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题型01：分类分步计数原理
1．在“3+1+2”模式的新⾼考⽅案中，“3”是指语⽂、数学、外语三科为必考科⽬，“1”指在物理和历史两⻔科⽬
中必选⼀⻔，“2”指在化学、⽣物、政治、地理中任选两科，某学⽣根据⾃身的特点，决定按⼀下⽅法选
课：①外语可选英语或⽇语，②若选历史，则政治和地理⾄多选⼀科，③物理和⽇语最多只能选⼀个，
则这个同学可能的选课⽅式共有（
）
A．6 种
B．11 种
C．12 种
D．16 种
2．5 名同学分别报名参加学校的⾜球队、篮球队、排球队，每⼈限报其中的⼀个运动队，不同报法的种数
为（
）
A．15
B．8
C．35
D．53
3．已知集合M＝{1，﹣2，3}，N＝{﹣4，5，6，﹣7}，从集合M 中选⼀个元素作为点的横坐标，从集合N
中选⼀个元素作为点的纵坐标，则落在第三、第四象限内点的个数是（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
4．某学校开设5 ⻔球类运动课程、6 ⻔⽥径类运动课程和3 ⻔⽔上运动课程供学⽣学习，某位学⽣任选1
⻔课程学习，则不同的选法共有（
）
A．90 种
B．30 种
C．14 种
D．11 种
5．已知x∈{2，3，7}，y∈{﹣3，﹣4，8}，则xy 可表示不同的值的个数为（
）
A．10
B．6
C．8
D．9
题型02：排列数与组合数计算
6．已知
，则x 的值是（
）
A．3
B．6
C．9
D．3 或9
7．若
，则正整数n＝（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
8．若
，则n 的值为（
）
A．2
B．8
C．2 或8
D．2 或4
9．下列式⼦错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．设A＝37+C72•35+C74•33+C76•3，B＝C71•36+C73•34+C75•32+1，则A﹣B＝（
）
A．128
B．129
C．47
D．0
11．若
，则n 的值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
12．若
，则n＝（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
13．求证：
（1）
﹣
＝n2
．
（2）
（k≤n）
14．（1）若
；求正整数n；
（2）已知
，求
．
15．（1）计算C104﹣C73A33；
（2）解关于x 的⽅程：3A8x＝4A9x﹣1．
16．（1）计算：
；
（2）已知
，求
的值．
17．解下列⽅程．
（1）
；
（2）
．
18．（1）解关于n 的不等式
；
（2）求
的值．
题型03：捆绑法
1．A、B、C、D 四⼈并排站成⼀排，如果A 与B 相邻，那么不同的排法种数是（
）
A．24 种
B．12 种
C．48 种
D．23 种
2．由1，2，3，4，5 五个数字可以组成多少个⽆重复数字且1 和2 相邻的五位数（
）
A．24
B．48
C．12
D．120
3．将7 个⼈从左到右排成⼀排，若甲、⼄、丙3 ⼈中⾄多有2 ⼈相邻，则不同的站法有（
）
A．1440 种
B．2880 种
C．4320 种
D．3600 种
4．甲、⼄等6 ⼈去参观⺠间剪纸艺术展，参观结束后，他们站成⼀排拍照留念，则甲、⼄相邻的不同站法
有（
）
A．120 种
B．240 种
C．360 种
D．480 种
5．A，B，C，D 四⼈并排站成⼀排，如果A 与B 相邻，那么不同的排法种数是（
）
A．24 种
B．12 种
C．48 种
D．36 种
6．2022 年2 ⽉4 ⽇，中国北京第24 届奥林匹克冬季运动会开幕式以⼆⼗四节⽓的⽅式开始倒计时创意新
颖，惊艳了全球观众．衡阳市某中学为了弘扬我国⼆⼗四节⽓⽂化，特制作出“⽴春”、“惊蛰”、“清明”、“⽴
夏”、“芒种”、“⼩暑”六张知识展板分别放置在六个并排的⽂化橱窗⾥，要求“⽴春”和“惊蛰”两块展板相
邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置⽅式有多少种？（
）
A．192
B．240
C．120
D．288
7．有4 辆⻋停放5 个并排⻋位，货⻋甲⻋体较宽，停放时需要占两个⻋位，并且⼄⻋与货⻋甲相邻停放，
则共有多少种停放⽅法？（
）
A．8
B．12
C．16
D．10
8．⼀个家庭有5 个成员，其中有⽗、⺟亲以及3 个孩⼦，现安排站⼀排照⼀张全家福，要求⽗、⺟亲相邻
站队，则不同的站法种数为（
）
A．24
B．48
C．16
D．12
9．有六名同学站成⼀排照相，其中甲与⼄互不相邻，丙与丁必须相邻，则所有不同的排法有（
）种．
A．24
B．48
C．72
D．144
题型04：插孔法
10．2 位教师和4 位学⽣排成⼀排，要求2 位⽼师不能相邻，也不能站两端，则不同的排法种数为（
）
A．144
B．96
C．72
D．48
11．甲、⼄、丙三⼈相约去看电影，他们的座位恰好是同⼀排10 个位置中的3 个，因疫情防控的需要（这
⼀排没有其他⼈就座），则每⼈左右两边都有空位的坐法（
）
A．120 种
B．80 种
C．64 种
D．20 种
12．⼩花准备将⼀颗⻩⾊圣⼥果、⼀颗红⾊圣⼥果、⼀颗⼭楂、⼀颗草莓、⼀颗葡萄串起来制作⼀串冰糖
葫芦，若要求两颗圣⼥果不相邻，则不同的串法有（
）
A．36 种
B．48 种
C．72 种
D．144 种
13．在某班进⾏的歌唱⽐赛中，共有5 位选⼿参加，其中3 位⼥⽣，2 位男⽣．如果2 位男⽣不能连着出场，
且⼥⽣甲不能排在第⼀个，那么出场顺序的不同排法种数为（
）
A．30
B．36
C．60
D．72
14．在学校的书画展板上，将3 幅书法作品，3 幅美术作品按⼀圆形排列，要求美术作品不相邻，则不同排
列⽅法有（
）
A．12 种
B．18 种
C．24 种
D．36 种
15．2024 年10 ⽉1 ⽇是我国国庆75 周年，全国⼈⺠以各种各样的形式共同庆祝．我校以⽂艺演出的形式
庆祝，原本准备了4 个舞蹈，2 个独唱，2 个朗诵节⽬（顺序已定），现节⽬组临时决定加⼊⼀个学⽣红
歌合唱与⼀个教师红歌合唱，则节⽬的不同排法⼀共有（
）种．
A．72
B．36
C．45
D．90
16．为弘扬我国古代的“六艺⽂化”某夏令营主办单位计划利⽤暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六
⻔体验课程，每周⼀⻔，连续开设六周，则下列说法正确的是（
