文档内容
押北京卷 10 题
空间几何体结构
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
棱长 2023·北京卷T9
可以预测 2024 年新高
空间几何体以客观题形式呈现，难度一般或较
考命题方向将继续以表
难，纵观近几年的新高考试题，分别考查棱锥
面积 2022·北京卷T9 面积体积问题与数学文 的体积问题，圆锥的母线长问题，球体的内切
化，生活生产等问题展
外接及表面积体积问题，棱台的体积问题。
开命题．
实际应用 2021·北京卷T8
1．（2023·北京卷T9）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出
建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面
是全等的等腰三角形．若 ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与
平面 的夹角的正切值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，过 做 平面 ，垂足为 ，过 分别做 ， ，垂足分别为 ，
，连接 ，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为 和 ，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，.
同理： ，又 ，故四边形 是矩形，
所以由 得 ，所以 ，所以 ，
所以在直角三角形 中，
在直角三角形 中， ， ，
又因为 ，
所有棱长之和为 ，故选C
2．（2022·北京卷T9）已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集合．
设集合 ，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设顶点 在底面上的投影为 ，连接 ，则 为三角形 的中心，
且 ，故 .
因为 ，故 ，
故 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
而三角形 内切圆的圆心为 ，半径为 ，
故 的轨迹圆在三角形 内部，故其面积为
故选：B3．（2021·北京卷T8）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面
上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位： ）．24h降雨量的等级划分如下：
等级 24h降雨量（精确到0.1）
…… ……
小雨 0.1~9.9
中雨 10.0~24.9
大雨 25.0~49.9
暴雨 50.0~99.9
…… ……
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过
程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】B
【解析】由题意，一个半径为 的圆面内的降雨充满一个底面半径为 ，
高为 的圆锥，所以积水厚度 ，属于中雨，故选B.1. 立体几何基础公式
1
V= sh
3
（1）所有椎体体积公式：
（2）所有柱体体积公式：
V=sh
4
V= πR3
3
（3）球体体积公式：
（4）球体表面积公式：
S=4πR2
V=sh,s =s +s =2πr2 +2πrh
（5）圆柱： 表 底 侧
1
V= sh,s =s +s =πr2 +πrl
3 表 底 侧
（6）圆锥：
2. 长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式
（1）已知长宽高求体对角线：
l2 =a2 +b2 +c2
l2 +l2 +l2
l2
=
1 2 3
（2）已知共点三面对角线求体对角线： 2
3. 棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ,外接球的半径为 .
4.求解几何体表面积的类型及方法
（1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面
体的表面积；
（2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清
它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系；
（3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的
柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积.
5.求空间几何体体积的常用方法
（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解；
（2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成
规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积；
（3）等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解
时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.
1．已知一个正六棱台的两底面边长分别为 ，高是 ，则该棱台的斜高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，正棱台侧面为上下底边长分别为 的等腰梯形，
所以棱台的斜高为 .
故选：C
2．将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，
正方体的体对角线长为
所以，此时圆柱的底面半径为 ，高为 ，
所以该圆柱体积的最小值为 .
故选：B.
3．如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，
抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模
型，已知 ，直线 与圆锥底面所成角的余弦值为 ，则该圆锥的侧面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意直线 与圆锥底面所成角为 ，
则 ，得 ( )，
所以该圆锥的侧面积为 ( )．
故选：C．
4． 中， ，则将 以 为轴旋转一周所形成的几何体的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
过点 作 于点 ，
则将 以 为轴旋转一周所形成的几何体是都以 为底面圆半径，分别以 为高的两个圆锥
的组合体，
因为 ，所以 ，
从而 ，由等面积法得 ，即 ，
解得 ，
从而所求体积为 .
故选：D.
5．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的
方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外
圆的直径为 ，高为 .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为 的粘土，然后，沿圆桶母
线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，
全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据： ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由条件可得四片瓦的体积 （ ）
所以500名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为 （ ），
又 ，
所以共需粘土的体积为约为 ，
故选：B.
6．一个边长为10cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形
加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，正四棱锥的底面正方形边长为6，斜高为 ，则底面正方形边心距为 ，
于是正四棱锥的高为 ，
所以这个容器侧面与底面的夹角正切值为 .
故选：B
7．已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为 ．在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个
顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】因为圆锥的高与其底面圆的半径相等，设圆锥的高为 ，底面圆的半径为 ，则 ，
又因为圆锥的体积为 ，可得 ，解得 ，则 ，
设圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，则高为 ， 与正方体的上底面交点为 ,
在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，
取其轴截面，如图所示，
设正方体的棱长为 ，可得 ，
由 ，可得 ，即 ，解得 ，
所以该正方体的棱长为 .
