文档内容
专题 06 相似三角形
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）图形相似的性质
（1）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（2）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（3）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
（4）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形
（二）平行线平分线段成比例
a c
（1）比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 = ，那么这四条
b d
线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
（2）比例的基本性质
a c
①基本性质： = ⇔ad＝bc；（b、d≠0）
b d
a c a±b c±d
②合比性质： = ⇔ ＝ ；（b、d≠0）
b d b d
a c m a+c+…+m
③等比性质： = ＝…＝ ＝k（b＋d＋…＋n≠0）⇔ ＝k．（b、d、…、n≠0）
b d n b+d+…+n
（3）平行线分线段成比例定理及推论
①两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
AB DE
即如图所示，若l∥l∥l，则 = ．
3 4 5 BC EFl1 l2
A D l3
B E l4
C F l5
②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
OA OB
即如图所示，若AB∥CD，则 = ．
OD OC
A B
O
C D
③平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC．
A
D E
B C
（4）黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0．618，那么线段AB被点C黄
金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
（三）相似三角形的判定
相似三角形的判定
如图
判定1：两个三角形对应边成比例，则这两个
三角形相似
∵ ；∴
判定2：两个三角形有两个角对应相等，则这 如图
两个三角形相似 ∵ ；∴
如图
判定3：两个三角形有两边成比例，及其夹角
相等，则这两个三角形相似
∵ ； ； ∴
（四）相似三角形的性质
如图：两个三角形相似，则有对应边成比例
∵ ； ∴
如图；两个三角形相似，则有对应角相等
∵ ；
∴如图：两个三角形相似，则有对应边上中线的比
等于相似比
∵ ； ∴
如图：两个三角形相似，则有对应边上高线的比
等于相似比
∵ ； ∴
如图：两个三角形相似，则有对应角的角平分线
的比等于相似比
∵ ； ∴
如图：两个三角形相似，则两个三角形周长的比
等于相似比
∵ ；
∴
如图：两个三角形相似，则两个三角形面积的比
等于相似比
∵ ；
∴
（五）常见的相似模型
模型一：A字模型
模型二：8字模型模型三：子母模型（射影定理）
模型四：一线三等角模型
模型五：手拉手模型（旋转模型）
（六）相似三角形的应用举例（1）测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质
即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：
在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
（2）测量物体宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造
“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构
造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河
的宽度．
模块三 考点一遍过
考点1：比例的性质
典例1：如果6m=7n(n≠0)，那么下列比例式成立的是（ ）
m n m 7 m 6 m n
A． = B． = C． = D． =
7 6 6 n n 7 6 7
【答案】A
【知识点】比例的性质
【分析】本题考查比例的基本性质，解题的关键是掌握比例式与乘积式的互换．
把比例式转化为乘积式，逐项判断，即可．
m n
【详解】解：A、 = ，变形为6m=7n，符合题意；
7 6
m 7
B、 = ，变形为mn=42，不符合题意；
6 n
m 6
C、 = ，变形为7m=6n，不符合题意；
n 7
m n
D、 = ，变形为7m=6n，不符合题意；
6 7
故选：Aa c e 5
【变式1】若 = = = （b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（ ）
b d f 7
a+b 2a+c−e 5
A． =−6 B． =
a−b 2b+d−f 7
c+e a+5 a+c+e+5 5
C． = D． =
d+f b+7 b+d+f +7 7
【答案】B
【知识点】比例的性质
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．对于实数a，b，c，d，
a c a+c a a c e 5
且b、d、f均为正数，如果 = ，则 = ．由 = = = ，b、d、f均为正数，可得：
b d b+d b b d f 7
5 5 5
a= b，c= d，e= f，a≠b，b+d+f +7≠0，再结合比例的性质逐项分析即可．
7 7 7
a c e 5
【详解】解：∵ = = = ，b、d、f均为正数，
b d f 7
5 5 5
∴a= b，c= d，e= f，a≠b，b+d+f +7≠0，
7 7 7
5
b+b
a+b 7 5b+7b
A． = = =−6，故不符合题意；
a−b 5 5b−7b
b−b
7
a c e 5
B． ∵ = = = ，
b d f 7
2a c −e 5
∴ = = = ，
2b d −f 7
当2b+d−f ≠0时
2a+c−e 5
∴ = ，故符合题意；
2b+d−f 7
a c e 5
C． ∵ = = = ，
b d f 7
c+e 5 a+5 5
∴ = ， = ，
d+f 7 b+7 7
c+e a+5
∴ = ，故不符合题意；
d+f b+7
a c e 5
D． ∵ = = = ，b、d、f均为正数，b+d+f +7≠0，
b d f 7
a+c+e+5 5
∴ = ，故不符合题意；
b+d+f +7 7故选B．
a b c
【变式2】已知非零实数a，b，c满足 = = ，且a+b=34，c值为 ．
5 12 13
【答案】26
【知识点】比例的性质
a b c
【分析】本题考查了比例的性质，设 = = =k(k≠0)，用k表示出a、b、c,然后代入等式
5 12 13
a+b=34求出k的值，再求解即可．
a b c
【详解】解：设 = = =k(k≠0)，
5 12 13
则a=5k,b=12k,c=13k，
∵a+b=34，
∴5k+12k=34，
解得k=2，
所以，c=13k=13×2=26．
故答案为：26．
a c e 2 2a−c+e
【变式3】若 = = = ，则 = ．
b d f 3 2b−d+f
2
【答案】
3
【知识点】比例的性质
a c e 2 2 2 2 2a−c+e
【分析】本题主要考查比例的性质，由 = = = 得a= b,c= d,e= f，代入 进行
b d f 3 3 3 3 2b−d+f
计算即可得到答案．
a c e 2
【详解】解：∵ = = = ，
b d f 3
2 2 2
∴a= b,c= d,e= f，
3 3 3
2 2 2 2
2× b− d+ f (2b−d+f)
∴2a−c+e 3 3 3 3 2，
= = =
2b−d+f 2b−d+f 2b−d+f 3
2
故答案为： ．
3
考点2：线段的比
典例2：如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长
为20m，试计算主持人应走到离A点大约（ ）m处是比较得体的位置．A．12.36m B．7.64m C．12.36m或7.64m D．13.36m
【答案】C
【知识点】比例线段
【分析】黄金分割是指将整体分成两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的
比值，其比值约为0.618．
【详解】解：设一个主持人现在站在A处，则主持人应走到离A点xm处最自然得体，则
①若AC是BC与AB的比例中项：
x：（20-x）=（√5-1）：2，
解得，x=30-10√5 7.64；
②若BC是AC与≈AB的比例中项：
（20-x）：x=（ √5-1）：2，
解得：x=10（√5-1） 12.36；
故选：C ≈
【点睛】本题考查黄金分割，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、
BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2
【答案】A
【知识点】利用平行四边形的性质证明、比例线段、相似三角形的判定综合、证明三角形的对应线
段成比例DE 2
【分析】利用平行四边形的性质可得出AB∥CD且AB＝CD，结合DE∶EC＝2∶3可得出 ＝ ，由
DC 5
AB∥CD可得出△≝∽△BAF，再利用相似三角形的性质即可求出DF∶BF的值．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD．
∵DE∶EC＝2∶3，
DE DE 2 DE
∴ ＝ ＝ ＝ ．
DC DE+EC 5 BA
∵AB∥CD，
∴△≝∽△BAF，
DF DE 2
∴ ＝ ＝ ．
BF BA 5
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质结合
DE：EC=2：3找出DE：BA的值是解题的关键．
【变式2】已知7m=2n，则(m+n)：m= ．
9
【答案】
2
【知识点】比例线段
【分析】根据比例关系假设m，n，代入即可求值．
【详解】∵7m=2n，
m 2
∴ = ，
n 7
