6.8 余弦定理
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：余弦定理......................................................................2
考点二：解三角形......................................................................2
考点三：判断三角形形状时常用到的结论.........................................2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：已知两边及夹角解三角形..................................................3
题型二：两边和其中一边的对角.................................................... 4
题型三：已知三边解三角形.......................................................... 6
考点四：利用余弦定理进行边角转化...............................................7
题型五：判断三角形的形状.......................................................... 8
题型六：余弦定理的实际应用......................................................11
题型七：余弦定理与平面图形结合................................................13
题型八：求三角形中边长（周长）取值范围.................................... 15
模块三：综合巩固....................................................................... 20
6.8 余弦定理
模块一：基础知识
考点一：余弦定理
1、公式表达：a
2＝b
2＋c
2－2bccos A，b
2＝a
2＋c
2－2accosB，c
2＝a
2＋b
2－2abcosC
2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的
两倍
【注意】余弦定理的特点
（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
（2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不
同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
3、推论：cos A＝b
2＋c
2－a
2
2bc
，cos B＝a
2＋c
2－b
2
2ac
，cos C＝a
2＋b
2－c
2
2ab
4、余弦定理的推导示例：在∆ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c
如图，因为ACԦ
ሬሬሬ= ABԦ
ሬሬሬ+ BCԦ
ሬሬሬ，
∴ACԦ
ሬሬሬ2 = ABԦ
ሬሬሬ+ BCԦ
ሬሬሬ
2，
即ACԦ
ሬሬሬ2 = ABԦ
ሬሬሬ2 + BCԦ
ሬሬሬ2 + 2ABԦ
ሬሬሬ∙BCԦ
ሬሬሬ= ABԦ
ሬሬሬ2 + BCԦ
ሬሬሬ2 + 2 ABԦ
ሬሬሬ
∙BCԦ
ሬሬሬ
cos180° −B
从而b2 = a2 + c2 −2accosB
同理，根据ABԦ
ሬሬሬ= ACԦ
ሬሬሬ+ CBԦ
ሬሬሬ，BCԦ
ሬሬሬ= BAԦ
ሬሬሬ+ ACԦ
ሬሬሬ，
可以得到c2 = a2 + b2 −2abcosC，a2 = b2 + c2 −2bccosA
考点二：解三角形
1、解三角形：一般地，三角形的三个角A，B，C 和她们的对边a，b，c 叫做三角形的元素.
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
2、余弦定理在解三角形中的应用
（1）类型1：已知两边及一角，解三角形
方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：
一是利用余弦定理的推论求出其余角；
二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解；
（2）类型2：已知三边解三角形
法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为
负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一
法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已
知三边求解
考点三：判断三角形形状时常用到的结论
1、ABC
为直角三角形
2
2
2
a
b
c
或
2
2
2
b
a
c
或
2
2
2
c
a
b
2、ABC
为锐角三角形
2
2
2
a
b
c
，且
2
2
2
b
c
a
，且
2
2
2
c
a
b
3、ABC
为钝角三角形
2
2
2
a
b
c
，且
2
2
2
b
c
a
，且
2
2
2
c
a
b
4、若sin 2
sin 2
A
B
，则A
B
或
2
A
B
模块二：题型分类
题型一：已知两边及夹角解三角形
1.在ABC
中，角
, ,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，已知
3
a
，
2
b
，
120
C
，则c （
）
A．7
B．19
C．7
D．19
【答案】D
【分析】利用余弦定理求得正确答案.
【详解】由余弦定理得
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
，
所以
2
2
2
1
3
2
2 3 2
2
c
13
6
19
．
所以
19
c
．
故选：D
2.在ABC
中，若
2
a
，
3
c
，
1
cos
4
B
，则b （
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】C
【分析】由余弦定理直接求解.
【详解】ABC
中，若
2
a
，，
1
cos
4
B
，由余弦定理，
2
2
2
1
2
cos
4
9
2 2 3
16
4
b
a
c
ac
B
，则
4
b
.
故选：C
3.在ABC
中，内角
,
,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
2
b
a
，
4
c
a
，
120
C
，则
a
．
【答案】3
【分析】根据余弦定理直接代入计算即可.
【详解】在ABC
中，由余弦定理得，
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
，
因为
2
b
a
，
4
c
a
，
120
C
，
所以
2
2
2
1
4
2
2
2
2
a
a
a
a
a
，
化简得，
2
6
0
a
a
，
所以
3
a
或
2
a （负值舍去）.
故答案为：3
4.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
π
3 3,
2,
6
a
c
B
，则b
.
【答案】13
【解析】在ABC
中，
π
3 3,
2,
6
a
c
B
，
由余弦定理得
2
2
2
3
(3 3)
2
2 3 3
2
13
2
b
，所以
13
b
.
5.在ABC
中，角
, ,
A B C 对应的边分别为, , ,
60 ,
4 ,
13
a b c C
a
b c
，则b
【答案】1
【解析】因为
60 ,
4 ,
13
C
a
b c
，
由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
2
16
13
17
13
1
cos
2
2
4
8
2
a
b
c
b
b
b
C
ab
b b
b
，
解得
1
b 或
1
b = - （舍）.
6.在ABC
中，已知
2,
3,
60
AB
AC
A
.
(1)求BC 的长
(2)求sin 2C 的值
【答案】(1)
7
(2) 4 3
7
【详解】（1）因为
2,
3,
60
AB
AC
A
，
由余弦定理可得，
2
2
2
2
cos
BC
AC
AB
AC
AB
A
2
2
3
2
2 3 2 cos60
7
,
所以
7
BC
.
（2）因为
2,
3,
7
AB
AC
BC
，
所以
2
2
2
2
2
2
( 7)
3
2
2 7
cos
2
7
2
7
3
BC
AC
AB
C
BC AC
，
又0
π
C
，所以
2
2
2 7
21
sin
1 cos
1
7
7
C
C
，
则sin 2
2sin
cos
2
21
2 7
4 3
7
7
7
C
C
C
.
题型二：两边和其中一边的对角
1.在△ABC 中，
1
AB ，
5
BC
，
5
cos
6
A
，则AC （
）
A．2
B．7
3
C．3
D．5
2
【答案】C
【详解】因为△ABC 中，
1
AB ，
5
BC
，
5
cos
6
A
，
所以由余弦定理知，
2
2
2
cos
2
AB
AC
BC
A
AB AC
，即
2
5
1
5
6
2
AC
AC
，
化简整理得
2
3
5
12
0
AC
AC
，
解得
3
AC
或
4
3
AC
（舍去）.
