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一、选择题
1、设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝( )
(A){x|－1＜x＜3} (B){x|－1＜x＜1} (C){x|1＜x＜2} (D){x|2＜x＜3}
【答案】A
【考点定位】本题主要考查集合的概念，集合的表示方法和并集运算.
【名师点睛】集合的运算通常作为试卷的第一小题，是因为概念较为简单，学生容易上手，可以让考
生能够信心满满的尽快进入考试状态.另外，集合问题一般与函数、方程、不等式及其性质关联，也需要考
生熟悉相关知识点和方法.本题最后求两个集合的并集，相对来说比较容易，与此相关的交集、补集等知识
点也是常考点，应多加留意.属于简单题.
2、设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
【答案】B
【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.
【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结
合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个
非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，
即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.
3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年
级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
(A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数法
【答案】C
【考点定位】本题考查几种抽样方法的概念、适用范围的判断，考查应用数学方法解决实际问题的能
第1页 | 共18页力.
【名师点睛】样本抽样是现实生活中常见的事件，一般地，抽签法和随机数表法适用于样本总体较少
的抽样，系统抽样法适用于要将样本总体均衡地分为n个部分，从每一部分中按规则抽取一个个体；分层
抽样法则是当总体明显的分为几个层次时，在每一个层次中按照相同的比例抽取抽取样本.本题条件适合于
分层抽样的条件，故应选用分层抽样法.属于简单题.
4、设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log a＞log b＞0”的( )
2 2
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点定位】本题考查对数函数的概念和性质、充要条件等基本概念，考查学生综合运用数学知识和
方法解决问题的能力.
【名师点睛】判断条件的充要性，必须从“充分性”和“必要性”两个方向分别判断，同时注意涉及
的相关概念和方法.本题中涉及对数函数基本性质——单调性和函数值的符号，因此可以结合对数函数的图
象进行判断，从而得出结论.属于简单题.
5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
p p
(A)y＝sin(2x＋ ) (B)y＝cos(2x＋ )
2 2
(C)y＝sin2x＋cos2x (D)y＝sinx＋cosx
【答案】B
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【考点定位】本题考查三角函数的基本概念和性质，考查函数的周期性和奇偶性，考查简单的三角函
数恒等变形能力.
【名师点睛】讨论函数性质时，应该先注意定义域，在不改变定义域的前提下，将函数化简整理为标
准形式，然后结合图象进行判断.本题中，C、D两个选项需要先利用辅助角公式整理，再结合三角函数的周
期性和奇偶性(对称性)进行判断即可.属于中档题.
第2页 | 共18页6、执行如图所示的程序框图，输出S的值为( )
3 3
(A)－ (B)
2 2
1 1
(C)－ (D)
2 2
【答案】D
【考点定位】本题考查循环结构形式的程序框图，考查特殊角的三角函数值，考查基本运算能力.
【名师点睛】在算法的考点上，四川省以程序框图的考查为主，而考查程序框图，必定是以循环结构
形式出现，它可以包括程序框图的所有结构类型.本题只需对循环后的k值进行判定，最后输出相应的三角
函数值即可，属于简单题.
y2
7、过双曲线x2 - =1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝( )
3
4 3
(A) (B)2 3 (C)6 (D)4 3
3
【答案】D
第3页 | 共18页【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，
考查简单的运算能力.
【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，
考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB的端点坐
标，即可求得|AB|的值.属于中档题.
8、某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y =ekx+b(e=2.718...为自然对
数的底数，k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品
在33℃的保鲜时间是( )
(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时
【答案】C
【考点定位】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查整体思想，
考查学生应用函数思想解决实际问题的能力.
【名师点睛】指数函数是现实生活中最常容易遇到的一种函数模型，如人口增长率、银行储蓄等等，
与人们生活密切相关.本题已经建立好了函数模型，只需要考生将已知的两组数据代入，即可求出其中的待
定常数.但本题需要注意的是：并不需要得到k和b的准确值，而只需求出eb和e11k，然后整体代入后面的算
式，即可得到结论，否则将增加运算量.属于中档题.
