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专题 10 圆的基本性质
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）圆的相关概念
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（7）确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的
三点可作一个圆
（二）垂径定理及推论
（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；
如图: ,弧BC=弧BD，弧AC=弧AD
（2）推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
①弧AC=弧AD；②弧BD=弧CB；③CE=DE； ④AB⊥CD； ⑤AB是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
（三）弧、弦、圆心角的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项
“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。
（四）圆周角定理及推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,
∠A= ∠O.
图a 图b 图c
（2）推论：
①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.
②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.
③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
模块三 考点一遍过
考点1：圆的基本概念
典例1：下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆 B．在一个圆中，直径是最长的弦
C．弦是直径 D．长度相等的弧是等弧
【答案】B
【知识点】圆的基本概念辨析
【分析】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的概念是解答本题的关键，难度不大．利用圆的有关
定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、半圆是弧，正确，但弧不一定是半圆，不符合题意；
B、在一个圆中，直径是最长的弦，符合题意；
C、直径是弦，但弦不一定是直径，不符合题意；
D、同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故不符合题意．故选：B．
【变式1】下列命题正确的是（ ）
A．优弧大于劣弧 B．圆的任意一条直径都是它的对称轴
C．等弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于这条弦
【答案】C
【知识点】垂径定理的推论、圆的基本概念辨析、利用弧、弦、圆心角的关系求解、判断命题真假
【分析】本题考查判断命题的真假，圆的相关概念辨析，根据圆的相关概念，垂径定理的推论，逐
一进行判断即可．
【详解】解：A、同圆或等圆中，优弧大于劣弧，原命题为假命题，不符合题意；
B、圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，原命题为假命题，不符合题意；
C、等弧所对的圆心角相等，原命题为真命题，符合题意；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，原命题为假命题，不符合题意；
故选C
【变式2】①弦是直径；②半圆是弧；③两个半圆是等弧；④三个点确定一个圆；⑤圆的内接平行
四边形是矩形；⑥相等的弦所对的弧相等．说法正确的有 （填序号）．
【答案】 /⑤②
【知识点②】已⑤知圆内接四边形求角度、同弧或等弧所对的圆周角相等、利用弧、弦、圆心角的关系
求解、圆的基本概念辨析
【分析】本题考查了与圆有关的概念．熟记和圆有关的各种性质是解题的关键，根据三点共圆，圆
内接四边形的有关知识、弧弦之间的关系、圆周角定理的知识点逐个选项进行分析．
【详解】解：①弦不一定是直径，原说法错误；
②半圆是弧，原说法正确；
③半径相等的两个半圆是等弧，原说法错误；
④经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，原说法错误；
⑤圆内接平行四边形的对角互补，邻角互补，可得对角既相等又互补，即平形四边有一个内角是
90°，所以圆的内接平行四边形是矩形，原说法正确；
⑥同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原说法错误．
所以说法正确的有②⑤．
故答案为：②⑤．
【变式3】下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①直径是圆中最长的弦；
②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆；
④等弧所对的圆心角相等；⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等；
⑥顶点在圆上的角是圆周角；
⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合；
⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；
⑨半圆是弧；
⑩过圆心的线段是直径．
【答案】①③④⑨
【知识点】圆的基本概念辨析
【解析】略
考点2：垂径定理
典例2：如图，在△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点
E，BC=6．
(1)若∠A=35°，求D´E的长度；
(2)若AC=8，求BD的长．
2
【答案】(1) π
3
(2)7.2
【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、求弧长
【分析】（1）如图所示，连接CD，根据直角三角形两锐角互余可得∠B=55°，由等边对等角可
nπr
求出∠BCD=70°，则有∠DCE=20°，由弧长公式l = （n是弧长所对的圆心角的度数）
弧长 180°
即可求解；
（2）如图所示，过点C作CF⊥BD于点F，由垂径定理可得BD=2BF，根据勾股定理可得AB的
