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2023届高考数学三轮冲刺卷：两角和与差的正切
一、选择题（共20小题；）
tan20∘+tan25∘
1. = ()
1−tan20∘⋅tan25∘
√3
A. B. √3 C. −1 D. 1
3
2. 在 △ABC 中，下列命题错误的是 ()
A. 若 a2>b2+c2，则 △ABC 一定为钝角三角形
B. 若 a2=b2+c2，则 △ABC 一定为直角三角形
C. 若 a20，tan θ+ = ，则 θ 在 ()
4 3A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4
11. 若 sinα=− ，tan(α+β)=1，且 α 是第三象限的角，则 tanβ 的值是 ()
5
4 4 1 1
A. B. − C. D. −
3 3 7 7
( π π) α+β
12. 已知 α,β∈ − , ，tanα，tanβ 是方程 x2+12x+10=0 的两根，则 tan = ()
2 2 2
4 1 1
A. B. −2 或 C. D. −2
3 2 2
2
13. 已知 cotα=2，tan(α−β)=− ，则 tan(β−2α) 的值是 ()
5
1 1 1 1
A. B. − C. D. −
4 12 8 8
14. (1+tan1∘)(1+tan2∘)(1+tan3∘)⋯(1+tan44∘) 的值为 ()
A. 222 B. 223 C. 211 D. 212
1 1
15. 已知 tanα= ，tan(β−α)= ，则 tanβ= ()
3 2
1 6
A. − B. 1 C. D. −1
7 7
( π π)
16. 若 tanα，tanβ 是方程 x2+3√3x+4=0 的两根，且 α,β∈ − , ，则 α+β 等于 ()
2 2
π 2 π 2 π 2
A. B. − π C. 或 − π D. − 或 π
3 2 3 3 3 3
1 3
17. 已知 tan(α+β)= ，tanα= ，那么 tan(2α+β) 等于 ()
4 22
2 1 13 13
A. B. C. D.
5 4 18 22
( π)
18. 设角 θ 的终边过点 (2,3)，则 tan θ− = ()
4
1 1
A. B. − C. 5 D. −5
5 5
19. 设 a ，a ，b ，b ，c ，c 都是非零实数，不等式 a x2+b x+c >0 的解集为 A，不等式
1 2 1 2 1 2 1 1 1
a b c
a x2+b x+c >0 的解集为 B，则“A=B”是“ 1= 1= 1>0”的 ()
2 2 2 a b c
2 2 2
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
20. 如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为 β．
图中阴影区域的面积的最大值为 ()A. 4β+4cosβ B. 4β+4sinβ C. 2β+2cosβ D. 2β+2sinβ
二、填空题（共5小题；）
21. cos215∘−sin215∘= ．
√3−tan15∘
22. 计算： = ．
1+√3tan15∘
23. 如图，将三个相同的正方形并列，则 ∠AOB+∠AOC= ．
24. 如图所示是三个并排放置的正方形，则 ∠OAD+∠OBD+∠OCD= ．
π
25. 若 α+β= ，则 tanα+tanβ+tanαtanβ= ．
4
三、解答题（共5小题；）
26. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α，β，它们的终边分别与单
3√10 2√5
位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为 ， ，求 tan(α−β) 的值．
10 5
27. 证明下列恒等式：( π) 1+tanθ
（1）tan θ+ = ；
4 1−tanθ
cotα⋅cotβ−1
（2）cot(α+β)= ．
cotα+cotβ
4
28. 若 sinθ=− ，tanθ>0．
5
（1）求 cosθ 的值；
( π)
（2）求 tan θ+ 的值．
4
(π ) 1
29. 已知 tan +α =2，求 的值．
4 2sinαcosα+cos2α
π π 7
30. 已知 − 0⇒A 为锐角，△ABC 不一定为锐角三角形．
2bc
故C错误．
3. D
4. D
5. B
6. A
7. A 【解析】因为 tanα，tanβ 是方程 x2−3x+2=0 的两个根，所以 tanα+tanβ=3，
tanα+tanβ 3
tanαtanβ=2，所以 tan(α+β)= = =−3．
1−tanαtanβ 1−2
8. C