∴设m=2k(k≠0)，n=7k(k≠0)，
9
∴(m+n):m=(2k+7k):2k=9k:2k=
2
【点睛】此题考查了比例线段，解题的关键是熟练掌握有关比例关系的数量关系．
【变式3】如图，点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项．如果AB=2，那么
AP= ．
【答案】3−√5/−√5+3
【知识点】比例线段、黄金分割
√5−1
【分析】根据黄金分割的定义结合已知条件得BP= AB，即可得出结论．
2【详解】解：∵点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项，
∴BP2=AB•AP，
√5−1 √5−1
∴根据黄金分割的定义可得出：BP= AB= ×2=√5−1，
2 2
∴AP=AB−BP=2−(√5−1)=3−√5，
故答案为：3−√5．
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较
短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
考点3：成比例线段
典例3：下列四组线段中，不成比例的是（ ）
A．3cm，9cm，2cm，6cm B．1cm，√3cm，√2 cm，√6 cm
C．1cm，2cm，3cm，9cm D．1cm，2cm，4cm，8cm
【答案】C
【知识点】成比例线段
【分析】本题主要考查了比例线段，解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，
判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从
小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
【详解】解：∵2×9=3×6，故选项A不符合题意；
∵1×√6=√2×√3，故选项B不符合题意；
∵1×9≠2×3，故选项C符合题意；
∵1×8=2×4，故选项D不符合题意；
故选C．
【变式1】下列各组中的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a=1，b=1，c=1，d=5 B．a=1，b=√2，c=2√2，d=8
C．a=2，b=√5，c=2√3，d=√15 D．a=√2，b=3，c=2，d=8
【答案】C
【知识点】成比例线段
【分析】根据成比例线段的定义进行计算，逐一判断即可解答．
a 1 c 1
【详解】解：∵ = =1， = ，
b 1 d 5
a c
∴ ≠ ，故A不符合题意；
b d
a 1 √2 c 2√2 √2
∵ = = ， = = ，
b √2 2 d 8 4a c
∴ ≠ ，故B不符合题意；
b d
a 2 2√5 c 2√3 2√5
∵ = = ， = = ，
b √5 5 d √15 5
a c
∴ = ，故C符合题意；
b d
a √2 c 2 1
∵ = ， = = ，
b 3 d 8 4
a c
∴ ≠ ，故D不符合题意；
b d
故选：C．
【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键．
【变式2】已知线段a=3cm，b=5cm，c=8cm，若线段a， b， c， d 是成比例线段，则线段d
的长为 ．
40
【答案】 cm
3
【知识点】成比例线段
【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段的概念是解题关键．根据成比例线段的定义
a c
可得 = ，代入计算即可得．
b d
【详解】解：∵线段a,b,c,d是成比例线段，
a c
∴ = ，
b d
∵线段a=3cm，b=5cm，c=8cm，
3 8
∴ = ，
5 d
40
∴d= (cm)，
3
40
故答案为： cm．
3
【变式3】下列四组线段中：①a=1，b=√2，c=√2，d=2，②a=√3cm，b=2cm，c=√2cm，
d=√6cm，③a=6cm，b=2cm，c=3cm，d=1m，④a=3cm，b=4cm，c=9cm，d=15cm；其
中a，b，c，d是成比例线段的有 ．（请填写序号）
【答案】①②
【知识点】成比例线段
【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的
乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断．
【详解】解：①√2×√2=1×2，这四条线段成比例，符合题意；
②2×√3=√2×√6=2√3，这四条线段成比例；符合题意；
③∵a=6cm，b=2cm，c=3cm，d=1m，
∴d=100cm
∴3×6≠2×100，这四条线段不成比例，不符合题意；
④4×9≠3×15，这四条线段不成比例，故不符合题意；
故答案为：①②．
考点4：平行线平分线段成比例
典例4：如图，AG：GD=4：1,BD：DC=2：3，则AE：EC的值是（ ）
A．3:2 B．4：3 C．6:5 D．8:5
【答案】D
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由DF∥CE得到
DF BD 2 5 DF DG 1 AE
= = ，则CE= DF，由DF∥AE得到 = = ，则AE=4DF，然后计算 的
CE DC 5 2 AE AG 4 CE
值．本题考查了平行线分线段成比例、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），
所得的对应线段成比例，熟练掌握相关知识是解题的关键.
【详解】解：如图，过点D作DF∥CA交BE于F，
∵DF∥CE，
DF BD
∴ = ，
CE BC
而BD：DC=2：3，BC=BD+CD，DF 2 5
∴ = ，则CE= DF，
CE 5 2
∵DF∥AE，AG：GD=4：1，
DF DG 1
∴ = = ，
AE AG 4
则AE=4DF，
AE 4DF 8
= =
∴CE 5 5，
DF
2
则AE：EC的值是8:5，
故选D．
【变式1】如图，直线l ∥l ∥l ，直线a、b与l 、l 、l ，分别相交于点A、B、C和D、E、F．
1 2 3 1 2 3
已知AB=3,BC=5,EF=4，则DF的长为（ ）
32 12 20
A． B． C．2 D．
5 5 3
【答案】A
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
AB DE
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出比例式 = ，
BC EF
求得DE，进而求得DF，即可求解．
【详解】解：∵l ∥l ∥l ，
1 2 3
AB DE
∴ =
BC EF
3 DE
∴ = ，
5 4
12
∴DE=
5
12 32
∴DF=DE+EF= +4= ，
5 5
故选：A．
【变式2】如图，已知l ∥l ∥l ，AB:BC=1:2，如果DF=10，那么DE= ．
1 2 310
【答案】
3
【知识点】等式的性质、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、由平行判断成比例的线段
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练
掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
由平行线分线段成比例定理可得DE:EF=AB:BC=1:2，进而可得EF=2DE，根据
DF=DE+EF=10列方程求解，即可求得DE的长．
【详解】解：∵l ∥l ∥l ，
1 2 3
∴DE:EF=AB:BC=1:2，
∴EF=2DE，
又∵DF=DE+EF=DE+2DE=3DE=10，
10
解得：DE= ，
3
10
故答案为： ．
3
【变式3】如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交
点．若DH=3，则AC= ．
【答案】18
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合、由平行截线求相关线
段的长或比值
【分析】根据平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理解答即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握定
理是解题的关键．
【详解】解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，
∴BE=DE=AD，BF=GF=CG，AH=HF，∴AB=3BE，DH是△AEF的中位线，
1
∴DH= EF，
2
则EF=6，
∵EF∥AC，
∴ △BEF∽△BAC，
EF BE
∴ = ，
AC AB
6 BE
即 = ，
AC 3BE
解得：AC=18，
故答案为：18．
考点5：相似三角形的判定——证明题
典例5：如图，△ABC中，∠A=55°，∠B=45°，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且
∠ADE=80°，
(1)求证△AED∽△ABC；
(2)如果AD=4，BD=6，AE=5，求CE的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【知识点】相似三角形的判定综合、利用相似三角形的性质求解、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相似三
角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理求出∠C=80°，即∠ADE=∠C，再结合∠A=∠A利用“两角对应
相等，两个三角形相似” 即可证明结论；
（2）先求得AB=10，再根据相似三角形的性质及已知条件可得AC=8，最后根据线段的和差即可
解答．
【详解】（1）证明：∵∠A=55°，∠B=45°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−55°−45°=80°，
∴∠ADE=∠C=80°，又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC；
（2）解：由（1）得△AED∽△ABC，
