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2023届高考数学三轮冲刺卷：判断三角形的形状
一、选择题（共20小题；）
1. 在 △ABC 中，若 sin A⋅cosA<0，则此三角形为 ()
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 锐角或钝角三角形
2. 在 △ABC 中，若 2cosBsinA=sinC，则 △ABC 的形状是 ()
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
√2
3. 在 △ABC 中，若最大角的正弦值是 ，则 △ABC 必是 ()
2
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形
3 1
4. 在 △ABC 中，若 sin A= ，sinB= ，则 △ABC 一定是 ()
5 12
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
12
5. A 为 △ABC 的一个内角，若 sinA+cosA= ，则这个三角形的形状为 ()
25
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
6. A，B，C 是 △ABC 的三个内角，且 tan A，tanB 是方程 3x2−5x+1=0 的两个实数根，
则 △ABC 的形状是 ()
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
7. 在 △ABC 中，∠B=60∘，b2=ac，则 △ABC 一定是 ()
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
8. △ABC 的三边长分别是 √a，√b，√c，若 a2+b2=c2，则 △ABC 的形状为 ()
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 直角三角形或锐角三角形
9. 在 △ABC 中，若 tanAtanB>1，则 △ABC 是 ()
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 无法确定
10. 设 △ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 asinA+bsinB=csinC，则
△ABC 的形状为 ()
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
11. 在 △ABC 中，bcosB=acosA，则 △ABC 的形状是 ()
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形( A)
12. 在 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知三个向量 ⃗m= a,cos ，
2
( B) ( C)
⃗n= b,cos ，⃗p= c,cos 共线，则 △ABC 的形状为 ()
2 2
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
13. 在 △ABC 中，若 tan AtanB>1，则 △ABC 的形状为 ()
A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形
C. 钝角三角形 D. 锐角三角形
14. 在 △ABC 中，a2+b2+c2=2bccosA+2accosB，则 △ABC 一定是 ()
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形
a2 tan A
15. 在 △ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 = ，则 △ABC
b2 tanB
是 ()
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
16. 设 A，B，C 为三角形的三个内角，且 tan A，tanB 是方程 3x2−5x+1=0 的两个实根，
则 △ABC 为 ()
A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
17. 在 △ABC 中，若 ⃗AC⋅⃗AB>∣⃗AC∣ 2，则有 ()
A. ⃗ ∣AC∣>⃗ ∣BC∣ B. ⃗ ∣BC∣>⃗ ∣AC∣
C. ⃗ ∣AC∣>⃗ ∣AB∣ D. ⃗ ∣AB∣>⃗ ∣BC∣
18. 在 △ABC 中，关于 x 的方程 (1+x2)sin A+2x⋅sinB+(1−x2)sinC=0 有两个不等的实
数根，则角 A 为 ()
A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不存在
19. 等比数列 {a } 中，a =2，a =4，函数 f (x)=x(x−a )(x−a )⋯(x−a )，则 fʹ(0) 等于 ()
n 1 8 1 2 8
A. 26 B. 29 C. 215 D. 212
20. 在 △ABC 中，若 sinA:sinB:sinC=2:3:4，则 △ABC 是 ()
A. 直角三角形 B. 钝角三角形
C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形
二、填空题（共5小题；）
21. 在 △ABC 中，若 sinAsinB0，则 △ABC 一定为锐角三角形．
则其中正确命题的序号是 ．（把所有正确的命题序号都填上）
25. 在等差数列 {a } 中，a =0．如果 a 是 a 与 a 的等比中项，那么 k=
n 3 k 6 k+6
．
三、解答题（共5小题；）
26. 若三角形的两个内角 α，β 满足 cosα⋅cosβ>sinα⋅sinβ，试判断此三角形的形状．
27. 在 △ABC 中，已知 sin2A=sin2B+sin2C，且 sin A=2sinBcosC，试判断 △ABC 的
形状．
(π ) (π ) 1 (π π)
28. 已知 cos +α cos −α =− ，α∈ , ．