长，根据等面积法可得CF，在Rt△BCF中，由勾股定理可得BF=DF=3.6，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接CD，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=35°，
∴∠B=90°−∠A=90°−35°=55°，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=55°，
∴∠BCD=180−∠CBD−∠CDB=180°−55°−55°=70°，
∴∠DCE=∠ACB−∠BCD=90°−70°=20°，
∵⊙C的半径BC=CD=CE=6，
20°×π×6 2
∴l = = π，
⏜ 180° 3
DE
2
∴D´E的长度为 π；
3
（2）解：如图所示，过点C作CF⊥BD于点F，
1
∴BF=DF= BD，
2
在Rt△ABC中，AC=8,BC=6，
∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10，
1 1
∵S = AC·BC= AB·CF，
△ABC 2 2
AC·BC 8×6
∴CF= = =4.8，
AB 10
∴在Rt△BCF中，BF=√BC2−CF2=√62−4.82=3.6，
∴BD=2BF=2×3.6=7.2，
∴BD的长为7.2．【点睛】本题主要考查直角三角形两锐角互余，等腰三角形的判定和性质，弧长的计算，垂径定理，
勾股定理等知识的综合，掌握弧长的计算公式，垂径定理于勾股定理的综合运用是解题的关键．
【变式1】在⊙O中，弦AB∥弦CD，过O作OH⊥CD于H，延长HO交AB于E，连接AO相OD，
AB=2OH．
(1)如图1，求证：∠AOD=90°；
(2)如图2，连接DE，延长DE交⊙O于F，过E作EW⊥DF交⊙O于W，连接FW和WD，若
∠A=∠FDW，求证：∠FWE=∠DEH；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BF、BW，若∠BEW =∠BWF，EW =√2，求WD的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)√6
【知识点】已知正切值求边长、圆周角定理、利用垂径定理求平行弦问题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据垂径定理可得AE=EB=OH，∠AEO=∠OHD=90°，进而证明
Rt△AEO≌Rt△OHD(HL)，得出∠AOE=∠ODH，则∠DOH+∠AOE=90°，即可求解；
（2）连接OW，设∠DEH=α，∠EDO=β，由（1）可得Rt△AEO≌Rt△OHD(HL)得出
1
∠AOE=∠ODH=90°−(α+β)，根据∠DFW = ∠DOW =90°−α得出∠FWE=α=∠DEH，
2
即可得证；
（3）连接AF，根据已知得出∠FAE=∠FWB=α，设AB,WF交于点M，连接OF,OM，根据
∠FEB=90°−∠BEW=90°−α，∠FEB=∠FAE+∠AFE=45°+α得出α=22.5°，在△OAF
中，导角得出∠FOM=∠AOE，证明△AOE≌△OFM得出△EOM是等腰直角三角形，则
FM a √2 WE √2
tan∠FOM= = = ，根据tan∠EDW = = 得出DF=2，进而勾股定理，即可求
OM √2a 2 FD 2
解．
【详解】（1）证明：∵弦AB平行于弦CD，过O作OH⊥CD于H，AB=2OH
∴AE=EB=OH，∠AEO=∠OHD=90°
又OA=OD，∴Rt△AEO≌Rt△OHD(HL)，
∴∠AOE=∠ODH，
又∵∠DOH+∠ODH=90°
∴∠DOH+∠AOE=90°
∴∠AOD=90°；
（2）证明：如图所示，连接OW，
设∠DEH=α，∠EDO=β
∵EW⊥DF，EH⊥AB，
∴∠BEW =∠DEH=α，
又∠DOH=∠DEH+∠EDO
∴∠DOH=∠OAE=α+β
由（1）可得Rt△AEO≌Rt△OHD(HL)
∴∠AOE=∠ODH=90°−(α+β)，∠EAO=∠DOH
∵∠BAO=∠FDW，
∴∠FDW =α+β=∠FDO+∠ODW
∴∠ODW =α
∵OD=OW，
∴∠OWD=∠ODW =α
∴∠DOW =180°−2α
∵D´W =D´W
1
∴∠DFW= ∠DOW=90°−α
2
∵EW⊥DF
∴∠FWE=α=∠DEH
（3）解：如图所示，
连接AF，∵∠BEW =∠BWF =α，B´F=B´F
∴∠FAE=∠FWB=α
∵∠AOD=90°
∴∠AFD=45°
又∵∠FEB=90°−∠BEW =90°−α，∠FEB=∠FAE+∠AFE=45°+α
∴45°+α=90°−α
∴α=22.5°
设AB,WF交于点M，连接OF,OM，
∵∠BEW=∠FWE=α
∴ME=MW
∵∠WFE=∠BEF=90°−α
∴ME=MF
∴MF=MW
∴OM⊥WF，
在△OAF中，OA=OF，∠OAF=∠OAE+∠FAE=(α+β)+α=2α+β=45°+β
∴∠EFO=∠OAF−45°=β
∴∠OFM=∠EFW−∠EFO=(90°−α)−β=90°−α−β
∵∠AOE=90°−(α+β)
∴∠FOM=∠AOE
在△AOE,△OFM中，
¿
∴△AOE≌△OFM∴FM=OE，OM=AE
设EM=a，
∵EM=MW，则EO=FM=MW=a
∴EO=EM=a，
∴△EOM是等腰直角三角形，
∴MO=√2a
FM a √2
∴tan∠FOM= = =
OM √2a 2
由（2）可得∠FOM=∠EAO=∠FDW
WE √2
∴tan∠EDW = =
FD 2
∵WE=√2
∴DF=2
∴DW =√EW2+ED2=√2+4=√6．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理，勾股定理，正切的定义，垂径定理，全等三
角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟练推导角度之间的关系是解题的关键．
【变式2】如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知
AB=8cm，CD=2cm．
(1)求作此残片所在的圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求出（1）中所作圆的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5cm
【知识点】利用垂径定理求值、利用垂径定理求同心圆问题
【分析】本题考查了垂经定理的应用和基本作图，用到的知识点是线段垂直平分线的作法与性质、
垂径定理、勾股定理的应用，基本作图需要熟练掌握．
（1）在圆形残片上作弦BE的垂直平分线MN，交CD于点P，连接AP，以P为圆心，AP为半径的
圆为所求残片的圆．
1
（2）先设圆P的半径为r，根据AB⊥CD和已知条件求出AD= AB，PD=(r−2)cm，在
2中，根据 ，得出 ，求出r即可．
