2015年高考数学试卷（文）（湖北）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·Word版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2015·高考数学真题

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.） 1.i为虚数单位，i607 （ ） A．i B．i C．1 D．1 【答案】A. 【考点定位】本题考查复数的概念及其运算，涉及分数指数幂的运算性质. 【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指 数幂的运算性质，充分体现了学科内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算 能力. 2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹 谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 【答案】B. 【考点定位】本题考查简单的随机抽样，涉及近似计算. 【名师点睛】本题以数学史为背景，重点考查简单的随机抽样及其特点，通过样本频率估算总体频率，虽 然简单，但仍能体现方程的数学思想在解题中的应用，能较好考查学生基础知识的识记能力和估算能力、 实际应用能力. 3.命题“x (0,)，lnx x 1”的否定是（ ） 0 0 0 A．x (0,)，lnx  x 1 B．x (0,)，lnx x 1 0 0 0 0 0 0 C．x(0,)，lnx x1 D．x(0,)，lnxx1 【答案】C. 【考点定位】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，，属识记基础题. 【名师点睛】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.扎根基 第1页 | 共16页础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基 本操作的识记能力. 4.已知变量x和y满足关系y0.1x1，变量y与z正相关. 下列结论中正确的是（ ） A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y正相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关 【答案】A. 【考点定位】本题考查正相关、负相关，涉及线性回归方程的内容. 【名师点睛】将正相关、负相关、线性回归方程等联系起来，充分体现了方程思想在线性回归方程中的应 用，能较好的考查学生运用基础知识的能力.其易错点有二：其一，未能准确理解正相关与负相关的定义； 其二，不能准确的将正相关与负相关问题进行转化为直线斜率大于和小于0的问题. 5.l ,l 表示空间中的两条直线，若p：l ,l 是异面直线；q：l ,l 不相交，则（ ） 1 2 1 2 1 2 A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 【答案】A. 【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题. 【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的 关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准 确性. x2 5x6 6.函数 f(x) 4|x|lg 的定义域为（ ） x3 A．(2, 3) B．(2, 4] C．(2, 3)(3, 4] D．(1, 3)(3, 6] 【答案】C. 第2页 | 共16页【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容. 【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一 起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的 计算能力和思维的全面性.  1, x0,  7.设xR，定义符号函数sgn x 0, x0, 则（ ）  1, x0. A． |x|x|sgnx| B．|x|xsgn|x| C． |x||x|sgnx D． |x|xsgnx 【答案】D. 【考点定位】本题考查分段函数及其表示法，涉及新定义，属能力题. 【名师点睛】以新定义为背景，重点考查分段函数及其表示，其解题的关键是准确理解题意所给的新定义， 并结合分段函数的表示准确表达所给的函数.不仅新颖别致，而且能综合考察学生信息获取能力以及知识 运用能力. 1 1 8.在区间[0, 1]上随机取两个数x,y，记 p 为事件“x y ”的概率， p 为事件“xy ” 1 2 2 2 的概率，则（ ） 第3页 | 共16页1 1 A． p  p  B． p   p 1 2 2 1 2 2 1 1 C． p   p D．  p  p 2 2 1 2 2 1 【答案】B. 【考点定位】本题考查几何概型和微积分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表 示的区域. 【名师点睛】以几何概型为依托，融合定积分的几何意义、二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所 表示的区域等内容，充分体现了转化的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生灵活运用基础知 识解决实际问题的能力. 9.将离心率为e 的双曲线C 的实半轴长a和虚半轴长b (ab)同时增加m (m0)个单位 1 1 长度，得到离心率为e 的双曲线C ，则（ ） 2 2 A．对任意的a, b，e e B．当ab时，e e ；当ab时，e e 1 2 1 2 1 2 C．对任意的a, b，e e D．当ab时，e e ；当ab时，e e 1 2 1 2 1 2 【答案】 . 第4页 | 共16页【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式 及不等关系. 【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中 实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性 和缜密性. 10.已知集合A{(x,y) x2  y2 1, x,yZ}，B{(x,y) |x|2,| y|2, x,yZ}，定义集合 AB{(x x ,y  y )(x,y )A, (x ,y )B}，则AB中元素的个数为（ ） 1 2 1 2 1 1 2 2 A．77 B．49 C．45 D．30 【答案】C. 【考点定位】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题，属高档题. 