AD AE
∴ = ，
AC AB
∵AD=4,BD=6，
∴AB=AD+BD=4+6=10，
∵AD=4,AB=10,AE=5，
4 5
∴ = ，
AC 10
∴AC=8，
∴CE=AC−AE=8−5=3．
【变式1】已知平行四边形ABCD，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．
(1)求证：△ABE∽△ADF；
(2)若EF∥BD，求证：AB=AD．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定综合、利用相似三角形的性质求解
【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．
（1）由平行四边形的性质得∠ABE=∠ADF，而∠AEB=∠AFD=90°，即可根据“两角分别相
等的两个三角形相似”证明△ABE∽△ADF；
BE DF BE BC AD BE AB
（2）由EF∥BD得 = ，则 = = ，由相似三角形的性质得 = ，则
BC DC DF DC AB DF AD
AB AD
= ，所以AB2=AD2，则AB=AD．
AD AB
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF，BC=AD，DC=AB，
∵AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，∴ △ABE∽△ADF；
（2）证明：∵EF∥BD，BC=AD，DC=AB，
BE DF
∴ = ，
BC DC
BE BC AD
∴ = = ，
DF DC AB
∵ △ABE∽△ADF，
BE AB
∴ = ，
DF AD
AB AD
∴ = ，
AD AB
∴AB2=AD2，
∴AB与AD相等或互为相反数，
∵AB>0，AD>0，
∴AB=AD．
EO DO
【变式2】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD，CE相交于点O，且 = ，
BO CO
求证：
(1)△BOE∽△COD；
(2)△ADE∽△ABC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】相似三角形的判定综合、利用相似三角形的性质求解
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：①相似三角形的对应边的比相等，对
应角相等，②两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似．
（1）根据两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似推出即可；
（2）根据两三角形的相似得出∠ABD=∠ACE，再∠BAD=∠CAE，即可推出△ABD∽△ACE，
得出比例式，即可得出答案．
EO DO
【详解】（1）证明：∵ = ，
BO COEO BO
∴ = ，
DO CO
∵∠EOB=∠DOC，
∴△BOE∽△COD；
（2）证明：∵△BOE∽△COD，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
AB AD
∴ = ，
AC AE
∵∠BAD=∠CAE，
即△ADE∽△ABC．
【变式3】如图，已知：在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，且∠BDE=∠BCA．
(1)求证：△ABE∽△BDC；
(2)如果AE=AC，求证：AC2=AD⋅AB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的判定综合
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键．
BD BE
（1）首先证明出△BDE∽△BCA，得到 = ，然后结合∠B=∠B，即可证明出
BC BA
△ABE∽△BDC；
AD AC
（2）由△ABE∽△BDC，得到∠BAE=∠BCD，然后证明出△ACD∽△ABC，得到 = ，
AC AB
进而求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠BDE=∠ACB，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA，
BD BE
∴ = ，
BC BABD BC
∴ = ，
BE BA
∵∠B=∠B，
∴△ABE∽△BDC；
（2）证明：∵△ABE∽△BDC，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE，
∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，
∴∠ACD=∠B，
∵∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
AD AC
∴ = ，即AC2=AD⋅AB．
AC AB
考点6：相似三角形的判定——添加条件
典例6：如图，△ABC中，点D是边AB上一点，点E为△ABC外一点，DE∥BC，连接BE．从
DE DB
下列条件中：①∠E=∠A；② = ．选择一个作为添加的条件，求证：△EDB∽△ABC．
BA BC
【答案】见解析
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加∠E=∠A
DE DB
根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加 = 利用两组对应边的比相等且相应
BA BC
的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似．
【详解】证明：选择①
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠ABC，
∵∠E=∠A，
∴△EDB∽△ABC．
或选择②∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠ABC，
DE DB
∵ = ，
BA BC
∴△EDB∽△ABC．
【变式1】如图，∠1=∠2
(1)要使△ABC∽△ADE，需要添加什么条件，说明理由；
(2)在（1）的条件下，如果AB=2AD， DE=2，则BC=
【答案】(1)∠D=∠B，理由见解析
(2)BC=4
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、利用相似三角形的性质求解
【分析】（1）根据三角形相似的判定定理添加∠D=∠B，两个角相等，三角形相似即可证明；
（2）根据三角形相似的判定定理即可求出BC；
【详解】（1）需要添加∠D=∠B，
∵∠1=∠2，∠BAE=∠BAE，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
又∵∠D=∠B
∴△ABC∽△ADE
（2）∵△ABC∽△ADE，
AD DE 1
∴ = = ，
AB BC 2
又∵DE=2，
∴BC=4
【点睛】此题考查三角形的判定定理，解题的关键是熟悉三角形相似的判定定理和相似比．
【变式2】如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，联结CP．要使△ACP∽△ABC，还需要补
充的一个条件是______，或______．请回答：
(1)补充的条件是______，或______；
(2)请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，∠A=60°，AC2=AB2+AB⋅BC．求∠B的度数．
AP AC
【答案】(1)∠APC=∠ACB，∠ACP=∠B，或 = ；
AC AB
(2)∠B=80°．
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握
数形结合思想的应用．运用两个角对应相等或者夹角相等，两边对应成比例即可证明（1）；延长
AB到点D，使BD=BC，易得△ACB∽△ADC，然后由相似三角形的对应角相等，求得
3∠D+60°=180°，则可求得∠D的度数，继而求得（2）中的∠B的度数．
【详解】（1）解：由∠A是公共角，可得要使△ACP∽△ABC，
AP AC
所以还需要补充的一个条件是：∠APC=∠ACB，∠ACP=∠B，或 = ；
AC AB
（2）解：如图，延长AB到点D，使BD=BC，
∵AC2=AB2+AB⋅BC=AB(AB+BC)=AB⋅(AB+BD)=AB⋅AD，
AC AD
即 =
AB AC
∵∠A=∠A，
∴△ACB∽△ADC，
∴∠ACB=∠D，∵BC=BD，
∴∠BCD=∠D，
在△ACD中，
∵∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，
∴3∠D+60°=180°，
∴∠D=40°，
∴∠ABC=∠BCD+∠D=80°．
【变式3】已知：如图，在 ABC中，点D在AC上（点D不与A，C重合）．若再添加一个条件，
就可证出 ABD∽△ACB． △
△
（1）你添加的条件是 ；
（2）根据题目中的条件和添加上的条件证明 ABD∽△ACB．
△ AB AD
【答案】（1）∠ABD=∠C（或∠ADB=∠ABC或 = ，答案不唯一）；（2）见解析
AC AB
【知识点】相似三角形的判定综合、选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】（1）根据图形得到△ABD与△ACB有一公共角，故添加另一组对应角相等或是添加公共
角的两边对应成比例即可；
（2）根据条件证明即可.
【详解】（1）∵△ABD与△ACB有一公共角∠A，
∴当∠ABD=∠C时，△ABD∽△ACB，
或∠ADB=∠ABC时，△ABD∽△ACB，
AB AD
或 = 时，△ABD∽△ACB，
AC AB
AB AD
故答案为：∠ABD=∠C（或∠ADB=∠ABC或 = ，答案不唯一）；
AC AB
（2）∵∠ABD=∠C，∠A=∠A,
∴△ABD∽△ACB；
∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A
∴△ABD∽△ACB；AB AD
∵ = ，∠A=∠A，
AC AB
∴△ABD∽△ACB.