Rt△APD AP2=AD2+DP2 r2=42+(r−2) 2
【详解】（1）解：作图如下，
（2）解：设圆P的半径为r，
∵AB⊥CD，AB=8cm，CD=2cm，
1
∴AD= AB=4cm，PD=(r−2)cm，
2
在Rt△APD中，AP2=AD2+DP2，
∴r2=42+(r−2) 2，
解得r=5，
∴⊙P的半径为5cm．
【变式3】如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：AC=BD；
(2)若AC=3，BC=5，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值．
【答案】(1)见解析
(2)√10
【知识点】利用垂径定理求同心圆问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解
题的关键．
（1）过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，再用等式的性质即可得证；
（2）连接OC、OA，利用垂径定理求出AE，在Rt△AOE中，由勾股定理求出OE2，然后在
Rt△COE中，利用勾股定理即可求出OC．【详解】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图，
由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，
∴AE−CE=BE−DE，
∴AC=BD；
（2）解：连接OC、OA，如图，
∵AC=3，BC=5，
∴AB=3+5=8，
∴AE=4，
∴CE=AE−AC=4−3=1，
∴在Rt△AOE中，OE2=OA2−AE2=52−42=9，
∴在Rt△COE中，OC2=CE2+OE2=12+9=10，
∴OC= √10，即小圆的半径r为√10
考点3：垂径定理的推论
典例3：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为A´D的中点，若∠BAD=20°，
则∠ACO的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】C
【知识点】等边对等角、垂径定理的推论
【分析】此题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．根据垂径定理的推论，
即可求得：OC⊥AD，由∠BAD=20°，即可求得∠AOC的度数，又由OC=OA，即可求得
∠ACO的度数
【详解】解：∵AB为⊙O的直径，C为A´D的中点，
∴OC⊥AD，
∵∠BAD=20°，∴∠AOC=90°−∠BAD=70°，
∵OA=OC，
180°−∠AOC 180°−70°
∴∠ACO=∠CAO= = =55°，
2 2
故选：C．
【变式1】如图，一块圆形钟表竖直放到一个长方体盒子中，钟表上刻度“2”和“10”恰好和盒子上
边沿AB重合于M，N两点，若BC=a，M´N的长为b，则下列结论正确的是（ ）
A．a<b B．a=b
C．a>b D．无法比较a与b
【答案】A
【知识点】求弧长、切线的性质定理、垂径定理的推论、含30度角的直角三角形
【分析】设⊙O的半径为r，则NO=MO=OE=r，根据题意可得：
3 2π
∠MON=30°×4=120°,EF⊥MN，算出BC=a= r，b=M´N= r，比较即可．
2 3
【详解】解：如图，O为圆形钟表圆心，连接NO,MO，则点E为切点，
设⊙O的半径为r，则NO=MO=OE=r，
根据题意可得：∠MON=30°×4=120°,EF⊥MN，
∴∠ONM=∠OMN=30°,NF=MF，
1 3
∴FO= r,BC=a=EF= r，
2 2
120°πr 2π
∴b=M´N= = r，
180° 3
2π 3
∵ r> r，
3 2
∴a<b，
故选：A．
【点睛】该题主要考查了弧长公式、切线的性质、等腰三角形的性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
【变式2】如图，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别交于点A(8，0)，B(0，6)，C是A´O的中
点，则⊙M的半径为 ，△AOC的周长为 ．
【答案】 5 4√5+8
【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、利用弧、弦、圆心角的关系求解、垂径定理的推论、用
勾股定理解三角形
【分析】连接AB，CM，根据直角所对的弦为直径，得出AB为⊙M的直径，根据勾股定理求出
1
AB=√OA2+OB2=10，得出OA= AB=5，根据垂径定理推论得出CM⊥OA，
2
1
AD=OD= OA=4，根据勾股定理得出DM=√AM2−AD2=3，求出CD=CM−MD=5−3=2，
2
根据勾股定理得出AC=√CD2+AD2=√22+42=2√5，最后求出结果即可．
【详解】解：连接AB，CM，如图所示：
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙M的直径，
∵点A(8，0)，B(0，6)，
∴OA=8，OB=6，
∴AB=√OA2+OB2=10，1
∴OA= AB=5，
2
即⊙M的半径为5，
∵M为圆心，C是A´O的中点，
1
∴CM⊥OA，AD=OD= OA=4，
2
∴∠ADM=90°，
根据勾股定理得：DM=√AM2−AD2=3，
∴CD=CM−MD=5−3=2，
∴AC=√CD2+AD2=√22+42=2√5，
∵C是A´O的中点，
∴A´C=O´C，
∴OC=AC=2√5，
∴△AOC的周长为AO+OC+AC=8+2√5+2√5=4√5+8．
故答案为：5；4√5+8．
【点睛】本题考查了坐标系中圆的综合问题，垂径定理，勾股定理，坐标与图形，利用直径所对的
圆周角是直角作出辅助线，以及作弦心距是常用的辅助线方法．
【变式3】如图在一个残缺的圆的一段圆弧上任取两点A、B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，
交AB于点D，交A´B于点C，如果知道AB、CD的长度，即可计算得出这个残缺的圆的半径，已知
AB=4√3cm，CD=2cm，则圆的半径为 cm，阴影部分的面积为 cm2．
8
【答案】 4 π
3
【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、垂径定理的推论、求扇形面积
【分析】设点O为圆心，由垂径定理的推论可知点O在直线CD上，连接OB、BC，利用线段垂直
平分线的性质和勾股定理求出圆的半径，进而可得CD=OD，得到AB垂直平分线OC，即得
CB=OB=OC，得到∠BOC=60°，再证明△ODB≌△CDA(SAS)可得S =S ，据此即可
