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2015 年高考天津市文科数学真题
一、选择题
1．已知全集U ={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,3,5}，集合B ={1,3,4,6}，则集合A C B=（ ）
I U
A．{3} B．{2,5} C．{1,4,6} D．{2,3,5}
ì x- 2£0
ï
ï
2．设变量x,y满足约束条件í x- 2y£0 ，则目标函数的最大值为z =3x+y（ ）
ï
ïî x+2y- 8£0
A．7 B．8 C．9 D．14
3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．设xÎ R，则“10,b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x- 2)2 +y2 =3相
a2 b2
切，则双曲线的方程为（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 y2
A． - =1 B． - =1 C． - y2 =1 D．x2 - =1
9 13 13 9 3 3
6．如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，
CN=3，则线段NE的长为（ ）
第1页 | 共12页8 10 5
A． B．3 C． D．
3 3 2
7．已知定义在R上的函数 f(x)=2|x-m| -1(m为实数)为偶函数，
记a= f(log 3), b= f(log 5),c= f(2m)，则a,b,c,的大小关系为（ ）
0.5 2
A．a2
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
1-2i
9．i是虚数单位，计算 的结果为 ．
2+i
10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 ．
11．已知函数 f x=axlnx,xÎ0,+¥ ，其中a为实数， f¢x为 f x的导函数，若 f¢1=3 ，则
a的值为 ．
12．已知a > 0,b > 0,ab =8, 则当a的值为 时log a×log 2b取得最大值。
2 2
13．在等腰梯形ABCD中，已知AB DC ，AB=2,Bc=1,ÐABC =60o, 点E和点F分别在线段BC和
P
uuur 2uuur uuur 1uuur uuur uuur
CD上，且BE = BC,DF = DC, 则AE×AF 的值为 ．
3 6
第2页 | 共12页14．已知函数 f x=sinwx+coswxw>0,xÎR, 若函数 f x在区间-w,w内单调递增，且函数
f x的图像关于直线x=w对称，则w的值为 ．
三、解答题
15．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽
取6名运动员参加比赛。
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A,A ,A ,A ,A ,A ，从这6名运动员中随机抽取2名
1 2 3 4 5 6
参加双打比赛。
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A为事件“编号为A ,A 的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A发生的概率。
5 6
16 ． △ABC 中 ， 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知 △ABC 的 面 积 为 3 15，
1
b-c=2,cosA=- ,
4
（Ⅰ）求a和sinC的值；
æ pö
（Ⅱ）求cos
ç
2A+
÷
的值。
è 6 ø
17．如图，已知AA ^平面ABC，BB AA, AB=AC=3，BC =2 5,AA = 7,，BB =2 7, 点E，F
1 1P 1 1 1
分别是BC，AC 的中点，
1
（Ⅰ）求证：EF 平面ABBA ；（Ⅱ）求证：平面AEA ^平面BCB 。
P 1 1 1 1
（Ⅲ）求直线AB 与平面BCB 所成角的大小。
1 1 1
第3页 | 共12页18．已知{a }是各项均为正数的等比数列，{b }是等差数列，且a =b =1,b +b =2a ,
n n 1 1 2 3 3
a - 3b =7.
5 2
（Ⅰ）求{a }和{b }的通项公式；
n n
（Ⅱ）设c =a b ,nÎ N*,求数列{c }的前n项和.
n n n n
x2 y2 5
19．已知椭圆 + =1(a >b>0)的上顶点为B，左焦点为F,离心率为 .
a2 b2 5
（Ⅰ）求直线BF的斜率；
（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），故点B且垂直于BF的直线与椭圆交于点Q（Q异于点
B）直线PQ与x轴交于点M，|PM|=l|MQ|.
（i）求l 的值；
7 5
（ii）若|PM|sinÐBQP= ，求椭圆的方程.
9
20．已知函数 f(x)=4x- x4,xÎ R,其中nÎ N*，且n³ 2.
（Ⅰ）求 f (x)的单调区间；
（Ⅱ）设曲线y = f (x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y = g(x)，求证：对于任意
的实数x，都有 f (x)£ g(x);
第4页 | 共12页a 1
（Ⅲ）若方程 f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x，x，且x 2时， f 2-x=2- 2-x =4-x，
方程 f x-gx=x-22 +x-7= x2 -3x-3大于2的零点有一个
选A
二、填空题
9．答案：-i
解析过程：
1-2i -i2 -2i -ii+2
= = =-i
2+i 2+i 2+i
8
10．答案： p
3
解析过程：
该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成,
1 8π
所以该几何体的体积为2´ ´π´1+π´2= (m3)
3 3
11．答案：3
解析过程：
因为 f¢x=a1+lnx ,所以 f¢1=a =3.