【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记定理并运用解题是关键.
考点7：相似三角形的性质——求解
典例7：如图，D、E分别是AB、AC上的两点，连结DE，∠BED+∠C=180°．
(1)求证：△ABC∽△ADE；
(2)若AB=6，AC=4，AD=3，求BE的长．
【答案】(1)见详解
(2)4
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．
（1）由∠BED+∠C=180°，∠AED+∠BED=180°，得出∠C=∠AED，再根据两角对应相
等的两个三角形相似证明即可；
AB AC
（2）根据△ABC∽△ADE，得出 = ，进而得到AE的长，最终即可求出BE的长．
AD AE
【详解】（1）证明：∵ ∠BED+∠C=180°，∠AED+∠BED=180°，
∴∠C=∠AED，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵ △ABC∽△ADE，
AB AC
∴ = ，
AD AE
∵ AB=6，AC=4，AD=3，
6 4
∴ = ，
3 AE
∴AE=2，
∴BE=AB−AE=6−2=4．AE 3
【变式1】在平行四边形ABCD中，E为AD边上的一点，且 = ,CE交BD于F，BF=25cm．
DE 2
(1)求：△EDF∽△CBF．
(2)求DF的长
【答案】(1)见解析
(2)10cm
【知识点】利用平行四边形的性质证明、利用相似三角形的性质求解、利用两角对应相等判定相似
【分析】本题考查了平行四边形及相似三角形的性质，熟练掌握平行四边形及相似三角形的性质，
能够灵活运用各图形的判定定理和性质．
（1）由已知可得∠≝=∠BCF，∠EDF=∠CBF，可证△EDF∽△CBF；
（2）由三角形相似，可得对应边成比例，由对应边的比例关系进而可求解DF的长．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，
∴DE∥BC，且AD=BC，
∴∠≝=∠BCF；∠EDF=∠CBF，
∴△EDF∽△CBF；
（2）∵△EDF∽△CBF，
BC BF
∴ = ，
ED DF
AE 3
∵ = ，
DE 2
∴设AE=3t，则DE=2t，AD=BC=5t，
DF DE 2
∴ = = ，
BF BC 5
2BF
则DF= ，
5
∵BF=25cm，
2BF 2×25
DF= = =10cm．
5 5
【变式2】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，
且BE2=EF⋅EC．求证：
(1)△ABD∼△FCB；
(2)BD⋅BE=AD⋅CE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、证明三角形的对应线段成比例
【分析】（1）由BE2=EF⋅EC可证△BEF∼△CEB，得到∠EBF=∠ECB，再由AD∥BC得
到∠ADB=∠DCB，即可证明△ABD∼△FCB；
BF BE AB BD AD
（2）由△BEF∼△CEB得到 = ，△ABD∼△FCB得到 = = ，进而得到
BC CE FC BC BF
BE AD
= ，即可得到BD⋅BE=AD⋅CE．
CE BD
【详解】（1）∵BE2=EF⋅EC，
BE CE
∴ =
EF BE
∵∠BEF=∠CEB，
∴△BEF∼△CEB
∴∠EBF=∠ECB
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DCB
∴△ABD∼△FCB；
（2）∵△BEF∼△CEB，
BF BE
∴ =
BC CE
∵△ABD∼△FCB，
AB BD AD
∴ = =
FC BC BF
BF AD
∴ =
BC BD
BE AD
∴ =
CE BD
∴BE⋅BD=AD⋅CE．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键．
【变式3】如图所示，在矩形ABCD中，E是BC上一点，AF⊥DE于点F．
(1)求证：DF⋅CD=AF⋅CE．
(2)若AF=4DF，CD=12，求CE的长．
【答案】(1)详见解析;(2)3.
【知识点】证明三角形的对应线段成比例
【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形可得出∠ADC=∠C=90°，再根据相似三角形的判定定理可
得出 ADF∽△DCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）△由（1）可知DF：AF=CE：DC，再结合已知条件即可求出CE的长．
【详解】(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠C=90∘，
∴∠ADF+∠CDE=90∘，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠DAF+∠FDA=90∘，
∴∠FAD=∠CDE，
又∵∠C=∠AFD=90∘，
∴△ADF∽△DCE；
DF AF
∴ = ，
CE DC
即DF⋅CD=AF⋅CE；
(2)∵△ADF∽△DCE；
DF AF
∴ = ，
CE DC
DF CE
∴ = ，
AF DC
又∵AF=4DF，CD=12，DF CE
∴ = ，
4DF 12
∴CE=3．
【点睛】本题考查了矩形与三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握矩形与三角形的性质.
考点8：相似三角形的性质——坐标
典例8：如图，点A、B、C、D的坐标分别是(1,0)、(5,0)、(3,2)、(4,1)，如果以点
C、D、E为顶点的直角三角形与△ABC相似，则E点的坐标可能是下列的（ ）
①(2,1) ②(3,1) ③(4,2) ④(5,2)
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】利用相似求坐标
【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且
夹角相等的两三角形相似即可判断．
【详解】解：在△ABC中，AB=4，BC=AC=2√2，则△ABC是等腰直角三角形，
∵∠ACB=90°，
①、当点E的坐标为(2,1)时，∠DCE=90°，CE=CD=√2，则△DCE∽△BCA，故符合题意；
②、当点E的坐标为(3,1)时，∠CED=90°，CE=DE=1，则△CED∽△ACB，故符合题意；
③、当点E的坐标为(4,2)时，∠CED=90°，CE=DE=1，则△CED∽△ACB，故符合题意；
④、当点E的坐标为(5,2)时，∠CDE=90°，CD=DE=√2，则△CDE∽△ACB，故符合题意；
故选：D．【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）
和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】利用相似求坐标
【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到
DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论．
【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴O′E′=O′C′=2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′=∠BCA=90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
E′O′ BO′
∴ = ，
AC BC
2 BO′
∴ = ，
6 9∴BO′=3，
∴OO′=7-3=4，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形
是解题的关键．
【变式2】如图，在直角坐标系xOy中，A(−4,0)，B(0,2)，连接AB并延长到点C，连接CO，若
△COB∽△CAO，则点C的坐标为 ．
4 8
【答案】( , )
3 3
【知识点】求一次函数解析式、利用相似求坐标、解直角三角形的相关计算
1
【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y= x+2，从而可设点C的坐标为
2
1 1
C(a, a+2)，过点C作CD⊥x轴于点D，从而可得OD=a,CD= a+2，再根据正切的定义可得
2 2
1
tan∠OAB= ，然后根据相似三角形的性质可得∠BOC=∠OAC，从而可得∠OCD=∠OAC，
2
最后在Rt△COD中，利用正切三角函数建立方程，解方程求出a的值，由此即可得出答案．
【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A(−4,0),B(0,2)代入得：¿，解得¿，
1
则直线AB的解析式为y= x+2，
2
1
设点C的坐标为C(a, a+2)，
2
如图，过点C作CD⊥x轴于点D，1
则OD=a,CD= a+2，CD∥OB，
2
∴∠BOC=∠OCD，
∵A(−4,0),B(0,2)，
∴OA=4,OB=2，
OB 1
∴tan∠OAB= = ，
OA 2
∵△COB∼△CAO，
∴∠BOC=∠OAC，
∴∠OCD=∠OAC，
1
∴tan∠OCD=tan∠OAC= ，
2
OD a 1
tan∠OCD= = =
在Rt△COD中， CD 1 2，
a+2
2
4
解得a= ，
3
4
经检验，a= 是所列分式方程的解，
3
1 1 4 8
则 a+2= × +2= ，
2 2 3 3
4 8
所以点C的坐标为C( , )，
3 3
4 8
故答案为：( , )．
3 3
【点睛】本题考查了一次函数、相似三角形的性质、正切等知识点，熟练掌握相似三角形的性质和
待定系数法是解题关键．
【变式3】在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如
图5×5的方格中，作格点△ABC和△OAB相似（相似比不为1），则点C的坐标是 ．【答案】(4,0)或(3,2)
【知识点】利用相似求坐标、在网格中画与已知三角形相似的三角形
【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知
△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或
者BC是斜边，分两种情况分析即可．
【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=√5，
△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论，
当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作
∵△ABC∽△OBA，
AB∶OB=BC∶BA，即：√5∶1=BC∶√5，
解得BC=5，
∴OC=4，
∴C点坐标为(4，0)，
当∠ABC=90°时，AB∶OB=BC′∶BA，
BC′=2√5，AC′=5，
此时C点坐标为(3，2)，
综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)，
故答案为：（4，0）或（3，2）．
【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩
