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解三⻆形——题型01～02 答案
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
D
A
A
A
A
A
D
⼀．选择题（共7 ⼩题）
1．在△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c．若
，则B＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由正弦定理得
＝
，结合
，可得
+
＝0，
所以sinB＝﹣cosB，可得tanB＝
＝﹣1，结合B∈（0，π），可知
．
故选：D．
2．在△ABC 中，⻆A，B 所对的边分别为a，b．若
，则a＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
⼜根据正弦定理可知
，
，R 是△ABC 外接圆半径，
则
，得
．
故选：A．
3．记△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
，
，则c＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，可得B＝π﹣A﹣C＝
，
△ABC 中，C＝
，
，
由正弦定理
，得c＝
＝
＝
＝
．
故选：A．
4．在三⻆形ABC 中，AB＝1，
，A＝45°，则BC＝（
）
A．1
B．
C．
D．
﹣1
【解答】解：在△ABC 中，AB＝1，AC＝
，A＝45°，
利⽤余弦定理：BC2＝AC2+AB2﹣2•AC•AB•cosA＝1+2﹣2＝1，
解得：BC＝1．
故选：A．
5．在△ABC 中，A＝30°，BC＝1，AC＝2，则AB＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵在△ABC 中，A＝30°，BC＝1，AC＝2，
∴由余弦定理BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC×cos30°，
可得1＝AB2+4﹣2
AB，整理得（AB﹣
）2＝0，解得
．
故选：A．
6．在△ABC 中，已知a＝
，b＝4，c＝3，则cosA＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：在△ABC 中，已知a＝
，b＝4，c＝3，
所以：cosA＝
．
故选：A．
7．已知△ABC 的内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，
，
则b＝（
）
A．
B．
C．2
D．1
【解答】解：已知△ABC 的内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
⼜sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，
则sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC＝0，
即cosAsinC+sinAsinC＝0，
⼜sinC≠0，
则cosA＝﹣sinA，
即
，
⼜a2＝b2+c2﹣2bccosA，
则b2+2b﹣3＝0，
⼜b＞0，
则b＝1．
故选：D．
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解三⻆形——题型03 答案
参考答案与试题解析
⼀．解答题（共10 ⼩题）
1．在△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
（1）求⻆A 的⼤⼩；
（2）若D 是线段BC 的中点，且
，求△ABC 的⾯积．
【解答】解：（1）∵
，
∴由正弦定理可得
，
整理
，即
，
⼜∵B∈（0，π），则sinB≠0，
∴
，⼜A∈（0，π），∴
．
（2）法⼀：如图，取AC 中点E，连接DE，
∵D 是线段BC 的中点，∴
，
在△ADE 中，
，
由余弦定理可得
，∴
，
∴
．
法⼆：因为D 是线段BC 的中点，
，
，即
，
∴
，∴
．
2．在△ABC 中，内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知b2+3accosB＝2c2．
（Ⅰ）若a＝c，求A；
（Ⅱ）若
，求证：b＝c．
【解答】解：（Ⅰ）因为b2+3accosB＝2c2，
所以由余弦定理得：
，
所以2b2+3a2+3c2﹣3b2＝4c2，得3a2＝b2+c2，
因为a＝c，所以2a2＝b2，得
，
所以由余弦定理得：
，
因为A∈（0，π），所以
；
证明：（Ⅱ）因为
，所以
，
化简整理得18cos2A+9cosA﹣14＝0，即（3cosA﹣2）（6cosA+7）＝0，
解得
或
（舍去），
所以由余弦定理得：
，
所以3b2+3c2﹣3a2＝4bc，
因为b2+3accosB＝2c2，所以由余弦定理得：
，
整理得3a2＝b2+c2，所以3b2+3c2﹣（b2+c2）＝4bc，
所以3b2+3c2﹣（b2+c2）＝4bc，
所以b2+c2﹣2bc＝0，得（b﹣c）2＝0，所以b＝c．
3．△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知acosB﹣2bcosA＝b+c．
（1）求tanA；
（2）若
，△ABC 的⾯积为
，求△ABC 的周⻓．
【解答】解：（1）因为acosB﹣2bcosA＝b+c，所以sinAcosB﹣2sinBcosA＝sinB+sinC．
⼜sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，所以﹣3sinBcosA＝sinB．
因为sinB≠0，所以
．
⼜A∈（0，π），所以
，
．
（2）△ABC 的⾯积
，则bc＝6．
由
，得
，
所以b+c＝5，故△ABC 的周⻓为
．
4．设△ABC 的内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
（1）求⻆B；
（2）若△ABC 是锐⻆三⻆形，求cosA+cosB+cosC 的取值范围．
【解答】解：（1）由题设
，
所以
，
⼜B∈（0，π），故
．
（2）由（1）知：
，则
，故
，
⼜△ABC 是锐⻆三⻆形，则
，
所以
＝
，
所以
，故
，
综上，cosA+cosB+cosC 的取值范围为
．
5．在△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别是a，b，c，且（a2﹣c2）sinC＝（bc﹣c2）sinB．
（1）求⻆A 的⼤⼩；
（2）若a＝2，且△ABC 的⾯积为
，求△ABC 的周⻓．
【解答】解：（1）因为（a2﹣c2）sinC＝（bc﹣c2）sinB，
由正弦定理得：（a2﹣c2）c＝（bc﹣c2）b，
因为c＞0，所以a2﹣c2＝（b﹣c）b，即b2+c2﹣a2＝bc，
所以由余弦定理有：
，
因为0＜A＜π，所以
；
（2）由（1）可知
，
因为△ABC 的⾯积为
，所以
，所以bc＝2；
⼜因为a＝2，所以由余弦定理有：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc＝4，
即（b+c）2＝10，所以
，
所以△ABC 的周⻓为
．
6．已知△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
（1）求⻆C；
（2）若c＝7，△ABC 的⾯积为
，求△ABC 的内切圆的半径r．
【解答】解：（1）因为
，
所以由正弦定理得：2sinAcosAcos2B+2sinBcos2AcosB＝sinC，
所以sin2Acos2B+cos2Asin2B＝sinC，
所以sin（2A+2B）＝sinC，
因为A+B+C＝π，所以﹣sin2C＝sinC，即﹣2sinCcosC＝sinC，
因为0＜C＜π，所以sinC＞0，所以
，所以
；
（2）因为
，所以ab＝15，
由余弦定理有：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝（a+b）2﹣ab，
即49＝（a+b）2﹣15，所以a+b＝8，
所以a+b+c＝15，
由
，
解得
．
7．在△ABC 中，内⻆A，B，C 对的边⻓分别为a，b，c，且
．
（1）求⻆A；
（2）若
，求△ABC ⾯积的最⼤值．
【解答】解：（1）由正弦定理
，
可得
，
⼜在三⻆形中，sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），
∴2sinB＝2sinAcosC﹣sinC，
∴2cosAsinC＝﹣sinC，⼜sinC＞0，
∴
，⼜A∈（0，π），
∴
；
（2）根据正弦定理可得
，
∴
．
⼜由（1）可知
，
∴
＝
＝
，
⼜
，∴
，
∴
，即
时，S△ABC 取最⼤值
．
8．已知△ABC 中⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，
．
（1）求A；
（2）若
，且△ABC 的⾯积为
，求△ABC 周⻓．
【解答】解：（1）∵acosC+
asinC﹣b﹣c＝0，
∴
在△ABC
中，由正弦定理得
，即
，
∵0＜C＜π，∴sinC≠0，
∴
，
∴
，
⼜A∈（0，π），则
，
∴
，解得
；
（2）∵
，且△ABC 的⾯积为
，
∴
，解得bc＝12，
⼜a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣2bc﹣bc＝13，
∴b+c＝7，
∴
，
故△ABC 的周⻓为
．
9．在△ABC 中，⻆A，B，C 对边分别为a，b，c，
．
（1）求B；
（2）若△ABC 为锐⻆三⻆形，且AC＝1，求△ABC 周⻓的取值范围．
【解答】解：（1）由条件得
，
得
，则
，
所以
．
因为0＜B＜π，所以
，
所以
，得
．
（2）在△ABC 中由正弦定理得
，
所以：
＝
，
因为△ABC 为锐⻆三⻆形，则
，得
，
所以
，即
，得
，
故△ABC 周⻓的取值范围为
．
10．在锐⻆△ABC 中，⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知bcsinC＝（c2+b2﹣a2）
．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a＝6，求△ABC 周⻓的最⼤值．
【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理知，a2＝c2+b2﹣2bccosA，
因为bcsinC＝（c2+b2﹣a2）
，
所以bcsinC＝2bccosA•
，
⼜bc≠0，所以sinC＝2cosA•
，
因为sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
所以sinAcosB+cosAsinB＝2cosA（sinB+
cosB）＝cosAsinB+
cosAcosB，
所以sinAcosB＝
cosAcosB，
因为cosB≠0，所以sinA＝
cosA，
所以tanA＝
＝
，
因为A∈（0，π），所以A＝
．
（Ⅱ）由余弦定理知，a2＝c2+b2﹣2bccosA＝c2+b2﹣2bc×
＝（b+c）2﹣3bc，
因为bc≤
，
所以36＝（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣（b+c）2，即（b+c）2≤144，
所以b+c≤12，当且仅当b＝c＝6 时，等号成⽴，
所以△ABC 周⻓a+b+c≤6+12＝18，
故△ABC 周⻓的最⼤值为18．
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解三⻆形——题型04～05 答案
参考答案与试题解析
⼀．解答题（共6 ⼩题）
1．记△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，且a＝bcosC+2ccos2B．
（1）求B；
（2）若b＝2，且AC 边上的⾼为
，求△ABC 的周⻓．
【分析】（1）根据题意，利⽤正弦定理，结合两⻆和的正弦公式得出
，即可求出B；
（2）由⾯积公式得到ac＝4，再结合余弦定理求得a+c 的值，即可求解．
【解答】解：（1）由a＝bcosC+2ccos2B 及正弦定理，
可得sinA＝sinBcosC+2sinCcos2B，
因为A+B+C＝π，所以sin（B+C）＝sinBcosC+2sinCcos2B，
所以sinCcosB＝2sinCcos2B，
因为sinC≠0，cosB≠0，所以
，
因为
，所以
；
（2）因为
，△ABC 的⾯积为
，
所以
，解得ac＝4，
由余弦定理得4＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，
所以a+c＝4，所以a+b+c＝6，
即△ABC 的周⻓为6．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理、三⻆形⾯积公式及两⻆和的正弦公式的应⽤，属中档题．
2．已知△ABC 内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，sin2C＝sinC．
（1）求sinC 的值；
（2）若△ABC 的⾯积为
，且a+b＝
c，求△ABC 的周⻓．
【分析】（1）由⼆倍⻆公式化简可得
，再利⽤同⻆三⻆函数的基本关系即可求解；
（2）由三⻆形⾯积公式可得ab＝4，再利⽤余弦定理即可求解．
【解答】解：（1）因为
，即
，
因为sinC＞0，所以
，
因为sin2C+cos2C＝1，
即
，
所以
；
（2）因为
，所以ab＝4，
因为a2+b2﹣2abcosC＝c2，
即（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC＝c2，
因为
，ab＝4，
，
所以
，解得
，
所以
，
所以△ABC 的周⻓为
．
【点评】本题考查⼆倍⻆公式、正弦定理、余弦定理及三⻆形⾯积公式，属中档题．
