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2020 年上海市奉贤区中考数学一模试卷
答案解析版
一、选择题
1.已知线段 ，如果 ，那么 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ，可设a=k，b=2k，c=3k，(k≠0)，即可得到答案.
【详解】∵ ，
∴设a=k，b=2k，c=3k，(k≠0)，
∴ = ，
故选C.
【点睛】本题主要考查分式求值，根据比值，设k值，是解题的关键.
2.在 中， ，如果 的正弦值是 ，那么下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据锐角的正弦三角函数的定义，即可得到答案.【详解】∵在 中， ， 正弦值是 ，
的
∴sinA= = ，
∴ ，
故选A.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角的正弦三角函数的定义，是解题的关键.
3.已知点 在线段 上， ，如果 ，那么 用 表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案.
【详解】∵点 在线段 上， ， ，
∴BA= ，
∵ 与 方向相反，
∴ = ，
故选D.
【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.
4.下列命题中，真命题是（ ）
A. 邻边之比相等 两的个平行四边形一定相似
B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似
D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相似多边形的判定定理，逐一判断选项，即可.
【详解】∵邻边之比相等的两个平行四边形，对应角不一定相等，
∴邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，
故A错误；
∵邻边之比相等的两个矩形一定相似，
故B正确；
∵对角线之比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，
∴对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，
故C错误；
∵对角线之比相等的两个矩形，对应边之比不一定相等，
∴对角线之比相等的两个矩形不一定相似，
故D错误.
故选B.
【点睛】本题主要考查相似多边形的判定定理，掌握对应边成比例，对应角相等，是解题
的关键.
5.已知抛物线 上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表：
0 1 3 4 5
-5 -5 -
根据上表，下列判断正确的是（ ）
A. 该抛物线开口向上 B. 该抛物线的对称轴是直线C. 该抛物线一定经过点 D. 该抛物线在对称轴左侧部分是下降的
【答案】C
【解析】
【分析】
根据表格，可知：该抛物线的对称轴是：直线 ，当x≤2时，y随x的增大而增大，从
而可得到答案.
【详解】∵抛物线 过点（1， ），（3， ），
∴该抛物线的对称轴是：直线 ，
故B错误；
∵由表格可知：当x≤2时，y随x的增大而增大，
∴该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，
故A，D错误；
∵该抛物线的对称轴是：直线 ，点（5， ）在抛物线上，
∴该抛物线一定经过点 ，
故C正确.
故选C.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的轴对称性，是解题的
关键.
6.在 中， ， ，点 分别在边 上，且 ，
，以 为半径的 和以 为半径的 的位置关系是（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含
【答案】B【解析】
【分析】
根据题意画出图形，易证∆ADE~∆ABC，得：DE=8，结合两个圆的半径，即可得到答案.
【详解】∵在 中， ， ， ， ，如图：
∴∆ADE~∆ABC，
∴ ，即：DE BC= ，
∵以 为半径的 和以 为半径的 的半径分别为6，2，
即：6+2=8，
∴以 为半径的 和以 为半径的 的位置关系是：外切，
故选B.
【点睛】本题主要考查两个圆的位置关系，求出两个圆的圆心的距离，是解题的关键.
二、填空题
7.如果 ，那么锐角 的度数是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值，即可求解.
【详解】∵ ，∴锐角 的度数是： .
故答案是：
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角三角函数值，是解题的关键.
8.若 与单位向量 方向相反，且长度为3，则 _______（用单位向量 表示向量 ）
【答案】
【解析】
【分析】
根据 与单位向量 的关系，即可求解.
【详解】∵ 与单位向量 方向相反，且长度为3，
∴ .
故答案是： .
【点睛】本题主要考查用单位向量表示其他向量，掌握平面向量的运算法则，是解题的关
键.
9.若一条抛物线的顶点在 轴上，则这条抛物线的表达式可以是___________（只需写一
个）
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点在y轴上，可知：b=0，即可求解.
【详解】∵一条抛物线的顶点在 轴上，
∴ ，即：b=0，∴这条抛物线的表达式可以是： .
故答案是： .
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，掌握二次函数图象的顶点坐标公式，是解题的
关键.
10.如果二次函数 的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么 的取
值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得：二次函数 的图像开口向上，进而，可得到答案.
【详解】∵二次函数 的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，
∴二次函数 的图像开口向上，
∴ .
故答案是：
【点睛】本题主要考查二次函数图象和二次函数的系数之间的关系，掌握二次函数的系数
的几何意义，是解题的关键.
11.抛物线 与 轴交于点 ，如果点 和点 关于该抛物线的对称轴
对称，那么 的值是_________.
【答案】-2
【解析】
【分析】
由点 和点 关于该抛物线的对称轴对称，可知：抛物线的对称轴是：直线x=1，进而可得b的值.