）
A．某学⽣从中选2 ⻔课程学习，共有20 种选法
B．课程“乐”，“射”排在不相邻的两周，共有240 种排法
C．课程“御”，“书”，“数”排在相邻的三周，共有120 种排法
D．课程“礼”不排在第⼀周，也不排在最后⼀周，共有480 种排法
17．六名同学暑期相约去都江堰采⻛观景，结束后六名同学排成⼀排照相留念，若甲与⼄相邻，丙与丁不
相邻，则不同的排法共有（
）
A．48 种
B．72 种
C．120 种
D．144 种
18．2022 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意深受各
国⼈⺠的喜爱，某商店有4 个不同造型的吉祥物“冰墩墩”和3 个不同造型的吉祥物“雪容融”展示在柜台
上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同排法的种数是（
）
A．
B．
C．
D．
题型05：挡板法
1．7 个相同的⼩球放⼊A，B，C 三个盒⼦，每个盒⼦⾄少放⼀球，共有（
）种不同的放法．
A．60 种
B．36 种
C．30 种
D．15 种
2．将10 本完全相同的科普知识书，全部分给甲、⼄、丙3 ⼈，每⼈⾄少得2 本，则不同的分法种数为（
）
A．720 种
B．420 种
C．120 种
D．15 种
3．⽅程x+y+z＝18 的⾮负整数解有（
）
A．217组
B．136 组
C．190 组
D．68 组
4．不定⽅程x+y+z＝12 的⾮负整数解的个数为（
）
A．55
B．60
C．91
D．540
5．若⽅程x1+x2+x3+x4＝8，其中x2＝2，则⽅程的正整数解的个数为（
）
A．10
B．15
C．20
D．30
6．⼩明同学去⽂具店购买⽂具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均
为⼀元⼀本，⼩明只有8 元钱且要求全部花完，则不同的选购⽅法共有（
）
A．70 种
B．165 种
C．280 种
D．1860 种
7．某⾼中从3 名男教师和2 名⼥教师中选出3 名教师，派到3 个不同的乡村⽀教，要求这3 名教师中男⼥
都有，则不同的选派⽅案共有（
）种．
A．9
B．36
C．54
D．108
题型06：间接法
1．“烂漫的⼭花中，我们发现你．⾃然击你以⻛雪，你报之以歌唱．命运置你于危崖，你馈⼈间以芬芳．不
惧碾作尘，⽆意苦争春，以怒放的⽣命，向世界表达倔强．你是岸畔的桂，雪中的梅”．这是给感动中
国⼗⼤⼈物之⼀的张桂梅⽼师的颁奖词，她⽤实际⾏动奉献社会，不求回报，只愿孩⼦们⾛出⼤⼭．受
张桂梅⽼师的影响，有⼤量志愿者到乡村学校⽀教，现有6 名志愿者要到4 个学校参加⽀教活动，要求
甲、⼄两个学校各安排⼀个⼈，剩下两个学校各安排两个⼈，其中的⼩李和⼩王不在⼀起，不同的安排
⽅案共有（
）
A．156 种
B．168 种
C．172 种
D．180 种
2．某学校计划从包含甲、⼄、丙三位教师在内的10 ⼈中选出5 ⼈组队去⻄部⽀教，若甲、⼄、丙三位教
师⾄少⼀⼈被选中，则组队⽀教的不同⽅式共有（
）
A．21 种
B．231 种
C．238 种
D．252 种
3．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是
体育和劳动；“书”指各种历史⽂化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排⼀次
讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第⼀次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有
（
）
A．408 种
B．240 种
C．192 种
D．120 种
4．红五⽉，某校团委决定举办庆祝中国共产党成⽴100 周年“百年荣光，伟⼤梦想”联欢会，经过初赛，共
有6 个节⽬进⼊决赛，其中2 个歌舞类节⽬，2 个⼩品类节⽬，1 个朗诵类节⽬，1 个戏曲类节⽬．演出
时要求同类节⽬不能相邻，则演出顺序的排法总数是（
）
A．96
B．326
C．336
D．360
5．2022 年6 ⽉17 ⽇，我国第三艘航⺟“福建舰”正式下⽔．现要给“福建舰”进⾏航⺟编队配置科学试验，
要求2 艘攻击型核潜艇⼀前⼀后，3 艘驱逐舰和3 艘护卫舰分列左右，每侧3 艘，同侧不能都是同种舰
艇，则舰艇分配⽅案的⽅法数为（
）
A．72
B．324
C．648
D．1296
6．在某互联⽹⼤会上，为了提升安全级别，将5 名特警分配到3 个重要路⼝执勤，每个⼈只能选择⼀个路
⼝，每个路⼝最少1 ⼈，最多3 ⼈，且甲和⼄不能安排在同⼀个路⼝，则不同的安排⽅法有（
）
A．180 种
B．150 种
C．96 种
D．114 种
7．电影《夺冠》讲述中国⼥排姑娘们顽强奋⽃、为国争光的励志故事，打造⼀部⻅证新中国体育改⾰40
年的⼒作，该影⽚于2020 年09 ⽉25 ⽇正式上映．在《夺冠》，上映当天，⼀对夫妇带着他们的两个⼩
孩⼀起去观看该影⽚，订购的4 张电影票恰好在同⼀排且连在⼀起．为安全起⻅，影院要求每个⼩孩⼦
要有家⻓相邻陪坐，则不同的坐法种数是（
）
A．8
B．12
C．16
D．20
8．把7 个字符a，a，a，b，b，α，β排成⼀排，要求三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，则这样的
排法共有（
）
A．144 种
B．96 种
C．30 种
D．12 种
题型07：列举法
9．“2021 年12 ⽉2 ⽇”因其数字“20211202”的对称性被很多⼈晒到了朋友圈，类似这样的对称性在⼆⼗⼀世
纪，我们还能再遇到（
）
A．6 次
B．7 次
C．8 次
D．9 次
10．从集合{1，2，3}的⾮空⼦集中任取两个不同的集合A 和B，若A∩B≠∅，则不同的取法共有（
）
A．42 种
B．36 种
C．30 种
D．15 种
11．三⼈互相传球，由甲开始发球，并作为第⼀次传球，经过5 次传球后，球仍回到甲⼿中，则不同的传
球⽅式共有（
）
A．5 种
B．10 种
C．8 种
D．16 种
12．三⼈踢毽⼦，互相传递，每⼈每次只能踢⼀下，若由甲开始踢，经过4 次传递后，毽⼦⼜被踢回甲，
则不同的传递⽅式共有（
）
A．4 种
B．5 种
C．6 种
D．12 种
13．从⾃然数1，2，3，4，5 中，任意取出两个数组成两位的⾃然数，则在两位⾃然数中取出的数恰好能被
3 整除的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
