6.9 正弦定理
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：正弦定理......................................................................2
考点二：三角形面积公式............................................................. 2
考点三：正弦定理解决的两类问题..................................................3
考点四：利用正弦定理判断三角形的形状.........................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：已知两角及任意一边解三角形............................................3
题型二：已知两边和其中一边的对角解三角形...................................6
题型三：判断三角形的形状.......................................................... 8
题型四：三角形解的个数........................................................... 10
题型五：利用正（余）弦定理求范围或最值.................................... 14
题型六：综合运用正弦定理、余弦定理解三角形.............................. 19
题型七：求三角形面积（定值）...................................................22
题型八：根据三角形面积求参数...................................................25
题型九：三角形面积最值（范围）问题..........................................30
题型十：求三角形周长（定值）...................................................34
题型十一：三角形周长最值（范围）问题....................................... 36
模块三：综合巩固....................................................................... 43
6.9 正弦定理
模块一：基础知识
考点一：正弦定理
1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC.
【注意】正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2、正弦定理推论：在∆ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为R
①
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC = 2R，
②sinA: sinB: sinC = a: b: c，
③asinB = bsinA，bsinC = csinB，asinC = csinA，
④
a+b+c
sinA+sinB+sinC =
a+b
sinA+sinB =
a+c
sinA+sinC =
b+c
sinB+sinC = 2R，
⑤a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC（实现边和角的互相转化）
3、正弦定理的推导示例：
当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 的高是CD．根据三角函数的定义，
CD＝asinB，CD＝bsinA，
所以asinB＝bsinA，得到a
sinA
＝b
sinB
.
同理，在△ABC 中b
sinB
＝c
sinC
.
从以上的讨论和探究可得：a
sinA
＝b
sinB
＝c
sinC
.
考点二：三角形面积公式
在∆ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，边BC，CA，AB 边上的高分别记作ha，hb，hc，r 为
内切圆半径，R 为外接圆半径，O 为内切圆心。
（1）S =
1
2 aha = bhb = chc
（2）S =
1
2 absinC =
1
2 bcsinA =
1
2 acsinB
证明：当∆ABC 为锐角三角形时，作AD ⊥BC 于点D，
设∆ABC 的面积为S，则S =
1
2 BC ∙AD =
1
2 absinC；
当∆ABC 为钝角三角形时，作BC 边长的高AD，
则AD = ABsin 180° −∠ABC = ABsin∠ABC，
∴S =
1
2 BC ∙AD =
1
2 acsin∠ABC；
当∆ABC 为直角三角形时，上述结论依然成立。
（3）S =
1
2 a + b + c ∙r
证明：S∆ABC = S∆AOB + S∆BOC + S∆AOC =
1
2 cr +
1
2 ar +
1
2 br =
1
2 a + b + c ∙r
（4）S =
a+b+c
4R
证明：S =
1
2 absinC =
1
2 ab
c
2R =
a+b+c
4R
考点三：正弦定理解决的两类问题
1、类型1：已知两角及一边解三角形
方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的
角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；
（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，
要分类讨论
2、类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题）
在△ABC 中，已知a，b 和A 时，解的情况如下：
当A 为锐角时：
当A 为钝角时
考点四：利用正弦定理判断三角形的形状
法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配
方等)得到边的关系，如a＝b，a
2＋b
2＝c
2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝a
2R
，sin B
＝b
2R
，sin C＝c
2R
法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角
的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC
模块二：题型分类
题型一：已知两角及任意一边解三角形
1.在△ABC 中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
【解】
因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.
由
a
sin A ＝
c
sin C 得a＝c sin A
sin C
＝10×sin 45°
sin 30° ＝10 2 .
因为sin 75° ＝sin (30° ＋45°) ＝sin 30°cos 45° ＋cos 30°sin 45° ＝
2＋6
4
，所以b ＝c sin B
sin C ＝
10×sin （A＋C）
sin 30°
＝20× 2＋6
4
＝5 2 ＋5 6 .
2. ABC
中，角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
60
A
，
45
B
，
2 3
a
，则b
.
【答案】2 2
【详解】在ABC
中，
60
A
，
45
B
，
2 3
a
，由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
，得到
2
2 3
2 3 sin45
2
2 2
sin60
3
2
b
.
故答案为：2 2 .
3.在ABC
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
2
b
，
45
B
，
105
A
，则c
.
【答案】
2
【详解】由三角形内角和定理，可得
180
30
C
A
B
，
由正弦定理sin
sin
c
b
C
B
，可得
2
sin30
sin 45
c
，
解得
2
1
2
2
2
2
c
.
故答案为：
2 .
4.在△ABC 中，若
60
A
，
45
B
，
3 2
BC
，则AC （
）
A．4 3
B．2 3
C．
3
D．
3
2
【答案】B
【分析】根据正弦定理可得sin
sin
BC
AC
A
B
，由此可求出AC .
【详解】根据正弦定理可得sin
sin
BC
AC
A
B
，
所以
2
3 2
sin
2
=
2 3
sin
3
2
BC
B
AC
A
，
故选：B.
5.在ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
6
a
，
3 7
sin
8
A
，
9
cos
16
B
，则b （
）
A．8
B．5
C．4
D．3
【答案】B
【详解】在ABC
中，0
π
B
，
因为
9
cos
16
B
，所以
2
2
9
5 7
sin
1
cos
1
16
16
B
B
，
则由正弦定理得
5 7
sin
16
6
5
sin
3 7
8
B
b
a
A
.
故选：B．
6.在ABC
中，
3 6
AB
，
π
4
ABC
，
π
3
ACB
，点D 在BC 的延长线上，且
10
CD
，则AD
.
【答案】14
【详解】如图所示，在ABC
中，因为
π
3 6,
,
3
4
π
AB
ABC
ACB
，
由正弦定理知sin
sin
AC
AB
B
C
，可得
3 6
2
3
2
2
AC
，解得
6
AC
，
在
ADC
△
中，由
6
AC
，
10
CD
且
2π
3
ACD
，
由余弦定理得
2
2
2
2π
2
cos
196
3
AD
AC
CD
AC CD
，所以
14
AD
.
故答案为：14.
7.在ABC
中，边长
10,
60 ,
45
BC
A
B
，则边长AC （
）
A．20 2
B．10 6
3
C．10 2
D．5 6
3
【答案】B
【详解】由正弦定理得
sin
sin
A
B
BC
AC
即
3
2
20
2 AC
，解得AC 10 6
3
，
故选：B.
8.在ABC
中，已知
4
cos
5
A
，
3
B
，
3
b
，则sin C
；
a
；c
．
【答案】
3
4 3
10
6
5
3
4 3
5
【详解】由
4
cos
5
A
，故
3
sin
5
A
，
则
3
1
4
3
3
4 3
sin
sin
sin
cos
sin
cos
5
2
5
2
10
C
A
B
A
B
B
A
，
由正弦定理得
3
3
sin
6
5
sin
5
3
2
b
A
a
B
，
3
4 3
3
sin
3
4 3
10
sin
5
3
2
b
C
c
B
.
故答案为：3
4 3
10
；6
5 ；3
4 3
5
.
题型二：已知两边和其中一边的对角解三角形
1.在ABC
中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知
30
B
，
2
b
，
2
c
，则C
．
【答案】45或135
【详解】由正弦定理得
sin
2sin30
2
sin
2
2
c
B
C
b
，
因为c
b
，
30
B
，所以
45
C
或
135
C
．
故答案为：45或135.
2.已知ABC
中，
4
BC
，
4 3
AC
，
30
A
，则
B
（
）
A．30
B．30或150
C．60
D．60或120
【答案】D
【分析】利用正弦定理求出sin
B
的值，结合
B
的范围得出结果.
【详解】因为ABC
中，
4
BC
，
4 3
AC
，
30
A
，
所以sin
sin
BC
AC
A
B
，
1
4 3
sin
2
sin
4
2
3
AC
A
B
BC
，
因为AC
BC
，可得
B
A
，即30
180
B
，
所以
B
60或120.
故选：D.
3.已知ABC
中，
4
BC
，
4 3
AC
，
30
A
，则
B
（
）
A．30
B．30或150
C．60
D．60或120
【答案】D
【详解】因为ABC
中，
4
BC
，
4 3
AC
，
30
A
，
所以sin
sin
BC
AC
A
B
，
1
4 3
sin
2
sin
4
2
3
AC
A
B
BC
，
因为AC
BC
，可得
B
A
，即30
180
B
，
所以
B
60或120.
故选：D.
4.在ABC
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c．已知
39,
2,
120
a
b
A
．
(1)求sin B 的值；
(2)求c 的值．
【答案】(1)
13
13
(2)5
【详解】（1）由正弦定理可得，sin
sin
a
b
A
B
，即
39
2
sin120
sin B
，
解得
13
sin
13
B
.
（2）由余弦定理可得，
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
，
即
2
1
39
4
2 2
2
c
c
，
解得
5
c
或
7
c (舍去)，所以
5
c
.
5.在ABC
中，
5
AC
，
5
2
BC
，
1
tan
2
A
，D 在AB 上，且
135
ADC
．
(1)求CD 的值；
(2)求
BCD
△
的面积．
【答案】(1)
2
(2)答案见解析
【详解】（1）解：因为
1
tan
2
A
，且0
π
A
，可得
5
sin
5
A
，
在ACD
中，由正弦定理得sin
sin
CD
AC
A
ADC
，
所以
sin
5
5
2
sin
sin135
5
AC
A
CD
ADC
.
（2）解：在
BCD
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
BC
BD
CD
BD CD
BDC
，
可得
2
5
2
2 2
cos45
4
BD
BD
，解得
1
2
BD
或
3
2
BD
，
①当
1
2
BD
时，
BCD
△
的面积为
1
1
sin 45
2
4
BCD
S
BD CD
；
②当
3
2
BD
时，
BCD
△
的面积为
1
3
sin 45
2
4
BCD
S
BD CD
．
6.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
2
1
2
sin
2
a
b
A
，
，
，则C=（
）
A．π 6
B．π 4
C．π 3
D．π 2
【答案】B
【详解】根据正弦定理sin
sin
a
b
A
B
，即
sin
sin
1
b
A
B
a
，则
π
2
B
，
2
sin
2
A
，a
b
，则
π
4
A
，所以
π
4
C
B
A
.
故选：B
7.在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
π
3
A
，
7
a
，
2
b
.
(1)求sinB；
(2)求ABC
的面积.
【答案】(1)
21
7
(2) 3 3
2
【详解】（1）由正弦定理，得sin
sin
a
b
A
B
，
所以
3
2
sin
21
2
sin
7
7
b
A
B
a
.
（2）由余弦定理，
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
，
所以
2
2
2
π
7
2
2 2
cos 3
c
c
，
所以
2
2
3
0
c
c
，解得
3
c
或
1
c （舍）,
所以
1
1
3
3 3
sin
2 3
2
2
2
2
ABC
S
bc
A
△
，
故ABC
的面积为3 3
2
.
题型三：判断三角形的形状
1.设ABC
的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
cos
cos
cos
a
A
b
B
c
C
，则ABC
的形状是
（
）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．三边比为1：2：3 的三角形
【答案】B
【解析】因为
cos
cos
a
A
b
B
，由正弦定理可得sin
cos
sin
cos
A
A
B
B
，即sin 2
sin 2
A
B
，
因为A ，B 为三角形的内角，所以2
2
A
B
或2
2
π
A
B
，即A
B
或
π
2
A
B
，
同理可得B
C
或
π
2
B
C
；
当A
B
时，
π
2
B
C
不可能成立（三内角和不等于π），
当
π
2
A
B
时，
π
2
B
C
也不可能成立，
所以只有A B C
，即ABC
为等边三角形，故选：B
2.若
3
a
b
c
b
c
a
bc
，且cos
cos
c
B
b
C
，那么ABC
是（
）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】A
【详解】因为
3
a
b
c
b
c
a
bc
，则
2
2
3
b
c
a
bc
，可得
2
2
2
b
c
a
bc
，
由余弦定理可得
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
，因为
0,π
A
，所以，
π
3
A
，
因为cos
cos
c
B
b
C
，则
2
2
2
2
2
2
2
2
a
c
b
a
b
c
c
b
ac
ab
，整理可得b
c
.
