2015年高考数学试卷（理）（上海）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2015·高考数学真题

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理科） 一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 1、设全集U=R．若集合A=1,2,3,4，B=  x 2£ x£3  ，则A ð B= I U ． 【答案】1,4 【解析】因为C B={x|x>3或x<2}，所以A C B={4,1} U I U 【考点定位】集合运算 2、若复数z满足3z+z =1+i，其中i为虚数单位，则z = ． 1 1 【答案】 + i 4 2 1 1 【解析】设z=a+bi(a,bÎR)，则3(a+bi)+a-bi=1+iÞ4a=1且2b=1Þz= + i 4 2 【考点定位】复数相等，共轭复数 æ2 3 c ö ìx=3 3、若线性方程组的增广矩阵为ç 1 ÷、解为í ，则c -c = ． è 0 1 c ø îy =5 1 2 2 【答案】16 【解析】由题意得：c =2x+3y=2´3+3´5=21,c =0×x+ y=5,c -c =21-5=16. 1 2 1 2 【考点定位】线性方程组的增广矩阵 4、若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16 3，则a= ． 【答案】4 3 【解析】a× a2 =16 3Þa3 =64Þa=4 4 【考点定位】正三棱柱的体积 5、抛物线y2 =2px（ p>0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则 p= ． 【答案】2 第1页 | 共13页【考点定位】抛物线定义 6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2p，则其母线与轴的夹角的大小为 ． p 【答案】 3 1 p 【解析】由题意得：prl:( h×2r)=2pÞl =2hÞ母线与轴的夹角为 2 3 【考点定位】圆锥轴截面 7、方程log  9x-1-5  =log  3x-1-2  +2的解为 ． 2 2 【答案】2 [ 【考点定位】解指对数不等式 8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有， 则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】120 【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：C5 -C5 =126-6=120. 9 6 【考点定位】排列组合 9、已知点R和Q的横坐标相同，R的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，R和Q的轨迹分别为 双曲线C 和C ．若C 的渐近线方程为y =± 3x，则C 的渐近线方程为 ． 1 2 1 2 3 【答案】y =± x 2 【考点定位】双曲线渐近线 x 10、设 f -1x为 f x=2x-2 + ，xÎ0,2的反函数，则y = f x+ f -1x的最大值 2 为 ． 第2页 | 共13页【答案】4 x 1 【解析】由题意得： f(x)=2x-2 + 在[0,2]上单调递增，值域为[ ,2]，所以 f -1x 在 2 4 1 1 [ ,2]上单调递增，因此y = f x+ f -1x 在[ ,2]上单调递增，其最大值为 4 4 f(2)+ f -1(2)=2+2=4. 【考点定位】反函数性质 10 æ 1 ö 11、在ç 1+x+ ÷ 的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）． è x2015 ø 【答案】45 【考点定位】二项展开式 12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随 机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两 张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量x 1 和x分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Ex-Ex = （元）． 2 1 2 【答案】0.2 第3页 | 共13页13、已知函数 f x=sinx．若存在x ，x ，×××，x 满足0£ x < x <×××< x £6p， 1 2 m 1 2 m 且 f x - f x  + f x - f x  +×××+ f x - f x  =12（m³2，mÎN*），则 1 2 2 3 n-1 n m的最小值 为 ． 【答案】8 【考点定位】三角函数性质 1 14、在锐角三角形ABC中，tanA= ，D为边BC上的点，DABD与DACD的面积 2 uuur uuur 分别为2和4．过D作DE^AB于E，DF^AC于 F，则DE×DF= ． 16 【答案】- 15 第4页 | 共13页【考点定位】向量数量积，解三角形 二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 15、设z ，z ÎC，则“z 、z 中至少有一个数是虚数”是“z -z 是虚数”的（ ） 1 2 1 2 1 2 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【考点定位】复数概念，充要关系 [ ]   p 16、已知点A的坐标为 4 3,1 ，将OA绕坐标原点O逆时针旋转 至OB，则点B的 3 纵坐标为（ ） 3 3 5 3 11 A． B． C． 2 2 2 13 D． 2 【答案】D uuur uuur p p 1 3 3 3 13 【解析】OB=OA×(cos +isin )=(4 3+i)×( + i)= + i，即点B的纵坐标为 3 3 2 2 2 2 13 2 【考点定位】复数几何意义 17、记方程①：x2 +a x+1=0，方程②：x2 +a x+2=0，方程③：x2 +a x+4=0 1 2 3 ，其中a ，a ，a 是正实数．当a ，a ，a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程 1 2 3 1 2 3 第5页 | 共13页③无实根的是（ ） A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根 【答案】B a4 82 【解析】当方程①有实根，且②无实根时，a2 ³4,a2 <8，从而a2 = 2 < =16,即方程 1 2 3 a2 4 1 ③：x2 +a x+4=0无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实 3 根 【考点定位】不等式性质 n 18、设R x ,y 是直线2x- y = （nÎN*）与圆x2 + y2 =2在第一象限的交点， n n n n+1 y -1 则极限lim n =（ ） n®¥ x -1 n 1 A．-1 B．- C．1 2 D．2 【答案】A 【考点定位】极限 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19、（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A BC D 中，AA =1，AB=AD=2 1 1 1 1 1 ，E、F分别是AB、BC的中点．证明A 、C 、F、E四点共面，并求直线CD 与平 1 1 1 面A C FE所成的角的大小. 1 1 第6页 | 共13页15 【答案】arcsin 15 【考点定位】空间向量求线面角 20、（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分 如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米.现甲、 乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为 f t（单位： 千米）.甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时.乙 到达B地后原地等待.设t =t 时乙到达C地. 1 第7页 | 共13页（1）求t 与 f t 的值； 1 1 （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当t £t £1时，求 f t的表达式，并判 1 断 f t在t ,1 上得最大值是否超过3？说明理由. 1 [来 ì 3 7 25t2 -42t+18, £t £  3 3  8 8 【答案】（1）t = ， f t = 41（2） f(t)=í 不超过 1 8 1 8 7  5-5t, a （nÎN*），求证：数列b 的第n 项是最 n 0 n n n 0 0 大项； （3）设a =l<0，b =ln（nÎN*），求l的取值范围，使得a 有最大值M与最 1 n n M 小值m，且 Î-2,2. m æ 1 ö 【答案】（1）a =6n-5（2）详见解析（3）ç - ,0 ÷ n è 2 ø [来 当n=1时，a =l，符合上式. 1 所以a =2ln -l. n 2n 2n-1 因为l>0，所以a =2l -l>-l，a =2l -l<-l. 2n 2n-1 ①当l<-1时，由指数函数的单调性知，a 不存在最大、最小值； n 第10页 | 共13页3 ②当l=-1时，a 的最大值为3，最小值为-1，而 Ï-2,2； n -1 ③当-1