2015年高考数学试卷（理）（天津）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2015·高考数学真题

2015 年高考天津市理科数学真题
一、选择题
1．已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合A C B=（ ）
I U
A．2,5 B．3,6 C．2,5,6 D．2,3,5,6,8
ìx+2³0.
ï
2．设变量x,y满足约束条件íx- y+3³0. 则目标函数z = x+6y的最大值为（ ）
ï
2x+ y-3£0.
î
A．3 B．4 C．18 D．40
3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）
A．-10 B．6 C．14 D．18
4．设xÎR，则“|x-2|＜1”是“x2 +x-2＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如图，在圆O中， M，N是弦 AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点
M，N，若CM =2，MD=4，CN =3，则线段NE的长为（ ）
8 10 5
A． B．3 C． D．
3 3 2
x2 y2
6．已知双曲线 - =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，3），且双曲线的一个焦点在抛物线
a2 b2
y2 =4 7x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A． - =1 B． - =1 C． - =1 D． - =1
21 28 28 21 3 4 4 3
7．已知定义在R上的函数 f(x)=2x-m -1（m为实数）为偶函数，记a = f(log 3)，b= f(log 5)，
0.5 2
c= f(2m)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
第1页 | 共17页ì2-|x|，x£2，
8．已知函数 f(x)=í 函数g(x)=b- f(2-x)，其中bÎR，若函数y = f(x)-g(x)恰有
（
î
x-2）2，x＞2，
4个零点，则b的取值范围是（ ）
7 7 7 7
A．( ，+¥) B．(-¥，) C．(0，) D．( ，2)
4 4 4 4
二、填空题
(1-2i)(a+i)
9．i是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数a的
值为 ．
10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的
体积为 m3．
11．曲线 y = x2与直线 y = x所围成的封闭图形的面积
为 ．
1
12．在(x- )6的展开式中，x2的系数为 ．
4x
13 ． 在 DABC中 ， 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c. 已 知 DABC的 面 积 为 3 15，
1
b-c=2,cosA=- ，则a的值为 ．
4
14．在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC,AB=2,BC =1,ÐABC =60°。动点E和F 分别在线段BC和
uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur
DC 上，且BE =lBC,DF = DC，则AE×AF 的最小值为 ．
9l
三、解答题
p
15．已知函数 f(x)=sin2 x-sin2(x- )，xÎR．
6
（Ⅰ）求 f(x)的最小正周期；
é p pù
（Ⅱ）求 f(x)在区间 - ， 内的最大值和最小值．
ê ú
ë 3 4û
第2页 | 共17页16．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员3
名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名。从这8名运动员中随机选择4人参
加比赛。
（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A
发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．如图，在四棱柱 ABCD-ABC D 中，侧棱 AA^底面
1 1 1 1 1
ABCD，AB^ AC，AB =1，AC = AA =2，AD=CD= 5，
1
且点M 和N 分别为BC和DD的中点．
1 1
（Ⅰ）求证：MN 平面ABCD；
P
（Ⅱ）求二面角D -AC-B 的正弦值；
1 1
1
（Ⅲ）设E 为棱AB 上的点。若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为 ，求线段AE的长。
1 1 3 1
18．已知数列a 满足a =qa （q为实数，且q ¹1），nÎN*，a =1，a =2，且a +a ，a +a ，
n n+2 n 1 2 2 1 3 4
a +a 成等差数列。
4 5
（Ⅰ）求q的值和 a 的通项公式；
n
log a
（Ⅱ）设b = 2 2n ，nÎN*，求数列b 的前n项和．
n a n
2n-1
第3页 | 共17页x2 y2 3
19．已知椭圆 + =1(a＞b＞0)的左焦点为F(-c,0)，离心率为 ，点M 在椭圆上且位于第一象限，
a2 b2 3
b2 4 3
直线FM 被圆x2 + y2 = 截得的线段的长为c，|FM |= ．
4 3
（Ⅰ）求直线FM 的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于 2 ，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围。
20．已知函数 f(x)=nx-xn,xÎR,其中nÎN*，且n³2.
