2015年高考数学试卷（理）（山东）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2015·高考数学真题

2015 年高考山东省理科数学真题
一、选择题
1.已知集合A=  x|x2 -4x+3<0  ，B=x|2< x<4，则A B=（ ）
I
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
Z
2.若复数Z满足 =i，其中i为虚数为单位，则Z=（ ）
1-i
A．1-i B．1+i C．-1-i D．-1+i
p
3.要得到函数y =sin(4x- )的图像，只需要将函数y=sin4x的图像（ ）
3
p p
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
12 12
p p
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
3 3
uuur uuur
4.已知菱形ABCD的边长为a，ÐABC =60°，则BD×CD=（ ）
3 3 3 3
A．- a2 B．- a2 C． a2 D． a2
2 4 4 2
5.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是（ ）
A．(-¥,4) B．(-¥,1) C．（1，4） D．（1，5）
ìx- y³0
ï
6.已知x,y满足约束条件íx+ y£2，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）
ï
y³0
î
A．3 B．2 C．-2 D．-3
p
7.在梯形ABCD中，ÐABC = ，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而
2
形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
2p 4p 5p
A． B． C． D．2p
3 3 3
8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区
间（3，6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量x服从正态分布N(m,s2)，
则P(m-s< x<m+s)=68.26%，P(m-2s< x<m+2s)=95.44%。）
A．4.56% B．12.59% C．27.18% D．31.74%
第1页 | 共16页9.一条光线从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆(x+3)2 +(y-2)2 =1相切，则反射光线所在直线的斜
率为（ ）
5 3 3 2 5 4 4 3
A．- 或- B．- 或- C．- 或- D．- 或-
3 5 2 3 4 5 3 4
ì3x-1,x<1
10.设函数 f(x)=í ，则满足 f(f(a))=2f(a)的a取值范围是（ ）
î2x,x³1
2 2
A．[ ,1] B．[0，1] C．[ ,+¥) D．[1,+¥)
3 3
二、填空题
11.观察下列各式：
C0=40
1
C0 +C1 =41
3 3
C0 +C1+C2 =42
5 5 5
C0 +C1+C2 +C3 =43
7 7 7 7
… …
照此规律，当当nÎN时，C0 + C1 + C2 +…+ Cn-1 = .
2n-1 2n-1 2n-1 2n-1
p
12.若“"xÎ[0， ]，tanx£m”是真命题，则实数m的最小值为 .
4
13.执行下面的程序框图，输出的T的值为 .
14.已知函数 f(x)=ax +b(a >0,a ¹1) 的定义域和值域都是-1,0 ，则
a+b=
________
x2 y2
15.平面直角坐标系xOy中，双曲线C： - =1（a>0,b>0）的渐近线与抛物线C ：x2=2py(p>0)交于
a2 b2 2
O，若DABC的垂心为C 的焦点，则C 的离心率为___________．
2 1
p
16.设 f(x)=sinxcosx-cosx2(x+ ) 。
4
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
A
（Ⅱ）在锐角DABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若f（ ）=0，a=1，求面DABC积的最大
2
值。
17.如图，在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中
点。
（Ⅰ）求证：BC//平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH
与平面ACFD所成的角（锐角）的大小。
第2页 | 共16页18.设数列 { a } 的前n项和为S 。已知2S =3n +3。
n n n
{ }
（Ⅰ）求 a 的通项公式；
n
（Ⅱ）若数列 { b } 满足ab =log 2，求 { b } 的前n项和T 。
n n n 3 n n
19.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”
（如137，359，567等）.
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规
则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被
10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .
x2 y2 3
20.平面直角坐标系 xoy中，已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，左、右焦点分别是
a2 b2 2
F、F 。以F 为圆心以3为半径的圆与以F 为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆𝐶上。
1 2 1 2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
x2 y2
（Ⅱ）设椭圆E: + =1为椭圆C上任意一点，过点P的直线 y =kx+m交椭圆E于A，B两点，
4a2 4b2
射线PO交椭圆E于点Q.