故选：C
2.在ABC
中，
5
AC
，
10
BC
，
2 5
cos
5
A
，则AB （
）
A．5
2
B．5
C．10
D．10
2
【答案】B
【分析】运用余弦定理解三角形即可.
【详解】由余弦定理得
2
2
2
2
cos
BC
AB
AC
AB AC
A
，
即
2
4
5
0
AB
AB
，解得
5
AB
（负值已舍去）.
故选：B.
3.在△ABC 中，a＝2 3，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．
【解析】根据余弦定理得，b
2＝a
2＋c
2－2accos B＝(2 3)
2＋( 6＋2)
2－2×2 3×( 6＋2)×cos 45°
＝8，
∴b＝2 2.
又∵cos A＝b
2＋c
2－a
2
2bc
＝8＋
6＋2
2－
2 3
2
2×2 2×
6＋2
＝1
2
，
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
4.在ABC
中，角
, ,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，已知
π
3
A
，
3
a
，
1
b ，则c 等于（
）
A．1
B．2
C．3 1
D．
3
【答案】B
【详解】由余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
，
将
π
3
A
，
3
a
，
1
b ，代入得
2
2
π
3
1
2 cos 3
c
c
，
则有
2
2
0
c
c
，且
0
c
，解得
2
c
.
故选：B.
5. ABC
的内角A，B，C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
π
3
A
，
7
a
，
1
b
c
，则cos B （
）
A．1
3
B．
7
7
C．2 7
7
D．
7
14
【答案】D
【详解】由余弦定理，
2
2
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
b
c
bc
，
因为
1,
7
b
c
a
，所以
2
2
1
1
7
c
c
c c
，
即
2
6
0
c
c
，解得
2
3
c
c
或
（舍），
所以
3,
2
b
c
，
2
2
2
7
4
9
7
2
14
2
7
2
cos
a
c
b
ac
B
.
题型三：已知三边解三角形
1.在ABC
，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =1，b =2，c =2,则cos B （
）
A．1
6
B．1
3
C．1
4
D．1
【答案】C
【解析】由余弦定理得:
2
2
2
1
4
4
1
cos
2
2 1 2
4
a
c
b
B
ac
，故选: C.
2.已知ABC
的角A、B、C 对应边长分别为a、b、c，
4
a
，
5
b
，
6
c
，则sin A
【答案】
7
4
/ 1
7
4
【详解】由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
5
6
4
3
cos
2
2 5 6
4
b
c
a
A
bc
，
2
2
2
3
7
sin
1 cos
1
4
16
A
A
，又0
π
A
，
7
sin
4
A
.
故答案为：
7
4
.
3.在ABC
中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
3
a
、
1
b 、
2
c
，则A （
）
A．30
B．45
C．60
D．75
【答案】C
【解析】
2
2
2
1
4
3
1
cos
2
2 1 2
2
b
c
a
A
bc
，
又因为0
π
A
，则
60
A
，故选：C
4.在△ABC 中，BD 为AC 边上的中线，AB＝3，BC＝2，AC＝7 ，则cos ∠ABD＝________．
【答案】
4 19
19
【解析】
在△ABC 中，由余弦定理的推论可知，
cos A＝AB
2＋AC
2－BC
2
2AB·AC
＝9＋7－4
2×3× 7
＝2 7
7
，
∵BD 为AC 边上的中线，∴AD＝CD＝7
2
，
在△ABD 中，由余弦定理得BD
2＝AB
2＋AD
2－2AB·AD cos A＝9＋7
4
－2×3× 7
2
×2 7
7
＝19
4
，
∴BD＝19
2
，在△ABD 中，由余弦定理的推论得cos ∠ABD＝AB
2＋BD
2－AD
2
2AB·BD
＝
9＋19
4
－7
4
2×3× 19
2
＝4 19
19
.
5.已知ABC
中角A、B、C 对边分别为a、b、c，若
:
:
3: 2 :
3
a b c
，则ABC
中最大角的余弦值为
．
【答案】
3
6
【解析】因为
:
:
3: 2 :
3
a b c
，不妨设
3 ,
2 ,
3 (
0)
a
k b
k c
k k
，
在三角形中，大边对大角，所以最大角为A ，
根据余弦定理，
2
2
2
2
2
2
3 3
2
3
cos
2
6
2 2
3
4 3
b
c
a
A
bc
.
6.已知
3
2
m
，在钝角ABC
中，
3
AB
m
，
5
BC
m
，
6
AC
m
，则m 的取值范围是（
）
A．3 ,6
2
B．
2,6
C．3 ,2
2
D．
2,
【答案】B
【解析】因为
3
2
m
，所以
5
6
4
6
0
m
m
m
，所以5
6
m
m
.
又5
3
0
m
m
，所以A 最大，
则由余弦定理得
2
2
2
6
5
cos
0
2 3
6
3
m
m
A
m
m
m
，得
5
6
2
0
m
m
，
因为
3
2
m
，解得m>2 ，
因为
6
5
3
m
m
m
，所以
6
m
，
所以m 的取值范围是
2,6 ，故选：B.
考点四：利用余弦定理进行边角转化
1.在ABC
中，已知
3
a
b
c
b
c
a
bc
，则角A 等于（
）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
【答案】C
【分析】根据题意结合余弦定理运算求解.
【详解】因为
3
a
b
c
b
c
a
bc
，整理得
2
2
2
b
c
a
bc
，
由余弦定理可得
2
2
2
1
cos
2
2
2
b
c
a
bc
A
bc
bc
，
且0
180
A
，所以
60
A
.
故选：C.
2.在ABC
中，若
2
2
2
3
a
b
c
ab
，则角C 等于（
）
A．30
B．60
C．150
D．120
【答案】A
【分析】根据余弦定理可得cosC 的值，即得答案．
【详解】在ABC
中，
2
2
2
3
a
b
c
ab
，可得
2
2
2
3
3
cos
2
2
2
a
b
c
ab
C
ab
ab
，
由于0
180
C
，故
30
C
，
故选：A．
3.在ABC
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
2
2
2
2
b
c
a
，
1
cos
4
B
，则c
a （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由余弦定理求出答案.
