文档内容
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第 3 节 全等三角形
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 全等三角形的概念
定义
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形;
全等三角形 △ABC和△DEF全等,记作△ABC≌△DEF,读作“三角形ABC全等
于三角形DEF”
对应边 AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边
基本元素 对应顶点 点A和点D,点C和点F,点B和点E是对应顶点
对应角 ∠A和∠D,∠C和∠F,∠B和∠E是对应角
知识点2 全等三角形的性质与判定
(1)全等三角形的对应边、对应角① .
全等三角
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高② .
形的性质
(3)全等三角形的周长、面积③
ASA(两角
SAS(两边和它 AAS(两角和其中一
SSS(三边对 和它们的
一般三角 们的夹边对应 个角的对边对应相
应相等) 夹边对应
相等) 等)
形全等 相等)
三角形全
等的判定
(1)斜边和一条直角边对应相等(HL) .
直角三角
形全等
(2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS、ASA和AAS
技巧提示
1.对应顶点应找对,书写应按顺序对应;2.注意公共边、公共角这些重要的隐含条件的应用.
【基础演练】
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已知在△ABC和△DEF中,AB=DE,请回答相关问题.
(1)将两个三角形按图1所示方式放置.
①若AB⊥BF,DE⊥BF,BE=CF,求证:△ABC≌△DEF.
证明:∵AB⊥BF,DE⊥BF,
∴∠ABC=∠DEF=90°.
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
{
AB=DE,
∠ABC=∠≝,
BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
判定依据: .
②若∠A=∠D,∠B=∠DEF,求证:△ABC≌△DEF.
证明:在△ABC和△DEF中,
{∠A=∠D,
AB=DE,
∠B=∠≝,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
判定依据: .
(2)将两个三角形按图2所示方式摆放(点D,F分别和点A,C重合).
①添加一个条件: ,利用SSS使得△ABC≌△DEF,并写出证明过程.
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②添加一个条件: ,利用HL,使得△ABC≌△DEF,并写出证明过程.
(3)将两个三角形按图3所示方式摆放,∠B=∠E=∠ACF,求证:△ABC≌△DEF.
真题精粹·重变式
考向1 全等三角形的性质与判定 6年3考
1.(2023·福建)如图,OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB.求证:AB=CD.
2.(2022·福建)如图,点B,F,C,E在同一条直线上,BF=EC,AB=DE,∠B=∠E,求证:∠A=∠D.
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3.(2021·福建)如图,在△ABC中,D是边BC上的点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且
DE=DF,CE=BF.求证:∠B=∠C.
热点训练
4.如图,OB平分∠AOC,D,E,F分别是射线OA,OB,OC上的点,D,E,F不与O点重合,连接ED,EF,若
添加下列条件中的某一个,就能够使△DOE≌△FOE,你认为要添加的条件是 ( )
A.OD=OE
B.OE=OF
C.∠ODE=∠OED
D.∠ODE=∠OFE
考向2 特殊四边形背景下的全等三角形 6年3考
5.(2024·福建)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠AEB=∠AFD.求证:BE=DF.
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6.(2020·福建)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上,且BE=DF.求证:∠BAE=∠DAF.
7.(2019·福建)如图,E,F分别是矩形ABCD的边AB,CD上的一点,且DF=BE.求证:AF=CE.
热点训练
8.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD,BC分别相交于点E,F.求
证:OE=OF.
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参考答案
回归教材·过基础
考点清单
①相等 ②相等 ③相等
基础演练
(1)①两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
②两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
(2)①BC=EF 证明:在△ABC和△DEF中,
{BC=EF,
AB=DE,
AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
②∠ABC=∠DEF=90° 证明:在Rt△ABC和Rt△DEF中,
{AC=DF,
AB=DE,
∴△ABC≌△DEF(HL).
(3)证明:∵∠ACE=∠A+∠B,∠ACE=∠ACF+∠FDE,∠B=∠ACF,
∴∠A=∠FDE.
在△ABC和△DEF中,
{∠A=∠FDE,
AB=DE,
∠B=∠E,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
真题精粹·重变式
1.证明:∵∠AOD=∠COB,
∴∠AOD-∠BOD=∠COB-∠BOD,
即∠AOB=∠COD.
在△AOB和△COD中,
{
OA=OC,
∠AOB=∠COD,
OB=OD,
∴△AOB∴ COD(SAS),∴≌A△B=CD.
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2.证明:∵BF=EC,
∴BF+CF=EC+CF,
即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
{
AB=DE,
∠B=∠E,
BC=EF,
∴△ABC∴ DEF(SAS),∴∠△∴∠A=∴D≌.
3.证明:∵DE⊥AC,DF⊥AB,
∴∠BFD=∠CED=90°.
在△BDF和△CDE中,
{
BF=CE,
∠BFD=∠CED,
DF=DE,
∴△BDF∴ CDE(SAS),∴∠△∴∠B=∴C≌.
4.D
5.证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
在△ABE和△ADF 中,
{
∠B=∠D,
∠AEB=∠AFD,
AB=AD,
∴△ABE≌△ADF(AAS),
∴BE=DF.
6.证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AB=AD.
在△ABE和△ADF中,
{
AB=AD,
∠B=∠D,
BE=DF,
∴△ABE∴ ADF(SAS),∴∠△∴∠BAE=∴D≌AF.
7.证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠B=90°,AD=BC.
在△ADF和△CBE中,
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{
AD=CB,
∠D=∠B,
DF=BE,
∴△ADF≌△CBE(SAS),
∴AF=CE.
8.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AD∥BC,
∴∠OAE=∠OCF.
在△AOE和△COF中,
{∠OAE=∠OCF,
OA=OC,
∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF.
8