|OQ|
（i）求 的值；
|OP|
（ii）求DABQ面积的最大值。
将 y =kx+m 代入椭圆C的方程
21设函数 f(x)=ln(x+1)+a(x2 -x)，其中aÎR。
（Ⅰ）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若" >0, f(x)³0成立，求a的取值范围。
x
2015 年高考山东省理科数学真题答案
一、选择题
1.答案：C
解析过程：
   
A= x1< x<3 ，B= x 2< x<4 ，
 
所以A B= x 2< x<3 ，选C
I
第3页 | 共16页2.答案：A
解析过程：
z
因为 =i，所以， z =i1-i=1+i
1-i
所以， z =1-i，选A
3.答案：B
解析过程：
p p
因为y =sin(4x- )=sin4(x- )，
3 12
所以，只需要将函数y =sin4x的图象
p
向右平移 个单位，选B
12
4.答案：D
解析过程：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为 BD×CD= BD×BA= BA+BC ×BA
uuur2 uuur uuur 3
= BA +BC×BA=a2 +a2cos60o = a2 ，选D.
2
5.答案：A
解析过程：
原不等式可转化为以下三个不等式的并集：
ìx<1
 
（Ⅰ）í ，解得 x x<1
î1-x+x-5<2
ì1£ x<5
 
（Ⅱ）í ，解得 x1£ x<4
îx-1+x-5<2
ìx³5
（Ⅲ）í ，解得f
îx-1-x+5<2
 
综上，原不等式的解集为 x x<4 ，选A
6.答案：B
解析过程：
作出可行域如图
第4页 | 共16页若z =ax+ y的最大值为4，则最优解可能为A(1,1)或B(2,0)
经检验A(1,1)不是最优解，B(2,0)是最优解，此时a=2
7.答案：C
解析过程：
直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面
所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱
挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，
所以该组合体的体积为：
1 5
V =V -V =p´12´2- ´p´12´1= p ，选C
圆柱 圆锥 3 3
8.答案：B
解析过程：
用表示x 零件的长度，根据正态分布的性质得：
1
P3<x<6= éP-6<x<6-P-3<x<3ù
ë û
2
0.9544-0.6826
= =0.1359 ，选B.
2
9.答案：D
解析过程：
由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2,-3)，
设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线方程为：
y+3=k(x-2)，即kx- y-2k-3=0
又因为光线与圆相切，(x+3)2 +(y-2)2 =1
-3k-2-2k-3
所以， =1，整理得12k2 +25k+12=0
k2 +1
第5页 | 共16页4 3
解得：k =- 或k =- ，选D
3 4
10.答案：C
解析过程：
当a³1时， f a=2a >1，
所以， f(f(a))=2f(a)，即a >1符合题意；
当a<1时， f(a)=3a-1，若 f(a)³1，
2 2
即3a-1³1，a³ ，所以 £a<1符合题意；
3 3
2
综上，a的取值范围是[ ,+¥)，选C
3
二、填空题
11.答案：4n-1
解析过程：
由归纳推理得：C0 +C1 +C2 + +Cn-1 =4n-1
2n-1 2n-1 2n-1 L 2n-1
12.答案：1
解析过程：
é pù
y =tanx在 0, 上单调递增，所以
ê ú
ë 4û
é pù p
y =tanx在 0, 上的最大值为tan =1
