|PQ|+|QB|的最⼩值为
10+
．
【分析】利⽤数形结合，找到线段的等量关系进⾏转化，找到|AP|+|QB|最⼩值即可得解．
【解答】解：因为l1：x﹣y+1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0，
所以直线l1与l2间的距离为
，⼜PQ⊥l1，故
，
过B（5，﹣1）作直线l 垂直于l1：x﹣y+1＝0，如图，
则可设直线l 的⽅程为x+y+c＝0，代⼊B（5，﹣1），得5﹣1+c＝0，则c＝﹣4，
所以直线l 的⽅程x+y﹣4＝0，
将B（5，﹣1）沿着直线l 往上平移
个单位到B′点，设B′（a，﹣a+4），
则
，解得a＝4 或a＝6（舍去），则B′（4，0），
连接AB′交直线l1于点P，过P 作PQ⊥l2于Q，连接BQ，
有BB′∥PQ，|BB′|＝|PQ|，即四边形BB′PQ 为平⾏四边形，
则|PB′|＝|BQ|，即有|AP|+|QB|＝|AP|+|PB′|＝|AB′|，
显然|AB′|是直线l1上的点与点A，B′距离和的最⼩值，
第51⻚（共52⻚）
因此|AP|+|QB|的最⼩值，即|AP|+|PB′|的最⼩值|AB′|，
⽽
，
所以|AP|+|PQ|+|QB|的最⼩值为
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了数形结合和线段等量关系的转化思想，属于中档题．
三．解答题（共1 ⼩题）
60．已知⼀条动直线3（m+1）x+（m﹣1）y﹣6m﹣2＝0，
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P 的坐标；
（2）若直线与x、y 轴的正半轴分别交于A，B 两点，O 为坐标原点，是否存在直线满⾜下列条件：
①△AOB 的周⻓为12；
②△AOB 的⾯积为6．
若存在，求出⽅程；若不存在，请说明理由．
（3）若直线与x、y 轴的正半轴分别交于A，B 两点，当PA+
PB 取最⼩值时，求直线的⽅程．
【分析】（1）整理直线⽅程得（3x+y﹣6）m+3x﹣y﹣2＝0．由3x+y﹣6＝0 且3x﹣y﹣2＝0 可求；
（2）设直线的⽅程
，满⾜①可得
，联⽴可解
a，b，即可得⽅程；若满⾜②，可得
，同样可得⽅程，它们公共的⽅程即为所求．
（3）利⽤直线的倾斜⻆表示PA+
PB，利⽤换元法，结合三⻆函数的性质及函数的单调性可求．
【解答】解：（1）整理直线⽅程得（3x+y﹣6）m+3x﹣y﹣2＝0．由3x+y﹣6＝0 且3x﹣y﹣2＝0 可得x＝，
y＝2，
故直线恒过定点P（，2），
（2）设直线⽅程为
，（a＞0，b＞0），
若满⾜条件（1），则a+b+
＝12，①
⼜∵直线过点P（，2），
，②
由①②可得5a2﹣32a+48＝0，
第52⻚（共52⻚）
解得
，或
．
∴所求直线的⽅程为
或
＝1，
即3x+4y﹣12＝0 或15x+8y﹣36＝0．
若满⾜条件②，则ab＝12，③
由题意得，
＝1，④
由③④整理得a2﹣6a+8＝0，
解得a＝4，b＝3，或a＝2，b＝6，（舍），
∴所求直线的⽅程为
，
即3x+4y﹣12＝0 或3x+y﹣6＝0．
综上所述：存在同时满⾜①②两个条件的直线⽅程，为3x+4y﹣12＝0，
（3）由题意可知直线的倾斜⻆
，
所以PA＝
，PB＝﹣
，
所以PA+
PB＝
﹣
＝
，
令t＝cosα﹣sinα＝
，
由
可得
，cos（
）
，t
，
PA+
PB＝
﹣
＝
＝
在[﹣
，﹣1）上单调递增，
当t＝﹣
即
时，上式取得最⼩值4
，此时直线⽅程为y﹣2＝﹣（x﹣），
化简可得，直线⽅程为3x+3y﹣10＝0．
【点评】本题主要考查了直线恒过定点问题，还考查了直线⽅程的综合应⽤，属于中档试题．
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第14⻚（共37⻚）
直线与圆篇—题型17～题型22 答案
⼀．选择题（共59 ⼩题）
1．已知P 是过O（0，0），M1（﹣1，3），M2（﹣3，﹣1）三点的圆上的动点，则|PO|的最⼤值为（
）
A．
B．
C．5
D．20
【分析】根据已知条件，先求出圆的标准⽅程，求出圆⼼、半径，再结合两点之间的距离公式，即可求
解．
【解答】解：设圆的⽅程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
圆过点过O（0，0），M1（﹣1，3），M2（﹣3，﹣1），
则
，解得
，
故圆的⽅程为x2+y2+4x﹣2y＝0，即（x+2）2+（y﹣1）2＝5，圆⼼为（﹣2，1），半径为
，
|PO|的最⼤值为：
．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的标准⽅程，属于基础题．
2．经过A（1，1），B（﹣1，1），C（0，2）三个点的圆的⽅程为（
）
A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2
B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2
C．x2+（y﹣1）2＝1
D．x2+（y+1）2＝1
【分析】设圆的⼀般⽅程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，代⼊点的坐标，建⽴关于D，E，F 的⽅程组，解出即
可．
【解答】解：设圆的⼀般⽅程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则
，
解得
，
则圆的⼀般⽅程为x2+y2﹣2y＝0，即x2+（y﹣1）2＝1．
故选：C．
【点评】本题考查圆的⽅程的求法，属于基础题．
3．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，已知P（﹣2，4）、Q（2，6）两点，若圆M 以PQ 为直径，则圆M 的标准⽅
第15⻚（共37⻚）
程为（
）
A．x2+（y+5）2＝5
B．x2+（y﹣5）2＝5
C．x2+（y+5）2＝25
D．x2+（y﹣5）2＝25
【分析】求出圆⼼M 坐标以及圆的半径，即可得出圆M 的标准⽅程．
【解答】解：因为圆M 以P1P2为直径，所以圆⼼M 的坐标为（0，5），
半径为
，
∴圆M 的标准⽅程为x2+（y﹣5）2＝5．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：圆的⽅程的求法，主要考查学⽣的运算能⼒，属于中档题．
4．过点C（﹣1，1）和D（1，3），圆⼼在x 轴上的圆的⽅程是（
）
A．x2+（y﹣2）2＝10
B．x2+（y+2）2＝10
C．（x﹣2）2+y2＝10
D．（x+2）2+y2＝10
【分析】先设出圆的标准⽅程，由于圆⼼在x 轴上，故可设为（x﹣a）2+y2＝r2，再将已知两点代⼊此⽅
程，得⼆元⽅程组，解⽅程组即可得a、r，最后写出标准⽅程即可．
【解答】解：设圆O 的⽅程为（x﹣a）2+y2＝r2
将C（﹣1，1）和D（1，3）代⼊得
，
解得a＝2，r2＝10
∴圆⽅程是（x﹣2）2+y2＝10
故选：C．
【点评】本题考查了圆的⽅程的求法﹣﹣待定系数法，解题时要能恰当选择待定的⽅程，熟练的解⽅程
组．
5．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，O 为原点，则以OC 为直径的圆⽅程为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，求出C 的坐标，由此确定以OC 为直径的圆的圆⼼和半径，即可得答案．
第16⻚（共37⻚）
【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，其圆⼼C（3，4），半径|OC|＝5，
故以OC 为直径的圆的圆⼼为
，半径为
，
故所求圆的⽅程为：
．
故选：D．
【点评】本题考查圆的标准⽅程，注意圆⼼坐标和半径，属于基础题．
6．过点A（4，1）的圆C 与直线x﹣y＝1 相切于点B（2，1），则圆C 的⽅程为（
）
A．（x﹣3）2+（y+1）2＝5
B．
C．（x﹣3）2+（y﹣8）2＝50
D．（x﹣3）2+y2＝2
【分析】由圆⼼和切点连线与切线垂直可得kBC＝﹣1，得到关于圆⼼的⼀个⽅程，根据圆的性质，可知
圆⼼C 在AB 的垂直平分线x＝3 上，由此可求得a，b 的值，得到圆⼼坐标，进⽽可求得圆的半径即可
求解．
【解答】解：设圆⼼C（a，b），
因为直线x﹣y＝1 与圆C 相切于点B（2，1），
所以
，即a+b﹣3＝0，
因为AB 中垂线为x＝3，则圆⼼C 满⾜直线x＝3，
即a＝3，∴b＝0，
所以半径
，
所以圆C 的⽅程为（x﹣3）2+y2＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆的⼀般⽅程，属于基础题．
7．若圆C 的圆⼼为（1，2），且被x 轴截得弦⻓为4，则圆C 的⽅程为（
）
A．x2+y2﹣2x﹣4y﹣3＝0
B．x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0
C．x2+y2﹣2x+4y﹣3＝0
D．x2+y2﹣2x+4y+1＝0
【分析】根据直线与圆相交的性质，算出圆的半径，可得圆的标准⽅程，然后化成标准⽅程，可得答案．
【解答】解：因为点C（1，2）到x 轴的距离d＝2，圆C 被x 轴截得弦⻓为4，
所以圆的半径r 满⾜：r＝
＝
，圆的标准⽅程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝8，
化成⼀般式，得x2+y2﹣2x﹣4y﹣3＝0．
故选：A．
第17⻚（共37⻚）
【点评】本题主要考查圆的⽅程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
8．直线
与x 轴，y 轴分别交于点A，B，以线段AB 为直径的圆的⽅程为（
）
A．x2+y2﹣4x﹣2y﹣1＝0
B．x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0
C．x2+y2﹣4x﹣2y＝0
D．x2+y2﹣2x﹣4y＝0
【分析】直接利⽤中点坐标公式和两点间的距离公式求出圆的半径，进⼀步确定圆的⽅程．
【解答】解：直线
与x 轴，y 轴分别交于点A，B，
所以：A（4，0），B（0，2）
故圆⼼坐标为（2，1），圆的半径满⾜
，解得R＝
，
所以圆的⽅程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，
整理得：x2+y2﹣4x﹣2y＝0．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：圆的⽅程，中点坐标公式，主要考查学⽣的运算能⼒和数学思维能⼒，
属于基础题．
9．已知圆的⽅程是x2+y2﹣2x﹣1＝0，则它的半径是（
）
A．1
B．
C．2
D．4
【分析】直接把圆的⽅程的⼀般式转换为标准式，进⼀步求出圆的半径．
【解答】解：圆的⽅程是x2+y2﹣2x﹣1＝0 转换为标准式为（x﹣1）2+y2＝2，
故圆的半径为
．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：圆的⽅程，主要考查学⽣的理解能⼒和计算能⼒，属于中档题．
10．已知
，则该圆的圆⼼坐标和半径分别为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利⽤圆的⽅程配⽅后化为标准⽅程即可得．
【解答】解：由已知圆的标准⽅程为
，圆⼼是
，半径是
．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：圆的⽅程的求法，主要考查学⽣的理解能⼒和计算能⼒，属于中档题．
第18⻚（共37⻚）
11．已知动圆M 和圆C1：（x+1）2+y2＝36 内切，并和圆C2：（x﹣1）2+y2＝4 外切，则动圆圆⼼M 的轨迹是
（
）
A．直线
B．圆
C．焦点在x 轴上的椭圆
D．焦点在y 轴上的椭圆
【分析】设动圆的圆⼼M 的坐标为（x，y），半径为r，由两圆相切的性质得到|MC1|＝6﹣r，|MC2|＝r+2，
从⽽推导出|MC1|+|MC2|＝8＞|C1C2|＝2，结合椭圆的定义得到正确答案．
【解答】解：设动圆的圆⼼M 的坐标为（x，y），半径为r，
因为动圆M 与圆C1：（x+1）2+y2＝36 内切，且与圆C2：（x﹣1）2+y2＝4 外切，
所以|MC1|＝6﹣r，|MC2|＝r+2，可得|MC1|+|MC2|＝8＞|C1C2|＝2，
根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝8，2c＝2，
可得a＝4，c＝1，则
，所以动点M 的轨迹⽅程为
．
综上所述，动圆的圆⼼M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系、椭圆的定义、动点轨迹⽅程的求法等知识，属于中档题．
12．已知N 是圆O：x2+y2＝9 上的动点，点M 满⾜
，记M 的轨迹为E，则（
）
A．E 是与圆O 相切的⼀条直线
B．E 是半径为5 的圆
C．E 上的点到原点O 的距离的最⼤值为8
D．E 与圆O 相切
【分析】确定点E 的轨迹，判断A、B、C 项，根据圆与圆的位置关系判断D 项．
【解答】解：设M（x，y），N（x0，y0），则
，即
，
因为N 是圆O：x2+y2＝9 上的动点，所以
，
即（x﹣3）2+（y+4）2＝9，即E 是圆⼼为（3，﹣4），半径为3 的圆，故A，B 错误；
圆⼼到原点的距离为5，所以E 上的点到原点O 的距离的最⼤值为8，故C 正确；
因为|OE|＝5，圆⼼距为5，圆O、E 的半径之和为3+3＝6，即|OE|＜6，
所以两圆相交，故D 错误．
故选：C．
第19⻚（共37⻚）
【点评】本题考查轨迹⽅程，考查圆的位置关系，属于中档题．
13．由动点P 向圆M：（x+2）2+（y+3）2＝1 引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若四边形APBM 为正
⽅形，则动点P 的轨迹⽅程为（
）
A．（x+2）2+（y+3）2＝4
B．（x+2）2+（y+3）2＝2
C．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4
D．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝2
【分析】由题意可得PM＝
，再结合圆的定义求解即可．
【解答】解：圆M：（x+2）2+（y+3）2＝1，圆⼼M（﹣2，﹣3），半径r＝1，
因为四边形APBM 为正⽅形，
所以PM＝
，
所以动点P 的轨迹是以点M（﹣2，﹣3）为圆⼼，
为半径的圆，
即动点P 的轨迹⽅程为（x+2）2+（y+3）2＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了求动点的轨迹⽅程，属于基础题．
14．已知⾯积为9 的正⽅形ABCD 的顶点A、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，O 为坐标原点，
，
则动点P 的轨迹⽅程是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】设点A（x0，0）、B（0，y0）、P（x，y），由平⾯向量的坐标运算可得出
，由正⽅形的
⾯积公式可得出
，将
代⼊等式
整理可得出点P 的轨迹⽅程．
【解答】解：设点A（x0，0）、B（0，y0）、P（x，y），
由
，
所以，
，可得
，
第20⻚（共37⻚）
因为正⽅形ABCD 的⾯积为|AB|2＝9，即
，即
，
整理可得
，因此，动点P 的轨迹⽅程为
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相关点法在轨迹⽅程求解中的应⽤，属于中档题．
15．已知动点M 的坐标满⾜⽅程
，则动点M 的轨迹是（
）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
【分析】根据⽅程表示的⼏何意义结合抛物线定义，即可判断出答案．
【解答】解：⽅程
变形为
，
表示动点M（x，y）到点F（0，1）和直线y＝﹣1 的距离相等，
所以动点M 的轨迹是以F（0，1）为焦点的抛物线．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的应⽤，属于中档题．
16．已知PA 是圆C：x2+（y﹣1）2＝1 的切线，点A 为切点，若|PA|＝2，则点P 的轨迹⽅程是（
）
A．（x﹣1）2+y2＝5
B．x2+（y﹣1）2＝5
C．y2＝2x
D．x2＝2y
【分析】由题意得P 点到圆⼼的距离为
，结合两点间的距离公式即可求解．
【解答】解：因为|PA|＝2，圆的半径为1，
所以P 点到圆⼼的距离为
＝
，
所以点P 的轨迹⽅程是以（0，1）为圆⼼，
为半径的圆，即x2+（y﹣1）2＝5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线与圆相切性质的应⽤，属于基础题．
17．已知A，B 是⊙C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝25 上的两个动点，P 是线段AB 的中点，若|AB|＝6，则点P 的
轨迹⽅程为（
）
A．（x﹣4）2+（y﹣2）2＝16
B．（x﹣2）2+（y﹣4）2＝11
C．（x﹣2）2+（y﹣4）2＝16