小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型
进行简单的相似变换作图．考点9：相似三角形的性质——网格
典例9：以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
PD
(1)在图①中， ＝ ；（填两数字之比）
PA
AP 3
(2)如图②，在线段AB上找一点P，使 = （利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作
BP 2
法）；
(3)如图③，大小4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的格点上，请在图中画
出与△ABC相似且面积不相等的一个三角形．
【答案】(1)1:3
(2)见解析；
(3)见解析
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、在网格中画与已知三角形相似的三角形
【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
PD CD 1
（1）证明△ABP∽△DCP，即可求得 = = ；
PA AB 3
（2）如图，取格点E、F，连接EF交AB于点P，利用相似三角形的判定和性质即可得解；
（3）如图，取格点A'、B'、C'，使△A′B′C′∽△ABC，两个三角形的相似比为√2:1，即可作图．
【详解】（1）解：∵AB=3，CD=1，且AB∥CD，
∴△ABP∽△DCP，
PD CD 1
∴ = = ，
PA AB 3
故答案为：1:3；
（2）解：点P如图所示，；
（3）如图③中，△A′B′C′即为所求作．
【变式1】在6×6的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转得到的△A′B′C；
(2)在图2中画出一个与△ABC相似的△ACD，且使得相似比不为1．（画出一个即可）
AM 3
(3)在图3中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段AC上找一点M，使得 = ．
CM 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】画旋转图形、在网格中画与已知三角形相似的三角形
【分析】本题考查作图−相似变换，旋转变换等知识，
（1）根据要求画出旋转得到的△A′B′C即可，旋转后得到的△A′B′C的边和原三角形对应的边应成
90°角；
（2）根据直角边的比为2，构造相似三角形即可；
（3）根据相似三角形的性质画出图形，作出点M即可．
【详解】（1）解：如图1中，△A′B′C即为所求；（2）解：如图2中，△ACD即为所求；
（3）解：如图3中，点M即为所求．
【变式2】图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫
格点（网格线的交点）．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按
下列要求画图，保留作图痕迹．
AD 3
(1)在图①中，分别在边AB、AC上画点D、E，连接DE，使△ADE∽△ABC，且 = ．
AB 4
BF 2
(2)在图②中，分别在边BC、AB上画点F、G，连接FG，使△BFG∽△BCA，且 = ．
BC 3
【答案】(1)见解析
(2)见解析【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形
【分析】本题考查格点图中画相似三角形．
（1）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可；
（2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可．
【详解】（1）解：如图，DE即为所求；
（2）如图，FG即为所求；
【变式3】在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)作出一个△A B C ，使△ABC∽△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)在边AC上确定一点D，使S :S =2:3．（保留作图轨迹）
△ABD △CBD
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、在网格中画与已知三角形相似的三角形
【分析】本题考查相似变换的作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角
形的判定和性质．
（1）由图可知AC、BC、AB的长度，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”画图即可得答案；
（2）构造相似三角形解决问题（△AMD∽△CND，相似比2:3，推出AD:CD=2:3）即可．
【详解】（1）解：由图可知，AB=√12+12=√2，BC=2，AC=√32+12=√10，
所画△A B C 各边长分别为A B =1，B C =√12+12=√2，A C =√22+12=√5，
1 1 1 1 1 1 1 1 12 √2 √10
∵ = =
√2 1 √5
，
AB BC AC
∴ = = ，
A B B C A C
1 1 1 1 1 1
∴△ABC∽△A B C ，
1 1 1
∴△A B C 即为所求（答案不唯一）；
1 1 1
（2）解：取格点M和N，连结MN与AC交于点D，连结BD，
∵AM∥CN
，
∴△AMD∽△CND，
AD AM 2
∴ = = ，
CD CN 3
∴S :S =2:3，
△ABD △CBD
∴点D即为所求．
考点10：相似三角形的性质——证明
典例10：已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，BD=DC，
BD⋅BC=BE⋅AC．
(1)求证：∠ABE=∠DEB；
FD AD
(2)延长BA、ED交于点F，求证： = ．
FE DC
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是找到相似的三角形．BD BE
（1）由BD⋅BC=BE⋅AC，得出 = ，根据BD=DC，得出∠DBC=∠C，进一步证明
AC BC
△ABC∽△DEB，从而得出结论；
（2）根据（1）的结论和已知证明△FAD∽△FDB即可．
【详解】（1）证明：∵BD=DC，
∴∠DBC=∠C，
∵BD⋅BC=BE⋅AC，
BD BE
∴ = ，
AC BC
∴△ABC∽△DEB，
∴∠ABC=∠DEB，
即∠ABE=∠DEB；
（2）解：如图所示，延长BA和ED相交于点F，
由（1）得△ABC∽△DEB，
∴∠CAB=∠BDE，
∴∠FAD=∠FDB，
∵∠F=∠F，
∴△FAD∽△FDB，
FD AD
∴ = ，
FB DB
又∠ABE=∠DEB，
∴FB=FE，
又∵BD=DC，
FD AD
∴ = ．
FE DC
【变式1】如图，在锐角三角形ABC中，CE⊥AB于点E，点D在边AC上，连接BD交CE于点
F，且△BEF∽△CDF．(1)求证：BD⊥AC；
(2)求证：△AEC∽△FEB；
(3)连接AF，已知EF:BE=3:5，求AF:BC．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)3:5
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．
（1）证明△BEF∽△CDF，得到BEF=∠CDF=90°，即可证明结论；
（2）由△BEF∽△CDF可得，即可证明相似；
AF EF
（3）根据相似三角形的性质，证明△AEF∽△CEB，得到 = ，即可求解．
BC BE
【详解】（1）证明：∵△BEF∽△CDF，
∴∠BEF=∠CDF，
∵CE⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∴∠CDF=90°，
∴BD⊥AC；
（2）证明：∵△BEF∽△CDF，
∴∠EBF=∠DCF，
∵CE⊥AB，
∴∠BEF=∠AEC=90°，
∴△AEC∽△FEB；
（3）解：由（2）得△AEC∽△FEB，
AE EC
∴ = ，
EF BE
AE EF
∴ = ，
CE BE
∵∠AEF=∠CEB=90°，
∴△AEF∽△CEB，AF EF
∴ = ，
BC BE
∵EF:BE=3:5
∴AF:BC=3:5．
【变式2】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC,DF∥AC．
(1)求证：△ADE∽△DBF．
(2)若BF=3,CF=6,AE=8，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)AC=12
【知识点】根据平行线判定与性质证明、利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定综合、利
用相似三角形的性质求解
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，
相似三角形对应边成比例．
（1）根据平行线的性质得出∠ADE=∠B,∠DFB=∠C，∠C=∠BFD，进而得出
∠AED=∠DFB，即可求证△ADE∽△DBF；
（2）先得出四边形DFCE为平行四边形，则DF=CE,DE=CF=6，根据相似三角形的性质得出
BF DF 1
= = ，求出DF=CE=4，即可解答；
DE AE 2
【详解】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B,∠DFB=∠C，
∵DF∥AC，
∴∠C=∠BFD，
∴∠AED=∠DFB，
∴△ADE∽△DBF；
（2）解：∵DE∥BC,DF∥AC，
∴四边形DFCE为平行四边形，
∴DF=CE,DE=CF=6，
∵△ADE∽△DBF，BF=3,CF=6，BF 3 1 DF
∴ = = = ，
DE 6 2 AE
∵AE=8，
∴DF=CE=4，
∴AC=AE+CE=8+4=12．
【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C
重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B．
(1)求证：AB⋅CM=BP⋅PC；
(2)当△PCM为直角三角形时，求线段PB长度．
【答案】(1)见解析
25
(2)4cm或 cm
4
【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解
【分析】（1）由题意易得∠B=∠C，则有∠BAP=∠CPM，证明△BAP∽△CPM，进而问题可
证；
（2）当△PCM为直角三角形时，则可分当∠PMC=90°时和当∠MPC=90°时进行分类讨论求解．
【详解】（1）证明：如图1，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠APM=∠B，
∴∠BAP=180°−∠B−∠APB=180°−∠APM−∠APB=∠CPM，
∴△BAP∽△CPM，AB BP
∴ = ，
PC CM
∴AB⋅CM=BP⋅PC；
（2）解：由题意知，∠B=∠C≠90°
①当∠PMC=90°时，如图2，
由（1）知，∠APB=∠PMC=90°
∵AB=AC，
∴点P为BC中点，
∵BC=8cm，
1
∴BP=CP= BC=4cm，
2
②当∠CPM=90°时，如图3，
由（1）知，∠BAP=∠CPM=90°，
作AD⊥BC于点D，
1
