2015年高考数学试卷（理）（重庆）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2015·高考数学真题

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
[来源:学科网]
1．已知集合A= 1,2,3 ,B= 2,3，则 （ ）
A、A=B B、AÇB=Æ C、AØB D、BØA
【答案】D
【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.
2．在等差数列a 中，若a =4，a =2，则a = （ ）
n 2 4 6
A、-1 B、0 C、1 D、6
【答案】B
【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.
3．重庆市2013年各月的平均气温（oC）数据的茎叶图如下：
08 9
12 5 8
20 0 3 3 8
31 2
则这组数据的中位数是 （ ）
A、19 B、20 C、21.5 D、23
【答案】B.
第1页 | 共19页【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.
4．“x>1”是“log (x+2)<0”的 （ ）
1
2
A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】B
【考点定位】充分必要条件.
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
1 2
A、 +p B、 +p
3 3
1 2
C、 +2p D、 +2p
3 3
【答案】A
【考点定位】组合体的体积.
【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些
第2页 | 共19页基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间
想象能力和运算求解能力.
2 2
6．若非零向量a，b满足|a|= |b|，且（a-b）^（3a+2b），则a与b的夹角为 （ ）
3
p p 3p
A、 B、 C、 D、p
4 2 4
【答案】A
【考点定位】向量的夹角.
7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K的值为8，则判断框图可填入的条件是 （ ）
3 5 11 15
A、s£ B、s£ C、s£ D、s£
4 6 12 24
【答案】C
第3页 | 共19页1 1 1 11
【解析】由程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S = + + = （此时k =6）还必须计算
2 4 6 12
11
一次，因此可填s£ ，选C.
12
【考点定位】程序框图.
8．已知直线l：x+ay-1=0（aÎR）是圆C：x2 + y2 -4x-2y+1=0的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的
一条切线，切点为B，则|AB|= （ ）
A、2 B、4 2 C、6 D、2 10
【答案】C
[来源:Zxxk.Com]
【考点定位】直线与圆的位置关系.
3p
cos(a- )
p 10
9．若tana=2tan ，则 = （ ）
5 p
sin(a- )
5
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】C
【解析】
第4页 | 共19页【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.
x2 y2
10．设双曲线 - =1（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分
a2 b2
别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+ a2 +b2 ，则该双曲线的渐近线斜率的取值
范围是 （ ）
A、(-1,0) (0,1) B、(-¥,-1) (1,+¥)
U U
C、(- 2,0) (0, 2) D、(-¥,- 2) ( 2,+¥)
U U
【答案】A
【考点定位】双曲线的性质.
第5页 | 共19页二、填空题：本大题共 6小题，考生作答 5小题，每小题 5分，共 25分.把答案填写在答题卡
相应位置上.
11．设复数a+bi（a，bÎR）的模为 3，则（a+bi）（a-bi）=________.
【答案】3
【考点定位】复数的运算.
5
æ 1 ö
12．
ç
x3+
÷
的展开式中x8的系数是________(用数字作答).
è 2 x ø
5
【答案】
2
【考点定位】二项式定理
13．在 ABC中，B=120o，AB= 2 ，A的角平分线AD= 3,则AC=_______.
V
【答案】 6
第6页 | 共19页【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）
考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.
14．如图，圆O 的弦AB，CD 相交于点E，过点A作圆O的切线与 DC的延长线交于点 P，若PA=6，
AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.
【答案】2
【考点定位】相交弦定理，切割线定理.
ìx=-1+t
15．已知直线l的参数方程为í （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，
î y =1+t
3p 5p
曲线C的极坐标方程为r2cos2q=4(r>0, <q< )，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_______.
4 4
【答案】(2,p)
第7页 | 共19页【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.
16．若函数 f(x)= x+1+2 x-a 的最小值为5，则实数a=_______.