【详解】由
2
2
2
2
b
c
a
得：
2
2
2
2
1
cos
2
2
2
4
a
c
b
a
a
B
ac
ac
c
，
解得：
2
c
a
故选：B
4.在△ABC 中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，若b
2＝ac，且a
2－c
2＝ac－bc，则角A 的大小为
【答案】60°
【解析】因为b
2＝ac，且a
2－c
2＝ac－bc，所以b
2＋c
2－a
2＝bc，在△ABC 中，由余弦定理知
cos A＝
��+��−��
���
＝
��
���＝
�
�，又因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
题型五：判断三角形的形状
1.若在
,2
cos
ABC
a
B
c
△
中
，则三角形的形状一定是（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】B
【分析】根据余弦定理角化边可得结果.
【详解】由2
cos
a
B
c
以及余弦定理得
2
2
2
2
2
a
c
b
a
c
ac
，
化简得a
b
，所以三角形的形状一定是等腰三角形.
故选：B
2.在ABC
中，其内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若cos
cos
a
B
b
A
a
，则ABC
的形状是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】因为cos
cos
a
B
b
A
a
，
所以由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
2
2
a
c
b
b
c
a
a
b
a
ac
bc
，
所以
2
2
2
c
ac
，所以c
a
，所以ABC
为等腰三角形，故选：A.
3.在ABC
中，角A
B
C
，，
所对的边分别为a
b
c
，，．若
cos
cos
a
c
A
b
c
B
，则ABC
为（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【详解】由余弦定理可得：
2
2
2
2
2
2
2
2
b
c
a
a
c
b
a
c
b
c
bc
ac
，
即
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
a b
ab
ac
a
ab
a b
c b
b
，
整理得：
2
2
2
(
)(
)
0
a
b a
b
c
，
得a
b
或
2
2
2
a
b
c ，所以ABC
为等腰或直角三角形.
故选：D
4.在ABC
中，若
60
C
，
2c
ab
，则ABC
的形状是（
）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【答案】D
【详解】由余弦定理知
2
2
2
cos
2
b
a
c
C
ab
，
因为
2c
ab
，
60
C
，
所以
2
2
1
cos60
2
2
b
a
ab
ab
，
所以
2
0
a
b
，所以b
a
，
因此B
A
，所以
60
B
A
C
，
即ABC
是等边三角形，
故选：D.
5.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边为a，b，c
(1)若sin 2
3sin
B
B
=
，求∠B；
(2)若
2 cos
a
b
C
，试判断△ABC 的形状．
【答案】(1)
π
6
B
(2)△ABC 是等腰三角形
【详解】（1）由sin 2
2sin
cos
3sin
B
B
B
B
=
=
，而sin
0
B
，故
3
cos
2
B
，
又
(0, π)
B
，故
π
6
B
.
（2）
2
2
2
2
2
2
2 cos
2
2
a
b
c
a
b
c
a
b
C
b
ab
a
，故
2
2
0
b
c
，即b
c
，
所以△ABC 是等腰三角形.
6.若
3
a
b
c
b
c
a
bc
，且cos
cos
c
B
b
C
，那么ABC
是（
）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】因为
3
a
b
c
b
c
a
bc
，则
2
2
3
b
c
a
bc
，可得
2
2
2
b
c
a
bc
，
由余弦定理可得
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
，
因为
0,π
A
，所以，
π
3
A
，
因为cos
cos
c
B
b
C
，则
2
2
2
2
2
2
2
2
a
c
b
a
b
c
c
b
ac
ab
，整理可得b
c
.
所以，ABC
为等边三角形，故选：A.
7.在ABC
中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
7
a
，
10
b
，
6
c
，则ABC
是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上答案都不对
【答案】B
【详解】由
2
2
2
49
36 100
5
cos
0
2
2 7 6
28
a
c
b
B
ac
，而0
π
B
，
所以π
π
2
B
，即为钝角，故ABC
为钝角三角形.
故选：B
8.在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
1
b
a
，
2
c
a
．是否存在正整数a ，使得ABC
为钝角三角形？若存在，求a ；若不存在，说明理由．
【答案】存在正整数
2
a
，使得ABC
为钝角三角形
【详解】由题意，知c
b
a
，要使ABC
为钝角三角形，
需
2
2
2
2
2
2
1
2
3
cos
0
2
2
2
1
a
a
a
a
b
c
a
C
ab
a
a
a
，得0 <
< 3
a
．
因为a 为正整数，所以
1
a 或
2
a
．
当
1
a 时，
2
b
，
3
c
，此时不能构成三角形；
当
2
a
时，
3
b
，
4
c
，满足题意．
综上，存在正整数
2
a
，使得ABC
为钝角三角形．
9.在ABC
中，内角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c .若
2
2
cos
cos
b
c
b
C
c
B
a
，则ABC
的形状为（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
【答案】B
【解析】根据余弦定理知，
2
2
2
2
2
2
cos
cos
2
2
a
b
c
a
c
b
b
C
c
B
b
c
ab
ac
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
c
b
a
a
2
2
b
c
a
a
，
所以
2
2
2
a
b
c
，则
π
2
A
,
故三角形为直角三角形，故选：B.
10.在△ABC 中，
cos
cos
a
b
c
B
A
，则这个三角形一定是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】由余弦定理可得：
2
2
2
cos
2
b
c
a
A
bc
，
2
2
2
cos
2
a
c
b
B
ac
，
代入
cos
cos
cos
cos
a
b
c
B
A
c
B
c
A
中，
得
2
2
2
2
2
2
2
2
a
c
b
b
c
a
a
b
a
b
，
等式两边同乘2ab 得：
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
a b
ab
a b
c b
b
ab
ac
a
，
移项合并得：
2
2
2
2
3
3
0
a b
ab
c b
ac
a
b
，
整理得：
2
2
2
0
ab a
b
c
a
b
a
b
a
ab
b
，
即
2
2
2
0
a
b
c
a
b
，可得a
b
或
2
2
2
a
b
c ，
则三角形为等腰三角形或直角三角形，故选：D.
题型六：余弦定理的实际应用
1.九章算术》是中国古代一部数学专著，其中的“邪田”为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正
广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为4 3 ，东畔长为2 7 ，在A 处测得C，D 两点处的俯角分别
为49°和19°，则正广长约为（注：sin 41
0.66
）（
）
A．6.6
B．3.3
C．4
D．7
【答案】A
【解析】由题意知：
49
19
30
DAC
，
在ACD
中，由余弦定理可得：
2
2
2
2
cos30
DC
AC
AD
AC AD
，
代入得：
2
28
48 12
AC
AC
，即(
2)(
10)
0
AC
AC
，
因为
90
ADC
，故
10
AC
，
故
cos49
10 sin 41
6.6
BC
AC
，故选：A.
