2015年高考数学试卷（理）（四川）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2015·高考数学真题

第Ⅰ卷（共 50分）
一、选择题：本大题共 10个小题,每小题 5分,共 50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合A={x|(x+1)(x-2)<0}，集合B={x|1< x<3}，则A
U
B=（ ）
(A) {x|-1< x<3} (B) {x|-1< x<1} (C) {x|1< x<2} (D) {x|2< x<3}
【答案】A
【考点定位】集合的基本运算.
【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，
函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
2
2.设i是虚数单位，则复数i3- ( )
i
（A）-i （B）-3i （C）i. （D）3i
【答案】C
【考点定位】复数的基本运算.
【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数
的基本概念及四则运算即可.
3.执行如图所示的程序框图，输出S的值是( )
3 3 1 1
（A）- （B） （C）- （D）
2 2 2 2
第1页 | 共19页【答案】D
【考点定位】程序框图.
【名师点睛】程序框图也是高考的热点，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次循
环的结果一一列举出来.
4.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
p p
(A) y =cos(2x+ ) (B) y =sin(2x+ ) (C) y =sin2x+cos2x (D) y =sinx+cosx
2 2
【答案】A
【考点定位】三角函数的性质.
【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，
但这类题常常可采用排除法.很明显，C、D选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B选项中的函数
是偶函数，故均可排除，所以选A.
y2
5.过双曲线x2 - =1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则 AB =
3
（ ）
4 3
(A) (B)2 3 (C)6 （D）4 3
3
【答案】D
第2页 | 共19页【考点定位】双曲线.
x2 y2 x2 y2
【名师点睛】双曲线 - =1的渐近线方程为 - =0，将直线x=2代入这个渐近线方程，便可得
a2 b2 a2 b2
交点A、B的纵坐标，从而快速得出| AB|的值.
6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）
（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个
【答案】B
【考点定位】排列组合.
【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位
与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.
     
7.设四边形ABCD为平行四边形， AB =6， AD =4.若点M，N满足BM =3MC，DN =2NC，则
 
AM NM =（ ）
（A）20 （B）15 （C）9 （D）6
【答案】C
[来源:Z|xx|k.Com]
【考点定位】平面向量.
【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量
   
多的已知元素.本题中，由于 AB =6， AD =4故可选AB,AD作为基底.
8.设a，b都是不等于1的正数，则“3a 3b 3”是“log 3<log 3”的 （ ）
a b
（A）充要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
第3页 | 共19页【答案】B
【考点定位】命题与逻辑.
【名师点睛】充分性必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否
成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考.
1 1 
9.如果函数 f x= m-2x2 +n-8x+1m0，n0在区间 ，2 上单调递减，则mn的最大值
 
2 2 
为（ ）
81
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
2
【答案】B
【考点定位】函数与不等式的综合应用.
【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m、n满足的条件，然后利用基
本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的
交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.
10.设直线l与抛物线y2 =4x相交于A，B两点，与圆x-52 + y2 =r2r 0相切于点M，且M为线段
AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
（A）1，3 （B）1，4 （C）2，3 （D）2，4
【答案】D
第4页 | 共19页【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.
【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x
轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的
问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常
采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线x=3上，由此可确定中点的纵坐标y 的范围，
0
利用这个范围即可得到r的取值范围.
第Ⅱ卷（共 100 分）
二、填空题（每题 5分，满分 25分，将答案填在答题纸上）
11.在(2x-1)5的展开式中，含x2的项的系数是 （用数字作答）.
【答案】-40.
第5页 | 共19页【考点定位】二项式定理.
【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.
12.sin15 +sin75 = .
6
【答案】 .
2
【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.
【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后
再化为一个三角函数一般地，有asina+bcosa= a2 +b2 sin(a+j).第二种方法是直接凑为特殊角，利
用特殊角的三角函数值求解.
13.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：C）满足函数关系y =ekx+b（e=2.718

