文档内容
专题 10 圆的基本性质
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）圆的相关概念
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（7）确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的
三点可作一个圆
（二）垂径定理及推论
（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；
如图: ,弧BC=弧BD，弧AC=弧AD
（2）推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
①弧AC=弧AD；②弧BD=弧CB；③CE=DE； ④AB⊥CD； ⑤AB是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
（三）弧、弦、圆心角的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项
“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。
（四）圆周角定理及推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,
∠A= ∠O.
图a 图b 图c
（2）推论：
①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.
②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.
③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
模块三 考点一遍过
考点1：圆的基本概念
典例1：下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆 B．在一个圆中，直径是最长的弦
C．弦是直径 D．长度相等的弧是等弧
【答案】B
【知识点】圆的基本概念辨析
【分析】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的概念是解答本题的关键，难度不大．利用圆的有关
定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、半圆是弧，正确，但弧不一定是半圆，不符合题意；
B、在一个圆中，直径是最长的弦，符合题意；
C、直径是弦，但弦不一定是直径，不符合题意；
D、同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故不符合题意．故选：B．
【变式1】下列命题正确的是（ ）
A．优弧大于劣弧 B．圆的任意一条直径都是它的对称轴
C．等弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于这条弦
【答案】C
【知识点】垂径定理的推论、圆的基本概念辨析、利用弧、弦、圆心角的关系求解、判断命题真假
【分析】本题考查判断命题的真假，圆的相关概念辨析，根据圆的相关概念，垂径定理的推论，逐
一进行判断即可．
【详解】解：A、同圆或等圆中，优弧大于劣弧，原命题为假命题，不符合题意；
B、圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，原命题为假命题，不符合题意；
C、等弧所对的圆心角相等，原命题为真命题，符合题意；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，原命题为假命题，不符合题意；
故选C
【变式2】①弦是直径；②半圆是弧；③两个半圆是等弧；④三个点确定一个圆；⑤圆的内接平行
四边形是矩形；⑥相等的弦所对的弧相等．说法正确的有 （填序号）．
【答案】 /⑤②
【知识点②】已⑤知圆内接四边形求角度、同弧或等弧所对的圆周角相等、利用弧、弦、圆心角的关系
求解、圆的基本概念辨析
【分析】本题考查了与圆有关的概念．熟记和圆有关的各种性质是解题的关键，根据三点共圆，圆
内接四边形的有关知识、弧弦之间的关系、圆周角定理的知识点逐个选项进行分析．
【详解】解：①弦不一定是直径，原说法错误；
②半圆是弧，原说法正确；
③半径相等的两个半圆是等弧，原说法错误；
④经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，原说法错误；
⑤圆内接平行四边形的对角互补，邻角互补，可得对角既相等又互补，即平形四边有一个内角是
90°，所以圆的内接平行四边形是矩形，原说法正确；
⑥同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原说法错误．
所以说法正确的有②⑤．
故答案为：②⑤．
【变式3】下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①直径是圆中最长的弦；
②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆；
④等弧所对的圆心角相等；⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等；
⑥顶点在圆上的角是圆周角；
⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合；
⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；
⑨半圆是弧；
⑩过圆心的线段是直径．
【答案】①③④⑨
【知识点】圆的基本概念辨析
【解析】略
考点2：垂径定理
典例2：如图，在△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点
E，BC=6．