D．（x﹣4）2+（y﹣2）2＝11
【分析】利⽤已知条件推出|PC|的距离是定值，推出轨迹⽅程．
【解答】解：A，B 是⊙C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝25 上的两个动点，P 是线段AB 的中点，|AB|＝6，圆的
第21⻚（共37⻚）
直径为10，所以圆的半径为5，
可得|PC|＝
＝4，
所以点P 的轨迹⽅程为（x﹣2）2+（y﹣4）2＝16．
故选：C．
【点评】本题考查轨迹⽅程的求法，是基础题．
18．在棱⻓为2a（a＞0）的正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N 分别为棱AB，D1C1的中点．已知动点P
在该正⽅体的表⾯上，且
，则点P 的轨迹⻓度为（
）
A．12a
B．12πa
C．24a
D．24πa
【分析】由
可知P 点轨迹为以MN 为直径的球，再利⽤勾股定理可得点P 的轨迹是六个半径
为a 的圆，进⽽求出点P 的轨迹⻓度．
【解答】解：因为
，
所以P 点轨迹为以MN 为直径的球，MN 中点即为正⽅体中⼼O，球⼼O 在每个⾯上的射影为⾯的中⼼，
因为|MN|＝
＝2
，
所以|OP|＝
＝
，⼜因为球⼼O 在每个⾯的距离d＝a，
所以球O 被正⽅体每个表⾯所截的⼩圆的半径r＝
＝
＝a，
所以点P 的轨迹是六个半径为a 的圆，
故点P 的轨迹⻓度即为6×2πa＝12πa．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正⽅体的结构特征，考查了动点的轨迹问题，属于中档题．
19．与圆x2+y2＝1 及圆x2+y2﹣8x+7＝0 都外切的圆的圆⼼轨迹是（
）
A．椭圆
B．双曲线
C．双曲线的左⽀
D．双曲线的右⽀
【分析】设动圆P 的半径为r，然后根据动圆与圆x2+y2＝1 及圆x2+y2﹣8x+7＝0 都外切得|PF|＝3+r、|PO|
＝1+r，再两式相减消去参数r，则满⾜双曲线的定义，问题解决．
【解答】解：设动圆的圆⼼为P，半径为r，⽽圆x2+y2＝1 的圆⼼为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+7
＝0 的圆⼼为F（4，0），半径为3．
依题意得|PF|＝3+r，|PO|＝1+r，则|PF|﹣|PO|＝（3+r）﹣（1+r）＝2＜|FO|，所以点P 的轨迹是双曲线的
右⽀．
第22⻚（共37⻚）
故选：D．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，属于基础题．
20．已知⽅程x2+y2+2x﹣2ay+2a+4＝0 表示⼀个圆，则实数a 取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
B．[﹣1，3]
C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
D．（﹣1，3）
【分析】根据题意，将圆的⽅程化为标准形式，根据r2＞0 建⽴关于a 的不等式，解之即可得到本题的
答案．
【解答】解：圆的⽅程化为标准形式，可得（x+1）2+（y﹣a）2＝a2﹣2a﹣3，
所以r2＝a2﹣2a﹣3＞0，解得a＜﹣1 或a＞3，即实数a 取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的⽅程及其性质、⼀元⼆次不等式的解法等知识，考查了计算能⼒，属于基础
题．
21．若⽅程x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0 表示的曲线是圆，则实数k 的取值范围是（
）
A．（﹣6，﹣∞）
B．[﹣6，+∞）
C．（﹣∞，6]
D．（﹣∞，6）
【分析】将圆的⼀般⽅程配⽅后得（x+k）2+（y﹣2）2＝6﹣k，根据圆的半径⼤于0 求解即可．
【解答】解：由⽅程x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0 可得（x+k）2+（y﹣2）2＝6﹣k，
则当曲线表示圆时，有
，
解得k＜6，
故选：D．
【点评】本题考查了圆的⼀般⽅程及标准⽅程，属基础题．
22．已知曲线C：x2+y2+mx+1＝0，则“m＞2”是“曲线C 是圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】直接利⽤圆的定义和充分条件与必要条件判断结论．
【解答】解：曲线C：x2+y2+mx+1＝0，整理得：
．
该曲线为圆的充要条件是：
，整理得m＞2 或m＜﹣2；
则“m＞2”是“曲线C 是圆”的充分不必要条件．
第23⻚（共37⻚）
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：圆的定义，充分条件和必要条件，主要考查学⽣的理解能⼒和计算能⼒，
属于基础题．
23．⽅程x2+y2+2y+m＝0 表示⼀个圆，则m 的取值范围是（
）
A．（1，+∞）
B．（﹣∞，1）
C．[1，+∞）
D．（﹣∞，1]
【分析】根据圆的⼀般⽅程列出不等式求出m 的取值范围．
【解答】解：因为⽅程x2+y2+2y+m＝0 表示⼀个圆，
所以D2+E2﹣4F＝0+4﹣4m＞0，解得m＜1，
所以m 的取值范围是（﹣∞，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的⼀般⽅程应⽤问题，是基础题．
24．已知x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0 表示的曲线是圆，则k 的值为（
）
A．（6，+∞）
B．[﹣6，+∞）
C．（﹣∞，6）
D．（﹣∞，6]
【分析】⽅程配⽅后得（x+k）2+（y﹣2）2＝6﹣k，根据圆的半径⼤于0 求解．
【解答】解：由⽅程x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0 可得（x+k）2+（y﹣2）2＝6﹣k，
所以当
时表示圆，解得k＜6．
故选：C．
【点评】本题考查⼆元⼆次⽅程表示圆的条件，考查知识的应⽤能⼒，是基础题．
25．若⽅程x2+y2+2x+m＝0 表示⼀个圆，则实数m 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1）
B．（﹣∞，1）
C．（﹣1，+∞）
D．（1，+∞）
【分析】根据表示圆的条件D2+E2﹣4F＞0，解不等式即可．
【解答】解：由D2+E2﹣4F＞0 得22﹣4m＞0，解得m＜1．
故选：B．
【点评】本题考查⼆元⼆次⽅程表示圆的充要条件，考查知识的应⽤能⼒，是基础题．
26．⽅程x2+y2+4x﹣2y+5m＝0 表示圆，则m 的范围是（
）
A．m＞1
B．m＜1
C．m≥1
D．m≤1
【分析】根据⽅程x2+y2+Dx+Ey+F＝0 表示圆，应当满⾜D2+E2﹣4F＞0 求解即可．
【解答】解：因为⽅程x2+y2+4x﹣2y+5m＝0 表示圆，
所以42+（﹣2）2﹣4×5m＞0，解得：m＜1．
故选：B．
第24⻚（共37⻚）
【点评】本题考查圆的⼀般⽅程，熟练应⽤表示圆的条件是关键，属于基础题．
27．已知⽅程x2+y2+2x﹣y+m＝0 表示圆，则实数m 的取值范围是（
）
A．m＞
B．m＞﹣
C．m＜
D．m＜﹣
【分析】由圆的⼀般式⽅程可得D2+E2﹣4F＞0，即4+1﹣4m＞0，由此求得m 的范围．
【解答】解：由圆的⼀般式⽅程可得D2+E2﹣4F＞0，即4+1﹣4m＞0，求得m＜，
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的⼀般式⽅程的特征，属于基础题．
28．已知圆C：x2+y2＝2，点A（m，m﹣3），则点A 到圆C 上点的最⼩距离为（
）
A．1
B．2
C．
D．
【分析】利⽤点与圆的的距离公式列出⽅程，然后求解最⼩值即可．
【解答】解：圆C：x2+y2＝2，点A（m，m﹣3），
则点A 到圆C 上点的距离为：
＝
﹣
当m＝时，
﹣
＝
取得最⼩值：
﹣
＝
．
故选：C．
【点评】本题考查圆的⽅程的应⽤，点与圆的位置关系的应⽤，是基础题．
29．若点（2，1）在圆x2+y2﹣x+y+a＝0 的外部，则a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤表示圆的条件和点和圆的位置关系进⾏计算．
【解答】解：依题意，⽅程x2+y2﹣x+y+a＝0 可以表示圆，则（﹣1）2+12﹣4a＞0，得
；
由点（2，1）在圆x2+y2﹣x+y+a＝0 的外部可知：22+12﹣2+1+a＞0，得a＞﹣4．
故
．
故选：C．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题．
30．已知点（1，2）在圆C：
外，则实数a 的取值范围为（
）
A．{a|a＞4}
B．{a|a＞﹣4}
第25⻚（共37⻚）
C．{a|﹣4＜a＜1 或a＞4}
D．{a|﹣4＜a＜﹣1 或a＞4}
【分析】根据⼀般⽅程的的定义，以及点与圆的位置关系，即可判断选项．
【解答】解：由题意得
，解得{a|﹣4＜a＜1 或a＞4}．
故选：C．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题．
31．点（sin30°，cos30°）与圆x2+y2＝的位置关系是（
）
A．在圆上
B．在圆内
C．在圆外
D．不能确定
【分析】根据题意，有sin230°+cos230°＝1＞，由点与圆的位置关系可得答案．
【解答】解：根据题意，点（sin30°，cos30°），则有sin230°+cos230°＝1＞，
则点（sin30°，cos30°）在圆x2+y2＝的外部，
故选：C．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，涉及同⻆三⻆函数基本关系式的应⽤，属于基础题．
32．已知点（1，2）在圆
外，则实数a 的取值范围（
）
A．a＞4
B．a＞﹣4
C．a＞4 或﹣4＜a＜1
D．a＞4 或﹣4＜a＜﹣1
【分析】根据⼀般⽅程的的定义，以及点与圆的位置关系，即可判断选项．
【解答】解：由题意得
，解得{a|﹣4＜a＜1 或a＞4}．
故选：C．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题．
33．若点P（1，1）在圆
的外部，则m 的取值范围为（
）
A．（﹣1，4）
B．（﹣4，1）
C．（﹣1，+∞）
D．（﹣∞，4）
【分析】由于点P（1，1）在圆C：x2+y2+2x﹣m＝0 的外部，圆的半径需⼤于0，将点P（1，1）代⼊圆
的⽅程列出不等式，即可求出实数m 的取值范围．
【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣m＝0 的标准⽅程为（x+1）2+y2＝m+1，
第26⻚（共37⻚）
m+1＞0，即m＞﹣1，
若点P（1，1）在圆C：x2+y2+2x﹣m＝0 的外部，
则12+12+2﹣m＞0，解得m＜4，
故﹣1＜m＜4．
故选：A．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题．
34．若点P（1，1）在圆C：x2+y2﹣x﹣2y﹣k＝0 的外部，则实数k 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1）
B．
C．
D．
【分析】根据点在圆外以及圆满⾜的条件列出对应的不等式组，即可求解结论．
【解答】解：由点P（1，1）在圆C：x2+y2﹣x﹣2y﹣k＝0 的外部，
可得
，
解得
．
故选：B．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意圆的性质的合理运⽤．
35．已知点P（﹣1，1）在圆C：x2+y2+kx﹣2y+
k＝0 外，则实数k 的取值范围是（
）
A．k＞0
B．k＜1 或k＞4
C．0＜k＜1 或k＞4
D．k＞4
【分析】根据圆的⽅程需要满⾜的条件以及点与圆的位置关系建⽴不等式关系进⾏求解即可．
【解答】解：∵点P（﹣1，1）在圆C：x2+y2+kx﹣2y+
k＝0 外，
∴
，
即
，
即0＜k＜1 或k＞4．
故选：C．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题．
36．已知以点A（2，﹣3）为圆⼼，半径⻓等于5 的圆O，则点M（5，﹣7）与圆O 的位置关系是（
）
第27⻚（共37⻚）
A．在圆内
B．在圆上
C．在圆外
D．⽆法判断
【分析】根据两点间的距离公式求出AM 的⻓，再与半径⽐较确定点M 的位置．
【解答】解：AM＝
＝5，
所以点M 在⊙A 上．
故选：B．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，知道M，A 的坐标，求出MA 的⻓，与圆的半径进⾏⽐较，
确定点M 的位置．
37．已知点（﹣1，1）在⊙O：x2+y2﹣2x+my+m＝0 外，则实数m 的取值范围是（
）
A．（﹣2，+∞）
B．（﹣∞，2）
C．[2，+∞）
D．（﹣2，2）∪（2，+∞）
【分析】直接把点代⼊圆的⽅程的左侧，表达式⼤于0，并且圆的⽅程表示圆，即可求出m 的范围．
【解答】解：因为点（﹣1，1）在圆x2+y2﹣2x+my+m＝0 外，
所以1+1+m+2+m＞0，解得m＞﹣2，
4+m2﹣4m＞0，解得m≠2，
综上，m∈（﹣2，2）∪（2，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，注意圆的⽅程表示圆的条件的应⽤，考查计算能⼒．
38．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，已知P 是圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1 上的动点．若A（﹣a，0），B（a，0），
a≠0，则
的最⼤值为（
）
A．16
B．12
C．8
D．6
【分析】根据题意得到
，
，即可得到答案．
【解答】解：因为
，
，
所以
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了向量数量积的性质在最值求解中的应⽤，还考查了圆的性质的应⽤，属于基础
题．
39．已知圆x2+y2＝4 与圆x2+y2﹣8x+4y+16＝0 关于直线l 对称，则直线l 的⽅程为（
）
A．2x+y﹣3＝0
B．x﹣2y﹣8＝0
C．2x﹣y﹣5＝0
D．x+2y＝0
第28⻚（共37⻚）
【分析】根据对称可知l 是圆C1和圆C2圆⼼连线的垂直平分线，利⽤垂直关系求解斜率，由点斜式⽅
程即可．
【解答】解：圆
，圆⼼C1（0，0），半径r1＝2，
，圆⼼C2（4，﹣2），半径r2＝2，
由题意知，l 是圆C1和圆C2圆⼼连线的垂直平分线，
∵C1（0，0），C2（4，﹣2），C1C2的中点（2，﹣1），
圆⼼C1C2连线的斜率为
，则直线l 的斜率为2，
故l 的⽅程：y+1＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣5＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了两直线垂直时的斜率关系，考查了直线的点斜式⽅程，属于中档题．
40．圆M：x2+y2+6x﹣11＝0 关于直线y＝x 对称的圆的⽅程为（
）
A．x2+y2+6x﹣11＝0
B．x2+y2﹣6x﹣6y﹣2＝0
C．x2+y2+6y﹣11＝0
D．x2+y2﹣12y﹣11＝0
【分析】求出点M 关于直线y＝x 对称点N，结合对称后的圆的半径不变，写出对称圆的标准⽅程，再
化成⼀般⽅程即可得到本题的答案．
【解答】解：圆M：x2+y2+6x﹣11＝0，即（x+3）2+y2＝20，圆⼼为M（﹣3，0），半径r＝
．
设点M（﹣3，0）关于直线y＝x 对称点为N（a，b），则
，解得
，即N（0，﹣3），
所以所求对称的圆以N 为圆⼼，半径为
，⽅程为x2+（y+3）2＝20，即x2+y2+6y﹣11＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的⽅程及其性质、轴对称的性质等知识，考查了计算能⼒，属于基础题．
41．圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 关于直线l：y＝x﹣1 对称后的圆的⽅程为（
）
A．（x﹣2）2+y2＝2
B．（x+2）2+y2＝2
C．x2+（y﹣2）2＝2
D．x2+（y+2）2＝2
【分析】由圆⽅程求出圆⼼和半径，再求出圆⼼关于直线的对称点的坐标，即可求出对称圆的⽅程．
【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，则圆⼼C（1，1），半径r＝
，
设圆⼼C（1，1）关于直线l：y＝x﹣1 对称的点为C′（a，b），
第29⻚（共37⻚）
则
，
解得a＝2，b＝0．
∴圆C 关于直线l：y＝x﹣1 对称的圆的⽅程为（x﹣2）2+y2＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了关于点、直线对称的圆的⽅程，是基础题．
42．如果圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）关于直线y＝2x 对称，那么（
）
A．D＝2E
B．E＝2D
C．E+2D＝0
D．D＝E
