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专题 06 相似三角形（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（ ）
A．∠A=∠CBD B．∠CBA=∠CDB
C．AB⋅CD=BD⋅BC D．BC2=AC⋅CD
DE 2
2．如图所示，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，并且DE∥BC， = ，△ADE的面
BC 3
积为8，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．13 C．16 D．18
3．如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，点F在DE上，CF＝CD，过点F作FG⊥FC交
AD于点G．下列结论：①GF＝GD；②AG＞AE；③AF⊥DE；④DF＝3EF；⑤∠ADF＝30°正确的
是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①③④⑤
4．如图，Rt△ABC与Rt△CDE，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC=∠DEC且
1
sin∠BAC= ，连接AE，若BD=2，AD=7，则AE长为（ ）
35 7
A． √2 B．3√2 C． √2 D．4√2
2 2
5．如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，其坐标分别为(−6,0)、(0,−8)，AD=20，
将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．(10,12) B．(−10,−12) C．(−12,10) D．(12,−10)
6．如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为(−4,2)，
点E的坐标为(−1,1)，则这两个正方形的面积之比为（ ）
A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:9
7．如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）120cm的C
处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（ ）
A．120cm B．80cm C．60cm D．40cm
BD 1
8．如图，将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的D处，MN为折痕．若 = ，则
CD 2DM
的值为（ ）
DN
1 2 4 5
A． B． C． D．
2 3 5 7
9．在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12，点D为线段AB上一点，且BD=5AD，点E是线
段AC上的动点，DE⊥DF交BC所在直线于点F，连接EF，则EF的最小值（ ）
A．6 B．10 C．2√19 D．3√3
10．如图所示，已知AD:DB=7:2，AC:CE=4:3，则BF:FC=（ ）
A．5:4 B．4:5 C．3:2 D．2:3
11．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于E，已知AD=AB，连接BE交AD于
F，下列结论：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③AF=DF；④△≝∽△DAE，其中正确的有
（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BC=12，BA0)的图象交于D，E两点，矩
x
形的顶点A，C在坐标轴上，OD:DE=10:21，∠ODE=90°，若点D的坐标为(2,5)，则下列结
论错误的是（ ）
441 BE 21 25 4
A．S =10 B．S = C． = D．点E的坐标为( , )
△OEC △DBE 20 EC 4 2 5
14．如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD
交AE于点G，若AB=AE，则FG的长是（ ）
8 2√15 5
A．3 B． C． D．
3 3 215．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且
∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．以下结论错误的
是（ ）
1
A．AB=√2 B．当点E与点B重合时，MH=
2
1
C．AF+BE=EF D．MG⋅MH=
2
二、填空题
16．如图，在 ▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE,BD相交于点F，则△≝¿的周长与△BCF
的周长之比 ．
C
△≝¿:C =¿
△BCF
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AC的中点，点E是BC上一点，
AE与BD交于点F．若∠BFE=45°，则DF的长为 ．
18．如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上一点，AE交BD于点F，若BE=2，EC=3，则
BF
的值为 ．
BD19．如图，在Rt△ABC中，AC=5，BC=3，点D是AB边上一点（点D不与点A，B重合），连
接CD，将△ACD沿CD翻折得到△A′CD，连接A′B，当∠A′BC=90°时，AD的长为
．
20．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，取AC的中点E，连接BE，过点C作BE的垂线，交
BE的延长线于点D，若BD=8，DC=2，则DE的长为 ．
21．将边长为√5的正方形ABCD和边长为√2的正方形CEFG如图摆放，点G恰好落在线段DE上，
连接BE，则BE= ．
22．如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为BC的中点，点N在射线AD上，过点N作
NE⊥AM于点E，连接MN．请探究下列问题：（1）sin∠ANE= ；
（2）当△NEM∽△ABM时，AN= ．
23．如图，在Rt△ABC中，AB=AC=3，点D在AB上，BD=1，作DE∥BC交AC于点E，连接
CD，点F是CD的中点，则EF= ．
24．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，△ADE与△ABC的面积分别为S ，
△ADE
S ，则S :S = ．
△ABC △ADE △ABC
25．如图，一束光线从点A(−2,5)出发，经过y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n)，则2m−n
的值是 ．
三、解答题
