文档内容
10.3 平面向量的应用（精讲）（提升版）
考点呈现
例题剖析
考点一 在几何中的运用
【例1-1】（2022·四川省峨眉）若平面四边形ABCD满足： ， ，则该四边
形一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【解析】 ， ,所以四边形ABCD为平行四边形，
, ，所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.故选：B
【例1-2】（2022·上海）在 中， ， 分别为边 上的点，且
．求证： ．
【答案】证明见解析.
【解析】因为 ， ．由 且 ，得 ，
所以 .
【例1-3】（2022·全国·模拟预测）已知H为 的垂心，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意， ，同理 ．
由H为 ABC的垂心，得 ，即 ，
△
可知 ，即 ．同理有 ，
即 ，可知 ，即 ，解得 ，
，又 ，所以 ．故选：C．
【例1-4】（2022·云南）已知 的面积为 ， ， ，则AC边的中线的长为
（ ）A． B．3 C． D．4
【答案】C
【解析】根据正弦定理由 ，
因为 ，所以 ，或 ，
当 时， ,不符合三角形内角和定理，
当 时， ，因此 ,
因此 ，因为 的面积为 ，
所以有 ，负值舍去，即 ，
由余弦定理可知： ，
设 边的中点为 ，所以有 ，因此
故选：C
【一隅三反】
1．（2022·云南师大附中） 中， ，∠A的平分线AD交边BC于D，已知 ，且
，则AD的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】如图，过 作 交 于 ，作 交 于 ，则 ，又
，
所以 ， ，所以 ，即 ，
又 是 的平分线，所以 ，而 ，所以 ，，
，所以 ，故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ，点 满足 ，若 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取 中点O，连接 ，
，即 ， M为BC边上靠近C的三等分点，
，
， ， ，
又 ， ， .
故选：C.
3．（2022·河南·南阳中学）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时， 与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，设 与 的夹角为 ， ，所以 ，
因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以 ， ，
又因为 ，所以
，
因为 ，所以 ，所以当 时 最大，此时 ， 最大的值为 .
故选：A.
考点二 三角形的四心
【例2-1】（2022·全国·高三专题练习（文））数学家欧拉于 年在他的著作《三角形的几何学》中首
次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的
一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点 分别为任意 的外心､重心､垂心，则下列各式一定
正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】
依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， ，
， ，A错误，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
【例2-2】（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知点 在 所在的平面内，则下列命题正确的是
（ ）
A．若 为 的垂心， ，则
B．若 为边长为2的正三角形，则 的最小值为-1
C．若 为锐角三角形且外心为 ， 且 ，则
D．若 ，则动点 的轨迹经过 的外心
【答案】ACD
【解析】A：如下图， ，则 为垂心，易知： ，所以 ，则 ，
根据向量数量积的几何意义知： ，同理 ，
所以 ，正确；
B：构建以 中点 为原点的直角坐标系，则 ，若 ，
所以 ， ，
由 ，则 ，
当 时 的最小值为 ，错误；
C：由题设 ，则 ，
所以 ，若 为 中点，则 ，
故 ，故 共线，又 ，即 垂直平分 ，
所以 ，正确；D：由题设， ，
则 ，
所以 ，若 为 中点，则 ，
故 ，所以 的轨迹经过 的外心，正确.
故选：ACD
【一隅三反】
1．（2022农安月考） 为平面上的一定点， 是平面上不共线的三个动点，动点 满足
，则 的轨迹一定过 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
【答案】D
【解析】因为 为 方向上的单位向量， 为 方向上的单位向量，则 + 的方向为∠BAC的平分线 的方向.
又λ∈(0，＋∞)，所以λ( + )的方向与 + 的方向相同.
而 ，
所以点P在 上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
故选：D
2．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知 是平面内一点， ， ， 是平面内不共线的
三点，若 ， 一定是 的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】C
【解析】由题意知， 中， ，则 ，即 ，
所以 ，即 ，同理， ， ；所以 是 的垂心.故选：C
3．（2022·全国·）平面内 及一点 满足 ，则点 是 的
（ ）
A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心
【答案】B
【解析】由 知， ，
即 ，即 ，则 是 的角平分线，同理 ，即 ，则 是 的角平分线，
则点 是 的内心.
故选:B.
4．（2023·全国·高三专题练习）（多选）对于给定的 ，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为
Q，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若A、P、Q三点共线，则存在实数 使
【答案】BCD
【解析】对于A：给定的 ，其外心为 ，所以 ，故A
不正确；
对于B：因为 为给定的 的垂心，故 ，
即 ,
解得： ,故B正确；
对于C：因为重心为G，则有 ， ，所以
，故C正确；
对于D：由于点 在 的平分线上， 为单位向量，所以 与 的平分线对应向量共线，所以存在实数 使 ，故D正确．故选：BCD．
考点三 三角形的面积比
【例3-1】（2022·天津五十七中模拟预测）若点M是 所在平面内一点，且满足： ．
则 与 的面积之比为________．
【答案】
【解析】因 ，则 ，即 ，
于是得点 在边 上，并且 ，有 ，
所以 与 的面积之比为 .
