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专题 10 圆的基本性质
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）圆的相关概念
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（7）确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的
三点可作一个圆
（二）垂径定理及推论
（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；
如图: ,弧BC=弧BD，弧AC=弧AD
（2）推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
①弧AC=弧AD；②弧BD=弧CB；③CE=DE； ④AB⊥CD； ⑤AB是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
（三）弧、弦、圆心角的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项
“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。
（四）圆周角定理及推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,
∠A= ∠O.
图a 图b 图c
（2）推论：
①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.
②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.
③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
模块三 考点一遍过
考点1：圆的基本概念
典例1：下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆 B．在一个圆中，直径是最长的弦
C．弦是直径 D．长度相等的弧是等弧
【变式1】下列命题正确的是（ ）
A．优弧大于劣弧 B．圆的任意一条直径都是它的对称轴
C．等弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于这条弦
【变式2】①弦是直径；②半圆是弧；③两个半圆是等弧；④三个点确定一个圆；⑤圆的内接平行
四边形是矩形；⑥相等的弦所对的弧相等．说法正确的有 （填序号）．
【变式3】下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①直径是圆中最长的弦；
②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆；④等弧所对的圆心角相等；
⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等；
⑥顶点在圆上的角是圆周角；
⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合；
⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；
⑨半圆是弧；
⑩过圆心的线段是直径．
考点2：垂径定理
典例2：如图，在△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点
E，BC=6．
(1)若∠A=35°，求D´E的长度；
(2)若AC=8，求BD的长．
【变式1】在⊙O中，弦AB∥弦CD，过O作OH⊥CD于H，延长HO交AB于E，连接AO相OD，
AB=2OH．
(1)如图1，求证：∠AOD=90°；
(2)如图2，连接DE，延长DE交⊙O于F，过E作EW⊥DF交⊙O于W，连接FW和WD，若
∠A=∠FDW，求证：∠FWE=∠DEH；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BF、BW，若∠BEW=∠BWF，EW =√2，求WD的长．
【变式2】如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知
AB=8cm，CD=2cm．(1)求作此残片所在的圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求出（1）中所作圆的半径．
【变式3】如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：AC=BD；
(2)若AC=3，BC=5，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值．
考点3：垂径定理的推论
典例3：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为A´D的中点，若∠BAD=20°，
则∠ACO的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【变式1】如图，一块圆形钟表竖直放到一个长方体盒子中，钟表上刻度“2”和“10”恰好和盒子上
边沿AB重合于M，N两点，若BC=a，M´N的长为b，则下列结论正确的是（ ）
A．ab D．无法比较a与b
【变式2】如图，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别交于点A(8，0)，B(0，6)，C是A´O的中点，则⊙M的半径为 ，△AOC的周长为 ．
【变式3】如图在一个残缺的圆的一段圆弧上任取两点A、B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，
交AB于点D，交A´B于点C，如果知道AB、CD的长度，即可计算得出这个残缺的圆的半径，已知
AB=4√3cm，CD=2cm，则圆的半径为 cm，阴影部分的面积为 cm2．
考点4：垂径定理的实际应用
典例4：如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底截线，弦CD是水位线，
CD∥AB,AB=20m,OE⊥CD于点E．
(1)当测得水面宽CD=10√3m时，求此时水位的高度OE；
(2)当水位的高度比（1）上升1m时，有一艘宽为10m，船舱顶部高出水面2m的货船要经过桥洞
（船舱截面为矩形MNPQ），请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞？
【变式1】如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中
国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB=18分米，C为AB中点，D为拱门
最高点，圆心O在线段CD上，CD=27分米，求拱门所在圆的半径．【变式2】某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道口的水平宽AB为12m，AB离地面的高度
AE=5m，连接OA，拱顶最高处C离地面的高度CD为9m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，
N离地面的高度均为8.5m．
(1)求AO的长；
(2)求MN的长．
【变式3】如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设A´B所
在圆的圆心为O，拱顶为点C，OC⊥AB交AB于点D，连接OB．当桥下水面宽AB=8m时，
CD=2m．
(1)求这座石拱桥主桥拱的半径；
(2)有一条宽为7m，高出水面1m的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说
明理由．
考点5：弧、弦、圆心角关系
典例5：如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD=BC，则AB与CD的大小关系为（ ）
A．AB>CD B．AB=CD C．AB”“<”或“=”）
考点6：圆周角定理
典例6：如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OBA=25°，∠BOC=30°，则
∠OAC的度数为（ ）
A．30° B．10° C．40° D．50°
【变式1】如图，A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数
为（ ）A．55° B．60° C．65° D．70°
【变式2】如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC（∠ACB=90°），量角器上点D
对应的读数是100°，则∠BCD的度数为 ．
【变式3】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧B´C上一点（不与点C重合），则
∠CPD的度数为 ．
考点7：圆周角定理推论
典例7：如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦CD长时，发现C点、D点分
别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（ ）
A．2√2 B．2√3 C．3√3 D．6
【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，其中AB=CB，已知对角线AC过点O，对角线BD与AE
CO相交于点E且AD=BD，则 =（ ）
CE
5
A．2√2 B． C．√2+1 D．3
2
【变式2】如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D在以AB为直径的半圆上，连接
CD交AB于点E，若∠AEC=70°，则B´D所对的圆心角的度数是（ ）
A．25° B．35° C．50° D．70°
【变式3】如图，AB是⊙O直径，A´D=C´D，∠COB=40°，则∠A的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【变式4】如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则
BC+BD的值是 cm．
【变式5】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠ABC＝70°，则∠BDC=
°．【变式6】如图，⊙O过四边形ABCD的四个顶点，已知∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
AB=1,BC=2，则BD= ．
【变式7】如图，AB是圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，点D是弧BC的中点，若
AB
∠DPB=60°，则 的值是 ．
BC
考点8：半径相等——等腰三角形
典例8：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结
AD、OD、OC．若∠AOC=75°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A．75° B．40° C．35° D．30°
【变式1】如图，点A、B、C是⊙O上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠AOB=∠A+∠B B．∠AOB=2(∠A+∠B)C．∠AOB=90°−(∠A+∠B) D．∠AOB=180°−2(∠A+∠B)
【变式2】如图，⊙O的弦CD与直径AB的延长线相交于点E，AB=2DE，∠E=12°，则
∠BAC= ．
【变式3】如图，过A、C、D三点的圆的圆心为点E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果
∠A=66°，那么∠θ= ．
考点9：圆的内接四边形
典例9：如图，已知六边形ABCDEF内接于圆O，其中∠CAE=60°，则∠B+∠F的度数是（ ）
A．230° B．235° C．240° D．245°
【变式1】在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆弧上取点C，
D，连接AC，BC，AD，BD，则∠ADB的度数为（）
A．135° B．130° C．120° D．不确定
【变式2】如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆E的两点，且满足∠ADC=118°，连接OC，
则∠BOC的度数为 °【变式3】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠ADC=110°，则
∠BEC的度数为 ．