阴影 扇形BOD
求解．
【详解】解：设点O为圆心，由垂径定理的推论可知点O在直线CD上，连接OB、BC，
∵CD垂直平分AB，1
∴BD=AD= AB=2√3cm，∠ODB=90°，
2
设圆的半径为xcm，则OB=xcm，OD=(x−2)cm，
在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，
∴(x−2) 2+(2√3) 2=x2，
解得x=4，
∴圆的半径为4cm，OD=4−2=2cm，
∴CD=OD，
∴AB垂直平分线OC，
∴CB=OB，
∴CB=OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∵OD=CD，∠ODB=∠CDA，BD=AD，
∴△ODB≌△CDA(SAS)，
∴S =S ，
△ODB △CDA
60π×42 8
∴S =S = = πcm2，
阴影 扇形BOD 360 3
8
故答案为：4， π．
3
【点睛】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，扇形的面积，全等三角形的判定和性质，线段垂
直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线并判断出△OBC为等边三角形是解题
的关键．
考点4：垂径定理的实际应用
典例4：如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底截线，弦CD是水位线，
CD∥AB,AB=20m,OE⊥CD于点E．(1)当测得水面宽CD=10√3m时，求此时水位的高度OE；
(2)当水位的高度比（1）上升1m时，有一艘宽为10m，船舱顶部高出水面2m的货船要经过桥洞
（船舱截面为矩形MNPQ），请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞？
【答案】(1)此时水位的高度OE为5m
(2)该货船能顺利通过桥洞，见解析
【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，作出合适的辅助线，牢记特殊角三角函数值是解题的关
键．
1
（1）根据垂径定理可得DE= CD=5√3m，求出桥洞的半径，然后利用勾股定理计算即可；
2
（2）由（1）中水位高度为5m可知此时OE=5+1=6m，延长OE交MQ于F，连接OM，则
OF⊥MQ，可得OF=8m，货船居中行驶时MF=5m，利用勾股定理求出OM，然后与桥洞的半径
比较后可得结论．
【详解】（1）解：∵OE⊥CD，
1
∴DE= CD=5√3m，
2
1
又∵OD=OB= AB=10m，
2
∴此时水位的高度OE=√OD2−DE2=√102−(5√3) 2=5m；
（2）解：该货船能顺利通过桥洞；
理由：由（1）中水位高度为5m可知此时OE=5+1=6m，
延长OE交MQ于F，连接OM，则OF⊥MQ，
∵货船宽为10m，船舱顶部高出水面2m，
1
∴OF=6+2=8m，货船居中行驶时MF= ×10=5m，
2∴OM=√OF2+M F2=√82+52=√89<10，
∴该货船能顺利通过桥洞．
【变式1】如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中
国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB=18分米，C为AB中点，D为拱门
最高点，圆心O在线段CD上，CD=27分米，求拱门所在圆的半径．
【答案】15分米
【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接AO，根据垂径定理求得
AC=BC=9分米，设圆的半径为x分米，则OA=OD=x分米，OC=(27−x)米，根据勾股定理即
可求得x，进而可得答案．
【详解】解：连接AO，
∵CD过圆心，C为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵AB=18分米，C为AB的中点，
∴AC=BC=9分米，
设圆的半径为x分米，则OA=OD=x分米，
∵CD=27分米，
∴OC=(27−x)分米，
在Rt△OAC中，由勾股定理AC2+OC2=OA2，
∴92+(27−x) 2=x2，
∴x=15，即拱门所在圆的半径是15分米．
【变式2】某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道口的水平宽AB为12m，AB离地面的高度
AE=5m，连接OA，拱顶最高处C离地面的高度CD为9m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，
N离地面的高度均为8.5m．
(1)求AO的长；
(2)求MN的长．
13
【答案】(1)AO的长是 m
2
(2)MN=5m
【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
（1）设CD交AB于点G、交MN于点H，根据垂径定理求出AG；设AO=CO=rm，用含r的代数
式将GO表示出来，在Rt△AGO中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可；
（2）连接MO，根据题意可知HD=8.5m，求出DO，从而求出HO，在Rt△OHM中利用勾股定理
求出MH，再利用垂径定理计算MN即可．
【详解】（1）解：如图，设CD交AB于点G、交MN于点H．
根据题意，得AB⊥CD，
∵AB=12m，
1
∴AG= AB=6m，
2
设AO=CO=rm，
∵CD=9m，GD=AE=5m，
∴CG=CD−GD=4m，
∴GO=CO−CG=(r−4)m，
在Rt△AGO中利用勾股定理，得AO2=AG2+GO2，∴r2=62+(r−4) 2，
13
∴r= ，
2
13
∴AO的长是 m；
2
（2）解：如上图，连接MO．
∵M，N离地面的高度均为8.5m，
∴MN⊥CD，
1
∴MH= MN，HD=8.5m，
2
5
∵DO=CD−CO= m，
2
∴HO=HD−DO=6m，
5
在Rt△OHM中利用勾股定理，得MH=√MO2−HO2= (m)，
2
∴MN=2MH=5m．
【变式3】如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设A´B所
在圆的圆心为O，拱顶为点C，OC⊥AB交AB于点D，连接OB．当桥下水面宽AB=8m时，
CD=2m．
(1)求这座石拱桥主桥拱的半径；
(2)有一条宽为7m，高出水面1m的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说
明理由．
【答案】(1)这座石拱桥主桥拱的半径为5m
(2)此渔船不能顺利通过这座桥