故选：D.8．已知平面 与平面 间的距离为3，定点 ，设集合 ，则S表示的曲线的长度
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在空间中，集合 表示以点A为球心，半径 的球面，
记 表示平面 ，可知 ，
所以S表示的曲线球A与平面 所截得的圆周，设其圆心为 ，半径为 ，
可知 ，则 ，
所以S表示的曲线的长度为 .
故选：B.
9．“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，
而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同
学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说
法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为2，若按照图②
的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，且MN为该椭圆
水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出截面图，如图，从缺口 向桶边作垂线 ， 恰好平分 ；
因为桶倾斜与底面成 ，所以 ;
因为 ，所以 ;
因为缺口以上的圆柱部分体积为 ;
所以多盛的水的体积为 .
故选：B.
10．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海
拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水面的面积为 ，将该水
库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 上升到 时，增加的水量约为
（ ）（ ，棱台体积公式 ，其中 ， 分别为棱台的上下底的面积， 是
棱台的高）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意可知棱台的高为 (m)，所以增加的水量即为棱台的体积 ．棱台上底面积 ，下底面积 ，
∴
．
故选：C．
11．金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.某金字塔的侧面积之和等于底面积
的2倍，则该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角的正切值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
设正四棱锥的底面边长为 ，
设 为底面的中心，高为 ，
设 为 的中点，则设斜高为 ，
连接 ，设侧面与底面所成的角为 ，
由于 ，
所以 即为该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角，
由 平面 ， 平面 ,
所以所以 ，
因为金字塔的侧面积之和等于底面积的2倍，
即 ，
又 ，
所以 ，
故选：C.
12．随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注．故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完
整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”．图1是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑
（wŭ）殿顶可近似看作图2所示的几何体，其中底面 题矩形， ，四边形
是两个全等的等腰梯形， 是两个全等的等腰三角形．若
，则该几何体的体积为（ ）
（图1） （图2）
A．90 B． C． D．135
【答案】B
【解析】过点 作 ， ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
过点 作 ， ，又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 底面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，同理 ，
所以 ， ， ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
因为 ， 与 是全等的等腰三角形，
由对称性可得， ，
所以 ，
连接点 与 的中点 ，则 ，
所以 ，又 ，
所以三棱柱 的体积为 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ， ，
所以 平面 ，又矩形 的面积为 ，
所以四棱锥 的体积为 ，
由对称性可得四棱锥 的体积为 ，
所以五面体 的体积为 ．
故选：B13．已知正四棱锥 ，底面边长为2，体积为 ，则这个四棱锥的侧棱长为 .
【答案】
【解析】因为正四棱锥 ，底面边长为2，所以底面积为： .
设正四棱锥 的高为 ，由 ，所以 .
所以侧棱长为： .
14．某圆柱体的底面半径为2，母线长为4，则该圆柱体的表面积为 ．
【答案】
【解析】由题知圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，
所以，该圆柱的侧面积为 ，
圆柱的上下底面面积都为 ，
所以则该圆柱体的表面积为 .
15．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的侧面积是 ．
【答案】
【解析】由题意圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，设母线为 ，底面半径为 ，则 ，且
，
， ， ，
所以圆锥的侧面积 ．
16．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2
cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3.【答案】
【解析】正六棱柱体积为
圆柱体积为
所求几何体体积为
17．如图，一个底面半径为 的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为 的实心铁球，水面高度
恰好升高 ,则 ．
【答案】
【解析】由题可知，小球的体积等于水面上升的的体积，因此有 ，化简可得， ；
18．圆柱形容器内部盛有高度为 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，
水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 ．
【答案】6【解析】设球半径为r,则由3V +V =V 可得 ，解得r=6.
球 水 柱
故答案为6.
19．已知正四棱锥的高为4，侧面积为 ，则该棱锥的侧棱长为 .
【答案】
【解析】如图，
设正四棱锥 的底面边长为a，底面中心为O，取BC的中点M，
连接OM，PM，则 ，斜高 ，
∴该棱锥的侧面积 ，解得 ，
又 ，
∴该棱锥的侧棱长为 ，
20．作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵
味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为 ，两个底面内棱长分别为
和 ，则估计该米斗的容积为 ．
【答案】【解析】根据题意，正四棱台的直观图如下：
由题意可知，高 ，
下底面正方形的变长 ，其面积 ，
上底面正方形的变长 ，其面积 ，
由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:
.
故该米斗的容积为 .