ê ú
ë 4û 4
由题意得，m³1
11
13. 答案：
6
解析过程：
初始条件n=1,T =1,n<3 成立 ；
1 1 3
运行第一次：T =1+ò xdx=1+ = ,n=2,n<3 成立；
0 2 2
3 1 3 1 11
运行第二次：T = +ò x2dx= + = ,n=3,n<3 不成立；
2 0 2 3 6
11
输出T 的值： . 结束
6
14.答案：
3
-
2
解析过程：
第6页 | 共16页若a >1，则 f x在-1,0上为增函数
ìa-1+b=-1
所以í ，此方程组无解；
î1+b=0
若0<a<1，则 f x在-1,0上为减函数
ì 1
ìa-1+b=0 ïa= 3
所以í ，解得í 2 ，所以a+b=-
î1+b=-1
ï îb=-2
2
3
15.答案：
2
解析过程：
b
设OA 所在的直线方程为y = x ,
a
b
则OB 所在的直线方程为y =- x
a
ì 2pb
ì b x=
ïy = x ï ï a
解方程组í a 得：í ，
2pb2
ï îx2 =2py ï y =
ïî a2
æ2pb 2pb2 ö
所以点 A 的坐标为ç , ÷
è a a2 ø
æ pö
抛物线的焦点 F 的坐标为:ç 0,
÷
è 2 ø
因为 F 是 DABC 的垂心，所以k ×k =-1
OB AF
æ 2pb2 p ö
-
b ç a2 2 ÷ b2 5
所以， - ç ÷=-1Þ =
aç 2pb ÷ a2 4
ç ÷
è a ø
c2 b2 9 3
所以，e2 = =1+ = Þe=
a2 a2 4 2
16.答案：
é p p ù ép 3p ù
（I）单调递增区间是 - +kp, +kp kÎz；单调递减区间是 +kp, +kp kÎz
ê ú ê ú
ë 4 4 û ë4 4 û
第7页 | 共16页2+ 3
（II） DABC 面积的最大值为
4
解析过程：
p
1+cos(2x+ )
sin2x
2
（I）由题意知 f(x)= -
2 2
sin2x 1-sin2x 1
= - =sin2x-
2 2 2
p p
由- +2kp£2x£ +2kp，kÎz，
2 2
p p
可得- +kp£ x£ +kp，kÎz，
4 4
p 3p
由 +2kp£2x£ +2kp，kÎz，
2 2
p 3p
可得 +kp£ x£ +kp，kÎz，
4 4
é p p ù
所以，函数 f x的单调递增区间是 - +kp, +kp （kÎz）
ê ú
ë 4 4 û
ép 3p ù
函数 f x的单调递减区间是 +kp, +kp （kÎz）
ê ú
ë4 4 û
A 1 1
（II）由 f( )=sinA- =0，得sinA=
2 2 2
3
由题意得A为锐角，所以cosA=
2
由余弦定理：a2 =b2 +c2 -2bcosA
可得：1+ 3bc=b2 +c2 ³2bc
即：bc£2+ 3，当且仅当b=c时等号成立
1 2+ 3
因此 bcsinA£
2 4
2+ 3
所以DABC面积的最大值为
4
17.答案：
（I）详见解析；（II） 60o
解析过程：
第8页 | 共16页（I）证法一：连接DG,CD.设CDÇGF =M ,连接 MH ，
在三棱台 DEF -ABC 中， AB=2DE，G分别为 AC的中点，可得 DF //GC,DF =GC ，所以四边形
DFCG是平行四边形，
则 M 为CD的中点，又 H 是 BC 的中点，所以 HM //BD,
又 HM Ì平面 FGH ，BDË平面 FGH ，所以 BD//平面
FGH .
证法二：在三棱台 DEF -ABC 中，
由BC =2EF,H 为 BC 的中点，
可得 BH //EF,BH = EF,
所以 HBEF 为平行四边形，可得 BE//HF.
在 DABC中，G，H 分别为 AC，BC 的中点，
所以GH //AB,又GH ÇHF = H ，
所以平面 FGH //平面 ABED，
因为 BDÌ 平面 ABED，
所以 BD//平面 FGH .