2.《墨经·经说下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射，下者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，
故成景于上；首蔽上光，故成影于下.在远近有端，与于光，故景库内也.”这是中国古代对小孔成像现象
的第一次描述.如图为一次小孔成像实验，若物距：像距
23
6:1,
12,cos
32
OA
OB
A OB
，则像高
为
.
【答案】3
2
【解析】由
23
cos
32
A OB
，则
23
cos
32
AOB
，
又
12
OA
OB
，则
2
2
2
23
23
2
288
2 12 12
81
32
32
AB
OA
OB
OA OB
，即
9
AB
，
又物距∶像距
6 1
∶，
则
1
3
6
2
A B
AB
，即像高为3
2 .
3.宜昌奥林匹克体育中心为了迎接4 月12 日湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形
ABCD区域设计灯带．已知灯带
=CD
10
AB
米，
20
BC
米，
10 2
AD
米，且
3π
4
A
C
，则
cos
BCD
（
）
A．3
5
B．0
C．4
5
D．
2
10
【答案】A
【解析】如图，连接BD .
在
ABD
△
中，由余弦定理有：
2
2
2
2
cos
300
200 2cos
BD
BA
AD
BA
AD
A
A
,①
在
CBD
△
中，由余弦定理有：
2
2
2
2
cos
500
400cosC
BD
BC
CD
BD
CD
C
,②
由①②得：
2cos
1
2cos
A
C
,
又
3π
4
A
C
，
3π
2cos
1
2cos
4
C
C
，
sin
1 3cos
C
C
又
2
2
sin
cos
1
C
C
.
2
2
3cos
1
cos
1
C
C
cos
0
C
或
3
cos
5
C
,
3π
0,
,
sin
0
4
C
C
若cos
0
C
,则sin
1
C （舍），
3
cos
5
C
，故选：A .
4.如图，某公园有一个半径为2 公里的半圆形湖面，其圆心为O，现规划在半圆弧岸边取点C、D、E，且
2
2
DOE
AOC
COD
，在扇形AOC 区域内种植芦苇，在扇形COD 区域内修建水上项目，在四边形
ODEB 区域内种植荷花，并在湖面修建栈道DE 和EB 作为观光线路.当DE
EB
最大时，游客有更美好的
观赏感受，则DE
EB
的最大值为（
）
A．9
4
B．4
C．9
2
D．6
【答案】C
【解析】设
AOC
，则
2 ,
,
π
4
DOE
COD
BOE
，
π
π
0
4
π,0
,0
2
4
2
，则sin、cos2为正数.
在三角形ODE 中，连接DE ，
由余弦定理得
2
4
4
2 2 2 cos2
8 8cos2
16sin
4sin
DE
，
在三角形BOE 中，由余弦定理得：
2
2
4
4
2
2
2 cos π
4
8
8cos 4
16cos 2
4cos 2
4 1
2sin
EB
，
所以
2
2
4sin
4 1 2sin
8sin
4sin
4
DE
EB
,
由于
2
sin
0, 2
，所以当
4
1
sin
2
8
4
时，DE
EB
取得最大值，
也即
1
sin
4
AOC
时，DE
EB
取得最大值为
2
1
1
9
8
4
4
4
4
2
.故选：C
题型七：余弦定理与平面图形结合
1.如图，在平行四边形ABCD中，
2
AB
，
1
BC ，
π
3
DAB
，将三角形ABC 沿AC 翻折得三角形AB C
，
使得AB交CD 于E ，则DE （
）
A．2
3
B．3
5
C．3
4
D．4
5
【答案】B
【解析】因为在平行四边形ABCD 中，
2
AB
，
1
BC ，
π
3
DAB
，
所以
2,
1
AB
DC
AD
BC
，
2π
3
ABC
ADC
，
因为将三角形ABC 沿AC 翻折得三角形AB C
，使得AB交CD 于E ，
所以
2π
1,
3
CB
BC
ABC
CB E
，
因为
,
,
AD
CB
ADE
CB E
AED
CEB
，所以
ADE
V
≌CB E
，
所以DE
B E
，设DE
x
，则
2
,
EC
x B E
x
，
在CB E
中由余弦定理得
2
2
2
2
cos
CE
CB
B E
CB B E
CB E
，
2
2
1
(2
)
1
2
2
x
x
x
，解得
3
5
x
，即
3
5
DE
，故选：B
2.已知ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
8
a
，
6
b
，
4
c
，则中线AD 的长为
.
【答案】10
【解析】如图，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
AB
AD
DB
AD DB
ADB
，
2
2
2
2
cos
AC
AD
DC
AD DC
ADC
，
又cos
cos
ADB
ADC
，
两式相加得
2
2
2
2
2
2
AB
AC
AD
DB
DC
，
即
2
2
2
2
2
4
6
2
4
4
AD
，化简得
2
2
20
AD
，
所以
10
AD
.
3.如图所示，点A 是等边
BCD
△
外一点，且
2π
3
BAD
，
2
AD
，
2 3
BD
，则ABC
的周长为
．
【答案】6
2 3
/ 2 3
6
【解析】在
ABD
△
中，由余弦定理可知
2
2
2
2π
2
cos 3
BD
AB
AD
AB AD
，
整理可得
2
2
8
0
AB
AB
，解得
2
AB
，所以
π
6
ABD
，
又
BCD
△
是等边三角形，所以
π
2
ABC
，
2 3
BC
，
由勾股定理可得，
4
AC
，所以ABC
的周长为6
2 3
．
4.在ABC
中，内角
,
,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，
cos
tan
tan
2sin
B
C
B
A
．
（1）求C ；
（2）若
4
BC
AC
，且
ACB
的平分线上的点D 满足BD
AD
，求
BDA
．
【答案】（1）
π
3
C
；（2）
2π
3
BDA
【解析】（1）
sin
sin
sin
cos
sin
cos
cos
tan
tan
cos
cos
cos
cos
cos
cos
C
B
C
B
B
C
B
C
B
B
B
C
B
B
C
sin
sin π
sin
2sin
cos
cos
cos
B
C
A
A
A
C
C
C
，
0,π
A
，
sin
0
A
，
1
2
cosC
，则
1
cos
2
C
，
又
0,π
C
，
π
3
C
.
