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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题25 解直角三角形（含勾股定理）及其应用
一、选择题
1. （2024四川眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦
图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这
四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A. 24 B. 36 C. 40 D. 44
【答案】D
【解析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件
得到 ， ，进而求出 的值，再进一步求解即可.
【详解】如图，直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，
图1中大正方形的面积是24，
，
小正方形的面积是4，
，
，
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图2中最大的正方形的面积 ；
故选：D．
2. （2024甘肃临夏）如图，在 中， ， ，则 的长是（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作
于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出 ．根据 ，可求
出 ，最后根据勾股定理可求出 ，即得出 ．
【详解】如图，过点A作 于点D．
∵ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
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故选B．
3.（ 2024四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，
，其中点 ， ， 都在格点上，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
【答案】B
【解析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长 交格点于点 ，连接 ， 分别在格点
上，根据菱形的性质，进而得出 ，解直角三角形求得 的长，根据对顶角相等，进
而根据正切的定义，即可求解．
【详解】如图所示，延长 交格点于点 ，连接 ， 分别在格点上，
依题意， ，
∴
∴
又 ，
∴
∴
故选：B．
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4.（ 2024四川德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物 的高度，在建筑物旁边有一高度为
10米的小楼房 ，小李同学在小楼房楼底 处测得 处的仰角为 ，在小楼房楼顶 处测得 处
的仰角为 ．（ 在同一平面内， 在同一水平面上），则建筑物 的高为（ ）米
A. 20 B. 15 C. 12 D.
【答案】B
【解析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过 作 于 ，则四边形 为矩
形 ， 设 ， 而 ， 可 得 ， ， 结 合
，再解方程即可．
【详解】如图，过 作 于 ，
依题意，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
设 ，而 ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
经检验 是原方程的解，且符合题意；
∴ ，
故选B
5.（ 2024深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 的测量仪 测得的仰角为 ，小军
在小明的前面 处用高 的测量仪 测得的仰角为 ，则电子厂 的高度为（ ）（参考数
据： ， ， ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形 、
、 是 矩 形 ， 再 设 ， 表 示 ， 然 后 在
以 及 运 用 线 段 和 差 关 系 ， 即
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，再求出 ，即可作答．
【详解】如图：延长 交 于一点 ，
∵
∴四边形 是矩形
∵
∴四边形 是矩形
同理得四边形 是矩形
依题意，得 ，
∴ ，
∴
∴设 ，则
在
∴
即
在
∴
即
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∴
∴
∴
∴
故选：A
6. （2024安徽省）如图，在 中， ，点 在 的延长线上，且 ，则
的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点 作 的
延 长 线 于 点 ， 则 ， 由 ， ， 可 得 ，
，进而得到 ， ，即得 为等腰直角三角形，得到
，设 ，由勾股定理得 ，求出 即可求解，正确作出辅助
线是解题的关键．
【详解】解：过点 作 的延长线于点 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
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设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
∴ ，
故选： ．
二、填空题
1.（ 2024深圳）如图，在 中， ， ，D 为上一点，且满足 ，过D
作 交 延长线于点E，则 ________．
【答案】
【解析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设 ，根据
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， ， 得 出 再 分 别 用 勾 股 定 理 求 出
， 故 ， 再 运 用 解 直 角 三 角 形 得 出
， ，代入 ，化简即可作答．
【详解】解：如图，过点A作 垂足为H,
∵ ， ，
设 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
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过点C作 垂足为M，
∴ ， ，
∵ , ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2.（ 2024内蒙古赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树 的高度．如图，点C处与古树底
部A处在同一水平面上，且 米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为
，古树底部A的俯角为 ，则古树AB的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：
， ， ）．
【答案】
【解析】本题考查了解直角三角形的应用．过点D作 ，由题意知： 米，
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， ，推出 是等腰直角三角形，在 中，利用正切函数求
出 的值，根据 计算求解可得 的值．
【详解】如图，过点D作 ，交 的延长线于点M，
∴四边形 是矩形，
∴ 米，
∵ ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ 米，
在 中， （米），
∴ （米），
∴古树 的高度约为 米．
故答案为： ．