【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨 论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科 学计算能力. 第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分） 二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上） 11.已知向量(cid:3) (cid:3) ， (cid:3) ，则(cid:3) (cid:3) _________． OA AB |OA|3 OAOB 【答案】9. 第5页 | 共16页【考点定位】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题. 【名师点睛】将向量的加法运算法则（平行四边形法则和三角形法则）和向量的数量积的定义运算联系在 一起，体现数学学科知识间的内在联系，渗透方程思想在解题中的应用，能较好的考查学生基础知识的识 记能力和灵活运用能力. x y4, 12.若变量 满足约束条件 则 的最大值是_________． x, y x y2, 3x y  3x y0, 【答案】10. 【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题. 【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的 思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的 能力. π 13.函数 f(x)2sinxsin(x )x2的零点个数为_________. 2 【答案】2. 第6页 | 共16页【考点定位】本题考查函数与方程，涉及常见函数图像绘画问题，属中档题. 【名师点睛】将函数的零点问题和方程根的问题、函数的交点问题联系在一起，凸显了数学学科内知识间 的内在联系，充分体现了转化化归的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生准确绘制函数图像 的能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力. 14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 （单位：万元）都在区间[0.3, 0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a_________； （Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5, 0.9]内的购物者的人数为_________. 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000. 【考点定位】本题考查频率分布直方图，属基础题. 【名师点睛】以实际问题为背景，重点考查频率分布直方图，灵活运用频率直方图的规律解决实际问题， 能较好的考查学生基本知识的识记能力和灵活运用能力. 15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30 的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度 CD_________m. 第7页 | 共16页【答案】 . 100 6 【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题. 【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现 了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的 能力和基础知识在实际问题中的运用能力. 16.如图，已知圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且 . C x T(1, 0) y AB 2 （Ⅰ）圆C的标准方程为_________； （Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . (x1)2 (y 2)2 2 1 2 第8页 | 共16页【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题. 【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘 问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生 的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点 的横坐标. 17.a为实数，函数 在区间 上的最大值记为 . 当 _________时， 的值最小. f(x)|x2 ax| [0,1] g(a) a g(a) 【答案】 . 2 22 【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题. 【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨 论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的 第9页 | 共16页考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出 的表达式和分段函数在区间上的最值求法. 三、解答题 （本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（本小题满分12分） π 某同学用“五点法”画函数 f(x) Asin(x) (0, || )在某一个周期内的图象 2 时，列表并填入了部分数据，如下表： π 3π x 0 π 2π 2 2 π 5π x 3 6 Asin(x) 0 5 5 0 （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 f(x) 的解 析式； π （Ⅱ）将y f(x)图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到yg(x)图象，求 6 yg(x)的图象离原点O最近的对称中心. π 【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得A5,2, .数据补全如下表： 6 π 3π x 0 π 2π 2 2 π π 7π 5π 13 x π 12 3 12 6 12 [来源:Z+xx+k.Com] Asin(x) 0 5 0 5 0 π π 且函数表达式为 f(x)5sin(2x )；（Ⅱ）离原点O最近的对称中心为( , 0). 6 12 第10页 | 共16页【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题. 