（2）在ABC
中，设
1
AC ，则
4
BC
，
由余弦定理得：
2
2
2
π
2
cos
1 16
8cos
13
3
AB
AC
BC
AC BC
C
，
13
AB
；
设
0
4
BD
m
m
，CD
n
，则AD
m
，
在ACD
中，由余弦定理得：
2
2
2
2
2
2
cos
1
3
2
C
AD
AC
CD
AC CD
n
n
m
；
在
BCD
△
中，由余弦定理得：
2
2
2
2
2
2
cos
16
4 3
2
C
BD
CD
BC
BC CD
n
n
m
；
2
2
1
3
16
4 3
n
n
n
n
，解得：
5 3
3
n
，
25
39
1
5
3
3
m
，
在
BDA
△
中，由余弦定理得：
2
2
2
2
26
13
1
3
cos
26
2
2
3
m
m
AB
BDA
m
，
又
0,π
BDA
，
2π
3
BDA
.
题型八：求三角形中边长（周长）取值范围
1.在锐角三角形ABC 中，
1
a ，
2
b
，则边c 的取值范围是（
）
A．1
3
c
B．1
5
c
C．
3
5
c
D．
3
3
c
【答案】C
【解析】由题意
2
2
2
cos
0
2
a
b
c
C
ab
，即
2
2
2
5
a
b
c
，则
5
c
，
同理
2
2
2
2
2
2
a
c
b
b
c
a
，即
2
3
c
，则
3
c
，
又
1
3
b
a
c
b
a
，综上，
3
5
c
，故选：C
2.已知ABC
中，
1
a ，
2
b
，若ABC
为钝角三角形，则c 的取值范围是
．
【答案】(1, 3)
( 5,3)
【解析】在ABC
中，
1
a ，
2
b
，
则b
a
c
a
b
，即1
3
c
，
1
a ，
2
b
，a
b
，则角B 为钝角或角C 为钝角，
若角B 是钝角，则cos
0
B
，即
2
2
2
1
2
0
2 1
c
c
，故1
3
c
，
若角C 是钝角，则cos
0
C
，即
2
2
2
1
2
0
2 1 2
c
，解得
5
3
c
．
综上所述，c 的取值范围是(1, 3)
( 5,3)
．
3.设,
1,
2
l l
l
是钝角三角形的三边长，则l 的取值范围是（
）
A．0
1
l
B．1
3
l
C．3
4
l
D．4
6
l
【答案】B
【详解】由于,
1,
2
l l
l
是钝角三角形的三边长，
所以
0
l
，且
2
1
l
l
l
，所以
1
l .
设最长边
2
l
对的角为C ，
则
2
2
2
1
2
3
1
cos
0
2
1
2
1
l
l
l
l
l
C
l
l
l
l
，
解得1
3
l
.
故选：B
4.已知钝角ABC
的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
2
b
，
3
c
，则最大边a 的取值范围为（
）
A．(1,5)
B．
1, 5
C．
13,5 D．
1, 5
13,5
【答案】C
【详解】因ABC
是钝角三角形，
2
b
，
3
c
，且a 是最大边，则由余弦定理得：
2
2
2
cos
0
2
b
c
a
A
bc
，
于是得
2
2
2
2
2
2
3
13
a
b
c
，
0
a
，解得
13
a
，又有
5
a
b
c
，即13
5
a
，
所以最大边a 的取值范围是：
13,5 .
故选：C
5.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，满足
2
2
2
b
c
a
bc
，
3
a
，则b＋c 的取值范围
是（
）
A．
1, 3
B．( 3,2 3ùúû
C．
3,3 3
D．
3 3
( 3,
)
2
【答案】B
【详解】依题意得b
2＋c
2－bc＝3，即
2
2
3
3
3
3
2
b
c
b
c
bc
，
解得：
2
12
b
c
，
2 3
b
c
，当且仅当
3
b
c
时取等号，
又
3
b
c
a
，因此b＋c 的取值范围是( 3,2 3ùúû .
故选：B
6.已知△ABC 是钝角三角形，角A，B，C 的对边依次是a，b，c，且
3
a
，
4
b
，则边c 的取值范围
是
．
【答案】
1, 7
5,7
【详解】当角C 为最大角时，由题意，
2
2
2
cos
0
2
a
b
c
C
ab
，
即
2
2
2
9 16
25
c
a
b
，解得
5
c
，又三角形两边和大于第三边，故
3
4
7
c
，
故5
7
c
；
当角C 不是最大角时，则角B 为最大角，由题意，
2
2
2
cos
0
2
a
c
b
B
ac
，
即
2
2
2
16
9
7
c
b
a
，解得0
7
c
，又三角形两边差小于第三边，故
4
3
1
c
，
故1
7
c
；
所以边c 的取值范围是
1, 7
5,7
.
故答案为：
1, 7
5,7
7.在ABC
中，
5
AB
，D 在边AB 上，且2
3
,
2
BD
AD BC
CD
.
(1)若
2
CD
，求ABC
的周长;
(2)求ACD
周长的最大值.
【答案】(1)9
6
(2)2 5
2
【详解】（1）若
2
CD
，则
2
4
BC
CD
，
又
5
AB
，2
3
BD
AD
，
所以
3,
2
BD
AD
，
在
BCD
△
中，由余弦定理得
2
2
2
16
9
4
7
cos
2
2 4 3
8
BC
BD
CD
B
BC BD
，
在ABC
中，由余弦定理得
2
2
2
7
2
cos
25 16
2 5 4
6
8
AC
AB
BC
AB BC
B
，
故
6
AC
，
故ABC
的周长为5
4
6
9
6
；
（2）由（1）知，
3,
2
BD
AD
，
设CD
x
，则
2
BC
x
，
由三边关系可得
2
3
2
3
x
x
x
x
，解得1
3
x
，
在
BCD
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
4
9
3
cos
2
2 2
3
4
BC
BD
CD
x
x
x
B
BC BD
x
x
，
在ABC
中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
3
2
cos
25
4
2 5 2
4
x
AC
AB
BC
AB BC
B
x
x
x
2
2
2
25
4
5
15
10
x
x
x
故
2
10
AC
x
，
所以ACD
的周长为
2
10
2
x
x
，
令
2
10
2
f x
x
x
，1
3
x
，
则
2
2
2
2
10
1
2 10
10
x
x
x
f
x
x
x
，
当1
5
x
时，
2
10
0
x
x
，
( )
0
f
x
¢
>
，
f
x 单调递增，
当
5
3
x
时，
2
10
0
x
x
，
0
f
x
，
f
x 单调递减，
故
f
x 在
5
x
处取得极大值，也是最大值，
最大值为
5
5
5
2
2 5
2
f
.