3. （2024江西省）将图 所示的七巧板，拼成图 所示的四边形 ，连接 ，则
______．
【答案】 ##
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【解析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图 ，设等腰直角
的直角边为 ，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，
进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图 ，设等腰直角 的直角边为 ，则 ，小正方形的边长为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图 ，过点 作 的延长线于点 ，则 ， ，
由图（ ）可得， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4.（ 2024江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面 的点P处，
测得教学楼底端点A的俯角为 ，再将无人机沿教学楼方向水平飞行 至点Q处，测得教学楼
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顶端点 B 的俯角为 ，则教学楼 的高度约为________m．（精确到 ，参考数据：
， ， ）
【答案】17
【解析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长 交直线 于点H，先用三角函数解
求出 ，进而求出 ，再证 ，最后根据 即可求解．
【详解】解：如图，延长 交直线 于点H，则 ，
由题意知 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
，
， ，
，
，
，
故答案为：17．
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5. （2024黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点 测得该楼顶部点
的仰角为 ，测得底部点 的俯角为 ，点 与楼 的水平距离 ，则这栋楼的高
度为______m（结果保留根号）．
【答案】 ##
【解析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题
意得 ，然后利用三角函数求解即可．
【详解】依题意， ．
在中， ，
在 中， ，
∴ ．
故答案为： ．
6.（ 2024武汉市）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践
活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼 的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水
平地面 的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为 ，底端B的俯角为 ，则测得黄鹤楼的高度是
__________m．（参考数据： ）
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【答案】51
【解析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长 交距水平地
面 的水平线于点D，根据 ，求出 ，即可求解．
【详解】延长 交距水平地面 的水平线于点D，如图，
由题可知， ，
设 ，
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：51．
7. （2024四川达州）如图，在 中， ．点 在线段 上， ．若
， ，则 的面积是______．
【答案】
【解析】本题考查解直角三角形，勾股定理．过 作 于 ，设 ，则 ，利用
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列出等式即可．
【详解】解：过 作 于 ，
， ， ，
是等腰直角三角形
设 ，则
解得 （舍去）或
经检验 是原分式方程的解，
．
故答案为： ．
8.（ 2024四川眉山）如图，斜坡 的坡度 ，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树 ，当太阳
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光与水平面的夹角为 时，大树在斜坡上的影子 长为10米，则大树 的高为______米．
【答案】 ##
【解析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形．
如图，过点 作水平地面的平行线，交 的延长线于点 ，设 米， 米，勾股定理求
出 ，解直角三角形求出 ，进而求解即可．
【详解】如图，过点 作水平地面的平行线，交 的延长线于点 ，
则 ，
在 中， ，
设 米， 米，
，
，
米， 米，
，
（米），
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（米），
答：大树 的高度为 米．
故答案为： ．
三、解答题
1.（ 2024甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独
特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在
学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度 的实践活动． 为乾元塔的顶端，
，点 ， 在点 的正东方向，在 点用高度为1.6米的测角仪（即 米）测得 点
仰角为 ，向西平移14.5米至点 ，测得 点仰角为 ，请根据测量数据，求乾元塔的高度 ．
（结果保留整数，参考数据： ， ， ）
【答案】乾元塔的高度 约为 米
【解析】本题考查解直角三角形的应用，设 平移后得到 ，延长 交 于点 ，设 ，
分别解 ，表示出 的长，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设 平移后得到 ，延长 交 于点 ，则： ， ，
，
设 ，则： ，
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在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
答：乾元塔的高度 约为 米．
2.（ 2024甘肃威武）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳
中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，
“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高
度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒 垂直于地面，测角仪 ， 在 两侧，
，点C与点E相距 （ 点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的
仰角为 ，在F处测得筒尖顶点A的仰角为 ．求风电塔筒 的高度．（参考数据： ，
， ．）
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【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点 作 于
G，连接 ，则四边形 是矩形，可得 ， ，再证明四边形
是矩形，则 ， ，进一步证明 三点共线，得到 ；设
，解 得到 ；解 得到 ；则 ，解得
，即 ，则 ．