(1)若∠A=35°，求D´E的长度；
(2)若AC=8，求BD的长．
2
【答案】(1) π
3
(2)7.2
【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、求弧长
【分析】（1）如图所示，连接CD，根据直角三角形两锐角互余可得∠B=55°，由等边对等角可
nπr
求出∠BCD=70°，则有∠DCE=20°，由弧长公式l = （n是弧长所对的圆心角的度数）
弧长 180°
即可求解；
（2）如图所示，过点C作CF⊥BD于点F，由垂径定理可得BD=2BF，根据勾股定理可得AB的
长，根据等面积法可得CF，在Rt△BCF中，由勾股定理可得BF=DF=3.6，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接CD，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=35°，
∴∠B=90°−∠A=90°−35°=55°，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=55°，
∴∠BCD=180−∠CBD−∠CDB=180°−55°−55°=70°，
∴∠DCE=∠ACB−∠BCD=90°−70°=20°，
∵⊙C的半径BC=CD=CE=6，
20°×π×6 2
∴l = = π，
⏜ 180° 3
DE
2
∴D´E的长度为 π；
3
（2）解：如图所示，过点C作CF⊥BD于点F，
1
∴BF=DF= BD，
2
在Rt△ABC中，AC=8,BC=6，
∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10，
1 1
∵S = AC·BC= AB·CF，
△ABC 2 2
AC·BC 8×6
∴CF= = =4.8，
AB 10
∴在Rt△BCF中，BF=√BC2−CF2=√62−4.82=3.6，
∴BD=2BF=2×3.6=7.2，
∴BD的长为7.2．【点睛】本题主要考查直角三角形两锐角互余，等腰三角形的判定和性质，弧长的计算，垂径定理，
勾股定理等知识的综合，掌握弧长的计算公式，垂径定理于勾股定理的综合运用是解题的关键．
【变式1】在⊙O中，弦AB∥弦CD，过O作OH⊥CD于H，延长HO交AB于E，连接AO相OD，
AB=2OH．
(1)如图1，求证：∠AOD=90°；
(2)如图2，连接DE，延长DE交⊙O于F，过E作EW⊥DF交⊙O于W，连接FW和WD，若
∠A=∠FDW，求证：∠FWE=∠DEH；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BF、BW，若∠BEW =∠BWF，EW =√2，求WD的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)√6
【知识点】已知正切值求边长、圆周角定理、利用垂径定理求平行弦问题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据垂径定理可得AE=EB=OH，∠AEO=∠OHD=90°，进而证明
Rt△AEO≌Rt△OHD(HL)，得出∠AOE=∠ODH，则∠DOH+∠AOE=90°，即可求解；
（2）连接OW，设∠DEH=α，∠EDO=β，由（1）可得Rt△AEO≌Rt△OHD(HL)得出
1
∠AOE=∠ODH=90°−(α+β)，根据∠DFW = ∠DOW =90°−α得出∠FWE=α=∠DEH，
2
即可得证；
（3）连接AF，根据已知得出∠FAE=∠FWB=α，设AB,WF交于点M，连接OF,OM，根据
∠FEB=90°−∠BEW=90°−α，∠FEB=∠FAE+∠AFE=45°+α得出α=22.5°，在△OAF
中，导角得出∠FOM=∠AOE，证明△AOE≌△OFM得出△EOM是等腰直角三角形，则
FM a √2 WE √2
tan∠FOM= = = ，根据tan∠EDW = = 得出DF=2，进而勾股定理，即可求
OM √2a 2 FD 2
解．
【详解】（1）证明：∵弦AB平行于弦CD，过O作OH⊥CD于H，AB=2OH
∴AE=EB=OH，∠AEO=∠OHD=90°
又OA=OD，∴Rt△AEO≌Rt△OHD(HL)，
∴∠AOE=∠ODH，
又∵∠DOH+∠ODH=90°
∴∠DOH+∠AOE=90°
∴∠AOD=90°；
（2）证明：如图所示，连接OW，
设∠DEH=α，∠EDO=β
∵EW⊥DF，EH⊥AB，
∴∠BEW =∠DEH=α，
又∠DOH=∠DEH+∠EDO
∴∠DOH=∠OAE=α+β
由（1）可得Rt△AEO≌Rt△OHD(HL)
∴∠AOE=∠ODH=90°−(α+β)，∠EAO=∠DOH
∵∠BAO=∠FDW，
∴∠FDW =α+β=∠FDO+∠ODW
∴∠ODW =α
∵OD=OW，
∴∠OWD=∠ODW =α
∴∠DOW =180°−2α
∵D´W =D´W
1
∴∠DFW= ∠DOW=90°−α
2
∵EW⊥DF
∴∠FWE=α=∠DEH
（3）解：如图所示，
连接AF，∵∠BEW =∠BWF =α，B´F=B´F
∴∠FAE=∠FWB=α
∵∠AOD=90°
∴∠AFD=45°
又∵∠FEB=90°−∠BEW =90°−α，∠FEB=∠FAE+∠AFE=45°+α
∴45°+α=90°−α
∴α=22.5°
设AB,WF交于点M，连接OF,OM，
∵∠BEW=∠FWE=α
∴ME=MW
∵∠WFE=∠BEF=90°−α
∴ME=MF
∴MF=MW
∴OM⊥WF，
在△OAF中，OA=OF，∠OAF=∠OAE+∠FAE=(α+β)+α=2α+β=45°+β
∴∠EFO=∠OAF−45°=β
∴∠OFM=∠EFW−∠EFO=(90°−α)−β=90°−α−β
∵∠AOE=90°−(α+β)
∴∠FOM=∠AOE
在△AOE,△OFM中，
¿
∴△AOE≌△OFM∴FM=OE，OM=AE
设EM=a，
∵EM=MW，则EO=FM=MW=a
∴EO=EM=a，