【分析】由题得圆⼼在直线y＝2x 上，代⼊计算即可得解．
【解答】解：因为圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）的圆⼼为
，
由圆的对称性知，圆⼼在直线y＝2x 上，
故有
，即E＝2D．
故选：B．
【点评】本题考查圆关于直线的对称性的应⽤，属于基础题．
43．圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 与圆N 关于直线x﹣y＝0 对称，则圆N 的⽅程为（
）
A．（x+1）2+（y+2）2＝1
B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y+1）2＝1
D．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1
【分析】根据对称性求得圆M 的圆⼼和半径，进⽽求得圆N 的⽅程．
【解答】解：圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 的圆⼼为（2，1），半径为1，
点（2，1）关于直线x﹣y＝0 的对称点是（1，2），所以圆N 的圆⼼是（1，2），半径是1，
所以圆N 的⽅程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：点关于线的对称，圆的⽅程的求法，主要考查学⽣的理解能⼒和计算能
⼒，属于基础题．
44．已知圆M：x2+（y+1）2＝1 与圆N：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1 关于直线l 对称，则l 的⽅程为（
）
A．x+2y﹣3＝0
B．x﹣2y+1＝0
C．x﹣2y﹣1＝0
D．2x+y﹣3＝0
【分析】求出两圆的圆⼼，结合圆⼼的对称关系进⾏求解即可．
【解答】解：由圆M：x2+（y+1）2＝1 与圆N：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1 得M（0，﹣1），N（2，3），
第30⻚（共37⻚）
则MN 的中点的坐标为（1，1），
．
由圆M 与圆N 关于l 对称，得l 的斜率为
．
因为MN 的中点在l 上，
所以
，
即x+2y﹣3＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线⽅程的求解，根据圆与圆的对称性，求出直线的斜率是解决本题的关键，是
基础题．
45．已知圆C：x2+y2＝25，则圆C 关于点（﹣3，4）对称的圆的⽅程为（
）
A．（x+3）2+（y﹣4）2＝16
B．（x+3）2+（y﹣4）2＝25
C．（x+6）2+（y﹣8）2＝16
D．（x+6）2+（y﹣8）2＝25
【分析】两圆关于点对称，两圆半径相等，圆⼼关于点也对称．
【解答】解：圆C：x2+y2＝25 的圆⼼为C（0，0），半径为5，
所以圆C 关于点（﹣3，4）对称的圆的圆⼼为（﹣6，8），半径为5，
所以所求圆的⽅程为：（x+6）2+（y﹣8）2＝25．
故选：D．
【点评】本题考查圆的⽅程，考查直线与圆的位置关系，考查学⽣的计算能⼒，属于基础题．
46．圆x2+y2+4x﹣1＝0 关于点（0，0）对称的圆的标准⽅程为（
）
A．x2+y2﹣4x﹣1＝0
B．x2+（y﹣2）2＝5
C．x2+y2+8x+15＝0
D．（x﹣2）2+y2＝5
【分析】先将圆的⽅程化为标准⽅程得到圆⼼和半径，再求出圆⼼关于（0，0）的对称点即可得到对称
的圆的标准⽅程．
【解答】解：由题意可得圆的标准⽅程为（x+2）2+y2＝5，
所以圆⼼为（﹣2，0），半径为
，
因为点（﹣2，0）关于点（0，0）的对称点为（2，0），
所以所求对称圆的标准⽅程为（x﹣2）2+y2＝5．
故选：D．
【点评】本题考查圆的⽅程，考查对称点坐标的求法，⽐较基础．
47．若圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0 与圆x2+y2＝1 关于直线y＝x﹣1 对称，过点C（﹣a，a）的圆P 与y 轴相切，
第31⻚（共37⻚）
则圆⼼P 的轨迹⽅程为（
）
A．y2﹣4x+4y+8＝0
B．y2﹣2x﹣2y+2＝0
C．y2+4x﹣4y+8＝0
D．y2﹣2x﹣y﹣1＝0
【分析】求出两个圆的圆⼼坐标，两个半径，利⽤两个圆关于直线的对称知识，求出a 的值，然后求出
过点C（﹣a，a）的圆P 与y 轴相切，就是圆⼼到C 的距离等于圆⼼到y 轴的距离，即可求出圆⼼P 的
轨迹⽅程．
【解答】解：圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0 的圆⼼（
），
因为圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0 与圆x2+y2＝1 关于直线y＝x﹣1 对称，
所以（
）满⾜直线y＝x﹣1 ⽅程，解得a＝2，
过点C（﹣2，2）的圆P 与y 轴相切，圆⼼P 的坐标为（x，y），
所以
解得：y2+4x﹣4y+8＝0，
故选：C．
【点评】本题是中档题，考查圆关于直线对称的圆的⽅程，动圆圆⼼的轨迹⽅程问题，考查转化思想，
按照轨迹⽅程求法步骤解答，是常考题．
48．圆C：x2+y2+2x﹣4y+4＝0 关于直线y＝x﹣1 对称圆C′的⽅程为（
）
A．（x﹣1）2+（y+1）2＝9
B．（x﹣4）2+（y+3）2＝9
C．（x﹣2）2+（y+3）2＝1
D．（x﹣3）2+（y+2）2＝1
【分析】将圆C 的⽅程化为标准⽅程，得出圆⼼、半径，根据已知求出对称点C′的坐标，即可得出答案．
【解答】解：将圆C 的⽅程化为标准⽅程：（x+1）2+（y﹣2）2＝1，
∴圆⼼C（﹣1，2），半径r＝1，
设圆C′的圆⼼C′（x0，y0），半径为r1，
∵C（﹣1，2）与C′（x0，y0）关于直线y＝x﹣1 对称，
∴
，解得
，
∴C′（3，﹣2），⼜由对称知半径r1＝r＝1，
∴圆C′的⽅程为（x﹣3）2+（y+2）2＝1．
故选：D．
第32⻚（共37⻚）
【点评】本题考查圆与直线的位置关系，属于中档题．
49．已知圆（x+2）2+（y﹣2）2＝4 关于直线l：x﹣y+2＝0 对称的圆的⽅程为（
）
A．（x+1）2+（y﹣2）2＝4
B．x2+（y﹣2）2＝4
C．x2+y2＝4
D．（x+1）2+y2＝4
【分析】求出圆⼼C（﹣2，2）关于直线l 的对称点的坐标，即可得出所求圆的⽅程．
【解答】解：圆（x+2）2+（y﹣2）2＝4 的圆⼼为C（﹣2，2），半径为2，
设点C（﹣2，2）关于直线l 的对称点为A（a，b），
因为线段AC 的中点
在直线l 上，则
，即a＝b，
⼜因为AC⊥l，且直线l 的斜率为1，则
，解得a＝b＝0．
故所求圆的⽅程为x2+y2＝4．
故选：C．
【点评】本题考查对称问题，属于中档题．
50．已知圆C：x2+y2＝4，则圆C 关于直线l：x﹣y﹣3＝0 对称的圆的⽅程为（
）
A．x2+y2﹣6x+6y+14＝0
B．x2+y2+6x﹣6y+14＝0
C．x2+y2﹣4x+4y+4＝0
D．x2+y2+4x﹣4y+4＝0
【分析】设圆⼼C（0，0）关于直线l：x﹣y﹣3＝0 的对称点为D（a，b），则由垂直和中点在轴上2 个
条件，解⽅程组求得对称圆的圆⼼D 的坐标，即可求得对称圆的⽅程．
【解答】解：设圆⼼C（0，0）关于直线l：x﹣y﹣3＝0 的对称点为D（a，b），
则由
⇒
；
∴对称圆的⽅程为（x﹣3）2+（y+3）2＝4⇒x2+y2﹣6x+6y+14＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查求⼀个圆关于⼀条直线的对称圆的⽅程的⽅法，属于基础题．
51．直线
与圆（x﹣1）2+（y+3）2＝16 的位置关系是（
）
A．相交且过圆⼼
B．相交但不过圆⼼
C．相切
D．相离
【分析】由圆的⽅程找出圆⼼坐标与半径r，利⽤点到直线的距离公式求出圆⼼到直线的距离d，与半
径⽐较⼤⼩即可得到直线与圆的位置关系，再判断圆⼼是否在直线上即可．
第33⻚（共37⻚）
【解答】解：由圆的⽅程得到圆⼼（1，﹣3），半径r＝4，
∵圆⼼（1，﹣3）到直线y＝x，即3x﹣4y＝0 的距离d＝
＝3＜4＝r，且﹣3≠
×1，
∴直线与圆的位置关系是相交但不过圆⼼．
故选：B．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d 与r ⼤⼩来判断，当d＞r 时，直线
与圆相离；当d＜r 时，直线与圆相交；当d＝r 时，直线与圆相切（其中d 为圆⼼到直线的距离，r 为圆
的半径）．
52．在平⾯直⻆坐标系中，直线l：3x﹣y﹣6＝0 与圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0 的位置关系是（
）
A．相离
B．相切
C．直线与圆相交但不经过圆⼼
D．直线经过圆⼼
【分析】求出已知圆的圆⼼为C（1，2），半径r＝
．利⽤点到直线的距离公式，算出点C 到直线直
线l 的距离d，可得答案．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y＝0，可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5
故圆C 的圆⼼为C（1，2），半径r＝
，
∵点C 到直线直线3x﹣y﹣6＝0 的距离d＝
＝
∈（0，
），
故直线l：3x﹣y﹣6＝0 与圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0 相交，但不经过圆⼼，
故选：C．
【点评】本题给出直线与圆的⽅程，求直线与圆的位置关系，着重考查点到直线的距离公式、圆的⽅程
和直线与圆的位置关系等知识．
53．直线ax﹣y+2a＝0 与圆x2+y2＝9 的位置关系是（
）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不确定
【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系．
【解答】解：直线ax﹣y+2a＝0 恒过定点（﹣2，0），⽽（﹣2，0）满⾜22+02＜9，所以直线与圆相交．
故选：B．
【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，判断关系的⽅法是点在圆的内部与外部或圆上是解
题的关键．
54．对任意的实数k，直线y＝kx+1 与圆x2+y2＝2 的位置关系⼀定是（
）
第34⻚（共37⻚）
A．相离
B．相切
C．相交但直线不过圆⼼
D．相交且直线过圆⼼
【分析】对任意的实数k，直线y＝kx+1 恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2＝2 内，故可得
结论．
【解答】解：对任意的实数k，直线y＝kx+1 恒过点（0，1），且斜率存在
∵（0，1）在圆x2+y2＝2 内
∴对任意的实数k，直线y＝kx+1 与圆x2+y2＝2 的位置关系⼀定是相交但直线不过圆⼼
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线y＝kx+1 恒过点（0，1），且斜率存在．
55．已知M（x0，y0）是圆x2+y2＝a2外任意⼀点，则直线x0x+y0y＝a2与该圆的位置关系是（
）
A．相切
B．相交
C．相离
D．由点（x0、y0）的位置决定
【分析】由题意可得x02+y02＞a2，圆⼼O 到直线x0x+y0y＝a2与的距离为d，根据d ⼩于半径，可得直线
和圆相交．
【解答】解：∵点M（x0，y0）是圆x2+y2＝a2 （a＞0）外⼀点，∴x02+y02＞a2．
圆⼼O 到直线x0x+y0y＝a2与的距离为d＝
＜a（半径），
故直线和圆相交，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断⽅法，点到直线的距离公式的应⽤，属于中档题．
56．过点P（﹣2，3）作斜率为﹣2 的直线，若光线沿该直线传播经x 轴反射后与圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2
＝r2（r＞0）相切，则r＝（
）
A．
B．
C．2
D．
【分析】根据题意，反射光线所在直线经过点P′（﹣2，﹣3），且斜率为2，求出其⽅程，然后根据直线
与圆相切列式，算出圆C 的半径r，即可得到本题的答案．
【解答】解：点P（﹣2，3）关于x 轴的对称点为P′（﹣2，﹣3），
过点作斜率为﹣2 的直线，若光线沿该直线传播经x 轴反射，反射光线所在直线经过点P′（﹣2，﹣3），
且斜率为2，
第35⻚（共37⻚）
可得反射光线所在直线为y+3＝2（x+2），即2x﹣y+1＝0，
由2x﹣y+1＝0 与圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）相切，
可知圆C 的半径等于点C（3，2）到直线2x﹣y+1＝0 的距离，即r＝d＝
．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线的⽅程及其性质、点到直线的距离公式及其应⽤、直线与圆的位置关系等知
识，属于中档题．
57．若直线ax+by＝1（ab≠0）经过点M（cosα，sinα），则（
）
A．
B．
C．a2+b2≤1
D．a2+b2≥1
【分析】由点M（cosα，sinα）可知点M 在单位圆上运动，由题意可得直线和单位圆有公共点，借助圆
⼼到直线的距离与半径的关系可求．
【解答】解：因为cos2α+sin2α＝1，
所以点M 在单位圆x2+y2＝1 上，
因为直线ax+by＝1（ab≠0）经过点M，
所以直线ax+by＝1（ab≠0）与单位圆有公共点，
所以圆⼼到直线的距离为
，可得a2+b2≥1．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能⼒，属于中档题．
58．若曲线
与直线kx+3k﹣y﹣1＝0 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】曲线
是半圆，直线kx+3k﹣y﹣1＝0 恒过定点P（﹣3，﹣1），画出图形，求解两个交
点时直线的斜率及过定点与半圆相切的直线的斜率，数形结合得答案．
【解答】解：曲线
得x2+y2＝1（y≥0）是以原点为圆⼼半径为1 的上半个圆，
直线kx+3k﹣y﹣1＝0 过定点P（﹣3，﹣1），斜率为k，如图所示，
第36⻚（共37⻚）
由图知，当直线经过A（﹣1，0）点时恰与曲线有两个交点，逆时针旋转到与曲线相切时交点变为⼀个，
由直线与圆相切得
，由切点在第⼆象限解得
，
，
曲线
与直线kx+3k﹣y﹣1＝0 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是
．
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
59．已知圆C：x2+y2＝1，直线l：x﹣y+c＝0，则“
”是“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于
”
的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
【分析】根据直线与圆的位置关系，对两个条件进⾏正反推理论证，即可得到本题的答案．
【解答】解：对于圆C：x2+y2＝1，圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于
，
等价于直线l：x﹣y+c＝0 到圆⼼的距离d＝
，解得c＝
．
因此，由“
”可以推出“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于
”，
反之，由“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于
”不能推出“
”．
第37⻚（共37⻚）
综上所述，“
”是“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于
”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系、充要条件的定义与判断等知识，属
于中档题．
⼆．多选题（共1 ⼩题）
（多选）60．若P 为圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+9＝0 上任意⼀点，点Q（1，2），则|PQ|的取值可以为（
）
A．0.6
B．2
C．3.41
D．3.42
【分析】根据已知可求出圆⼼坐标和半径，进⽽可求出圆⼼到点Q 的距离CQ，根据圆上动点到点的最
近距离为r﹣CQ，圆上动点到点的最远距离为CQ+r，可得线段|PQ|⻓度的范围，再判断选项即可．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+9＝0 化为标准⽅程得（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4，
半径r＝2，C（2，3），
，
所以|PQ|的取值区间为
．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，是基础题．
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第12⻚（共35⻚）
直线与圆篇—题型23～题型27 答案
⼀．选择题（共51 ⼩题）