14．设xi∈N（i＝1，2，3，4，5，6…），则满⾜x1＜x2＜x3＜x4＜10 的有序数组（x1，x2，x3，x4）的个数为（
）
A．126
B．3024
C．210
D．5040
15．A，B，C，D，E 五⼈并排站成⼀排，如果B 必须站在A 的右边（A，B 可以不相邻），那么不同的排法
共有（
）
A．24 种
B．60 种
C．90 种
D．120 种
题型08：定序法
16．将编号分别为a，b，c，d，e，f 的6 张卡⽚从左到右排成⼀⾏，若卡⽚a 必须在卡⽚b 的左边，则不
同的排列⽅法有（
）
A．240 种
B．360 种
C．480 种
D．540 种
17．有五名学⽣站成⼀排照毕业纪念照，其中甲不排在⼄的左边，则不同的站法共有（
）
A．66 种
B．60 种
C．36 种
D．24 种
18．在⼀次学校组织的研究性学习成果报告会上，有A，B，C，D，E，F 共6 项成果要汇报，如果B 成果
不能最先汇报，⽽A、C、D 按先后顺序汇报（不⼀定相邻），那么不同的汇报安排种数为（
）
A．100
B．120
C．300
D．60
19．5 个节⽬，若甲、⼄、丙三个节⽬按给定顺序出现不同的排法有（
）
A．120 种
B．80 种
C．48 种
D．20 种
20．习近平总书记在全国教育⼤会上发表重要讲话，称教育是国之⼤计，党之⼤计．哈九中落实讲话内容，
组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F 共6 项成果要汇报，如果B 成果
不能最先汇报，⽽A、C、D 按先后顺序汇报（不⼀定相邻），那么不同的汇报安排种数为（
）
A．100
B．120
C．300
D．600
21．元宵节灯展后，悬挂的8 盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1 盏，则不同的取法共有（
）
A．32 种
B．70 种
C．90 种
D．280 种
22．贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗．现准备在⼤⻔的两侧各挂四盏⼀样的红灯笼，从上往下挂，
可以⼀侧挂好后再挂另⼀侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同⽅法数为（
）
A．8!
B．1680
C．140
D．70
题型09：直接法
23．甲、⼄、丙、丁、戊五名同学进⾏劳动技术⽐赛，决出第1 名到第5 名的名次．甲和⼄去询问成绩，回
答者对甲说“很遗憾，你和⼄都没有得到冠军．”对⼄说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5 ⼈的
名次排列可能有多少种不同情况？（
）
A．27 种
B．36 种
C．54 种
D．72 种
24．某校开展研学活动时进⾏劳动技能⽐赛，通过初选，选出A，B，C，D，E，F 共6 名同学进⾏决赛，
决出第1 名到第6 名的名次（没有并列名次），A 和B 去询问成绩，回答者对A 说“很遗憾，你和B 都未
拿到冠军；对B 说“你当然不是最差的”．试从这个回答中分析这6 ⼈的名次排列顺序可能出现的结果有
（
）
A．720 种
B．600 种
C．480 种
D．384 种
25．甲、⼄、丙、丁四⼈站成⼀列，要求甲站在最前⾯，则不同的排法有（
）
A．24 种
B．6 种
C．4 种
D．12 种
26．为庆祝中国共产党成⽴100 周年，重温党的光辉历程，歌颂党的伟⼤成就，继承和发扬党的优良⾰命
传统，充分展现当代中学⽣爱党、爱国、爱社会主义的深厚情怀，我校计划举办2021 年“荔枝杯”中学⽣
演讲⽐赛，要求从5 名男⽣、2 名⼥⽣中随机选出4 ⼈进⾏现场⽐赛，且⾄少要选1 名⼥⽣，如果2 名
⼥⽣同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序共有（
）
A．120 种
B．480 种
C．600 种
D．720 种
27．甲、⼄两名同学从⽣物、地理、政治、化学中各选两⻔进⾏学习，若甲、⼄不能同时选⽣物，则甲、⼄
总的选法种数有（
）
A．27
B．36
C．18
D．24
28．某学校要从5 名男教师和3 名⼥教师中随机选出3 ⼈去⽀教，则抽取的3 ⼈中，男教师最少为1 ⼈的
选法种数为（
）
A．45
B．50
C．55
D．40
29．为了贯彻落实中央新疆⼯作座谈会和全国对⼝⽀援新疆⼯作会议精神，促进边疆少数⺠族地区教育事
业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位⼥教师⽀援新疆，这五名教师被分派到三个不同地⽅对
⼝⽀援，每位教师只去⼀个地⽅，每个地⽅⾄少去⼀⼈，其中两位⼥教师分派到同⼀个地⽅，则不同的
分派⽅法有（
）
A．18 种
B．36 种
C．68 种
D．84 种
题型10：填⾊问题
30．在中国地图上，⻄部五省（⽢肃、四川、⻘海、新疆、⻄藏）如图所示，有四种颜⾊供选择，要求每省
涂⼀⾊，相邻省不同⾊，则不同的涂⾊⽅法有（
）种．
A．48
B．72
C．96
D．120
31．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直⻆三⻆形和⼀个正⽅形构成．现⽤
4 种不同的颜⾊（4 种颜⾊全部使⽤）给这5 个区域涂⾊，要求相邻的区域不能涂同⼀种颜⾊，每个区
域只涂⼀种颜⾊，则不同的涂⾊⽅案有（
）
A．24 种
B．48 种
C．72 种
D．96 种
32．如图所示，积⽊拼盘由A，B，C，D，E 五块积⽊组成，若每块积⽊都要涂⼀种颜⾊，且为了体现拼盘
的特⾊，相邻的区域需涂不同的颜⾊（如：A 与B 为相邻区域，A 与D 为不相邻区域），现有五种不同
的颜⾊可供挑选，则不同的涂⾊⽅法的种数是（
）
A．780
B．840
C．900
D．960
33．如图，a 省分别与b，c，d，e 四省交界，且b，c，d 互不交界，在地图上分别给各省地域涂⾊，要求
相邻省涂不同⾊，现有5 种不同颜⾊可供选⽤，则不同的涂⾊⽅案种数为（
）
A．480
B．600
C．720
D．840
34．在⼀个正六边形的六个区域涂⾊（如图），要求同⼀区域同⼀种颜⾊，相邻的两块区域（有公共边）涂
不同的颜⾊，现有5 种不同的颜⾊可供选择，则不同涂⾊⽅案有（
）
A．720 种
B．2160 种
C．4100 种
D．4400 种
35．如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的⼀个“数学⻛⻋”，图中正⽅形ABCD 内部为“赵爽弦图”（由四