ì2x+ y£10
ï
9、设实数x，y满足íx+2y£14，则xy的最大值为( )
ï
x+ y³6
î
第4页 | 共18页25 49
(A) (B) (C)12 (D)14
2 2
【答案】A
【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综
合运用知识解决问题的能力.
【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy最大值”中，xy已经不是“线性”
问题了，如果直接设xy＝k，，则转化为反比例函数y＝ 的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有
超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于
等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.
10、设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段
AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
(A)(1，3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)
【答案】D
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
第5页 | 共18页【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参
数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.
【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，
故将直线方程设为x＝ty＋m，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r的讨论中，要注意图形的对称
性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据
方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r取值范围即可.属于难题.
二、填空题
1
11、设i是虚数单位，则复数i- ＝_____________.
i
【答案】2i
【考点定位】本题考查复数的概念，复数代数形式的四则运算等基础知识.
【名师点睛】解决本题的关键取决于对复数运算的熟练程度，也就是 ＝－i的运算，容易误解为 ＝
i，从而导致答案错误.一般地，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，而 ＝i－1＝－i.属于容易题
12、lg0.01＋log 16＝_____________.
2
第6页 | 共18页【答案】2
【考点定位】本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力.
【名师点睛】对数的运算通常与指数运算相对应，即“若ab＝N，则logN＝b”，因此，要求logN的
a a
值，只需看a的多少次方等于N即可，由此可得结论.当然本题中还要注意的是：两个对数的底数是不相同
的，对数符号的写法也有差异，要细心观察，避免过失性失误.属于简单题.
13、已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.
【答案】－1
【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能
力.
【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin2α＋cos2α＝1，解出
sinα与cosα的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，
先求出tanα的值，对所求式除以sin2α＋cos2α(＝1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，
转化为tanα的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题.
14、在三棱住ABC－A B C 中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角
1 1 1
边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B C 的中点，则三棱锥P－A MN的体积是
1 1 1
______.
1
【答案】
24
第7页 | 共18页【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等
基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力.
【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置，结合条
件，三棱锥P－AMN的体积可以直接计算，但转换为三棱锥P－AMN的体积，使得计算更为简便，基本上可
1
以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.
f(x )- f(x )
15、已知函数 f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中 a∈R).对于不相等的实数 x ，x ，设 m＝ 1 2 ，n＝
1 2
x -x
1 2
g(x )-g(x )
1 2 ，现有如下命题：
x -x
1 2
①对于任意不相等的实数x ，x ，都有m＞0；
1 2
②对于任意的a及任意不相等的实数x ，x ，都有n＞0；
1 2
③对于任意的a，存在不相等的实数x ，x ，使得m＝n；
1 2
④对于任意的a，存在不相等的实数x ，x ，使得m＝－n.
1 2
其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).
【答案】①④
第8页 | 共18页【考点定位】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的
思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.
【名师点睛】本题首先要正确认识m，n的几何意义，它们分别是两个函数图象的某条弦的斜率，因此，
借助导数研究两个函数的切线变化规律是本题的常规方法，解析中要注意“任意不相等的实数x，x”与切
1 2
线斜率的关系与差别，以及“都有”与“存在”的区别，避免过失性失误.属于较难题.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．(本小题满分12分)
设数列{a }(n＝1，2，3…)的前n项和S 满足S ＝2a －a ，且a ，a ＋1，a 成等差数列.
n n n n 3 1 2 3
(Ⅰ)求数列的通项公式；
1
(Ⅱ)设数列{ }的前n项和为T ，求T .
n n
a
n
第9页 | 共18页【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和等基础知识，考查
运算求解能力.
【名师点睛】数列问题放在解答题第一题，通常就考查基本概念和基本运算，对于已知条件是S与a
n n
关系式的问题，基本处理方法是“变更序号作差”，这种方法中一定要注意首项a是否满足一般规律(代入
1
检验即可，或者根据变换过程中n的范围和递推关系中的表达式判断).数列求和时，一定要注意首项、公比
和项数都不能出错.同时注意，对于较为简单的试题，解析步骤一定要详细具体，不可随意跳步.属于简单题.