为
自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0C的保鲜时间设计192小时，在22C的保鲜时间是48小
时，则该食品在33C的保鲜时间是 小时.
[来源:Zxxk.Com]
【答案】24
【考点定位】函数及其应用.
【名师点睛】这是一个函数应用题，利用条件可求出参数k、b，但在实际应用中往往是利用整体代换求解
（不要总是想把参数求出来）.本题利用整体代换，使问题大大简化.
14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分
别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为 .
第6页 | 共19页2
【答案】
5
【考点定位】1、空间两直线所成的角；2、不等式.
第7页 | 共19页【名师点睛】空间的角与距离的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解.解本题要
注意，空间两直线所成的角是不超过90度的.几何问题还可结合图形分析何时取得最大值.当点M在P处时，
EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小，点M
到达Q点时，角最小，从而余弦值最大.
f(x )- f(x )
15.已知函数 f(x)=2x，g(x)= x2 +ax（其中aR）.对于不相等的实数x ,x ，设m= 1 2 ，
1 2 x -x
1 2
g(x )-g(x )
n= 1 2 .
x -x
1 2
现有如下命题：
（1）对于任意不相等的实数x ,x ，都有m0 ；
1 2
（2）对于任意的a及任意不相等的实数x ,x ，都有n0；
1 2 [来源:学科网]
（3）对于任意的a，存在不相等的实数x ,x ，使得m=n；
1 2
（4）对于任意的a，存在不相等的实数x ,x ，使得m=-n.
1 2
其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）.
【答案】①④
【考点定位】函数与不等式的综合应用.
第8页 | 共19页【名师点睛】四川高考数学15题历来是一个异彩纷呈的题，个中精彩读者可从解析中慢慢体会.解决本题的
关键是转化思想，通过转化使问题得以解决.
三、解答题 （本大题共 6小题，共 75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.设数列{a }的前n项和S =2a -a ，且a,a +1,a 成等差数列.
n n n 1 1 2 3
（1）求数列{a }的通项公式；
n
1 1
（2）记数列{ }的前n项和T ，求得|T -1|< 成立的n的最小值.
a n n 1000
n
【答案】（1）a =2n；（2）10.
n
【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识，考查
运算求解能力.
【名师点睛】凡是有S 与a 间的关系，都是考虑消去S 或a （多数时候是消去S ，得a 与a 间的递
n n n n n n n-1
推关系）.在本题中，得到a 与a 间的递推关系式后，便知道这是一个等比数列，利用等比数列的相关公
n n-1
式即可求解.等差数列与等比数列是高考中的必考内容，多属容易题，考生应立足得满分.
第9页 | 共19页17.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4
名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，
女生中随机抽取3人组成代表队
（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和
数学期望.
99
【答案】（1）A中学至少1名学生入选的概率为 p= .
100
（2）X的分布列为：
X 1 2 3
1 3 1
p
5 5 5
X的期望为E(X)=2.
【考点定位】本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算
第10页 | 共19页求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力.
【名师点睛】应用问题一定要注意弄清题意，找出题中的关键字词.在本题中，就要分清楚集训队与代表队
的区别.求概率时，如果直接求比较复杂，就应该先求其对立事件的概率.超几何分布和二项分布是中学中的
两个重要概率分布，考生必须牢固掌握.本题的概率分布就是一个超几何分布问题.
18.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M ，GH
的中点为N
（1）请将字母F,G,H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
（2）证明：直线MN //平面BDH
（3）求二面角A-EG-M 的余弦值.
【答案】（1）点F、G、H的位置如图所示.
2 2
（2）详见解析.（3）
3
第11页 | 共19页H G
E
F
D C
M
A B
（2）连结BD，设O为BD的中点.
[来源:学§科§网]
第12页 | 共19页（另外，也可利用空间坐标系求解）
【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等
基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.
【名师点睛】立体几何解答题的考查内容，不外乎线面、面面位置关系及空间夹角与距离的计算. （1）注
意ABCD是底面，将平面展开图还原可得点F、G、H的位置. （2）根据直线与平面平行的判定定理，应
考虑证明MN平行于平面BDH内的一条直线.连结O、M，易得MNHO是平行四边形，从而MN //OH ，
进而证得MN //平面BDH .（3）要作出二面角A-EG-M 的平面角，首先要过M作平面AEGC的垂线，
然后再过垂足作棱EG的垂线，再将垂足与点M连结，即可得二面角A-EG-M 的平面角.
19. 如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.
A 1-cosA
（1）证明：tan = ;
2 sinA
第13页 | 共19页A B C D
（2）若A+C =180o,AB =6,BC =3,CD =4,AD =5,求tan +tan +tan +tan 的值.
2 2 2 2
4 10
【答案】（1）详见解析；（2） .
3
第14页 | 共19页【考点定位】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求
解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.
【名师点睛】本题第（1）小题为课本必修4第142页练习1，体现了立足课本的要求.高考中常常将三角恒
等变换与解三角形结合起来考，本题即是如此.本题的关键体现在以下两点，一是利用角的关系消角，体现
了消元的思想；二是用余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想.
x2 y2 2
20.如图，椭圆E： + =1(a b0)的离心率是 ，过点P（0,1）的动直线l 与椭圆相交于A，B
a2 b2 2
两点，当直线l 平行与x轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为2 2 .
(1)求椭圆E的方程；
QA PA
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得 = 恒成立？若存在，求出
QB PB
点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
x2 y2
【答案】（1） + =1；（2）存在，Q点的坐标为Q(0,2).
4 2
第15页 | 共19页第16页 | 共19页【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查
推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.
【名师点睛】高考中解几题一般都属于难题的范畴，考生应立足于拿稳第（1）题的分和第（2）小题的步
骤分.解决直线与圆锥曲线相交的问题，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，再根据根与系数的关系
解答.本题是一个探索性问题，对这类问题一般是根据特殊情况找出结果，然后再证明其普遍性.解决本题的
关键是通过作B的对称点将问题转化.
21.已知函数 f(x)=-2(x+a)lnx+x2 -2ax-2a2 +a，其中a0.
（1）设g(x)是 f(x)的导函数，评论g(x)的单调性；
（2）证明：存在a(0,1)，使得 f(x)0在区间(1,+¥)内恒成立，且 f(x)=0在(1,+¥)内有唯一解.
1 1- 1-4a 1+ 1-4a
【答案】（1）当0<a< 时，g(x)在区间(0, ),( ,+¥)上单调递增， 在区间
4 2 2
1- 1-4a 1+ 1-4a 1
( , )上单调递减；当a 时，g(x)在区间(0,+¥)上单调递增.（2）详见解析.
2 2 4
第17页 | 共19页【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能
第18页 | 共19页力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.
【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在0.3以下.导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生
掌握其基础知识，在高考题中也必有体现.一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第（1）题的，所
以对难度最大的最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里还有不少的分是志在必得的.解决函数题需要的
一个重要数学思想是数形结合，联系图形大胆猜想. 在本题中，结合待证结论，可以想象出 f(x)的大致图
象，要使得 f(x)0在区间(1,+¥)内恒成立，且 f(x)=0在(1,+¥)内有唯一解，则这个解x 应为极小
0
值点，且极小值为0，当x(1,x )时， f(x)的图象递减；当x(x ,+¥)时， f(x)的图象单调递增，顺
0 0
着这个思想，便可找到解决方法.
第19页 | 共19页