则BD=CD= BC=4cm，∠BDA=90°，
2
∴∠BAP=∠BDA=90°
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BDA，
BP AB
∴ = ，
AB BD
∵AB=AC=5cm，AB2 52 25
∴BP= = = (cm)．
BD 4 4
25
∴BP的长是4cm或 cm．
4
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
考点11：相似三角形的性质——尺规
典例11：如图，在△ABC中，∠A′=∠A．
(1)以线段A′B′为边，利用尺规在给出的图形上作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC．（要求：
尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）中所作的图形中，若AB=5，BC=3,A′B′=8，求B′C′的长．
【答案】(1)见解析
24
(2)
5
【知识点】尺规作一个角等于已知角、利用相似三角形的性质求解
【分析】（1）在A′B′的上方作∠A′B′M=∠B，射线B′M交射线A′N于点C′，△A′B′C′即为所求；
（2）利用相似三角形的性质求解．
【详解】（1）解：如图：△A′B′C′即为所求；
（2）解：∵△A′B′C′∽△ABC，
A′B′ B′C′
∴ = ，
AB BC
8 B'C' 24
∴ = ，即B′C′= ．
5 3 5
【点睛】本题主要考查相似作图、相似三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定性质是解答本
题的关键．
【变式1】“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角
形．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．
(1)利用尺规作∠B的平分线，交边AC于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明
字母）；
(2)证明：AD2=CD⋅CA．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】作角平分线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合、黄金分割
【分析】本题考查了黄金分割，等腰三角形、相似三角形的判定和性质，以及尺规作图等知识；熟
练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
（1）作∠ABC的角平分线，交AC于点D；
（2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可知AD=BC，再证△BCD∽△ACB，根据相似三
角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：如图所示，BD即为所求；
；
（2）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴AD=BD，∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∵∠BCD=∠ACB，∠CBD=∠CAB，
∴△BCD∽△ACB，BC CD AD CD
∴ = ，即 = ，
AC BC AC AD
∴AD2=CD⋅CA．
【变式2】“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角
形，如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．
(1)实践与操作：利用尺规作∠B的平分线，交边AC于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不
写作法，标明字母）；
(2)猜想与证明：请你利用所学知识，证明点D是边AC的黄金分割点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】作角平分线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合、黄金分割
【分析】（1）作∠ABC的角平分线，交AC于点D；
（2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可知AD=BC，再证△BCD∽△ACB，根据相似三
角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：如图所示，BD即为所求；
（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴AD=BD，∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∵∠BCD=∠ACB，∠CBD=∠CAB，
∴△BCD∽△ACB，
∴BC：AC=CD：BC，
∴AD：AC=CD：AD，
∴AD2=CD⋅CA，
∴点D是边AC的黄金分割点．
【点睛】本题考查了黄金分割，等腰三角形、相似三角形的判定和性质，以及尺规作图等知识；熟
练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
【变式3】如图，在 ABC中，AB=AC=5，BC=6．
（1）动手操作：利用△尺规作以BC为直径的圆O，并标出圆O与AB的交点D，与AC的交点E，连
接DE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在你所作的圆中，
①求证：DE//BC；
②求线段DE的长．
42
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②DE=
25
【知识点】圆周角定理、画圆(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）作BC的垂直平分线得到BC的中点O，以O为圆心，BO的长为半径画圆，得到圆
O；
（2）①根据等腰三角形的性质即可证明结论；
②根据三角形的面积和勾股定理即可求出线段DE的长．
【详解】解：（1）如图所示：（2）①在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴DE´C=ED´B，
∴E´C=D´B，
∴∠DEB=∠CBE，
∴DE//BC；
②∵DE//BC，
∴△ADE∼△ABC，
AE DE
∴ = ，
AC BC
∵AB=AC=5，BC=6，
∴OB=OC=OE=3，
∴AO=4，
连接BE，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=90°，
1 1
∴S = BC⋅AO= AC⋅BE，
△ABC 2 2
24
∴BE= ，
5
在Rt△AEB中，根据勾股定理，得AE2+EB2=AB2，即AE2+
(24) 2
=52 ，解得AE=
7
，
5 5
7
42
∴5 DE，解得DE= ．
= 25
5 6
【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理和相似三角形的性质和
判定，解题的关键是掌握这些几何性质进行证明求解．考点12：相似三角形判定与性质综合
典例12：【问题呈现】
（1）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD、CE．求证：BD=CE．
【类比探究】
（2）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、CE，则
BD
= ______．
CE
【拓展提升】
（3）如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，
∠DAE=∠BAC=30°，连接BD、CE．
BD
①求 的值；
CE
②延长CE交BD于点F，交AB于点G，求∠BFC的度数．
．
√2 √3
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）① ，②30°
2 2
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、全等的性质和SAS综合
（SAS）
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE(SAS)，从而得出结论；
（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
AD AB √3
（3）①利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得到 = = ，再证明
AE AC 2
△BAD∽△CAE，进而得出结果；②由△BAD∽△CAE，得出∠ACE=∠ABD，进而得出
∠BFC=∠BAC=30°．
【详解】证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE；
（2）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
AD AB 1
∴ = = ，∠DAE=∠BAC=45°，
AE AC √2
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
BD AB 1 √2
∴ = = = ；
CE AC √2 2
（3）①∵∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，
∴AE=2DE，AC=2BC，
由勾股定理得AD=√3DE，AB=√3BC，
AD AB √3
∴ = =cos30°= ，
AE AC 2
同理△BAD∽△CAE，
BD AB √3
∴ = = ；
CE AC 2
②∵△BAD∽△CAE，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠AGC=∠BGF，
∴∠BFC=∠BAC=30°．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，含30度
的直角三角形的性质以及勾股定理，锐角三角函数的应用等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手
拉手”模型及其变形．
【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．在AB边上取一点E，连接DE，
使得AE=DE．
(1)求证：DE∥AC；
(2)作EF∥BC，交AC于点F，连接DE．求证：△ABC∽△≝¿．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、由平行判断成比例的线段、相似三角
形的判定与性质综合
【分析】（1）根据角平分线定义，等腰三角形性质得∠CAD=∠EDA，即得；
（2）根据三线合一性质可得BD=CD，根据平行线的分线段性质得BE=AE，AF=CF，根据三角
DE EF DF 1
形中位线性质得， = = = ，即得．
AC BC AB 2
【详解】（1）证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AE=DE，∴∠EAD=∠EDA，
∴∠CAD=∠EDA
∴DE∥AC.