个全等的直⻆三⻆形和⼀个⼩正⽅形组成）．现给图中△ABE，△BCF，△CDG，△DAH 这4 个三⻆形
和“赵爽弦图”ABCD 涂⾊，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同⾊，已知有4 种不同的颜⾊可供
选择．则不同的涂⾊⽅法种数是（
）
A．48
B．54
C．72
D．108
36．如图，⽤四种不同的颜⾊给图中的P、A、B、C、D 五个点涂⾊，要求每个点涂⼀种颜⾊，且图中每条
线段的两个端点涂不同的颜⾊，则不同的涂⾊⽅法共有（
）种．
A．72
B．86
C．106
D．120
37．如图，⽤四种不同的颜⾊给图中的A，B，C，D，E，F，G 七个点涂⾊，要求每个点涂⼀
种颜⾊，且图中每条线段的两个端点涂不同颜⾊，则不同的涂⾊⽅法有（
）
A．192
B．336
C．600
D．以上答案均不对
38．⽤五种不同的颜⾊给图中ABCDEF 六个⼩⻓⽅形区域涂⾊，要求颜⾊⻬全且有公共边的区域颜⾊不同，
则共有涂⾊⽅法（
）
A．720 种
B．840 种
C．960 种
D．1080 种
39．⽤红、⻩、蓝、绿、橙五种不同颜⾊给如图所示的5 块区域A、B、C、D、E 涂⾊，要求同⼀区域⽤同
⼀种颜⾊，有公共边的区域使⽤不同颜⾊，则共有涂⾊⽅法（
）
A．120 种
B．720 种
C．840 种
D．960 种
题型11：环徘问题
1．21 个⼈按照以下规则表演节⽬：他们围坐⼀圈，按顺序从1 到3 循环报数，报数字“3”的⼈出来表演节
⽬，并且表演过的⼈不再参加报数，那么在仅剩两个⼈没有表演过节⽬的时候，共报数的次数为（
）
A．19
B．38
C．51
D．57
2．A，B，C，D，E，F 六⼈围坐在⼀张圆桌周围开会，A 是会议的中⼼发⾔⼈，必须坐最北⾯的椅⼦，B、
C ⼆⼈必须坐相邻的两把椅⼦，其余三⼈坐剩余的三把椅⼦，则不同的座次有（
）
A．24 种
B．30 种
C．48 种
D．60 种
3．现有⼀圆桌，周边有标号为1，2，3，4 的四个座位，甲、⼄、丙、丁四位同学坐在⼀起探讨⼀个数学课
题，每⼈只能坐⼀个座位，甲先选座位，且甲、⼄不能相邻，则所有选座⽅法有（
）
A．6 种
B．8 种
C．12 种
D．16 种
4．5 个⼥孩与6 个男孩围成⼀圈，任意两个⼥孩中间⾄少站⼀个男孩，则不同排法有
种（填
数字）．
5．⼀张⽅桌有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，B，C，D 三⼈随机坐到其他三个位置上，则C 与D
相邻的概率为
．
6．⼀个圆桌有⼗⼆个座位，编号为1 ⾄12．现有四个学⽣和四个家⻓⼊座，要求学⽣坐在偶数位，家⻓与
其孩⼦相邻．满⾜要求的坐法共有
种．
7．现有⼀圆桌，周边有标号为1，2，3，4 的四个座位，甲、⼄，丙、丁四位同学坐在⼀起探讨⼀个数学课
题，每⼈只能坐⼀个座位，甲先选座位，且甲、⼄不能相邻，则所有选座⽅法有
种．（⽤数字作
答）
8．甲、⼄、丙、丁、戊5 名同学⼿拉⼿站成⼀圈，有多少种不同的站法？
9．有10 个⼈围着⼀张圆桌坐成⼀圈，共有多少种不同的坐法？
题型12：数字问题
1．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率⽅
⾯的成就，把3.1415926 称为“祖率”，这是中国数学的伟⼤成就．某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同
学们把⼩数点后的7 位数字1，4，1，5，9，2，6 进⾏随机排列，整数部分3 不变，那么可以得到⼤于
3.14 的不同数字的个数为（
）
A．720
B．1440
C．2280
D．4080
2．2021 年12 ⽉02 ⽇，很多⼈的微信圈都在转发这样⼀条微信：“20211202，所遇皆为对，所做皆称⼼”．形
如“20211202”的数字叫“回⽂数”，即从左到右读和从右到左读都⼀样的正整数，则8 位的回⽂数共有
（
）
A．90
B．900
C．9000
D．90000
3．将1、2、3、…9 这九个数字填在如图所示的9 个空格中，要求每⼀⾏从左到右依次增⼤，每⼀列从上到
下依次增⼤，当6 在图中的位置时，则填写空格的⽅法有（
）
A．8 种
B．18 种
C．12 种
D．24 种
4．算盘是中国古代的⼀项重要发明．现有⼀种算盘（如图1），共两档，⾃右向左分别表示个位和⼗位，档
中横以梁，梁上⼀珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨⼀珠记作数字1（如图2 中算盘表示整数51）．如
果拨动图1 算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（
）
A．8
B．10
C．15
D．16
5．⽤1，2，3，4 这4 个数字可写出（
）个没有重复数字的三位数．
A．24
B．12
C．81
D．64
6．从0、2 中选⼀个数字．从1、3、5 中选两个数字，组成⽆重复数字的三位数．其中奇数的个数为（
）
A．24
B．18
C．12
D．6
7．数字“2016”中，各位数字相加和为9，称该数为“⻓久四位数”，则⽤数字0，1，2，3，4，5，6 组成的⽆
重复数字且⼤于2016 的“⻓久四位数”有（
）个．
A．39
B．40
C．41
D．42
8．由数字1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中⼩于50000 的偶数共有（
）
A．60 个
B．48 个
C．36 个
D．24 个
9．由1，2，3，4，5 五个数组成没有重复数字的五位数，其中1 与2 不能相邻的排法总数为（
）
A．20
B．36
C．60
D．72
10．⼗进制的算筹计数法是中国数学史上⼀个伟⼤的创造，算筹实际上是⼀根根同⻓短的⼩⽊棍．如图是
利⽤算筹表示数字1～9 的⼀种⽅法．例如：3 可表示为“≡”，26 可表示为“＝⊥”，现⽤6 根算筹表示不
含0 的⽆重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3 整除的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
题型13：排队问题
11．⼀次志愿者活动中，其中⼩学⽣2 名、初中⽣3 名、⾼中⽣3 名．现将他们排成⼀列，要求2 名⼩学⽣
排在正中间，要求3 名⾼中⽣中任意两名不相邻，则不同的排法有（
）
A．144
B．216
C．288
D．432
12．现有2 个红球、2 个⻩球、3 个⽩球，3 个⿊球，同⾊球不加区分，将这10 个球排成⼀列，有多少种不
同的⽅法（