【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程 组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键， 能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力. 19.（本小题满分12分） 设等差数列{a }的公差为d，前n项和为S ，等比数列{b }的公比为q．已知b a ，b 2，qd， n n n 1 1 2 S 100． 10 （Ⅰ）求数列{a }，{b }的通项公式； n n a （Ⅱ）当d 1时，记c  n ，求数列{c }的前n项和T ． n b n n n  1 a  (2n79), 【答案】（Ⅰ）   a n 2n1, 或    n 9 ；（Ⅱ）T 6 2n3 . b n 2n1. b 9( 2 )n1. n 2n1  n 9 [来源:Zxxk.Com] 第11页 | 共16页【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题. 【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程 进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计 算能力培养的基本方向. 20.（本小题满分13分） 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角 三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD ，点E是PC的 中点，连接DE, BD, BE . （Ⅰ）证明：DE 平面PBC . 试判断四面体EBCD是 否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马PABCD的体积为V ，四面体EBCD的 1 [来源:学&科&网Z&X&X&K] V 体积为V ，求 1 的值． 2 V 2 【答案】（Ⅰ）因为 PD底面 ABCD，所以 PDBC . 由底面 ABCD为长方形，有 BC CD，而 PDCDD，所以BC 平面PCD. DE平面PCD，所以BC DE. 又因为PDCD ，点E是PC的 V 中点，所以DE PC. 而PCBC C，所以DE 平面PBC .四面体EBCD是一个鳖臑；（Ⅱ） 1 4. V 2 第12页 | 共16页【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属 中高档题. 【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直 与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关 键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生 解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力. 21.（本小题满分14分） [来源:学科网] 设函数 f(x)，g(x)的定义域均为R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， f(x)g(x)ex，其中e为自然对数的底数. （Ⅰ）求 f(x)，g(x)的解析式，并证明：当x0时， f(x)0，g(x)1； f(x) （Ⅱ）设a0，b1，证明：当x0时，ag(x)(1a) bg(x)(1b). x 1 1 【答案】（Ⅰ） f(x) (ex ex)，g(x) (ex ex).证明：当x0时，ex 1，0ex 1，故 f(x)0. 2 2 1 又由基本不等式，有g(x) (ex ex) exex 1，即g(x)1. （Ⅱ）由（Ⅰ）得 2 1 1 1 ex 1 1 1 1 ex 1 f(x) (ex  ) (ex ) (exex)g(x)⑤g(x) (ex  ) (ex  ) (ex ex) f(x)⑥ 2 ex 2 e2x 2 2 ex 2 e2x 2 f(x) f(x) 当x0时， ag(x)(1a)等价于 f(x)axg(x)(1a)x ⑦ bg(x)(1b)等价于 x x f(x)bxg(x)(1b)x. ⑧于是设函数 h(x) f(x)cxg(x)(1c)x，由⑤⑥，有 h(x)g(x)cg(x)cxf(x)(1c) (1c)[g(x)1]cxf(x). 当x0时，（1）若c0，由③④，得h(x)0， 故h(x)在[0,)上为增函数，从而h(x)h(0)0，即 f(x)cxg(x)(1c)x，故⑦成立.（2）若c1，由 第13页 | 共16页③④，得h(x)0，故h(x)在[0,)上为减函数，从而h(x)h(0)0，即 f(x)cxg(x)(1c)x，故⑧成 f(x) 立.综合⑦⑧，得 ag(x)(1a) bg(x)(1b).学科网 x 【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题. 【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综 合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建 立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决. 22.（本小题满分14分） 一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链 与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN ON 1，MN 3．当栓子D在滑槽AB内作往复 运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2 所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设动直线l与两定直线l :x2y0和l :x2y0分别交于P, Q两点．若直线l总与椭圆C有且 1 2 只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在， 说明理由． 第14页 | 共16页x2 y2 【答案】（Ⅰ）  1.（Ⅱ）当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ的面积取得最小值8. 16 4 [来源:学科网] 第15页 | 共16页【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题. 【名师点睛】作为压轴大题，其第一问将椭圆的方程与课堂实际教学联系在一起，重点考查学生信息获取 与运用能力和实际操作能力，同时为椭圆的实际教学提供教学素材；第二问考查直线与椭圆相交的综合问 题，借助函数思想进行求解.其解题的关键是注重基本概念的深层次理解，灵活运用所学知识. 第16页 | 共16页