26．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，DE为AC边上的中线．
(1)若∠EDA=3∠BAD，求∠C的度数；
(2)若tan∠EDA=4，AB=5，求点A到BC的距离．
AF AD
27．如图，已知：点D、F在△ABC边AB上，点E边AC上，且DE∥BC， = ．
DF DB(1)求证：EF∥DC；
EF 2
(2)如果 = ，S =4，求S 的值．
CD 3 △AEF △ABC
28．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见
木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城
墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB、AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经
过点A，问FH多少里？
29．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别为边CB、AD延长线上的点，连接EF，
∠ABE=∠CDF．
(1)如图1，求证：∠E=∠F；
(2)如图2，连接BD，∠BDC=90°，请直接写出图2中与∠DBC互余的所有角．
30．小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：
(1)如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，若∠ACP=∠B，
求证：△ACP∽△ABC；
(2)如图2，已知∠A=81°，AC2=AB⋅AD，BC=BD，求∠ABC的度数．31．如图1，点D为△ABC内一点，联结BD，∠CBD=∠BAC，以BD、BC为邻边作平行四边
形DBCE，DE与边AC交于点F，∠ADE=90°．
(1)求证：△ABC∽△CEF；
(2)延长BD，交边AC于点G，如果CE=FE，且△ABC的面积与平行四边形DBCE面积相等，求
AG
的值；
GF
(3)如图2，联结AE，若DE平分∠AEC，AB=5，CE=2，求线段AE的长．
32．已知：在△ABC中，点D是边BC上任意一点（不与点B、C重合）．
(1)如图1，联结AD，S :S =__________；（用图中已有线段表示）
△ABD △ADC
(2)如图2，O是线段AD上任意一点（不与点A、D重合），联结BO、CO，试猜想S 与S
△BOC △ABC
之应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
16
33．已知△ABC中，∠ABC=2∠C，BG平分∠ABC，AB=8，AC= ．点D、E分别是边BC、
3
AC上的点（点D不与点B、C重合），且∠ADE=∠ABC，AD、BG相交于点F．
(1)求BC的长；
(2)如图1，如果BF=2CE，求BF：GF的值；
(3)如果△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求BD长．
34．在矩形ABCD中，E是AB边上一点，连接CE，将△BCE沿CE翻折得到△FCE．(1)如图1，若AB=6，BC=8，当点F在矩形对角线AC上时，求BE的长．
(2)如图2，当点F在AD上时，CF=2EF，求证：AB=2AF．
CD 3 FH
(3)如图3，若 = ，延长EF，与∠DCF的平分线交于点G，CG交AD于点，求 的值．
BC 4 AD
35．【背景】如图（1），点E，F分别是正方形ABCD的边AD,AB的中点，CE与DF相交于点
1
P，连接BP．同学们在研究图形时，作DH∥BP交CE于点H，发现：DH= BP．他们通过作三
2
1
角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段DH相等的线段，得到了多种方法证明DH= BP成
2
立．
【猜想】（1）若把正方形ABCD改成平行四边形ABCD，其余条件不变，如图（2），结论
1
DH= BP是否还成立？请说明理由．
2
【延伸】（2）在图（2）的条件下连接BH，那么四边形BHDP的面积和△BPF的面积有什么关系？
请说明理由．
【能力提升】
36．如图，已知平行四边形ABCD中，AD=√5，AB=5，BD⊥AD，点E在射线AD上，过点E
作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，连接CE、CF，设AE=m．(1)当点E在边AD上时，
①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示）
②当S =4S 时，求AE:ED的值；
△DCE △BFG
(2)当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值．
37．如图，将矩形ABCD沿着EF折叠，使得点A落在CD边上的点M处（点M不与C、D重合），
点B对应点为点N，AB=2，AD=4．
(1)当DM=1时，求EF的长；
(2)设DM=t，求四边形ABFE的面积S与t的函数表达式．（不要求写出自变量t的取值范围）
38．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，AC=1，点A ，B 为边AC，BC的
1 1
中点，连接A B ，将△A B C绕点C逆时针旋转α(0°≤α≤360°)．
1 1 1 1
(1)如图1，当 时，BB _________； ， 所在直线相交所成的较小夹角的度数是
α=0° 1 = BB A A
A A 1 1
1
_________；
(2)将△A B C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出
1 1证明；若不成立，请说明理由；
(3)当 绕点 逆时针旋转过程中，请直接写出 的最大值， _________．
△A B C C S S =
1 1 △ABA △ABA
1 1
39．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，动点P沿着边AB从点A运动到点B，同时动点Q
沿着边BC，CD从点B运动到点D，它们同时到达终点，BD与PQ交于点E．若记点Q的运动路程
为x，线段BP的长记为y．
(1)求y关于x的函数表达式．
BE
(2)如图2，当点Q在CD上时，求 ．
DE
(3)将矩形沿着PQ折叠，点B的对应点为点F，连结EF，当EF所在直线与△BCD的一边垂直时，
求BP的长．
40．抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，点P为线段BC下方抛物
线上一动点，连接BP,CP．
（1）求抛物线解析式；
（2）在点P移动过程中，ΔBPC的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点P的坐标，若
不存在，请说明理由；
（3）设点D为CB上不与端点重合的一动点，过点D作线段BC的垂线，交抛物线于点E，若ΔDCE
与ΔBOC相似，请直接写出点E的坐标．