3．已知△ABC 的内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且sin （cos
﹣
sin
）+cos （
+sin
）
＝2．
（1）求A；
（2）若a＝2，cosA+cos（B﹣C）＝
sin2BsinC，求△ABC 的周⻓．
【分析】（1）根据⼆倍⻆的三⻆函数公式与辅助⻆公式，算出sin（A+
）＝1，结合A 为三⻆形的内
⻆，求出⻆A＝
；
（2）将cosA＝﹣cos（B+C）代⼊cosA+cos（B﹣C）＝
sin2BsinC，结合三⻆恒等变换公式化简得2sinBsinC
＝
sinBcosBsinC，由此算出cosB＝
，可得B＝
，进⽽得出sinC＝sin（A+B）＝
，再
根据正弦定理算出b、c 的⼤⼩，可得△ABC 的周⻓．
【解答】解：（1）由sin
（cos
﹣
sin
）+cos
（
+sin
）＝2，
整理得2sin
cos
+
（cos2
﹣sin2
）＝2，即sinA+
cosA＝2，
可得2（sinAcos
+cosAsin
）＝2，整理得sin（A+
）＝1，
因为A∈（0，π），所以A+
＝
，可得A＝
；
（2）根据cosA+cos（B﹣C）＝
sin2BsinC，且cosA＝﹣cos（B+C），
可得﹣cos（B+C）+cos（B﹣C）＝
sin2BsinC，
即（﹣cosBcosC+sinBsinC）+（cosBcosC+sinBsinC）＝
sinBcosBsinC，
整理得2sinBsinC＝
sinBcosBsinC，
因为△ABC 中，sinB＞0，sinC＞0，所以2＝
cosB，解得cosB＝
，
结合B∈（0，π），可得B＝
，
所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝
．
根据正弦定理，可得
＝
＝
，即
＝
＝
，
所以b＝
＝
，c＝
＝
，
可得△ABC 的周⻓a+b+c＝2+
+
＝
．
【点评】本题主要考查三⻆恒等变换公式、正弦定理及其应⽤，考查了计算能⼒、等价转化的数学思想，
属于中档题．
4．在△ABC 中，内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知sin2A＝sinA．
（1）求⻆A 的⼤⼩；
（2）已知
，c＝3，求△ABC 的⾯积．
【分析】（1）由⼆倍⻆公式化简即可求得；
（2）由余弦定理可求得b＝5，再由三⻆形的⾯积公式计算即可．
【解答】解：（1）由sin2A＝sinA，得2sinAcosA＝sinA，
⼜因为A∈（0，π），所以sinA＞0，
所以
，所以
；
（2）由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，
即
，解得b＝5 或b＝﹣2（舍去），
所以
＝
．
【点评】本题考查⼆倍⻆公式、余弦定理、三⻆形⾯积公式的应⽤，属于中档题．
5．已知△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满⾜
a＝csinB．
（1）求B；
（2）若b＝
，a＝3c，求△ABC 的⾯积．
【分析】（1）由正弦定理及和⻆公式化简，即可求得⻆B；
（2）由余弦定理边c，进⽽得边a，即可求得三⻆形⾯积．
【解答】解：（1）因为
，
所以由正弦定理得
，
所以
，
sinBcosC﹣
sinBcosC﹣
cosBsinC＝sinCsinB，
即
，
因为sinC≠0，所以
，
由于0＜B＜π，所以
；
（2）由题意，b＝
，a＝3c，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，
得13＝a2+c2+ac＝9c2+c2+3c2，
解得c＝1 或c＝﹣1（舍去），所以a＝3，
所以△ABC 的⾯积
．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理及三⻆形⾯积公式，属中档题．
6．在三⻆形ABC 中，内⻆A、B、C 所对边分别为a、b、c，已知
．
（1）求⻆A 的⼤⼩；
（2）若c＝2b，三⻆形ABC 的⾯积为
，求三⻆形ABC 的周⻓．
【解答】解：（1）由正弦定理
得asinB＝bsinA，所以
，
所以
，整理得
，
因为A∈（0，π），所以sinA＞0，因此cosA＞0，所以
，
所以
；
（2）由△ABC 的⾯积为
，得
，解得
，
⼜c＝2b，则
，
，
由余弦定理得
，解得a＝2，
，
所以△ABC 的周⻓为
．
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解三⻆形——题型06～09 答案
参考答案与试题解析
⼀．解答题（共9 ⼩题）
1．函数
，已知f（x）的图象上两相邻最⾼点的横坐
标分别为
和
，点
在f（x）图象上，且在△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别为a，b，
c．
（1）求a 与ω的值；
（2）若f（A）＝4，求△ABC 周⻓的最⼤值．
【解答】解：（1）根据题意，可得f（x）＝
asin2ωx﹣acos2ωx＝2asin（2ωx﹣
），
因为f（
）＝4，取得最⼤值，所以2a＝4，解得a＝2；
⼜因为f（x）的最⼩正周期T＝
﹣
＝π，所以
＝π，解得ω＝1．
（2）由（1）可得f（x）＝4sin（2x﹣
），
所以f（A）＝4sin（2A﹣
）＝4，即sin（2A﹣
）＝1，
结合A∈（0，π），可得2A﹣
＝
，解得A＝
．
由余弦定理，可得a2＝b2+c2﹣2bccos
＝4，
即b2+c2﹣bc＝4，整理得（b+c）2＝4+3bc．
因为bc≤
，所以（b+c）2≤4+
（b+c）2，解得b+c≤4，
当且仅当b＝c＝2 时，等号成⽴．
所以a+b+c≤6，当b＝c＝2 时，△ABC 的周⻓取的最⼤值为6．
2．在△ABC 中，a、b、c 分别为⻆A、B、C 所对的边，且a2﹣b2＝（a﹣c）c．
（1）求⻆B．
（2）若
，求△ABC 周⻓的最⼤值．
【解答】解：（1）由a2﹣b2＝（a﹣c）c，可得a2+c2﹣b2＝ac，
在△ABC 中，由余弦定理得cosB＝
＝，结合0＜B＜π，可得B＝
；
（2）由（1）得b2＝a2+c2﹣ac＝3，整理得（a+c）2＝3+3ac，
因为ac≤（
）2，所以（a+c）2＝3+3ac≤3+
（a+c）2，
整理得（a+c）2≤12，即a+c≤
，当且仅当a＝c 时取等号．
综上所述，当a＝c＝
时，a+c 取得最⼤值，此时△ABC 周⻓a+b+c 的最⼤值为
．
3．记△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，
．
（1）求B；
（2）设AC 边上的⾼为h，若
，且b＝3，求△ABC 周⻓的取值范围．
【解答】解：（1）由
，根据正弦定理得
（sinA﹣sinBcosC）＝sinCsinB，
结合sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，化简得
cosBsinC＝sinCsinB，
因为△ABC 中，sinC≠0，所以
cosB＝sinB，可得tanB＝
＝
，
结合B∈（0，π），可得B＝
．
（2）根据题意，可得△ABC 的⾯积S＝bh＝acsinB，
结合b＝3，B＝
，可得h＝
＝
∈[
，
]，所以ac∈[4，6]．
由余弦定理，可得b2＝a2+c2﹣2accos
＝9，即a2+c2﹣ac＝9，
所以（a+c）2＝（a2+c2﹣ac）+3ac＝9+3ac∈[21，27]，可得a+c∈[
，
]．
因此，△ABC 的周⻓a+b+c∈[3+
，3+
]．
4．在△ABC 中，内⻆A、B、C 的对边分别为a、b、c，且b2+c2﹣a2＝bc．
（1）求cosA 的值；
（2）若△ABC 是锐⻆三⻆形，
，求b+c 的取值范围．
【解答】解：（1）因为b2+c2﹣a2＝bc，所以
．
（2）由cosA＝且A∈（0，π），可得
，
根据正弦定理，可得
＝
＝
＝
＝2，
所以b+c＝2sinB+2sinC＝2sinB+2sin（
﹣B）
＝2sinB+
cosB+sinB＝3sinB+
cosB＝
sin（B+
），
根据△ABC 为锐⻆三⻆形，可得
，解得
，
所以B+
∈（
，
），可得
，
．
综上所述，b+c 的取值范围是
．
5．在△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
（1）求⻆C 的⼤⼩；
（2）若△ABC 为锐⻆三⻆形，且b＝4，求△ABC 周⻓的取值范围．
【解答】解：（1）由正弦定理得
，
整理得a2+b2﹣c2＝ab，所以
，
⼜C∈（0，π），所以
．
（2）由（1）知
，即
．
因为△ABC 为锐⻆三⻆形，所以
解得
．
由正弦定理
，得
，
则
＝
，
当
时，
，则
．
⼜
，
所以
，所以
，
所以
，即
，
所以△ABC 周⻓的取值范围是
．
6．在①（a﹣c）sin（A+B）＝（a﹣b）（sinA+sinB）；②
；③
；这三个
条件中任选⼀个，补充在下⾯的问题中，并解答问题（其中S 为△ABC 的⾯积）．
问题：在△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，且_____．
（1）求⻆B 的⼤⼩；
（2）AC 边上的中线
，求△ABC 的⾯积的最⼤值．
【解答】解：（1）若选①，在△ABC 中，因为sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC，
故由（a﹣c）sin（A+B）＝（a﹣b）（sinA+sinB），
可得（a﹣c）sinC＝（a﹣b）（sinA+sinB），
由正弦定理得：c（a﹣c）＝（a﹣b）（a+b），即c2+a2﹣b2＝ac，
则
，⼜0＜B＜π，故
；
选②，
，则
，
所以
，⼜0＜B＜π，所以
；
选③，由
及正弦定理得：
，⼜sinA＝sinB+C），
所以
，
即
，因为0＜C＜π，sinC≠0，
所以
，⼜0＜B＜π，得
；
综上所述：选择①②③，都有
；
（2）由题意，
，则有4
＝
，
即
，所以8＝c2+a2+ca≥3ca，
故
，当且仅当
时取等号，
则
，
即△ABC 的⾯积的最⼤值为
．
7．在△ABC 中，内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，
．
（1）求A；
（2）若⻆A 的平分线交边BC 于点D，
，求△ABC ⾯积的最⼩值．
【解答】解：（1）根据
asinC﹣acosC＝c﹣b，由正弦定理得
sinAsinC﹣sinAcosC＝sinC﹣sinB，
结合sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，整理得
sinAsinC+cosAsinC＝sinC，
因为△ABC 中，sinC＞0，所以
sinA+cosA＝1，化简得
，
因为△ABC 中，
，所以
，可得
；
（2 ）由第（1 ）问的结论，结合AD 平分∠CAB ，可得
，
因为S△ABC＝S△BAD+S△CAD，所以
bcsin∠BAC＝c•ADsin∠BAD+
b•ADsin∠CAD，
即
＝
，结合AD＝
，化简得
，
根据基本不等式，可得
≥
，所以bc≥
，解得bc≥12．
当且仅当
时，等号成⽴．
所以
，当b＝c＝
时，△ABC 的⾯积的最⼩值为
．
8．已知f（x）＝
．
（1）求f（x）的最⼩正周期及单调增区间；
（2）在锐⻆△ABC 中，⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，△ABC 的外接圆半径为
2，求△ABC ⾯积的最⼤值．
【解答】解：（1）根据题意，可得f（x）的最⼩正周期为
，
由
（k∈Z），解得
（k∈Z），
所以函数f（x）的单调递增区间为
（k∈Z）．
（2）由
，可得
，
结合A 锐⻆，可得
，所以
＝
，解得
．
因为△ABC 的外接圆半径R＝2，所以
，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccos A，即
，
所以12＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，即bc≤12，当且仅当
，取等号，
所以△ABC ⾯积S＝bcsinA＝
bc≤
，当b＝c＝
时，△ABC ⾯积的最⼤值为
．
9．已知a，b，c 分别为△ABC 三个内⻆A，B，C 的对边，且
．
（1）求B；
（2）若△ABC 为锐⻆三⻆形，且有c＝1，求△ABC ⾯积的取值范围．
【解答】解：（1）由
，可得bcosC+
bsinC＝a+c，
根据正弦定理，得sinBcosC+
sinBsinC＝sinA+sinC，
因为△ABC 中，sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，
所以sinBcosC+
sinBsinC＝（sinBcosC+cosBsinC）+sinC，
整理得sinC（
sinB﹣cosB﹣1）＝0，
结合sinC≠0，可得
sinB﹣cosB＝1，即2sin（B﹣
）＝1，sin（B﹣
）＝．
⽽B 为三⻆形的内⻆，可知B﹣
＝
，所以B＝
；
（2）△ABC 中，c＝1，B＝
，由正弦定理
，
可得a＝
＝
＝
＝
＝
．
因为△ABC 是锐⻆三⻆形，
所以
，解得C∈（
，
），可得tanC＞tan
，即tanC＞
，
可得
∈（0，
），a＝
∈（，2）．
因此，△ABC 的⾯积S＝
＝
∈（
，
）．
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题型10——求有关边⻆范围综合
参考答案与试题解析
⼀．解答题（共7 ⼩题）
1．在△ABC 中，内⻆A，B，C 满⾜2sin2A+sin2B＝2sin2C．
（1）求证：tanC＝3tanA；
（2）求
最⼩值．
【解答】（1）证明：在△ABC 中，内⻆A，B，C 满⾜2sin2A+sin2B＝2sin2C，
由正弦定理可得：2a2+b2＝2c2，
则
＝
，
则4sinAcosC＝sinB，
则4sinAcosC＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