8.在钝角ABC
中，角A B C
､､
所对的边分别为a b c
､､，若
1,
2
a
b
，则最大边c 的取值范围是（
）
A．
5,
B．
2, 5
C．
5,2 2
D．
5,3
【答案】D
【详解】因为ABC
是钝角三角形，
1,
2
a
b
，且c 是最大边，
由余弦定理可得
2
2
2
cos
0
2
a
b
c
C
ab
，于是可得
2
2
2
5
c
a
b
，且
0
c
，解得
>
5
c
，
又
3
c
a
b
，所以边c 的取值范围是
5,3 .
故选：D
9.已知锐角三角形边长分别为1，2，x，则x 的取值范围是（
）
A．
1,3
B．
1,5
C．
3, 5
D．不确定
【答案】C
【详解】由题意，设三角形为
,
1,
2
ABC b
c
，
由三角形的几何性质c
b
a
c
b
，
∴1
3
a
，
∵三角形是锐角三角形，a
b c
b
,
，
∴只需要
,
A C 为锐角，
∵
2
2
2
cos
0
2
b
c
a
A
bc
，即
2
5
0
a
，
2
2
2
cos
0
2
a
b
c
C
ab
，即
2
3
0
a
，
联立解得：
3
5
a
，
故选：C.
10.（多选）已知ABC
是钝角三角形，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
3
a
，
4
b
，则最大
的边c 的取值可能是（
）
A．4.5
B．5
C．6
D．6.5
【答案】CD
【详解】由题意可得
2
2
2
cos
0
2
a
b
c
C
ab
，所以
2
2
2
9 16
25
c
a
b
，
所以
5
c
，
因为在三角形中两边之和大于第三边，所以
3
4
7
c
，
所以5
7
c
，
所以选项AB 错误，CD 正确，
故选：CD
11.在①
4
a
，②D 是边BC 的中点且
2
AD
，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在ABC
中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且sin
sin
(
)sin
a
A
c
C
b
c
B
．
(1)求A；
(2)若__________，求b
c
的最大值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
π
3
A
(2)选①，b
c
的最大值是8；选②，b
c
的最大值是8 3
3
【详解】（1）因为sin
sin
(
)sin
a
A
c
C
b
c
B
，所以
2
2
2
a
c
b
bc
，
所以
2
2
2
b
c
a
bc
，则
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
．
因为0
π
A
，所以
π
3
A
．
（2）选①,由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
，即
2
2
2
a
b
c
bc
，
则
2
2
(
)
3
a
b
c
bc
．
因为
4
a
，所以
2
3
(
)
16
bc
b
c
．
因为
2
2
b
c
bc
，所以
2
2
3(
)
3
(
)
16
4
b
c
bc
b
c
，当且仅当b
c
时，等号成立，
则
2
(
)
16
4
b
c
，解得
8
b
c
，即b
c
的最大值是8．
选②,因为D 是边BC 的中点，所以2AD
AB
AC
，
所以
2
2
2
2
2
4
2
2
cos
AD
AB
AB AC
AC
c
bc
A
b
，
因为
2
AD
，且
π
3
A
，所以
2
2
2
(
)
16
b
c
bc
b
c
bc
，即
2
(
)
16
bc
b
c
．
因为
2
2
b
c
bc
，所以
2
2
(
)
(
)
16
4
b
c
bc
b
c
，当且仅当b
c
时，等号成立，
则
2
3(
)
16
4
b
c
，解得
8 3
3
b
c
，即b
c
的最大值是
8 3
3
．
模块三：综合巩固
1.在ABC
中，已知
3,
4,
13
a
b
c
，则角C 为（
）
A．90
B．60
C．45
D．30
【答案】B
【详解】由
3,
4,
13
a
b
c
及余弦定理的推论，得
2
2
2
2
2
2
3
4
13
1
cos
2
2 3 4
2
a
b
c
C
ab
，
因为0
180
C
，
所以
60
C
.
故选：B.
2.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
2
2
2
b
a
c
ac
，则角B （
）
A．π
6
B．π
3
C．3π
4
D．2π
3
【答案】B
【详解】依题意，
2
2
2
b
a
c
ac
，即
2
2
2
a
c
b
ac
，
所以
2
2
2
1
cos
0
2
2
a
c
b
B
ac
，所以B 为锐角，所以
π
3
B
.
故选：B
3.在ABC
中，
6
a
，
6 3
b
，
30
A
，则最长边c （
）
A．6
B．12
C．6或12
D．6 3
【答案】B
【详解】在ABC
中，
6
a
，
6 3
b
，
30
A
，
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
，
2
3
36
108
12 3
2
c
c
，
化简得
2
18
72
0
c
c
，解得
6
c
或
12
c
，
因为c 是最长的边，所以
12
c
，
故选：B
4.在ABC
中，已知
3
a
b
c
b
c
a
bc
，则角A 等于（
）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
【答案】C
【详解】因为
3
a
b
c
b
c
a
bc
，整理得
2
2
2
b
c
a
bc
，
由余弦定理可得
2
2
2
1
cos
2
2
2
b
c
a
bc
A
bc
bc
，
且0
180
A
，所以
60
A
.
故选：C.
5.密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000 份，每一份叫作1 密位的角．在角的密位制中，单
位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如1 周角等于6000 密
位，写成“60
00
”，578 密位写成“5
78
”．若在ABC
中，, ,
a b c 分别是角
, ,
A B C 所对的边，且有
2
2
2
a
c
b
ab
．则角C 用密位制表示正确的是（
）
A．2
50
B．5
00
C．10
00
D．20
00
【答案】C
【详解】因为
2
2
2
a
c
b
ab
，
所以
2
2
2
1
cos
2
2
2
a
b
c
ab
C
ab
ab
，
又
0, π
C
，所以
π
3
C
，
由题知，2π=6000 密位，所以π =1000
6
密位，
依题意，1000 密位表示为10
00
.