【详解】解：如图所示，过点 作 于G，连接 ，则四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
由题意可得 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
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∴ ， ，
∴ ，
∴ 三点共线，
∴ ；
设 ，
在 中， ，
∴
∴ ；
在 中， ，
∴
∴ ；
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴风电塔筒 的高度约为 ．
3.（ 2024河北省）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰
好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离 ，仰角为 ；淇淇向前走了 后到达点D，
透过点P恰好看到月亮，仰角为 ，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面 的距离
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，点P到 的距离 ， 的延长线交 于点E．（注：图中所有点均
在同一平面）
（1）求 的大小及 的值；
（2）求 的长及 的值．
【答案】（1） ， （2） ，
【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解
本题的关键；
（1）根据题意先求解 ，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；
（2）利用勾股定理先求解 ，如图，过 作 于 ，结合
，设 ，则 ，再建立方程求解 ，即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得： ， ， ，
， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
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∴ ，
如图，过 作 于 ，
∵ ，设 ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
4. （ 2024河南省）如图1，塑像 在底座 上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线
时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，
B两点的圆与水平视线 相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时 为最大视
角．
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（1）请仅就图2的情形证明 ．
（2）经测量，最大视角 为 ，在点P处看塑像顶部点A的仰角 为 ，点P到塑像的
水平距离 为 ．求塑像 的高（结果精确到 ．参考数据： ）．
【答案】（1）见解析 （2）塑像 的高约为
【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键
是：
（1）连接 ，根据圆周角定理得出 ，根据三角形外角的性质得出 ，
然后等量代换即可得证；
（2）在 中，利用正切的定义求出 ，在 中，利用正切的定义求出 ，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ．
则 ．
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：在 中， ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
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∴ ．
在 中， ，
∴ ．
∴ ．
答：塑像 的高约为 ．
5. （2024江苏苏州） 图①是某种可调节支撑架， 为水平固定杆，竖直固定杆 ，活动杆
可绕点A旋转， 为液压可伸缩支撑杆，已知 ， ， ．
（1）如图②，当活动杆 处于水平状态时，求可伸缩支撑杆 的长度（结果保留根号）；
（2）如图③，当活动杆 绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度 ，且 （ 为锐角），求
此时可伸缩支撑杆 的长度（结果保留根号）．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）过点C作 ，垂足为E，判断四边形 为矩形，可求出 ， ，然后在
中，根据勾股定理求出 即可；
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（2）过点D作 ，交 的延长线于点F，交 于点G．判断四边形 为矩形，得出
．在 中，利用正切定义求出 ．利用勾股定理求出 ，
由 ，可求出 ， ， ， ．在 中，根据勾
股定理求出 即可．
【小问1详解】
解：如图，过点C作 ，垂足为E，
由题意可知， ，
又 ，
四边形 为矩形．
， ，
， ．
，
．
在 中， ．
即可伸缩支撑杆 的长度为 ；
【小问2详解】
解：过点D作 ，交 的延长线于点F，交 于点G．
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由题意可知，四边形 为矩形，
．
在 中， ，
．
，
，
， ．
， ，
， ．
在 中， ．
即可伸缩支撑杆 的长度为 ．
6. （2024山东威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是
测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测 量
竹竿，米尺
工具
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说明： 是一根笔直的竹竿．点
测 量
是竹竿上一点．线段 的长度是
示 意
点 到地面的距离． 是要测量
图
的倾斜角．
测 量
数据
…… ……
（1）设 ， ， ， ， ， ， ， ，请根据表中的
测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”
一栏．
（2）根据（ ）中选择的数据，写出求 的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设 ， ， ，根据（ ）中的推导结果，利用计算器求出 的
度数，你选择的按键顺序为________．
【答案】（1） ， ， ， ；
（2） ，推导见解析；
（3） ．
【解析】【分析】（ ）根据题意选择需要的数据即可；
（ ）过点 作 于点 ，可得 ，得到 ，即得 ，得到
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，再根据正弦的定义即可求解；
（ ）根据（ ）的结果即可求解；
本题考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
解：需要的数据为： ， ， ， ；
【小问2详解】
解：过点 作 于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
即
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴按键顺序为 ，
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故答案为： ．