（2）∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD=CD，
由（1）知，DE∥AC，
BE BD
∴ = =1，
AE CD
∴BE=AE，
同理，EF∥BC，AF=CF，
∴DE，EF，DF为△ABC的中位线，
DE EF DF 1
故 = = = ，
AC BC AB 2
∴△ABC∽△≝¿.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线定义，平行线分线段
性质，三角形中位线性质，相似三角形的判定，是解题的关键．
【变式2】如图，在△ABC中，D为边AB的中点，点E在边AC上，连结ED，并延长ED至点F，
连结AF，使AF∥BC，且AF2=FD×FE．
(1)求证：∠FAD=∠FEA．
(2)若AB=20，AE=13，求EC的长．
【答案】(1)证明见解析31
(2)EC=
13
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解分式方程
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相关结论即可．
（1）证△AFD∽△EFA.即可求解；
AD AE
（2）证△ADE∽△ACB得 = 即可求解；
AC AB
【详解】（1）证明：∵AF2=FD×FE，
AF FE
∴ = .
FD AF
∵∠F=∠F,
∴△AFD∽△EFA.
∴∠FAD=∠FEA.
（2）解：∵AF∥BC，
∴∠FAD=∠B.
∵∠FAD=∠FEA.
∴∠B=∠FEA.
又∵∠DAE=∠CAB ,
∴△ADE∽△ACB,
AD AE
∴ = .
AC AB
∵D为边AB的中点，AB=20，
∴AD=10.
∵AE=13，
10 13
∴ = .
13+EC 20
31
解得EC=
.
13
【变式3】如图， 在菱形ABCD中，∠C=60°,AB=4，点 E是边BC的中点， 连接
DE、AE、BD．
(1)求DE的长；（结果保留根号）(2)点F 为边CD上的一点， 连接AF， 交DE于点G， 连接EF， AF⊥EF．
①求证：△AGD∽△EGF；
②求DF的长．
【答案】(1)2√3
(2)①见解析；②DF=1
【知识点】利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定和性质、
用勾股定理解三角形
【分析】（1）证明△BCD为等边三角形，利用三线合一结合勾股定理求出DE的长即可；
（2）①求出∠ADE=90°=∠EFG，结合对顶角相等，以及两组对应角相等的两个三角形相似，
即可得出结论；
②作EH⊥CD于H，证明△AGE∽△DGF，得到∠EAG=∠GDF=30°，勾股定理求出EF的长，
在Rt△ECH中，求出CH,EH的长，勾股定理求出FH的长，再利用线段的和差关系求出DF的长
即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，AD∥BC，
∵∠C=60°，
∴△CDB是等边三角形，
∴DB=DC=AB=4，
∵点 E是边BC的中点，
1
∴BE=EC= BC=2，DE⊥BC，
2
∴DE=√DC2−CE2=√42−22=2√3．
（2）解：①证明：∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠DEC=90°，
∴∠ADG=∠GFE=90°，
又∵∠AGD=∠EGF，
∴△AGD∽△EGF；
②作EH⊥CD于H．
∵△AGD∽△EGF，AG DG
∴ = ，
EG FG
AG EG
∴ = ，
DG FG
∵∠AGE=∠DGF，
∴△AGE∽△DGF，
1
∴∠EAG=∠GDF= ∠BDC=30°，
2
∵∠GFE=∠ADG=90°，
1 1
∴EF= AE= √42+(2√3) 2=√7，
2 2
在Rt△ECH中，CE=2,∠C=60°，
1
∴CH= CE=1,EH=√CE2−CH2=√3，
2
在Rt△EFH中，FH=√(√7) 2 −(√3) 2=2，
∴CF=2+1=3，
∴DF=CD−CF=1．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、直角三角
形30度角的性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．
考点13：相似三角形的实际应用
典例13：测量路灯高度，人在路灯下的影长等
活动目标 测量路灯高度，人在路灯下的影长等
工具 皮尺、1m标杆
活动一：测 如图1，1m标杆PQ垂直于地面，PQ在路灯光源B
量路灯AB 照射下在地面产生影子PC，测量
的高度． PC=1.5m,AP=7.5m．
活动二：测
如图2，身高1.6m的同学MN站在离路灯2m远的地
量某同学
方，即AM=2m，MN在路灯光源B照射下在地面
MN的影
产生影子MD．
长．如图，1m标杆PQ垂直于地面，PQ在相邻路灯光源
B与B′照射下在地面产生影子PF与PE，若路灯
活动三：有 AB=A′B′，通过测量猜想发现了一个有趣的结论：
趣的发现．
PF PA
=
PE PA′
根据上面数学活动记录，回答下面问题：
(1)根据活动一测得的数据计算路灯AB的高度；
(2)根据活动二测得的数据计算同学MN的影长；
PF PA
(3)请证明活动三猜想的结论： = ．
PE PA′
【答案】(1)AB=6m
8
(2) m
11
(3)证明见解析
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
PQ CP
（1）首先证明△QPC∽△BAC，再根据 = 即可求出AB的长；
AB AC
MD MN
（2）同（1）证明△NMD∽△BAD，再设MD=x，根据 = 列方程求解即可；
AD AB
（3）分别证明△QPF∽△BAF和△B′ A′E∽△QPE，再根据相似比证明即可．
【详解】（1）∵ 1m标杆PQ垂直于地面，
∴∠QPC=90°，
∵∠BAC=90°=∠CPQ，且∠C=∠C，
∴ △QPC∽△BAC，
PQ CP
∴ = ，
AB AC
∵ PC=1.5m,AP=7.5m，
∴AC=PC+AP=1.5+7.5=9m，
1 1.5
∴ = ，解得AB=6m．
AB 9
（2）由（1）可得，AB=6m，
∵∠BAC=90°，∠NMD=90°，且∠ADB=∠ADB，
∴ △NMD∽△BAD，
设MD=x，则AD=AM+x，
∵ AM=2m，MN=1.6m，MD MN x 1.6
则由 = 得 = ，
AD AB 2+x 6
8
即1.6(2+x)=6x，解得x= m，
11
8
∴MD= m．
11
（3）同（1）可得，△QPF∽△BAF和△B′ A′E∽△QPE，
PQ PF PQ PE
∴ = , = ，
AB AF A′B′ A′E
∵ AB=A′B′，且PQ=1，
PF PE
∴ = ，
AF A′E
∵AF=PA+PF,A′E=PA′+PE，
PF PE
∴ = ，
PA+PF PA′+PE
∴PF(PA′+PE)=PE(PA+PF)，
∴PF·PA′+PF·PE=PE·PA+PE·PF，
∴PF·PA′=PE·PA，
PF PA
∴ = ．
PE PA′
【变式1】阿代的数学研学日记
课题：测量旗杆的高度
地点：青岛市山海二十六中学操场
时间：2025月3月2日
昨天上午代兴国老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：
小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所
示，标杆AB=a，影长BC=b，旗杆的影长DF=c，则可求得旗杆DE的高度为_______．今天测量时阴天就不能用昨天的方案了，
如图2所示，张世昌老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地
面的夹角为37°，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平
台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为54°，利用这些数据能求出旗杆DE的高