1．过点（2，﹣1）作圆x2+y2＝5 的切线，其⽅程是（
）
A．x﹣2y﹣4＝0
B．2x﹣y﹣5＝0
C．2x+y﹣3＝0
D．2x﹣y﹣5＝0 或x﹣2y+4＝0
【分析】判断切线的斜率是否存在，设出切线⽅程，利⽤圆⼼到直线的距离等于半径求解即可．
【解答】解：若切线斜率不存在，此时直线⽅程为x＝2，到圆⼼即原点的距离为2，不符合，所以切线
斜率存在，
设过点（2，﹣1）切线⽅程为：y＝k（x﹣2）﹣1，则有
，解得k＝2，
所以切线⽅程为y＝2（x﹣2）﹣1，即2x﹣y﹣5＝0，
故选：B．
【点评】本题考查圆的切线⽅程的求法，考查分类讨论思想以及计算能⼒．
2．平⾏于直线2x+y+1＝0 且与圆x2+y2＝5 相切的直线的⽅程是（
）
A．2x+y+5＝0 或2x+y﹣5＝0
B．2x+y+
＝0 或2x+y﹣
＝0
C．2x﹣y+5＝0 或2x﹣y﹣5＝0
D．2x﹣y+
＝0 或2x﹣y﹣
＝0
【分析】设出所求直线⽅程，利⽤圆⼼到直线的距离等于半径，求出直线⽅程中的变量，即可求出直线
⽅程．
【解答】解：设所求直线⽅程为2x+y+b＝0（b≠1），
所以
＝
，所以b＝±5，
所以所求直线⽅程为：2x+y+5＝0 或2x+y﹣5＝0
故选：A．
【点评】本题考查两条直线平⾏的判定，圆的切线⽅程，考查计算能⼒，是基础题．
3．由圆x2+y2＝1 外⼀点P（2，1）引圆的切线，切线⻓为（
）
A．
B．2
C．1
D．4
【分析】利⽤勾股定理可求切线⻓．
【解答】解：圆x2+y2＝1 的圆⼼坐标为O（0，0），半径为1，则OP＝
，
∴切线⻓为
＝2．
第13⻚（共35⻚）
故选：B．
【点评】本题考查圆的切线，考查勾股定理的运⽤，属于基础题．
4．由直线y＝x+2 上的点向圆（x﹣2）2+（y+2）2＝1 引切线，则切线⻓的最⼩值为（
）
A．
B．4
C．3
D．
【分析】由题意画出图形，在直⻆三⻆形CMP 中，由斜边最短则直⻆边最短可得，当P 为过圆⼼作直
线y＝x+2 的垂线的垂⾜时切线最短，然后由点到直线的距离公式求出PC，再利⽤勾股定理得答案．
【解答】解：如图，
过直线y＝x+2 上的点P 向圆（x﹣2）2+（y+2）2＝1 引切线PM，
连接CM，要使切线PM 最⼩，
则直线y＝x+2 上的点P 与圆⼼C 的距离最⼩，
圆⼼C（2，﹣2）到直线y＝x+2 的距离d＝
．
∴切线⻓的最⼩值为
．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的切线⽅程，考查了数形结合的解题思想⽅法，是中档题．
5．已知点P（x，y）是直线kx+y+4＝0（k＞0）上⼀动点，PA，PB 是圆C：x2+y2﹣2y＝0 的两条切线，A，B
是切点，若四边形PACB 的最⼩⾯积是2，则k 的值为（
）
A．3
B．
C．
D．2
【分析】先求圆的半径，四边形PACB 的最⼩⾯积是2，转化为三⻆形PBC 的⾯积是1，求出切线⻓，
再求PC 的距离也就是圆⼼到直线的距离，可解k 的值．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y＝0 的圆⼼（0，1），半径是r＝1，
由圆的性质知：S 四边形PACB＝2S△PBC，四边形PACB 的最⼩⾯积是2，
∴S△PBC 的最⼩值＝1＝rd（d 是切线⻓）∴d 最⼩值＝2
第14⻚（共35⻚）
圆⼼到直线的距离就是PC 的最⼩值，
∵k＞0，∴k＝2
故选：D．
【点评】本题考查直线和圆的⽅程的应⽤，点到直线的距离公式等知识，是中档题．
6．已知圆M：（x﹣4）2+y2＝4，点P 为直线x﹣y＝0 上的动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A，
B，则|AB|的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由圆的切线性质可知PA⊥AM，PB⊥BM，AB⊥PM，由⾯积相等和勾股定理可得|AB|＝
，由M 到直线x﹣y＝0 的距离即为|PM|的最⼩值即可求得．
【解答】解：因为PA，PB 是圆M 的切线，切点分别为A，B，
所以PA⊥AM，PB⊥BM，AB⊥PM，
所以四边形APBM 的⾯积为2S△PAM＝
＝
，
所以
＝
＝
＝
＝
，
当|PM|取得最⼩值时，|AB|有最⼩值，
当PM 垂直于直线x﹣y＝0 时，|PM|最⼩，且
，
所以
＝
．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
7．已知P 是直线l：x+y﹣7＝0 上任意⼀点，过点P 作两条直线与圆C：（x+1）2+y2＝4 相切，切点分别为A，
B．则|AB|的最⼩值为（
）
第15⻚（共35⻚）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据直线与圆相切的⼏何性质可知，当|PC|取得最⼩值时，cos∠ACP 最⼤，|AB|的值最⼩，当
PC⊥l 时，|PC|取得最⼩值，进⽽可求此时
．
【解答】解：已知P 是直线l：x+y﹣7＝0 上任意⼀点，过点P 作两条直线与圆C：（x+1）2+y2＝4 相切，
切点分别为A，B，
圆C 是以C（﹣1，0）为圆⼼，2 为半径的圆，
由题可知，当∠ACP 最⼩时，|AB|的值最⼩，
，
当|PC|取得最⼩值时，cos∠ACP 最⼤，∠ACP 最⼩，
点C 到直线l 的距离
，
故当
时，cos∠ACP 最⼤，且最⼤值为
，
此时
，则
．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆相切的⼏何性质，属于中档题．
8．过圆x2+y2＝4 上⼀点P 作圆O：x2+y2＝m2（m＞0）的两条切线，切点分别为A，B，若
，则
实数m＝（
）
A．
B．
C．1
D．2
【分析】根据题意，由圆的⽅程求出圆的圆⼼和半径，作出草图，由圆的切线性质分析可得|OP|＝2|OA|，
据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，如图：x2+y2＝4 的圆⼼为（0，0），半径R＝2，即|OP|＝2，
圆O：x2+y2＝m2，圆⼼为（0，0），半径r＝m，则|OA|＝|OB|＝m，
若
，则∠OPA＝
，
⼜由OA⊥AP，则|OP|＝2|OA|，则m＝1，
故选：C．
第16⻚（共35⻚）
【点评】本题考查圆的切线的性质，注意分析两圆半径的关系，属于基础题．
9．经过P（2，3）向圆x2+y2＝4 作切线，切线⽅程为（
）
A．5x﹣12y+26＝0
B．13x﹣12y+10＝0
C．5x﹣12y+26＝0 或x＝2
D．13x﹣12y+10＝0 或x＝2
【分析】根据切线的斜率是否存在进⾏分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案．
【解答】解：（1）当切线的斜率不存在时，直线x＝2 是圆的切线；
（2）当切线斜率存在时，设切线⽅程为l：y﹣3＝k（x﹣2），
由（0，0）到切线距离为
，得
，
此时切线⽅程为
，即5x﹣12y+26＝0．
故选：C．
【点评】本题考查圆的切线⽅程的求解，⽅程思想，化归转化思想，属中档题．
10．过点M（﹣3，3）作圆C：（x﹣1）2+y2＝25 的切线，则切线⽅程为（
）
A．4x+3y+3＝0
B．4x﹣3y+21＝0
C．x+y＝0
D．x﹣y+6＝0
【分析】先求kMC，由切线与MC 垂直可得切线斜率，由点斜式即可得切线⽅程．
【解答】解：由题可知点（﹣3，3）在圆C 上，
，则切线的斜率为
，
所以切线⽅程为
，化简可得4x﹣3y+21＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线⽅程，考查运算求解能⼒，属于基础题．
11．在平⾯直⻆坐标系中，过点P（3，0）作圆
＝4 的两条切线，切点分别为A，
B．则直线AB 的⽅程为（
）
第17⻚（共35⻚）
A．
B．
C．
D．
【分析】求出以（3，0）、
为直径的圆的⽅程，将两圆的⽅程相减可得公共弦AB 的⽅程．
【解答】解：圆
的圆⼼为
，半径为2，
以P （3 ，0 ）、
为直径，则PO 的中点坐标为
，
，
∴以N 为圆⼼，PO 为直径的圆的⽅程为
，
因为过点P（3，0）圆
的两条切线切点分别为A，B，
∴AB 是两圆的公共弦，
将两圆的⽅程相减可得公共弦AB 的⽅程为：
．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的切线⽅程，考查运算求解能⼒，属于中档题．
12．若过点P（0，1）可作圆x2+y2﹣2x﹣4y+a＝0 的两条切线，则a 的取值范围是（
）
A．（3，+∞）
B．（﹣1，3）
C．（3，5）
D．（5，+∞）
【分析】圆外的点作圆的切线有两条，由此可列不等式．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣4y+a＝0，即圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣a，
则圆⼼为（1，2），5﹣a＞0，∴a＜5．由于过点P（0，1）作出圆的两条切线，
则点P 在圆外，∴2＞5﹣a，∴a＞3，∴3＜a＜5．
则a 的取值范围是（3，5）．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
13．已知半径为1 的圆经过点A（2，3），过点M（﹣2，0）向圆作切线，则切线⻓的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据切线的性质，三点共线问题即可得．
【解答】解：设圆⼼为O，切点为B，则OB＝1，切线⻓为
，
切线⻓最⼤，只需OM 最⼤，当O，A，M 三点共线时OM 最⼤，
AM＝
＝5，则OM 最⼤为5+1＝6，
则最⼤切线⻓为
＝
．
第18⻚（共35⻚）
故选：A．
【点评】本题考查圆的性质，最值问题，属于中档题．
14．过圆O：x2+y2＝4 外⼀点P（3，4）作圆O 的切线，切点分别为A，B，则|AB|＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意作出图形，利⽤切线的性质算出PA 的⻓，然后根据圆的对称性质加以计算，可得线
段AB 的⻓．
【解答】解：圆O：x2+y2＝4 的圆⼼为O（0，0），半径r＝2，
如图所示，可知
，所以
，
根据圆的对称性，可知OP⊥AB，则
，解得
．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆的⽅程及其性质、直线与圆的位置关系、解直⻆三⻆形等知识，属于基础题．
15．从点P（3，﹣1）向圆x2+y2﹣4y﹣5＝0 作切线PT（T 为切点），则|PT|等于（
）
A．5
B．3
C．3
D．
【分析】先求出圆⼼与半径，再结合两点之间的距离公式，以及勾股定理，即可求解．
【解答】解：圆x2+y2﹣4y﹣5＝0，即x2+（y﹣2）2＝9，圆⼼为C（0，2），半径r 为3，
|CP|＝
，
．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的切线⽅程的求解，属于基础题．
16．已知P（x0．，y0）是l：x+y﹣6＝0 上⼀点，过点P 作圆O：x2+y2＝16 的两条切线，切点分别为A，B，
则当直线AB 与l 平⾏时，直线AB 的⽅程为（
）
第19⻚（共35⻚）
A．x+y＝4
B．x+y＝8
C．3x+3y＝16
D．3x+3y＝8
【分析】利⽤直线与直线、直线与圆的位置关系即得答案．
【解答】解：因为以OP 为直径的圆的⽅程为
，
⼜圆O：x2+y2＝16，两圆⽅程相减可得两切点所在直线AB 的⽅程为x0x+y0y＝16，
由
，
可得
，
即得直线AB 的⽅程为3x+3y＝16．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的⽅程的应⽤，属于中档题．
17．已知圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，过点P（1，3）作圆的切线，则该切线的⼀般式⽅程为（
）
A．x+2y﹣7＝0
B．x﹣2y+5＝0
C．2x+y﹣5＝0
D．2x﹣y+1＝0
【分析】由题意点P（1，3）在圆上，故由直线CP 的斜率可得切线的斜率，进⽽由点斜式化为⼀般式
⼦即可得解．
【解答】解：因为圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5 的圆⼼坐标为C（2，1），
且点P（1，3）的坐标满⾜（1﹣2）2+（3﹣1）2＝5，
这表明点P（1，3）在圆上，
所以直线CP 的斜率为
，
过点P（1，3）的切线的斜率为
，
所以该切线⽅程为
，
化为⼀般式得x﹣2y+5＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题．
18．过点A（﹣1，4）作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4 的切线，切点为B，则切线段AB ⻓为（
）
A．
B．3
C．
D．
【分析】设圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4 的圆⼼为点M，先求出AM 的⻓，再利⽤勾股定理求解．
第20⻚（共35⻚）
【解答】解：设圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4 的圆⼼为点M，半径为r，
则M（2，3），r＝2，
∵点A（﹣1，4），
∴AM＝
＝
，
∴AB＝
＝
＝
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线与圆相切的位置关系，考查了求切线的⻓，属于基础题．
19．直线x+y﹣2＝0 与圆x2+y2＝4 交于A，B 两点，则弦AB 的⻓是（
）
A．
B．
C．2
D．2
【分析】根据题意，分析圆的圆⼼与半径，求出圆⼼到直线的距离，结合直线与圆的位置关系分析可得
答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝4 的圆⼼为（0，0），半径r＝2，
圆⼼到直线x+y﹣2＝0 的距离d＝
＝
，
则|AB|＝2
＝2
；
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦⻓的计算，属于基础题．
20．直线y＝3x﹣6 截圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 所得的弦⻓|AB|＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求圆⼼坐标及圆的半径，再求圆⼼到直线的距离，结合直线与圆的相交弦⻓公式求弦⻓．
【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 的半径r＝
，圆⼼坐标为（1，2），
圆⼼（1，2）到直线3x﹣y﹣6＝0 的距离
，
所以
．
故选：C．
【点评】本题考查圆的弦⻓问题，属于中档题．
21．直线
被圆x2+y2＝4 截得的弦⻓为（
）
A．
B．2
C．
D．4
【分析】求出圆⼼到直线的距离，利⽤⼏何法求出弦⻓即可．
第21⻚（共35⻚）
【解答】解：圆x2+y2＝4 的圆⼼到直线
的距离d＝
，
半径r＝2，
所以弦⻓为2
＝2，
故选：B．
【点评】考查直线与圆的位置关系，弦⻓的计算，中档题．
22．已知直线x+y+2＝0 与圆x2+y2＝9 相交于A、B 两点，则弦AB 的⻓为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】易得圆的圆⼼和半径，由距离公式可得圆⼼到直线的距离d，由勾股定理可得|AB|．
【解答】解：∵圆x2+y2＝9 的圆⼼为（0，0），半径r＝3，
∴圆⼼到直线x+y+2＝0 的距离d＝
＝
，
∴弦⻓|AB|＝2
＝2
．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查勾股定理的运⽤，属基础题．
23．若直线2x+y+m＝0 与圆x2+2x+y2﹣2y﹣3＝0 相交所得弦⻓为
，则m＝（
）
A．1
B．2
C．
D．3
【分析】将圆的⽅程化简成标准⽅程，得圆⼼坐标（﹣1，1），半径为
，所以直线2x+y+m＝0 过圆⼼，
即可得出答案．
【解答】解：圆x2+2x+y2﹣2y﹣3＝0 的标准⽅程（x+1）2+（y﹣1）2＝5，
圆⼼坐标为（﹣1，1），半径为
，
因为直线2x+y+m＝0 与圆x2+2x+y2﹣2y﹣3＝0 相交所得弦⻓为
，
所以直线2x+y+m＝0 过圆⼼，
得2×（﹣1）+1+m＝0，即m＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的⽅法，属于基础题．
24．若点P（1，1）为圆x2+y2﹣6x＝0 的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的⽅程为（
）
A．2x+y﹣3＝0
B．x+2y﹣3＝0
C．x﹣2y+1＝0
D．2x﹣y﹣1＝0
【分析】设圆x2+y2﹣6x＝0 的圆⼼为C，先求得直线CP 的斜率，得到直线AB 的斜率，再由点斜式即可
得出弦AB 的⽅程．
【解答】解：设圆x2+y2﹣6x＝0 的圆⼼为C，则C（3，0），半径r＝3，
第22⻚（共35⻚）
则直线CP 的斜率为kCP＝
＝﹣，则直线AB 的斜率为kAB＝2，