所以，ABC
为等边三角形.
故选：A.
3.在ABC
中，
2
cos 2
2
B
a
c
c
，则ABC
的形状为
三角形．
【答案】直角
【详解】在ABC
中，由
2
cos 2
2
B
a
c
c
，得1
cos
1
a
B
c
，即
cos
a
c
B
，
由余弦定理得
2
2
2
2
a
c
b
a
c
ac
，整理得
2
2
2
a
b
c ，
所以ABC
是直角三角形.
故答案为：直角
4.已知ABC
内角A，B，C 的对边为a，b，c，若cos
cos
2
2
a
b
A
B
，
2
2
2
c
a
b
ab
，则ABC
的形状是（
）
A．钝角三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】由
2
2
2
c
a
b
ab
，得
2
2
2
a
b
c
ab
，
而
2
2
2
1
cos
2
2
2
a
b
c
ab
C
ab
ab
，又0
180
C
，
所以
60
C
.
cos
cos
2
2
a
b
A
B
，由正弦定理得
sin
sin
cos
cos
2
2
A
B
A
B
，
即
2sin
cos
2sin
cos
2
2
2
2
cos
cos
2
2
A
A
B
B
A
B
，得sin
sin
2
2
A
B
，
所以2
2
A
B
或
180
2
2
A
B
，得A
B
或
360
A
B
（舍去），
所以A
B
，即ABC
为等边三角形.
故选：B
5.在ABC
中，若cos
cos
A
b
B
a
，则该三角形的形状一定是（
）
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等边三角形
【答案】C
【详解】cos
cos
A
b
B
a
，
cos
cos
a
A
b
B
，
根据正弦定理可知：sin
cos
sin
cos
A
A
B
B
，
sin 2
sin 2
A
B
，
在ABC
中，A
B
，或2
2
A
B
，即
2
A
B
，即
2
C
.
ABC
为等腰三角形或直角三角形.
故选：C
6.在ABC
中，有
1 cos2
2sin(
) 1
2
C
A
B
，试判断ABC
的形状
（从“直角三角形”，“锐角三角
形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）.
【答案】直角三角形
【详解】由二倍角公式
2
cos 2
1
2sin
C
C
可知，
2
2
1
1 2sin
1 cos2
sin
sin
sin
2
2
C
C
C
C
C
，
且注意到在ABC
中，有sin(
)
sin(π
)
sin
A
B
C
C
，
因此可将已知
1 cos2
2sin(
) 1
2
C
A
B
转换为2sin
1
sin
C
C
，解得sin
1
C ，
因为C 是ABC
的一个内角，所以
π
2
C
，即ABC
是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
7.在ABC
中，sin
sin 2 ,
2
B
A c
a
，则（
）
A．
B
为直角
B．
B
为钝角
C．
C
为直角
D．
C
为钝角
【答案】C
【详解】由sin
sin 2
2sin
cos
B
A
A
A
，即
2 cos
b
a
A
，cos
2
b
A
a
，
又
2
c
a
，所以
2
2
2
2
2
2
4
cos
2
2
2
2
b
c
a
b
a
a
b
A
bc
b
a
a
，化简得
3
b
a
，
则
: :
1: 3 : 2
a b c
，故在ABC
中，
π
π
π
,
,
6
3
2
A
B
C
，
故选：C
题型四：三角形解的个数
1.（多选）ABC
中，内角A，B，C 对边长分别为a，b，c，下列选项的三角形有两解的是（
）
A．
14
a
，
7 3
b
，
45
B
B．
15
a
，
20
b
，
30
A
C．
47
b
，
38
c
，
50
B
D．
25
b
，
13
c
，
23
C
【答案】ABD
【详解】易知
0,π ,
180
A
B
C
A
B
C
、、
，
对于A，由正弦定理可知
6
2
3
sin
sin
,
3
2
2
a
A
B
b
由正弦函数的图象与性质可得45
60
A
或120
135
A
，
又a
b
A
B
，则A 有两个解，即A 正确；
对于B，同上
2
1
2
sin
sin
,
30
45
3
2
2
b
B
A
B
a
或135
150
B
,
又a
b
A
B
，则B 有两个解，即B 正确；
对于C，同上得
38
sin
sin
sin 50
sin 50
47
c
C
B
b
，且
50
c
b
C
B
C
，
故C 只有一解，即C 错误；
对于D，如下图所示AD
BC
，则易知
25
25sin 23
13
25
2
，即此时有两解，即D 正确.
故选：ABD
2.在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
π
3
A
，
3
a
，
2
b
，则此三角形的解的情
况是（
）
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
【答案】A
【详解】由sin
sin
a
b
A
B
，得
3
2
sin
2
2
sin
2
3
b
A
B
a
，
又a
b
，
π
3
A
，故B 只能为锐角，即
π
4
B
，
故该三角形只有一解．
故选：A.
3.在
ABC
D
中，
60
A
，
5
a
，
6
b
，满足条件的
ABC
D
（
）
A．有无数多个
B．有两个
C．有一个
D．不存在
【答案】D
【分析】利用正弦定理求出sin B ，再结合正弦函数的性质判断即可.
【详解】因为
60
A
，
5
a
，
6
b
，
由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
，即
5
6
sin
3
2
B
，所以
3 3
sin
5
B
，
又
3 3
sin
1
5
B
，
由正弦函数的性质可得B 不存在，所以满足条件的ABC
不存在.
故选：D
4.在ABC
中，已知
3
cos
5
A
，sin B
a
，若cosC 有唯一值，则实数a 的取值范围为（
）
A．
4
0, 5
B．
3
0,
{1}
5
C．
4
0,
{1}
5
D．4 ,1
5
【答案】C
【详解】由
3
cos
5
A
可得：
π
0, 2
A
，且
2
4
sin
1
cos
5
A
A
，
若
4
0
5
a
，则sin
sin
B
A
，由正弦定理可得AC
BC
,
则B
A
，所以B 为锐角，
此时B 唯一，则C 也唯一，所以cosC 有唯一值.
当sin
1
B
a
时，
π
2
B
，则此时B 唯一，则C 也唯一，所以cosC 有唯一值.
当4
1
5
a
时，因为sin B
a
，根据正弦函数图像易知，sin x
a
在
0,π 上存在两个根，所以B 存在两个
值满足sin B
a
，所以不成立.
故选：C
5.设ABC
的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
2
b
，
45
A
，当ABC
有两个解时，a 的取值
范围是
.
【答案】
2,2
【详解】由正弦定理可知sin
sin
a
b
A
B
，即
2
sin
2
2
a
B
，所以
2
sin B
a
，
因为ABC
有两个解，即B 有两解，又
45
A
，则0
135
B
，
由正弦函数
sin
y
x
的性质，可得45
135
B
且
90
B
，
所以
2
sin
1
2
B
，即
2
2
1
2
a
，解得
2
2
a
，
即a 的取值范围是
2,2 .
故答案为：
2,2
6.在ABC
中，
60
A
，
5
a
，
6
b
，满足条件的ABC
（
）
A．有无数多个
B．有两个
C．有一个
D．不存在
【答案】D
【详解】因为
60
A
，
5
a
，
6
b
，
由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
，即
5
6
sin
3
2
B
，所以
3 3
sin
5
B
，
又
3 3
sin
1
5
B
，
由正弦函数的性质可得B 不存在，所以满足条件的ABC
不存在.
故选：D
7.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c .若
π ,
4
3
B
a
，且该三角形有两解，则b 的范围是（
）
A．
2 3,
B．
2 3,4
C．
0,4
D．
3 3,4
【答案】B
【详解】由正弦定理得sin
sin
a
b
A
B
，所以
π
4 sin
sin
2 3
3
sin
sin
sin
a
B
b
A
A
A
,
因为该三角形有两解，故π
2π
π
,
3
3
2
B
A
A
,
故
3
sin
(
,1)
2
A
，即
2 3
(2 3,4)
sin
b
A
，
故选：B
8.（多选）已知ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, , ,
a b c 则下列说法正确的是（
）
A．若
2
30
a
b
B
，
=
=
° ，则ABC
有一个解
B．若
2
30
a
b
B
，
=
=
° ，则ABC
有两个解
C．若sin 2
sin 2
A
B
，则ABC
为等腰三角形
D．若sin
cos
A
C
，则ABC
为钝角三角形
【答案】ABD
【详解】对于A，由正弦定理，sin
2sin
1
A
B
=
= ，因为30
150
A
，
因此
90
A
，有唯一解，故A 正确；
对于B，由正弦定理，
2
sin
2 sin
2
A
B
，因为30
150
A
，
所以
45
A
o 或
135
A
，有两解，故B 正确；
对于C，因为0
180 ,0
180
A
B
，sin 2
sin 2
A
B
，
所以2
2
A
B
或2
2
180
A
B
o ，即A
B
或
90
A
B
，因此为等腰或直角三角形，
故C 错误；
对于D，当A 为钝角时，ABC
为钝角三角形，
当A 为直角时，不满足条件，
当A 为锐角时，sin
cos(90
)
cos
A
A
C
o
=
-
<
，因此90
A
C
o -
>
，
90
A
C
o
+
<
，
因此ABC
为钝角三角形，故D 正确.
故选：ABD.
9.在ABC
中，已知
π
6
A
，
2
a
，若ABC
有两解，则边b 的取值范围为
.
【答案】
2,4
【详解】
由图可得，要使ABC
有两解，则sin
b
A
a
b
，即1
2
2 b
b
，解得2
4
b
.
故答案为：
2,4 .
题型五：利用正（余）弦定理求范围或最值
1.在锐角ABC
中，角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若cos
cos
1
a
C
c
A
，
2
1
a
bc
，则a 的取值范围
是
.
【答案】
2, 3
【详解】设ABC
外接圆的半径为R，则
cos
cos
2
sin
cos
sin
cos
2 sin
2 sin
a
C
c
A
R
A
C
C
A
R
A
C
R
B
b
，
即
1
b .
因为
2
1
a
bc
，所以
2
2
a
b
bc
，由正弦定理得
2
2
sin
sin
sin
sin
A
B
B
C
，
由二倍角公式得1
cos 2
1
cos 2
sin
sin
2
2
A
B
B
C
，
则
1 cos 2
cos 2
sin
sin
2
B
A
B
C
.
由和差化积公式得
sin
sin
sin
sin
A
B
A
B
B
C
，即
sin
sin
sin
sin
C
A
B
B
C
.
又因为ABC
为锐角三角形，所以
π
0, 2
C
，sin
0
C
，所以
sin
sin
A
B
B
，
所以A
B
B
或
π
A
B
B
A
（舍去），
即
2
A
B
，sin
sin 2
2sin
cos
A
B
B
B
，
由正弦定理得
2cos
a
B
b
，即
2cos
a
B
.
由题意得
π
0
2
2
A
B
，解得
π
0 4
,
B
，
2
0
3
π
π
C
B
，解得
π π
6 3
,
B
，
又
π
0 2
,
B
，所以
π π
6 4
,
B
，
所以
2
3
cos
,
2
2
B
，则a 的取值范围是
2, 3 .
故答案为：
2, 3 .