即3sinAcosC＝cosAsinC，
即tanC＝3tanA；
（2）解：由（1）tanC＝3tanA，则tanA＞0，
则
＝
，
则
＝
＝
＝3，当
且仅当tan2A＝1，即tanA＝1，即
时取等号，
即
的最⼩值为3．
2．在锐⻆△ABC 中，⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
（1）求⻆C；
（2）求sin2A+cos2B 的取值范围．
【解答】解：（1）因为
，
所以
，
由余弦定理，可得
，
⼜由正弦定理，可得
，
⼜sinA＞0，故
，⼜C 为锐⻆，
故
；
（2）由（1）知
，则A＝
，
故
＝
＝
＝
，
因为三⻆形为锐⻆三⻆形，
故
，解得：
，
则
，故
，
所以
，
故sin2A+cos2B 的取值范围是
．
3．在锐⻆△ABC 中，已知b＝2
，2a﹣c＝2bcosC．
（1）求B；
（2）求3a+2c 的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，2a﹣c＝2bcosC，
根据正弦定理可得，2sinA﹣sinC＝2sinBcosC，
则2sin（B+C）﹣sinC＝2sinBcosC，
展开可得2cosBsinC﹣sinC＝0，
∵sinC≠0，
∴cosB＝，
∵B∈（0，π），
∴B＝
；
（2）由正弦定理
＝4，
则3a+2c＝12sinA+8sinC
＝4（3sinA+2sinC）
＝
＝
＝4
sin（A+φ），其中sinφ＝
，
∵△ABC 是锐⻆三⻆形，
∴
＜A＜
，
∴
+φ＜A+φ＜
+φ，
∵
＜sin（A+φ）≤1，
∴
．
4．在△ABC 中，内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，满⾜b（b+a）＝c2；
（1）求证：C＝2B；
（2）若△ABC 为锐⻆三⻆形，求2sinC+cosB﹣sinB 的最⼤值．
【解答】解：（1）证明：因为b（b+a）＝b2+ab＝c2，
在△ABC 中，由余弦定理得到：b2+ab＝c2＝a2+b2﹣2abcosC，
所以b＝a﹣2bcosC，
由正弦定理得到sinB＝sinA﹣2sinBcosC＝sinCcosB﹣cosCsinB＝sin（C﹣B），
因为B，C∈（0，π），则C﹣B∈（﹣π，π），
所以C﹣B＝B 或C﹣B＝π﹣B（舍去），
所以C＝2B；
（2）因为△ABC 为锐⻆三⻆形，
所以
，
解得：
＜B＜
，
所以0＜
﹣B＜
，
且sin
＝sin（
﹣
）＝sin
cos
﹣cos
sin
＝
，
由（1）问，C＝2B，
所以2sinC+cosB﹣sinB＝2sin2B+cosB﹣sinB，
令t＝cosB﹣sinB＝
sin（
﹣B）∈（0，
），
则sin2B＝1﹣（cosB﹣sinB）2，
所以2sinC+cosB﹣sinB＝2（1﹣t2）+t＝﹣2t2+t+2＝﹣2（t﹣）2+
，
因为t∈（0，
），
所以当t＝时，所求2sinC+cosB﹣sinB 的最⼤值为
．
5．△ABC 中，D 为BC 边的中点，AD＝1．
（1）若△ABC 的⾯积为2
，且∠ADC＝
，求sinC 的值；
（2）若BC＝4，求cos∠BAC 的取值范围．
【解答】解：（1）因为D 为BC 边的中点，
所以S△ADC＝S△ABC＝
，
⼜S△ADC＝AD•DCsin∠ADC＝
，即
，解得DC＝4，
在△ADC 中由余弦定理AC2＝AD2+DC2﹣2AD•DCcos∠ADC，即
，
所以
，
在△ADC 中由正弦定理
，即
，解得
；
（2）设∠ADC＝θ，θ∈（0，π ），
在△ADB 中由余弦定理AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BDcos∠ADB，
即AB2＝12+22﹣2×1×2cos（π﹣θ）＝5+4cosθ，
在△ADC 中由余弦定理AC2＝AD2+DC2﹣2AD•DCcos∠ADC，
即AC2＝12+22﹣2×1×2cosθ＝5﹣4cosθ，
在△ABC 中由余弦定理可得cos ∠BAC ＝
＝
＝﹣
，
因为θ∈（0，π），
所以cos2θ∈[0，1），
则25﹣16cos2θ∈（9，25]，
所以
，
所以
，
所以
，即
．
6．有如图所示的四边形ABCD．
（1）在△ABC 中，三内⻆为A，B，C，求当A 为何值时，
取得最⼤值，并求出这个最
⼤值；
（2）若∠CAB 为（1）中所得值，∠BAD＝90°，∠BCD＝120°，AC＝2，记∠ABC＝θ．
（ⅰ）求⽤含θ的代数式表示DC；
（ⅱ）求△BCD 的⾯积S 的最⼩值．
【解答】解：（1）因为
＝1﹣2sin2A+2cos（
﹣）
＝
＝﹣2（sin
﹣）2，
所以当sin
＝，即A＝60°时，取得最⼤值
；
（2）（i）由（1）可得∠CAB＝60°，可得∠CAD＝30°，
因为四边形内⻆和360°，∠BCD＝120°，AC＝2，∠ABC＝θ，
所以∠ADC＝150°﹣θ，
所以在△ADC 中，
；
（ii）在△ABC 中，
，
所以
＝
＝
＝
＝
，
所以当θ＝75°时，S 取最⼩值
．
7．已知△ABC 中，内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满⾜
．
（1）若
，求B；
（2）求
的取值范围．
【解答】解：（1）∵
，
∴由正弦定理得
，即ab＝c2﹣b2，即c2＝ab+b2①，
⼜
，
由余弦定理得
，即c2＝a2+b2﹣ab②，
由①②得a2＝2ab，则a＝2b，
∴
，
由余弦定理得
，
⼜B∈（0，π），则
；
（2）由（1）得c2＝b2+ab，
∴
，c＞b，
∴
，
由三⻆形三边关系得
，代⼊化简得b＜c＜2b，
令
，则f（x）＝x2+x﹣1，
∴
，
∴
，
∴
的取值范围是（1，5）．
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解三⻆形——题型11～17
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
A
A
A
C
C
C
B
D
A
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
答案
A
C
D
C
D
B
C
C
D
C
A
题号
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
答案
D
B
A
A
D
B
A
C
A
B
A
⼀．选择题（共33 ⼩题）
1．甲、⼄两⼈在地平⾯上测得电线杆顶部的仰⻆分别为30°，60°，如果电线杆在地平⾯上的⾼度为6 ⽶，
那么甲、⼄两⼈在地平⾯上的最远距离为（
）
A．
⽶
B．
⽶
C．
⽶
D．
⽶
【分析】由图画出示意图，解直⻆三⻆形求得甲、⼄两⼈距离电线杆底端的距离，再结合实际情况即可
求得．
【解答】解：设电线杆的顶端为点M，电线杆的底端为点N，甲在点A，⼄在点B，如图，
由题可得，MN＝6，∠MAN＝30°，∠MBN＝60°，
在Rt△MAN 中，
，解得
＝
（⽶），
在Rt△MBN 中，
，解得
＝
（⽶），
当A，B 在电线杆的两侧，且在⼀条直线上时，
甲、⼄两⼈在地平⾯上的距离最远，且最远距离为
⽶．
故选：C．
【点评】本题考查解三⻆形的实际应⽤问题，属于基础题．
2．早在两千年前，古⼈就通过观测发现地⾯是球⾯，并会运⽤巧妙的⽅法对地球半径进⾏估算．如图所示，
把太阳光视为平⾏光线，O 为地球球⼼，A，B 为北半球上同⼀经度的两点，且A，B 之间的经线⻓度为
L，于同⼀时刻在A，B 两点分别竖⽴⼀根⻓杆AA1和BB1，通过测量得到两根⻓杆与太阳光的夹⻆α和
β（α和β的单位为弧度），由此可计算地球的半径为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】过点B 作太阳光的平⾏线，与OA 的延⻓线交于点C，可求出∠AOB＝β﹣a，利⽤弧⻓公式即
可求得地球的半径．
【解答】解：如图所示，过点B 作太阳光的平⾏线，与OA 的延⻓线交于点C，
则∠B1BC＝β，∠BCO＝α，所以∠AOB＝β﹣a，
设地球半径为R，则根据弧⻓公式得R（β﹣a）＝L，
所以
，
故选：A．
【点评】本题考查解三⻆形问题，弧⻓公式的应⽤，属基础题．
3．某次军事演习中，炮台A 向北偏东60°⽅向发射炮弹，炮台B 向北偏⻄30°⽅向发射炮弹，两炮台均命
中10km 外的同⼀⽬标，则A，B 两炮台在东⻄⽅向上的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意先求得AB 之间在南北⽅向上的距离，继⽽可求得A，B 两炮台在东⻄⽅向上的距离．
【解答】解：由题意得，A 在B 北偏⻄75°⽅向上，
AB 之间在南北⽅向上的距离为
，
则AB 在东⻄⽅向上的距离为
，
其中
，
因此
．
故选：A．
【点评】本题考查解三⻆形的应⽤，属于中档题．
4．“不以规矩，不能成⽅圆”出⾃《孟⼦•离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的⻓短两条直尺构成的
⽅尺，是古⼈⽤来测量、画圆和⽅形图案的⼯具，今有⼀块圆形⽊板，按图中数据，以“矩”量之，若将
这块圆形⽊板截成⼀块四边形形状的⽊板，且这块四边形⽊板的⼀个内⻆α满⾜
，则这块四
边形⽊板周⻓的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】连接BD，分别在两个三⻆形中，利⽤余弦定理结合基本不等式求出b+c 与m+n 的最⼤值即可．
【解答】解：由题图得，圆形⽊板的直径为
＝
，
设截得的四边形⽊板为ABCD，连接BD，
设∠A＝α，AB＝ccm，BD＝acm，AD＝bcm，BC＝ncm，CD＝mcm，
如图所示：
由
，且0＜α＜π，
可得sinα＝
，
在△ABD 中，由正弦定理得
，
解得
．，
在△ABD 中，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosα，
所以
，
即
，
可得
，当且仅当b＝c＝
时，等号成⽴，
在△BCD 中，∠BCD＝π﹣α，
由余弦定理，
可
得
＝
，
即
，
可得0＜m+n≤
，当且仅当m＝n＝
时等号成⽴，
因此这块四边形⽊板周⻓的最⼤值为
cm．
故选：A．
【点评】本题考查解三⻆形以及基本不等式的应⽤，属于中档题．
5．为了测量⻄藏被誉称为“阿⾥之巅”冈仁波⻬⼭峰的⾼度，通常采⽤⼈⼯攀登的⽅式进⾏，测量⼈员从⼭
脚开始，直到到达⼭顶分段测量过程中，已知竖⽴在B 点处的测量觇标⾼20 ⽶，攀登者们在A 处测得，
到觇标底点B 和顶点C 的仰⻆分别为45°，75°，则A，B 的⾼度差约为（
）
A．7.32 ⽶
B．7.07 ⽶
C．27.32 ⽶
D．30 ⽶
【分析】先根据题意建⽴三⻆形模型，再根据解三⻆形的知识，求解即可．
【解答】解：根据题意画出如图的模型，则CB＝20，∠OAB＝45°，∠OAC＝75°，
所以∠CAB＝30°，∠ACB＝15°，
在△ABC 中，由正弦定理可得
＝
，
可得AB＝
＝
＝
＝
＝
10
﹣10
，
所以在Rt△AOB 中，BO＝ABsin45°＝（10
﹣10
）×
＝10
﹣10≈7.32（⽶）．
故选：A．
【点评】本题考查解三⻆形的实际应⽤问题，考查数学建模能⼒，是基础题．
6．在△ABC 中，内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知
，则此三⻆形（
）
A．⽆解
B．有⼀解
C．有两解
D．解的个数不确定
【分析】由三⻆形的正弦定理和三⻆形的边⻆关系，可得结论．
【解答】解：由
，
结合正弦定理可得
＝
，
可得sinB＝
＝
＜1，
⼜2
＜4，即有A＜B，
⽽A 为锐⻆，所以B 有两解，
故三⻆形有两解．
故选：C．
【点评】本题考查三⻆形的正弦定理和应⽤，考查⽅程思想和运算能⼒，属于基础题．
7．在△ABC 中，已知AB＝x，
，
，若存在两个这样的三⻆形ABC，则x 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由正弦定理可得
，分析可知关于A 的⽅程：
在
有两解，结合
正弦函数图象分析求解．
【解答】解：由正弦定理
，可得
，
由题意可知：关于A 的⽅程：
在
有两解，
在同⼀坐标系内分别作出曲线y＝sinA，
和⽔平直线
，
因为它们有两个不同的交点，
所以
，
所以
．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦定理以及正弦函数的性质的应⽤，考查了函数思想和数形结合思想，属于中档
题．
8．在△ABC 中，a＝80，b＝100，A＝30°，则B 的解的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．⽆法确定
【分析】根据正弦定理得到sinB 的值，然后因为B 为三⻆形中的⻆即B∈（0，π），利⽤正弦函数的图
象得到B 满⾜条件的个数即可
【解答】解：因为a＝80，b＝100，A＝30°，
根据正弦定理得：
＝
，
代⼊得到sinB＝，由于B∈（0，π），
所以B＝arcsin
或B＝π﹣arcsin
故选：C．
【点评】考查学⽣灵活运⽤正弦定理解决实际问题的能⼒，以及会根据三⻆函数值求出满⾜的⻆．
9．在△ABC 中，a＝x，b＝2，B＝60°，若三⻆形有两解，则x 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由正弦定理可知：三⻆形有两个解，则满⾜
，代⼊即可求得边⻓a 的取值范围．
【解答】解：由三⻆形有两解，则满⾜
，
所以
，解得：2＜a＜
，
即x 的取值范围是2＜x＜
．
故选：B．
【点评】本题考查正弦定理的应⽤，考查三⻆形解的个数，考查计算能⼒，属于基础题．
10．已知△ABC 的内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，A＝
，b＝3，下⾯可使得△ABC 有两组解的
a 的值为（
）
A．
B．3
C．4
D．e
【分析】根据三⻆形有两解，应满⾜ACsin30°＜BC＜AC，化简即可求解．
【解答】解：因为△ABC 有两解，A＝
，b＝3，
所以bsin
＜a＜b，即