【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形
【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解
题的关键．
（1）根据垂径定理可得，AD=BD，∠ODB=90°，设主桥拱半径为R，可得
OD=OC−CD=R−2，根据勾股定理即可求解；（2）如图，设MN为该渔船的上端，连接ON，根据题意可求出CE的值，根据勾股定理可求出
NE，MN的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵OC⊥AB，
∴AD=BD，
设主桥拱半径为R，由题意可知AB=8，CD=2，
1
∴BD= AB=4，OD=OC−CD=R−2，
2
∵∠ODB=90°，
∴OD2+BD2=OB2，
∴(R−2) 2+42=R2，解得，R=5，
∴这座石拱桥主桥拱的半径为5m．
（2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下，
如图，设MN为该渔船的上端，连接ON，
∵CD=2m，船舱顶部为长方形并高出水面1m，
∴CE=2−1=1(m)，
∴OE=5−1=4(m)，
在Rt△OEN中，由勾股定理得EN=√ON2−OE2=√52−42=3，
∴MN=2EN=6<7，
∴此渔船不能顺利通过这座桥．
考点5：弧、弦、圆心角关系
典例5：如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD=BC，则AB与CD的大小关系为（ ）
A．AB>CD B．AB=CD C．AB<CD D．不能确定
【答案】B
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．
【详解】解：∵AD=BC，
∴A´D=B´C，
∴A´D+A´C=B´C+A´C，
即DA´C=BC´A，
∴AB=CD．
故选：B．
【变式1】如图，AB是⊙O的直径，B´C=C´D=D´E．若∠BOC=34°，则∠AOE的度数是（ ）
A．68° B．78° C．88° D．112°
【答案】B
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到
∠DOE=∠COD=∠BOC=34°，再根据平角的定义可得答案．
【详解】解：∵B´C=C´D=D´E，∠BOC=34°，
∴∠DOE=∠COD=∠BOC=34°，
∴∠AOE=180°−∠DOE−∠COD−∠BOC=78°，
故选：B．
【变式2】如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=34°，则∠AOE的度数是
．
【答案】78°/78度
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，先根据圆心角、弧、弦的关系得到∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，然后利用平角的定义计算∠AOE的度数．
【详解】解：∵BC=CD=DE，
∴B´C=C´D=D´E，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，
∴∠AOE=180°−3×34°=78°．
故答案为：78°．
【变式3】如图，在同圆中，若∠AOC=2∠BOD，则AC 2BD．（“>”“<”或“=”）
【答案】<
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证
【分析】取A´C的中点E，根据圆心角、弦的关系、三角形三边关系求解即可．
【详解】解：取A´C的中点E，连接AC、AE、CE、OE、BD，
1
∴∠AOE=∠COE= ∠AOC，
2
∵∠AOC=2∠BOD，
∴∠AOE=∠COE=∠BOD，
∴AE=CE=BD，
在ΔACE中，AC<AE+CE=2BD，
∴AC<2BD，
故答案为：<．
【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
考点6：圆周角定理
典例6：如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OBA=25°，∠BOC=30°，则
∠OAC的度数为（ ）A．30° B．10° C．40° D．50°
【答案】C
【知识点】等边对等角、圆周角定理
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
根据等边对等角的性质可得∠OAB=∠OBA=25°，根据同弧或等弧所对圆周角是圆心角的一半，
1 1
可得∠BAC= ∠BOC= ×30°=15°，由∠OAC=∠OAB+∠BAC即可求解．
2 2
【详解】解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=25°，
⏜
∵ 所对应的圆心角是∠BOC，所对的圆周角是∠BAC，
BC
1 1
∴∠BAC= ∠BOC= ×30°=15°，
2 2
∴∠OAC=∠OAB+∠BAC=25°+15°=40°，
故选：C ．
【变式1】如图，A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数
为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质；首
先连接AD，求得∠ODC=∠AOD=50°，再由圆的内接四边形的性质求解即可．
【详解】解：连接AD，∵OA=OD，∠AOD=50°
180°−∠AOD
∴∠ADO= =65°
2
∵AO∥DC
∴∠ODC=∠AOD=50°，
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=115°，
∴∠B=180°−∠ADC=65°
故选：C．
【变式2】如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC（∠ACB=90°），量角器上点D
对应的读数是100°，则∠BCD的度数为 ．
【答案】40°
【知识点】圆周角定理
1
【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理，得到∠ACD= ∠ACD= ∠AOD=50°，再根
2
据角的和差关系进行计算即可．
【详解】解：如图，点O为AB的中点，连接OC,OD，则：∠AOD=100°，∵∠ACB=90°，
1
∴OC= AB=OA=OB=OD，
2
∴点A,C,B,D四点共圆，
1
∴∠ACD= ∠AOD=50°，
2
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=40°；
故答案为：40°．