度吗？
请你回答阿代的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75；sin54°≈0.8，cos54°≈0.58，
tan54°≈1.45）
ac
【答案】 ；旗杆高度可求，为10.5米
b
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、相似三角形实际应用
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解决本题的关键是要熟练掌握解
直角三角形的方法．
AB BC ac
（1）首先证明出△BCA∽△DFE，得到 = ，然后代入即可求出DE= ；
DE DF b
（2）如图所示，过点H，作HN⊥DE于N，设DE=x米，解直角三角形得到CE的长，进而求解
即可．
【详解】（1）解：因为AC∥EF，
所以∠ACB=∠EFD，
所以△BCA∽△DFE，
AB BC
所以 = ，
DE DF
a c
所以 = ，
DE b
ac
所以DE= ；
b
（2）如图所示，过点H，作HN⊥DE于N，设DE=x米，
( 1)
∵EN= x− 米，
2
在Rt△EDG中，DE=x，∠DGE=37°，
x 5
∴≥= ≈ x，
sin37° 3
1
在Rt△ENH中，EN=x− ，∠EHN=54°，
2
1
x−
2 5( 1)，
∴EH= ≈ x−
sin54° 4 2
∵≥−EH=5，
5 5( 1)
∴ x− x− =5，
3 4 2
解得：x=10.5，
答：旗杆高度可求，为10.5米．
【变式2】数学思考
(1)我国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标
杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”其大意如下：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出
它在太阳底下的影长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图1），它的影长五寸（备注：
1丈=10尺，1尺=10寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺．则可列方程： _________．
解决问题
(2)数学兴趣小组的同学对某古塔进行了测量，测量方法如下：如图2，甲同学在古塔AB的影子顶端
D处竖直立一根木棒CD，并测得此时木棒的影长DE=2.4米，然后，乙同学在BD的延长线上找出
一点F，使得A，C，F三点在同一直线上，并测得DF=2.5米．已知图中所有点均在同一平面内，
木棒CD=2米，AB⊥BF，CD⊥BF，根据以上测量数据，求古塔的高度AB．x 1.5
【答案】(1) =
15 0.5
(2)50米
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、相似三角形实际应用、其他问题(一元一次方程的应
用)
【分析】本题考查了相似三角形的应用，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相
等和在“同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决，掌握相似三角形的判定和性质定理是解答本
题的关键．
（1）利用“在同一时刻物高与影长的比相等”列方程即可解答；
（2）设古塔的高度AB为x米，影长为y米，先利用“同一时刻物高与影长的比相等”列方程得
AB CD x 2 CD DF 2 2.5
= ，即 = ，所以y=1.2x，再证明△FCD∽△FAB得到 = ，即 = ，
BD DE y 2.4 AB BF x y+2.5
然后解方程组求出x即可．
【详解】（1）解：根据题意知在“同一时刻物高与影长的比相等”，
x 1.5
∴ = ，
15 0.5
x 1.5
故答案为： = ；
15 0.5
（2）解：设古塔的高度AB为x米，影长为y米，
AB CD x 2
根据题意得： = ，即 = ，
BD DE y 2.4
∴y=1.2x，
∵AB⊥BF，CD⊥BF，
∴CD∥AB，
∴△FCD∽△FAB，
CD DF 2 2.5
∴ = ，即 = ，
AB BF x y+2.52 2.5
∴ = ，
x 1.2x+2.5
解得：x=50，
经检验，x=50为原方程的解，
∴古塔的高度AB为50米．
【变式3】综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如
下：
【实地测量】
(1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶
端A，∠DCE=∠ACB．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度DE=1.5米，小康到镜面的距离
EC=3米，镜面到旗杆的距离CB=15米．求旗杆的高度．
(2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼晴D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在
一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为1.5米，标杆高CF=4米，EF=3米，
BF=9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行．求旗杆的高度．
(3)利用测角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点E，F（E，F，B在同一直线
上），分别测得旗杆顶端A的仰角∠α=39°，∠β=28°，再测得EF=6米，点C，D到地面的距离
CF，DE均为1.5米．求旗杆的高度（参考数据：tan28°≈0.5，tan39°≈0.8）．
【答案】(1)旗杆的高度为7.5米
(2)旗杆的高度为11.5米
(3)旗杆的高度为9.5米
【知识点】相似三角形实际应用、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形．解决本题的关键是利用相似三角
形对应边成比例找到边之间的关系．
（1）首先根据∠DCE=∠ACB、∠DEC=∠ABC=90°，可以证明△DCE∽△ACB，根据相似
三角形对应边成比例可求旗杆的高度；（2）根据DE，CF，AB均垂直于地面，可证△CDG∽△ADH，根据相似三角形对应边成比例可
4−1.5 3
得 = ，解方程可求AH的高度，AH加上小英的眼睛到地面的高度就是旗杆的高度；
AH 3+9
AG AG AG AG
（3）利用tanβ= 、tanα= ，可得 − =6，解方程求出AG的高度，用AG加上CF
CG DG 0.5 0.8
即可求出旗杆的高度．
【详解】（1）解：∵∠DCE=∠ACB，∠DEC=∠ABC=90°，
∴△DCE∽△ACB，
DE AB
∴ = ，
CE CB
1.5 AB
∴ = ，
3 15
∴AB=7.5．
答：旗杆的高度为7.5米；
（2）解：∵DE，CF，AB均垂直于地面，
∴∠CGD=∠AHD=90°，
∵∠CDG=∠ADH，
∴△CDG∽△ADH，
CG DG
∴ = ，
AH DH
∵CG=CF−GF=4−1.5=2.5，DG=EF=3，DH=BF+EF=9+3，
4−1.5 3
∴ = ，
AH 3+9
解得：AH=10，
∴AB=10+1.5=11.5，
答：旗杆的高度为11.5米；
（3）解：由题意可得EF=6，DE=CF=GB=1.5，
AG AG
由题意得：tanβ= ，tanα= ，
CG DG
AG AG
∴CG= ，DG= ，
tanβ tanα
∵CD=CG−DG，CD=EF=6，
AG AG
∴EF= − ，
tanβ tanα
AG AG
∴ − =6，
0.5 0.8解得：AG≈8，
∴AB=AG+GB=8+1.5=9.5．
答：旗杆的高度为9.5米．