＜a＜3．
故选：D．
【点评】本题考查三⻆形有两⻆的充要条件的应⽤，属于基础题．
11．△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a＝4，
，若△ABC 有两解，则c 的取值可
能为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】由题意可得asinC＜c＜a，计算即可得．
【解答】解：由△ABC 有两解，可得asinC＜c＜a，
⼜a＝4，
，则1＜c＜4．
故选：A．
【点评】本题考查三⻆形解的个数判定，属基础题．
12．在△ABC 中，内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三⻆形：①a＝14，b＝7，B＝30
°；②a＝10，b＝9，B＝60°．则（
）
A．①只有⼀个解，②有两个解
B．①有两个解，②只有⼀个解
C．①②都只有⼀个解
D．①②都有两个解
【分析】由正弦定理结合边⻆关系判断即可．
【解答】解：对于①，在△ABC 中，∵a＝14，b＝7，B＝30°，
∴由正弦定理可知
＝
，即
，
∵A∈（0，π），∴
，则①只有⼀个解；
对于②，由正弦定理可知
，
且a＞b，则A 有两解，因此②有两个解．
故选：A．
【点评】本题考查正弦定理的应⽤，属于中档题．
13．在△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别是a，b，c，若满⾜条件a＝3，A＝60°的三⻆形有两个，则b 的
取值范围是（
）
A．（2，3）
B．
C．
D．
【分析】由已知结合正弦定理及三⻆形的⼤边对⼤⻆即可求解．
【解答】解：由正弦定理得
＝
＝2
，
所以sinB＝
，
因为三⻆形有两解，
所以sinB＜1 且b＞a，
所以b
，
解得3
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利⽤正弦定理判断三⻆形的解的个数，属于基础题．
14．在△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．若△ABC 有两个解，则c
的取值范围为（
）
A．（0，3）
B．
C．
D．
【分析】根据余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，代⼊数据得到关于a 的⼀元⼆次⽅程，根据该⽅程有两
个不相等的正数根，列式求出c 的取值范围．
【解答】解：由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB，
结合
，可得27＝a2+c2﹣ac，整理得a2﹣ca+c2﹣27＝0，
将其看成关于a 的⼀元⼆次⽅程，该⽅程有两个不相等的正数根，
所以两根之和为c＞0，两根之积为c2﹣27＞0，解得c＞
，
且根的判别式Δ＞0，即c2﹣4（c2﹣27）＞0，整理得c2＜36，可得c＜6．
综上所述，
＜c＜6，即c 的取值范围是（
，6）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了余弦定理及其应⽤、⼀元⼆次⽅程根的判别式等知识，属于基础题．
15．在△ABC 中，a，b，c 分别为⻆A，B，C 所对的边，已知a＝6，b＝x，
，若满⾜条件的⻆A 有
两个不同的值，则x 的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．（0，6）
【分析】直接利⽤正弦定理的应⽤求出结果．
【解答】解：若△ABC 满⾜条件的⻆A 有两个不同的值，即三⻆形有两解，
故6＞
，
故x 的取值范围为（3
）．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：正弦定理的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒，属于基础题．
16．在△ABC 中，已知a＝4，b＝x，A＝60°，如果解该三⻆形有两解，则（
）
A．x＞4
B．0＜x≤4
C．x≤
D．4＜x＜
【分析】结合图象可得如解该三⻆形有两解，则必须有：bsinA＜a＜b，代⼊已知即可得解．
【解答】解：如图所示：
∵如果解该三⻆形有两解，则必须满⾜：CD＜BC＜AC，既有：bsinA＜a＜b，
∴xsin60°＜4＜x．
∴可解得：4＜x＜
．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦定理在解三⻆形中的应⽤，属于基本知识的考查．
17．若
，且（a﹣ccosB）sinB＝（b﹣ccosA）sinA，那么△ABC 是（
）
A．直⻆三⻆形
B．等腰直⻆三⻆形
C．等腰三⻆形
D．等边三⻆形
【分析】先根据余弦定理求出⻆A，再通过正弦定理把a，b，c 的表达式代⼊（a﹣ccosB）sinB＝（b﹣
ccosA）sinA 中，化简整理，进⽽可推断三⻆形是等腰直⻆三⻆形．
【解答】解：由
，
则cosA＝
＝
，
∵0＜A＜π，
∴A＝
，
∵（a﹣ccosB）sinB＝（b﹣ccosA）sinA，由正弦定理可得，
∴（sinA﹣sinCcosB）sinB＝（sinB﹣sinCcosA）sinA，
即sinAsinB﹣sinCcosBsinB＝sinBsinA﹣sinCcosAsinA，
∴sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA，
∵sinC≠0，
∴cosBsinB＝cosAsinA＝，
∴sin2B＝1，
∴2B＝
，
∴B＝
，
∴C＝
，
∴那么△ABC 是等腰直⻆三⻆形，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三⻆形中的应⽤．在解三⻆形问题中经常把边的问题
转化成⻆的正弦或余弦，利⽤三⻆函数的关系来解决问题，属于中档题．
18．在△ABC 中，若sin2A＞sin2B+sin2C，则△ABC 的形状是（
）
A．锐⻆三⻆形
B．直⻆三⻆形
C．钝⻆三⻆形
D．不能确定
【分析】根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解．
【解答】解：sin2A＞sin2B+sin2C，
则b2+c2＜a2，
故cosA＝
＜0，故⻆A 为钝⻆，
故△ABC 的形状是钝⻆三⻆形．
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应⽤，属于基础题．
19．在△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别是a，b，c，若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC 的形状是（
）
A．锐⻆三⻆形
B．直⻆三⻆形
C．钝⻆三⻆形
D．不确定的
【分析】由已知结合同⻆平⽅关系，正弦定理及余弦定理进⾏化简即可判断．
【解答】解：若sin2A+sin2B+cos2C＜1，
则sin2A+sin2B＜1﹣cos2C＝sin2C，
由正弦定理得，a2+b2﹣c2＜0，即cosC＜0，
所以C 为钝⻆，即△ABC 为钝⻆三⻆形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了同⻆基本关系，正弦定理及余弦定理在三⻆形形状判断中的应⽤，属于基础题．
20．在△ABC 中，若a﹣ccosB＝b﹣ccosA，则△ABC 的形状是（
）
A．等腰三⻆形
B．直⻆三⻆形
C．等腰直⻆三⻆形
D．等腰或直⻆三⻆形
【分析】利⽤余弦定理将a﹣ccosB＝b﹣ccosA 化简为
，从⽽可求解．
【解答】解：由a﹣ccosB＝b﹣ccosA，得
，
化简得
，
当a2+b2﹣c2＝0 时，即a2+b2＝c2，则△ABC 为直⻆三⻆形；
当a2+b2﹣c2≠0 时，得a＝b，则△ABC 为等腰三⻆形；
综上：△ABC 为等腰或直⻆三⻆形，故D 正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查三⻆形的形状判断，属于基础题．
21．已知△ABC 中，内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，则△ABC 的形状是（
）
A．等腰三⻆形
B．等边三⻆形
C．直⻆三⻆形
D．等腰三⻆形或直⻆三⻆形
【分析】由正弦定理以及两⻆和的正弦公式整理得cosA（sinC+sinB）＝0，进⼀步有cosA＝0，由此即可
得解．
【解答】解：由正弦定理及
，得
，
所以sinAcosB+sinAcosC＝sin（A+C）+sin（A+B）＝sinAcosC+cosAsinC+sinAcosB+cosAsinB，
得cosA（sinC+sinB）＝0，
因为0＜B＜π，0＜C＜π，
所以sinB＞0，sinC＞0，所以cosA＝0，
因为0＜A＜π，所以
，△ABC 为直⻆三⻆形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦定理，和差⻆公式在三⻆形形状判断中的应⽤，属于中档题．
22．在△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，若b2+c2＝a2+bc，cosB+cosC＝2cosA，则△ABC 是（
）
A．等边三⻆形
B．钝⻆三⻆形
C．等腰不等边三⻆形
D．直⻆三⻆形
【分析】先依据b2+c2＝a2+bc 求得
，再利⽤cosB+cosC＝2cosA 可以求得
，从⽽判断△ABC
的形状是等边三⻆形．
【解答】解：△ABC 中，b2+c2＝a2+bc，则
，
⼜0＜A＜π，则
，由cosB+cosC＝2cosA，可得cosB+cosC＝1，
所以
，即
，
所以
，可得
，所以
，
则△ABC 的形状是等边三⻆形．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：三⻆函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，余弦定理，主要考查学
⽣的理解能⼒和计算能⼒，属于中档题．
23．在△ABC 中，若
，则△ABC 的形状是（
）
A．等腰三⻆形
B．直⻆三⻆形
C．等腰直⻆三⻆形
D．等腰三⻆形或直⻆三⻆形
【分析】根据已知条件，推得
或
，再分类讨论，即可求解．
【解答】解：
，
则
＝
，即
或
，
当
时，
，即cosCsinC＝cosBsinB，
故sin2C＝sin2B，
所以2C＝2B 或2C+2B＝π，即C＝B 或C+B＝
，
故△ABC 为等腰三⻆形或直⻆三⻆形，
当
时，
则C＝
，
综上所述，△ABC 的形状是等腰三⻆形或直⻆三⻆形．
故选：D．
【点评】本题主要考查三⻆形的形状判断，属于基础题．
24．在△ABC 中，
（a，b，c 分别为⻆A，B，C 的对边），则△ABC 的形状可能是（
）
A．正三⻆形
B．直⻆三⻆形
C．等腰直⻆三⻆形
D．等腰三⻆形
【分析】根据条件先求出cosB，再结合正弦定理和三⻆形的内⻆和公式，可求出⻆B，从⽽判断三⻆形
的形状．
【解答】解：由已知
，得
，即
，
由正弦定理可得：
，
所以cosAsinC＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
得cosCsinA＝0，
在△ABC 中sinA≠0，所以cosC＝0，
⼜0＜C＜π，所以
，即三⻆形为直⻆三⻆形．
故选：B．
【点评】本题主要考查三⻆形的形状判断，属于基础题．
25．在△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
＝
，sin A＞sin B，则△ABC 的形状⼀定是
（
）
A．直⻆三⻆形
B．等腰三⻆形
C．等腰直⻆三⻆形
D．等腰或直⻆三⻆形
【分析】由
＝
，利⽤正弦定理可得
＝
，进⽽可得sin2A＝sin2B，由此可得结论．
【解答】解：∵
＝
，
∴由正弦定理可得
＝
，
∴sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B 或2A+2B＝π，
∵sin A＞sin B，
∴A+B＝
，
∴△ABC 的形状是直⻆三⻆形
故选：A．
【点评】本题考查三⻆形形状的判断，考查正弦定理的运⽤，考查学⽣分析解决问题的能⼒，属于中档
题．
26．在△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2bcosC﹣2ccosB＝a，且B＝2C，则△ABC 的形状
是（
）
A．直⻆三⻆形
B．等腰三⻆形
C．等腰直⻆三⻆形
D．等边三⻆形
【分析】由正弦定理，三⻆函数恒等变换的应⽤化简已知等式可得sinBcosC＝3cosBsinC，⼜利⽤⼆倍⻆
的正弦函数公式，可得2sinCcos2C＝3cosBsinC，结合sinC＞0，化简解得cos2C 的值，结合C 的范围可
求C，进⽽可求B，利⽤三⻆形内⻆和定理可求A 的值，即可判断三⻆形的形状．
【解答】解：∵2bcosC﹣2ccosB＝a，
∴2sinBcosC﹣2sinCcosB＝sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC＝3cosBsinC，
⼜∵B＝2C，
∴可得：sinB＝2sinCcosC，
∴2sinCcos2C＝3cosBsinC，
∴由sinC＞0，可得：2cos2C＝3cosB，
∴1+cos2C＝3cos2C，解得：cos2C＝，
∵C∈（0，
），2C∈（0，π），
∴2C＝
，可得C＝
，B＝2C＝
，A＝π﹣（B+C）＝
，即△ABC 的形状是直⻆三⻆形．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三⻆函数恒等变换的应⽤，⼆倍⻆的正弦函数公式，三⻆形内⻆和
定理在解三⻆形中的应⽤，考查了转化思想的应⽤，属于中档题．
27．在△ABC 中，若asinB＝
bcosA，且sinC＝2sinAcosB，那么△ABC ⼀定是（
）
A．等腰直⻆三⻆形
B．直⻆三⻆形
C．等腰三⻆形
D．等边三⻆形
【分析】由两⻆和的正弦公式，结合正弦定理求解即可．
【解答】解：已知asinB＝