）
A．24000
B．25200
C．25600
D．26540
13．将数字1，2，3，4，5，6 拼成⼀列，记第i 个数为ai（i＝1，2，…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜
a5，则不同的排列⽅法种数为（
）
A．18
B．30
C．36
D．48
14．有8 位学⽣春游，其中⼩学⽣2 名、初中⽣3 名、⾼中⽣3 名．现将他们排成⼀列，要求2 名⼩学⽣相
邻、3 名初中⽣相邻，3 名⾼中⽣中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（
）
A．288 种
B．144 种
C．72 种
D．36 种
15．将A，B，C，D，E 排成⼀列，要求A，C，E 在排列中顺序为“A，C，E”或“E，C，A”（可以不相邻），
则这样的排列数有（
）
A．24 种
B．40 种
C．60 种
D．80 种
16．5 个⼈排成⼀列，其中甲不排在末位，且甲、⼄两⼈不能相邻，则满⾜条件的所有排列有（
）
A．18 种
B．36 种
C．48 种
D．54 种
17．古代“五⾏”学认为：“物质分⾦、⽊、⼟、⽔、⽕五种属性，⾦克⽊，⽊克⼟，⼟克⽔，⽔克⽕，⽕克⾦．”
将五种不同属性的物质任意排成⼀列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列⽅法有多少
种（结果⽤数字表示）．（
）
A．5
B．10
C．20
D．120
18．计划在某画廊展出10 幅不同的画，其中1 幅⽔彩画，4 幅油画，5 幅国画排成⼀列，要求同⼀品种挂在
⼀起，⽔彩画不在两端，那么不同的排列⽅式有（
）种
A．A A
B．A A A
C．A A A
D．A A A
19．从字⺟a，b，c，d，e，f 中选出4 个字⺟排成⼀列，其中⼀定要选出a 和b，并且必须相邻（a 在b 的
前⾯），共有排列⽅法（
）种．
A．36
B．72
C．90
D．144
20．计算机通常使⽤若⼲个数字0 到1 排成⼀列来表示⼀个物理编号，现有4 个“0”与4 个“1”排成⼀列，那
么⽤这8 个数字排成⼀列能表示的物理信号的个数是（
）
A．140
B．110
C．70
D．60
21．有5 个球，其中2 个⼀样的⿊球，红、⽩、蓝球各1 个，现从中取出4 个球排成⼀列，则所有不同的排
法种数是（
）
A．72
B．60
C．120
D．54
22．将A、B、C、D、E 排成⼀列，要求A、B、C 在排列中顺序为“A、B、C”或“C、B、A”（可以不相邻），
这样的排列数有多少种（
）
A．12 种
B．20 种
C．40 种
D．60 种
23．把1、2、3、4、5、6、7 这七个数随机地排成⼀列组成⼀个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的
数列共有（
）
A．20 个
B．62 个
C．63 个
D．64 个
24．从甲、⼄等5 个⼈中选出3 ⼈排成⼀列，则甲不在排头的排法种数是（
）
A．12
B．24
C．36
D．48
题型14：⼏何问题
25．以正⽅体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（
）
A．70
B．64
C．60
D．58
26．从正⽅体的8 个顶点中选取4 个作为顶点，可得到四⾯体的个数为（
）
A．
﹣12
B．
﹣8
C．
﹣6
D．
﹣4
27．在正⽅体的8 个顶点中，以任意4 个顶点为顶点的三棱锥，共有（
）
A．52 个
B．54 个
C．58 个
D．62 个
28．设P，Q 为⼀个正⽅体表⾯上的两点，已知此正⽅体绕着直线PQ 旋转θ（0＜θ＜2π）⻆后能与⾃身重
合，那么符合条件的直线PQ 的条数为（
）
A．3
B．4
C．7
D．13
29．正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1，Pi（i＝1，2，…，12）是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平⾯A1C1B
平⾏的直线有⼏条（
）
A．36
B．21
C．12
D．6
30．从正⽅体的6 个⾯中选取3 个⾯，其中有2 个⾯不相邻的选法共有（
）
A．8 种
B．12 种
C．16 种
D．20 种
31．《九章算术》中将四个⾯都是直⻆三⻆形的四⾯体称为“鳖臑”，则以正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点为
顶点的“鳖臑”的个数为（
）
A．12
B．24
C．48
D．58
32．从正⽅体六个⾯的对⻆线中任取两条作为⼀对．其中所成的⻆为60°的共有（
）
A．24 对
B．30 对
C．48 对
D．60 对
33．从正⽅体ABCD A1B1C1D1 的8 个顶点中选取4 个作为四⾯体的顶点，可得到的不同四⾯体的个数为
（
）
A．66
B．64
C．62
D．58
题型15：多⾯⼿问题
1．某国际旅⾏社现有11 名对外翻译⼈员，其中有5 ⼈只会英语，4 ⼈只会法语，2 ⼈既会英语⼜会法语，
现从这11 ⼈中选出4 ⼈当英语翻译，4 ⼈当法语翻译，则共有（
）种不同的选法
A．225
B．185
C．145
D．110
2．为庆祝中国共产党成⽴100 周年，某学校举⾏⽂艺汇演．该校⾳乐组9 名教师中3 ⼈只会器乐表演，5
⼈只会声乐表演，1 ⼈既会器乐表演⼜会声乐表演，现从这9 ⼈中选出3 ⼈参加器乐表演，4 ⼈参加声
乐表演，每⼈只能参加⼀种表演，共有
种不同的选法．（⽤数字作答）
3．某单位有11 名外语翻译⼈员（每名翻译⼈员都能从事英语或俄语翻译），其中能从事英语翻译x ⼈，且
x 满⾜
，能从事俄语翻译6 ⼈．
（1）问既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有⼏⼈？
（2）现要从中选出8 ⼈组成两个翻译⼩组，其中4 ⼈翻译英语，另4 ⼈翻译俄语，则有多少种不同的选
派⽅式？
题型16：双排问题
4．8 ⼈排两排，排后两排各4 ⼈，组成2×4 ⽅阵．
（1）甲、⼄不同排有多少排法？
（2）甲、⼄同排有多少排法？
（3）甲、⼄同排相邻或前后相邻有多少排法？
（4）甲、⼄不在两端有多少排法？
（5）任意排有多少排法？
题型17：最短路径问题
1．如图，在某城市中，M、N 两地间有整⻬的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿图中的矩形的边
前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（