∴△EOM是等腰直角三角形，
∴MO=√2a
FM a √2
∴tan∠FOM= = =
OM √2a 2
由（2）可得∠FOM=∠EAO=∠FDW
WE √2
∴tan∠EDW = =
FD 2
∵WE=√2
∴DF=2
∴DW =√EW2+ED2=√2+4=√6．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理，勾股定理，正切的定义，垂径定理，全等三
角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟练推导角度之间的关系是解题的关键．
【变式2】如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知
AB=8cm，CD=2cm．
(1)求作此残片所在的圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求出（1）中所作圆的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5cm
【知识点】利用垂径定理求值、利用垂径定理求同心圆问题
【分析】本题考查了垂经定理的应用和基本作图，用到的知识点是线段垂直平分线的作法与性质、
垂径定理、勾股定理的应用，基本作图需要熟练掌握．
（1）在圆形残片上作弦BE的垂直平分线MN，交CD于点P，连接AP，以P为圆心，AP为半径的
圆为所求残片的圆．
1
（2）先设圆P的半径为r，根据AB⊥CD和已知条件求出AD= AB，PD=(r−2)cm，在
2中，根据 ，得出 ，求出r即可．
Rt△APD AP2=AD2+DP2 r2=42+(r−2) 2
【详解】（1）解：作图如下，
（2）解：设圆P的半径为r，
∵AB⊥CD，AB=8cm，CD=2cm，
1
∴AD= AB=4cm，PD=(r−2)cm，
2
在Rt△APD中，AP2=AD2+DP2，
∴r2=42+(r−2) 2，
解得r=5，
∴⊙P的半径为5cm．
【变式3】如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：AC=BD；
(2)若AC=3，BC=5，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值．
【答案】(1)见解析
(2)√10
【知识点】利用垂径定理求同心圆问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解
题的关键．
（1）过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，再用等式的性质即可得证；
（2）连接OC、OA，利用垂径定理求出AE，在Rt△AOE中，由勾股定理求出OE2，然后在
Rt△COE中，利用勾股定理即可求出OC．【详解】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图，
由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，
∴AE−CE=BE−DE，
∴AC=BD；
（2）解：连接OC、OA，如图，
∵AC=3，BC=5，
∴AB=3+5=8，
∴AE=4，
∴CE=AE−AC=4−3=1，
∴在Rt△AOE中，OE2=OA2−AE2=52−42=9，
∴在Rt△COE中，OC2=CE2+OE2=12+9=10，
∴OC= √10，即小圆的半径r为√10
考点3：垂径定理的推论
典例3：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为A´D的中点，若∠BAD=20°，
则∠ACO的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】C
【知识点】等边对等角、垂径定理的推论
【分析】此题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．根据垂径定理的推论，
即可求得：OC⊥AD，由∠BAD=20°，即可求得∠AOC的度数，又由OC=OA，即可求得
∠ACO的度数
【详解】解：∵AB为⊙O的直径，C为A´D的中点，
∴OC⊥AD，
∵∠BAD=20°，∴∠AOC=90°−∠BAD=70°，
∵OA=OC，
180°−∠AOC 180°−70°
∴∠ACO=∠CAO= = =55°，
2 2
故选：C．
【变式1】如图，一块圆形钟表竖直放到一个长方体盒子中，钟表上刻度“2”和“10”恰好和盒子上
边沿AB重合于M，N两点，若BC=a，M´N的长为b，则下列结论正确的是（ ）
A．ab D．无法比较a与b
【答案】A
【知识点】求弧长、切线的性质定理、垂径定理的推论、含30度角的直角三角形
【分析】设⊙O的半径为r，则NO=MO=OE=r，根据题意可得：
3 2π
∠MON=30°×4=120°,EF⊥MN，算出BC=a= r，b=M´N= r，比较即可．
2 3
【详解】解：如图，O为圆形钟表圆心，连接NO,MO，则点E为切点，
设⊙O的半径为r，则NO=MO=OE=r，
根据题意可得：∠MON=30°×4=120°,EF⊥MN，
∴∠ONM=∠OMN=30°,NF=MF，
1 3
∴FO= r,BC=a=EF= r，
2 2
120°πr 2π
∴b=M´N= = r，
180° 3
2π 3
∵ r> r，
3 2
∴aCD B．AB=CD C．AB”“<”或“=”）
【答案】<
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证
【分析】取A´C的中点E，根据圆心角、弦的关系、三角形三边关系求解即可．
【详解】解：取A´C的中点E，连接AC、AE、CE、OE、BD，
1
∴∠AOE=∠COE= ∠AOC，
2
∵∠AOC=2∠BOD，
∴∠AOE=∠COE=∠BOD，
∴AE=CE=BD，
在ΔACE中，AC