7.（ 2024天津市）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔 的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②，点 依次在同一条水平直线上， ，
垂足为 ．在 处测得桥塔顶部 的仰角（ ）为 ，测得桥塔底部 的俯角（ ）为 ，
又在 处测得桥塔顶部 的仰角（ ）为 ．
（1）求线段 的长（结果取整数）；
（2）求桥塔 的高度（结果取整数）．参考数据： ．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键．
（1）设 ，在 中， ．在 中，
．则 ．解方程即可；
（2）求出 ，根据 即可得到答案．
【小问1详解】
解：设 ，由 ，得 ．
，垂足为 ，
．
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在 中， ，
．
在 中， ，
．
．
得 ．
答：线段 的长约为 ．
【小问2详解】
在 中， ，
．
．
答：桥塔 的高度约为 ．
8.（ 2024重庆市B）如图， ， ， ， 分别是某公园四个景点， 在 的正东方向， 在 的正北方
向，且在 的北偏西 方向， 在 的北偏东 方向，且在 的北偏西 方向， 千米．
（参考数据： ， ， ）
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b
（1）求 的长度（结果精确到 千米）；
（2）甲、乙两人从景点 出发去景点 ，甲选择的路线为： ，乙选择的路线为： ．
请计算说明谁选择的路线较近？
【答案】（1） 千米
（2）甲选择的路线较近
【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用：
（1）过点B作 于E，先求出 ，再解 得到 千米，进一步解
即可得到 千米；
（2）过点C作 于D，先解 得到 千米，则 千米，
再 得到 千米， 千米，最后解 得到 千米，
千米，即可得到 千米， 千米，据此可
得答案．
【小问1详解】
解：如图所示，过点B作 于E，
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由题意得， ，
∴ ，
在 中， 千米，
∴ 千米，
在 中， 千米，
∴ 的长度约为 千米；
【小问2详解】
解：如图所示，过点C作 于D，
在 中， 千米，
∴ 千米，
在 中， 千米，
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千米，
在 中， ，
∴ 千米，
千米，
∴ 千米，
千米，
∵ ，
∴甲选择的路线较近．
9.（ 2024四川乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千
有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10
尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
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（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索 的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置 释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的
地方 ，两次位置的高度差 ．根据上述条件能否求出秋千绳索 的长度？如果能，请用含
α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）秋千绳索的长度为 尺
（2）能，
【解析】
【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）如图，过点 作 ，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知， ，
， ，得出 ．在 中，由勾股定理解得 ，即可求解；
（2）由题可知， ， ．在 中，得出 ，
同理， ．再根据 ，列等式即可求出 ．
【小问1详解】
解：如图，过点 作 ，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知， ， ， ，
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∴ ．
在 中，由勾股定理得：
∴ ．
解得 ．
答：秋千绳索的长度为 尺．
【小问2详解】
能．
由题可知， ， ．
在 中， ，
同理， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
10.（ 2024四川凉山）为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展． 年 月 日位于西昌主城区东
部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结
构阁楼式塔楼，建筑面积为 平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（ ）堵坡造型．某校为
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了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（ ）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站
在如图所示的怀远塔前的平地上 点处，测得塔顶 的仰角为 ，眼睛 距离地面 ，向塔前行
，到达点 处，测得塔顶 的仰角为 ，求塔高 ．（参考数据： ，结
果精确到 ）
【答案】 ．
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，设 ，解直角三角形得到
， ，再根据 可得 ，解方
程求出 即可求解，正确解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：由题意可得， ， ， ， ，
设 ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
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解得 ，
∴ ，
答：塔高 为 ．
11.（ 2024四川泸州）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔
船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西 方向上，再沿北偏东 方向继续
航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西 方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D
间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
【答案】C，D间的距离为 ．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用．作 于点 ，利用方向角的定义求得 ，
， ，证明 是等腰直角三角形，在 中，求得 的长，再证
明 ， ，在 中，利用三角函数的定义即可求解．
【详解】解：作 于点 ，
由题意得 ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
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∴ ，
在 中， ，
在 中， ， ，
在 中， ，
答：C，D间的距离为 ．
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