bcosA，
则sinAsinB＝
sinBcosA，
则tanA＝
，
即A＝
，
⼜sinC＝2sinAcosB，
则sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosB，
即sinAcosB﹣cosAsinB＝0，
即sin（A﹣B）＝0，
⼜﹣π＜A﹣B＜π，
即A＝B，
即A＝B＝C＝
，
即△ABC ⼀定是等边三⻆形，
故选：D．
【点评】本题考查了两⻆和的正弦公式，重点考查了正弦定理，属基础题．
28．在△ABC 中，若
，则△ABC 的形状⼀定是（
）
A．等边三⻆形
B．直⻆三⻆形
C．锐⻆三⻆形
D．钝⻆三⻆形
【分析】先利⽤数量积运算化简得到accosB＝c2，再利⽤余弦定理化简得解．
【解答】解：因为
，
所以accos（π﹣B）+c2＝0，即accosB＝c2，
所以
，即b2+c2＝a2，
所以三⻆形是直⻆三⻆形．
故选：B．
【点评】本题考查平⾯向量数量积定义，考查余弦定理，属基础题．
29．在△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知三个向量＝（a，cos
），＝（b，cos
），＝
（c，cos
）共线，则△ABC 的形状为（
）
A．等边三⻆形
B．钝⻆三⻆形．
C．有⼀个⻆是
的直⻆三⻆形
D．等腰直⻆三⻆形
【分析】由向量共线的坐标运算可得acos
＝bcos
，利⽤正弦定理化边为⻆，再展开⼆倍⻆公式整理
可得sin
＝sin
，结合⻆的范围求得A＝B，同理可得B＝C，则答案可求．
【解答】解：∵向量＝（a，cos
），＝（b，cos
）共线，
∴acos
＝bcos
，
由正弦定理得：sinAcos
＝sinBcos
，
∴2sin
cos
cos
＝2sin
cos
cos
，
∵A，B 为三⻆形内⻆，可得
，都为锐⻆，
∴cos
cos
≠0，
∴sin
＝sin
，
∵0＜＜
，0＜＜
，
∴
＝，即A＝B，
同理可得B＝C，
∴△ABC 形状为等边三⻆形．
故选：A．
【点评】本题考查平⾯向量的数量积运算，考查了三⻆形形状的判断，属中档题．
30．已知△ABC 满⾜：
且
，则△ABC 为（
）
A．等腰直⻆三⻆形
B．直⻆三⻆形但不是等腰三⻆形
C．等腰三⻆形但不是等边三⻆形
D．等边三⻆形
【分析】根据已知条件，结合平⾯向量的夹⻆公式，即可求解．
【解答】解：
，
则
＝
，即cosB＝cosC，
⻆B、⻆C 均为三⻆形的内⻆，
故B＝C，即b＝c，
，
则cosA＝
，
A∈（0，π），
则A＝
，
综上所述，△ABC 为等腰三⻆形但不是等边三⻆形．
故选：C．
【点评】本题主要考查三⻆形的形状判断，属于基础题．
31．三棱锥S﹣ABC 中，（
）•（
）＝0，则△ABC 是（
）
A．等腰三⻆形
B．直⻆三⻆形
C．等腰直⻆三⻆形
D．等边三⻆形
【分析】由题意利⽤平⾯向量的运算可得|
|＝|
|，即BC＝BA，即可判断△ABC 的形状．
【解答】解：∵
＝
＝（
）+（
）
＝
，
⼜
＝
＝
，
∴（
）•（
）
＝（
）•（
）
＝
＝0，
∴|
|＝|
|，即BC＝BA，即△ABC 是等腰三⻆形．
故选：A．
【点评】本题考查了三⻆形形状的判断，考查了平⾯向量的运算，属于基础题．
32．△ABC 中，已知
，且cos（A﹣B）﹣cos（A+B）＝1﹣cos2C，则△ABC 是（
）
A．等腰三⻆形
B．直⻆三⻆形
C．等腰直⻆三⻆形
D．等腰或直⻆三⻆形
【分析】根据已知条件，结合正弦定理，以及三⻆函数的恒等变换公式，即可求解．
【解答】解：
，
则由正弦定理可知，
，解得b2﹣a2＝ab，
cos（A﹣B）﹣cos（A+B）＝1﹣cos2C，
则2sinAsinB＝2sin2C，即ab＝c2，
故b2＝a2+c2，
所以△ABC 是以⻆B 为直⻆的直⻆三⻆形．
故选：B．
【点评】本题主要考查三⻆形的形状判断，属于基础题．
33．已知△ABC 的内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题是（
）
A．若
，则△ABC ⼀定是等边三⻆形
B．若acosA＝bcosB，则△ABC ⼀定是等腰三⻆形
C．若
，则△ABC ⼀定是直⻆三⻆形
D．若a2+b2﹣c2＞0，则△ABC ⼀定是锐⻆三⻆形
【分析】A 选项，由正弦定理得到sinAcosB﹣sinBcosA＝sin（A﹣B）＝0，求出A＝B，同理可得B＝C，
A＝C，可判定A；B 选项，由正弦定理和⼆倍⻆公式得到sin2A＝sin2B，故A＝B 或
，可判定B；
C 选项，化切为弦得到acosA＝bcosB，结合B 选项可判定C；D 选项，⽆法确定A，B 中其中之⼀是否
为钝⻆，可判定D．
【解答】解：A 选项，
，由正弦定理得sinAcosB＝sinBcosA，
即sinAcosB﹣sinBcosA＝sin（A﹣B）＝0，
因为A，B∈（0，π），所以A﹣B∈（﹣π，π），
故A﹣B＝0，即A＝B，同理可得B＝C，A＝C，
故
，△ABC ⼀定是等边三⻆形，故A 正确；
B 选项，acosA＝bcosB，由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，
即
，所以sin2A＝sin2B，
因为A，B∈（0，π），所以2A＝2B 或2A+2B＝π，
故A＝B 或
，
故△ABC 为等腰三⻆形或直⻆三⻆形，故B 错误；
C 选项，
，
即acosA＝bcosB，由B 选项可知，△ABC 为等腰三⻆形或直⻆三⻆形，故C 错误；
D 选项，a2+b2﹣c2＞0，故
，
故C 为锐⻆，但不知A，B 中其中之⼀是否为钝⻆，
故⽆法确定△ABC 是否为钝⻆三⻆形，故D 错误．
故选：A．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理及解三⻆形的综合应⽤，属中档题．
⼆．解答题（共20 ⼩题）
34．如图，在平⾯四边形ABCD 中，AB＝2，BC＝6，
，DA＝8，
，点E 在AD 上，且
．
（1）求AE；
（2）求△BCD 的⾯积．
【分析】（1）在△ABE 中，由余弦定理列⽅程即可求解；
（2）⾸先求得BD，进⽽求得cosC，再求得sinC，由三⻆形⾯积公式即可求解．
【解答】解：（1）在△ABE 中，由余弦定理，
得BE2＝AB2+AE2﹣2•AB•AE•cosA，
即19＝4+AE2+2AE，整理得AE2+2AE﹣15＝0，
解得AE＝3；
（2）在△ABD 中，由余弦定理，
得
，
所以
，
，
所以△BCD 的⾯积为
．
【点评】本题考查余弦定理在解三⻆形中的应⽤，属中档题．
35．如图，在等边△ABC 中，Q 为边BC 上⼀点，BQ＝2CQ，点M、N 分别是边AB，AC 上的动点（不包
括端点），若∠MQN＝120°，且设∠CNQ＝θ．
（1）求证：不论θ为何值，
恒成⽴．
（2）当△BMQ 和△CNQ 的⾯积相等时，求tanθ的值．
【分析】（1）⾸先得到∠BMQ＝π﹣θ，即sin∠BMQ＝sin∠CNQ，再在△BMQ、△CQN 分别利⽤正弦定
理即可证明；
（2）⾸先表示出S△BMQ、S△CNQ，结合（1）即可得到
sin（120°﹣θ）＝2sin（θ﹣60°），最后由两⻆差
的正弦公式化简计算可得．
【解答】（1）证明：在△QCN 中，∠NQC＝180°﹣（60°+θ）＝120°﹣θ，
⼜∠MQN＝120°，所以∠MQB＝θ﹣60°，
在△BMQ 中，∠BMQ＝180°﹣θ，所以sin∠BMQ＝sin∠CNQ，
在△BMQ 中，由正弦定理得
，即
，
在△CQN 中，由正弦定理得
，即
，
所以
，
即不论θ为何值，
恒成⽴；
（2）解：因为S△CNQ＝CQ•QNsin∠CQN＝CQ•QNsin（120°﹣θ），
S△BMQ＝BQ•QMsin∠BQM＝BQ•QMsin（θ﹣60°），
⼜S△BMQ＝S△CNQ，BQ＝2CQ，由（1）可得QM＝2QN，
所以
sin（120°﹣θ）＝2sin（θ﹣60°），
即sin120°cosθ﹣cos120°sinθ＝4（sinθcos60°﹣cosθsin60°），
整理得
，
所以
．
【点评】本题考查正弦定理及三⻆形的⾯积公式的应⽤，属于中档题．
36．空间四⾯体ABCD 中，已知cos∠ADC＝﹣
，cos∠ACD＝，cos∠ACB＝，AC＝10，BC＝6．
（1）求CD 的⻓；
（2）已知点E 在线段AC 上运动，求EB+ED 的最⼩值．
【分析】（1）求出sin∠ADC，sin∠ACD，得出sin∠CAD，利⽤正弦定理即可得出CD 的⻓；
（2）把空间四边形ABCD 沿AC 展开，求出
，结合余弦定
理求出BD 的最⼩值，即可得出EB+ED 的最⼩值．
【解答】解：（1）由题意，在△ACD 中，
，
，AC＝10，
所以
，
，
则
，
由正弦定理，得
，解得CD＝5；
（2）由题意及（1）可知，把空间四边形ABCD 沿AC 展开成平⾯四边形ABCD，
此时EB+ED 的最⼩值为线段BD（此时点E 为线段AC 与BD 的交点），
因为
，故
，
则
，
由余弦定理，可得
，
所以
，即
．
【点评】本题考查三⻆形中的⼏何计算，属中档题．
37．如图，在平⾯四边形ABCD 中，∠D＝2∠B，CD＝3AD＝3，BC＝
，cosB＝
．
（1）求四边形ABCD 的周⻓；
（2）求四边形ABCD 的⾯积．
【分析】（1）由⼆倍⻆的余弦公式求出cosD＝
，然后分别在△ACD、△ABC 中利⽤余弦定理，列式
算出AB 的⻓，进⽽可得四边形ABCD 的周⻓；
（2）根据同⻆三⻆函数的基本关系，算出sinB＝
，sinD＝
，然后利⽤三⻆形的⾯积公式求出S
△ABC 与S△ADC，再相加即可得到四边形ABCD 的⾯积．
【解答】解：（1）由
，∠D＝2∠B，可得
，
在△ACD 中，．
所以在△ABC 中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcosB＝12，
即AB2+6﹣2
AB•
＝12，整理得
，解得
（舍负）．
所以四边形ABCD 的周⻓AB+BC+CD+DA＝
．
（2）根据
，B∈（0，
），可得sinB＝
＝
，
所以S△ABC＝AB×BC×sinB＝
＝
．
由
，D∈（0，π），可得
，
所以S△ADC＝AD×DC×sinD＝
＝
，
可得四边形ABCD 的⾯积S＝S△ABC+S△ADC＝
．
【点评】本题主要考查三⻆恒等变换公式、余弦定理、三⻆形的⾯积公式等知识，考查了计算能⼒、逻
辑推理能⼒，属于中档题．
38．在△ABC 中，⻆A、B、C 的对边分别为a、b、c，若bcosC+ccosB＝2bsinA，且sinA≥sinB．
（1）求⻆B 的值；
（2）若cosC+sinB＝0，且△ABC 的⾯积为
，求BC 边上的中线AM 的⻓．
【分析】（1）根据正弦定理，边化⻆，求得
，判断⻆的范围，确定答案；
（2）由条件可推得b＝a，继⽽求得边⻓，再根据余弦定理即可求得答案．
【解答】解：（1）因为bcosC+ccosB＝2bsinA，
由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB＝2sinBsinA＝sin（B+C）＝sinA，
所以
，
或
，
⼜因为sinA≥sinB，则
，
故
；
（2）由（1）知
，⼜cosC+sinB＝0，
所以
，
则
，所以b＝a，
⼜
，所以a＝4，
在△ABM 中，
，
由余弦定理得
，
所以
．
【点评】本题考查解三⻆形问题，三⻆恒等变换，余弦定理的应⽤，化归转化思想，属中档题．
39．如图，在平⾯凸四边形ABCD 中，
．
（1）求∠ADB；
（2）若
，求CD．
【分析】（1）由同⻆三⻆函数之间的关系得到
，再逆⽤两⻆和的
正弦公式，整理即可求值；
（2）根据正弦定理得到
，再根据余弦定理求值即可．
【解答】解：（1）根据同⻆三⻆函数之间的关系整理可得：
，
通分得到：
＝
，
再逆⽤两⻆和的正弦公式得到：
，
⼜因为sin（∠ABD+∠ADB）＝sin（π﹣∠BAD）＝sin∠BAD≠0，
所以
，
故
．
（2）由已知，△ABD 为边⻓为4 的等边三⻆形，
在△ABC 中，
，由正弦定理得
，故
，
由于∠BAC+∠BCA+∠ABD+∠CBD＝π，所以
，
故BC＝8cos∠CBD，
在△BCD 中，由余弦定理得CD2＝BD2+BC2﹣2BD×BC×cos∠CBD，
即CD2＝42+BC2﹣8×BC×cos∠CBD＝16，
得CD＝4．
【点评】本题主要考查解三⻆形，属于中档题．
40．在△ABC 中，D 为BC 边上⼀点，且AB＝2，AC＝1．
（1）若AD 为∠BAC 平分线，且AD＝1，求边BC 的值；
（2）若D 为BC 边中点，且
，求cos∠BAC 的值．
【分析】（1）利⽤⻆平分线的性质可得
，令CD＝x，则BD＝2x，⼜cos∠ADB+cos∠ADC＝0，
结合余弦定理可求x 的值，进⽽可求BC 的值．
（2）记∠CAD＝α，∠BAC＝β，由三⻆形的⾯积公式可求2sin（β﹣α）＝sinα，结合已知利⽤三⻆函
数恒等变换的应⽤即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
因为AD 为∠BAC 平分线，
所以
，
令CD＝x，则BD＝2x，
⼜cos∠ADB+cos∠ADC＝0，
则由余弦定理得：
，解得
，
故边
．
（2）记∠CAD＝α，∠BAC＝β，
则由D 为BC 边中点可得△ABD 的⾯积与△ADC 相等，可得
AB•AD•sin（β﹣α）＝AC•AD•sinα，
因为AB＝2，AC＝1，
进⼀步可得：2sin（β﹣α）＝sinα，
⼜由已知
，可得：
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点评】本题考查了⻆平分线的性质，余弦定理，三⻆形的⾯积公式，三⻆函数恒等变换在解三⻆形中
的综合应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．
41．在△ABC 中，已知AB＝
，cosB＝
，AC 边上的中线BD＝
，求边⻓BC 的值．
【分析】延⻓BD ⾄E，使得DE＝BD，连接CE，△BCE 中，由余弦定理建⽴⽅程，即可求边⻓BC 的
值．
【解答】解：延⻓BD ⾄E，使得DE＝BD，连接CE，则cos∠BCE＝﹣
，CE＝
，BE＝2
，
△BCE 中，由余弦定理可得20＝（