【变式3】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧B´C上一点（不与点C重合），则
∠CPD的度数为 ．
【答案】36°
【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心
角∠COD的度数．连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OC，OD，∵ABCDE是正五边形，
360°
∴∠COD= =72°，
5
1
∴∠CPD= ∠COD=36°，
2
故答案为：36°．
考点7：圆周角定理推论
典例7：如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦CD长时，发现C点、D点分
别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（ ）
A．2√2 B．2√3 C．3√3 D．6
【答案】C
【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股
定理解三角形
【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解
题的关键．
根据点B，找到十二等分点的第六个分点E，连接BE，则BE为圆上的直径，连接AE，取BE的中
点O，连接OC、OD，在证△OCD为等边三角形，根据刻度尺得出圆半径，根据圆周角定理得
△BAE为直角三角形，根据勾股定理即可求出AB．
【详解】如图，在圆上取点E，连接BE，使得BE为圆上的直径，连接AE，取BE的中点O，连接
OC、OD，
∵
C、D均为圆周上十二等分点，
360°
∴ C´D占2个分点，∠COD= ×2=60°，
12
∵ OC=OD=r，
∴△OCD为等边三角形，
∵C点、D点分别与刻度1和4对齐，∴CD=4−1=3，即OC=OD=CD=3，
由图可知：A´B占4个分点，BE为直径，
∴A´E 占2个分点，∠BAE=90°，BE=2OC=6，
∴A´E=C´D，
∴AE=CD=3，
∴ Rt△BAE中
AB2+AE2=BE2
∴AB=√BE2−AE2=√62−32=3√3，
故选：C．
【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，其中AB=CB，已知对角线AC过点O，对角线BD与
AE
CO相交于点E且AD=BD，则 =（ ）
CE
5
A．2√2 B． C．√2+1 D．3
2
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆
（直径）所对的圆周角是直角
【分析】首先由直径得到∠ABC=90°，然后利用三角形内角和定理和等边对等角得到
∠BAC=∠BCA=45°，然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠ADB=∠BCA=45°，进而求出
AE=AB，令⊙O的半径为R，然后表示出AE=AB=√2R，CE=2R−√2R，即可解决问题．
【详解】解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵AB=CB
∴∠BAC=∠BCA=45°
∴∠ADB=∠BCA=45°
∵AD=BD
1
∴∠DAB=∠DBA= (180°−∠ADB)=67.5°
2∴∠AEB=180°−∠BAE−∠ABE=67.5°
∴AE=AB
令⊙O的半径为R，
则AB2+CB2=(2R) 2，
∵AB=CB，
∴AB=√2R，
∴AE=AB=√2R，
又∵CE=2R−√2R，
AE √2R √2(2+√2) 2√2+2
∴ = = = =√2+1．
CE 2R−√2R (2+√2)(2−√2) 2
故选：C．
【点睛】本题考查直径的性质，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理和等边对等角性质，勾
股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D在以AB为直径的半圆上，连接
CD交AB于点E，若∠AEC=70°，则B´D所对的圆心角的度数是（ ）
A．25° B．35° C．50° D．70°
【答案】C
【知识点】圆周角定理、90度的圆周角所对的弦是直径
【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先求出∠BCD=25°，再
根据圆周角定理判断出点C在以AB为直径的圆上，然后根据圆周角定理求解即可得．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠AEC=70°，
∴∠ACE=180°−∠BAC−∠AEC=65°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACE=25°，
又∵∠ACB=90°，
∴如图，点C在以AB为直径的圆上，∴B´D所对的圆心角的度数是2∠BCD=50°，
故选：C．
【变式3】如图，AB是⊙O直径，A´D=C´D，∠COB=40°，则∠A的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、同弧或等弧所对的圆周角相等
【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，根据等边对等角求角度，熟练掌握在同圆或等圆
中，等弧对等角是解题的关键．根据A´D=C´D得出∠AOD=∠COD，利用平角的定义求出
∠AOD=70°，根据等腰三角形的性质即可得答案．
【详解】解：∵A´D=C´D，
∴∠AOD=∠COD，
∵∠COB=40°，
1
∴∠AOD= (180°−∠BOC)=70°，
2
∵OA=OD，
1
∴∠A= (180°−∠AOD)=55°．
2
故选：B．
【变式4】如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则
BC+BD的值是 cm．【答案】8+5√2
【知识点】角平分线的有关计算、用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直
径）所对的圆周角是直角
【分析】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理和推论，勾股定理，角平分线定义，弦
弧的关系，是解题关键．
根据直径性质得∠ACB=∠ADB=90°，得BC=8cm，根据角平分线定义得∠ACD=∠BCD，
得AD=BD，由等腰直角三角形性质得BD=5√2cm，即得BC+BD=(8+5√2)cm．
【详解】∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵AB=10cm，AC=6cm，