（Ⅰ）讨论 f(x)的单调性；
（Ⅱ）设曲线y = f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y = g(x)，
求证：对于任意的正实数x，都有 f(x)£ g(x)；
a
（Ⅲ）若关于x的方程 f(x)=a（a为实数）有两个正实数根x，x ，求证： x -x < +2．
1 2 2 1 1-n
第4页 | 共17页2015 年高考天津市理科数学真题答案
一、选择题
1．答案：A
解析过程：
ð B ={2,5,8},所以A ð B ={2,5}，选A
U I U
2．答案：C
解析过程：
ìx+2³0.
ï
不等式íx- y+3³0. 所表示的平面区域如下图所示，
ï
2x+ y-3£0.
î
当z = x+6y所表示直线经过点B(0,3)时，z有最大值18，选C
3．答案：B
解析过程：
输入S =20,i =1；
i =2´1,S =20-2=18,2>5不成立；
i =2´2=4,S =18-4=14,4>5不成立
i =2´4=8,S =14-8=6,8>5成立
输出6,选B
4．答案：A
解析过程：
|x-2|＜1Û -1＜x-2＜1Û1＜x＜3，x2 +x-2＞0Û x＜-2或x＞1
第5页 | 共17页所以“|x-2|＜1”是“x2 +x-2＞0”的充分不必要条件，选A
5．答案：A
解析过程：
由相交弦定理可知，
AM ×MB =CM ×MD,CN ×NE = AN ×NB，
又因为M,N 是弦AB的三等分点，
所以AM ×MB = AN ×NB\CN ×NE =CM ×MD，
CM ×MD 2´4 8
所以NE = = = ，选A
CN 3 3
6．答案：D
解析过程：
x2 y2 b
双曲线 - =1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y =± x，
a2 b2 a
b 3
由点(2，3)在渐近线上，所以 = ，
a 2
双曲线的一个焦点在抛物线y2 =4 7x准线方程x=- 7 上，
所以c= 7，由此可解得a =2,b= 3，
x2 y2
所以双曲线方程为 - =1，选D
4 3
7．答案：C
解析过程：
因为函数 f x=2x-m -1为偶函数，所以m=0，即 f x=2x -1，
1
æ 1ö log
所以a = f(log 3)= f ç log ÷ =2 23 -1=2log 2 3-1=3-1=2,
0.5 è 2 3ø
b= f log 5=2log 2 5 -1=4,c = f 2m= f(0)=20 -1=0
2
所以c<a<b，选C
8．答案：D
解析过程：
第6页 | 共17页ì ï 2- x , x £2, ìï2- 2-x ,x ³0
由 f x= í 得 f(2-x)= í ，
ïî x-22 , x >2, ïîx2, x<0
ì2- x + x2, x<0
ï
所以 y = f(x)+ f(2-x)= í4- x - 2-x , 0£ x £2，
ï
2- 2-x +(x-2)2,x >2
î
ìx2 +x+2, x<0
ï
即y = f(x)+ f(2-x)=í2, 0£ x£2
ï
x2 -5x+8,x>2
î
y = f(x)-g(x)= f(x)+ f(2-x)-b,
所以y = f x-gx恰有4个零点等价于方程
f(x)+ f(2-x)-b=0有4个不同的解，
即函数 y =b与函数 y = f(x)+ f(2-x)的图象的4个公共点，
7
由图象可知 <b<2.选D
4
二、填空题
9．答案：-2
解析过程：
1-2ia+i=a+2+1-2ai是纯虚数，
所以a+2=0，即a = -2
8
10．答案： p
3
解析过程：
第7页 | 共17页由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，
高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，
1 8
所以该几何体的体积V =12´p´2+2´ ´12´p´1= p.
3 3
1
11．答案：
6
解析过程：
两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，
所以它们所围成的封闭图形的面积
S =ò 1 x-x2 dx=( 1 x2 - 1 x3) 1 = 1 .