( π) tanθ+1
9. D 【解析】由 2tanθ−tan θ+ =7，得 2tanθ− =7，
4 1−tanθ
即 2tanθ−2tan2θ−tanθ−1=7−7tanθ，
得 2tan2θ−8tanθ+8=0，
即 tan2θ−4tanθ+4=0，
即 (tanθ−2) 2=0，
则 tanθ=2，
故选：D．
10. D
( π) 1
【解析】由题意得，tan θ+ = ，
4 3
π
tan +tanθ
4 1 1+tanθ 1
所以 = ，即 = ，
π 3 1−tanθ 3
1−tan tanθ
4
1
解得 tanθ=− <0，
2
则 θ 在第二或四象限，
由 cosθ>0 得，θ 在第一或四象限，
所以 θ 在第四象限．11. D
( π π)
12. D 【解析】因为 α,β∈ − , ，
2 2
α+β ( π π)
所以 ∈ − , ，
2 2 2
因为 tanα，tanβ 是方程 x2+12x+10=0 的两根，
所以 tanα+tanβ=−12，tanα⋅tanβ=10，tanα<0，tanβ<0，
( π )
所以 α,β∈ − ,0 ，
2
α+β ( π ) α+β
故 ∈ − ,0 ，tan <0，
2 2 2
tanα+tanβ 4
因为 tan(α+β)= = ，
1−tanα⋅tanβ 3
α+β α+β
2tan 2tan
2 4 2
再根据 tan(α+β)= ，可得 = ，
α+β 3 α+β
1−tan2 1−tan2
2 2
α+β 1 α+β
求得 tan = （舍去）或 tan =−2．
2 2 2
13. B
14. A
15. B
16. B
17. A
3
−1
3 ( π) tanθ−1 2 1
18. A 【解析】由于角 θ 的终边过点 (2,3)，因此 tanθ= ，故 tan θ− = = = ．
2 4 1+tanθ 3 5
1+
2
19. B
20. B
√3
21.
2
22. 1
tan60∘−tan15∘
原式 =
1+tan60∘tan15∘
【解析】
¿ =tan45∘
¿ ¿
π
23.
41 1
【解析】由图可知 tan∠AOB= ，tan∠AOC= ．
3 2
1 1
+
tan∠AOB+tan∠AOC 3 2
所以 tan(∠AOB+∠AOC)= = =1．
1−tan∠AOBtan∠AOC 1
1−
6
π
因为 ∠AOB+∠AOC∈(0,π)，所以 ∠AOB+∠AOC= ．
4
π
24.
2
25. 1
3√10 2√5
26. 由题可知：cosα= ，cosβ= ，
10 5
由于 α，β 为锐角，
√10 √5
则 sinα= ，sinβ= ，
10 5
1 1
故 tanα= ，tanβ= ，
3 2
1 1
−
tanα−tanβ 3 2 1
则 tan(α−β)= = =− ，
1+tanα⋅tanβ 1 7
1+
6
1
故答案为 − ．
7
π
tan +tanθ
( π) 4
tan θ+ =
27. （1） 4 π
1−tan ⋅tanθ
4
¿ ¿
1
cot(α+β) =
tan(α+β)
（2） (1−tanαtanβ)cotα⋅cotβ
¿ =
(tanα+tanβ)cotα⋅cotβ
¿ ¿
4
28. （1） 因为 sinθ=− <0，tanθ>0，
5
所以 θ 是第三象限角，cosθ<0．
由 sin2θ+cos2θ=1，得 cosθ=−√1−sin2θ=− √ 1− ( − 4) 2 =− 3 ．
5 54
−
sinθ 5 4
（2） 又 tanθ= = = ，
cosθ 3 3
−
5
π 4
tanθ+tan +1
( π) 4 3
所以 tan θ+ = = =−7．
4 π 4
1−tanθ⋅tan 1− ×1
4 3
(π ) 1+tanα 1
29. 由 tan +α = =2，得 tanα= ，
4 1−tanα 3
sin2α+cos2α tan2α+1 2
于是原式 = = = ．
2sinαcosα+cos2α 2tanα+1 3
π π
30. （1） 因为 − 0，∣sinx∣>∣cosx∣，
所以 sinx+cosx<0，
因为 (sinx+cosx) 2+(sinx−cosx) 2=2，
49
所以 (sinx+cosx) 2+ =2，
25
1
(sinx+cosx) 2= ，
25
1
所以 sinx+cosx=− ．
5
x x x x x
3sin2 +cos2 −4sin cos 1+2sin2 −2sinx
2 2 2 2 2 1+1−cosx−2sinx
（2） ¿=¿ .¿
tan(π+x) tanx tanx
¿
1
{sinx+cosx=− ,
5
因为
7
sinx−cosx=− ,
5
4
{sinx=− ,
5
所以
3
cosx= ,
5
所以
3 8
2− +
5 5
原式 =
4
−
3
¿ ¿