12．答案：4
第6页 | 共12页解析过程：
ælog a+log 2bö
log a×log 2b£ç 2 2 ÷
2 2 2
è ø
1 1
= log 2ab2 = log 162 =4
4 2 4 2
当a=2b时取等号,结合a >0,b>0,ab=8,
可得a =4,b=2.
29
13．答案：
18
解析过程：
在等腰梯形ABCD中,由AB DC,AB=2,BC =1,ÐABC =60o,
P
uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1uuur
得AD×BC = ,AB×AD=1,DC = AB ,
2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以AE×AF = AB+BE × AD+DF
æuuur 2uuurö æuuur 1 uuurö
= AB+ BC × AD+ AB
ç ÷ ç ÷
è 3 ø è 12 ø
uuur uuur 2uuur uuur 1 uuur2 1 uuur uuur
= AB×AD+ BC×AD+ AB + BC×AB
3 12 18
1 1 1 29
=1+ + - =
3 3 18 18
p
14．答案：
2
解析过程：
由 f x在区间-w,w内单调递增,且 f x的图像关于直线x=w对称,
π æ πö
可得2w£ ,且 f w=sinw2 +cosw2 = 2 Þsin
ç
w2 +
÷
=1,
w è 4ø
π π π
所以w2 + = Þw= .
4 2 2
15．答案：见解析
解析过程：
（I）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2；
（II）（i）从 这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为
A,A
,
A,A
,
A,A
,
A,A
,
A,A
,
1 2 1 3 1 4 1 5 1 6
第7页 | 共12页A ,A , A ,A , A ,A , A ,A , A ,A ,
2 3 2 4 2 5 2 6 3 4
A ,A , A ,A , A ,A , A ,A , A ,A ,共15种.
3 5 3 6 4 5 4 6 5 6
（ii）编号为A ,A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为
5 6
A,A , A,A , A ,A , A ,A , A ,A ,
1 5 1 6 2 5 2 6 3 5
A ,A , A ,A , A ,A , A ,A ,共9种,
3 6 4 5 4 6 5 6
9 3
所以事件A发生的概率PA= = .
15 5
16 ． △ABC 中 ， 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知 △ABC 的 面 积 为 3 15，
1
b-c=2,cosA=- ,
4
（Ⅰ）求a和sinC的值；
æ pö
（Ⅱ）求cos
ç
2A+
÷
的值。
è 6 ø
答案：见解析
解析过程：
1 15
（Ⅰ）DABC中，由cosA=- ，得sinA= ，
4 4
1
由 bcsinA=3 15，得bc=24，
2
又由b-c=2，解得b=6,c=4。
由a2 =b2 +c2 -2bccosA，可得a=8.
a c 15
由 = ，得sinC =
sinA sinC 8
p p p
（Ⅱ）cos(2A+ )=cos2Acos -sin2Asin
6 6 6
3 15-7 3
= (2cos2 A-1)-sinAcosA =
2 16
17．答案：见解析
解析过程：
（I）证明：如图,连接AB,
1
第8页 | 共12页在△ABC中,因为E和F分别是BC,AC 的中点,
1 1
所以EF BA ,又因为EFË 平面ABBA,
P 1 1 1
所以EF 平面ABBA.
P 1 1
（II）因 为AB=AC,E为BC中点,所以AE ^ BC,
因为AA ^平面ABC,BB AA,
1 1P 1
所以BB ^平面ABC,从而BB ^ AE ,
1 1
又BC BB = B ,所以AE ^平面BCB ,
I 1 1
又因为AE Ì平面AEA ,所以平面AEA ^平面BCB .
1 1 1
（Ⅲ）取BB 中点M 和BC中点N ，连接AM ，AN ，
1 1 1 1
因为N 和E分别为BC，BC中点，
1
1
所以NE//BB ，NE = BB ，
1 2 1
故NE//AA ，NE = AA，
1 1
所以AN //AE，AN = AE，
1 1
又因为AE ^平面BCB ，所以AN ^平面BCB ，
1 1 1
从而ÐABN 就是直线AB 与平面BCB 所成角，
1 1 1 1 1
在DABC中，可得AE =2，所以AN = AE =2，
1
因为BM //AA ，BM = AA，所以AM //AB，AM = AB，
1 1 1 1
第9页 | 共12页又由AB^ BB ，有AM ^ BB ，
1 1 1
在RtDAMB 中，可得AB =4，
1 1 1 1
AN 1
在RtDANB 中，sinÐABN = 1 = ，
1 1 1 1 AB 2
1
因此ÐABN =300，所以，直线AB 与平面BCB 所成角为300.