0 2 3 0 6
12．答案：
15
16
解析过程：
1
(x- )6展开式的通项为
4x
1 1
T =Crx6-r(- )r =(- )rCrx6-2r，
r+1 6 4x 4 6
由6-2r =2得r=2，
1 15 15
所以T =(- )2C2x2 = x2，所以该项系数为
3 4 6 16 16
13．答案：8
解析过程：
15
因为0< A<p，所以sinA= 1-cos2 A = ，
4
1 15
又S = bcsinA= bc =3 15,\bc =24，
DABC 2 8
ìb-c =2
解方程组í 得b=6,c =4，由余弦定理得
îbc =24
1
a2 =b2 +c2 -2bccosA=62 +42 -2´6´4´(- )=64，
4
所以a =8.
第8页 | 共17页29
14．答案：
18
解析过程：
uuur 1 uuur uuur 1uuur
因为DF = DC, DC = AB，
9l 2
uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1-9luuur 1-9luuur
CF = DF -DC = DC-DC = DC = AB，
9l 9l 18l
uuur uuur uuur uuur uuur
AE = AB+BE = AB+lBC，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1-9luuur 1+9luuur uuur
AF = AB+BC+CF = AB+BC+ AB = AB+BC，
18l 18l
uuur uuur uuur uuur 1+9luuur uuur
AE×AF = AB+lBC ×( AB+BC)
18l
1+9luuur2 uuur2 1+9l uuur uuur
= AB +lBC +(1+l )AB×BC
18l 18l
1+9l 19+9l
= ´4+l+ ´2´1´cos120°
18l 18l
2 1 17 2 1 17 29
= + l+ ³2 × l+ =
9l 2 18 9l 2 18 18
三、解答题
3 1
15．答案：（Ⅰ）p；（Ⅱ）最大值 ，最小值-
4 2
解析过程：
（Ⅰ）解：由题意得
p
1-cos(2x- )
1-cos2x 3
f(x)= -
2 2
1 1 3 1
= ( cos2x+ sin2x)- cos2x
2 2 2 2
3 1 1 p
= sin2x- cos2x= sin(2x- )
4 4 2 6
2p
所以， f(x)的最小正周期T = =p
2
é p pù
（Ⅱ）解：因为 f(x)在区间 - ,- 上是减函数，
ê ú
ë 3 6û
第9页 | 共17页é p pù
在区间 - , 上是增函数，
ê ú
ë 6 4û
p 1 p 1 p 3
f(- )=- ， f(- )=- ， f( )= .
3 4 6 2 4 4
é p pù 3 1
所以， f(x)在区间 - , 上的最大值为 ，最小值为- .
ê ú 21
ë 3 4û 4 2
6
16．答案：（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析
35
解析过程：
C2C2 +C2C2 6
（Ⅰ）解：由题意得P(A)= 2 3 3 3 =
C4 35
8
6
所以，事件A发生的概率为 .
35
（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
CkC4-k
P(X =k)= 5 3 (k =1,2,3,4).
C4
8
所以，随见变量X 的分布列为
X 1 2 3 4
1 3 3 1
P
14 7 7 14
1 3 3 1 5
随机变量X 的数学期望EX=1´ +2´ +3´ +4´ =
14 7 7 14 2
17．答案：
见解析
解析过程：
如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
第10页 | 共17页依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0), C(2,0,0),D(1,-2,0),
A(0,0,2),B (0,1,2), C (2,0,2), D(1,-2,2).
1 1 1
1
又因为M,N分别为BC和DD的中点，得M(1, ,1),N(1,-2,1).
1 1 2
r
（Ⅰ）证明：依题意，可得n =(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.