6 3 4 3 2
（1）求 sin2α 的值；
1
（2）求 tanα− 的值．
tanα
A
29. 在 △ABC 中，sinB⋅sinC=cos2 ．试判定 △ABC 的形状．
2
30. 已知关于 x 的方程 2x2−bx+
1
=0 的两根为 sinθ 和 cosθ，θ∈
(π
,
3π)
．
4 4 4
（1）求实数 b 的值．
2sinθcosθ+1
（2）求 的值．
cosθ−sinθ答案
1. B
2. B
3. C
3 1
4. B 【解析】因为 sin A= > =sinB，
5 12
所以 A>B．
当 B 为锐角，A 为钝角时，B<30∘，135∘105∘．
故 △ABC 一定是钝角三角形．
5. B
5
6. A 【解析】可求 tan(A+B)= >0，则 A+B 为锐角，所以 C 为钝角．
2
7. D
8. B
9. C
10. B
11. C
( A) ( B)
12. A 【解析】因为向量 ⃗m= a,cos ，⃗n= b,cos 共线，
2 2
B A
所以 acos =bcos ．
2 2
B A
由正弦定理得 sin Acos =sinBcos ．
2 2
A A B B B A
所以 2sin cos cos =2sin cos cos ．
2 2 2 2 2 2
A B
则 sin =sin ．
2 2
A π B π
因为 0< < ，0< < ，
2 2 2 2
A B
所以 = ，即 A=B．
2 2
同理可得 B=C．
所以 △ABC 的形状为等边三角形．
13. D
14. D 【解析】因为由余弦定理可得：b2+c2=a2+2bccosA，
所以由已知可得：2a2+2bccosA=2bccosA+2accosB，
a2+c2−b2
所以可得：a=ccosB=c⋅ ，整理可得：a2+b2=c2，
2ac所以 C 为直角，△ABC 一定为直角三角形．
15. D
16. D 【解析】因为 tan A，tanB 是方程 3x2−5x+1=0 的两个实根，
5 1
所以 tanA+tanB= ，tanAtanB= ．
3 3
所以
tanC =−tan(A+B)
5
3
¿ =
1
−1
3
¿ ¿
π
所以 0,
从而由余弦定理，得
b2+c2−a2
cosA= >0,
2bc
因此，A 为锐角．
19. D 【解析】因为 a =2，a =4，
1 8
又fʹ(x)=(x−a )(x−a )⋯(x−a )+x[(x−a )(x−a )⋯(x−a )]ʹ,
1 2 8 1 2 8
所以 fʹ(0)=a a ⋯a =(a a ) 4=84=212 ．
1 2 8 1 8
20. B
【解析】因为 sinA:sinB:sinC=2:3:4，
所以由正弦定理可得 a:b:c=2:3:4．
不妨令 a=2x，b=3x，c=4x(x≠0)，
由余弦定理 c2=a2+b2−2abcosC，
a2+b2−c2 4x2+9x2−16x2 1
得 cosC= = =− ，
2ab 2×2x×3x 4
因为 00．所以 △ABC 为锐角三
角形．
25. 9
【解析】设等差数列 {a } 的公差为 d，
n
由题意得 a =a +2d=0，
3 1
所以 a =−2d，
1
又因为 a 是 a 与 a 的等比中项，
k 6 k+6
所以 a2=a a ，
k 6 k+6
2
即 [a +(k−1)d] =(a +5d)⋅[a +(k+5)d]，
1 1 1
2
化简得 [(k−3)d] =3d⋅(k+3)d，
解得 k=9 或 k=0（舍去）．
26. 由 cosα⋅cosβ>sinα⋅sinβ，得 cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ>0，即 cos(α+β)>0．
∵ α，β 为三角形的两个内角，
∴ 0<α+β<π．
又 ∵cos(α+β)>0，
π
∴ 0<α+β< ，
2
π
∴ <π−(α+β)<π，
2
故此三角形为钝角三角形．
27. 由 sin2A=sin2B+sin2C，得 a2=b2+c2，
所以 △ABC 为直角三角形，又 sin A=sin(B+C)=2sinBcosC，
所以 sin(B−C)=0，
所以 B=C．所以 △ABC 是等腰直角三角形．
(π ) (π ) (π ) (π ) 1 ( π) 1
28. （1） cos +α cos −α =cos +α sin +α = sin 2α+ =− ，
6 3 6 6 2 3 4( π) 1
即 sin 2α+ =− ．
3 2
(π π) π ( 4π)
因为 α∈ , ，所以 2α+ ∈ π, ，
3 2 3 3
( π) √3
所以 cos 2α+ =− ，所以
3 2
[( π) π]
sin2α =sin 2α+ −
3 3
1 1 ( √3) √3
¿ =− × − − ×
2 2 2 2
¿ ¿
(π π) (2π )
（2） 因为 α∈ , ，所以 2α∈ ,π ，
3 2 3
1 √3
又由（1）知 sin2α= ，所以 cos2α=− ．
2 2
所以
1 sinα cosα
tanα− = −
tanα cosα sinα
−2cos2α
¿ =
sin2α
¿ =2√3.
29. 可求出 cos(B−C)=1．
1
{sinθcosθ= ,
8
30. （1） 由题意知
b
sinθ+cosθ= ,
2
因为
(sinθ+cosθ) 2
sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ¿=¿1+
1
¿=¿
5
¿=¿
b2
,¿
¿ 4 4 4
所以 b2=5，故 b=±√5，
(π 3π)
因为 θ∈ , ，
4 4
所以 sinθ>0，
因为 sinθ−cosθ>0，
所以 cosθ>0，
b
所以 >0，即 b=√5．
2（2）
5
2sinθcosθ+1
2sinθcosθ+cos2θ+sin2θ (sinθ+cosθ) 2 4
cosθ−sinθ ¿=¿ ¿=¿ ,¿
cosθ−sinθ cosθ−sinθ cosθ−sinθ
¿
(π π)
由（ 1 ）知 θ∈ , ，
4 2
所以 cosθ＜sinθ，
因为
(cosθ−sinθ) 2
cos2θ+sin2θ−2sinθcosθ¿=¿1−
1
¿=¿
3
,¿
¿ 4 4
√3
所以 cosθ−sinθ=− ，
2
5
4 5√3
所以 原式= =− ．
√3 6
−
2
