文档内容
2.3.3二次根式的混合运算及应用-北师大版(2025)数学八年级上册
一、选择题
1．（2025八上·龙岗期末）下列计算中，正确的是（ ）
A．√2+√3=√5 B．3√2−√2=3 C．√12÷√3=4 D．√12×√3=6
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：√2+√3不能合并，不符合题意；
B：3√2−√2=2√2，错误，不符合题意；
C：√12÷√3=2，错误，不符合题意；
D：√12×√3=6，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
2．（2022八上·闵行期中）√m+n的一个有理化因式是（ ）
A．√m+n B．√m+√n C．√m−√n D．√m−n
【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：A．∵√m+n·√m+n=m+n，
∴√m+n就是√m+n的一个有理化因式，故A符合题意；
B．∵√m+n(√m+√n)=√m2+mn+√mn+n2，
∴√m+√n不是√m+n的一个有理化因式，故B不符合题意；
C．∵√m+n(√m−√n)=√m2+mn−√mn+n2，
∴√m−√n不是√m+n的一个有理化因式，故C不符合题意；
D．∵√m+n·√m−n=√m2−n2，
∴√m−n不是√m+n的一个有理化因式，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】有理化因式：两个根式相乘的积不含根号，据此进行解答即可.
3．（2024八上·桑植期末）已知a,b均为有理数，且a+b√3=(2−√3) 2，则a,b的值为（ ）
A．a=4,b=3 B．a=7,b=−4 C．a=4,b=4 D．a=7,b=4
1 / 21【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵(2−√3) 2=4−4√3+3=7−4√3，
∴a+b√3=(2−√3) 2=7−4√3，
∴a=7,b=−4；
故答案为：B
【分析】根据完全平方公式去括号，再根据等式的性质即可求出答案.
4．（2023八上·石家庄期中）陈老师在黑板上写了一个式子：(√3+1)□(1−√3)，“□”中的运算符
号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（ ）
A．+或× B．×或÷ C．+或- D．-或÷
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：观察两个括号，可以发现：√3+1和1-√3相乘，能够利用平方差公式，结果
是有理数，排除C和D，由于√3与-√3互为相反数，相加，和为0，是有理数，排除B和D。
故答案为：A。
【分析】根据二次根式运算法则，结合平方差公式和相反数的性质求解。
1
5．（2019八上·浦东月考）若 a=1+√2，b= ，则a、b两数的关系是（ ）
1-√2
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数
【答案】A
【知识点】分母有理化；实数的相反数
1 1+√2
【解析】【解答】 a=1+√2，b= = =-(1+√2) ，
1-√2 (1-√2)(1+√2)
∴a与b互为相反数.
故答案为：A.
1
【分析】把 b= 的分子分母同乘（1+ √2 ），进一步化简与a比较得出结论即可．
1-√2
6．（2022八上·龙口开学考）已知m=1+√2，n=1−√2，则代数式√m2+n2−3mn的值为（ ）
A．9 B．±3 C．3 D．5
2 / 21【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵m=1+√2，n=1-√2，∴m+n=2，mn=(1+√2)(1-√2)=-1，
∴√m2+n2-3mn=√(m+n) 2-5mn=√22+5=3，故C正确，A、B、D错误。
方法二、把m、n代入得√(1+√2) 2+(1-√2) 2-3(1+√2)(1-√2)=√3+2√2+3-2√2+3=√9=3，故
C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】先计算两数和与两数积（平方差公式应用），所求二次根式被开方数配方成两数和的平方
与两数积的差，把两数和与积代入求解即可。当然还可以直接代入化简求值。
7．（2024八上·高邑期末）与√32-22-12结果相同的是（ ）
A．3-2+1 B．3+2-1 C．3+2+1 D．3-2-1
【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：√32-22-12=√9-4-1=√4=2
A：3-2+1=2，符合题意；
B：3+2-1=4，不符合题意；
C：3+2+1=6，不符合题意；
D：3-2-1=0，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据二次根式的性质及有理数的加减逐项计算即可求出答案.
8．（2024八上·兰州期中）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边
a+b+c
求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p= ，
2
那么三角形的面积为S=√p(p−a)(p−b)(p−c)如图，在ΔABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别
记为a，b，c，若a=5，b=6，c=7，则ΔABC的面积为（ ）
3 / 2119
A．6√6 B．6√3 C．18 D．
2
【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵a=7，b=5，c=6．
5+6+7
∴p= =9，
2
∴ΔABC的面积S=√9(9−5)×(9−6)×(9−7)=6√6；
故选：A．
【分析】考查二次根式的应用.根据a=5，b=6，c=7， 利用公式可求出p的值，根据海伦公式可得
ΔABC的面积为：S=√9(9−5)×(9−6)×(9−7)，再进行计算可求出答案；
二、填空题
3
9．（2017八上·三明期末）化简： = ．
√3
【答案】√3
【知识点】分母有理化
3 3√3
【解析】【解答】解： = =√3 ．
√3 √3⋅√3
故答案为 √3 ．
【分析】分子、分母同乘 √3 ，计算即可求出结果．
10．（2019八上·浦东月考）√5−2 的一个有理化因式是 .
【答案】√5+2
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵（ √5−2 ）（ √5+2 ）=5-4=1，
∴√5−2 的一个有理化因式是 √5+2 ，
故答案为： √5+2 ．
【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．据此即可求解．
11．（2024八上·上海市月考）√m+√n的倒数是 ．
4 / 21√m−√n
【答案】
m−n
【知识点】有理数的倒数；分母有理化
1 √m−√n √m−√n
【解析】【解答】解：√m+√n的倒数是 = = ，
√m+√n (√m−√n)(√m+√n) m−n
√m−√n
故答案为： ．
m−n
1
【分析】利用倒数定义求出√m+√n的倒数是 ，再利用分母有理化化简即可．
√m+√n
√a+b
12．（2024八上·怀化期末）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b= ，
a−b
√5+4
如5※4= =3，那么(2−√3)※(7※5)= ．
5−4
√2+√6
【答案】−
4
【知识点】二次根式的混合运算
√7+5 2√3
【解析】【解答】解：∵7※5= = =√3，
7−5 2
√2−√3+√3 √2 √2(1+√3) √2+√6
∴(2−√3)※(7※5)=(2−√3)※√3= = = =− ，
2−√3−√3 2−2√3 2(1−√3)(1+√3) 4
√2+√6
故答案为：− ．
4
【分析】根据新定义的运算法则将原式转化为二次根式的混合运算，分母有理化解题即可．
13．（2023八上·福州月考）已知x，y为实数，且y=√x−2024−√2024−x+2000，则√x−y=
.
【答案】2√6
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
{x−2024≥0
【解析】【解答】解：根据题意得 ，
2024−x≥0
∴x=2024，
∴y=2000，
∴√x−y=√2024−2000=√24=2√6．
故答案为：2√6．
【分析】先根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值，从而可得出y的值，再将x和y的值代入
5 / 21求解即可．
14．（2024八上·岳阳期末）大家知道√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是可以用√2−1来
表示√2的小数部分（因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）．
⑴如果√7的小数部分为a，√11的整数部分为b，求a+b−√7的值 ．
⑵已知：21+√10=x+ y，其中x是整数，且00，
∴0