1 1 1 1 1
18．答案：见解析
解析过程：
（I）设{a }的公比为q, {b }的公差为d,
n n
ì2q2 -3d =2,
由题意q>0 ,由已知,有í
îq4 -3d =10,
消去d得q4 -2q2 -8=0, 解得q=2,d =2 ,
所以{a }的通项公式为a =2n-1,nÎN*,
n n
{b }的通项公式为b =2n-1,nÎN*.
n n
（II）由（I）有c =2n-12n-1 ,设{c }的前n项和为S ,
n n n
则S
n
=1´20 +3´21+5´22 +
L
+2n-1´2n-1,
2S =1´21+3´22 +5´23 + +2n-1´2n,
n L
两式相减得-S =1+22 +23 + +2n -2n-1´2n =-2n-3´2n -3,
n L
所以S =2n-32n +3 .
n
19．答案：见解析
解析过程：
c 5
（I）F-c,0 ,由已知 = 及a2 =b2 +c2,
a 5
可得a= 5c,b=2c ,又因为B0,b ,
b-0 b
故直线BF的斜率k = = =2 .
0--c c
（II）设点Px ,y ,Q x ,y ,M x ,y ,
P P Q Q M M
第10页 | 共12页x2 y2
（i）由（I）可得椭圆方程为 + =1,
5c2 4c2
直线BF的方程为y =2x+2c ,
5c
两方程联立消去y得3x2 +5cx=0, 解得x =- .
P 3
1
因为BQ^ BP,所以直线BQ方程为y =- x+2c ,
2
与椭圆方程联立消去y得21x2 -40cx=0 ,
40c PM
解得x = .又因为l= ,
Q 21 MQ
x -x x 7
及x =0 得l= M P = P = .
M x -x x 8
Q M Q
PM 7
（ii）由（i）得 = ,
MQ 8
PM 7 7 15
所以 = = ,即 PQ = PM ,
PM + MQ 7+8 15 7
7 5
又因为|PM|sinÐBQP= ,
9
15 5 5
所以 BP =|PQ|sinÐBQP= |PM|sinÐBQP= .
7 3
4
又因为y =2x +2c=- c,
P P 3
2 2
æ 5cö æ 4cö 5 5
所以 BP =
ç
0+
÷
+
ç
2c+
÷
= c,
è 3 ø è 3 ø 3
5 5 5 5 x2 y2
因此 c= ,c=1, 所以椭圆方程为 + =1.
3 3 5 4
20．答案：见解析
解析过程：
（I）由 f(x)=4x- x4,可得 f¢(x)=4- 4x3,
当 f¢x>0 ,即x<1 时,函数 f x 单调递增；
当 f¢x<0 ,即x>1 时,函数 f x 单调递减.
第11页 | 共12页所以函数 f x 的单调递增区间是-¥,1 ,单调递减区间是1,+¥ .
1
（II）设Px ,0 ,则x =43 , f¢x =-12,
0 0 0
曲线y = f x 在点P处的切线方程为y = f¢x x-x ,
0 0
即gx= f¢x x-x ,令Fx= f x-gx
0 0
即Fx= f x- f¢xx-x 则F¢x= f¢x- f¢x .
0 0
由于 f(x)=4- 4x3在-¥,+¥ 单调递减,
故F¢x在-¥,+¥ 单调递减,又因为F¢x =0,
0
所以当xÎ-¥,x 时,F¢x>0,当xÎx ,+¥时,F¢x<0,
0 0
所以Fx在-¥,x 单调递增,在x ,+¥单调递减,
0 0
所以对任意的实数x,Fx£ Fx =0
,
0
对于任意的正实数x,都有 f(x)£ g(x).
1
（Ⅲ）由（II）知g(x)=-12(x-43)，
a 1
设方程gx=a的根为x ¢，可得x ¢ =- +43，
2 2 12
因为gx在-¥,+¥单调递减，
又由（II）知g(x )³ f(x )=a = g(x ¢)，所以x £ x ¢。
2 2 2 2 2
类似的，设曲线y = f x在原点处的切线为y =h(x)，可得hx=4x，
对任意的xÎ-¥,+¥，有 f x-hx=-x4 £0即 f x£hx。
a
设方程hx=a的根为x¢，可得x¢ = ，
1 1 4
因为hx=4x在-¥,+¥单调递增，且h x¢ =a = f x £hx ，
1 1 1
a 1
因此，x¢ £ x ，所以x -x £ x ¢-x¢ =- +43
1 1 2 1 2 1 3
第12页 | 共12页