∴BC=√AB2−AC2=8cm，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴A´D=B´D，
∴AD=BD，
√2
∴BD= AB=5√2cm，
2
∴BC+BD=(8+5√2)cm．
故答案为：8+5√2．
【变式5】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠ABC＝70°，则∠BDC=
°．
【答案】20
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周
角是直角
【分析】本题考查了圆周角定理的推论，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握圆周角定理的推论是
解题的关键，先利用圆周角定理的推论得∠ACB=90°，进而得∠BAC=90°−70°=20°，，然
后根据同弧所对圆周角相等得到∠BDC的度数．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠BAC=90°−70°=20°，
∴ ∠BDC=∠BAC=20°．
故答案为∶20．
【变式6】如图，⊙O过四边形ABCD的四个顶点，已知∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
AB=1,BC=2，则BD= ．
3√2
【答案】
2
【知识点】根据旋转的性质求解、已知圆内接四边形求角度、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰
三角形的性质和判定
【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠ADC=90°，再证明△ADC为等腰直角三角形，把
△DAB绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，如图，根据旋转的性质得DE=DB，CE=AB=1，
∠BDE=90°，∠DCE=∠A，所以△DBE为等腰直角三角形，接着证明点B、C、E共线得到
BE=3，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=90°，
∴∠ADC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴AD=CD，
∴△ADC为等腰直角三角形，
把△DAB绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，如图，
∴DE=DB，CE=AB=1，∠BDE=90°，∠DCE=∠A，
∴△DBE为等腰直角三角形，∵∠A+∠DCB=180°，
∴∠DCE+∠DCB=180°，
∴点B、C、E共线，
∴BE=BC+CE=3，
√2 3√2
∴BD= BE= ．
2 2
3√2
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧
所对的圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补．构建等腰三角形DBE是解决问题的关键．
【变式7】如图，AB是圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，点D是弧BC的中点，若
AB
∠DPB=60°，则 的值是 ．
BC
2√3
【答案】
3
【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、解直角三角形的相
关计算
【分析】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半，半圆（直径）所对的圆周角等于90°，特殊角度的三角函数值，掌握以
上知识点是解答本题的关键．
由AB是半圆O的直径得到∠ACB=90°，由∠DPB=60°得到∠APC=60°，求出∠CAD=30°，
由D是弧BC的中点得到∠CAD=∠BAD=30°，所以∠BAC=60°，在Rt△ABC中，
BC AB
sin∠BAC=sin60°= =√3，进而可求出 的值．
AB BC
【详解】解：∵ AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
而∠DPB=60°，
∴∠APC=60°，
∴∠CAD=180°−∠ACB−∠APC=180°−90°−60°=30°，
又∵点D是弧BC的中点，
∴∠CAD=∠BAD=30°，∴∠BAC=∠CAD+∠BAD=30°+30°=60°，
BC √3
在Rt△ABC中，sin∠BAC=sin60°= = ，
AB 2
AB 2√3
∴ = ，
BC 3
2√3
故答案为： ．
3
考点8：半径相等——等腰三角形
典例8：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结
AD、OD、OC．若∠AOC=75°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A．75° B．40° C．35° D．30°
【答案】D
【知识点】圆的基本概念辨析、等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质及圆的基本性质，由半径相等得到
∠ADO=∠DAO=75°是解题的关键．
首先由AD∥OC可以得到∠AOC=∠DAO=75°，又由OD=OA得到∠ADO=∠DAO=75°，
由此即可求出∠AOD的度数．
【详解】解：∵AD∥OC
∴∠AOC=∠DAO=75°，
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=75°，
∴∠AOD=180−75°−75°=30°．
故选：D．
【变式1】如图，点A、B、C是⊙O上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠AOB=∠A+∠B B．∠AOB=2(∠A+∠B)C．∠AOB=90°−(∠A+∠B) D．∠AOB=180°−2(∠A+∠B)
【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、圆的基本概念辨析
【分析】本题考查圆的有关概念及其性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理，准确识图，熟练
掌握圆的有关概念及其性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理是解题的关键．连接CO并延长交
⊙O于点D，根据AO=BO=CO得出∠A=∠OCA，∠B=∠OAB，再根据三角形外角定理可得