）
A．13 种
B．15 种
C．25 种
D．10 种
2．如图，⼀只蚂蚁从点A 出发沿着⽔平⾯的线条爬⾏到点C，再由点C 沿着置于⽔平⾯的⻓⽅体的棱爬
⾏⾄顶点B，则它可以爬⾏的不同的最短路径有（
）条．
A．40
B．60
C．80
D．120
3．如图所示，甲、⼄两⼈同时出发，甲从点A 到B，⼄从点C 到D，且每⼈每次都只能向上或向右⾛⼀格．则
甲、⼄的⾏⾛路线没有公共点的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
题型18：分组分配问题
4．国庆⻓假过后学⽣返校，某学校为了做好防疫⼯作组织了6 个志愿服务⼩组，分配到4 个⼤⻔进⾏⾏李
搬运志愿服务，若每个⼤⻔⾄少分配1 个志愿服务⼩组，每个志愿服务⼩组只能在1 个⼤⻔进⾏服务，则
不同的分配⽅法种数为（
）
A．65
B．125
C．780
D．1560
5．某市为了迎接国家⽂明城市验收，要求某单位4 名⼯作⼈员到路⼝执勤，协助交警劝导⼈们规范出⾏．现
有含甲、⼄在内的4 名⼯作⼈员，按要求分配到2 个不同的路⼝执勤，每个路⼝⾄少⼀⼈，则甲、⼄在
同⼀路⼝的分配⽅案共有（
）
A．3 种
B．6 种
C．9 种
D．12 种
6．在2022 年北京冬季奥运会志愿者活动中，甲、⼄等6 ⼈报名参加了A，B，C 三个项⽬的志愿者⼯作，
因⼯作需要，每个项⽬仅需1 名志愿者，且甲不能参加A，B 项⽬，⼄不能参加B，C 项⽬，那么不同
的志愿者分配⽅案共有（
）
A．52 种
B．68 种
C．72 种
D．108 种
7．为了落实五育并举，全⾯发展学⽣素质．学校准备组建书法、⾳乐、美术、体育社团．现将5 名同学分
配到这4 个社团进⾏培训，每名同学只分配到1 个社团，每个社团⾄少分配1 名同学，则不同的分配⽅
案共有（
）
A．60 种
B．120 种
C．240 种
D．480 种
8．有6 本不同的书，按下列⽅式进⾏分配，其中分配种数正确的是（
）
A．分给甲、⼄、丙三⼈，每⼈各2 本，有15 种分法
B．分给甲、⼄、丙三⼈中，⼀⼈4 本，另两⼈各1 本，有180 种分法
C．分给甲⼄每⼈各2 本，分给丙丁每⼈各1 本，共有90 种分法
D．分给甲⼄丙丁四⼈，有两⼈各2 本，另两⼈各1 本，有1080 种分法
题型19：错位排列问题
9．“数独九宫格”原创者是18 世纪的瑞⼠数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1 到9 这九个⾃然数填到如
下所示的⼩九宫格的9 个空格⾥，每个空格填⼀个数，且9 个空格的数字各不相同．若中间空格已填数
字5，且只填第⼆⾏和第⼆列，并要求第⼆⾏从左到右及第⼆列从上⾄下所填的数字都是从⼩到⼤排列
的，则不同的填法种数为（
）
5
A．36
B．72
C．144
D．196
10．编号为1、2、3、4、5 的五个⼈分别去坐编号为1、2、3、4、5 的五个座位，其中有且只有两个⼈的编
号与座位号⼀致的做法是（
）
A．10 种
B．20 种
C．30 种
D．60 种
11．将编号为1，2，3，4，5，6 的⼩球放⼊编号为1，2，3，4，5，6 的六个盒⼦中，每盒放⼀球，若有且
只有两个盒⼦的编号与放⼊的⼩球的编号相同，则不同的放法种数为（
）
A．90
B．135
C．270
D．360
12．同室四⼈各写⼀张贺年卡，先集中起来，然后每⼈从中拿⼀张别⼈送出的贺年卡，则四张贺年卡不同
的分配⽅式有（
）
A．6 种
B．9 种
C．11 种
D．23 种
13．若5 个⼈各写⼀张卡⽚（每张卡⽚的形状、⼤⼩均相同），现将这5 张卡⽚放⼊⼀个不透明的箱⼦⾥，
并搅拌均匀，再让这5 ⼈在箱⼦⾥各摸⼀张，恰有1 ⼈摸到⾃⼰写的卡⽚的⽅法数有（
）
A．20
B．90
C．15
D．45
14．5 个⼈站成⼀列，重新站队时各⼈都不站在原来的位置上，共有（
）种不同的站法．
A．42
B．44
C．46
D．48
15．若4 个⼈按原来站的位置重新站成⼀排，恰有⼀个⼈站在⾃⼰原来的位置，则共有（
）种不同的
站法．
A．4
B．8
C．12
D．24
16．将数字1，2，3，4 填⼊标号为1，2，3，4 的四个⽅格⾥，每格填⼀个数字，则每个⽅格的标号与所填
的数字均不相同的填法有（
）
A．6 种
B．9 种
C．11 种
D．23 种
题型20：排列组合解答题综合
1．7 位同学站⼀排．
（1）站成两排（前3 后4），共有多少种不同的排法？
（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法？
（3）甲、⼄只能站在两端的排法共有多少种？
（4）甲不排头，⼄不排尾的排法共有多少种？
（5）甲、⼄两同学必须相邻的排法共有多少种？
（6）甲、⼄两同学必须相邻，⽽且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
（7）甲、⼄两同学不能相邻的排法共有多少种？
（8）甲、⼄、丙三个同学都不能相邻的排法共有少种？
（9）甲、⼄、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？
（10）甲、⼄相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？
（11）甲必须站在⼄的左边的不同排法共有多少种？
2．6 位同学报名参加2022 年杭州亚运会4 个不同的项⽬（记为A，B，C，D）的志愿者活动，每位同学恰
报1 个项⽬．
（1）6 位同学站成⼀排拍照，如果甲⼄两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队⽅式有
多少种？
（2）若每个项⽬⾄少需要⼀名志愿者，求⼀共有多少种不同报名⽅式？
（3）若每个项⽬只招⼀名志愿者，且同学甲不参加项⽬A，同学⼄不参加项⽬D，求⼀共有多少种不同
录⽤⽅式？
3．中华⽂化源远流⻓，为了让⻘少年更好地了解中国的传统⽂化，某培训中⼼计划利⽤暑期开设“围棋”、“武
术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六⻔体验课程．
（1）若体验课连续开设六周，每周⼀⻔，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；
（2）现有甲、⼄、丙三名学⽣报名参加暑期的体验课程，每⼈都选两⻔课程，甲和⼄有⼀⻔共同的课
程，丙和甲、⼄的课程都不同，求所有选课的种数；
（3）计划安排A、B、C、D、E 五名教师教这六⻔课程，每⻔课程只由⼀名教师任教，每名教师⾄少任