【详解】∵抛物线 与 轴交于点 ，
∴点A的坐标是：（0，2），
∵点 和点 关于该抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴是：直线x=1，即： ，
∴ ，解得：b=-2.
故答案是：-2.
【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴公式，理解二次函数图象的轴对称性，是解题的
关键.
12.已知 中， ， ， ，那么 的长是________.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据锐角三角函数的定义，即可求解.
【详解】∵ 中， ， ， ，
∴ = ，
故答案是：8.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，牢记余弦三角函数的定义，是解题的关键.
13.已知 中，点 分别在边 和 的反向延长线上，若 ，则当 的
值是______时， .【答案】
【解析】
【分析】
易得：∆ADE~∆ABC，从而得到： ，即可得到答案.
【详解】∵点 分别在边 和 的反向延长线上，
若 ，则∆ADE~∆ABC，
∴ ，
∴ = .
故答案是：
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例，是解题的关
键.
14.小明从山脚 出发，沿坡度为 的斜坡前进了130米到达 点，那么他所在的位置
比原来的位置升高了__________米．
【答案】50
【解析】
【分析】
设他所在的位置比原来的位置升高了x米，根据坡度为 和勾股定理，列出方程，即
可求解.
【详解】设他所在的位置比原来的位置升高了x米，
∵坡度为 ，
∴他所在的位置比原来的位置水平移动了2.4x米，∴ ，解得：x=50，
故答案是：50.
【点睛】本题主要考查坡度的定义和应用，根据题意，列出方程，是解题的关键.
15.如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置，如果点 恰好是
的重心， 、 分别于 交于点 ，那么 的面积与
的面积之比是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
易证∆A’MN~∆ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解.
【详解】∵ 沿 边上的中线 平移到 的位置，
∴A’M∥AB，A’N∥AC，
∴∠A’MN=∠B，∠A’NM=∠C，
∴∆A’MN~∆ABC，
∵AD和A’D分别是∆A’MN和∆ABC对应边上的中线，点 恰好是 的重心，
∴ ，
∴ 的面积与 的面积之比是： ，故答案是： .
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，
是解题的关键.
16.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面
积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，
是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径 的长为1，如果用它的面积来近似
估计 的面积，那么 的面积约是.__________．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据题意，求出圆的内接正十二边形中的一个三角形的面积，再乘以12，即可得到答案.
【详解】由题意得：∠O=30°，AO=BO=1，如图，
作AC⊥OB，则AC= ，
∴∆AOB的面积是：1× × = ，
∴圆的内接正十二边形的面积是： ×12=3，
即： 的面积约是3.
故答案是：3.【点睛】本题主要考查圆的内接正多边形的面积，根据题意，画出图形，先求出三角形的
面积，是解题的关键.
17.如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫
做矩形的“直角点”，如图，如果 是矩形 的一个“直角点”，且 ，
那么 的值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先证明∆BEC~∆EAD，可得： ，设 EC=x，则 AB=CD=3x，ED=2x，结合
AD=BC，可得： ，进而可得到答案.
【详解】∵ 是矩形 的一个“直角点”，
∴∠AEB=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∵∠EAD+∠AED=90°，
∴∠BEC=∠EAD，
∵∠D=∠C，
∴∆BEC~∆EAD，∴ ，
∵ ，
设EC=x，则AB=CD=3x，ED=2x，
∴ ，
∵AD=BC，
∴ ，即： ，
∴ = ：3x= .
故答案是： .
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，设EC=x，用代数式表示线段长，是
解题的关键.
18.如图，已知矩形 （ ），将矩形 绕点 顺时针旋转90°，点
分别落在点 处，连接 ，如果点 是 的中点，那么 的正切值是
_______.
【答案】1
【解析】
【分析】
画出图形，延长EG交DC于点M，先证明∆GMD≅∆GEF，由等量代换，可得：CM=CE，进而可求出 的正切值.
【详解】延长EG交DC于点M，
∵点 是 的中点，
∴DG=FG，
∵EF∥DC，
∴∠GDM=∠GFE，∠GMD=∠GEF，
在∆GMD和∆GEF，
∵ ，
∴∆GMD≅∆GEF(AAS)，
∴EF=MD，
∴BC=EF=MD，
∵DC=BE，
∴DC-MD=BE-BC，
即：CM=CE，
∵∠MCE=90°，
∴∠BEG=45°，
∴ 的正切值是：1，
故答案是：1.
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理，添加合适的辅助线，构造全等三角
形，是解题的关键.三、解答题
19.已知函数 .
（1）指出这个函数图像的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；
（2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图像.
【答案】（1）开口向下，顶点 ，当 ， 随 的增大而增大，当 ， 随
的增大而减小；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)根据二次函数的系数的意义和二次函数的性质，即可得到答案；
(2)根据描点法，画出图象，即可.