故直线AB 的⽅程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线⽅程的求法以及弦⻓的求法，属于基础题．
25．圆
与圆
的位置关系是（
）
A．相离
B．内切
C．相交
D．外切
【分析】根据⽅程写出两圆的圆⼼坐标以及半径，结合两点距离公式，结合两圆位置关系的判别，可得
答案．
【解答】解：由
可得其圆⼼C1（2，1），半径r1＝1；
由
可得其圆⼼C2（0，1），半径r2＝2；
，r1+r2＝3，|r1﹣r2|＝1，
显然|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，所以两圆的位置关系为相交．
故选：C．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，考查转化能⼒，属于基础题．
26．已知圆x2+y2＝1 与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）外切，则r＝（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】由题意，利⽤圆和圆的位置关系，求得r 的值．
【解答】解：∵圆x2+y2＝1 与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）外切，
∴两圆的圆⼼距等于它们的半径之和，
＝1+r，
则r＝4，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆和圆的位置关系的确定⽅法，属于基础题．
27．已知A，B 分别是圆C1：x2+y2＝1 与圆
上的动点，若|AB|的最⼤
值为12，则a 的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】根据已知条件，结合两圆的位置关系，即可求解．
【解答】解：由题意知|AB|的最⼤值等于12，
第23⻚（共35⻚）
则圆C1与圆C2相内切，
圆C1：x2+y2＝1，圆
，
所以
．
⼜a≥0，
所以a＝3．
故选：D．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
28．圆
与圆
的位置关系是（
）
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
【分析】判断圆⼼距与两圆半径的⼤⼩关系，从⽽可得结论．
【解答】解：圆
的圆⼼O1（0，0），半径r＝1，圆
的圆⼼
O2（3，4），半径R＝3，
两圆⼼之间的距离|O1O2|＝5＞1+3＝4＝R+r，两圆相外离．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆与圆位置关系的判断，属于基础题．
29．已知圆O1，与圆O2的半径分别为2 和6，圆⼼距为4，则这两圆的位置关系是（
）
A．相离
B．外切
C．相交
D．内切
【分析】根据给定条件，利⽤圆⼼距与两圆半径和差⼤⼩关系判断作答．
【解答】解：依题意，圆O1与圆O2的圆⼼距4 等于圆O2的半径6 减去圆O1的半径2，
所以圆O1内切于圆O2．
故选：D．
【点评】本题考查两个圆的位置关系的判断，是基础题．
30．“
或
”是“圆
与圆
存在公切线”的（
）
A．充分⽽不必要条件
B．必要⽽不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】先求两圆内含时a 的取值范围，然后可得两圆有公切线时a 的取值范围，即可得答案．
第24⻚（共35⻚）
【解答】解：圆C1的圆⼼为（0，0），半径r1＝1，圆C2的圆⼼为（﹣a，2a），半径r2＝6，
所以两圆的圆⼼距为
，
两圆内含时，即
，解得
，
所以当两圆有公切线时，
或
，
所以“
或
”是“圆
与圆
存在公切线”的充
要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
31．已知⊙C1：2x2+2y2+4x+16y﹣16＝0，⊙C2：2x2+2y2+8x﹣8y﹣4＝0 则两圆的位置关系为（
）
A．相切
B．外离
C．相交
D．内含
【分析】直接利⽤两圆的圆⼼距和半径间的关系判断两圆的位置关系．
【解答】解：⊙C1：2x2+2y2+4x+16y﹣16＝0，整理得x2+y2+2x+8y﹣8＝0，转换为标准式为（x+1）2+（y+4）
2＝25，该圆的圆⼼为（﹣1，﹣4），半径为5；
⊙C2：2x2+2y2+8x﹣8y﹣4＝0，整理得x2+y2+4x﹣4y﹣2＝0，转换为标准式为（x+2）2+（y﹣2）2＝10，该
圆的圆⼼为（﹣2，2），半径为
；
故两圆的圆⼼距为
＝
，
由于
，故两圆相交．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：两圆的位置关系，主要考查学⽣的运算能⼒，属于基础题．
32．若圆x2﹣2ax+y2＝0 与圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0 只有⼀个交点，则实数a 的值可以是（
）
A．﹣1
B．﹣2
C．1
D．2
【分析】利⽤圆的性质、位置关系判断求解．
【解答】解：圆x2﹣2ax+y2＝0 的圆⼼为（a，0），半径为r1＝
＝|a|，
圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0 的圆⼼为（2，1），半径r2＝
＝3，
∵圆x2﹣2ax+y2＝0 与圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0 只有⼀个交点，
∴两圆内切或外切，
∵圆⼼距d＝
，
第25⻚（共35⻚）
∴
＝||a|﹣3|或
＝|a|+3，
分别把a＝﹣1，a＝﹣2，a＝1，a＝2 代⼊验证，只有a＝2 成⽴．
故选：D．
【点评】本题考查圆的性质、位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
33．已知圆C1：（x﹣3）2+（y+2）2＝1 与圆C2：（x﹣7）2+（y﹣1）2＝16，则两圆的位置关系是（
）
A．外切
B．内切
C．相交
D．相离
【分析】根据题意，由圆的⽅程求出两圆的圆⼼和半径，求出圆⼼距，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C1：（x﹣3）2+（y+2）2＝1，其圆⼼为（3，﹣2），半径R＝1，
C2：（x﹣7）2+（y﹣1）2＝16，其圆⼼为（7，1），半径r＝4，
两圆的圆⼼距|C1C2|＝
＝5＝r+R，两圆外切，
故选：A．
【点评】本题考查圆与圆位置关系的判断，涉及圆的标准⽅程，属于基础题．
34．已知圆M：x2+y2＝1 和
（m＞0）存在公共点，则m 的值不可能为（
）
A．3
B．
C．5
D．
【分析】由两圆的⽅程可得圆⼼坐标与半径，再由圆⼼距与半径的关系列式求得m 的范围，结合选项得
答案．
【解答】解：圆M：x2+y2＝1 的圆⼼M（0，0），半径r1＝1，
圆
（m＞0）的圆⼼N（
，
），半径r2＝m，
若圆M 与圆N 存在公共点，则|m﹣1|≤|MN|≤m+1，
即
，解得3≤m≤5．
结合选项可得，m 的值不可能为
．
故选：D．
【点评】本题考查圆与圆位置关系的判定及应⽤，考查运算求解能⼒，是基础题．
35．已知圆
，圆
，则圆C1与圆C2的位置关系为（
）
A．相离
B．相交
C．外切
D．内切
【分析】⾸先确定两圆的圆⼼和半径，根据圆⼼距与半径的关系判断位置关系即可．
【解答】解：圆
，故圆⼼为（1，0），半径为1；
第26⻚（共35⻚）
圆
，故圆⼼为（4，0），半径为2；
所以两圆的圆⼼距为3，
⼜圆C1的半径为1，圆C2的半径为2，且圆⼼距等于圆C1与圆C2的半径之和，
所以圆C1与圆C2的位置关系为外切．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，主要考查学⽣的运算能⼒，属于基础题．
36．已知圆
和圆
相交于A，B 两点，则弦AB 的⻓为（
）
A．
B．
C．4
D．2
【分析】判断两圆相交，求出两圆的公共线⽅程，根据圆的弦⻓的⼏何求法，即可求得答案．
【解答】解：由题意知圆
，即圆
，
圆⼼为圆O1（1，0），半径r1＝2，
圆
，即圆
，
圆⼼为圆O2（0，1），半径
，
则
，即两圆相交，
将圆
和圆
的⽅程相减，
可得直线AB 的⽅程为x﹣y+1＝0，
则O1（1，0）到直线x﹣y+1＝0 的距离为
，
故弦AB 的⻓为
．
故选：A．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，考查转化能⼒，属于中档题．
37．若圆C1：x2+y2＝4 与圆C2：（x﹣3a）2+（y﹣4a）2＝1 恰有两个公共点，则a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合两圆的半径与两圆的圆⼼距的关系，即可求解．
【解答】解：圆C1的圆⼼为C1（0，0），半径r1＝2，圆C2的圆⼼为C2（3a，4a），半径r2＝1，
则|C1C2|＝
，
第27⻚（共35⻚）
因为C1，C2恰有两个公共点，所以1＜|5a|＜3，
解得a 的取值范围是
．
故选：A．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，考查转化能⼒，属于基础题．
38．圆x2+y2＝1 与圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0 的公共弦的⻓度为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利⽤圆与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求出结果．
【解答】解：圆x2+y2＝1 与圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0，
两圆的⽅程相减得：2x﹣4y﹣2＝0，整理得：x﹣2y﹣1＝0，
所以圆⼼（0，0）到直线x﹣2y﹣1＝0 的距离d＝
，
所以公共弦⻓为
．
故选：D．
【点评】本题考查知识点：圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学⽣的运算能⼒，属于
基础题．
39．已知圆
，圆
，则两圆的公切线条数为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【分析】结合圆⼼距与两圆半径之间的关系，求出两圆的位置关系，即可求解．
【解答】解：圆
，
则圆⼼C1（﹣1，﹣1），半径
，
圆
，
则圆⼼C2（2，2），半径
，
，
故两圆的位置关系为外切，
所以两圆的公切线条数为3 条．
故选：B．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
第28⻚（共35⻚）
40．若圆C1：x2+y2＝1 与圆C2：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4 恰有⼀条公切线，则下列直线⼀定不经过点（a，b）
的是（
）
A．
B．2x﹣y+2＝0
C．
D．x﹣y+2＝0
【分析】先求出点（a，b）的轨迹⽅程，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：圆C1：x2+y2＝1，
则圆⼼C1（0，0），半径为r1＝1，
圆C2：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4，
则圆⼼C2（a，b），半径r2＝2，
圆C1：x2+y2＝1 与圆C2：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4 恰有⼀条公切线，
则两圆内切，即|C1C2|＝|r2﹣r1|＝1，即a2+b2＝1，表示以（0，0）为圆⼼，1 为半径的圆，
对于A，圆⼼（0，0）到直线的距离为
，直线与圆相交，直线经过（a，b），故A 错误；
对于B，圆⼼（0，0）到直线的距离为
，直线与圆相交，直线经过（a，b），故B 错误；
对于C，圆⼼（0，0）到直线的距离为
，直线与圆相切，直线经过（a，b），故C 错误；
对于D，圆⼼（0，0）到直线的距离为
，直线与圆相离，直线⼀定不经过（a，b），
故D 正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
41．已知圆C1：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1 与圆C2：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4 有且仅有2 条公切线，则实数a 的
取值范围是（
）
A．
B．
C．（﹣2，0）
D．
【分析】由已知结合圆与圆的位置关系即可求解．
【解答】解：由圆C1：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1 与圆C2：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4 有且仅有2 条公切线可知
两圆的位置关系为相交，
所以|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，
第29⻚（共35⻚）
即
，
平⽅得1＜a2﹣2a+5＜9，
解得
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应⽤，属于基础题．
42．圆
和圆
的公切线⽅程是（
）
A．y＝﹣x+1
B．y＝﹣x+1 或y＝x+5
C．y＝﹣x+5
D．y＝x+1 或y＝2x+5
【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆⼼连线与公
切线的关系求解出公切线的⽅程．
【解答】解：
，圆⼼C1（﹣4，1），半径
，
，圆⼼C2（﹣3，2），半径
，
因为
，
所以两圆相内切，公共切线只有⼀条，
因为圆⼼连线与切线相互垂直，
，
所以切线斜率为﹣1，
由⽅程组
解得
，
故圆C1与圆C2的切点坐标为（﹣2，3），
故公切线⽅程为y﹣3＝﹣（x+2），即y＝﹣x+1．
故选：A．
【点评】本题考查知识点：圆与圆的位置关系，主要考查学⽣的运算能⼒，属于基础题．
43．圆C1：x2+y2﹣8x﹣8y＝0 与圆C2：x2+y2+8x+4y+12＝0 公切线的条数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】判断两个圆的位置关系，然后判断公切线条数．
【解答】解：根据题意，圆C2：x2+y2+8x+4y+12＝0 即（x+4）2+（y+2）2＝8，其圆⼼为（﹣4，﹣2），半
径
；
圆C1：x2+y2﹣8x﹣8y＝0 即（x﹣4）2+（y﹣4）2＝32，其圆⼼为（4，4），半径
；
第30⻚（共35⻚）
两圆的圆⼼距|C1C2|＝
＝10＞R+r＝6
，所以两圆外离，其公切线条数有4 条．
故选：D．
【点评】本题主要考查两圆公切线的条数，判断两圆的位置关系是解决本题的关键，属于基础题．
44．已知圆x2+y2＝4 与圆（x﹣5）2+y2＝9，则两圆公切线的条数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据题意，分析两个圆的圆⼼和半径，可得两圆外切，进⽽分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝4 的圆⼼为（0，0），半径为2，
圆（x﹣5）2+y2＝9 的圆⼼为（5，0），半径为3，
圆⼼距d＝5＝3+2，两圆外切，有3 条公切线．
故选：C．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准⽅程，属于基础题．
45．若⊙C1：x2+y2﹣2x﹣2y﹣14＝0，⊙C2：x2+y2+4x+6y+4＝0，则⊙C1与⊙C2公切线的条数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据已知条件，结合两圆的圆⼼距与两圆半径的关系，求出两圆的位置关系，即可求解．
【解答】解：⊙C1：x2+y2﹣2x﹣2y﹣14＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝16，
则圆⼼C1（1，1），半径r1＝4，
⊙C2：x2+y2+4x+6y+4＝0，（x+2）2+（y+3）2＝9，
则圆⼼C2（﹣2，﹣3），半径r2＝3，
＝5，
r1﹣r2＜5＜r1+r2，
故两圆相交，
所以⊙C1与⊙C2公切线的条数为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查两圆公切线条数的求解，基础题．
46．已知圆
与圆
，若C1与C2有且仅有⼀条公切线，则
实数m 的值为（
）
A．
B．
C．±2
D．
【分析】由两圆有且仅有⼀条公切线，得到两圆内切，再求出结果即可．
【解答】解：圆
，
第31⻚（共35⻚）
可化为
，圆⼼C1（m，0），半径r1＝4；
圆
可化为
，⼼C2（0，1），半径r1＝1；
因为C1与C2有且仅有⼀条公切线，
所以两圆内切，
所以|C1C2|＝|r1﹣r2|，即
，
解得
．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，主要考查学⽣的理解能⼒和计算能⼒，属于基础题．