2.在锐角ABC
中，设边, ,
a b c 所对的角分别为
, ,
A B C ，且
2
2
a
b
bc
．
(1)证明：
2
A
B
(2)若
1
a ，求2b
c
的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2) 3 2 4 3
,
2
3
【详解】（1）因为
2
2
a
b
bc
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
sin
sin
cos
sin
2
b
c
a
c
bc
c
b
bc
b
B
b
C
A
B
c
，
整理得2sin
cos
sin
sin
B
A
C
B ，
又
π
C
A
B
，所以
sin
sin π
sin
C
A
B
A
B
，
所以
2sin
cos
sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin
B
A
A
B
B
A
B
A
B
B
，
整理得sin
sin
cos
cos
sin
B
A
B
A
B
，所以
sin
sin
B
A
B
，
因为ABC
为锐角三角形，所以
π
π
0
,0
2
2
B
A
，
所以
π
0
2
B
，所以
π
π
2
2
A
B
，
因为函数
sin
y
x
在
π π
,
2 2
上单调递增，
所以B
A
B
，即
2
A
B
.
（2）由（1）可知，
2 ,
π
3
A
B C
B
，
因为
1
a ，所以由正弦定理可得，
1
sin 2
sin
b
B
B
，即
1
2sin
cos
sin
b
B
B
B
，
因为
0,π ,sin
0
B
B
，所以
1
2cos
b
B
，
又
2
2
a
b
bc
，所以
2
1
b
bc
，即
1
b
c
b
，
所以
1
1
2
2cos
2cos
b
c
b
c
b
b
B
b
B
，
因为ABC
为锐角三角形，所以
π
0
2
π
0
2
2
π
0
π
3
2
B
B
B
，解得π
6
π
4
B
，
则
2
3
cos
2
2
B
.
记
2cos
t
B ，则
1
2b
c
t
t
，
2, 3
t
由对勾函数可知，
1
y
t
t
在
2, 3 上单调递增，
所以3 2
4 3
2
3
y
，即2b
c
的取值范围为3 2 4 3
,
2
3
3.在ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2 cos
cos
cos2
3
a
A
B
b
A
c
b
.
(1)求角A；
(2)若ABC
的面积为1，求a 的最小值.
【答案】(1)
6
A
(2)
6
2
【详解】（1）由已知
2 cos
cos
1 cos2
3
a
A
B
b
A
c
，
2
2 cos
cos
2 cos
3
a
A
B
b
A
c
，
由正弦定理
2
2sin
cos
cos
2sin
cos
3sin
A
A
B
B
A
C
，
所以
2cos
sin
cos
sin
cos
3sin
A
A
B
B
A
C
，即
2cos
sin
3 sin
A
A
B
C
，
又
0,
C
，所以
3
cos
2
A
，解得
π
6
A
.
（2）由题1
sin
1
2 bc
A ，得
4
bc
，
又
2
2
2
2
2
2
cos
4 3
2
4 3
8
4 3
a
b
c
bc
A
b
c
bc
（b
c
时取“=”）
所以，
8
4 3
6
2
a
即a 的最小值是
6
2
，
2
b
c
时取等号.
4.已知ABC
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
2
sin 2
2 3sin
3,
0, 2
C
C
C
．
(1)若
3,
4
a
b
，求c 的值以及ABC
的面积；
(2)若
14
0
1 ,tan
2
BM
BC
BAC
，求cos
BAC
的值以及AM
CM 的取值范围．
【答案】(1)
7 ，
3
(2)
2
cos
3
BAC
，
1 ,
2
AM
CM
【详解】（1）解：由
2
sin 2
3 1
2sin
3 cos 2
C
C
C
，可得tan 2
3
C
，
因为
π
0, 2
C
，所以
2
0,π
C
，所以
π
2
3
C
，可得
π
6
C
，
由余弦定理得
2
2
3
2
cos
3 16
2
3
4
7
2
c
a
b
ab
C
，
所以ABC
的面积
1
1
1
sin
3
4
3
2
2
2
S
ab
C
．
（2）解：因为
14
tan
2
BAC
，所以
2
2
sin
14
cos
2
sin
cos
1
BAC
BAC
BAC
BAC
，
解得
7
2
,cos
i
3
s
3
n
BAC
BAC
，
在AMC
中，由正弦定理得sin
sin
AM
CM
C
MAC
，则
sin
1
sin
2sin
AM
C
CM
MAC
MAC
，
因为
π
0
,
2
MAC
BAC
BAC
，故
sin
0,1
MAC
，所以
1 ,
2
AM
CM
，
即AM
CM 的取值范围为1 ,
2
.
5.在锐角ABC
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，为cos
cos
2 cos .
c
B
b
C
a
A
(1)求角A 的大小；
(2)当
3
a
时，求
2
b
c
的取值范围.
【答案】(1)
π
3
A
(2) 3 , 3
2
【详解】（1）由正弦定理得：sin
cos
sin
cos
2sin
cos
C
B
B
C
A
A
，
所以sin(
)
2sin
cos
C
B
A
A
，即sin
2sin
cos
A
A
A
，
因为sin
0
A
，所以
1
cos
2
A
，
又
(0,π)
A
，所以
π
3
A
（2）
3
a
，
π
3
A
，由正弦定理
3
2
π
sin
sin
sin
sin 3
a
b
c
A
B
C
，
所以
2π
3
3
π
sin
sin
sin
sin
sin
cos
3 cos
2
3
2
2
3
b
c
B
C
B
B
B
B
B
，
因为ABC
为锐角三角形，所以
π π
(
,
)
6 2
B
，则
π
π π
(
,
)
3
6 6
B
，
所以
π
3
cos
,1
3
2
B
，
所以
3 , 3 .
2
2
b
c
6.在ABC
中，角A、B、C 所对边分别记为a，b，c，且向量
,
2
m
b c
a
与向量
cos
,cos
n
C
B
垂直．
(1)若
3
a
c
，求sin
sin
B
C 的值；
(2)若角B 的内角平分线与AC 相交于点
,
3
D BD
，求b 的最小值．
【答案】(1)
7
(2)2
【详解】（1）向量
,
2
m
b c
a
与向量
cos
,cos
n
C
B
垂直，
则
cos
2
cos
0
b
C
c
a
B
，
由正弦定理得sin
cos
sin
cos
2sin
cos
0
B
C
C
B
A
B
，
则
sin
2sin
cos
0,
sin
2sin
cos
B
C
A
B
A
A
B
，
1
π
sin
0,
cos
,
0, π ,
2
3
A
B
B
B
，
2
2
2
2
2
,
3 ,
7
,
7
b
b
a
c
ac
a
c
b
c
c
，
即sin
7
sin
B
C
；
（2）根据题意，因为BD 为角B 的内角平分线，
所以
1
3
1
1
1
1
3
3
2
2
2
2
2
2
ABC
ABD
CBD
S
S
S
ac
c
a
1
1
1
ac
a
c
a
c
，
根据余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
2
1
(
)
3
(
)
3
(
)
2
4
a
c
b
a
c
ac
a
c
ac
a
c
a
c
，
又
1
1
2
4
c
a
a
c
a
c
a
c
，
所以
2
2
1 (
)
4
4
b
a
c
，（当且仅当
2
a
c
，取等号），
所以
2
b
，所以b 的最小值为2．
题型六：综合运用正弦定理、余弦定理解三角形
1.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且2sin
3sin
B
C
，若
2
1,cos
3
b
c
A
，则
a
．
【答案】
5
【详解】由于2sin
3sin
B
C
，由正弦定理可得2
3
b
c
，
因为
1
b
c
解得
2,
3
c
b
，
又
2
cos
3
A
，由余弦定理得
2
2
2
2
2
cos
4
9
2
2 3
5
3
a
b
c
bc
A
，
解得
5
a
．
故答案为：
5 .
2.在ABC
中，
2π
2
,
,
2
3
CM
MB
AMB
AM
，则
2
2
AC
AB
的最小值为
.
【答案】4
2 3
【详解】设
2
2
0
CM
BM
m
，
则在ABM
中，
2
2
2
2
2
cos
4
2
AB
BM
AM
BM AM
AMB
m
m
，
在
ACM
△
中，
2
2
2
2
2
cos
4
4
4
AC
CM
AM
CM AM
AMC
m
m
，
所以
2
2
2
2
2
2
4
4
2
12 1
4
4
4
4
2
4
2
m
m
m
AC
m
m
AB
m
m
m
m
12
12
4
4
4
2 3
3
3
1
2
1
1
1
m
m
m
m
；
当且仅当
3
1
1
m
m
，即
3
1
m
时，等号成立；
即
2
2
AC
AB
的最小值为4
2 3
.
故答案为：4
2 3
3.已知ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin
sin
sin(
)
sin
sin
sin
sin
A
C
A
C
B
C
A
C
．
(1)求A ；
(2)若角A 的平分线AD 交BC 于点D ，且
2
AD
，求ABC
面积的最小值．
【答案】(1)
2
3
A
(2) 4 3
【详解】（1）由已知sin
sin
sin(
)
sin
sin
sin
sin
A
C
A
C
B
C
A
C
，得sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
A
C
B
B
C
A
C
，
在ABC
中，由正弦定理得a
c
b
b
c
a
c
，即
2
2
2
b
c
a
bc
．
再由余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
2
b
c
a
bc
A
bc
bc
．
又
(0,π)
A
，所以
2π
3
A
.
（2）因为AD 是角A 的平分线，则
π
3
BAD
CAD
，
又
1
1
3
sin
sin
(
)
2
2
2
ABC
ABO
ACD
S
S
S
AB AD
BAD
AC AD
CAD
b
c
△
△
△
，
又
1
3
sin
2
4
ABC
S
AB AC
A
bc
，所以
3
3
(
)
2
4
b
c
bc
，得到
1
2
b
c
bc
+ =
，
又因为
2
b
c
bc
，得到1
2
2 bc
bc
，解得
4
bc
，即
16
bc
，
当且仅当b
c
时等号成立，所以
1
3
sin
4 3
2
4
ABC
S
bc
A
bc
，
即ABC
面积的最小值是4 3 ．
4.在ABC
中，
2
B
A
，点D 在线段AB 上，且满足2
3
AD
BD
，
ACD
BCD
，则cos A等于
.
【答案】3
4 /0.75
【详解】
在ABC
中，角
,
,
A B C 对应的边分别为, ,
a b c ，点D 在线段AB 上，且满足2
3
AD
BD
，
所以
3
3
2
,
5
5
5
AD
AB
c BD
c
，又
ACD
BCD
，
所以由角平分线定理可得AC
BC
AD
BD
，所以3
2
5
5
b
a
c
c
，则
3
2
b
a
，
又
2
B
A
，所以sin
sin 2
2sin
cos
B
A
A
A
，则
sin
cos
2sin
B
A
A
，
由正弦定理得
3
sin
3
2
cos
2sin
2
2
4
a
B
b
A
A
a
a
.
故答案为：3
4 .
5.在ABC
中，设角
,
A B 及C 所对边的边长分别为,a b 及c ，若
3
a
，
5
c
，
2
B
A
，则边长b
．
【答案】2 6
【详解】由正弦定理得
sin
sin
sin
a
c
c
A
C
A
B
，即
3
5
sin
sin 3
A
A
，
5sin
3sin3
3sin
cos2
3cos
sin 2
A
A
A
A
A
A
2
2
2
3sin
2cos
1
6sin
cos
12sin
cos
3sin
A
A
A
A
A
A
A
，
由于
2
B
A
，所以A 为锐角，sin
0
A
,
所以
2
6
12cos
8,cos
3
A
A
，
由正弦定理得sin
sin
sin 2
2sin
cos
a
b
b
b
A
B
A
A
A
，
则
6
,
2 cos
2 3
2 6
2cos
3
b
a
b
a
A
A
.