【详解】（1）∵a=-1<0，
∴函数图像的开口向下，
∵ ，
∴顶点坐标是： ，
∵抛物线的对称轴是：直线x=2，
∴当 ， 随 的增大而增大，当 ， 随 的增大而减小；（2）当x=-1，0，1，2，3，4时，y=-8，-3，0，1，0，-3；如图所示：
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质和描点法画图象，是
解题的关键.
20.如图，在梯形 中， ， ， ， ，
， ，垂足为点 .
（1）求 的余弦值；
（2）设 ， ，用向量 、 表示 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
(1)作 DM⊥AB，垂足为 M，易得：DM=AM=4，AD=4 ，BC=DM=4，从而得tan∠BAE= ，设BF=x，则AF=2x，根据勾股定理，即可求解；
(2)易得： ， ，根据 ，即可求解.
【详解】（1）作DM⊥AB，垂足为M，
∵在梯形 中， ， ，
∴四边形BCDM是矩形，
∴BM=CD=2，AM=AB-BM=6-2=4，
∵ ，
∴∆AMD是等腰直角三角形，
∴DM=AM=4，AD=4 ，BC=DM=4，
∴tan∠CBD= ，
∵ ，
∴∠BEF+∠EBF=90°，
∵∠BEF+∠BAE=90°，
∴∠EBF =∠BAE，
∴tan∠BAE= ，
设BF=x，则AF=2x，
∵在Rt∆ABF中， ，
∴ ，解得：x= ，
∴AF=2x= ，∴ 的余弦值= ；
（2）∵AB=6，tan∠BAE= ，
∴BE=3，
∵BC=4，
∴BE= ，即： ，
∵CD=2，AB=6, ，
∴ ，
∵ .
【点睛】本题主要考查三角函数得应用和平面向量加法的三角形法则，掌握平面向量加法
的三角形法则，是解题的关键.
21.如图，已知 是 的直径， 是 上一点， ，垂足为点 ， 是弧
的中点， 与弦 交于点 .
（1）如果 是弧 的中点，求 的值；
（2）如果 的直径 ， ，求 的长.【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
(1)连接 AC，由 是弧 的中点， 是弧 的中点， 是 的直径，得：
∠B=30°，∠ACB=90°，∠A=60°，从而得到：AD：AC：AB=1：2：4，进而即可求解；
(2)由 的直径 ， ，得：FO=1，进而求得：AC=2，BC= ，
通过面积法，即可求解.
【详解】连接AC，
∵ 是弧 的中点， 是弧 的中点，
∴弧AC=弧CE=弧BE，
∵ 是 的直径，
∴∠B=30°，∠ACB=90°，∠A=60°，
∵ ，
∴∠ACD=30°，
∴AD：AC：AB=1：2：4，
∴AD：DB=1：3；
（2）∵ 的直径 ，
∴OE=3，
∵ ，
∴FO=1，∵ 是弧 的中点，
∴OE⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴AC∥OE，
∴AC=2OF=2，
∴BC= ，
∵ ，
∴CD= .
【点睛】本题主要考查圆的性质和直角三角形的性质的综合，添加辅助线，构造直角三角
形，是解题的关键.
22.如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄 垂直于水平地面 ，当点 与点
重合时，伞收紧；当点 由点 向点 移动时，伞慢慢撑开；当点 与点 重合时，伞完
全张开.已知遮阳伞的高度 是220厘米，在它撑开的过程中，总有
厘米， 厘米， 厘米. （参考数据：
， ， ）
（1）当 ，求 的长？（2）如图，当金定全张开时，求点 到地面 的距离.
【答案】（1）40厘米；（2）196厘米
【解析】
【分析】
（1）连接MN，交PC于点O，易证：四边形MPNC是菱形，由 ，可求PO
的长，进而求出PC的长，即可求解；
（2）连接MN，交PC于点O，作EH⊥CD，垂足是H，易证：MO∥EH，得到：
，求出CH=24，进而即可求解.
【详解】（1）连接MN，交PC于点O，如图1，
∵ ，
∴四边形MPNC是菱形，
∴MN⊥CP，CO=PO，
∵ ，
∴PO=PN∙cos53°=50×0.6=30，
∴PC=2PO=2×30=60，
∵ ，
∴BP=PC-BC=60-20=40（厘米）；
（2）连接MN，交PC于点O，作EH⊥CD，垂足是H，如图2，
∵四边形MPNC是菱形，∴CO=BO= = ，MO⊥BC，
∵EH⊥CD，
∴MO∥EH，
∴ ，即： ，
∴CH=24，
∴DH=CD-CH=220-24=196（厘米），
即：点 到地面 的距离是196厘米.
图1 图2
【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质定理以及三角函数的定义，添加合适的
辅助线，是解题的关键.