47．已知圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣36＝0 与圆C2：x2+y2﹣4y＝0，若C1与C2有且仅有⼀条公切线，则实数m
的值为（
）
A．
B．
C．
D．±2
【分析】求出两个圆的圆⼼与半径，利⽤已知条件列出⽅程，求解即可．
【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣36＝0 的圆⼼（m，0），半径为6，
圆C2：x2+y2﹣4y＝0 的圆⼼（0，2），半径为2，
圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣36＝0 与圆C2：x2+y2﹣4y＝0，若C1与C2有且仅有⼀条公切线，
说明两个圆内切，
可得
，
解得m＝±
．
故选：C．
【点评】本题考查两个圆的位置关系的应⽤，考查转化思想以及计算能⼒，是基础题．
48．圆⼼在直线x﹣y﹣4＝0 上，且经过两圆x2+y2+6x﹣4＝0 和x2+y2+6y﹣28＝0 的交点的圆的⽅程为（
）
A．x2+y2﹣x+7y﹣32＝0
B．x2+y2﹣x+7y﹣16＝0
C．x2+y2﹣4x+4y+9＝0
D．x2+y2﹣4x+4y﹣8＝0
【分析】设所求圆的⽅程为（x2+y2+6x﹣4）+λ（x2+y2+6y﹣28＝0）＝0，⽤λ表示出圆⼼，代⼊直线x﹣y
﹣4＝0，求出λ，从⽽求出所求．
【解答】解：根据题意，要求圆经过两圆x2+y2+6x﹣4＝0 和x2+y2+6y﹣28＝0 的交点，
设其⽅程为（x2+y2+6x﹣4）+λ（x2+y2+6y﹣28）＝0，
变形可得（1+λ）x2+（1+λ）y2+6x+6λy﹣4﹣28λ＝0，
第32⻚（共35⻚）
其圆⼼为（﹣
，
），
⼜由圆⼼在直线x﹣y﹣4＝0 上，
则有（﹣
）﹣（
）﹣4＝0，
解可得λ＝﹣7；
则圆的⽅程为：（﹣6）x2+（﹣6）y2+6x﹣42y+192＝0，
即x2+y2﹣x+7y﹣32＝0，
故选：A．
【点评】本题考查圆的标准⽅程以及圆系⽅程的应⽤，关键是设出过两圆交点的圆系⽅程．
49．过点M（2，﹣1），且经过圆x2+y2﹣4x﹣4y+4＝0 与圆x2+y2﹣4＝0 的交点的圆的⽅程为（
）
A．x2+y2+x+y﹣6＝0
B．x2+y2+x﹣y﹣8＝0
C．x2+y2﹣x+y﹣2＝0
D．x2+y2﹣x﹣y﹣4＝0
【分析】设过两个圆的交点的圆的⽅程，将点M 的坐标代⼊，求出参数的值，进⽽求出该圆的⽅程．
【解答】解：设圆x2+y2﹣4x﹣4y+4＝0 与圆x2+y2﹣4＝0 的交点的圆的⽅程（x2+y2﹣4x﹣4y+4）+λ（x2+y2
﹣4）＝0，
由题意将M 的坐标代⼊可得：（4+1﹣8+4+4）+λ（4+1﹣4）＝0，
解得：λ＝﹣5，
所以所求的圆的⽅程为：x2+y2+x+y﹣6＝0，
故选：A．
【点评】本题考查过两个圆的交点的圆的⽅程的设法及求圆的⽅程的⽅法，属于基础题．
50．经过两圆x2+y2＝9 和（x+4）2+（y+3）2＝8 的交点的直线⽅程为（
）
A．8x+6y+13＝0
B．6x﹣8y+13＝0
C．4x+3y+13＝0
D．3x+4y+26＝0
【分析】利⽤圆系⽅程，求解即可．
【解答】解：联⽴x2+y2＝9 和（x+4）2+（y+3）2＝8，作差可得：8x+6y+26＝0，即4x+3y+13＝0．
故选：C．
【点评】本题考查圆系⽅程的应⽤，考查计算能⼒．
51．过点M（2，﹣2）以及圆x2+y2﹣5x＝0 与圆x2+y2＝2 交点的圆的⽅程是（
）
A．x2+y2﹣
＝0
B．x2+y2﹣
＝0
第33⻚（共35⻚）
C．x2+y2+
＝0
D．x2+y2+
＝0
【分析】设要求的圆的⽅程是x2+y2﹣5x+λ（x2+y2﹣2）＝0，再把点M（2，﹣2）代⼊，求得λ的值，可得
要求的圆的⽅程．
【解答】解：设经过圆x2+y2﹣5x＝0 与圆x2+y2＝2 交点的圆的⽅程是x2+y2﹣5x+λ（x2+y2﹣2）＝0，
再把点M（2，﹣2）代⼊可得4+4﹣10+λ（4+4﹣2）＝0，求得λ＝，
故要求的圆的⽅程为x2+y2﹣
x﹣＝0，
故选：A．
【点评】本题主要考查利⽤圆系⽅程求所求圆的⽅程，属于基础题．
⼆．填空题（共3 ⼩题）
52．对于任意实数λ，曲线（1+λ）x2+（1+λ）y2+（6﹣4λ）x﹣16﹣6λ＝0 恒过定点
（1，±3）．
【分析】曲线（1+λ）x2+（1+λ）y2+（6﹣4λ）x﹣16﹣6λ＝0 可化为（x2+y2+6x﹣16）+λ（x2+y2﹣4x﹣6）＝
0，x2+y2+6x﹣16＝0 且x2+y2﹣4x﹣6＝0，可得恒过定点．
【解答】解：曲线（1+λ）x2+（1+λ）y2+（6﹣4λ）x﹣16﹣6λ＝0 可化为（x2+y2+6x﹣16）+λ（x2+y2﹣4x﹣6）
＝0，
∴x2+y2+6x﹣16＝0 且x2+y2﹣4x﹣6＝0，
可得恒过定点（1，±3）．
故答案为：（1，±3）．
【点评】本题考查圆系⽅程，考查学⽣分析解决问题的能⼒，属于中档题．
53．已知圆C 过直线2x+y+4＝0 和圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0 的交点，且原点在圆C 上．则圆C 的⽅程为
．
【分析】根据题意利⽤圆系⽅程，设圆C 的⽅程为x2+y2+2x﹣4y+1+λ（2x+y+4）＝0，将原点坐标代⼊解
出λ的值，即可求出圆C 的⼀般⽅程．
【解答】解：∵圆C 过直线2x+y+4＝0 和圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0 的交点，
∴设圆C 的⽅程为x2+y2+2x﹣4y+1+λ（2x+y+4）＝0，
⼜∵原点在圆C 上，
∴将原点坐标代⼊，得1+4λ＝0，解得λ＝﹣，
因此圆C 的⽅程为x2+y2+2x﹣4y+1﹣（2x+y+4）＝0，化简得
．
第34⻚（共35⻚）
故答案为：
【点评】本题给出圆C 经过已知直线与圆的交点，求圆C 的⽅程．着重考查了圆的⼀般⽅程、点与圆的
位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
54．已知圆C 经过圆x2+y2﹣1＝0 和圆x2+y2﹣x﹣y＝0 的两个交点，且圆⼼C 的横坐标为1，则圆C ⽅程为
（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1
．
【分析】根据题意，设圆C 的⽅程为x2+y2﹣1+λ（x2+y2﹣x﹣y）＝0，整理得x2+y2﹣
x﹣
y﹣
＝0．由圆⼼C 的横坐标为1 建⽴关于λ的等式，解出λ＝﹣2 即可得到所求圆C 的⽅程．
【解答】解：∵圆C 经过圆x2+y2﹣1＝0 和圆x2+y2﹣x﹣y＝0 的两个交点，
∴设圆C 的⽅程为x2+y2﹣1+λ（x2+y2﹣x﹣y）＝0，
化简得x2+y2﹣
x﹣
y﹣
＝0．
∵圆⼼C 的横坐标为1，
∴﹣×（﹣
）＝1，解之得λ＝﹣2，
由此可得圆C ⽅程为x2+y2﹣1﹣2（x2+y2﹣x﹣y）＝0，化简得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1
【点评】本题给出两个圆的⽅程，求经过它们的交点且圆⼼横坐标为1 的圆⽅程．着重考查了圆与圆的
位置关系、圆的标准⽅程与⼀般⽅程等知识，属于中档题．
三．解答题（共1 ⼩题）
55．求过圆：x2+y2﹣2x+2y+1＝0 与圆：x2+y2+4x﹣2y﹣4＝0 的交点，圆⼼在直线：x﹣2y﹣5＝0 的圆的⽅程．
【分析】根据题意设出过已知圆交点的圆系⽅程，整理得到圆⼼坐标为（﹣
，﹣
），代⼊直
线x﹣2y﹣5＝0 得到关于λ的⽅程，解出λ＝
，由此即可确定出所求圆⽅程．
【解答】解：设所求的圆为C，
∵圆C 经过圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0 与圆x2+y2+4x﹣2y﹣4＝0 的交点，
∴设圆C ⽅程为x2+y2﹣2x+2y+1+λ（x2+y2+4x﹣2y﹣4）＝0，
化简得x2+y2+
x+
y+
＝0，可得圆⼼坐标为C（﹣
，﹣
）．
∵圆⼼在直线：x﹣2y﹣5＝0 上，
∴﹣
﹣2（﹣
）﹣5＝0，解之得λ＝
．
因此，圆C 的⽅程为x2+y2﹣
x+
y+
＝0，即为所求圆的⽅程．
第35⻚（共35⻚）
【点评】本题给出经过两圆的交点且圆⼼在已知直线上的圆，求圆的⽅程．着重考查了圆的标准⽅程、
直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系等知识，属于中档题．
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第11⻚（共35⻚）
直线与圆篇—题型28～题型29 答案
⼀．选择题（共31 ⼩题）
1．圆x2+y2+4x﹣2y＝0 和圆x2+y2﹣2x﹣3＝0 交于A、B 两点，则相交弦AB 的垂直平分线的⽅程为（
）
A．6x﹣2y+3＝0
B．x+3y﹣1＝0
C．2x﹣2y+3＝0
D．x﹣3y﹣1＝0
【分析】化圆的⽅程为标准⽅程，求得圆⼼坐标，则经过两圆圆⼼的直线即为所求．
【解答】解：化圆x2+y2+4x﹣2y＝0 为（x+2）2+（y﹣1）2＝5，则圆的圆⼼坐标为（﹣2，1），
化圆x2+y2﹣2x﹣3＝0 为（x﹣1）2+y2＝4，则圆的圆⼼坐标为（1，0）．
过两圆圆⼼的直线为弦AB 的垂直平分线，
则弦AB 的垂直平分线的⽅程是
，即x+3y﹣1＝0．
故选：B．
【点评】本题考查圆与圆位置关系的应⽤，考查数学转化思想⽅法，是基础题．
2．两圆x2+y2+4x﹣4y＝0 和x2+y2+2x﹣12＝0 的公共弦所在直线的⽅程为（
）
A．x+2y﹣6＝0
B．x﹣3y+5＝0
C．x﹣2y+6＝0
D．x+3y﹣8＝0
【分析】两个圆联⽴可直接得到公共弦所在的直线⽅程．
【解答】解：两个圆的⽅程联⽴
，两式相减整理可得：x﹣2y+6＝0，
所以两个圆的公共弦所在的直线⽅程为：x﹣2y+6＝0，
故选：C．
【点评】本题考查两圆的位置关系，属于基础题．
3．圆O1：x2+y2﹣2x＝0 与圆O2：x2+y2+4y＝0 的公共弦所在的直线⽅程是（
）
A．x+2y＝0
B．x﹣2y＝0
C．2x+y＝0
D．2x﹣y＝0
【分析】两个圆的⽅程相减可得交点弦所在的直线⽅程．
【解答】解：因为x2+y2﹣2x＝0，x2+y2+4y＝0，
所以x2+y2+4y﹣（x2+y2﹣2x）＝0，整理可得x+2y＝0，
即所求直线⽅程为x+2y＝0，
故选：A．
【点评】本题考查求两个圆的相交直线的⽅程，属于基础题．
4．已知圆C1的圆⼼在x 轴上，半径为1，且过点（2，﹣1），圆C2：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝10，则圆C1，C2
第12⻚（共35⻚）
的公共弦⻓为（
）
A．
B．
C．
D．2
【分析】设圆C1的⽅程为（x﹣a）2+y2＝1，代⼊点（2，﹣1）的坐标得a＝2，从⽽圆C1的⽅程为（x﹣2）
2+y2＝1，两圆⽅程作差得4x+4y﹣7＝0，点C1到直线4x+4y﹣7＝0 的距离为
＝
，由此能求出圆
C1，C2的公共弦⻓．
【解答】解：设圆C1的⽅程为（x﹣a）2+y2＝1，代⼊点（2，﹣1）的坐标得（2﹣a）2+1＝1，
解得a＝2，故圆C1的⽅程为（x﹣2）2+y2＝1，化为⼀般⽅程为x2+y2﹣4x+3＝0，
圆C2的⼀般⽅程为x2+y2﹣8x﹣4y+10＝0，
两圆⽅程作差得4x+4y﹣7＝0，
点C1（2，0）到直线4x+4y﹣7＝0 的距离为：d＝
＝
＝
，
则圆C1，C2的公共弦⻓为2
＝
．
故选：A．
【点评】本题考查两圆公共弦⻓的求法，考查圆的性质、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解
能⼒，是中档题．
5．已知两圆x2+y2＝10 和（x﹣3）2+（y﹣1）2＝20 相交于A，B 两点，则直线AB 的直线⽅程为（
）
A．3x﹣y＝0
B．x+3y＝0
C．x﹣3y＝0
D．3x+y＝0
【分析】当判断出两圆相交时，直接将两个圆⽅程作差，即得两圆的公共弦所在的直线⽅程．
【解答】解：因为两圆相交于A，B 两点，则A，B 两点的坐标坐标既满⾜第⼀个圆的⽅程，
⼜满⾜第⼆个圆的⽅程，
将两个圆⽅程作差，得直线AB 的⽅程是：3x+y＝0，
故选：D．
【点评】本题考查相交弦所在的直线的⽅程，当两圆相交时，将两个圆⽅程作差，即得公共弦所在的直
线⽅程．
6．已知两圆相交于两点A（1，3），B（t，﹣1），两圆圆⼼都在直线x+2y+c＝0 上，则t+c 的值是（
）
A．﹣3
B．﹣2
C．0
D．1
【分析】由相交弦的性质，可得AB 与直线x+2y+c＝0 垂直，且AB 的中点在这条直线x+2y+c＝0 上；由
AB 与直线x+2y+c＝0 垂直，可得
＝2，解可得t 的值，即可得B 的坐标，进⽽可得AB 中点的
坐标，代⼊直线⽅程可得c＝﹣2；进⽽将t、c 相加可得答案．
第13⻚（共35⻚）
【解答】解：根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连⼼线垂直平分相交弦，
可得AB 与直线x+2y+c＝0 垂直，且AB 的中点在这条直线x+2y+c＝0 上；
由AB 与直线x+2y+c＝0 垂直，可得
＝2，解可得t＝﹣1，
则B（﹣1，﹣1），
故AB 中点为（0，1），且其在直线x+2y+c＝0 上，
代⼊直线⽅程可得，0+2×（1）+c＝0，可得c＝﹣2；
故t+c＝（﹣1）+（﹣2）＝﹣3；
故选：A．
【点评】本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利⽤相交弦的性质，即两圆的连⼼线垂直平分相交弦．
7．圆C1：x2+y2﹣2x﹣3＝0 与圆C2：x2+y2+4x﹣2y+1＝0 公共弦所在直线的⽅程为（
）
A．3x+y+1＝0
B．3x﹣y+1＝0
C．3x+y+2＝0
D．3x﹣y+2＝0
【分析】两个圆联⽴直接求出相交弦所在的直线⽅程．
【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2x﹣3＝0 与圆C2：x2+y2+4x﹣2y+1＝0，
两个式⼦联⽴相减，可得6x﹣2y+4＝0，
两个圆的公共弦所在的直线⽅程为：3x﹣y+2＝0，
故选：D．
【点评】本题考查由两个圆的⽅程求相交弦所在的直线⽅程，属于基础题．
8．已知m，n∈R，m2+n2≠0，记直线nx+my﹣n＝0 与直线mx﹣ny﹣n＝0 的交点为P，点Q 是圆C：（x+2）
2+（y﹣2）2＝4 上的⼀点，若PQ 与C 相切，则|PQ|的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据已知条件，先求出交点P 的轨迹⽅程，再结合切线的性质，即可求解．
【解答】解：直线nx+my﹣n＝0，即n（x﹣1）+my＝0，
直线mx﹣ny﹣n＝0，即mx﹣y（n+1）＝0，
，m，n∈R，m2+n2≠0，
则直线nx+my﹣n＝0 与直线mx﹣ny﹣n＝0 分别过定点M（1，0），N（0，﹣1），且两直线垂直，
∴交点P 的轨迹是以MN 为直径的圆，即点P 的轨迹⽅程为
，圆⼼
，
因为点Q 是C 上的⼀点，直线PQ 是C 的切线，所以问题可转化为圆C1上任⼀点P 作直线与圆C：
（x+2）
2+（y﹣2）2＝4 相切，求切线⻓|PQ|的取值范围．
第14⻚（共35⻚）
设圆C 的半径为R，则R＝2，
因为圆C 的圆⼼为C（﹣2，2），其半径为定值，当|PC|取得最⼩值和最⼤值时，切线⻓|PQ|取得最⼩值
和最⼤值，
⼜因为
，即
，即
，
所以
，
即
．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
9．已知动点P 在直线l：x﹣y＝0 上，过P 总能作圆C：（x﹣a）2+y2＝1 的两条切线，切点为A，B，且∠BPA
＜
恒成⽴，则a 的取值范围是（
）
A．（﹣4，0）∪（0，4）
B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣2
，0）∪（0，2
）
D．（﹣∞，﹣2
）∪（2
，+∞）
【分析】由题意∠APC＜
，运⽤解直⻆三⻆形可得可得PC≥
＞2，解不等式即可得到所求a 的范
围．
【解答】解：依题意可得直线l 与圆C 相离，且
，
可得sin∠APC＝
＝
，
所以|PC|≥
＞2，
所以|a|＞2
，
解得a＜﹣2
或a＞2
．
故选：D．
第15⻚（共35⻚）
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要是相切，注意运⽤切线的性质和点到直线的距离公式，考
查转化思想和运算能⼒，属于中档题．
10．过坐标原点O 作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆C：x2+y2﹣4x+6y＝0 上，
则△OAB ⾯积的最⼤值为（
）
A．26
B．
C．13
D．
【分析】由已知可得，圆C 的半径为
，AB 是圆C 的⼀条直径，当AB⊥OC 时，△OAB ⾯积取得最
⼤值，代⼊数据求⾯积即可．
【解答】解：由题圆C：x2+y2﹣4x+6y＝0 可化为（x﹣2）2+（y+3）2＝13，
即圆C 的圆⼼（2，﹣3），半径为
，
O 在圆C 上，因为OA⊥OB，所以AB 是圆C 的⼀条直径．
当AB⊥OC 时，△OAB ⾯积取得最⼤值，且最⼤值为
．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