）2+BC2﹣2×
×BC×（﹣
），
∴BC2+
BC﹣
＝0，
∴BC＝2（负数舍去）．
【点评】本题考查余弦定理，考查学⽣的计算能⼒，⽐较基础．
42．在△ABC 中，D 为BC 的中点，∠BAD+∠C≥90°．
（Ⅰ）求证：sin2C≤sin2B；
（Ⅱ）若cos∠BAD＝﹣，AB＝2，AD＝3，求AC．
【分析】（Ⅰ）∠BAD＝α，∠CAD＝β，根据正弦函数的图象和性质得到sinα≥cosC，sinβ≤cosB，再根据
三⻆形⾯积公式可得csinα＝b•sinβ，即可得到ccosC≤bcosB
再根据正弦定理和⼆倍⻆公式即可求出，
（Ⅱ）根据余弦定理和夹⻆公式即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）证明：令∠BAD＝α，∠CAD＝β，
∵∠BAD+∠C≥90，∴α≥90°﹣C，β≤90°﹣B，
∵y＝sinx 在（0，
）上单调递增，在（
，π）上单调递减，
∴由α≥90°﹣C，可得sinα≥sin（90°﹣C）＝cosC，
sinβ≤sin（90°﹣B）＝cosB，
∵D 为BC 的中点，∴S△ABD＝S△ACD，
∴
c•ADsinα＝b•ADsinβ，
∴csinα＝b•sinβ，
∴ccosC≤bcosB
∴sinCcosC≤sinBcosB
∴sin2C≤sin2B；
（Ⅱ）在△ABD 中，BD2＝AB2+AD2﹣2AD•AB•cos∠BAD＝4+9﹣12×（﹣）＝16，
∴BD＝4，
∴cos∠ADB＝
＝，
在△ADC 中，CD＝BD＝4，cos∠ADC＝﹣cos∠ADB＝﹣，
∴AC2＝9+16﹣2×3×4×（﹣）＝46，
∴AC＝
．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理和正弦函数的图象和性质以及三⻆形的⾯积公式，考查了学⽣
的运算能⼒和转化能⼒，属于中档题．
43．△ABC 内接于半径为R 的圆，a，b，c 分别是A，B，C 的对边，且2R（sin2B﹣sin2A）＝（b﹣c）sinC，
c＝3．
（Ⅰ）求⻆A 的⼤⼩；
（Ⅱ）若AD 是BC 边上的中线，
，求△ABC 的⾯积．
【分析】（Ⅰ）利⽤已知条件通过正弦定理以及余弦定理转化求解即可得到A；
（Ⅱ）以AB，AC 为邻边作平⾏四边形ABEC，在△ABE 中，
．在△ABE 中，
由余弦定理得AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BEcos120°．求出AC，然后求解三⻆形的⾯积．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得，2R（sin2B﹣sin2A）＝（b﹣c）sinC 可化为bsinB﹣asinA＝bsinC﹣csinC
即b2﹣a2＝bc﹣c2
．
（Ⅱ）以AB，AC 为邻边作平⾏四边形ABEC，在△ABE 中，
．
在△ABE 中，由余弦定理得AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BEcos120°．
即：19＝9+AC2﹣2×3×AC2×（﹣），解得，AC＝2．
故
．
【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应⽤，考查转化思想以及计算能⼒．
44．在△ABC 中，a，b，c 分别是内⻆A，B，C 的对边，AB＝5，cos∠ABC＝．
（1）若BC＝4，求△ABC 的⾯积S△ABC；
（2）若D 是边AC 的中点，且BD＝，求边BC 的⻓．
【分析】（Ⅰ）先求sin∠ABC，从⽽
；
（Ⅱ）以BA，BC 为邻边作如图所示的平⾏四边形ABCE，求出cos∠BCF，BE，CE，从⽽由余弦定理
可得
，可解CB 的值．
【解答】解：（Ⅰ）
，BC＝4，
⼜∠ABC∈（0，π），所以
，
∴
．
（Ⅱ）以BA，BC 为邻边作如图所示的平⾏四边形ABCE，如图，
则
，BE＝2BD＝7，CE＝AB＝5，
在△BCE 中，由余弦定理：BE2＝CB2+CE2﹣2CB•CE•cos∠BCE．
即
，
解得：CB＝4．
【点评】本题主要考查了余弦定理的应⽤，考察数形结合与计算能⼒，属于中档题．
45．在△ABC 中，A＝
，AB＝6，AC＝3
．
（1）求sin（B+
）的值；
（2）若点D 在BC 边上，AD＝BD，求AD 的⻓．
【分析】（1）由余弦定理可得BC，以及cosB，sinB，再由两⻆和的正弦公式，计算即可得到所求值；
（2）过点D 作AB 的垂线DE，垂⾜为E，运⽤等腰三⻆形的三线合⼀，以及解直⻆三⻆形的余弦函数，
即可得到所求值．
【解答】解：（1）∵在△ABC 中，A＝
，AB＝6，AC＝3
，
由余弦定理得：BC＝
＝
＝3
，
故cosB＝
＝
＝
，
则sinB＝
＝
，
故sin（B+
）＝
（
+
）＝
；
（2）过点D 作AB 的垂线DE，垂⾜为E，
可得AE＝AB＝3，
由AD＝BD 得cos∠DAE＝cosB，
∴Rt△ADE 中，
AD＝
＝
＝
．
【点评】本题考查余弦定理的运⽤，以及两⻆和的正弦公式的运⽤，考查等腰三⻆形的性质和解直⻆三
⻆形，考查运算能⼒，属于中档题．
46．在锐⻆△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别是a，b，c，且_____．在下列两个条件中选择⼀个补充在横
线上：①
；②sin2C＝sin240°﹣sin40°sin80°+sin280°
（1）求出⻆C 的⼤⼩；
（2）若⻆C 的平分线交边AB 于点D，且c＝2，求|CD|的取值范围．
【分析】（1）由选择的条件，结合正余弦定理和两⻆和的正弦公式化简，即可得出答案；
（2）设|CD|＝m，由三⻆形⾯积公式得
，再由余弦定理得
，构造函数，
利⽤单调性求取值范围，即可得出答案．
【解答】解：（1）若选①：
，
由正弦定理得
，
在锐⻆△ABC 中sinA＞0，则
，
∴
；
若选②：sin2C＝sin240°﹣sin40°sin80°+sin280°，
由余弦定理的c2＝a2+b2﹣2abcosC，
由正弦定理得sin2C＝sin2A+sin2B﹣2sinAsinBcosC，
可取A＝40°，B＝80°，C＝60°，
则sin260°＝sin240°﹣2sin40°sin80°cos60°+sin280°＝sin240°﹣sin40°sin80°+sin280°，
⼜sin2C＝sin240°﹣sin40°sin80°+sin280°，则sin2C＝sin260°，
故锐⻆△ABC 中C＝60°，即
；
（2）由（1）得
，
设|CD|＝m，则
，则
，
由余弦定理得c2＝4＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，即3ab＝（a+b）2﹣4，
∴
，
令
＝
，
在锐⻆△ABC 中
，则
，
∴
，
函数
在
上单调递增，则
，
∴
，即|CD|的取值范围为（，
]．
【点评】本题考查解三⻆形，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能⼒和运算能⼒，属于中档题．
47．记△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知cos2C﹣cos2A+（sinA+sinB）sinB＝0．
（1）求C；
（2）若a，b 为⽅程x2﹣10x+20＝0 的两个实数根，且C 的⻆平分线交AB 于点D，求CD．
【分析】（1）由已知可得a2+b2﹣c2+ba＝0，可得cosC，可求C；
（2）由已知可得a+b，ab，由S△ABC＝S△ACD+S△CBD，可求CD．
【解答】解：（1）由cos2C﹣cos2A+（sinA+sinB）sinB＝0．
得﹣（1﹣cos2C）+（1﹣cos2A）+sinA•sinB+sin2B＝0．
∴a2+b2﹣c2+ba＝0，∴cosC＝
＝﹣，
∵C∈（0，π），∴C＝
．
（2）∵a，b 为⽅程x2﹣10x+20＝0 的两个实数根，∴a+b＝10，ab＝20，
设CD＝x，由S△ABC＝S△ACD+S△CBD，
∴
bxsin
+
axsin
＝absin
，
∴（a+b）x＝ab，∴x＝2．
【点评】本题考查正余弦定理的应⽤，属中档题．
48．在①
sinB＝
sinC＝sinA，②
＝
＝
，③b＝c＝
a，这三个条件中，任选⼀个补充在下
⾯的问题中，并解答问题．
已知△ABC 的内⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，______，a＝4
，⻆B 的平分线交AC 于点D，
求BD 的⻓．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第⼀个解答计分）
【分析】⽤第⼀个条件时由正弦定理可得a，b，c 之间的关系，再由余弦定理可得A ⻆，进⽽可得B，
C 的值，再由⻆平分线的性质可得∠ABD 的值，进⽽求出∠ADB 的值，在△BCD 中求出BD 的值．
⽤第⼆个条件可得a，b，c 之间的关系，由a 的值求出b，c 的值，再由余弦定理求出A 的值，进⽽求
出B，C 的值，下⾯⽅法同①的解法；
选第三个条件，由a 的值，求出b，c 的值，下⾯求法同②的解法．
【解答】解：选择①：
因为
sinB＝
sinC＝sinA，由正弦定理可得a＝
b＝
c，即b＝c＝
a，
由余弦定理可得cosA＝
＝﹣，在三⻆形中可得A＝π，
所以B＝C＝
，
⼜因为BD 为⻆平分线，所以∠ABD＝
，
在△ABD 中，∠ADB＝π﹣π﹣
＝
，
在△BCD 中，由正弦定理可得
＝
，即
＝
，
所以BD＝
BC＝
×4
＝2
．
选择②：
因为
＝
＝
，可得b＝c，a＝
b，
⼜a＝4
，所以可得b＝c＝4，
由余弦定理cosA＝
＝
＝﹣，
A∈（0，π），所以A＝
，则B＝C＝
，
下⾯解法同①；
选择③：
因为b＝c＝
a，⽽a＝4
，
所以b＝c＝4，
下⾯解法同②；
综上所述：BD 的⻓为2
．
【点评】本题考查正余弦定理的应⽤及条件的等价关系，属于中档题．
49．已知△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，⾯积为
c2cosA，且b＝3c．
（1）求⻆A；
（2）若⻆A 的⻆平分线交BC 于点D，且BD＝
，求cos∠ADB．
【分析】（1）由题意可得：
c2cosA＝bcsinA，由b＝3c．可得tanA＝
，A∈（0，π），解得A．
（2）由A＝
．可得∠CAD＝∠BAD＝
．根据b＝3c，可得
＝
＝＝3．可得CD＝
．在
△ABC 中，余弦定理可得：16×7＝9c2+c2﹣2×3c2×
，解得c．在△ABD 中，由正弦定理可得：sin∠ADB，
进⽽得出结论．
【解答】解：（1）由题意可得：
c2cosA＝bcsinA，
∵b＝3c．∴tanA＝
，A∈（0，π），
解得A＝
．
（2）∵A＝
．∴∠CAD＝∠BAD＝
．
∵b＝3c，∴
＝
＝
＝＝3．
∴CD＝
．
∴CD＝3
，a＝CB＝4
．
在△ABC 中，余弦定理可得：16×7＝9c2+c2﹣2×3c2×
，解得c＝4．
在△ABD 中，由正弦定理可得：sin∠ADB＝
＝
．
∵b＝3c，∴B＞C．
∴∠ADB 为锐⻆．cos∠ADB＝
＝
．
【点评】本题考查了解三⻆形、正弦定理、余弦定理、三⻆形⾯积计算公式、三⻆函数的单调性，考查
了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．
50．△ABC 的内⻆为A，B，C，且∠B＝
，2cos2
+
sinC＝1，BC＝2，点B 为DC 的中点，AE 为∠
DAB 的平分线．
（Ⅰ）求AB 的⻓；
（Ⅱ）求△ADE 的⾯积．
【分析】（Ⅰ）利⽤三⻆函数恒等变换的应⽤化简已知等式可得tanC 的值，结合范围C∈（0，π），可得C
的值，利⽤三⻆形的内⻆和定理可求∠BAC＝
，解三⻆形可求得AB 的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得∠ABD 的值，由余弦定理可得AD 的值，进⽽可求cosD，利⽤同⻆三⻆函数基
本关系式可求sinD 的值，由题意可得
，解得DE 的值，进⽽根据三⻆形的⾯积公式即可
求解．
【解答】解：（Ⅰ）因为2cos2
+
sinC＝1+cos（A+B）+
sinC＝1﹣cosC+
sinC＝1，
可得tanC＝
，
因为C∈（0，π），可得C＝
，
⼜∠B＝
，BC＝2，
所以∠BAC＝
，可得sinC＝
，可得AB＝BCsinC＝2×
＝1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得△ABD 中，∠ABD＝
，
由余弦定理可得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD＝12+22﹣2×
＝7，可得AD＝
，
可得cosD＝
＝
＝
，可得sinD＝
＝
，
因为AE 为∠DAB 的平分线，可得
，解得DE＝
，
所以S△ADE＝AD•DE•sinD＝
×
×
＝
．
【点评】本题主要考查了三⻆函数恒等变换的应⽤，余弦定理，三⻆形的⾯积公式在解三⻆形中的应⽤，
考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．
51．在锐⻆△ABC 中，设边a，b，c 所对的⻆分别为A，B，C，且a2﹣b2＝bc．
（Ⅰ）求⻆B 的取值范围；
（Ⅱ）若c＝4，求△ABC 中AB 边上的⾼h 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由余弦定理得c﹣b＝2bcosA，结合正弦定理可得sin（A﹣B）＝sinB，可得A＝2B，则
，求解即可得出答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得B∈（
，
），A＝2B，利⽤⾯积公式可得h＝
，化简可得h＝
，
即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵a2﹣b2＝bc，
在锐⻆△ABC 中，由余弦定理得cosA＝
＝
，
∴c﹣b＝2bcosA，
由正弦定理得sinC﹣sinB＝2sinBcosA，