故答案为：2 6
6.已知, ,
a b c 分别为ABC
内角
, ,
A B C 的对边，若ABC
同时满足下列四个条件中的三个：①
3
a
；②
2
b
；③sin
sin
sin
B
C
a
c
A
b
c ；④
2
1
cos
sin
sin
2
4
B
C
B
C
．
(1)满足有解三角形的序号组合有哪些，说明理由？
(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应ABC
的面积．
【答案】(1)①②③，①②④，理由见解析
(2)答案不唯一，具体见解析
【详解】（1）对于③，
2
2
2
1
2 π
,
0, π ,
2
2
3
b
c
a
c
a
c
b
B
B
a
b
c
ac
；
对于④，
1 cos
1
1
sin sin
cos
2sin sin
2
4
2
B
C
B
C
B
C
B
C
，
即
1
cos
2
B
C
，且
π,0
,
,
π
A
B
C
A B C
，则
π
3
A
，
故③，④不能同时存在，则满足有解三角形的序号组合为①②③，①②④．
（2）选①②③：
2π
3,
2,
3
a
b
B
时，
由余弦定理：
2
2
2
2
1
3
4
cos
2
2
2 3
a
c
b
c
B
ac
c
，
整理得：
2
3
1
0
c
c
且
0
c
，则
7
3
2
c
，
ABC
的面积为
3
7
3
1
sin
2
8
ABC
S
ac
B
．
选①②④：
π
3,
2,
3
a
b
A
时，
由余弦定理：
2
2
2
2
1
4
3
cos
2
2
4
b
c
a
c
A
bc
c
，
整理得：
2
2
1
0
c
c
，则
1
c ，
ABC
的面积
1
3
sin
2
2
ABC
S
bc
A
．
题型七：求三角形面积（定值）
1.在ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且cos
cos
2 cos
0
b
A
a
B
c
A
.
(1)求角A 的大小；
(2)D 是边BC 上的一点，且
2
BD
CD
，AD 平分
BAC
，且
3
AD
，求ABC
的面积.
【答案】(1)
π
3
A
(2) 9
3
8
【详解】（1）由cos
cos
2 cos
0
b
A
a
B
c
A
及正弦定理知：
sin
cos
sin
cos
2sin
cos
0
B
A
A
B
C
A
，
所以sin(
)
2sin
cos
0.
A
B
C
A
由
π
A
B
C
，得sin
2sin
cos
0
C
C
A
，
由
(0,π)
C
，所以sin
0
C ，则
1
cos
2
A
，
由
(0,π)
A
，所以
π
3
A
.
（2）如图，由
2
1
ABD
ACD
S
BD
S
DC
，
sin
sin
ABD
ACD
S
AB AD
BAD
AB
S
AC AD
CAD
AC
且
2
BD
CD
，AD 平分
BAC
，
得
2
AB
BD
AC
CD
，
令
(
0)
AC
m m
，则
2
AB
m
，又
3
AD
，且
π
3
BAC
，
因为
2
2
1
2
3
3
3
3
AD
AB
BD
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
，
所以
2
2
2
1
4
4
9
9
9
AD
AB
AB AC
AC
2
2
π
cos
1
4
4
9
9
3
9
AB
AB
AC
AC
，
即：
2
2
4
4
1
4
3
2
9
9
2
9
m
m
m
m
，
化简得
2
9
4
m
，所以
3
2
m
，即
3
2
AC
，
3
AB ，
故ABC
的面积
1
1
3
3
9
sin
3
3
2
2
2
2
8
S
AB AC
A
.
2.在ABC
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
1
tan
3,cos
3
B
C
，且
3 6
b
.
(1)求cosA 的值；
(2)求ABC
的面积；
【答案】(1) 2 6
1
6
(2)6 2
8 3
【详解】（1）
π
tan
3,0
π,
3
B
B
B
.
2
1
2 2
cos
,0
π,
sin
1
cos
.
3
3
C
B
C
C
π
1
1
3
2 2
2 6
1
cos
cos
cos 3
2
3
2
3
6
A
B
C
C
.
由正弦定理sin
sin
b
c
B
C
可得
2 2
3 6
sin
8
sin
2
3
3
b
C
c
B
.
（2）
π
3
1
1
2 2
3
2 2
sin
sin
sin 3
2
3
2
3
6
A
B
C
C
，
所以ABC
的面积
1
1
3
2 2
sin
8 3 6
6 2
8 3
2
2
6
ABC
S
bc
A
.
3. ABC
的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
6
a
，sin
sin
2
B
C
b
a
B
．
(1)求角A 的大小；
(2) M 为ABC
的重心，AM 的延长线交BC 于点D ，且
2 3
AM
，求ABC
的面积．
【答案】(1) π
3
(2)9 3
【详解】（1）在ABC
中，因为
π
sin
sin
cos
sin
2
2
2
2
B
C
A
A
b
b
b
a
B
，
由正弦定理可得sin cos
sin sin
2
A
B
A
B
,
0
π
B
，
0
sinB
，即cos
sin
2
A
A
，
所以cos
2sin
cos
2
2
2
A
A
A
，
π
0
π,
0
2
2
A
A
，
cos
0
2
A
，
故
1
sin 2
2
A
，即
π
3
A
.
（2）因为M 为ABC
的重心，AM 的延长线交BC 于点D ，且
2 3
AM
，
所以点D 为BC 中点，且
3 3
AD
，在ABC
中，
6
a
，
2
2
2
6
1
cos
2
2
b
c
A
bc
，即
2
2
36
bc
b
c
，
在
ABD
△
和ACD
中，
2
2
2
2
2
2
cos
cos
2
2
AD
BD
c
AD
CD
b
ADB
ADC
AD BD
AD CD
,化简得
2
2
72
b
c
，
所以
2
2
36
72
36
36
bc
b
c
，故
1
1
π
sin
36 sin
9 3
2
2
3
ABC
S
bc
A
，
所以ABC
的面积为9 3 ．
4.在ABC
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
6
sin
2sin
sin
6
A
C
B
，
6
b
c ．
(1)求：cosB 的值．
(2)求：
π
cos 2
3
B
的值．
(3)若
3 2
b
，求：ABC
的面积．
【答案】(1) 2
3
(2) 4 15
1
18
(3) 3 5
2
【详解】（1）
6
sin
2sin
sin
6
A
C
B
Q
，由正弦定理得：
6
2
6
a
c
b
将
6
b
c 这入上式得
3
a
c
，由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
9
6
2
cos
2
2 3
3
a
c
b
c
c
c
B
ac
c c
.
（2）
2
1
cos2
2cos
1
9
B
B
，由
2
2
sin
cos
1
B
B
，则
5
sin
3
B
，
又
0,π
B
，即sin
0
B
，
5
sin
3
B
，又
4 5
sin2
2sin cos
9
B
B
B
Q
，
又
π
π
π
1
1
4 5
3
4 15
1
cos 2
cos2 cos
sin2 sin
3
3
3
9
2
9
2
18
B
B
B
.
（3）
3 2
b
Q
，由CD 知：
3
3 3
c
a
，
，由（2）可知
5
sin
3
B
，
又
1
1
5
3 5
sin
3 3
3
2
2
3
2
ABC
S
ac
B
V
Q
，
ABC
的面积为3 5
2
.
5.在ABC
中，已知tan
tan
1
tan
tan
A
B
A
B
，
2 2
AB
，
2 3
AC
．
(1)求角B ；
(2)若ABC
为锐角三角形，且
0
GA
GB
GC
，求
GAB
△
的面积.
【答案】(1)
π
3
B
或2π
3
(2)
3
1
3
GAB
S
△
【详解】（1）tan
tan
tan
tan
1
A
B
A
B
，
在三角形中，tan
tan
0
A
B
，
tan
tan
1
A
B ，
tan
tan
1
1
tan
tan
A
B
A
B
，tan(
)
1
A
B
，
在ABC
中，
π
A
B
C
，
tan
tan(
)
1
C
A
B
，
又0
π
C
，
π
4
C
，
2 3
AC
b
，
2 2
AB
c
，
由正弦定理sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
，得
2
2 3
sin
3
2
sin
2
2 2
b
C
B
c
，
b
c
，
π
3
B
或2π
3 ；
（2）因为ABC
为锐角三角形，所以
π
3
B
，
0
GA
GB
GC
，
点G 为三角形ABC
重心，
所以
1
1 1
sin
3
3 2
GAB
CAB
S
S
AB AC
A
，
又
6
2
sin
sin
4
B
C
A
，
所以
1 1
6
2
3
2 2 2 3
1
3 2
4
3
GAB
S
，
所以
GAB
△
的面积为
3
1
3 .
题型八：根据三角形面积求参数
1.设ABC
内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin
sin
2
A
C
a
b
A
.
(1)求B ；
(2)若
3
c
，且ABC
的面积为
3
2
，求角B 的角平分线的长.
【答案】(1)
60
B
(2) 6
5
【详解】（1）因为sin
sin
2
A
C
a
b
A
，由正弦定理可得sin
sin
sin sin
2
A
C
A
B
A
,
因为
0 ,180
A
，所以sin
0
A
，所以sin
sin
2
A
C
B
，
因为
180
A
B
C
，所以
90
2
2
A
C
B
，
因为sin
sin 90
cos
2
2
2
A
C
B
B
，所以cos
sin
2sin
cos
2
2
2
B
B
B
B
,
因为
0 ,90
2
B
，所以cos
0
2
B
，所以
1
sin 2
2
B
，
所以
30
2
B
，即
60
B
；
（2）因为
3
c
，
3
2
ABC
S
，所以1
3
sin
2
2
ac
B
,
即
2 3
3
a
，
设
ABC
的角平分线交AC 于D ，因为
ABC
ABD
CBD
S
S
S
，
所以1
1
2 3
3
3
sin30
sin30
2
2
3
2
BD
BD
，所以
6
5
BD
.
2.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, , ,
7
a b c c
b
且
2 cos
2
a
c
A
b
.
(1)求C 的值；
(2)若ABC
的面积为3 3，求BC 边上的高.
【答案】(1)
π
3
C
(2)
3
【详解】（1）利用正弦定理由
2 cos
2
a
c
A
b
可得sin
2sin
cos
2sin
A
C
A
B
，
又在ABC
中，易知
π
A
B
C
，可得
π
A
C
B
，所以
sin
sin π
sin
A
C
B
B
；
即
sin
2sin
cos
2sin
2sin
cos
2cos sin
A
C
A
A
C
A
C
A
C
，
可得sin
2sin
cos
A
A
C
，显然sin
0
A
，所以1
2cosC
，
所以
1
cos
2
C
，又
0, π
C
，可得
π
3
C
；
（2）由余弦定理可得
2
2
2
1
cos
2
2
a
b
c
C
ab
，
代入
7
c
b
整理可得
2
2
6
0
a
ab
b
，
解得
3
a
b
或
2
a
b
（舍）；
所以ABC
的面积为
1
sin
3 3
2
S
ab
C
，解得
2
b
，所以
6
a
；
设BC 边上的高为h ，则
1
1
3 3
2
2
S
h BC
ah
，可得
3
h
，
即BC 边上的高为
3 .
3.已知ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
1
cos
cos2
cos
cos2
2
a
A
B
b
B
A
c
.
(1)求角C；
(2)若
7,
c
ABC
△
的面积为15 3
4
，求ABC
的周长．
【答案】(1)
2π
3
C
(2)15
【详解】（1）因为
1
cos
cos 2
cos 2
cos
2
a
A
B
b
A
B
c
，
由正弦定理得2sin
cos
cos2
2sin
cos2 cos
sin
A
A
B
B
A
B
C
，
所以sin2 cos2
cos2 sin2
sin
A
B
A
B
C
，
所以
sin 2
2
sin
A
B
C
，
因为
π
A
B
C
，则
sin 2
2
sin 2π
2
sin 2
2sin
cos
A
B
C
C
C
C
，
即2sin
cos
sin
C
C
C
，
因为0
π
C
，所以sin
0
C
，所以
1
cos
2
C
，所以
2π
3
C
．
（2）因为
1
3
15 3
sin
2
4
4
ABC
S
ab
C
ab
△
，所以
15
ab
，
由余弦定理可得
2
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
a
b
ab
，
即
2
49
15
a
b
，得
8
a
b
．
所以ABC
的周长为
15
a
b
c
.