∠AOD=∠A+∠OCA=2∠A，∠BOD=∠B+∠OAB=2∠B，从而可得
∠AOD+∠BOD=2(∠A+∠B)，据此即可求解．
【详解】解：连接CO并延长交⊙O于点D，
∵AO=BO=CO，
∴∠A=∠OCA，∠B=∠OAB，
∴∠AOD=∠A+∠OCA=2∠A，∠BOD=∠B+∠OAB=2∠B，
∴∠AOD+∠BOD=2(∠A+∠B)，
即∠AOB=2(∠A+∠B)，
故选：B．
【变式2】如图，⊙O的弦CD与直径AB的延长线相交于点E，AB=2DE，∠E=12°，则
∠BAC= ．
【答案】72°/72度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、圆的基本概念辨
析
【分析】本题考查圆的基本性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．利
用数形结合的思想是解题关键．由同圆半径相等，三角形外角的性质结合题意可求出
∠CDO=2∠E=24°，再根据三角形内角和定理可求出∠COD=132°，从而可求出∠COA=36°，
最后再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵AB为直径，
∴AB=2OB，
∴DE=OD，
∴∠DOB=∠E=12°，
∴∠CDO=2∠E=24°．
∵OD=OC，
∴∠COD=180°−2∠CDO=132°，
∴∠COA=180°−∠COD−∠BOD=36°．
∵CO=OA，
180°−∠COA
∴∠BAC= =72°．
2
故答案为：72°．
【变式3】如图，过A、C、D三点的圆的圆心为点E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果
∠A=66°，那么∠θ= ．
【答案】16°/16度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、圆的基本概念辨析
【分析】根据等边对等角可得∠A=∠ACE，∠ECD=∠CDE，∠DEB=∠DBE，求出∠AEC，
根据三角形外角的性质证明∠AEC=3∠DBE，然后可得答案．
【详解】解：如图，连接CE、DE，
∵过A，C，D三点的圆的圆心为E，且过B，F，E三点的圆的圆心为D，
∴AE=CE=DE=DB，
∴∠A=∠ACE，∠ECD=∠CDE，∠DEB=∠DBE，
∵∠A=66°，
∴∠AEC=180°−2×66°=48°，∵∠ECD=∠CDE=2∠DBE，
∴∠AEC=∠ECD+∠DBE=3∠DBE，即3∠DBE=48°，
∴∠DBE=16°，即∠θ=16°，
故答案为：16°．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等
知识，证明∠AEC=3∠DBE是解题的关键．
考点9：圆的内接四边形
典例9：如图，已知六边形ABCDEF内接于圆O，其中∠CAE=60°，则∠B+∠F的度数是（ ）
A．230° B．235° C．240° D．245°
【答案】C
【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，连接CF，由圆周角定理可得
∠CFE=∠CAE=60°，由圆内接四边形的性质可得∠B+∠AFC=180°，再由
∠B+∠AFE=∠B+∠AFC+CFE，进行计算即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，连接CF，
∴∠CFE=∠CAE=60°，
∵四边形ABCF是圆内接四边形，
∴∠B+∠AFC=180°，
∴∠B+∠AFC+CFE=180°+60°=240°，
∴∠B+∠AFE=240°，
故选：C．
【变式1】在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆弧上取点C，
D，连接AC，BC，AD，BD，则∠ADB的度数为（）A．135° B．130° C．120° D．不确定
【答案】A
【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理
【分析】本题考查的是圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对
的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．直接根据圆周角定理及圆内接四
边形性质解答即可．
【详解】解：如图，连接OA,OB，
由图可得∠AOB=90°，
1
∴∠ACB= ∠AOB=45°，
2
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ADB=180°−∠ACB=180°−45°=135°，
故选：A
【变式2】如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆E的两点，且满足∠ADC=118°，连接OC，
则∠BOC的度数为 °
【答案】56
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知圆内接
四边形的对角互补；三角形内角和是180°是解题的关键．
先根据圆内接四边形的性质得出∠B的度数，再由等腰三角形的性质得出∠OCB的度数，根据三角
形内角和定理得出∠BOC的度数即可．【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADC=118°，
∴∠B=180°−∠ADC=180°−118°=62°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B=62°，
∴∠BOC=180°−∠B−∠OCB=180°−62°−62°=56°．
故答案为：56．
【变式3】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠ADC=110°，则
∠BEC的度数为 ．
【答案】20°
【知识点】等边对等角、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握圆内接四
边形的性质．连接OC，根据圆内接四边形的性质求出∠CBO=70°，根据OB=OC，可得
∠BCO=∠CBO=70°，然后根据三角形的内角和定理求出∠BOC=40°，最后根据圆周角定理即
可求解．
【详解】解：如图，连接OC,BC，
∵ ABCD ⊙O ∠ADC=110°
四边形 是 的内接四边形， ，
∴ ∠CBO=180°−∠ADC=180°−110°=70°，
∵ OB=OC，
∴ ∠BCO=∠CBO=70°，
∴ ∠BOC=180°−∠BCO−∠CBO=40°，
1
∴ ∠BEC= ∠BOC=20°，
2故答案为：20°．