故答案为：
【例3-2】（2022·重庆）若 是 内部一点，且满足 ，则 与 的面积比为
_______.
【答案】
【解析】 取 的中点为 ，则
即 ，则点 为 的重心根据重心的性质可得，点 到 的距离是点 到 的距离的
则 故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·全国·课时练习）已知 为 内的一点，满足 ，则 与 的面
积之比为________．
【答案】【解析】分别取 的中点 ，连接 ，
， ，即 ，
， ， ；
又 为 中点， ， .
故答案为： .
2．（2022北京朝阳）已知 ， 为 所在平面内的两点，且满足 ，
，则 __________．
【答案】
【解析】
取 中点 ， 中点 ，连接 并延长，交 于 ，连接 并延长，交 于 ，
根据 ，有 ，∴ 为 中点，同理 也为 中点，即 与 重合，∵，∴ 的面积为平行四边形 面积的 ，又∵平行四边形
的面为 面积的 ，∴ ，故答案为 ．
3（2022·全国·课时练习）设 是 内部一点，且 ，则 与 的面积之比为
________________.
【答案】
【解析】设 为 的中点，如图所示，连接 ，则 .又 ，所以
，即 为 的中点，且 ，即 与 的面积之比为 .
4．（2022·江西 ）已知点 为 所在平面内一点，满足 ， ， ，
则 ______．
【答案】7
【解析】如图建立平面直角坐标系，设 ， ， ，由 ，所以 ，
所以 ， ，
由 ，所以 ，所以 ，又
所以 ，解得 或 ，因为 ，所以
故答案为：考点四 平面向量的综合运用
【例4-1】（2022·昌吉模拟）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇
面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧
CD上，则 的最小值是（ ）
A．－1 B．1 C．－3 D．3
【答案】C
【解析】以 为原点， 为 轴的正方形建立平面直角坐标系，则 ，设 ，
，
所以当 时， 取得最小值 .
故答案为：C
【例4-2】（2022·眉山模拟）下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧
视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水
平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知 ，
， ， .根据物理学知识得 ，则
（ ）A．28m B．20m C．31m D．22m
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ∽ ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
设 ， 分别为 的中点，
因为 ，
所以 ，所以 为 的中点，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
故答案为：D
【一隅三反】
1．（2022·湖北模拟）设A、B为圆 上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x – 4y – 15=0
上一动点，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】设C是AB中点，因为 ，所以 ，即C在以原点为圆心， 为
半径的圆上，
， ，
又 ，所以 ，所以 ．
故答案为：C．2．（2022·衡阳二模）设 分别是 的内角 的对边，已知
，设 是 边的中点，且 的面积为1，则
等于（ ）
A．2 B． C． D．-2
【答案】B
【解析】 ，
由正弦定理可得： ，整理可得： ，
由余弦定理可得： ， 由 ，可得： ，
又 的面积为1，即 ，
又故答案为：B
3．（2021·深圳模拟）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某
一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为 ， ，
， 均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，
的最大值为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
【答案】C
【解析】骑行过程中， 相对不动，只有 点绕 点作圆周运动．
如图，以 为 轴， 为坐标原点建立平面直角坐标系，
由题意 ， ， ，圆 方程为 ，设 ，
则 ， ，
，
易知当 时， 取得最大值36．
故答案为：C．
4．（2022·宜春模拟）设 、 分别是椭圆 的左右焦点，过 的直线l交椭圆
于A、B两点，且 ，该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 得： 所以
即： ，
则
， ，所以
①，设 ， ，代入①得： ，
，由椭圆的定义可得： ，
在三角形 中， ，
化简得： ，
设 ，则 得： ，
因为 ，所以 ，所以 ，又 ，则 ，
，
则在三角形 中， ，代入化简有： ，则
.
故答案为：D.
5．（2022·商洛模拟）设 ， 分别为双曲线 的左､右焦点，点A，B分别
在双曲线C的左､右支上，若 ，且 ，则双曲线C的渐近线斜率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为 ，所以 ，即 ，
由勾股定理得 .设 ，则 ，
{
|AF |−m=2a，
2
由双曲线定义及勾股定理得 6m−|BF |=2a， 即 25m2，
2
|AF |2+|BF |2=25m2
2 2
整理得 ，解得 或 ，
因为 ，即 ，解得 ，
从而 ，所以 ，
在 中，由cos ，
解得 ，所以 故答案为：C