4.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知cos
cos
1
B
C
b
c
a
，且
a
2 2,c
a
b
．
(1)求bc 的值；
(2)若ABC
的面积
7
S
，求,b c 的值．
【答案】(1)
8
bc
(2)
2,
4
b
c
【详解】（1）由题意，将
2
2
2
2
2
2
cos
,cos
2
2
a
c
b
a
b
c
B
C
ac
ab
代入cos
cos
1
B
C
b
c
a
，
2
2
2
2
2
2
1
2
2
a
c
b
b
a
c
abc
abc
a
，即
2
2
1
2
a
abc
a
，所以
2
2
2 2
8
bc
a
．
故
8
bc
.
（2）由于
1
7
sin
4sin
7
sin
2
4
ABC
S
bc
A
A
A
，
，
又
,
c
a
b
A
为锐角，即
3
cos
4
A
.
2
2
2
2
2
3
24
3
cos
2
2
16
4
b
c
bc
b
c
b
c
a
A
bc
bc
，
6
b
c
.
所以
8
6
bc
b
c
，结合c
a
b
解得
2
4
b
c
.
故
2,
4
b
c
.
5.在ABC
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，2
2 cos
a
c
b
C
，
(1)求角B 的大小；
(2)若ABC
的面积为
3
4
，周长为3b，求AC 边上的高.
【答案】(1)
π
3
B
(2)
3
2
【详解】（1）由已知结合正弦定理边化角可得2sin
sin
2sin
cos
A
C
B
C
，
又
sin
sin
sin
cos
cos
sin
A
B
C
B
C
B
C
，
代入整理可得2cos
sin
sin
0
B
C
C
，
因为sin
0
C
，所以
1
cos
2
B
，
又0
π
B
，所以
π
3
B
，
（2）由
1
3
sin
2
4
S
ac
B
及
π
3
B
可得，
1
ac ，
又周长为3b，则
3
a
b
c
b
，所以
2
a
c
b
，
根据余弦定理可得，
2
2
2
2
2
π
2
cos
3
4
3
3
b
a
c
ac
a
c
ac
b
，
整理可得
1
b ，
设AC 边上的高为h，则
1
3
2
4
S
bh
，解得
3
2
h
，
所以AC 边上的高为
3
2
.
6.已知ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，面积为S，且
1
sin ,cos
4
S
ac
A
B
.
(1)求cosA ；
(2)若
15,
S
D
为AC 的中点，求BD 的长.
【答案】(1) 7
8
(2)
6
【详解】（1）方法一：由题意及三角形的面积公式，得1
sin
sin
2 ac
B
ac
A
，所以sin
2sin
B
A
.
由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
，得
2
b
a
.
由余弦定理的推论，得
2
2
2
2
2
3
1
cos
2
2
4
a
c
b
c
a
B
ac
ac
，整理得
2
2
3
0
c
a
c
a
.
因为
0,
0
a
c
，所以
2
0
c
a
，所以
2
b
c
a
=
=
.
由余弦定理的推论，得
2
2
2
2
2
2
4
4
7
cos
2
2 2
2
8
b
c
a
a
a
a
A
bc
a
a
.
方法二：（1）由已知及三角形的面积公式，得1
sin
sin
2 ac
B
ac
A
，所以sin
2sin
B
A
.
由
1
cos
4
B
，得
15
sin
4
B
，
所以
15
sin
8
A
.
在ABC
中，因为sin
sin
A
B
，所以A
B
.又B 为锐角，所以A 也为锐角，
所以
2
7
cos
1 sin
8
A
A
.
（2）方法一：由（1）知
2
15
sin
1
cos
,
2
8
A
A
c
a
.
又
sin ,
15
S
ac
A S
，所以
15
2
15
8
a
a
，解得
2
a
，
所以
2
4
b
c
a
.
在
ABD
△
中，由余弦定理，得
2
2
2
2
7
2
cos
4
2
2 4 2
6
2
2
8
b
b
BD
c
c
A
.
方法二：由（1），知
15
sin
8
A
.由
sin
15
S
ac
A
，得
8
ac
①.
由题意，知
15
1
7
15
15
sin
sin
sin cos
cos sin
8
4
8
4
4
C
A
B
A
B
A
B
，
所以
1
sin
15
2
S
ab
C
，所以
8
ab
②.
由（1）知sin
2sin
B
A
，所以
2
b
a
③.
由①②③，得
2,
4,
4
a
b
c
=
=
=
.
在
ABD
△
中，由余弦定理，得
2
2
2
2
7
2
cos
4
2
2 4 2
6
2
2
8
b
b
BD
c
c
A
题型九：三角形面积最值（范围）问题
1.在ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3
sin
3 cos
c
b
A
a
B
．
(1)求A ；
(2)若点D 是BC 上的点，AD 平分
BAC
，且
2
AD
，求ABC
面积的最小值．
【答案】(1)
2π
3
A
(2) 4 3
【详解】（1）由题意知ABC
中，3
sin
3 cos
c
b
A
a
B
，
故3sin
sin
sin
3sin
cos
C
B
A
A
B
，即
3 sin(
)
sin
sin
3 sin
cos
A
B
B
A
A
B
,
即
3(sin
cos
cos
sin
)
sin
sin
3 sin
cos
A
B
A
B
B
A
A
B
,
所以
3 cos
sin
sin
sin
0
A
B
B
A
，而
(0, π),
sin
0
B
B
，
故
3cos
sin
0
A
A
，即tan
3
A
，
又
(0,π)
A
，故
2π
3
A
；
（2）由于点D 是BC 上的点，AD 平分
BAC
，且
2
AD
，
则
1
π
2
3
BAD
CAD
BAC
，
由
ABC
ABD
ADC
S
S
S
，得1
2π
1
π
1
π
sin
2
sin
2
sin
2
3
2
3
2
3
bc
c
b
，
即
2(
)
bc
c
b
，则
2(
)
4
bc
c
b
bc
，当且仅当b
c
时取等号，
故
16
bc
，当且仅当
4
b
c
时取等号，
所以
1
3
sin
4 3
2
4
ABC
S
bc
A
bc
，
即ABC
面积的最小值为4 3 .
2.如图，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，
3
AB
，
7
BC
，ACD
为正三角形，
设
ABC
.
(1)求AC 的取值范围；
(2)当变化时，求四边形ABCD面积的最大值.
【答案】(1)
5,10
(2)
29
21
3
2
【详解】（1）因为四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，
所以
π
BAC
CAD
，又因为ACD
为正三角形，
π
3
CAD
，所以
2π
0
3
BAC
.
在ABC
中，由余弦定理得
2
2
2
cos
2
AB
AC
BC
BAC
AB AC
，
又因
1
cos
1
2
BAC
，
将
3
AB ，
7
BC
代入并整理得
2
3
40
0
AC
AC
且
2
6
40
0
AC
AC
，解得5
10
AC
，
所以AC 的取值范围是
5,10 ；
（2）在ABC
中，由余弦定理可得，
2
2
2
2
cos
9
49
2 3 7cos
58
42cos
AC
AB
BC
AB BC
，
由（1）知5
10
AC
，所以
11
cos
1,14
，
又因为ACD
为正三角形，所以
2
3
29
21
3
3 cos
4
2
2
ACD
S
AC
△
，
又
1
21
sin
sin
2
2
ABC
S
AB BC
△
，
所以
21
29
21
sin
3
3 cos
2
2
2
ABC
ACD
ABCD
S
S
S
△
△
四边形
1
3
29
29
21
sin
cos
3
21sin
3
2
2
2
3
2
，
所以当
π
π
3
2
，即
5π
6
时，且
5π
1
11
cos
1,
6
2
14
成立，
四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为
29
21
3
2
.
3.已知在锐角ABC
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，
2
cos
cos
a
b
C
c
B
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
2
a
，求ABC
的面积S 的取值范围．
【答案】(1) π
3
(2)
3 ,2 3
2
【详解】（1）由题意及正弦定理，得2sin
cos
sin
cos
sin
cos
A
C
B
C
C
B
，
即
2sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
A
C
B
C
C
B
B
C
，
因为
π
A
B
C
，所以
2sin
cos
sin
sin
A
C
B
C
A
，
因为
π
0, 2
A
，所以sin
0
A
，
1
cos
2
C
，
又因为
π
0, 2
C
，所以
π
3
C
．
（2）由（1）得
π
sin
sin
3
B
A
，
由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
，得
π
2sin
3
sin
A
b
A
，
所以
π
3sin
1
3
3
3
3
sin
2
2
sin
2
2tan
A
S
ab
C
b
A
A
，
因为ABC
是锐角三角形，所以
π
0
2
2π
π
0
3
2
A
A
，解得π
π
6
2
A
，
所以
3
3
3 3
tan
,0
3
2tan
2
A
A
，
从而
3 ,2 3
2
S
．
4.设ABC
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
cos
cos
cos
cos2
a
B
b
A
B
c
B
．
(1)求角B；
(2)若点D 在边AC 上，BD 平分
ABC
，且
3
BD
，求ABC
面积的最小值．
【答案】(1) 2π
3
(2)9 3
【详解】（1）因为
cos
cos
cos
cos2
a
B
b
A
B
c
B
，
由正弦定理得，
sin
cos
sin cos
cos
sin
cos2
A
B
B
A
B
C
B
，
所以
sin
cos
sin
cos2
A
B
B
C
B
，因为
π
A
B
C
，所以
sin
sin
A
B
C
，
所以sin
cos
sin
cos2
C
B
C
B
，因为sin
0
C
，所以cos
cos2
B
B
，
由二倍角公式得，
2
cos
2cos
1
B
B
，解得cos
1
B ，
1
cos
2
B
，
因为
0,π
B
，所以
2π
3
B
.
（2）因为
2π
3
ABC
，BD 平分
ABC
，所以
π
3
ABD
CBD
，
因为
3
BD
且
ABC
ABD
BCD
S
S
S
△
△
△
，所以1
2π
1
π
1
π
sin
3 sin
3 sin
2
3
2
3
2
3
ac
c
c
，
化简得，
3
3
ac
a
c
，因为3
3
2 9
6
a
c
ac
ac
，所以
6
ac
ac
，解得
36
ac
，
当且仅当
6
a
c
时取等，此时
1
2π
3
3
sin
36
9 3
2
3
4
4
ABC
S
ac
ac
，
所以ABC
面积的最小值为9 3 .
5.在ABC
中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，2
3
2 cos
c
b
a
B
.
(1)求角A；
(2)若
3
3
a
，求ABC
面积的最大值.
【答案】(1) π
6
(2) 3
2
【详解】（1）由条件及正弦定理得2sin
3sin
2sin
cos
C
B
A
B
，
因为sin
sin(
)
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
，
所以2sin
cos
2cos
sin
3sin
2sin
cos
A
B
A
B
B
A
B
，
故2cos
sin
3sin
A
B
B
，因为
(0, π)
B
，所以sin
0
B
，
故
3
cos
2
A
，因为
(0,π)
A
，所以
π
6
A
.
（2）由余弦定理得
2
2
2
cos
2
b
c
a
A
bc
，即
2
2
2
π
(3
3)
cos 6
2
b
c
bc
，
故
2
2
3
12
6 3
b
c
bc
，
由基本不等式得
2
2
2
b
c
bc
，即3
12
6 3
2
bc
bc
，
故
12
6 3
6
2
3
bc
，当且仅当b
c
时，等号成立，
故
1
1
1
3
sin
6
2
2
2
2
ABC
S
bc
A
.
