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致远高中 2022 学年第二学期期末教学评估
高一数学
考试时间：120分钟 满分150分
一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题
满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
  
1．向量加法运算：ABCDBC ________
2．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M4,4在直观图中对应的点为M，则M
的坐标为_________.
3. 已知复数z满足（1i）z 17i（i是虚数单位），则∣z∣=
5    
4. 已知sin ， , ，则sin( )_________.
5  2 2 2
5．已知ak,1，b  2,3，若a与b  互相垂直，则实数k的值是__________．
6．空间两个角ABC和ABC，若AB//AB，BC//BC，ABC 40，则ABC的大
小是______．
             
7. 向量a,b的夹角为，定义运算“”：ab a bsin，若a 3,1 ,b  3,1 ，则ab
的值为___________.
已知23i是实系数一元二次方程x2 bxc0的一个根，则实数b=
8. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，
异面直线AB与CD的夹角为________
第9题
10.已知函数 f(x) 3sinxcosx，对于任意xR，都有 f(x) f(x )成立，则sinx 
0 0
_____．
11.在

ABC中，acosC 3asinCbc0，则A______________．
12、如图所示， ABC中，AB3，AC 2，BC 4，点M为线段AB中点，P为线段CM

的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有_______
 1 1  
（1） AP AB AC （2）BN 3NC
4 2
第 1 页 共 4 页 19   5 19
（3） | AN | （4）AP与AC夹角的余弦值为
3 38
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂
黑．
13.“a0”是“复数abi(a,bR)是纯虚数”的( )条件.
A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分又不必要
 
14. 已知向量a1,3，b1,1，则下列结论正确的是（ ）
    
A．a与b的夹角是钝角 B．a+b  b
    10
C．a在b上的数量投影为 2 D．a在b上的数量投影为
5
15．如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，
A，B，C，D四点共面的是（ ）．
A. B. C. D.
16.记 ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，点G是 ABC的重心，若BGCG,5b6c则
 
cosA的取值是（ ）
59 57 11 61
A． B． C． D．
75 75 15 75
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必
要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知复数z 1aiaR，且z 3i为纯虚数.
1 1
(1)求实数a的值；
bi2023
(2)设复数z  ，且复数z 对应的点在第二象限，求实数b的取值范围.
2 z 2
1
试卷第2页，共4页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽
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18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
 
已知向量 a 2，向量b1,1．
  
(1)若向量a//b，求向量a的坐标；
   2 2  
(2)若向量a在向量b上的投影向量的坐标为

, 

，求向量a,b的夹角大小．
2 2
 
19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
空间四边形ABCD 中，E，F，G 分别在AB，BC，CD 上，且满足AE:EBCF:FB2:1，
CG:GD3:1，过点E，F，G的平面交AD于H，连接EH.
(1)求AH:HD；
(2)求证：EH，FG，BD三线共点．
第 3 页 共 4 页20.（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
如图，平面ABCD外一点P，PA平面ABCD，AD//BC，ABBC，PA AD4，
BC1，AB 3，CD2 3.
(1) 求异面直线PC与AD所成角的大小
(2) 证明：DC平面PAC；
(3) 求AD与平面PCD所成角的余弦值.
21.（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直（满足BAD90），灯杆BC与灯柱AB所在平面与
道路垂直，且ABC 120，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知
ACD60，路宽AD12m.设灯柱高ABhm，ACB3045
.
(1)求灯柱的高h（用表示）；
(2)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于的函数表达式
(3)求出S的最小值.
试卷第4页，共4页