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2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（理科）
一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
1、设全集 ．若集合 ， ，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以
【考点定位】集合运算
2、若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 ．
【答案】
【解析】设 ，则
【考点定位】复数相等，共轭复数
3、若线性方程组的增广矩阵为 、解为 ，则 ．
【答案】
【解析】由题意得：
【考点定位】线性方程组的增广矩阵
4、若正三棱柱的所有棱长均为 ，且其体积为 ，则 ．
【答案】
【解析】
【考点定位】正三棱柱的体积
5、抛物线 （ ）上的动点 到焦点的距离的最小值为 ，则 ．
【答案】
第1页 | 共14页【考点定位】抛物线定义
6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 ，则其母线与轴的夹角的大小为 ．
【答案】
【解析】由题意得： 母线与轴的夹角为
【考点定位】圆锥轴截面
7、方程 的解为 ．
【答案】
[
【考点定位】解指对数不等式
8、在报名的 名男教师和 名女教师中，选取 人参加义务献血，要求男、女教师都有，
则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
【答案】
【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：
【考点定位】排列组合
9、已知点 和 的横坐标相同， 的纵坐标是 的纵坐标的 倍， 和 的轨迹分别为
双曲线 和 ．若 的渐近线方程为 ，则 的渐近线方程为 ．
【答案】
第2页 | 共14页【考点定位】双曲线渐近线
10、设 为 ， 的反函数，则 的最大值
为 ．
【答案】
【解析】由题意得： 在 上单调递增，值域为 ，所以 在
上单调递增，因此 在 上单调递增，其最大值为
【考点定位】反函数性质
11、在 的展开式中， 项的系数为 （结果用数值表示）．
【答案】
【考点定位】二项展开式
12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 ， ， ， ， 的卡片中随
机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两
张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量
第3页 | 共14页和 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 （元）．
【答案】
13、已知函数 ．若存在 ， ， ， 满足 ，
且
（ ， ），则
的最小值
为 ．
【答案】
【考点定位】三角函数性质
14、在锐角三角形 中， ， 为边 上的点， 与 的面积
第4页 | 共14页分别为 和 ．过 作 于 ， 于 ，则 ．
【答案】
【考点定位】向量数量积，解三角形
二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
15、设 ， ，则“ 、 中至少有一个数是虚数”是“ 是虚数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【考点定位】复数概念，充要关系
[ ]
16、已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 ，则点 的
纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，即点 的纵坐标为
第5页 | 共14页【考点定位】复数几何意义
17、记方程①： ，方程②： ，方程③： ，
其中 ， ， 是正实数．当 ， ， 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无
实根的是（ ）
A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
【答案】B
【解析】当方程①有实根，且②无实根时， ，从而 即方程
③： 无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实
根
【考点定位】不等式性质
18、设 是直线 （ ）与圆 在第一象限的交点，
则极限 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
第6页 | 共14页【考点定位】极限
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19 、 （ 本 题 满 分 12 分 ） 如 图 ， 在 长 方 体 中 ， ，
， 、 分别是 、 的中点．证明 、 、 、 四点共面，并求
直线 与平面 所成的角的大小.
【答案】
第7页 | 共14页【考点定位】空间向量求线面角
20、（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分
如图， ， ， 三地有直道相通， 千米， 千米， 千米.现甲、
乙两警员同时从 地出发匀速前往 地，经过 小时，他们之间的距离为 （单位：
千米）.甲的路线是 ，速度为 千米/小时，乙的路线是 ，速度为 千米/小时.乙
到达 地后原地等待.设 时乙到达 地.
（1）求 与 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 千米.当 时，求 的表达式，并判
断 在 上得最大值是否超过 ？说明理由.
第8页 | 共14页[来
3 7
25t2 42t18, t
【答案】（1） ， （2） 8 8 不超过
f(t)
7
55t, t 1
8 ，
.
因为 在 上的最大值是 ， 在 上的最大值是
，所以 在 上的最大值是 ，不超过 .
【考点定位】余弦定理
第9页 | 共14页21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.
已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别于椭圆交于 、 和 、 ，记得
到的平行四边形 的面积为 .
（1）设 ， ，用 、 的坐标表示点 到直线 的距离，并证明
；
（2）设 与 的斜率之积为 ，求面积 的值.
【答案】（1）详见解析（2）
22、（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分6分.
已知数列 与 满足 ， .
（1）若 ，且 ，求数列 的通项公式；
第10页 | 共14页（2）设 的第 项是最大项，即 （ ），求证：数列 的第 项是最
大项；
（3）设 ， （ ），求 的取值范围，使得 有最大值 与最
小值 ，且 .
【答案】（1） （2）详见解析（3）
[来
当 时， ，符合上式.
所以 .
因为 ，所以 ， .
①当 时，由指数函数的单调性知， 不存在最大、最小值；
②当 时， 的最大值为 ，最小值为 ，而 ；
第11页 | 共14页③当 时，由指数函数的单调性知， 的最大值 ，最小值
，由 及 ，得 .
综上， 的取值范围是 .
【考点定位】等差数列，数列单调性
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3
小题满分8分.
对于定义域为 的函数 ，若存在正常数 ，使得 是以 为周期的函数，则
称 为余弦周期函数，且称 为其余弦周期.已知 是以 为余弦周期的余弦周期
函数，其值域为 .设 单调递增， ， .
（1）验证 是以 为周期的余弦周期函数；
（2）设 ．证明对任意 ，存在 ，使得 ；
（3）证明：“ 为方程 在 上得解”的充要条件是“ 为方程
在 上有解”，并证明对任意 都有 .
【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析
第12页 | 共14页（3）若 为 在 上的解，则 ，且 ，
，即 为方程 在 上的解
第13页 | 共14页【考点定位】新定义问题
第14页 | 共14页