6.已知ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
π
2 sin
cos
3 cos
4
b
A
b
A
a
B
．
(1)求B ；
(2)若
2 2
b
，求ABC
面积的最大值．
【答案】(1)
π
3
B
(2) 2 3
【详解】（1）因为
π
2 sin
cos
3 cos
4
b
A
b
A
a
B
，
所以sin
cos
cos
3 cos
b
A
b
A
b
A
a
B
，
即sin
3 cos
b
A
a
B
．
由正弦定理得sin
sin
3sin
cos
B
A
A
B
．
由
0,π
A
，得sin
0
A
，则
sin
tan
3
cos
B
B
B
，
由
0,π
B
，得
π
3
B
．
（2）由余弦定理得
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
，则
2
2
8
a
c
ac
．
由
2
2
8
2
a
c
ac
ac
ac
，得
8
ac ，当且仅当
2 2
a
c
时，等号成立．
故
1
3
sin
2 3
2
4
ABC
S
ac
B
ac
，即ABC
面积的最大值为2 3 ．
题型十：求三角形周长（定值）
1.在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
π
3
C
，cos
cos
a
B
b
A
abc
.
(1)求ABC
的面积；
(2)若
1
c ，求ABC
的周长.
【答案】(1)
3
4
(2)3
【详解】（1）由已知，在ABC
中有cos
cos
a
B
b
A
abc
，故sin cos
sin cos
sin
A
B
B
A
ab
C
，
即
sin
sin
A
B
ab
C
，
即sin
sin
C
ab
C
，而
(0,π),
sin
0
C
C
，所以
1
ab ，
又
π
3
C
，故ABC
的面积为1
1
3
3
sin
1
2
2
2
4
ab
C
.
（2）由余弦定理，得
2
2
2
cos
2
a
b
c
C
ab
，可得
2
2
1
1
2
2
a
b
，
所以
2
2
2
a
b
，
所以
2
2
2
(
)
2
4
a
b
a
b
ab
，即
2
a
b
，
所以ABC
的周长为3.
2.在ABC
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
3
cos
5
A
，
sin
sin
sin
3 sin
a
c
A
C
b
B
c
A
．
(1)证明：ABC
是锐角三角形；
(2)若
2
a
，求ABC
的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
2 3
【详解】（1）
sin
sin
sin
sin
3
A
C
A
a
c
B
b
c
，
由正弦定理得
2
2
3
a
c
b
ac
，
整理得
2
2
2
a
c
b
ac
．
由余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
a
c
b
B
ac
．
0,π
B
，
π
3
B
．
3
1
2
cos
,
5
2
2
A
，
0,π
A
，
π π
,
4 3
A
，
π 5π
,
3 12
C
，
, ,
A B C
均小于π
2 ，
ABC
是锐角三角形．
（2）
3
cos
5
A
Q
，
4
sin
5
A
，
又
3
B
，
4
1
3
3
4
3 3
sin
sin
sin
cos
sin
cos
5
2
2
5
10
C
A
B
A
B
B
A
，
在ABC
中，由正弦定理得sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
，
即
2
5
4
2
3
4
3 3
5
2
10
b
c
，
5 3
4
b
，
3 3
1
4
c
，
ABC
的周长为
5 3
3 3
2
1
3
2 3
4
4
a
b
c
．
3.在ABC
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且sin
sin
2
A
C
c
b
C
.
(1)求角B；
(2)设BD 是AC 边上的高，且
1
BD ，
3
b
，求ABC
的周长.
【答案】(1)
π
3
B
(2)3
3
【详解】（1）因为sin
sin
2
A
C
c
b
C
，
所以
π
sin
sin
sin
sin
2
2
B
C
B
C
，
因为
(0,π),sin
0
C
C
，
所以cos
sin
2
B
B
，即cos
2sin
cos
2
2
2
B
B
B
.
因为
π
0,
2
2
B
，cos
0
2
B
，
所以
1
sin 2
2
B
，解得
π
3
B
.
（2）因为
π
3
B
，
3
b
，
所以
1
1
3
1
3
2
2
2
ABC
S
b BD
.
又由
1
π
3
sin
2
3
4
ABC
S
ac
ac
，可得
3
3
4
2
ac
，所以
2
ac
.
由余弦定理
2
2
2
π
2
cos 3
b
a
c
ac
，可得
2
2
3
a
c
ac
，即
2
3
3
a
c
ac
，
即
2
3
6
9
a
c
，
所以
3
a
c
，
所以ABC
的周长为3
3
.
4.记ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
2
2
3 sin
sin
2sin sin
8sin sin cos
A
C
A
C
A
C
B
．
(1)证明：
2
a
c
b
；
(2)若
11
cos
14
B
，ABC
的面积为15
3
4
，求ABC
的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)15
【详解】（1）由正弦定理及余弦定理可得：
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
8
2
4
2
a
c
b
a
c
ac
ac
ac
a
c
b
ac
化简得：
2
2
(
)
4
2
a
c
b
a
c
b
.
（2）因为
11
cos
14
B
，且B 为三角形内角，
2
2
11
5
sin
1 cos
1
3
14
14
B
B
.
1
1
5
15
sin
3
3
2
2
14
4
ABC
S
ac
B
ac
，所以
21
ac
.
由余弦定理可得:
2
2
2
2
cos
a
c
b
ac
B
，
所以
2
2
(
)
2
(cos
1)
a
c
b
ac
B
，
11
2 ,
cos
,
21
14
a
c
b
B
ac
，
2
2
11
4
2 21
1
75
14
b
b
，即
2
25,
5
b
b
，
所以周长为
3
15
a
c
b
b
.
题型十一：三角形周长最值（范围）问题
1.如图，已知平面四边形ABCD存在外接圆，且
5
AB
，
2
BC
，
4
cos
5
ADC
．
(1)求ABC
的面积；
(2)求
ADC
△
的周长的最大值．
【答案】(1)3
(2)3 5
15 2
【详解】（1）因为平面四边形ABCD存在外接圆，
所以
π
ABC
ADC
，
4
cos
cos
5
ABC
ADC
，
又
0,π
ABC
，所以
2
2
4
3
sin
1
cos
1
5
5
ABC
ABC
，
所以ABC
的面积
1
1
3
sin
5 2
3
2
2
5
ABC
S
AB BC
ABC
△
．
（2）在ABC
中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
4
2
cos
5
2
2 5 2
45
5
AC
AB
BC
AB BC
ABC
，
解得
3 5
AC
．
在
ADC
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
AC
DA
DC
DA DC
ADC
，
即
2
2
2
8
18
45
5
5
DA
DC
DA DC
DA
DC
DA DC
2
2
2
18
1
5
2
10
DA
DC
DA
DC
DA
DC
．
由此得
15 2
DA
DC
，当且仅当
15 2
2
DA
DC
时，等号成立，
所以
max
15 2
DA
DC
，故
ADC
△
的周长
3 5
15 2
p
AC
CD
DA
．
2.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，已知2 cos
cos
a
A
c
B
CD
，CD
为CA
在CB
方向上的投影
向量．
(1)求A ；
(2)若
3
a
，求ABC
的周长的取值范围．
【答案】(1)
π
3
A
(2)2 3,3 3
【详解】（1）由CD
为CA
在CB
方向上的投影向量知，
cos
CD
b
C
，
所以2 cos
cos
cos
a
A
c
B
b
C
，
由正弦定理得2sin cos
sin cos
sin cos
sin
A
A
C
B
B
C
A
，
又sin
0
A
，所以
1
cos
2
A
，
又
0,π
A
．所以
π
3
A
；
（2）由正弦定理得
3
2
sin
sin
sin
3
2
b
c
a
B
C
A
．
所以
π
2sin
2sin
2sin
2sin
3
b
c
B
C
B
B
π
2sin
sin
3cos
2 3sin
6
B
B
B
B
，
因为
2π
0, 3
B
，所以
π
π 5π
,
6
6
6
B
，
所以
π
1
sin
,1
6
2
B
，所以
3,2 3
b
c
，
所以
2 3,3 3
a
b
c
，故ABC
的周长的取值范围是2 3,3 3．
3.在ABC
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且
π
sin
sin
3
a
C
c
A
．
(1)求角A 的大小；
(2)若ABC
的中线
3
AD
，求b
c
的最大值．
【答案】(1)
π
3
A
(2)4
【详解】
（1）由题可得，
1
3
sin
sin
cos
2
2
a
C
c
A
A
，结合正弦定理可得
1
3
sin sin
sin sin
sin cos
2
2
A
C
A
C
C
A
，
因为sin
0
C
，所以1
3
sin
cos
2
2
A
A
，得tan
3
A
，
因为
0,π
A
，所以
π
3
A
．
（2）易知
1
2
AD
AB
AC
，（技巧：向量的平行四边形法则）
两边同时平方得
2
2
2
1
2
4
AD
AB
AC
AB AC
，得
2
2
12
c
b
bc
．
法一：
2
2
12
c
b
bc
可化为
2
12
b
c
bc
，
因为
2
b
c
bc
，所以
2
4
b
c
bc
，
所以
2
3
12
4 b
c
，得
4
b
c
，
当且仅当
2
b
c
时取等号．（点拨：运用基本不等式求最值时，注意等号是否可以取到）
所以b
c
的最大值是4．
法二：
2
2
2
2
3
12
2
4
c
b
c
bc
b
c
，
令
3
2 3cos ,
2 3sin ,
2
2
c
b
c
则
2 3cos
2sin ,
4sin
b
c
，
所以
π
2sin
2 3cos
4sin
4
3
b
c
，
当且仅当
π
2 π
6
k
k
Z ，即
2
b
c
时等号成立．（点拨：三角函数的有界性）
所以b
c
的最大值为4．
4.在锐角ABC
中，内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
sin
sin
sin
sin
cos
cos
a
b
A
B
C
B
a
B
b
A
.
(1)求角A 的大小；
(2)若ABC
外接圆的半径为
3 ，求
2
2
2
b
c
a
的取值范围.
【答案】(1)
π
3
A
(2) 5 ,2
3
.
【详解】（1）因为
sin
sin
sin
sin
cos
cos
a
b
A
B
C
B
a
B
b
A
，
由正弦定理得
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
cos
sin
cos
A
B
A
B
C
B
A
B
B
A
sin
sin
sin
sin
sin
sin
C
B
A
B
C
B
C
，
由正弦定理得
a
b
a
b
c
b c
，所以
2
2
2
b
c
a
bc
，
由余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
2
b
c
a
bc
A
bc
bc
，
又
π
0, 2
A
，所以
π
3
A
.
（2）由正弦定理得
2 3
sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
，
所以
2 3sin
3
a
A
，
2 3sin
b
B
，
2 3sin
c
C
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2π
π
4sin
4sin
4sin
4sin
2 3sin
2 3sin
3
3
9
3
3
B
B
B
B
B
C
b
c
a
2
1
4
1
4
2
π
1
2sin
3sin 2
3sin 2
cos2
sin 2
3
3
3
3
3
6
B
B
B
B
B
，
因为ABC
是锐角三角形，所以
2
A
B
，所以π
π
2
6
B
，
所以
π
π 5π
2
,
6
6
6
B
，所以
π
1
sin 2
,1
6
2
B
，
所以
2
2
2
5,2
3
b
c
a
，
即
2
2
2
b
c
a
的取值范围是5 ,2
3
.
5.已知锐角ABC
内角
, ,
A B C 及对边, ,
a b c ，满足2
2 cos
c
b
a
B
.
(1)求A 的大小；
(2)若
1
a ，求ABC
周长的取值范围.
【答案】(1)
π
3
A
(2)3
1,3
.
【详解】（1）因为2
2 cos
c
b
a
B
，由正弦定理可得2sin
sin
2sin cos
C
B
A
B
，
又因为
sin
sin
sin cos
sin cos
C
A
B
A
B
B
A
，
所以sin
2sin
2sin cos
2cos sin
B
C
A
B
A
B
，
sin
0
B
，
可得
1
cos
2
A
，由
0,π
A
，可得
π
3
A
.