故选：C
6.已知ABC
的内角
,
,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，面积为S，且
2
2
2
4
a
S
c
b
，则角A 的值为（
）
A．π
4
B．π
3
C．2π
3
D．3π
4
【答案】A
【详解】因为
2
2
2
4
a
S
c
b
，所以
2
2
2
1
4
sin
2
a
bc
A
b
c
，
则
2
2
2
sin
cos
2
b
c
a
A
A
bc
，所以tan
1
A ，
又
0,π
A
，则
π
4
A
.
故选：A
7.在公元前500 年左右的毕达哥拉斯学派的数学家们坚信，“万物皆（整）数与（整）数之比”，但后来
的数学家发现了无理数，引发了数学史上的第一次数学危机.下图是公元前400 年古希腊数学家泰特拖斯
用来构造无理数
2 、
3 、5 ，……的图形，此图形中
BAD
的余弦值是（
）
A．4
3
6
B．4
3
6
C．2 3
6
6
D．2 3
6
6
【答案】D
【详解】在
BCD
△
中，
2
135
DCB
BD
2
1 1
2 1 1
2
2
2
，
在BAD
中，
3 1 2
2
2 3
6
cos
6
2 3
BAD
.
故选:D.
8.三角形ABC 中，
2
AB
，
3
AC
，
4
BC
，则AB
AC
（
）
A．10
B．2 2
C．
6
D．2
【答案】A
【详解】由余弦定理得
2
2
2
4
9 16
1
cos
2
2 2 3
4
AB
AC
BC
BAC
AB AC
，
2
2
2
1
2
4
2 2 3
9
10
4
AB
AC
AB
AB AC
AC
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
，
所以
10
AB
AC
uuur
uuur
.
故选：A.
9.《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久､源远流
长，音域宽广､音色柔美清澈，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，
在圆弧的两个端点A，B 处分别作切线相交于点C，测得切线
50cm,
50cm,
90cm
AC
BC
AB
，根据测量
数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（
）
A．0.62
B．0.56
C．-0.56
D．-0.62
【答案】A
【详解】如图，设弧AB 对应圆心是O，根据题意，OA
AC
，OB
BC
，
则
π
AOB
ACB
，
因为
50cm,
50cm,
90cm
AC
BC
AB
，
则在ABC
中，
2
2
2
2
2
2
50
50
90
cos
0.62
2
2 50 50
AC
BC
AB
ACB
AC BC
，
所以
cos
cos π
cos
0.62
AOB
ACB
ACB
.
故选：A.
10.我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条
伞骨所成的角
BAC
，且AB
AC
，从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞
圈D 已滑动到D¢ 的位置，且A 、B 、D¢ 三点共线，
40cm
AD
，B 为AD的中点，当伞从完全张开到完
全收拢，伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为24cm ，则当伞完全张开时，
BAC
的余弦值是（
）
A．
17
25
B．
4 21
25
C．
3
5
-
D．
8
25
【答案】A
【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，
40
24
16 cm
AD
，
因为B 为AD的中点，所以，
1
20 cm
2
AB
AC
AD
，
当伞完全收拢时，
40 cm
AB
BD
AD
，所以，
20 cm
BD
，
在
ABD
△
中，
2
2
2
400
256
400
2
cos
2
2 20 16
5
AB
AD
BD
BAD
AB AD
，
所以，
2
2
2
17
cos
cos 2
2cos
1
2
1
5
25
BAC
BAD
BAD
.
故选：A.
11.曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA 在水平位置OB 时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB
按顺时针方向旋转角时，P 和Q 之间的距离是x cm，若
3cm
OA
，
7cm
AP
，
5
x
，则点A 运动路径
AB
的长度是（
）
A．9 π
4
cm
B．2π cm
C．6cm
D．5cm
【答案】B
【详解】由图可知，在点A 与点B 重合时，
10
OQ
AP
OA
，
所以
5
OP
OQ
PQ
.
在
OAP
△
中，有
5
OP
，
7
AP
，
3
OA ，
根据余弦定理可得，
2
2
2
cos
2
OA
OP
AP
OA OP
2
2
2
3
5
7
1
2 3 5
2
，
0
π
，所以
2π
3
.
所以，
AB 的长度是
2π
3
2π
3
OA
.
故选：B.
12.(多选)已知ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
2
a
，
6
b
，
30
A
，则c （
）
A．
2
B．2 2
C．3
D．3 2
【答案】AB
【详解】
2
a
，
6
b
，
30
A
，由余弦定理，有
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
，
得
2
3
2
6
2 6
2
c
c
，即
2
3 2
4
0
c
c
，解得
2
c
或
2 2
c
.
故选：AB
13.在ABC
中，
π
6
ABC
，
2 3
BC
，
2
AC
，则AB 可能的取值有（
）
A．
3
B．2
C．3
D．4
【答案】BD
【详解】在ABC
中，
π
6
ABC
，
2 3
BC
，
2
AC
，
则由余弦定理得
2
2
2
2
cos
AC
AB
BC
AB BC
ABC
，
2
3
4
12
4 3
2
AB
AB
，整理得
2
6
8
0
AB
AB
，
解得
2
AB
或
4
AB
，
故选：BD
14.古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表（即不同圆
心角的弦长表），这张表本质上相当于正弦三角函数表．托勒密把圆的半径60 等分，用圆的半径长的1
60
作为单位来度量弦长．将圆心角所对的弦长记为crd．如图，在圆O中，60的圆心角所对的弦长恰好
等于圆O的半径，因此60的圆心角所对的弦长为60 个单位，即crd60
60
．若为圆心角，
1
cos
0
180
4
，则crd
【答案】30 6
【详解】设圆的半径为r ，
1
cos
4
时圆心角所对应的弦长为l ，
利用余弦定理可知
2
2
2
2
2
3
2
cos
2
l
r
r
r
r
，即可得
6
2
l
r
又60的圆心角所对的弦长恰好等于圆O的半径，60的圆心角所对的弦长为60 个单位，
即与半径等长的弦所对的圆弧长为60 个单位，
所以
6
60
30 6
2
l
.