【答案】a=4或a=-6
【考点定位】绝对值的性质，分段函数.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分）
端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，
这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望
1 3
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，期望为 ．
4 5
【解析】
[来源:学科网ZXXK]
第8页 | 共19页C3 7 C1C2 7 C2C1 1
P(X=0)= 8 = , P(X=1)= 2 8 = , P(X=2)= 2 8 = ,
C3 15 C3 15 C3 15 [来源:Z.xx.k.Com]
10 10 10
综上知，X的分布列为
X 0 1 2
7 7 1
P
15 15 15
7 7 1 3
故E(X)=0´ +1´ +2´ = ．
15 15 15 5
【考点定位】古典概型，随机变量的颁布列与数学期望．考查学生的数据处理能力与运算求解能力．
18．（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）
æp ö
已知函数 f x=sin ç -x ÷ sinx- 3cos2 x
è 2 ø
（1）求 f x的最小正周期和最大值；
第9页 | 共19页ép 2pù
（2）讨论 f x在 , 上的单调性.
ê ú
ë6 3 û
2- 3 p 5p 5p 2p
【答案】（1）最小正周期为p，最大值为 ；（2） f(x)在[ , ]上单调递增； f(x)在[ , ]
2 6 12 12 3
上单调递减.
【解析】
调区间．
[来源:学*科*网]
【考点定位】三角函数的恒等变换，周期，最值，单调性，考查运算求解能力．
第10页 | 共19页方法进行研究．
19．（本小题满分13分，（1）小问4要，（2）小问9分）
p
如题（19）图，三棱锥P-ABC 中，PC ^平面ABC,PC =3,ÐACB= .D,E 分别为线段AB,BC
2
上的点，且CD= DE = 2,CE =2EB=2.
（1）证明：DE ^平面PCD
（2）求二面角A-PD-C的余弦值。
3
【答案】（1）证明见解析；（2） .
6
【解析】
试题解析：(1)证明：由PC^平面ABC，DEÌ平面ＡＢＣ，故PC^DE
由CE＝２，CD=DE＝ ２得DＣＤＥ为等腰直角三角形，故CD^DE
由PC
I
CD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE^平面PCD
第11页 | 共19页uuuruuur uuur
以Ｃ为坐标原点，分别以CA，CB ,CP的方程为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ
3
(0,0,0,)，Ｐ(0,0,3)，Ａ( ,0,0),
2
uuur
Ｅ(0,2,0)，Ｄ(1,1,0)，ED=(1,-1,0),
uuur uuur １
DP=(-1,-1,3)DA=( ,-1,0)
２
r
设平面PAD的法向量n＝（x ,y ,z )，
１ 1 1 1
r uuur r uuur
由n ×DP=0，n ×DA=0，
１ １
ì-x - y -3z =0
ï 1 1 1 ur
得í 1 故可取n =(2,1,1).
x - y =0 1
ï
î 2 1 1
第12页 | 共19页【考点定位】考查线面垂直，二面角．考查空间想象能力和推理能力．
20．（本小题满分12分，（1）小问7分，（2）小问5分）
3x2 +ax
设函数 f x= aÎR
ex
（1）若 f x在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y = f x在点  1, f 1 处的切线方
程；
（2）若 f x在3,+¥上为减函数，求a的取值范围。
9
【答案】（1）a=0，切线方程为3x- ey =0；（2）[- ,+¥).
2
【解析】
第13页 | 共19页6x+aex -  3x2 +ax  ex -3x2 +6-ax+a
试题解析：(1)对 f(x)求导得 f¢(x)= =
 ex2 ex
因为 f(x)在x=0处取得极值，所以 f¢(0)=0，即a=0.
3x2 -3x2 +6x 3 3
当a=0时， f(x)= , f¢(x)= ,故 f(1)= , f¢(1)= ,从而 f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程
ex ex e e
3 3
为y- = (x-1),化简得3x- ey =0
e e
-3x2 +6-ax+a
(2)由(1)得， f¢(x)= ,
ex
令g(x)=-3x2 +(6- a)x+a
【考点定位】复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题
的能力．
问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数
第14页 | 共19页性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函
数的性质．
21．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）
x2 y2
如题（21）图，椭圆 + =1a >b>0的左、右焦点分别为F,F ,过F 的直线交椭圆于P,Q
a2 b2 1 2 2
两点，且PQ^ PF
1
（1）若 PF =2+ 2, PF =2- 2 ，求椭圆的标准方程
1 2
（2）若 PF = PQ ,求椭圆的离心率e.