（2）因为
π
1,
3
a
A
，由正弦定理
1
2 3
sin
sin
3
3
2
b
c
B
C
，
可得
2 3
2 3
2 3
2π
sin ,
sin
sin
3
3
3
3
b
B c
C
B
，
可得
2 3
2π
2 3
3
1
sin
sin
sin
cos
sin
3
3
3
2
2
b
c
B
B
B
B
B
π
3sin
cos
2sin
6
B
B
B
，
因为锐角三角形ABC 中，所以
2π
π
0
3
2
π
0
2
B
B
，解得π
π
6
2
B
，所以π
π
2π
3
6
3
B
，
所以
π
3
sin
,1
6
2
B
，可得
π
2sin
3,2
6
b
c
B
.
ABC
周长的取值范围为3
1,3
.
6.在ABC
中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC
的面积为
ABC
S
．已知①
3
2
ABC
AB BC
S
；
②
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
B
A
B
A
C
C
A
；③
2
cos
cos
c
a
B
b
C
，从这三个条件中任选一
个，回答下列问题．
(1)求角B ；
(2)若
2 3
b
．求
2
2
a
c
的取值范围．
【答案】(1)
2π
3
B
(2)
8,12
【详解】（1）选①，由
3
2
ABC
AB BC
S
可得：
1
3
cos
2
sin
sin
2
ca
B
ac
B
ac
B
，故有
sin
tan
3
cos
B
B
B
，
又∵
0,π
B
，∴
2π
3
B
；
选②，∵
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
B
A
B
A
C
C
A
，
由正余弦定理得
2
2
2
c
ac
b
a
，∴
2
2
2
1
cos
2
2
a
c
b
B
ac
，
又
0, π
B
，∴
2π
3
B
；
选③，∵
2
cos
cos
c
a
B
b
C
，由正弦定理可得
sin
2sin
cos
sin
cos
C
A
B
B
C
，
∴
2sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
sin
A
B
B
C
C
B
C
B
A
，
∵
0,π
A
，∴sin
0
A
，∴
1
cos
2
B
，又
0,π
B
，∴
2π
3
B
．
（2）由余弦定理得
2
2
2
2
cos
12
c
a
b
ac
B
ac
∵
0
ac
，∴
2
2
12
a
c
．
又有
2
2
2
2
2
2
12
2
c
a
c
a
ac
c
a
，当且仅当
2
a
c
时取等号，
可得
2
2
8
c
a
．即
2
2
a
c
的取值范围是
8,12 ．
7.在ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且2 sin
sin
3 cos
b
C
c
B
c
B
，若D 为AC 边上一
点，AB
BD
，
2
BD
．
(1)求角B ；
(2)求2
1
AD
CD
的取值范围．
【答案】(1)
2π
3
B
(2)
3
2 ,1
【详解】（1）2 sin
sin
3 cos
b
C
c
B
c
B
，由正弦定理可得2sin
sin
sin
sin
3 sin
cos
B
C
C
B
C
B
，
即sin
sin
3sin
cos
B
C
C
B
，
因为0
π
C
，
sin
0
C
，故sin
3 cos
B
B ，
tan
3
B
，
又0
π
B
，故
2π
3
B
.
（2）
因为AB
BD
，故
2π
π
π
3
2
6
DBC
，
在
BCD
△
中，sin
sin
DC
BD
DBC
C
，得
π
2sin
1
6
sin
sin
CD
C
C
，
在
ABD
△
中，sin
sin
AD
BD
ABD
A
，得
π
2sin
2
2
sin
sin
AD
A
A
，
故2
1
sin
sin
A
C
AD
CD
，而
2π
3
ABC
，
π
3
A
C
，
所以2
1
π
3
1
π
sin
sin
sin
sin
cos
sin
sin(
)
3
2
2
3
A
C
C
C
C
C
C
AD
CD
，
由题意知
π
0 3
,
C
，
π
π 2π
3
3
3
,
C
，
故
π
3
sin
1,
3
2
C
，即2
1
AD
CD
的取值范围为
3
2 ,1
.
8.在单位圆上的三点A，B，C 构成的锐角ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别为
2
2
, , ,sin
sin
( 2sin
sin )sin
a b c
c
A
C
B
B
．
(1)求a；
(2)求
2b
c
的取值范围．
【答案】(1)
2
(2)
0, 2
【详解】（1）由
2
2
sin
sin
sin
( 2
sin )sin
C
C
A
B
B
及正弦定理得：
2
2
2
2
c
a
bc
b
，
由余弦定理得：
2
2
2
2
2
2
2
2
cosA
b
c
a
bc
bc
bc
，
又因为0
π
A
，所以
π
4
A
，
因为ABC
外接圆半径为1，
2sin
2
a
A
.
（2）因为ABC
的外接圆半径
1
R ，所以
,2
sin
sin
b
c
B
C
所以
2sin ,
2sin
b
B c
C
，
所以2
2 2sin
2sin
b
c
B
C
3π
2 2sin(
)
2sin
4
C
C
2cos
2sin
2sin
2cos
C
C
C
C
，
又因为ABC
为锐角三角形，即
π
0
2
3π
π
0
4
2
C
B
C
，故π
π
4
2
C
，
所以
2
0
cos
2
C
，所以
2
0
2cosC
，
所以0
2
2b
c
，即
2b
c
的取值范围是
0, 2 .
模块三：综合巩固
1.设ABC
的内角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
2 2,
4,C
45 ,
a
c
则A 的值可以为（
）
A．30
B．60
C．120
D．30或150
【答案】A
【分析】由正弦定理求出
1
sin
2
A
，结合
0 ,135
A
求出答案.
【详解】由正弦定理得sin
sin
a
c
A
C
，即2 2
4
sin
sin 45
A
，
故
1
sin
2
A
，
因为
45
C
，所以
0 ,135
A
，故
30
A
.
故选：A
2.在ABC
中，角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，
8 3,
6,
60
a
b
A
，则sin B （
）
A．2
3
B．
6
3
C．
2
2
D．3
8
【答案】D
【分析】利用正弦定理求得正确答案.
【详解】由正弦定理得
8 3
6
,
sin
sin
sin 60
sin
a
b
A
B
B
，
6 sin 60
3 3
3
sin
8
8 3
8 3
B
.
故选：D
3.在ABC
中，
4 2
a
，
45
A
o，b
m
，若满足条件的ABC
有两个，则m 的可能取值为（
）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】B
【分析】根据满足条件的ABC
有两个，可得出sin
b
A
a
b
，求出m 的取值范围，即可得解.
【详解】因为
45
A
o ，
4 2
a
，b
m
，且满足条件的ABC
有两个，
则sin
b
A
a
b
，即
2
4 2
2 m
m
，解得4 2
8
m
.
故选：B.
4.设ABC
的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin
cos
cos
a
A
b
C
c
B
，则ABC
的形状为（
）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【答案】A
【分析】运用正弦定理边化角及和角公式计算即可.
【详解】由
sin
cos
cos
a
A
b
C
c
B
及正弦定理得
2
sin
sin
cos
sin
cos
A
B
C
C
B
，
所以
2
sin
sin(
)
sin
A
B
C
A
．
又在ABC
中，sin
0
A
，所以sin
1
A ，
所以
π
2
A
，所以ABC
为直角三角形．
故选：A.
5.在ABC
中，已知
3
5
120
AB
AC
A
，
，
，则sin
sin
A
B （
）
A．5
7
B．7
5
C．3
5
D．5
3
【答案】B
【分析】根据余弦定理求解
7
BC
，即可根据正弦定理求解.
【详解】由余弦定理可得
2
2
2
2
1
2
cos
3
5
2 3 5
7
2
BC
AB
AC
AB AC
A
,
由正弦定理可得sin
7
sin
5
A
BC
B
AC
,
故选：B
6.在ABC
中，“cos2
cos2
A
B
”是“a
b
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】根据题意利用倍角公式和正弦定理结合充分、必要条件分析判断.
【分析】在ABC
中，
,
0,π
A B
，则sin
,sin
0
A
B
，
因为cos2
cos2
A
B
，等价于
2
2
1 2sin
1 2sin
A
B
，等价于sin
sin
A
B
，
由正弦定理可知：sin
sin
A
B
等价于a
b
，
所以“cos2
cos2
A
B
”是“ a
b
”的充要条件.
故选：C.
7.在ABC
中，
π,
4,
6
A
AB
BC
a
，且满足该条件的ABC
有两个，则a 的取值范围是（
）
A．
0,2
B．
2,2 3
C．
2,4
D．
2 3,4
【答案】C
【分析】由题意可知，画出
A
和边长AB ，以B 为圆心，a 为半径作圆与AC 边有两个交点时即可求出a
的取值范围.
【详解】根据题意如下图所示：
易知当BC
AC
时，
sin30
2
BC
AB
，若
2
a
满足条件的三角形只有一个；
由题可知以B 为圆心，a 为半径的圆与AC 边有两个交点时，即图中
1
2
,
C C 两点满足题意；
所以可得BC
a
AB
< <
，即2
4
a
；
即a 的取值范围是
2,4 .
故选：C
8.圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺
（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记
载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00 和中
午13：00 的太阳高度角分别为23（
ABC
）和83（
ADC
）．设表高AC 为1 米，则影差BD （
）
（参考数据：sin16
0.276
，
3
1.732
）
A．2.016 米
B．2.232 米
C．2.428 米
D．2.614 米
【答案】B
【分析】由正弦定理和三角函数得到
3
2sin 23 cos7
BD
，利用正弦和差公式得到
2sin 23 cos7
sin 30
sin16
0.776
，求出
2.232
BD
（米）.
【详解】在Rt
ACD
△
中，
1
sin83
cos7
AC
AD
（米）．
在
ABD
△
中，由正弦定理，得sin
sin
BD
AD
BAD
ABD
，
即
sin 83
23
sin 23
BD
AD
，
所以
3
2sin 23 cos7
BD
（米）．
因为
sin 30
sin 23
7
sin 23 cos7
cos 23 sin 7
，
且
sin16
sin 23
7
sin 23 cos7
cos 23 sin 7
，
所以2sin 23 cos7
sin 30
sin16
0.776
，所以
1.732
2.232
0.776
BD
（米）．
故选：B．
9.(多选)在ABC
中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下叙述或变形中正确的有（
）
A．
: :
sin
:sin
:sin
a b c
A
B
C
B．
sin 2
sin 2
a
b
A
B
C．sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
D．
sin
sin
A
B
A
B
【答案】ACD
【分析】根据正弦定理对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A 选项，由正弦定理得
: :
sin
:sin
:sin
a b c
A
B
C
，A 选项正确.
B 选项，由正弦定理得a
b
A
B
，
而当sin 2
sin 2
A
B
时，则2
2
A
B
或2
2
π
A
B
，则A
B
或
π
2
A
B
，
所以B 选项错误.
C 选项，由正弦定理得
sin
sin
sin
a
A
b
c
B
C
，
所以sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C ，所以C 选项正确.
D 选项，A
B
a
b
，由正弦定理得
sin
sin
a
b
A
B
，
所以D 选项正确.
故选：ACD
10. ABC
中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，
120
ABC
，BD
BC
交AC 于点D，且
1
BD ，2a
c
的
最小值为（
）
A．8
3
B．8 3
3
C．8
D．8 3
【答案】B
【详解】由题意可知：
120
ABD
，
因为
ABC
ABD
CBD
S
S
S
，即1
3
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
ac
c
a ，
整理得1
2
3
a
c
，
则
1
1
2
1
4
1
4
8 3
2
2
4
4
2
3
3
3
3
c
a
c
a
a
c
a
c
a
c
a
c
a
c
．
当且仅当
4 3
2
3
c
a
时，等号成立．
所以2a
c
的最小值为8 3
3
．
故选：B.