教⼀⻔课程，教师A 不任教“围棋”课程，教师B 只能任教⼀⻔课程，求所有课程安排的种数．
4．（1）将9 个互不相同的⼩球放⼊三个不同的盒⼦，可以出现空盒，共有多少种不同的放法？（⽤数字作
答）
（2）9 个⼩球中有5 个红球，2 个⿊球和2 个⽩球，除了颜⾊以外，⼩球完全相同．将这9 个⼩球排成
⼀列，能产⽣多少种不同的图案？（⽤数字作答）
（3）有9 个除了颜⾊外完全相同的⼩球，9 个⼩球中只有红、⿊、⽩三种颜⾊，共有多少种可能的组合？
（⽤数字作答）
5．有5 个男⽣和3 个⼥⽣，从中选出5 ⼈担任5 ⻔不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数．
（1）有⼥⽣但⼈数必须少于男⽣；
（2）某⼥⽣⼀定担任语⽂科代表；
（3）某男⽣必须包括在内，但不担任语⽂科代表；
（4）某⼥⽣⼀定要担任语⽂科代表，某男⽣必须担任科代表，但不担任数学科代表．
6．鸡⻄实验中学艺术节⼤合唱排练时，某班计划从3 名男⽣，5 名⼥⽣中选派4 名学⽣参加排练，求下列
情形下有⼏种选派⽅法．
（1）男⽣2 名，⼥⽣2 名；
（2）⾄少有1 名男⽣．
7．从1，3，5，7 中任取两个数，从0，2，4，6 中任取两个数，组成没有重复数字的四位数．
（1）可以组成多少个四位偶数？
（2）可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数？（所有结果均⽤数值表示）
8．（1）将编号为1，2，3，4 的四个⼩球放⼊编号为1，2，3 的三个盒⼦．把球全部放⼊盒内，共有多少种
放法？
（2）将编号为1，2，3，4，5 的五个⼩球放⼊编号为1，2，3，4，5 的五个盒⼦，每个盒⼦放⼀个⼩球，
若有且只有1 个盒⼦的编号与放⼊⼩球的编号相同，有多少种不同的放法？
（3）将11 个相同的⼩球放⼊编号为1，2，3，4，5 的五个盒⼦中．若要求每个盒⾄少放⼀个⼩球，有
多少种不同的放法？
9．在班级主题班会活动中，4 名男⽣和3 名⼥⽣站成⼀排表演节⽬．
（1）4 名男⽣相邻有多少种不同的站法？
（2）从中选出2 名男⽣和2 名⼥⽣表演分四个不同⻆⾊的朗诵，有多少种选派⽅法？（写出必要的数学
式和过程，结果⽤数字作答）
10．（1）4 个不同的⼩球放⼊编号为1，2，3，4 的盒⼦，共有多少种放法；
（2）4 个不同的⼩球放⼊编号为1，2，3，4 的盒⼦，恰有⼀个盒⼦空，共有多少种放法；
（3）10 个相同的⼩球放⼊编号为1，2，3，4 的盒⼦，每个盒⼦不空，共有多少种放法；
（4）4 个相同的⼩球放⼊编号为1，2，3，4 的盒⼦，恰有两个盒⼦空，共有多少种放法？
11．（1）把6 本不同的书分给3 位学⽣，每⼈2 本，共有多少种不同的分法？
（2）学校组建了“数学建模社”和“数学⽂化社”，⾼⼆（8）班某⼩组共有9 ⼈参加，其中3 ⼈只参加“数
学建模社”，4 ⼈只参加“数学⽂化社”，现从中选出5 ⼈参加数学展示活动，其中2 ⼈来⾃“数学建模”，
3 ⼈来⾃“数学⽂化社”，共有多少种不同的选法？
12．2017 年开始上海⾼考实⾏“3+3”制度，即语⽂、数学、外语三⻔为必考科⽬，选考科⽬从政治、历史、
地理、物理、化学、⽣命科学六⻔中选出三⻔参加等级考．
（1）⼩张的物理“说多了都是泪”，他只求合格考能够顺利通过，故坚决不选择物理作为等级考学科，
那么他⼀共有多少种选科⽅式（先列式，结果⽤数值表示）？
（2）地理和⽣命科学两⻔等级考在⾼⼆完成，为了减轻⾼三的学习压⼒，某校要求每位学⽣必须从这
两⻔中选择⼀⻔且只能选择⼀⻔，问该校学⽣⼀共有多少种选科⽅式（先列式，结果⽤数值表示）？
（3）求⼩李和⼩刘选择的等级考科⽬恰好有⼀⻔相同的既率（先列式，结果⽤最简分数表示）．
题型21：求特定项系数（单括号2 项）
1．
的展开式中常数项为（
）
A．30
B．15
C．﹣15
D．30
2．（x+7）5展开式中x3项的系数是（
）
A．245
B．10
C．49
D．490
3．
的展开式中常数项为（
）
A．﹣240
B．﹣160
C．240
D．160
4．
展开式中含x2项的系数为（
）
A．30
B．24
C．20
D．15
5．在（2x2﹣）5的⼆项展开式中，x 项的系数为（
）
A．10
B．﹣10
C．40
D．﹣40
6．在（x2﹣1）6的展开式中，含x2的系数为（
）
A．1
B．﹣1
C．6
D．﹣6
题型22：求特定项系数（单括号3 项）
7．在
的展开式中常数项为（
）
A．721
B．﹣61
C．181
D．﹣59
8．（1+2x+3x2）5展开式中x3的系数为（
）
A．200
B．230
C．120
D．180
9．
的展开式中，
的系数为（
）
A．60
B．﹣60
C．120
D．﹣120
10．（x+y﹣1）5的展开式中所有⼆次项（即含x2，xy，y2的项）的系数和为（
）
A．﹣40
B．﹣20
C．0
D．40
11．（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（
）
A．10
B．20
C．30
D．60
12．
展开式中的常数项为（
）
A．﹣13
B．﹣1
C．11
D．12
13．已知（x2+3x+2）5展开式中x 的系数为b，函数f（x）＝ax3﹣2x 的图象过点（﹣1，4），则lg2a+lg
＝（
）
A．2
B．﹣4
C．﹣2
D．1
题型23：求特定项系数（双括号）
14．关于⼆项式（1+ax+x2）（1﹣x）8，若展开式中含x2的项的系数为21，则a＝（
）
A．3
B．2
C．1
D．﹣1
15．（1﹣）（1+x）5的展开式中项x3的系数为（
）
A．7
B．8
C．10
D．5
16．若（1﹣x）5（1+x﹣ax2）的展开式中含x4的系数为15，则实数a＝（
）
A．2
B．1
C．﹣1
D．﹣2
17．已知
展开式各项系数之和为64，则展开式中x3的系数为（
）
A．31
B．30
C．29
D．28
18．已知⼆项式（2x2+a）（x﹣）6的展开式中x2的系数是﹣10，则a＝（
）
A．1
B．﹣1
C．
D．2
19．
的展开式中的常数项为（
）
A．8
B．2
C．﹣8
D．﹣12
20．若
的展开式中含xmyn 的项满⾜m+n＝2，则这些项的系数和为（
）
A．10
B．20
C．30
D．40
题型24：⼆项式系数及所有项系数和
1．若（3﹣x）n（n∈N*）的展开式中所有⼆项式系数的和为32，则n＝（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
2．已知关于x 的⼆项式
展开式的⼆项式系数之和为32，常数项为270，则a 的值为（