5 uuuur
MN =(0,- ,0).由此可得MN×n r =0，
2
又因为直线MN Ë平面ABCD，所以MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）解：AD =(1,-2,2)，AC =(2,0,0)．
1
r
设n =(x,y,z)为平面ACD 的法向量，则
1 1
uuuur
ì ïn r
1g
AD
1
=0, ìx-2y+2z =0,
í 即í
uuur
ïî n r 1g AC =0, î2x=0.
r
不妨设z =1，可得n =(0,1,1).．
1
uuur
设n =(x,y,z)为平面ACB 的法向量，则 ì ï í n r 1g AB 1 =0,
2 1 r uuur
ïî n 1g AC =0,
uuur
ìy+2z =0,
又AB =(0,1,2)，得í
1 î2x=0.
r
不妨设z =1，可得n =(0,-2,1)．
2
r r
因此有cos n,n = n 1g n 2 =- 10 ，于是sin n r ,n r = 3 10 ．
1 2 n r 1g n r 2 10 1 2 10
第11页 | 共17页3 10
所以，二面角D -AC-B 的正弦值为 。
1 1
10
uuur uuuur
（Ⅲ）解：依题意，可设AE
=lAB,，其中lÎ0,1
，
1 1 1
uuur
则E0,l,2 ，从而NE =-1,l+2,1．
又n=0,0,1 为平面ABCD的一个法向量，
uuur
由已知，得cos u N u E ur ,n r = u N uu E r g n r = 1 = 1 ，
NE n r (-1)2 +(l+2)2 +12 3
g
整理得l2
+4l-3=0，又因为lÎ0,1
，解得l= 7-2．
所以，线段AE的长为 7 -2．
1
18．答案：
见解析
解析过程：
（Ⅰ）解：由已知，有a +a -a +a =a +a -a +a ，
3 4 2 3 4 5 3 4
即a -a =a -a ，所以a q-1=a q-1．
4 2 5 3 2 3
又因为q ¹1，故a =a =2，由a =a q，得q=2．
3 2 3 1g
n-1
当n=2k-1(kÎN*)时，a =a =2k-1 =2 2 ；
n 2k-1
n
当n=2k(kÎN*)时，a =a =2k =22．
n 2k
ì n-1
ï2 2 ,n为奇数，
所以，a 的通项公式为a =í
n n n
ï
î22，n为偶数.
第12页 | 共17页log a n
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得b = 2 2n = .设b 的前n项和为S ，
n a 2n-1 n n
2n-1
1 1 1 1 1
则S =1´ +2´ +3´ +...+n-1´ +n´ ，
n 20 21 22 2n-2 2n-1
1 1 1 1 1 1
S =1´ +2´ +3´ +...+n-1´ +n´
2 n 21 22 23 2n-1 2n ，
上述两式相减，得
1
1-
1 1 1 1 n 2n n 2 n
S =1+ + +... - = - =2- -
2 n 2 22 2n-1 2n 1 2n 2n 2n
1-
2
n+2
整理得，S =4- .
n 2n-1
n+2
所以，数列b 的前n项和为4- ，nÎN*．
n 2n-1
19．答案：
3 x2 y2 2 3 2 2 3
（Ⅰ） ；（Ⅱ） + =1；（Ⅲ）(-¥，- ) ( ， )
U
3 3 2 3 3 3
解析过程：
c2 1
（Ⅰ）解：由已知有 = ，又由a2 =b2+c2，可得a2 =3c2,b2 =2c2.
a2 3
设直线FM 的斜率为k(k 0)，则直线FM 的方程为y =k(x+c)．
f
kc c b 3
由已知，有( )2+( )2 =( )2，解得k = ．
k2 +1 2 2 3
x2 y2
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得椭圆方程为 + =1，
3c2 2c2
3
直线FM 的方程为y = x+c，
3
两个方程联立，消去y，整理得3x2 +2cx-5c2 =0，
5
解得x=- c，或x=c.
3
第13页 | 共17页2 3 2 3 4 3
因为点M在第一象限，可得M的坐标为(c, c).有 FM = (c+c)2 +( c-0)2 = ，
3 3 3
x2 y2
解得c=1，所以椭圆的方程为 + =1.