11．已知点M（3，﹣3），N（3，0），动点P 在圆O：x2+y2＝1 上，则
的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】⾸先进⾏转化，假设存在这样的点N′（m，n），使得
，设点P（x，y），可得
，该圆对照x2+y2＝1，所以
，求得点
，再
由|PM|+|PN′|≥|MN′|，即可得解．
【解答】解：令
，即求|PM|+|PN′|的最⼩值．
第16⻚（共35⻚）
设P（x，y），N′（m，n），
则
，
整理，得点P 的轨迹⽅程为
．
⼜点P 在圆O：x2+y2＝1 上，
所以
，解得
，所以
，
所以|PM|+
|PN|＝
，
即
的最⼩值为
．
故选：A．
【点评】本题考查与圆有关的轨迹和最值问题，考查运算求解能⼒，属于中档题．
12．已知正⽅形ABCD 的边⻓为2，点P 在以A 为圆⼼，1 为半径的圆上，则|PB|2+|PC|2+|PD|2 最⼩值为
（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】建⽴直⻆坐标系，求出点P 的轨迹⽅程，求出|PB|2+|PC|2+|PD|2＝19﹣8（x+y），再结合⼏何意义
即可求解．
【解答】解：以A 为坐标原点，AB，AD 所在的直线为x，y 轴建⽴平⾯直⻆坐标系，
作出图像如下：
设P（x，y），所以x2+y2＝1，⼜B（2，0），C（2，2），D（0，2），
所以|PB|2+|PC|2+|PD|2＝（x﹣2）2+y2+（x﹣2）2+（y﹣2）2+x2+（y﹣2）2
＝19﹣8（x+y），
第17⻚（共35⻚）
令x+y＝t，即x+y﹣t＝0，所以直线x+y﹣t＝0 与圆x2+y2＝1 有公共点，
即圆⼼到直线的距离d≤r，
所以
，
解得
，
所以|PB|2+|PC|2+|PD|2最⼩值为19﹣8
．
故选：D．
【点评】本题考查两点间距离公式、圆的性质等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．
13．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y＝0，圆O：x2+y2＝1，点P 是圆O 上⼀点，当△OCP 的⾯积最⼤时，sin2∠OCP
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】当△OCP 的⾯积最⼤时，此时OP⊥OC，在Rt△OPC 中，求出sin∠OCP，cos∠OCP，再利⽤
⼆倍⻆的正弦求解即可．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y＝0 的标准⽅程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，
圆⼼C（1，2），半径R＝5，
圆O：x2+y2＝1 的圆⼼O（0，0），半径r＝1，
且圆C 经过圆O 的圆⼼O，
所以|OC|＝
，
点P 是圆O 上⼀点，当△OCP 的⾯积最⼤时，此时OP⊥OC，且|OP|＝r＝1，
所以在Rt△OPC 中，|OP|＝1，|OC|＝
，则|PC|＝
，
所以sin∠OCP＝
＝
，cos∠OCP＝
＝
，
所以sin2∠OCP＝2sin∠OCPcos∠OCP＝2×
×
＝
．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查运算求解能⼒，属于中档题．
14．已知点M 是直线l1：ax+y﹣2a＝0 和l2：x﹣ay+2＝0（a∈R）的交点，A（﹣1，0），B（m，0），且点M
满⾜
恒成⽴．若C（2，2），则2|MA|+|MC|的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由
恒成⽴，结合x2+y2＝4，可得B（﹣4，0），再利⽤点到直线的距离公式即可
求解．
第18⻚（共35⻚）
【解答】解：设M（x，y）．由题可知直线l1过定点（2，0），l2过定点（﹣2，0），且l1⊥l2，
所以点M 的轨迹⽅程为x2+y2＝4（x≠2），
因为
恒成⽴，
所以4（x+1）2+4y2＝（x﹣m）2+y2恒成⽴，
结合x2+y2＝4，可得m＝﹣4，
即B（﹣4，0），
由题可知2|MA|+|MC|＝|MB|+|MC|，
直线BC 的⽅程为x﹣3y+4＝0，
所以坐标原点到直线BC 的距离为
，
所以在直线BC 上存在两个点P，Q 满⾜B，P，C 或B，Q，C 共线，
所以
，
即2|MA|+|MC|的最⼩值为
．
故选：D．
【点评】本题考查轨迹⽅程及直线与圆的相关性质，属于中档题．
15．已知P（x0，y0）是圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0 上任意⼀点，则
的最⼤值为（
）
A．﹣2
B．
C．
D．
【分析】设k＝
，则k 表示直线PA 的斜率，其中A（3，﹣1）是定点，可知直线PA 与圆有公共点，
从⽽可得
≤1，由此能求出
的最⼤值．
【解答】解：设k＝
，则k 表示直线PA 的斜率，其中A（3，﹣1）是定点，
∵P（x0，y0）在圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0 上，
∴圆C 与直线PA 有公共点，
圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0 化为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
⽽直线PA 的⽅程为：y+1＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k﹣1＝0，
则有：C 点到直线PA 的距离不⼤于圆C 的半径，
第19⻚（共35⻚）
即：
≤1，
解得：
≤k≤
，
∴
的最⼤值为
．
故选：D．
【点评】本题考查圆的⽅程、性质，考查直线与圆的位置关系，考查与圆有关的最值问题，考查运算求
解能⼒，考查化归与转化思想，是中档题．
16．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是圆x2+y2＝16 上的两点，若
，则|x1+y1﹣2|+|x2+y2﹣2|的最⼤
值为（
）
A．16
B．12
C．8
D．4
【分析】题⽬转化为A、B 到直线x+y﹣2＝0 的距离之和，变换得到|AC|+|BD|＝2|EF|，利⽤数形结合转
化求解即可．
【解答】解：因为A（x1，y1）、B（x2，y2）在圆x2+y2＝1 上，
，
因为|OA|＝|OB|＝4，则△AOB 是等腰直⻆三⻆形，
|x1+y1﹣2|+|x2+y2﹣2|表示A、B 到直线x+y﹣2＝0 的距离之和的
倍，
原点O 到直线x+y﹣2＝0 的距离为d＝
，如图所示：
AC⊥CD，BD⊥CD，E 是AB 的中点，作EF⊥CD 于F，
且OE⊥AB，|AC|+|BD|＝2|EF|，|OE|＝2
，
|EF|≤|OE+d＝3
，|EF|＝（|BD|+|AC|），
|x1+y1﹣2|+|x2+y2﹣2|的最⼤值为2
＝12．
故选：B．
第20⻚（共35⻚）
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离，属中档题．
17．若圆C：x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0 上⾄少有三个不同的点到直线l：x﹣y+c＝0 的距离为
，则c 的取值
不可能是（
）
A．﹣2
B．0
C．1
D．3
【分析】当直线l 即为直线DF 时，圆C 上恰有3 个点A，G，E 到直线的距离均为
，若圆C 上⾄
少有三个不同的点到直线DF（即直线l）的距离为
，则只需圆⼼到直线的距离
，进⼀
步通过运算即可得解．
【解答】解：如图所示：
圆C 的⽅程可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18，则圆⼼C 为（2，2），半径为
，要使条件成⽴，
设圆⼼到直线的距离为d，
则只需要
，即﹣2≤c≤2，所以c 的取值不可能是3．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
18．⼏何学史上有⼀个著名的⽶勒问题：“设E，F 是锐⻆∠APB 的⼀边PA 上的两点，试在边PB 上找⼀点
Q，使得∠EQF 最⼤．”如图，其结论是：点Q 为过E，F 两点且和射线PB 相切的圆的切点．根据以上
结论解决以下问题：在平⾯直⻆坐标系xOy 中，给定两点E（2，4），F（4，2），点Q 在y 轴上移动，则
∠EQF 的最⼤值为（
）
第21⻚（共35⻚）
A．30°
B．45°
C．60°
D．135°
【分析】根据题意得出满⾜条件的过三点F，E，Q 的圆的⽅程，由已知当∠EQF 取最⼤值时，圆必与y
轴相切于点Q，得出对应的切点分别为Q，即可得出答案．
【解答】解：设圆⼼C 坐标为（a，b），则Q（0，b），圆的⽅程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝a2，
因为E、F 两点在圆上，
所以
，
解得
或
，
当
时，∠EQF 为劣弧所对⻆，故舍去．
所以Q（0，2），C（2，2），
所以
，
所以△QEF 为等腰直⻆三⻆形，
所以∠EQF＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能⼒，属于中档题．
19．实数x，y 满⾜x2+y2+2x＝0，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先对
化简，令
，则tx﹣y+1﹣t＝0 与圆（x+1）2+y2＝1 有交点，根据点到直线的距离
⼩于等于半径列不等式求解即可．
【解答】解：由x2+y2+2x＝0，可得（x+1）2+y2＝1，
⼜
＝
，令
，化简得tx﹣y+1﹣t＝0，
则tx﹣y+1﹣t＝0 与圆（x+1）2+y2＝1 有交点，
第22⻚（共35⻚）
即圆⼼（﹣1，0）到直线的距离⼩于等于半径，
即
，解得：0≤t≤
，故
，
即
的取值范围是[﹣1，]．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属中档题．
20．已知圆C1：x2+y2+2x+4y+4＝0，圆C2：x2+y2﹣4x+2y+1＝0，M，N 分别为圆C1和圆C2上的动点，P 为
直线l：y＝x+2 上的动点，则|MP|+|NP|的最⼩值为（
）
A．2
﹣3
B．2
+3
C．
﹣3
D．
+3
【分析】根据题意，分析圆C1与圆C2的圆⼼和半径，求出与圆C1关于直线l 对称的圆，再设圆C′上的
点M′与圆C1上点M 对称，分析可得原问题可以转化为P 到圆C′和圆C2上的动点距离之和最⼩值问题，
据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2+2x+4y+4＝0，即（x+1）2+（y+2）2＝1，其圆⼼为（﹣1，﹣2），半
径R＝1，
圆C2：x2+y2﹣4x+2y+1＝0，即（x﹣2）2+（y+1）2＝4，其圆⼼为（2，﹣1），半径r＝2，
圆C1关于直线直线l：y＝x+2 对称的圆为圆C′，其圆⼼为（﹣4，1），半径R′＝1，则其⽅程为（x+4）2+
（y﹣1）2＝1，
设圆C′上的点M′与圆C1上点M 对称，则有|PM|＝|PM′|，
原问题可以转化为P 到圆C′和圆C2上的动点距离之和最⼩值问题，
连接C2C′，与直线l 交于点P′，点P′是满⾜|PN|+|PM′|最⼩的点，此时|PN|+|PM′|＝|C2C′|﹣3＝2
﹣3，
即|MP|+|NP|的最⼩值为2
﹣3，
故选：A．
第23⻚（共35⻚）
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，属于综合题．
21．若圆
与圆
相交于M、N 两点，且∠C1MC2为锐⻆，则实数m 的
取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，分析两圆的圆⼼和半径，由圆与圆相交以及余弦定理可得m 的不等式，解可得答案．
【解答】解：根据题意，圆
的圆⼼为（0，0），半径为1，
圆
的圆⼼为（m，0），半径为2，
圆⼼距|C1C2|＝|m|，
由于两圆相交，则2﹣1＜|m|＜2+1，即1＜|m|＜3，解可得﹣3＜m＜﹣1 或1＜m＜3，
在△C1MC2中，|MC1|＝1，|MC2|＝2，|C1C2|＝m，
若∠C1MC2为锐⻆，即cos∠C1MC2＝
＞0，则有|MC1|2+|MC2|2＞|C1C2|2，
即m2＜5，解可得﹣
＜m＜
，
综合可得：﹣
＜m＜﹣1 或1＜m＜
，即m 的取值范围为（﹣
，﹣1）∪（1，
）．
故选：D．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及余弦定理的应⽤，属于基础题．
22．已知点A，B 分别在圆x2+（y﹣1）2＝1 与圆（x﹣2）2+（y﹣5）2＝9 上，则A，B 两点之间的最短距离
为（
）
A．
B．
C．
D．2
【分析】根据题意，分析两个圆的圆⼼和半径，可得两圆外切，则A，B 两点之间的最短距离为圆⼼距
第24⻚（共35⻚）
减去两圆半径之和，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+（y﹣1）2＝1，其圆⼼为（0，1），半径为1，
圆（x﹣2）2+（y﹣5）2＝9，其圆⼼为（2，5），半径为3，
圆⼼距d＝
＝2
，有2
＞3+1＝4，两圆外切，
则A，B 两点之间的最短距离为2
﹣4；
故选：C．
【点评】本题考查圆⽅程的应⽤，注意圆的标准⽅程，属于基础题．
23．已知圆
与圆
交于A、B 两点，且AB 平分圆C1的周
⻓，则a+b 的值为（
）
A．0
B．2
C．4
D．6
【分析】根据题意，求出两圆公共弦的⽅程，分析可得圆C1的圆⼼在直线AB 上，可得关于a、b 的关
系式，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，圆
与圆
交于A、B 两点，
则直线AB 的⽅程为（4﹣2a）x+（4﹣2b）y＝0，
⼜由AB 平分圆C1的周⻓，则圆C1的圆⼼在直线AB 上，则有2（4﹣2a）+2（4﹣2b）＝0，变形可得a+b
＝4；
故选：C．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及两圆公共弦的求法，属于基础题．
24．已知圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣1＝0 和圆C2：x2+y2﹣2ny+n2﹣9＝0 恰有三条公共切线，则（m﹣6）2+（n
﹣8）2的最⼩值为（
）
A．6
B．36
C．10
D．
【分析】根据题意，分析两个圆的圆⼼和半径，由切线数⽬可得两圆外切，由此分析可得m2+n2＝16，
设t＝
，分析t 的⼏何意义，可得t 的最⼩值，进⽽分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣1＝0，即（x﹣m）2+y2＝1，其圆⼼C1为（m，0），半径
r＝1，
圆C2：x2+y2﹣2ny+n2﹣9＝0，即x2+（y﹣n）2＝9，其圆⼼C2为（0，n），半径R＝3，
若圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣1＝0 和圆C2：x2+y2﹣2ny+n2﹣9＝0 恰有三条公共切线，则两圆外切，
则有|C1C2|＝
＝R+r＝4，变形可得m2+n2＝16，
第25⻚（共35⻚）
设t＝
，则t 的⼏何意义为点（m，n）到点（6，8）的距离，
⽽m2+n2＝16，点（m，n）在圆x2+y2＝16 上，
则t≥
﹣4＝6，即t 的最⼩值为6；
故（m﹣6）2+（n﹣8）2的最⼩值为36；
故选：B．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，注意有切线数⽬分析圆与圆的位置关系，属于基础题．
25．已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝3（a，b∈R）与圆O：x2+y2＝1 相交于A，B 两点，且|AB|＝
，则下
列错误的结论是（
）
A．
•
是定值
B．四边形OAMB 的⾯积是定值
C．a+b 的最⼩值为﹣
D．a•b 的最⼤值为2
【分析】利⽤△MAB 为边⻓为
的等边三⻆形判断A，利⽤三⻆形的⾯积公式判断B，利⽤相交两圆
的性质和基本不等式判断C，D．
【解答】解：圆M 的圆⼼M（a，b），半径r＝
，则△MAB 为边⻓为
的等边三⻆形，
①：∵
＝|
|•|
|•cos60°＝
＝，∴A 正确，
②：∵OA＝OB＝1，AB＝
，△OAB 的⾼h＝，
∴S△ABO＝
＝
，∵S△MAB＝
×（
）2＝
，
∴S 四边形OAMB＝
+
＝
，∴B 正确，
③：由②知S 四边形OAMB＝×OM×AB，∴OM＝
＝2，
即
＝2，∴a2+b2＝4，∵2（a2+b2）≥（a+b）2，∴（a+b）2≤8，
∴﹣2
a+b≤2
，当且仅当a＝b 时取等号，∴a+b 的最⼩值为﹣2
，∴C 错误，
④：由③得，∵a2+b2＝4≥2ab，∴ab≤2，
当且仅当a＝b 时取等号，∴ab 的最⼤值为2，∴D 正确．
故选：C．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，三⻆形的⾯积公式，基本不等式定理的应⽤，属于中档题..