⼜sinC＝sin（B+A），则sinBcosA+cosBsinA﹣sinB＝2sinBcosA，即cosBsinA﹣sinBcosA＝sinB，
∴sin（A﹣B）＝sinB，
∴A﹣B＝B 或A﹣B+B＝π（不合题意，舍去），
∴A＝2B，
∵△ABC 是锐⻆三⻆形，
∴
，解得
＜B＜
，
故⻆B 的取值范围为（
，
）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得B∈（
，
），A＝2B，
S△ABC＝ch＝acsinB，则h＝asinB，
由正弦定理得
，
∴h＝
＝
＝
＝
＝
，
∵
﹣tanB 在（
，
）上单调递减，
∴
﹣tanB∈（2，
），
∴h∈（
．4）．
【点评】本题考查解三⻆形，考查转化思想和函数思想，考查运算能⼒和逻辑推理能⼒，属于中档题．
52．已知向量
，定义函数f
．
（1）求函数f（x）的最⼩正周期；
（2）在△ABC 中，若f（C）＝0，且AB＝3，CD 是△ABC 的边AB 上的⾼，求CD ⻓的最⼤值．
【分析】（1）由题意得f（x）＝sin（2x﹣
）﹣1，根据正弦函数的性质，即可得出答案；
（2）由（1）得f（x）＝sin（2x﹣
）﹣1，结合题意可得C＝
，利⽤⾯积公式可得CD＝
ab，由
余弦定理得ab≤9，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵向量＝（
sinx，cosx），＝（cosx，﹣cosx），且f（x）＝
﹣，
∴f（x）＝
sinxcosx﹣cos2x﹣＝
sin2x﹣
＝sin（2x﹣
）﹣1，
∴函数f（x）的最⼩正周期T＝
＝π；
（2）由（1）得f（x）＝sin（2x﹣
）﹣1，
∵f（C）＝0，且AB＝3，则sin（2C﹣
）＝1，
∴在△ABC 中，C∈（0，π），则2C﹣
∈（﹣
，
），
∴2C﹣
＝
，解得C＝
，
⼜S△ABC＝AB•CD＝absin
，
∴CD＝
ab，
在△ABC 中，c2＝9＝a2+b2﹣ab≥ab，当且仅当a＝b 时等号成⽴，
∴CD ⻓的最⼤值为
×9＝
．
【点评】本题考查三⻆函数的恒等变形和余弦定理，考查转化思想，考查逻辑推理能⼒和运算能⼒，属
于中档题．
53．已知△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，若b＝4，在
①（b+c）（sinB﹣sinC）＝（sinA﹣sinC）a，
②cos2（A+C）+3cosB＝1 两个条件中任选⼀个完成以下问题：
（1）求B；
（2）若D 在AC 上，且BD⊥AC，求BD 的最⼤值．
【分析】（1）若选①，利⽤正弦定理与余弦定理即可得出B．
若选②，利⽤三⻆形内⻆和定理并且结合诱导公式即可得出B．
（2）由BD⊥AC，BD 为AC 边上的⾼，当⾯积最⼤时，⾼取得最⼤值．
法⼀：由余弦定理得，b2＝16＝a2+c2﹣2accosB，利⽤重要不等式即可得出AC 边上的⾼的最⼤值．
法⼆：由正弦定理得△ABC 外接圆的直径为
，利⽤正弦定理表示⾯积得S△ABC＝
acsinB，结合和差公式并且利⽤三⻆函数的单调性即可得出结论．
【解答】解：（1）若选①，由正弦定理得，（b+c）（b﹣c）＝（a﹣c）a，
即b2﹣c2＝a2﹣ac，即a2+c2﹣b2＝ac，
∴
，
∵B∈（0，π），∴B＝
．
若选②，
∵cos2（A+C）+3cosB＝cos2（π﹣B）+3cosB＝cos2B+3cosB＝1，
∴2cos2B﹣1+3cosB＝1，即2cos2B+3cosB﹣2＝0，
即cosB＝﹣2（舍）或
，
∵B∈（0，π），∴
．
（2）∵BD⊥AC，BD 为AC 边上的⾼，当⾯积最⼤时，⾼取得最⼤值．
法⼀：由余弦定理得，b2＝16＝a2+c2﹣2accosB，
由重要不等式得16≥2ac﹣ac＝ac，
当且仅当a＝c 时取等号，
∴
，
∴AC 边上的⾼的最⼤值为
．
法⼆：由正弦定理得△ABC 外接圆的直径为
，
利⽤正弦定理表示⾯积得：
S△ABC＝acsinB＝•
sinA•
sinC•sinB＝
sinAsin（
﹣A）
＝
，
所以AC 边上的⾼的最⼤值为
．
【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理、三⻆形⾯积计算公式、重要不等式、三⻆函数的单调性，考
查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．
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解三⻆形——题型18
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
答案
A
B
C
⼀．选择题（共3 ⼩题）
1．已知△ABC 中，a、b、c 为⻆A、B、C 的对边，acosB+bcosA＝csinC，若∠BAC 与∠ABC 的内⻆平分线
交于点I，△ABC 的外接圆半径为
，则△IAB ⾯积的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据条件，由正弦定理，结合基本不等式和三⻆形的⾯积公式求解即可．
【解答】解：acosB+bcosA＝csinC，则sinAcosB+sinBcosA＝sin2C，
所以sinC＝1，所以
，
则△ABC 为直⻆三⻆形，⼜外接圆半径R 为
，
所以
，所以a2+b2＝c2＝8，
设内切圆半径为r，则
，
⼜
，
所以
，
当且仅当a＝b 时等号成⽴，
所以△IAB ⾯积的最⼤值为
．
故选：A．
【点评】本题考查了正弦定理，利⽤基本不等式求最值和三⻆形的⾯积公式，考查了转化思想，属中档
题．
2．在锐⻆△ABC 中，内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，O 为其外⼼．若△ABC 外接圆半径
为R，且
，则m 的值为（
）
A．1
B．
C．2
D．
【分析】根据三⻆形外⼼性质，结合平⾯向量数量积运算，得a＝mR，再利⽤正弦定理，即可求得m．
【解答】解：如图所示，过点O 作OD⊥AB 交AB 于D，OE⊥AC 交AC 于E，
由点O 为△ABC 的外⼼，可得D，E 分别是AB，AC 的中点，
则
，
，
由
，
可得
，
即
，
整理得ccosB+bcosC＝mR，即a＝mR，
由正弦定理，可得
，
故
．
故选：B．
【点评】本题考查平⾯向量数量积运算，考查正弦定理的应⽤，属中档题．
3．在△ABC 中，sinA：sinB：sinC＝5：7：8，则该三⻆形外接圆半径R 与内切圆半径r 的⽐值是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由正弦定理可得a，b，c 的关系，由余弦定理可得cosA 的值，进⽽可得sinA 的值，由正弦定
理可得外接圆的半径R，由等⾯积法可得内切圆的半径r 的值，求出R 与r 的⽐．
【解答】解：因为sinA：sinB：sinC＝5：7：8，
由正弦定理可得a：b：c＝5：7：8，
设a＝5k，b＝7k，c＝8k，k＞0，
由余弦定理可得cosA＝
＝
＝
，
在△ABC 中，可得sinA＝
＝
，
由正弦定理可得
＝2R，可得r＝
＝
，
由等⾯积法可得：bcsinA＝（a+b+c）•r，
可得r＝
＝
k，
所以
＝
＝．
故选：C．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应⽤，由三⻆形等⾯积法可得内切圆的半径，属于基础题．
⼆．填空题（共2 ⼩题）
4．已知O 是锐⻆三⻆形ABC 的外接圆圆⼼，
，若
，则
m 的值为
2
．
【分析】由题意利⽤正弦定理，三⻆函数恒等变换的应⽤可求得
，进⽽可求
，取AB 的
中点D，则
，利⽤正弦定理，平⾯向量数量积的运算即可求解．
【解答】解：△ABC 中，因为
，由正弦定理可得
，
因为A，B 为三⻆形内⻆，sinA＞0，sinB＞0，
所以
，
则
，
所以
，A 为三⻆形内⻆，
可得
，
如图所示：取AB 的中点D，则
，
因为
，
所以由正弦定理可得
，即
，
两边同乘以
，可得
，
化简可得
，
由正弦定理可得
，
所以
，
则
＝
．
故答案为：2．
【点评】本题考查三⻆恒等变换，平⾯向量数量积运算及正弦定理利⽤投影向量解决三⻆外接圆问题，
考查计算能⼒，属于中档题．
5．在△ABC 中，16b＝21c，A＝60°，其内切圆半径为
，则其外接圆半径为
．
【分析】由题意可得b＝
，由余弦定理可得a＝
，利⽤三⻆形的⾯积公式可得bc＝2（a+b+c），
解得c，a 的值，进⽽利⽤正弦定理即可求解．
【解答】解：因为△ABC 中，16b＝21c，A＝60°，即b＝
，
由余弦定理可得cosA＝＝
＝
，
解得5c＝16a，即a＝
，
因为△ABC 的⾯积S＝（a+b+c）×
＝bcsinA＝
，
所以bc＝2（a+b+c），即
2＝2（
+
+c），解得c＝4，
所以a＝，
设其外接圆半径为R，则由2R＝
＝
，
解得外接圆半径R＝
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查了三⻆形的⾯积公式，余弦定理，正弦定理在解三⻆形中的应⽤，考查了⽅程思
想，属于中档题．
三．解答题（共5 ⼩题）
6．已知△ABC 的内⻆A，B，C 满⾜
＝
．
（1）求⻆A；
（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的⾯积S 的最⼤值．
【分析】（1）根据题意，利⽤正弦、余弦定理，即可求出⻆A 的值；
（2）由正弦、余弦定理，利⽤三⻆形⾯积公式与基本不等式，
即可求得△ABC ⾯积的最⼤值．
【解答】解：（1）设内⻆A、B、C 所对的边分别为a、b、c，
根据
＝
，
可得
＝
，
∴a2＝b2+c2﹣bc，
∴cosA＝
＝
＝，
⼜0＜A＜π，
∴A＝
；
（2）由正弦定理得
＝2R，
∴a＝2RsinA＝2sin
＝
，
由余弦定理得3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，
∴△ABC 的⾯积为S＝bcsinA≤
×3×
＝
，
（当且仅当b＝c＝
时等号成⽴），
∴△ABC ⾯积S 的最⼤值为
．
【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应⽤问题，也考查了三⻆形⾯积公式与基本不等式的应⽤问题，
是中档题．
7．在①csinC﹣asinA＝（b﹣a）sinB；②
这两个条件中任选⼀个填⼊下⾯横线上并
解答．△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，若_____，a＝4．
（1）求⻆C；
（2）若该三⻆形外接圆的圆⼼为O，
，求c．
注：如果选择多个条件分别解答，按第⼀个解答计分．
【分析】（1）选条件①时，直接利⽤正弦定理和余弦定理的应⽤求出C 的值；
选条件②时，利⽤正弦定理和三⻆函数的关系式的变换求出C 的值；
（2）利⽤倍⻆公式和正弦定理的应⽤求出c 的值．
【解答】解：（1）选条件①时，由于csinC﹣asinA＝（b﹣a）sinB；利⽤正弦定理c2﹣a2＝b2﹣ab，
整理得a2+b2﹣c2＝ab，
故
，
由于0＜C＜π，
故C＝
．
选条件②时，由于
，整理得
，
由于0＜B＜π，
故
，整理得
，
由于0＜C＜π，
故C＝
．
（2）若该三⻆形外接圆的圆⼼为O，
，
故
，
所以
，
利⽤正弦定理
，整理得
．
【点评】本题考查的知识点：三⻆函数的关系式的变换，余弦定理的应⽤，正弦定理的应⽤，三⻆函数
的值，主要考查学⽣的运算能⼒，属于中档题．
8．已知在△ABC 中，
sin（A+B）＝1+2sin2
．
（1）求⻆C 的⼤⼩；
（2）若∠BAC 与∠ABC 的内⻆平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周⻓的最⼤值．
【分析】（1）根据三⻆形的内⻆和定理与⼆倍⻆公式可推出
sinC+cosC＝2，再利⽤辅助⻆公式，即可
求得C 的值；
（2）先由正弦定理求得AB 的⻓，由⻆平分线的性质知∠ABI+∠BAI＝
，设∠ABI＝θ，在△ABI 中，
由正弦定理可推出BI＝4sin（
﹣θ），AI＝4sinθ，然后结合两⻆差公式、辅助⻆公式，即可得解．
【解答】解：（1）∵
sin（A+B）＝1+2sin2
，且A+B+C＝π，
∴
sinC＝1+1﹣cosC＝2﹣cosC，即
sinC+cosC＝2，
∴2sin（C+
）＝2．
∵C∈（0，π），∴C+
∈（
，
），∴C+
＝
，即C＝
．
（2）∵△ABC 的外接圆半径为2，
∴由正弦定理知，
＝
＝2×2＝4，∴AB＝
，
∵∠ACB＝
，∴∠ABC+∠BAC＝
，
∵∠BAC 与∠ABC 的内⻆平分线交于点Ⅰ，
∴∠ABI+∠BAI＝
，∴∠AIB＝
，
设∠ABI＝θ，则∠BAI＝
﹣θ，且0＜θ＜
，
在△ABI 中，由正弦定理得，
＝
＝
＝
＝4，
∴BI＝4sin（
﹣θ），AI＝4sinθ，
∴△ABI 的周⻓为2
+4sin（
﹣θ）+4sinθ＝2
+4（
cosθ﹣sinθ）+4sinθ
＝2
+2
cosθ+2sinθ＝4sin（θ+
）+2
，
∵0＜θ＜
，∴
＜θ+
＜
，
∴当θ+
＝
，即
时，△ABI 的周⻓取得最⼤值，为4+2
，
故△ABI 的周⻓的最⼤值为4+2
．
【点评】本题考查解三⻆形与三⻆函数的综合，熟练掌握正弦定理、两⻆和差公式、⼆倍⻆公式和辅助
⻆公式等基本公式是解题的关键，考查学⽣的逻辑推理能⼒和运算能⼒，属于中档题．
9．如图，平⾯四边形ABCD 中，AD＝5，
，
，△ABC 的内⻆A，B，C 的对边
分别是a，b，c，且满⾜
．
（1）判断四边形ABCD 是否有外接圆？若有，求其半径R；若⽆，说明理由，
（2）求△ABC 内切圆半径r 的取值范围．
【分析】（1）利⽤数量积的定义及三⻆形⾯积公式求出⻆D，再由正余弦定理求出⻆B，结合圆内接四
边形的判定作答．
（2）利⽤三⻆形⾯积建⽴三⻆形内切圆半径的函数，再求出函数值域作答．
【解答】解：（1）在△ADC 中，
，
则
，
由
，得
，
于是
，
⽽0＜D＜π，
因此
，
在△ADC 中，
，解得AC＝7，
在△ABC 中，由正弦定理，得
，整理得b2＝a2+c2﹣ac，
由余弦定理，得