3 2
（Ⅲ）解：设点P的坐标为x,y，直线FP的斜率为t，
y
得t = ，即y =tx+1 x¹-1，
x+1
ìy =t(x+1),
ï
与椭圆方程联立íx2 y2 消去 y，
+ =1,
ï
î 3 2
整理得2x2 +3t2(x+1)2 =6．
6-2x2
又由已知，得t = > 2 ，
3(x+1)2
3
解得- < x<-1，或-1< x<0．
2
y
设直线OP的斜率为m，得m= ，即y =mx(x¹0)，
x
2 2
与椭圆方程联立，整理可得m2 = - .
x2 3
æ 3 ö
①当xÎ - ,-1 时，有y =t(x+1)<0，
ç ÷
è 2 ø
2 2 2 2 3
因此m>0，于是m= - ，得mÎ( , ).
x2 3 3 3
②当xÎ-1,0时，有y =t(x+1)>0，
2 2 2 3
因此m<0，于是m=- - ，得mÎ(-¥,- ).
x2 3 3
第14页 | 共17页2 3 2 2 3
综上，直线OP的斜率的取值范围是(-¥,- ) ( , ).
U
3 3 3
20．答案：见解析
解析过程：
（Ⅰ）解：由 f(x)=nx-xn，
可得 f¢(x)=n-nxn-1=n  1-xn-1 ，
其中nÎN*，且n³2.
下面分两种情况讨论：
（1）当n为奇数时.
令 f¢(x)=0，解得x=1，或x=-1.
当x变化时， f¢(x)， f(x)的变化情况如下表：
x (-¥,-1) (-1,1) (1,+¥)
f¢(x) - + -
f(x) ↘ ↗ ↘
所以， f(x)在 -¥,-1 ， 1,+¥ 上单调递减，在 -1,1 内单调递增。
（2）当n为偶数时.
当 f '(x)>0，即x<1时，函数 f(x)单调递增；
当 f '(x)<0，即x>1时，函数 f(x)单调递减.
所以， f(x)在 -¥,1 上单调递增，在 1,+¥ 上单调递减.
（Ⅱ）证明：设点P的坐标为x ,0，
0
第15页 | 共17页1
则x = ， f¢(x )=n-n2.
0 nn-1 0
曲线y = f(x)在点P处的切线方程为y = f¢(x )x-x ，
0 0
即g(x)= f¢(x )(x-x )，
0 0
令F(x)= f(x)-gx，即F(x)= f(x) -f¢(x )(x-x )，
0 0
则F¢(x)= f¢(x) -f¢(x )．
0
由于 f¢(x)=-nxn-1+n在 0,+¥ 上单调递减，
故F¢(x)在 0,+¥ 上单调递减，
又因为F¢(x )=0，
0
所以当xÎ0,x  时，F¢(x)>0，当xÎx ,+¥ 时，F¢(x)<0，
0 0
所以F(x)在 0,x  内单调递增，在 x ,+¥ 上单调递减，
0 0
所以对于任意的正实数x，都有F(x)£ F(x )=0，
0
即对于任意的正实数x，都有 f(x) £ gx ．
（Ⅲ）证明：不妨设x £ x ．
1 2
由（Ⅱ）知gx=  n-n2x-x ，
0
a
设方程gx=a的根为x '，可得x ' = +x ，
2 2 n-n2 0
当n³2时，在 -¥,+¥ 上单调递减．
又由（Ⅱ）知gx ³ f x =a= g  x ' ，可得x £ x '．
2 2 2 1 2
第16页 | 共17页类似地，设曲线y = f x 在原点处的切线方程为y =hx ，
可得hx=nx，
当xÎ0,+¥ ， f x-hx=-xn <0，
即对于任意的xÎ0,+¥ ， f x<hx ．
a
设方程hx =a的根为x'，可得x' = ．
1 1 n
因为hx =nx在 -¥,+¥ 上单调递增，
且h  x' =a = f x <hx ，因此x' < x ．
1 1 1 1 1
a
由此可得x -x < x '-x' = +x ．
2 1 2 1 1-n 0
因为n³2，所以2n-1 =1+1n-1 ³1+C1 =1+n-1=n，
n-1
1 a
故2³ = x .所以， x -x < +2．
nn-1 0 2 1 1-n
第17页 | 共17页