2015年高考数学试卷（理）（陕西）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·Word版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2015·高考数学真题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.） 1.设集合 ， ，则 （ ） M {x|x2  x} N {x|lgx0} M N  A． B． C． D． [0,1] (0,1] [0,1) (,1] 【答案】A 【考点定位】1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算． 【名师点晴】本题主要考查的是一元二次方程、对数不等式和集合的并集运算，属于容易题．解题时要 看清楚是求“ ”还是求“ ”和要注意对数的真数大于 ，否则很容易出现错误． 2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为 （ ） [来源:Z.xx.k.Com] A．167 B．137 C．123 D．93 【答案】B 【考点定位】扇形图． 【名师点晴】本题主要考查的是扇形图，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“女教师”，否则很 容易出现错误．扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分 数．通过扇形图可以很清晰地表示各部分数量同总数之间的关系．  3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y 3sin( x)k ，据此函数可知， 6 这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 第1页 | 共24页【答案】C 【考点定位】三角函数的图象与性质． 【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最 大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中 可知 时， 取得最小值，进而求出 的值，当 时， 取得最大值． 4.二项式 (x1)n(nN ) 的展开式中 x2 的系数为15，则 n （ ）  A．4 B．5 C．6 D． 7 【答案】C 【考点定位】二项式定理． 【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“ ”，否 则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式 的展开式的通项是 ． 5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A．3 B．4 C．24 D． 第2页 | 共24页34 【答案】D 【考点定位】1、三视图；2、空间几何体的表面积． 【名师点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的表面积，属于容易题．解题时要看清楚是求表面 积还是求体积，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个 面的面积即可． 6.“sincos”是“cos20”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【考点定位】1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件． 【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要 注意 时， 是 的充分条件， 是 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断 即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．  7.对任意向量 ，下列关系式中不恒成立的是（ ） a,b   A． B． |ab||a||b| |ab|||a||b||   C． (ab)2 |ab|2 D． (ab)(ab)a 2 b 2 【答案】B 第3页 | 共24页【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积． 【名师点晴】本题主要考查的是向量的模和向量的数量积，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼 “不”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是向量的模和向量的数量积，即 ， ． 8.根据右边的图，当输入x为2006时，输出的y （ ） [来源:Z§xx§k.Com] A．28 B．10 C．4 D．2 [来源:学+科+网Z+X+X+K] 【答案】B 【考点定位】程序框图． 【名师点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“ ”，否则很 容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直 到达到输出条件即可． ab 1 9.设 f(x)lnx,0ab，若 p  f( ab)，q f( )，r  (f(a) f(b))，则下列关系式中正 2 2 确的是（ ） A．qr  p B．qr  p C． p r q D． p r q 【答案】C 第4页 | 共24页【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性． 【名师点晴】本题主要考查的是基本不等式和基本初等函数的单调性，属于容易题．解题时一定要注意 检验在使用基本不等式求最值中是否能够取得等号，否则很容易出现错误．本题先判断 和 的 大小关系，再利用基本初等函数的单调性即可比较大小． 10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用 限 额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润 为（ ） A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 甲 乙 原料限额 （吨） 3 2 12 （吨） 1 2 8 【答案】D 第5页 | 共24页【考点定位】线性规划． 【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等 式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解 题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域 时要通过特殊点验证，防止出现错误． 11.设复数 ，若 ，则 的概率为（ ） z (x1) yi (x,yR) |z|1 y x [来源:学#科#网] 3 1 1 1 1 1 1 1 A．  B．  C．  D．  4 2 4 2 2  2  【答案】B 【解析】 z (x1) yi|z| (x1)2  y2 1(x1)2  y2 1 第6页 | 共24页【考点定位】1、复数的模；2、几何概型． 【名师点晴】本题主要考查的是复数的模和几何概型，属于中档题．解几何概型的试题，一般先求出实 验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件 构成的区域长度（面积或体积），最后代 入几何概型的概率公式即可．解本题需要掌握的知识点是复数的模和几何概型的概率公式，即若 （ 、 ），则 ，几何概型的概率公式 ． 12.对二次函数 （ 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个 f(x)ax2 bxc a 结 论是错误的，则错误的结论是（ ） [来源:学#科#网] A． 是 的零点 B．1是 的极值点 1 f(x) f(x) C．3是 的极值 D. 点 在曲线 上 f(x) (2,8) y  f(x) 【答案】A 【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值． 【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题．