23.如图，在平行四边形 中，点 在边 上，点 在边 的延长线上，联结
， .
（1）求证： ；
（2）联结 ，交 于点 ，如果 平分 ，求证： .【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)由∠FCE=∠CED， ，可得：∆FCE~∆CED，即可得到结论；
(2)先证∆ECG~∆DAC，可得： ，结合AE=CE，DA=CB，即可得到结论.
【详解】（1）∵在平行四边形 中，
∴AD∥BC，
∴∠FCE=∠CED，
∵ ，
∴ ，
∴∆FCE~∆CED，
∴ ；
（2）∵ 平分 ，
∴∠ACE=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAE，
∴∠ACE=∠CAE，
∴AE=CE，
∵ ，∴∆ECG~∆DAC，
∴ ，
∴ ，
∵DA=CB，
∴
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，根据题意，找到对应角相等，对应
边成比例，以及进行适当的等量代换，是解题的关键.
24.如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 和点 ，
顶点为 .
（1）求这条抛物线的表达式和顶点 的坐标；
（2）点 关于抛物线对称轴的对应点为点 ，联结 ，求 的正切值；
（3）将抛物线 向上平移 个单位，使顶点 落在点 处，点 落在
点 处，如果 ，求 的值.【答案】（1） ， ；（2）3；（3）
【解析】
【分析】
(1)根据待定系数法，即可求解；
(2)根据题意，画出图形，由OD= ，OB=5，可得：∠OBD=∠ODB，即可
求解；
(3)根据题意：可得：BE= ，BF=t，列出关于t的方程，即可求解.
【详解】（1）∵抛物线 经过点 和点 ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的表达式是： ，
即： ，
∴ ；
（2）∵抛物线的对称轴是：直线x=3，点 关于抛物线对称轴的对应点为点 ，
∴点D的坐标（4，-3），
∴OD= ，∵OB=5，
∴OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
过点D作DE⊥x轴，则DE=3，BE=5-4=1，
∴tan∠ODB=tan∠OBD= =3；
（3）∵抛物线 向上平移 个单位，使顶点 落在点 处，点 落在
点 处，
∴E（3，-4+t），F（5，t），
∴BE= = ，BF=t，
∵ ，
∴ =t，解得：t= .
【点睛】本题主要考察二次函数的图象和平面几何图形的综合，根据题意画出图形，列出
方程，是解题的关键.
25.如图，已知平行四边形 中， ， ， ，点 在射线
上，过点 作 ，垂足为点 ，交射线 于点 ，交射线 于点 ，联结，设 .
（1）当点 在边 上时，
①求 的面积；（用含 的代数式表示）
的
②当 时，求 值；
（2）当点 在边 的延长线上时，如果 与 相似，求 的值.
【答案】（1）① ，②3：1；（2）m= 或 .
【解析】
【分析】
(1)①作EM⊥AB，DN⊥AB，由 ，即可求解；
②易证：∆AEF~∆BGF，得： ，即： = ，
结合 ， ，即可得到答案；
(2)由∠AEF=∠FGC=90°， 与 相似，分两种情况讨论：①当 ~
时，②当 ~ 时，分别求出答案，即可.
【详解】(1) ①作EM⊥AB，DN⊥AB，如图1，
∵ ，∴EM：AM：AE=2：1： ，DN：AN：AD=2：1： ，
∵ ，
∴EM= ，DN= ，
∵ ，
∴ ，即：EF=2m，AF= ，
∴ ，
即：
②∵在平行四边形 中，AD∥BC，
∴∆AEF~∆BGF，
∴ ，
∴ = = ，
∵ ，
∴当 时， = ，解得： ，
（舍）
∴AE= ，DE= ，
∴ =3：1；(2)∵∠AEF=∠FGC=90°，
∴ 与 相似，分两种情况讨论：
①当 ~ 时，如图1，
∴∠AFE=∠FCG，
∵∠AFE+∠GBF=90°，
∴∠FCG+∠GBF=90°，
∴∠BFC=90°，
∴BF：CF：BC=1：2： ，
∵BC=AD= ，
∴BF=1，
∴AF=AB+BF=5+1=6，
∵AE：EF：AF=1：2： ，
∴AE=6÷ = ，即：m= ；
②当 ~ 时，如图3，
∴∠AFE=∠CFG，
在∆BFG和∆CFG中，
∵
∴∆BFG≅∆CFG(ASA)，
∴BG=CG= ，
∵BG：GF：BF=1：2： ，∴BF= ，
∴AF=5+ = ，
∵AE：EF：AF=1：2： ，
∴AE= ÷ = ，即：m= ；
综上所述：m= 或 .
图1
图2
图3
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，根据题意，进行分类讨论，
画出图形，是解题的关键，体现了数形结合和分类讨论的数学思想.