（Ⅱ）解法一：设 AB =2 ，则CF =1
在三棱台 DEF -ABC 中，
G 为 AC 的中点
1
由DF = AC =GC ，
2
可得四边形 DGCF 为平行四边形，
因此 DG//CF
又 FC ^平面 ABC
所以 DG ^平面 ABC
在 DABC 中，由 AB^ BC,ÐBAC =45o ，G 是 AC 中点，
所以AB= BC,GB^GC
第9页 | 共16页因此GB,GC,GD 两两垂直,
以G 为坐 标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
G-xyz
   
所以G0,0,0,B 2,0,0 ,C 0, 2,0 ,D0,0,1
æ 2 2 ö  
可得Hç , ,0÷,F 0, 2,1
ç ÷
2 2
è ø
uuur æ 2 2 ö uuur  
故GH =ç , ,0÷,GF = 0, 2,1
ç ÷
2 2
è ø
r
设n=x,y,z 是平面 FGH 的一个法向量，则
r uuur
ì ïn×GH =0, ìï x+ y =0
由í
r uuur
可得í
ïîn×GF =0, ïî 2y+z =0
r  
可得平面 FGH 的一个法向量n= 1,-1, 2
uuur uuur  
因为GB 是平面 ACFD 的一个法向量，GB= 2,0,0
uuur r
uuur r GB×n 2 1
所以cos<GB,n>=
uuur r
= =
|GB|×|n| 2 2 2
所以平面与平面所成的解(锐角)的大小为 60o
解法二：
作 HM ^ AC 于点 M ，作 MN ^GF 于点 N ，连
接 NH
由 FC ^ 平面 ABC ，得 HM ^ FC
又 FC AC =C
I
所以 HM ^ 平面 ACFD
因此GF ^ NH
所以 ÐMNH 即为所求的角
第10页 | 共16页1 2
在 DBGC 中, MH //BG,MH = BG = ,
2 2
MN GM
由 DGNM ∽ DGCF 可得 = ，
FC GF
6
从而MN = ，由MH ^平面ACFD，MN Ì平面ACFD得
6
HM
MH ^MN ，所以tanÐMNH = = 3，所以ÐMHN =600
MN
所以平面FGH 与平面ACFD所成角（锐角）的大小为600
ì3, n=1, 13 6n+3
18.答案：（I） a =í ; （II）T = + .
n î3n-1, n>1, n 12 4´3n
解析过程：
解：（I）因为 2S =3n +3
n
所以， 2a =3+3 ，故 a =3,
1 1
当 n>1 时， 2S =3n-1+3,
n-1
此时，2a =2S -2S =3n -3n-1，即a =3n-1
n n n-1 n
ì3 n=1
所以，a =í
n î3n-1 n³2
1
（II）因为a b =log a ，b =
n n 3 n 1 3
当n>1时，b =31-nlog 3n-1 =(n-1)×31-n
n 3
1
所以T =b = ，当n>1时，
1 1 3
1
T =b +b + +b = +(1´3-1+2´3-2 + +(n-1)31-n)
n 1 2 L n 3 L
所以3T =1+(1´30 +2´31+ +(n-1)32-n)
n L
两式相减得，
2
2T = +(30 +31+32-n)-(n-1)×31-n
n 3
2 1-31-n 13 6n+3
= + -(n-1)×31-n = -
3 1-3-1 6 2´3n
第11页 | 共16页13 6n+3
所以，T = + ，经检验，n=1时也适合，
n 12 4´3n
13 6n+3
综上，T = +
n 12 4´3n
19.答案：（I）有：125，135，145，235，245，345；
（II）X的分布列为
X 0 -1 1
2 1 11
P
3 14 42
4
EX =
21
解析过程：
（I）个位数是5的“三位递增数”有：125,135,145,235,245,345；
（II）由题意知，全部“三位递增数”的个数为C3 =84
9
随机变量X 的取值为：0,-1,1，因此
C3 2 C2 1
P(X =0)= 8 = ；P(X =-1)= 4 = ；
C3 3 C3 14
9 9
1 2 11
P(X =1)=1- - =
14 3 42
所以X 的分布列为
X 0 -1 1
2 1 11
P
3 14 42
2 1 11 4
因此EX =0´ +(-1)´ +1´ =
3 14 42 21
x2
20.答案：（I） + y2 =1；（II）( i )2；（ii）6 3 .