1
x2
【答案】（1） +y2=1；（2） 6- 3
4
【解析】
设椭圆的半焦距为c，由已知PF ^PF ，因此
1 2
第15页 | 共19页( )2 ( )2
2c=|FF |= |PF |2 +|PF |2 = 2+ 2 + 2- 2 =2 3，即c= 3.
1 2 1 2
从而b= a2 - c2 =1
x2
故所求椭圆的标准方程为 +y2=1.
4
(2)解法一：如图(21)图，设点P(x ,y )在椭圆上，且PF ^PF ，则
0 0 1 2
x 2 y 2
0 + 0 =1,x 2 +y 2 =c2
a2 b2 0 0
由 椭 圆 的 定 义 ， |PF |+|PF |=2a,|QF |+|QF |=2a, 从 而 由 |PF |=|PQ|=|PF |+|QF |， 有
1 2 1 2 1 2 2
|QF |=4a- 2|PF |
1 1
( )
又由PF ^PF ，|PF |=|PQ|知|QF |= 2|PF |，因此 2+ 2 |PF |=4a
1 2 1 1 1 1
( )( )
于是 2+ 2 a+ a2 - 2b2 =4a.
1é æ 4 ö 2ù
解得e= ê1+ ç -1 ÷ ú = 6- 3.
2 êë è2+ 2 ø úû
c |PF |2 +|PF |2
e= = 1 2 = (2- 2)2 +( 2-1)2 = 9- 6 2 = 6- 3
a 2a
第16页 | 共19页【考点定位】考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力．
22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）
在数列a 中，a =3,a a +la +ma 2 =0nÎN 
n 1 n+1 n n+1 n +
（1）若l=0,m=-2,求数列a 的通项公式；
n
1 1 1
（2）若l= k ÎN ,k ³2,m=-1,证明：2+ <a <2+
k 0 + 0 3k +1 k 0 +1 2k +1
0 0 0
【答案】（1）a =3×2n-1；（2）证明见解析.
n
【解析】
1 1
a 2 - +
a 2 n k 2 k 2 1 1 1
a = n = 0 0 =a - + × ，于是有a =a +(a - a )+ + ( a - a )
n+1 1 1 n k k k a +1 k 0 +1 1 2 1 L k 0 +1 k 0
a + a + 0 0 0 n
n k n k
0 0
1 1 æ 1 1 1 ö 1 æ 1 1 1 ö
=a 1 -k 0 × k + k ×ç çk a +1 + k a +1 + L + k a +1 ÷ ÷ >2+ k ×ç 3k +1 + 3k +1 + L + 3k +1 ÷
0 0 è 0 1 0 2 0 k ø 0 è 0 0 0 ø
0
第17页 | 共19页若存在某个n ÎN ，使得a =0，则由上述递推公式易得a =0，重复上述过程可得a =0，此与a =3
0 + n n +1 1 1
0 0
矛盾，所以对任意nÎN ,a ¹0.
+ n
从而a =2a nÎN ，即{a }是一个公比q=2的等比数列.
n+1 n + n
故a =aqn-1 =3×2n-1.
n 1
求和得a =a +(a - a )+ + ( a - a )
k +1 1 2 1 L k +1 k
0 0 0
1 1 æ 1 1 1 ö
=a -k × + ×ç + + + ÷
1 0 k k çk a +1 k a +1 L k a +1÷
0 0 è 0 1 0 2 0 k ø
0
1 æ 1 1 1 ö 1
>2+ ×ç + +
L
+ ÷=2+
k 3k +1 3k +1 3k +1 3k +1
è ø
0 0 0 0 0
第18页 | 共19页【考点定位】等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.，考查探究能力和推理论证
能力，考查创新意识．
第19页 | 共19页