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第3课时 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算
√1
1.计算√24× +√18的结果是 ( )
3
A.√2 B.5√2 C.5√3 D.6√2
2.估计√5+√2×√10的值应在 ( )
A.5和6之间 B.6和7之间
C.7和8之间 D.8和9之间
3.下列计算中,正确的是 ( )
A.(√3x+√y)2=3x+y
B.(√2+√3)×√5=√5×√5=5
C.(4+2√3)(4-2√3)=4
D.2√3+2√5=5√5
4.计算(√10+3)2 024(3-√10)2 025的值为 。
5.计算( √1) 的值为 。
√48-3 ÷√3
3
6.计算:
(1)(√12+√27)×√3;
√1
(2)3√48+4 -3√27;
8
(3)(1-2√2)(2√2+1);(4) (√3 2√3)。
√12÷ +
4 3
1.(易错题)已知k=√2(√5+√3)×(√5-√3),则与k最接近的整数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.按如图所示的程序计算,若开始输入的n值为√2,则最后输出的结果是 ( )
A.14 B.8+5√2
C.16 D.14+√2
3.(开放性试题)从-√2,√3,√6中任意选择两个数,分别填在算式(□+〇)2÷√2里面的“□”与“〇”
中,计算该算式的结果是 。(只需写出一种结果)
4.小华家楼房前有一块直角三角形空地,小华的爸爸想把它开垦出来。经测量,一条直角边长为
√45 m,斜边长为3√20 m。现要用篱笆把这块地围起来,小华的爸爸至少要买 m篱笆。
(√15≈3.873,√5≈2.236,结果精确到0.01 m)
5.请阅读以下材料,并完成相应的任务。
斐波那契是意大利数学家,他研究了一列数,被称为斐波那契数列。斐波那契数列中的第n个
数可以用 1 [ (1+√5) n (1-√5) n] 表示(其中n≥1),这是用无理数表示有理数的一个范例。
-
√5 2 2
任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数,分别为 。6.计算:
(1) 2 +|1- |; (2)(1-π)0+| |- ( 1 ) -1 ;
√18- √2 √2-√3 √12+
√2 √2
√1 1
(3)(√3-2)2+√12+6 ; (4) +√3(√3-√6)+√2。
3 √2-1
7.有一个长方形纸片,现将该长方形纸片的长增加3√2 cm,宽增加6√2 cm,就成为一个面积为
128 cm2的正方形纸片,求原长方形纸片的面积。
3
8.(新定义题)规定新运算符号“☆”:a☆b=ab+ -√3。例如:(-2)☆1=(-2)×1+3-√3。
b
(1)求√6☆√3的值;
(2)若(-x)☆( 1)=-2 ,求x的值。
- √3
2
9.(推理能力)观察下列等式:
1
第1个等式:x = =√2-1;
1 1+√2
1
第2个等式:x = =√3-√2;
2 √2+√31
第3个等式:x = =2-√3;
3 √3+2
1
第4个等式:x = =√5-2;
4 2+√5
……
(1)按照上述规律,第6个等式:x = ;第n个等式:x = 。
6 n
(2)计算x +x +x +…+x 的值。
1 2 3 2 024【详解答案】
基础达标
1.B 2.B 3.C 4.3-√10 5.3
6.解:(1)原式=(2√3+3√3)×√3
=5√3×√3
=15;
(2)原式=12√3+√2-9√3
=3√3+√2;
(3)原式=12-(2√2)2
=1-8
=-7;
(4)原式= (3√3 8√3)
√12÷ +
12 12
11√3
=√12÷
12
12
=2√3×
11√3
24
= 。
11
能力提升
1.B 解析:因为k=√2(√5+√3)×(√5-√3)=√2×2=2√2,而1.4<√2<1.5,所以2.8<2√2<3。所以与k最接近的整
数是3。故选B。
2.B 解析:因为当 n=√2时,n(n+1)=√2×(√2+1)=2+√2,且 2+√2<15,所以将 n=2+√2再次输入,n(n+1)=(2+√2
)×(2+√2+1)=(2+√2)×(3+√2)=6+5√2+2=8+5√2。因为8+5√2>15,所以输出结果是8+5√2。故选B。
5√2 5√2
3. -2√3(答案不唯一) 解析:若“□”是-√2,“○”是√3,则(-√2+√3)2÷√2=(5-2√6)÷√2= -2√3;若
2 2
“□”是-√2,“○”是√6,则(-√2+√6)2÷√2=(8-2√12)÷√2=4√2-2√6;若“□”是√3,“○”是√6,则(√3+√6)2÷√2
9√2
=(9+2√18)÷√2= +6。
2
4.31.75 解析:由勾股定理,得另一条直角边的长为 =3 (m)。 +3 +3
√(3√20)2-(√45)2=√135 √15 √45 √20
√15= 9√5+3√15≈31.743(m)。故小华的爸爸至少要买31.75 m篱笆。5.1,1 解析:第1个数:当n=1时, 1
×
[ (1+√5) n
-
(1-√5) n]
=
1 × 1+√5
-
1-√5 = 1 ×√5=1;第2个数:
√5 2 2 √5 2 2 √5
当 n=2 时 , 1 [ (1+√5) n (1-√5) n] 1 [ (1+√5) 2 (1-√5) 2] 1 × 1+√5 1-√5 ×
× - = × - = +
√5 2 2 √5 2 2 √5 2 2
(1+√5 1-√5) 1 ×1× =1。
- = √5
2 2 √5
6.解:(1)原式=3√2-√2+√2-1
=3√2-1;
(2)原式=1+√3-√2-2√3+√2
=1-√3;
√3
(3)原式=3+4-4√3+2√3+6× =
3
3+4-4√3+2√3+2√3=7;
√2+1
(4)原式= +3-3√2+√2
(√2-1)(√2+1)
=√2+1+3-2√2
=4-√2。
7.解:因为√128=8√2,
所以面积为128 cm2的正方形纸片的边长为8√2 cm。
所以原长方形纸片的长为8√2-3√2=5√2(cm),
宽为8√2-6√2=2√2(cm)。
所以原长方形纸片的面积为5√2×2√2=20(cm2)。
3
8.解:(1)√6☆√3=√6×√3+ -√3
√3
=3√2+√3-√3
=3√2。
1
(2)由题意,得 x-6-√3=-2√3,
2
解得x=12-2√3。
1
9.解:(1) =√7-√6
√6+√71
=√n+1-√n
√n+√n+1
(2)原式=√2-1+√3-√2+√4-√3+…+√2 025-√2 024=√2 025-1=45-1=44。