4
解析过程：
（I）由题意知2a=4，则a=2，
c 3
又 = ，a2 -c2 =b2，可得b=1，
a 2
x2
所以椭圆C的标准方程为 + y2 =1
4
第12页 | 共16页x2 y2
（II）由（I）知椭圆E的方程为 + =1
16 4
OQ
（i）设Px ,y ， =l ，由题意知Q-lx ,-ly 
0 0 OP 0 0
x2 -lx 2 -ly 2
因为 0 + y2 =1又 0 + 0 =1 ，
4 0 16 4
l2 æ x2 ö OQ
即 ç 0 + y2 ÷=1，所以l=2 ，即 =2
4 è 4 0 ø OP
（ii）设Ax ,y ,Bx ,y 
1 1 2 2
将 y =kx+m代入椭圆E的方程，
可得  1+4k2 x2 +8kmx+4m2 -16=0
由 D>0 ，可得 m2 <4+16k2……①
8km 4m2 -16
则有x +x =- ,x x =
1 2 1+4k2 1 2 1+4k2
4 16k2 +4-m2
所以 x -x =
1 2 1+4k2
因为直线 y =kx+m与轴交点的坐标为0,m
1 2 16k2 +4-m2 m
所以 DOAB 的面积 S = m × x -x =
2 2 2 1+4k2
2 (16k2 +4-m2)×m2 æ m2 ö m2
= =2 ç4- ÷×
1+4k2
è
1+4k2
ø
1+4k2
m2
令 =t
1+4k2
将 y =kx+m 代入椭圆C的方程
可得  1+4k2 x2 +8kmx+4m2 -4=0
由 D³0 ，可得 m2 £1+4k2 ……②
由①②可知 0<t £1
第13页 | 共16页因此 S =2 4-tt =2 -t2 +4t
故 S £2 3
当且仅当t =1 ，即 m2 =1+4k2 时取得最大值2 3
由（i）知，DABQ 面积为3S
所以DABQ 面积的最大值为6 3
21.答案：（I）当 a<0 时，函数 f x在-1,+¥上有唯一极值点；
8
当0£a£ 时，函数 f x在-1,+¥上无极值点；
9
8
当 a> 时，函数 f x在-1,+¥上有两个极值点；
9
（II） a的取值范围是0,1 .
解析过程：
函数 f(x)=ln(x+1)+a(x2 -x)定义域为-1,+¥
1 2ax2 +ax+1-a
f¢x= +2ax-a=
x+1 x+1
令gx=2ax2 +ax+1-a
（1）当 a=0 时，gx=1>0 ， f¢x>0 在-1,+¥上恒成立
所以，函数 f x在-1,+¥上单调递增无极值；
2
æ 1ö 9a
（2）当 a>0 时， gx=2ax2 +ax+1-a=2a
ç
x+
÷
+1-
è 4ø 8
9a 8
若1- ³0，即：0<a£ ，则gx³0在-1,+¥上恒成立，
8 9
从而 f¢x³0 在-1,+¥上恒成立，函数 f x在-1,+¥上单调递增无极值；
9a 8
若1- <0，即： a> ，由于g-1=1>0,g1=2a+1>0
8 9
1
则gx 在在-1,+¥上有两个零点，从而函数 f x在-1,+¥上有两个极值点x ,x 且x <- < x ；
1 2 1 4 2
æ 1ö æ 1 ö
（3）当 a<0 时，gx在
ç
-1,-
÷
上单调递增，在
ç
- ,+¥
÷
上单调递减，
è 4ø è 4 ø
第14页 | 共16页æ 1ö 9a
且g-1=1>0,g - =1- >0，
ç ÷
è 4ø 8
所以，gx 在在-1,+¥上有唯一零点，
从而函数 f x在-1,+¥上有唯一极值点.
综上：
当 a<0 时，函数 f x在-1,+¥上有唯一极值点；
8
当0£a£ 时，函数 f x在-1,+¥上无极值点；
9
8
当 a> 时，函数 f x在-1,+¥上有两个极值点；
9
（II）由（I）知，
8
（1）当0£a£ 时，函数 f x在0,+¥上单调递增，
9
因为 f 0=0，所以，xÎ0,+¥时， f x>0，符合题意；
8
（2）当 <a£1时，由g0³0，得x £0
9 2
所以，函数 f x在(0,+¥)上单调递增，
又 f 0=0，所以，xÎ0,+¥时， f x>0，符合题意；
（3）当a >1时，由g0<0，可得x >0
2
所以xÎ(0,x )时，函数 f x单调递减；
2
又 f(0)=0，所以，当xÎ(0,x )时，函数 f(x)<0不符合题意；
2
（4）当a<0时，设h(x)= x-ln(x+1)
1 x
因为xÎ(0,+¥)时，h¢x=1- = >0
x+1 x+1
所以h(x)在(0,+¥)上单调递增，
因此当xÎ(0,+¥)时，h(x)>h(0)>0
即：ln(x+1)< x
可得： f(x)< x+a(x2 -x) =ax2 +(1-a)x
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当x>1- 时，ax2 +(1-a)x<0
a
此时， f(x)<0，不合题意
综上所述，a的取值范围是0,1
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