26．若圆x2+（y﹣a）2＝4 上总存在两个点到坐标原点的距离为1，则实数a 的取值范围是（
）
第26⻚（共35⻚）
A．（1，3）
B．[1，3]
C．（﹣3，﹣1）∪（1，3）
D．[﹣3，﹣1]∪[1，3]
【分析】根据题意，求出到坐标原点的距离为1 的点的轨迹为圆，结合圆与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，到坐标原点的距离为1 的点的轨迹⽅程为x2+y2＝1，是圆⼼为（0，0），半径r
＝1 的圆，
若圆x2+（y﹣a）2＝4 上总存在两个点到坐标原点的距离为1，则圆x2+（y﹣a）2＝4 与圆x2+y2＝1 相交，
圆x2+（y﹣a）2＝4，圆⼼为（0，a），半径R＝2，
则有2﹣1＜|a|＜2+1，即1＜|a|＜3，解可得﹣3＜a＜﹣1 或1＜a＜3，
即a 的取值范围为（﹣3，﹣1）∪（1，3）；
故选：C．
【点评】本题考查圆的⽅程的应⽤，涉及圆与圆的位置关系，属于基础题．
27．已知实数x，y 满⾜x2+y2﹣4x+3＝0，则
的最⼩值是（
）
A．
B．
C．1
D．2
【分析】求出圆的圆⼼与半径，然后求解
的最⼩值．
【解答】解：实数x，y 满⾜x2+y2﹣4x+3＝0，可得（x﹣2）2+y2＝1，
可得圆的圆⼼（2，0），半径为1，
的最⼩值：2﹣1＝1．
故选：C．
【点评】本题考查圆的⽅程的求法与应⽤，考查计算能⼒，是基础题．
28．已知两定点
，
，动点M 与P、Q 的距离之⽐
（λ＞0 且λ≠
1），那么点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其⽅程为x2+y2＝4，则λ+m 的值为（
）
A．﹣8
B．﹣4
C．0
D．4
【分析】设M（x，y），由
，得x2+y2﹣
x＝
，与x2+y2＝4 对⽐，可得
＝0 且
＝4，求解即可．
【解答】解：设M（x，y），由
（λ＞0 且λ≠1），得
＝λ，
第27⻚（共35⻚）
所以x2﹣2mx+m2+y2＝λ2x2+λ2x+
λ2+λ2y2，
所以x2+y2﹣
x＝
，
⼜M 的轨迹⽅程为x2+y2＝4，
所以
＝0 且
＝4，
解得m＝﹣（舍去）或m＝﹣8，
所以m＝8，所以λ2＝﹣2×（﹣8）＝16，所以λ＝4，
所以λ+m＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查点的轨迹⽅程的求法，属基础题．
29．若圆C1：x2+（y﹣1）2＝r2（r＞0）上存在点P，且点P 关于直线y＝x 的对称点Q 在圆C2：（x﹣2）2+
（y﹣1）2＝1 上，则r 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．（﹣1，1]
【分析】根据圆的对称性转化为两圆有公共点的等价条件进⾏求解即可．
【解答】解：若圆C1：x2+（y﹣1）2＝r2（r＞0）上存在点P，且点P 关于直线y＝x 的对称点Q 在圆C2：
（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 上，
等价于若圆C1：x2+（y﹣1）2＝r2（r＞0）关于直线y＝x 的对称圆与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 有公
共点，
圆C1：x2+（y﹣1）2＝r2（r＞0）关于直线y＝x 的对称圆为圆C：y2+（x﹣1）2＝r2（r＞0），
则圆⼼C（1，0），半径r，圆⼼C2（2，1），半径1，
则|CC2|＝
＝
，
若两圆有公共点，则满⾜r﹣1≤|CC2|≤r+1，
即r﹣1≤
≤r+1，
得
，解得
﹣1≤r≤
+1，
即r 的取值范围是[
﹣1，
+1]，
故选：A．
【点评】本题主要考查两圆位置关系的求解，根据对称性求出圆关于直线y＝x 的对称圆是解决本题的
第28⻚（共35⻚）
关键，属中档题．
30．若圆C 的⽅程为x2+y2+4x+4y+5＝0，点P 是圆C 上动点，点O 为坐标原点，则|OP|的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意先求出圆的圆⼼和半径，进⽽结合圆的⼏何性质求得答案．
【解答】解：圆C 的圆⼼为（﹣2，﹣2），半径为
，
|OP|的最⼤值为
．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的⽅程及其应⽤，圆中的最值问题等知识，属于基础题．
31．已知点M，N 分别为圆C1：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，C2：（x+3）2+（y﹣4）2＝9 上的动点，P 为x 轴上
⼀点，则|PM|+|PN|的最⼩值（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】求出圆C1，C2 的圆⼼坐标和半径，作出圆C2 关于x 轴的对称圆C1′，连结
，则C1′C1与x
轴的交点即为P 点，此时M 点为PC1与圆C1 的交点，N 为PC2 与圆C2 的交点，|PM|+|PN|的最⼩值为
|
|﹣（3+1）．
【解答】解：由圆C1：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，圆C2：（x+3）2+（y﹣4）2＝9，
知圆C1的圆⼼为（2，2），半径为1，圆C2的圆⼼为（﹣3，4）半径为3．
如图，
圆C2关于x 轴的对称圆为圆C1′（x+3）2+（y+4）2＝3．
连结C1′C1，交x 轴于P，则P 为满⾜使|PM|+|PN|最⼩的点，
此时M 点为PC1与圆C1 的交点，N 为PC2 与圆C2 的交点．
最⼩值为|C1′C1|﹣（3+1），
⽽|C1′C1|＝
＝
，
∴|PM|+|PN|的最⼩值为
﹣4．
故选：B．
第29⻚（共35⻚）
【点评】本题考查了圆⽅程的综合应⽤，考查了利⽤对称关系求曲线上两点间的最⼩距离，体现了数形
结合的解题思想⽅法，是中档题．
⼆．多选题（共4 ⼩题）
（多选）32．已知直线l 的⽅程为y﹣1＝k（x﹣2）（k 为常数），点Q 在直线l 上，过点Q 作圆C：（x﹣1）
2+（y+2）2＝1 的⼀条切线QM，M 为切点，若△QMC 的⾯积的最⼩值为
，此时（
）
A．|CQ|＝3
B．
C．直线l 上的动点E 与圆C 上动点F 的距离|EF|的最⼩值为2
D．直线l 上的动点E 与圆C 上的动点F 的距离|EF|的最⼤值为4
【分析】求出圆⼼坐标和半径，由△QMC 的⾯积的最⼩值为
，可得|CQ|＝3 可判断A；再由点到直线
的距离公式求出k 的值可判断B；由k 的值可得直线l 的⽅程，求出圆⼼到直线的距离再减半径可得|EF|
最⼩值，|EF|没有最⼤值，即可判断CD，进⽽可得正确选项．
【解答】解：由y﹣1＝k（x﹣2）可得kx﹣y+1﹣2k﹣0，
圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝1 的圆⼼C（1，﹣2），半径r＝1，
S△QMC＝|QM|•|CM|＝|QM|，
⼜因为|QM|＝
，
所以当|CQ|取得最⼩值时，|QM|取最⼩值，kx﹣y+1﹣2k＝0，
此时CQ⊥l，可得|QM|＝2
，|CQ|＝3，
所以|CQ|＝
＝3，整理可得4k2+3k＝0，
解得k＝﹣或k＝0，故选项A 正确，选项B 不正确；
第30⻚（共35⻚）
当k＝﹣时，直线l 的⽅程为3x+4y﹣10＝0，
则直线l 上的动点E 与圆C 上动点F 的距离|EF|最⼩值为
﹣1＝2，
直线l 上的动点E 与圆C 上动点F 的距离|EF|没有最⼤值，
当k＝0 时，直线l 的⽅程为y＝1，
则直线l 上的动点E 与圆C 上动点F 的距离|EF|最⼩值为1﹣（﹣2）﹣1＝2．
直线l 上的动点E 与圆C 上动点F 的距离|EF|没有最⼤值，
故选项C 正确，D 错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的切线⽅程，点斜式直线⽅程，点的直线的距离公式的
应⽤，考查运算求解能⼒，属于中档题．
（多选）33．已知P，Q 分别为圆M：（x﹣6）2+（y﹣3）2＝4 与圆N：（x+4）2+（y﹣2）2＝1 上的动点，A
为x 轴上的动点，则|AP|+|AQ|的值可能是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【分析】根据题意，设圆G 与圆N 关于x 轴对称，点Q′与点Q 关于x 轴对称，求出圆G 的⽅程，分析
可得Q′在圆G 上，进⽽可得|AP|+|AQ|＝|AP|+|AQ′|，结合圆与圆的位置关系分析可得|AP|+|AQ′|的最⼩值，
即可得|AP|+|AQ|的范围，分析选项即可得答案．
【解答】解：根据题意，设圆G 与圆N 关于x 轴对称，点Q′与点Q 关于x 轴对称，
圆N 的⽅程（x+4）2+（y﹣2）2＝1，其圆⼼（﹣4，2），半径r＝1；
则圆G 的圆⼼为（﹣4，﹣2），半径r′＝1，
则G 的⽅程为（x+4）2+（y+2）2＝1，
⼜由Q 为圆N：（x+4）2+（y﹣2）2＝1 上的动点，则Q′在圆G 上，
则有|AP|+|AQ|＝|AP|+|AQ′|，
⼜由|AP|+|AQ′|的最⼩值为|MG|﹣R﹣r′＝
﹣3＝5
﹣3，
故有|AP|+|AQ|≥5
﹣3，
分析选项：只有CD 的数值在区间[5
﹣3，+∞）上；
故选：CD．
第31⻚（共35⻚）
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的对称问题，属于基础题．
（多选）34．已知实数x，y 满⾜⽅程x2+y2﹣4x+1＝0，则下列说法中正确的有（
）
A．y﹣x 的最⼤值为
﹣2
B．x2+y2的最⼤值为7+4
C．的最⼤值为
D．x+y 的最⼤值为2+
【分析】根据题意，⽅程x2+y2﹣4x+1＝0 对应的⼏何图形为圆，分析圆的圆⼼和半径，由此分析选项，
即可得答案．
【解答】解：根据题意，⽅程x2+y2﹣4x+1＝0，即（x﹣2）2+y2＝3，表示圆⼼为（2，0），半径为
的圆，
由此分析选项：
对于A，设y﹣x＝z，则x﹣y+z＝0，直线x﹣y+z＝0 与圆（x﹣2）2+y2＝3 有公共点，则
≤
，解
可得﹣
﹣2≤z≤
﹣2，
则z＝y﹣x 的最⼤值为
﹣2，A 正确；
对于B，设t＝
，其⼏何意义为圆（x﹣2）2+y2＝3 上的点到原点的距离，则t 的最⼤值为2+
，
故x2+y2的最⼤值为t2＝（2+
）2＝7+4
，B 正确；
对于C，设k＝，则kx﹣y＝0，直线kx﹣y＝0 与圆（x﹣2）2+y2＝3 有公共点，则
≤
，则﹣
≤k≤
，
即
的最⼤值为
，C 错误；
第32⻚（共35⻚）
对于D，设m＝x+y，则x+y﹣m＝0，直线x+y﹣m＝0 与圆（x﹣2）2+y2＝3 有公共点，则有
≤
，
解可得：﹣
+2≤m≤
+2，
即x+y 的最⼤值为
+2，D 错误；
故选：AB．
【点评】本题考查圆的⽅程的综合应⽤，涉及直线与圆的位置关系，属于中档题．
（多选）35．在平⾯直⻆坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），圆C：（x﹣a）2+y2＝1，若圆C 上存在点
M，使得|MA|2+|MB|2＝12，则实数a 的取值可能为（
）
A．﹣1
B．0
C．
D．﹣2
【分析】根据题意，设M（x，y），分析点M 的轨迹为圆，由圆与圆的位置关系可得两圆相交或相切，
据此可得a 的取值范围，分析选项即可得答案．
【解答】解：根据题意，设M（x，y），
若|MA|2+|MB|2＝12，则有（x﹣2）2+y2+x2+（y﹣2）2＝12，
变形可得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，
若圆C 上存在点M，满⾜|MA|2+|MB|2＝12，
则圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4 与圆C 相交或相切，
则1≤
≤3，解可得1﹣2
≤a≤1+2
，
分析选项可得：ABC 符合题意，
故选：ABC．
【点评】本题考查圆的⽅程的应⽤，涉及点的轨迹的计算，属于基础题．
三．填空题（共4 ⼩题）
36．已知圆C：（x﹣7）2+y2＝16，过点M（5，0）作直线交圆C 于A，B 两点．若P（2，5），则
的
最⼩值为
．
【分析】根据题意，设AB 的中点H，连接CH，分析可得H 的轨迹为以CM 为直径的圆，分析该圆的
圆⼼和半径，由向量的中点表示和圆外⼀点与圆上的点的距离的最值性质，计算可得所求最⼩值．
【解答】解：根据题意，如图：设AB 的中点H，连接CH，
则有CH⊥AB，故中点H 的轨迹为以CM 为直径的圆，
设该圆为N，则其圆⼼N 为（6，0），半径r＝1，
H 为AB 的中点，则
+
＝2
，则有|
+
|＝2|
|，
第33⻚（共35⻚）
则|PN|＝
＝
，
点P 到圆N 上点的距离最⼩值为
﹣r＝
﹣1，
则
的最⼩值为2（
﹣1）＝2
﹣2，
故答案为：
．
【点评】本题考查直线与圆的⽅程的应⽤，涉及轨迹⽅程的求法，属于综合题．
37．已知圆O1：x2+y2＝1，圆O2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝100，过圆O2上的任意⼀点P 作圆O1的两条切线，
切点为A，B，则四边形PAO1B ⾯积的最⼤值为
4
．
【分析】根据题意，分析可得当PO 最⼤时，四边形PAO1B ⾯积的最⼤，且最⼤⾯积S＝PA，由此计算
可得答案．
【解答】解：根据题意，四边形PAO1B ⾯积S＝2S△PAO＝2×（PA×OA）＝PA•OA＝PA，
⽽PA＝
＝
当PO 最⼤时，PA 最⼤，此时四边形PAO1B ⾯积的最⼤，
PO 的最⼤值为
+10＝15，则PA 的最⼤值为
＝
，
故四边形PAO1B ⾯积的最⼤值为4
；
故答案为：4
．
第34⻚（共35⻚）
【点评】本题考查圆⽅程的应⽤，涉及圆与圆、直线与圆的位置关系，属于基础题．
38．“曼哈顿距离”是⼗九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创，定义如下：在直⻆坐标平⾯上任意两点A（x1，y1）
B（x2，y2）的“曼哈顿距离”为d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知动点N 在圆x2+y2＝16 上，定点M（4，
5），则M，N 两点的“曼哈顿距离”的最⼤值为
．
【分析】根据题意，设M 的坐标为（4cosθ，4sinθ），则有d（M，N）＝|4﹣4cosθ|+|5﹣4sinθ|，结合点圆
的关系可得d（M，N）＝|4﹣4cosθ|+|5﹣4sinθ|＝9﹣4（sinθ+cosθ），进⽽分析可得答案．
【解答】解：根据题意，动点M 在圆x2+y2＝16 上，设M 的坐标为（4cosθ，4sinθ），
则M，N 两点的“曼哈顿距离”d（M，N）＝|4﹣4cosθ|+|5﹣4sinθ|，
⼜由M（4，5），﹣4≤4cosθ≤4，﹣4≤4sinθ≤4，
则d（M，N）＝|4﹣4cosθ|+|5﹣4sinθ|＝9﹣4（sinθ+cosθ）＝9﹣4
sin（θ+
）≤
，
当θ＝
时，等号成⽴，即M，N 两点的“曼哈顿距离”的最⼤值为
．
故答案为：
．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，涉及圆的⽅程，属于基础题．
39．已知圆O：x2+y2＝1 和圆
，过动点P 分别作圆O，圆O1的切线PA，PB（A，B
为切点），且|PA|2+|PB|2＝18，则|PA|的最⼤值为
．
【分析】根据题意，设P 的坐标为（m，n），利⽤圆的切线性质可得m2+n2＝|PA|2+1 和（m﹣2）2+n2＝|PB|2+1，
进⽽可得（m﹣1）2+n2＝9，即可得P 的轨迹，由圆与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设P 的坐标为（m，n），
圆O：x2+y2＝1，其圆⼼为（0，0），半径为r1＝1，
PA 为圆O 的切线，则|PO|2＝|PA|2+1，则有m2+n2＝|PA|2+1，
圆
，其圆⼼O1为（2，0），半径为r2＝1，
第35⻚（共35⻚）
PB 为圆O1的切线，则|PO1|2＝|PA|2+1，则有（m﹣2）2+n2＝|PB|2+1，
⼜由|PA|2+|PB|2＝18，则有（m2+n2）+[（m﹣2）2+n2]＝20，
变形可得：（m﹣1）2+n2＝9，
则P 的轨迹是以（1，0）为圆⼼，半径为R＝3 的圆，
设M 为（1，0），
则|MO|的最⼤值为3+1＝4，故|PA|的最⼤值为
＝
．
故答案为：
．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及轨迹⽅程的求法，属于基础题．
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