17、(本小题满分12分)
一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客P ，P ，P ，P ，P 的座位号分别为1，2，
1 2 3 4 5
3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客P 因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客
1
按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个
座位的剩余空位中选择座位.
(Ⅰ)若乘客P 坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填
1
入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)
乘客 P P P P P
1 2 3 4 5
3 2 1 4 5
[来源:学&科&网] [来源:Z_xx_k.Com]
座位号 3 2 4 5 1
第10页 | 共18页(Ⅱ)若乘客P 坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P 坐到5号座位的概率.
1 1
第11页 | 共18页【考点定位】本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析
和解决问题的能力，考查推理论证能力、应用意识.
【名师点睛】概率统计问题，文科的考查重点是随机事件、古典概型以及列举法求概率，本题需要考
生根据条件细致填写座位表，通常采取按照某种顺序，如本题中已经设定的P，P，P，P，P的座位号顺
1 2 3 4 5
序填写，只要能正确填写好表格，相应概率随之得到.属于简单题.
18、(本小题满分12分)
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
(Ⅰ)请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)
(Ⅱ)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.
(Ⅲ)证明：直线DF^平面BEG
第12页 | 共18页【解析】(Ⅰ)点F，G，H的位置如图所示
第13页 | 共18页【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，
考查空间想象能力、推理论证能力.
【名师点睛】本题引入了几何体表面的折展问题，对空间想象能力要求较高.立体几何的证明一定要详
细写出所有步骤，列举(推证)出所有必备的条件，如在(Ⅱ)中证明两个平面平行时，除了找到两组平行线外，
一定不能忘掉“相交”这个条件；同样，(Ⅲ)中证明线面垂直，也不能忘掉“EG∩BG＝G”这个条件.属于中
档题.
19、(本小题满分12分)
已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关于方程x2＋ 3px－p＋1＝0(p∈R)两个实根.
(Ⅰ)求C的大小
(Ⅱ)若AB＝1，AC＝ 6 ，求p的值
第14页 | 共18页【考点定位】本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理、一元二次方程根与系数关系等基础知识，
考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.
【名师点睛】本题利用一元二次方程的韦达定理，给出三角形两个内角正切值的关系式，求解过程中
要注意对判别式的判定，表面上看，判别式对结论没有什么影响，但这对考查学生思维习惯及其严谨性是
很有必要的.第(Ⅰ)问得到C＝60°后，第(Ⅱ)问中要注意舍去B＝135°，否则造成失误.属于中档题.
20、(本小题满分13分)
x2 y2 2 uuur uuur
如图，椭圆E： + =1(a>b>0)的离心率是 ，点P(0，1)在短轴CD上，且PC×PD＝－1
a2 b2 2
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
uuur uuur uuur uuur
(Ⅱ)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ，使得OA×OB+lPA×PB为
定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
第15页 | 共18页【考点定位】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算
求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.
第16页 | 共18页【名师点睛】本题属于解析几何的基本题型，第(Ⅰ)问根据“离心率是 ，且 ＝－1”建立方程
组可以求出椭圆方程；第(Ⅱ)问设出直线方程后，代入椭圆方程，利用目标方程法，结合韦达定理，得到两
交点横坐标的和与积，再代入 中化简整理.要得到定值，只需判断有无合适的λ，使得
结论与k无关即可，对考生代数式恒等变形能力要求较高.属于较难题.
21、(本小题满分14分)
已知函数f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.
(Ⅰ)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；
(Ⅱ)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.
第17页 | 共18页【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论
证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.
【名师点睛】本题第(Ⅰ)问隐藏二阶导数知识点，由于连续两次求导后，参数a消失，故函数的单调
性是确定的，讨论也相对简单.第(Ⅱ)问需要证明的是：对于某个a∈(0，1)，f(x)的最小值恰好是0，而且
在(1，＋∞)上只有一个最小值.因此，本题仍然要先讨论f(x)的单调性，进一步说明对于找到的a，f(x)在
(1，＋∞)上有且只有一个等于0的点，也就是在(1，＋∞)上有且只有一个最小值点.属于难题.
第18页 | 共18页