11.在钝角ABC
中，
π
6
C
，
4
AC
，则BC 的取值范围是（
）
A．
8 3
(0,
3 ）
B．
8 3
(2 3,
3 ）
C．
8 3
(0,2 3)
(
,
3
）
D．
8 3
(4,
3 ）
【答案】C
【详解】由正弦定理得
4
sin
sin
sin
BC
AC
A
B
B
，
所以
1
3
5π
4
cos
sin
4sin
2
2
4sin
1
3
6
4
sin
sin
sin
2tan
2
B
B
B
A
BC
B
B
B
B
，
因为钝角ABC
中，
π
6
C
，
当B 为锐角时，
π
5π
π
2
6
π
0
2
A
B
B
，得
π
0
3
B
，则0
tan
3
B
，
所以
1
3
tan
3
B
，则
1
3
2 3
2tan
2
3
B
，所以
1
3
8 3
4 2tan
2
3
BC
B
；
当B 为钝角时，
π
π
2
5π
π
0
6
2
B
A
B
，得π
5π
2
6
B
，则
3
tan
3
B
，
所以
3
1
0
3
tan B
，则
1
3
3
0
2tan
2
2
B
，所以
1
3
0
4
2 3
2 tan
2
BC
B
；
综上：
8 3
(0,2 3)
(
,
3
BC
）．
故选：C.
12.在ABC
中，内角A 、B 、C 对应边分别为a 、b 、c ，已知
cos
2
cos
a
B
b
c
A
，且角A 的平分线AD 交BC
于点D ，
1
AD ，则2
3
AC
AB
的最小值为（
）
A．5
2 6
B．6
2 6
C．5
2 5
D．6
2 5
【答案】A
【详解】因为
cos
2
cos
a
B
b
c
A
，所以，cos
cos
2 cos
a
B
b
A
c
A
，
由正弦定理可得
2sin
cos
sin
cos
cos
sin
sin
sin
C
A
A
B
A
B
A
B
C
，
因为A 、
0, π
C
，则sin
0
C
，所以，
1
cos
2
A
，可得
2π
3
A
，
因为角A 的平分线AD 交BC 于点D ，
1
AD ，
由
ABC
ABD
ACD
S
S
S
，即1
2π
1
π
1
π
sin
sin
sin
2
3
2
3
2
3
bc
c AD
b
，
所以，
3
3
4
4
bc
b
c
，所以，
1
1
1
c
b
bc
b
c
，
所以，
1
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
5
5
2
b
c
b
c
AC
AB
b
c
b
c
b
c
c
b
c
b
5
2 6
，
当且仅当
2
3
b
c
c
b
bc
b
c
时，即当
2
6
2
3
6
3
b
c
时，等号成立，
故2
3
AC
AB
的最小值为5
2 6
.
故选：A.
13.(多选)在ABC
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
cos
cos
4 cos
a
b
C
c
B
c
C
，
π
6
A
，则b
c 的
取值可能是（
）
A．1
2
B．
3
2
C．2
D．
3
【答案】BC
【分析】由正弦定理得到cos
0
C
或sin
2sin
B
C
，分两种情况，求出答案.
【详解】因为
cos
cos
4 cos
a
b
C
c
B
c
C
，
由正弦定理得sin
sin
cos
sin
cos
4sin
cos
A
B
C
C
B
C
C
，
因为
sin
sin
sin
cos
cos
sin
A
B
C
B
C
B
C
，
所以
s
2sin
cos
cos
sin
sin
cos
4 in
cos
C
B
C
C
B
C
B
C
，
即2sin
cos
4sin
cos
B
C
C
C
，
所以
2cos
sin
2sin
0
C
B
C
，所以cos
0
C
或sin
2sin
B
C
．
当cos
0
C
时，
π
2
C
，因为
π
6
A
，所以
π
3
B
，
所以
3
sin
2
B
，sin
1
C ，则
sin
3
sin
2
b
B
c
C
，
当sin
2sin
B
C
时，
sin
2
sin
b
B
c
C
，
综上：b
c 的值为
3
2
或2.
故选：BC
14.在ABC
中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
1
b ，
π
6
B
，
1
1
2
tan
tan
A
C
，则ABC
的
面积为
.
【答案】1
4 /0.25
【分析】利用正弦定理与三角恒等变换.
【详解】因为
sin
sin π
1
1
cos sin
sin cos
sin
2
tan
tan
sin sin
sin sin
sin sin
sin sin
A
C
B
A
C
A
C
B
A
C
A
C
A
C
A
C
A
C
，所以
sin
2
sin sin
B
A
C
，则有
1
sin sin
4
A
C
，
因为
2
2
sin
b
R
B
,所以
1
sin sin
2
2
4
a
c
A
C
R
R
，所以
1
ac .
故ABC
的面积为1
1
sin
2
4
ac
B
.
故答案为: 1
4 .
15.在ABC
中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.设AB
a
，AC
b
，试用a，b
表示AN
为
，
若
π
6
A
，ABC
的面积为
3 ，则AM AN
的最小值为
.
【答案】
3
1
4
4
AN
a
b
6
【分析】由图形特征，利用向量的线性运算，用a，b
表示AN
；根据ABC
的面积求得AB
AC
的值，
利用平面向量的线性运算与数量积运算求出AM AN
，利用基本不等式求出它取最小值.
【详解】如图所示，ABC
中，
π
6
A
，
M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点，则
1
2
AM
AB
AC
uuur
uuur
uuur
，
1
1
1
1
3
1
2
4
2
4
4
4
AN
AM
MN
AB
AC
CB
AB
AC
AB
AC
AB
AC
，
即
3
1
4
4
AN
a
b
；
由ABC
的面积为
1
π
sin
3
2
6
ABC
S
AB
AC
，得
4 3
AB
AC
，
所以
2
2
1
3
1
3
1
1
2
4
4
8
8
2
AM
AN
AB
AC
AB
AC
AB
AC
AB AC
2
2
3
1
1
π
cos
8
8
2
6
AB
AC
AB
AC
3
1
1
3
2
4 3
8
8
2
2
AB
AC
3
2
4 3
3
8
6
，
当且仅当
3
2 3
AC
AB
时取等号，
所以AM AN
的最小值为6.
故答案为：
3
1
4
4
AN
a
b
；6
16.在ABC
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c 且(
)(sin
sin
)
sin
3 sin
b
c
B
C
a
A
b
C
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
13
a
，且ABC
的面积为
3 ，求ABC
的周长．
【答案】(1)
π
3
A
(2)5
13
【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可；
（2）由ABC
的面积为
3 可得
4
bc
，再根据余弦定理即可得b
c
，进而求得周长.
【详解】（1）由正弦定理
2
3
b
c
b
c
a
bc
，即
2
2
2
a
b
c
bc
，由余弦定理
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
，
且
0,π
A
，故
π
3
A
.
（2）由题意
1
sin
3
2
ABC
bc
S
A
，解得
4
bc
.
由余弦定理
2
2
2
13
3
b
c
bc
b
c
bc
，可得
5
b
c
.
故ABC
的周长为
5
13
a
b
c
17.已知函数
2
3sin cos
cos
1
f x
x
x
x
.
(1)求
f
x 的最小正周期；
(2)在ABC
中，, ,
a b c 分别是角
, ,
A B C 的对边，若
2
f C
，
4
a
b
，且ABC
的面积为
3
3
，求ABC
外
接圆的半径.
【答案】(1)
π
T
(2)2
【分析】（1）利用降幂公式及两角和正弦公式化简得
π
3
sin 2
6
2
f
x
x
，根据最小正周期公式即得.
（2）由（1）得
π
3
C
，利用正弦面积公式与余弦定理得到
2 3
c
，再借助正弦定理得结果.
【详解】（1）
2
3sin cos
cos
1
f x
x
x
x
3
1
3
sin2
cos2
2
2
2
x
x
π
3
sin 2
6
2
x
，
f
x 的最小正周期
2π
π
2
T
；
（2）由
2
f C
，可得
1
sin 2
6
2
π
C
，又0
π
C
，
π
π
13π
2
6
6
6
C
，
π
5π
2
6
6
C
，
π
3
C
，
由
1
π
3
sin
2
3
3
S
ab
，得
4
3
ab
，
由余弦定理得：
2
2
2
2
1
2
cos
2
2
12
2
c
a
b
ab
C
a
b
ab
ab
，得
2 3
c
，
由正弦定理得ABC
外接圆的半径
1
2
2
sin
c
R
C
.
18.在ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
2
sin
cos2
cos2
C
A
B
.
(1)若
3
c
a
，求cosC ；
(2)延长BC 至点D，使得AD
BD
，若
2
a
，求ACD
面积的最大值.
【答案】(1) 10
20
(2)4
【详解】（1）解：由题意，
0
a
，
0
b
，
0
c
，
∵
2
2
2
sin
cos 2
cos 2
1
2sin
1
2sin
C
A
B
A
B
2
2
2sin
2sin
B
A
，
∴
2
2
2
2
2
c
b
a
，
∵
3
c
a，
∴
2
2
5
2
b
a
，
10
2
b
a
∴
2
2
2
2
2
2
5
3
10
2
cos
2
20
10
2
2
a
a
a
a
b
c
C
ab
a
a
.
（2）解：
如上图，由（1）知
2
2
2
2
2
c
b
a
，
∵
2
a
，∴
2
2
4
2
c
b
，
∴在ABC
中，
2
2
2
cos
2
8
c
a
b
c
B
ac
，又知0
π
B
，
∴
2
64
sin
8
c
B
.
∵AD
BD
，
∴在
ABD
△
中，
2
2
2
cos
2
2
2
AB
BD
AD
AB
c
B
BD AB
BD
BD
，
∴8
2
c
c
BD ，
∴
4
BD
.
∴
1
1
sin
sin
2
2
ACD
ABD
ABC
S
S
S
BD BA
B
BC BA
B
2
2
2
64
64
2
sin
4
8
8
c
c
c
c
c
B
，
当且仅当
2
64
c
c
即
4 2
c
时，等号成立，
∴ACD
的面积最大值为4.
19．（多选）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，
余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积，可用公式
2
2
2
2
2
2
1
4
2
c
a
b
S
c a
（其中a、b、c、S 为三角形的三边和面积）表示．在ABC
中，a、b、c 分
别为角A、B、C 所对的边，若
3
b
，且1
3cos
cos
sin
3sin
B
C
C
B
，则下列命题正确的是（
）
A．ABC
面积的最大值是9
3
4
B．
3
c
a
C．
3
b
c
D．ABC
面积的最大值是
3
【答案】AB
【详解】由题意1
3cos
cos
sin
3sin
B
C
C
B
，得sin
3 cos
sin
3sin
cos
C
B
C
B
C
，
即sin
3(sin
cos
cos
sin
)
3sin(
)
C
B
C
B
C
B
C
,
即sin
3 sin
C
A
，结合正弦定理得
3
c
a
，B 正确；
由
2
2
2
2
2
2
1
4
2
c
a
b
S
c a
得
2
2
2
4
1
3
9
3
2
2
a
a
S
a
2
2
2
4
4
2
2
1
4
9
1
1
243
3
4
72
81
9
2
2
4
2
4
a
a
a
a
a
，
当
2
9
a
，即
3
a 时，ABC
面积取到最大值是1
243
9 3
2
4
4
，A 正确，D 错误，
对于C，假设
3
b
c
，由于
3
b
，
3
c
a
，故
3,
1
c
a
，
则
2
2
2
2
2
2
2
3 1 9
13
3 1 (
)
2
0
2
4
c
a
b
c a
，
这与三角形面积
2
2
2
2
2
2
1
4
2
c
a
b
S
c a
有意义不相符，C 错误，
故选：AB