，
⼜B∈（0，π），
因此
，有D+B＝π，
于是A ，B ，C，D 四点共圆，且四边形ABCD 外接圆的半径就等于△ABC 外接圆的半径
，
所以四边形ABCD 有外接圆，圆半径
．
（2）由（1）知：a2+c2﹣ac＝49，
则（a+c）2＝49+3ac，即有
，
因为
，
可得
，
⼜
，由a≠b，
故△ABC 不是正三⻆形，
⼜
，则a≠c，
于是
，
⼜a+c＞7，
解得7＜a+c＜14，0＜a+c﹣7＜7，
则
，
所以△ABC 内切圆半径r 的取值范围是
．
【点评】本题考查了平⾯向量数量积的定义，三⻆形⾯积公式，正弦定理以及余弦定理在解三⻆形中的
综合应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．
10．如图，△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2a﹣c＝2bcosC．
（Ⅰ）求⻆B 的⼤⼩；
（Ⅱ）已知b＝3，若D 为△ABC 外接圆劣弧AC 上⼀点，求AD+DC 的最⼤值．
【分析】（I）由已知结合余弦定理进⾏化简可求cosB，进⽽可求B；
（II）由已知结合正弦定理先表示AD，CD，然后结合和差⻆及辅助⻆公式化简AD+CD，再由正弦函数
的性质可求．
【解答】解：（I）2a﹣c＝2bcosC＝2b•
，
整理得，a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理得，cosB＝
＝，
由B 为三⻆形内⻆得B＝60°；
（II）由圆内接四边形性质可得，∠D＝120°，设∠ACD＝α，则∠CAD＝（60°﹣α），
在△ADC 中，由正弦定理得
＝
＝
＝
＝
，
所以AD＝2
sinα，CD＝2
sin（60°﹣α），
所以AD+CD＝2
sinα+2
sin（60°﹣α）＝2
（
）＝2
sin（α+60°），
当α＝30°时，AD+CD 取得最⼤值2
．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差⻆及辅助⻆公式在求解三⻆形中的应⽤，属于中档
题．
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解三⻆形——题型18
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
答案
A
B
C
⼀．选择题（共3 ⼩题）
1．已知△ABC 中，a、b、c 为⻆A、B、C 的对边，acosB+bcosA＝csinC，若∠BAC 与∠ABC 的内⻆平分线
交于点I，△ABC 的外接圆半径为
，则△IAB ⾯积的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据条件，由正弦定理，结合基本不等式和三⻆形的⾯积公式求解即可．
【解答】解：acosB+bcosA＝csinC，则sinAcosB+sinBcosA＝sin2C，
所以sinC＝1，所以
，
则△ABC 为直⻆三⻆形，⼜外接圆半径R 为
，
所以
，所以a2+b2＝c2＝8，
设内切圆半径为r，则
，
⼜
，
所以
，
当且仅当a＝b 时等号成⽴，
所以△IAB ⾯积的最⼤值为
．
故选：A．
【点评】本题考查了正弦定理，利⽤基本不等式求最值和三⻆形的⾯积公式，考查了转化思想，属中档
题．
2．在锐⻆△ABC 中，内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，O 为其外⼼．若△ABC 外接圆半径
为R，且
，则m 的值为（
）
A．1
B．
C．2
D．
【分析】根据三⻆形外⼼性质，结合平⾯向量数量积运算，得a＝mR，再利⽤正弦定理，即可求得m．
【解答】解：如图所示，过点O 作OD⊥AB 交AB 于D，OE⊥AC 交AC 于E，
由点O 为△ABC 的外⼼，可得D，E 分别是AB，AC 的中点，
则
，
，
由
，
可得
，
即
，
整理得ccosB+bcosC＝mR，即a＝mR，
由正弦定理，可得
，
故
．
故选：B．
【点评】本题考查平⾯向量数量积运算，考查正弦定理的应⽤，属中档题．
3．在△ABC 中，sinA：sinB：sinC＝5：7：8，则该三⻆形外接圆半径R 与内切圆半径r 的⽐值是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由正弦定理可得a，b，c 的关系，由余弦定理可得cosA 的值，进⽽可得sinA 的值，由正弦定
理可得外接圆的半径R，由等⾯积法可得内切圆的半径r 的值，求出R 与r 的⽐．
【解答】解：因为sinA：sinB：sinC＝5：7：8，
由正弦定理可得a：b：c＝5：7：8，
设a＝5k，b＝7k，c＝8k，k＞0，
由余弦定理可得cosA＝
＝
＝
，
在△ABC 中，可得sinA＝
＝
，
由正弦定理可得
＝2R，可得r＝
＝
，
由等⾯积法可得：bcsinA＝（a+b+c）•r，
可得r＝
＝
k，
所以
＝
＝．
故选：C．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应⽤，由三⻆形等⾯积法可得内切圆的半径，属于基础题．
⼆．填空题（共2 ⼩题）
4．已知O 是锐⻆三⻆形ABC 的外接圆圆⼼，
，若
，则
m 的值为
2
．
【分析】由题意利⽤正弦定理，三⻆函数恒等变换的应⽤可求得
，进⽽可求
，取AB 的
中点D，则
，利⽤正弦定理，平⾯向量数量积的运算即可求解．
【解答】解：△ABC 中，因为
，由正弦定理可得
，
因为A，B 为三⻆形内⻆，sinA＞0，sinB＞0，
所以
，
则
，
所以
，A 为三⻆形内⻆，
可得
，
如图所示：取AB 的中点D，则
，
因为
，
所以由正弦定理可得
，即
，
两边同乘以
，可得
，
化简可得
，
由正弦定理可得
，
所以
，
则
＝
．
故答案为：2．
【点评】本题考查三⻆恒等变换，平⾯向量数量积运算及正弦定理利⽤投影向量解决三⻆外接圆问题，
考查计算能⼒，属于中档题．
5．在△ABC 中，16b＝21c，A＝60°，其内切圆半径为
，则其外接圆半径为
．
【分析】由题意可得b＝
，由余弦定理可得a＝
，利⽤三⻆形的⾯积公式可得bc＝2（a+b+c），
解得c，a 的值，进⽽利⽤正弦定理即可求解．
【解答】解：因为△ABC 中，16b＝21c，A＝60°，即b＝
，
由余弦定理可得cosA＝＝
＝
，
解得5c＝16a，即a＝
，
因为△ABC 的⾯积S＝（a+b+c）×
＝bcsinA＝
，
所以bc＝2（a+b+c），即
2＝2（
+
+c），解得c＝4，
所以a＝，
设其外接圆半径为R，则由2R＝
＝
，
解得外接圆半径R＝
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查了三⻆形的⾯积公式，余弦定理，正弦定理在解三⻆形中的应⽤，考查了⽅程思
想，属于中档题．
三．解答题（共5 ⼩题）
6．已知△ABC 的内⻆A，B，C 满⾜
＝
．
（1）求⻆A；
（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的⾯积S 的最⼤值．
【分析】（1）根据题意，利⽤正弦、余弦定理，即可求出⻆A 的值；
（2）由正弦、余弦定理，利⽤三⻆形⾯积公式与基本不等式，
即可求得△ABC ⾯积的最⼤值．
【解答】解：（1）设内⻆A、B、C 所对的边分别为a、b、c，
根据
＝
，
可得
＝
，
∴a2＝b2+c2﹣bc，
∴cosA＝
＝
＝，
⼜0＜A＜π，
∴A＝
；
（2）由正弦定理得
＝2R，
∴a＝2RsinA＝2sin
＝
，
由余弦定理得3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，
∴△ABC 的⾯积为S＝bcsinA≤
×3×
＝
，
（当且仅当b＝c＝
时等号成⽴），
∴△ABC ⾯积S 的最⼤值为
．
【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应⽤问题，也考查了三⻆形⾯积公式与基本不等式的应⽤问题，
是中档题．
7．在①csinC﹣asinA＝（b﹣a）sinB；②
这两个条件中任选⼀个填⼊下⾯横线上并
解答．△ABC 的内⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，若_____，a＝4．
（1）求⻆C；
（2）若该三⻆形外接圆的圆⼼为O，
，求c．
注：如果选择多个条件分别解答，按第⼀个解答计分．
【分析】（1）选条件①时，直接利⽤正弦定理和余弦定理的应⽤求出C 的值；
选条件②时，利⽤正弦定理和三⻆函数的关系式的变换求出C 的值；
（2）利⽤倍⻆公式和正弦定理的应⽤求出c 的值．
【解答】解：（1）选条件①时，由于csinC﹣asinA＝（b﹣a）sinB；利⽤正弦定理c2﹣a2＝b2﹣ab，
整理得a2+b2﹣c2＝ab，
故
，
由于0＜C＜π，
故C＝
．
选条件②时，由于
，整理得
，
由于0＜B＜π，
故
，整理得
，
由于0＜C＜π，
故C＝
．
（2）若该三⻆形外接圆的圆⼼为O，
，
故
，
所以
，
利⽤正弦定理
，整理得
．
【点评】本题考查的知识点：三⻆函数的关系式的变换，余弦定理的应⽤，正弦定理的应⽤，三⻆函数
的值，主要考查学⽣的运算能⼒，属于中档题．
8．已知在△ABC 中，
sin（A+B）＝1+2sin2
．
（1）求⻆C 的⼤⼩；
（2）若∠BAC 与∠ABC 的内⻆平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周⻓的最⼤值．
【分析】（1）根据三⻆形的内⻆和定理与⼆倍⻆公式可推出
sinC+cosC＝2，再利⽤辅助⻆公式，即可
求得C 的值；
（2）先由正弦定理求得AB 的⻓，由⻆平分线的性质知∠ABI+∠BAI＝
，设∠ABI＝θ，在△ABI 中，
由正弦定理可推出BI＝4sin（
﹣θ），AI＝4sinθ，然后结合两⻆差公式、辅助⻆公式，即可得解．
【解答】解：（1）∵
sin（A+B）＝1+2sin2
，且A+B+C＝π，
∴
sinC＝1+1﹣cosC＝2﹣cosC，即
sinC+cosC＝2，
∴2sin（C+
）＝2．
∵C∈（0，π），∴C+
∈（
，
），∴C+
＝
，即C＝
．
（2）∵△ABC 的外接圆半径为2，
∴由正弦定理知，
＝
＝2×2＝4，∴AB＝
，
∵∠ACB＝
，∴∠ABC+∠BAC＝
，
∵∠BAC 与∠ABC 的内⻆平分线交于点Ⅰ，
∴∠ABI+∠BAI＝
，∴∠AIB＝
，
设∠ABI＝θ，则∠BAI＝
﹣θ，且0＜θ＜
，
在△ABI 中，由正弦定理得，
＝
＝
＝
＝4，
∴BI＝4sin（
﹣θ），AI＝4sinθ，
∴△ABI 的周⻓为2
+4sin（
﹣θ）+4sinθ＝2
+4（
cosθ﹣sinθ）+4sinθ
＝2
+2
cosθ+2sinθ＝4sin（θ+
）+2
，
∵0＜θ＜
，∴
＜θ+
＜
，
∴当θ+
＝
，即
时，△ABI 的周⻓取得最⼤值，为4+2
，
故△ABI 的周⻓的最⼤值为4+2
．
【点评】本题考查解三⻆形与三⻆函数的综合，熟练掌握正弦定理、两⻆和差公式、⼆倍⻆公式和辅助
⻆公式等基本公式是解题的关键，考查学⽣的逻辑推理能⼒和运算能⼒，属于中档题．
9．如图，平⾯四边形ABCD 中，AD＝5，
，
，△ABC 的内⻆A，B，C 的对边
分别是a，b，c，且满⾜
．
（1）判断四边形ABCD 是否有外接圆？若有，求其半径R；若⽆，说明理由，
（2）求△ABC 内切圆半径r 的取值范围．
【分析】（1）利⽤数量积的定义及三⻆形⾯积公式求出⻆D，再由正余弦定理求出⻆B，结合圆内接四
边形的判定作答．
（2）利⽤三⻆形⾯积建⽴三⻆形内切圆半径的函数，再求出函数值域作答．
【解答】解：（1）在△ADC 中，
，
则
，
由
，得
，
于是
，
⽽0＜D＜π，
因此
，
在△ADC 中，
，解得AC＝7，
在△ABC 中，由正弦定理，得
，整理得b2＝a2+c2﹣ac，
由余弦定理，得
，
⼜B∈（0，π），
因此
，有D+B＝π，
于是A ，B ，C，D 四点共圆，且四边形ABCD 外接圆的半径就等于△ABC 外接圆的半径
，
所以四边形ABCD 有外接圆，圆半径
．
（2）由（1）知：a2+c2﹣ac＝49，
则（a+c）2＝49+3ac，即有
，
因为
，
可得
，
⼜
，由a≠b，
故△ABC 不是正三⻆形，
⼜
，则a≠c，
于是
，
⼜a+c＞7，
解得7＜a+c＜14，0＜a+c﹣7＜7，
则
，
所以△ABC 内切圆半径r 的取值范围是
．
【点评】本题考查了平⾯向量数量积的定义，三⻆形⾯积公式，正弦定理以及余弦定理在解三⻆形中的
综合应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．
10．如图，△ABC 中，⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2a﹣c＝2bcosC．
（Ⅰ）求⻆B 的⼤⼩；
（Ⅱ）已知b＝3，若D 为△ABC 外接圆劣弧AC 上⼀点，求AD+DC 的最⼤值．
【分析】（I）由已知结合余弦定理进⾏化简可求cosB，进⽽可求B；
（II）由已知结合正弦定理先表示AD，CD，然后结合和差⻆及辅助⻆公式化简AD+CD，再由正弦函数
的性质可求．
【解答】解：（I）2a﹣c＝2bcosC＝2b•
，
整理得，a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理得，cosB＝
＝，
由B 为三⻆形内⻆得B＝60°；
（II）由圆内接四边形性质可得，∠D＝120°，设∠ACD＝α，则∠CAD＝（60°﹣α），
在△ADC 中，由正弦定理得
＝
＝
＝
＝
，
所以AD＝2
sinα，CD＝2
sin（60°﹣α），
所以AD+CD＝2
sinα+2
sin（60°﹣α）＝2
（
）＝2
sin（α+60°），
当α＝30°时，AD+CD 取得最⼤值2
．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差⻆及辅助⻆公式在求解三⻆形中的应⽤，属于中档
题．
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