故答案为：30 6
15.在ABC
中，角A，B ，C 所对的分别为a ，b ，c ．若角A 为锐角，
3
b
，
4
c
，则ABC
的周长可
能为
．（写出一个符合题意的答案即可）
【答案】9（答案不唯一，
8,12 内的任何一个值均可）
【详解】由余弦定理可得
2
2
2
cos
25
24cos
a
b
c
bc
A
A ，
因为角A 为锐角，则
cos
0,1
A
，可得
25
24cos
1,5
a
A
，
所以ABC
的周长
7
8,12
a
b
c
a
.
故答案为：9（答案不唯一，
8,12 内的任何一个值均可）.
16.在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
3
a
，且
1
cos
3
A
，
9
4
bc
，则b
c
的值
为
.
【答案】3
【详解】
2
2
2
2
2
2
cos
2
2
b
c
bc
a
b
c
a
A
bc
bc
，
即
2
9
2
3
1
4
9
3
2
4
b
c
，解得
3
b
c
.
故答案为：3
17.已知ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
2
2
4
cos
3
ab
C
a
c
.
(1)若
2π
3
A
，求C ；
(2)若
1
bc ，当B 最大时，求ABC
的周长.
【答案】(1)
π
6
C
(2) 2
3
【详解】（1）由
2
2
4
cos
3
ab
C
a
c
可得
2
2
2
2
2
2
3
a
b
c
a
c
，
故
2
2
2
2
a
b
c
，
又
2
2
2
2
2
2
2π
2
cos 3
a
b
c
bc
a
b
c
bc
，
2
b
bc
b
c
B
C
,
由于
2π
3
A
，所以
π
6
C
；
（2）
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2 3
3
2
2
2
cos
2
2
2
2
2
a
c
a
c
ac
a
c
a
c
b
B
ac
ac
ac
ac
，
当且仅当
3
a
c
时等号成立，
由于
0, π
B
，
π
0
6
B
，故B 最大为π
6 ，此时
3
a
c
，
1
b
c
，
故周长为2
3
.
18.在锐角ABC
中，角
,
,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
2
2
2
π
sin
sin
3
bc
C
c
b
a
B
．
(1)求A ；
(2)若
6
a
，求ABC
周长的最大值．
【答案】(1) π
3
(2)18
【详解】（1）解：由
2
2
2
1
3
sin
sin
cos
2
2
c
b
a
C
B
B
bc
，
所以
2
2
2
sin
sin
3 cos
2
c
b
a
A
B
B
B
bc
，
得
sin
cos
cos
sin
cos
sin
3 cos
A
B
A
B
A
B
B
，
得sin
cos
3cos
cos
A
B
A
B
，
因为ABC
为锐角三角形，所以B 为锐角，所以cos
0
B
，
所以sin
3cos
A
A
，即tan
3
A
，
又因为
π
(0,
)
2
A
，可得
π
3
A
．
（2）解：由余弦定理知
2
2
2
2
π
36
2
cos 3
b
c
bc
b
c
bc
，
所以
2
36
3
b
c
bc
，即
2
2
36
3
4
b
c
b
c
bc
，
所以
2
144
b
c
，解得
12
b
c
，当且仅当
6
b
c
时，等号成立，
所以
6 12
18
a
b
c
，即ABC
周长的最大值为18．
19. ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为
sin
, , ,
sin
sin
c
b
A
a b c a
b
C
B
．
(1)求C ；
(2)若
6
a
b
，求ABC
的周长最小值．
【答案】(1)
π
3
C
(2)9
【详解】（1）因为
sin
sin
sin
c
b
A
a
b
C
B ，由正弦定理可得
c
b
a
a
b
c
b ，
整理得
2
2
2
a
b
c
ab
，
由余弦定理知
2
2
2
1
cos
2
2
2
a
b
c
ab
C
ab
ab
，
且0
π
C
，所以
π
3
C
．
（2）由（1）可知：
2
2
2
a
b
c
ab
，整理得
2
2
3
36
3
c
a
b
ab
ab，
且
2
9
4
a
b
ab
，当且仅当
3
a
b
时，等号成立，
则
2
36
3
9
c
ab
，即
3
c
，可得
9
a
b
c
，
所以ABC
的周长最小值9.
20.已知ABC
的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
c c
a
b
a
b
a
.
(1)求角B ；
(2)若
2
CD
DA
，
6
BC
，
2 3
BD
，求AC 的长.
【答案】(1) 3
(2)3 3
【详解】（1）由(
)
(
)(
)
c c
a
b
a b
a
得
2
2
2
a
c
b
ac
，
由余弦定理
2
2
2
1
cos
2
2
2
a
c
b
ac
B
ac
ac
，又
(0, )
B
，
所以
3
B
；
（2）因为
2
CD
DA
，所以
1
1
2
1
3
3
3
3
BD
BA
AD
BA
AC
BA
BC
BA
BA
BC
，
设AB
x
，
则
2
2
2
2
2
1
4
1
4
3
3
9
9
9
BD
BA
BC
BA
BC
BA BC
，整理得
2
3
18
0
x
x
，解得
3
x
或
6
x （舍去），
所以
2
2
2
2
2
1
2
cos
3
6
2 3 6
27
2
AC
AB
BC
AB BC
B
，
则AC
3 3
.
21.在梯形ABCD中，
//
AB CD ，E 是AB 上一点，满足EB 2
2
AE
，F 是CD 上一动点，
6
CD
.
(1)如图1，若
3
AF
，
2
BF
，求EF 的长；
(2)如图2，
2
AD
，
3
BC ，且AD ，EF ，BC 三条直线交于同一点，求EF 的长.
【答案】(1)
4 3 .
3
EF
(2)
33 .
3
【详解】（1）在
ABF
△
中，因为
π
FEA
FEB
，
所以cos
cos
FEA
FEB
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
AE
EF
AF
BE
EF
BF
AE
EF
BE
EF
，
解得
4 3 .
3
EF
（2）如图，设AD 与BC 交于点G ，连接GE 并延长交CD 于点F ，
由于
//
AB CD ，知
GAB
△
相似于GDC
，且点F 满足
2
CF
DF
，
则在GDC
中，由余弦定理得
2
2
2
16
36
36
1
cos
2
2 4 6
3
GD
GC
CD
DGC
GD
GC
，
又
2
1
3
3
GF
GD
GC
，
故
2
2
2
2
2
1
1
1 4
4
1
33
|
|
(
)
(
)
(
)
4
4
4 9
9
9
9
EF
GF
GF
GD
GC GD
GC
，
所以
33
|
|
.
3
EF