解题时一定要抓住 第7页 | 共24页重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心， 除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【考点定位】等差中项． 【名师点晴】本题主要考查的是等差中项，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“中位数”和“等 差数列”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等差中项的概念，即若 ， ， 成等差 数列，则 称为 与 的等差中项，即 ． 14.若抛物线 的准线经过双曲线 的一个焦点，则 ． y2 2px(p 0) x2  y2 1 p 【答案】 2 2 【考点定位】1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质． 【名师点晴】本题主要考查的是抛物线的简单几何性质和双曲线的简单几何性质，属于容易题．解题时 要注意抛物线和双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是抛物线 的准线方程和双曲线的焦点坐标，即抛物线 （ ）的准线方程是 ，双曲线 （ ， ）的左焦点 ，右焦点 ，其中 ． 1 15.设曲线y ex在点（0,1）处的切线与曲线y  (x0)上点处的切线垂直，则的坐标为 ． x 【答案】1,1 第8页 | 共24页【考点定位】1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系． 【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和两条直线的位置关系，属于容易题．解题时一定要注 意考虑直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作 用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率． 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物 线型（图中虚线表 示），则 原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ． 【答案】1.2 第9页 | 共24页【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义． 【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要 抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意 义，即由直线xa，xb，y 0和曲线y  f x所围成的曲边梯形的面积是 b f xdx． a 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）    17．（本小题满分12分） C 的内角  ，  ， C 所对的边分别为a， b ，c．向量m a, 3b 与 n  cos,sin平行． （I）求； （II）若 ， 求 的面积． a  7 b2 C 【答案】（I）；（II）3 3 ． 3 2 第10页 | 共24页考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式. 【名师点晴】本题主要考查的是平行向量的坐标运算、正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，属于 中档题．解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起 来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是 “变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．  18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD中，D//C，D ，C1， 2 ， 是 的中点， 是 与 的交点．将 沿 折起到 的位置，如图 ． D2  D  C      2 1 第11页 | 共24页（I）证明： 平面 ； CD  C 1 （II）若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．   CD  C  CD 1 1 1 【答案】（I）证明见解析；（II） 6 ． 3 第12页 | 共24页考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用. 【名师点晴】本题主要考查的是线面垂直、二面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用， 属于中档题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直 的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、 正方形的对角线． 第13页 | 共24页19．（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对 其 容量为100的样本进行统计，结果如下： （分钟） 25 30 35 40 频数（次） 20 30 40 10 （I）求的分布列与数学期望； （II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授 从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 【答案】（I）分布列见解析，32；（II）0.91． 第14页 | 共24页考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率. 【名师点晴】本题主要考查的是离散型随机变量的分布列与数学期望和独立事件的概率，属于中档题． 解题时一定要抓住重要字眼“不超过”，否则很容易出现错误．解离散型随机变量的分布列的试题时一 定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误． 20．（本小题满分 12分）已知椭圆 x2 y2 （ ）的半焦距为 ，原点 到经过两点 :  1 ab0 c  a2 b2 c,0， 1 0,b 的直线的距离为 c． 2 （I）求椭圆的离心率； 5 （II）如图，是圆:x22 y12  的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的 2 方程． 【答案】（I） 3 ；（II） x2 y2 ．  1 2 12 3 第15页 | 共24页第16页 | 共24页考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程； 6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置. 【名师点晴】本题主要考查的是直线方程、点到直线的距离公式、椭圆的简单几何性质、椭圆的方程、 圆的方程、直线与圆的位置关系和直线与圆锥曲线的位置，属于难题．解题时一定要注意考虑直线的斜 率是否存在，否则很容易失分．解本题需要掌握的知识点是截距式方程，点到直线的距离公式和椭圆的 离心率，即截距式方程 x y （在 轴上的截距 ，在 轴上的截距 ），点 到直线  1 x a y b  x ,y  a b 0 0 0 x y C x2 y2 c l:xyC 0的距离d  0 0 ，椭圆  1 （ ab0 ）的离心率 e ． 22 a2 b2 a 21．（本小题满分12分）设 f x是等比数列 1 ， x ， x2 ，  ， xn 的各项和，其中 x0 ， n ， n 第17页 | 共24页n2． （I）证明：函数 F x f x2 在  1 ,1   内有且仅有一个零点（记为 x ），且 x  1  1 xn1 ； n n 2  n n 2 2 n （II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 g x ，比较 n f x n 与 g x的大小，并加以证明． n 【答案】（I）证明见解析；（II）当 时， ，当 时， ，证明见解 x=1 f (x)=g (x) x1 f (x)