）
A．2
B．±2
C．3
D．±3
3．已知
的展开式的⼆项式系数和为32，则其展开式中x 项系数为（
）
A．24
B．120
C．﹣120
D．﹣10
4．若
的展开式的⼆项式系数之和为16，则
的展开式中
的系数为（
）
A．8
B．28
C．56
D．70
5．已知（x+
）n 的展开式中第3 项与倒数第3 项的⼆项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为
（
）
A．
B．
C．
D．
6．在（﹣
）n（n∈N*）的展开式中，所有的⼆项式系数之和为32，则所有系数之和为（
）
A．32
B．﹣32
C．0
D．1
7．已知
的展开式中所有项的⼆项式系数之和为32，则
的展开式中x3的系数为（
）
A．﹣10
B．﹣20
C．10
D．20
8．已知
的展开式的⼆项式系数之和为256，则展开式中x3的系数为（
）
A．﹣32
B．32
C．﹣16
D．16
9．在
的展开式中，所有的⼆项式系数之和为32，则所有项的系数和为（
）
A．32
B．﹣32
C．0
D．1
10．若
的展开式中所有项的⼆项式系数之和为16，则其展开式中的常数项为（
）
A．4
B．﹣4
C．6
D．﹣6
11．
的展开式中奇数项的⼆项式系数之和为32，则n 为（
）
A．6
B．5
C．8
D．4
12．在
的⼆项展开式中，各⼆项式系数之和为A，各项系数之和为B，若B﹣A＝240，则n＝
（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
题型25：⼆项式系数最值及最⼤项系数
13．已知（1+x）n 的展开式中只有第6 项的⼆项式系数最⼤，则展开式各项的⼆项式系数之和为（
）
A．29
B．210
C．211
D．212
14．在关于sinx（x∈[0，π]）的⼆项式（1+sinx）n 的展开式中，末尾两项的⼆项式系数之和为7，且⼆项式
系数最⼤的项的值为
，则x＝（
）
A．
B．
或
C．
D．
或
15．已知
的⼆项展开式中⼆项式系数之和为64，则下列结论正确的是（
）
A．⼆项展开式中各项系数之和为37
B．⼆项展开式中⼆项式系数最⼤的项为
C．⼆项展开式中⽆常数项
D．⼆项展开式中系数最⼤的项为240x3
16．已知（
+3x2）n 的展开式中，各项系数的和⽐它的⼆项式系数的和⼤992．则展开式中系数最⼤的项
是第（
）项
A．3
B．4
C．5
D．6
17．已知在
的展开式中，各项系数之和与⼆项式系数之和的等差中项是528，则展开式中⼆
项式系数最⼤的项为（
）
A．270x7与90
B．90x7与270
C．270x7与90x6
D．90x7与270x6
18．已知
的⼆项展开式中，所有项的⼆项式系数之和等于512．求：
（1）n 的值；
（2）展开式中的常数项；
（3）展开式中系数最⼤的项．
19．已知
n 的展开式中的第5 项的⼆项式系数与第3 项的⼆项式系数之⽐为7：2，求：
（1）n 的值；
（2）含a 的⼀次项；
（3）⼆项式系数最⼤的项．
20．⽤⼆项式定理展开
，
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中系数最⼤的项．
21．已知在
的展开式中，第4 项与第6 项的⼆项式系数相等．
（1）求n 的值；
（2）求展开式中的有理项；
（3）若其展开式中x4项的系数为﹣1792，求其展开式中系数的绝对值最⼤的项．
22．已知在
的展开式中，第2 项与第3 项的⼆项式系数之⽐是
．
（1）求展开式中的常数项，并指出是第⼏项；
（2）求展开式中的所有有理项；
（3）求展开式中系数绝对值最⼤的项．
23．已知
的⼆项展开式中第⼆项的系数与第三项的系数的和是48．
（1）求n 的值以及展开式的通项；
（2）求展开式中的常数项；
（3）直接写出展开式系数最⼤的项．
题型26：赋值求值
1．若（1﹣x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a2+a4＝（
）
A．﹣16
B．10
C．15
D．16
2．若（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4＝（
）
A．121
B．122
C．﹣122
D．﹣121
3．若
的展开式中的各项系数和为243，则
＝（
）
A．32
B．31
C．16
D．15
4．设（1+ax）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5满⾜a1+a2+…+a5＝﹣2，则a2+a4＝（
）
A．120
B．﹣120
C．40
D．﹣40
5．已知
，则a1+a3的值为（
）
A．﹣1
B．1
C．4
D．﹣2
6．已知
，那么
的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．若（1+2x）（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，x∈R，则a2的值为（
）
A．﹣20
B．20
C．40
D．60
8．已知（4x﹣3）2021＝a0+a1x+…+a2021x2021，则
＝（
）
A．32021﹣22021
B．﹣1
C．22021﹣32021
D．1
9．若⼆项式（x+a）5的展开式中，x2的系数是80，（x2+1）•（ax+1）9＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）
11，则
＝（
）
A．2
B．﹣2
C．2×39
D．2×（﹣3）9
（多选）10．已知（2x﹣5）2025＝a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+…+a2025（x﹣2）2025，则下列结论成⽴的是（
）
A．a0+a1+…+a2025＝1
B．22024a0+22023a1+…+2a2023+a2024＝5×102024
C．a0﹣a1+a2﹣a3…﹣a2025＝32025
D．a1+2a2+3a3+…+2025a2025＝4050
（多选）11．已知（1﹣2x）n 展开式的所有⼆项式系数之和为256，若
，
则（
）
A．n＝8
B．a4＝1120
C．a1+a2+⋯+an＝1
D．
12．设（﹣2x+1）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a6|＝
．
13．若（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a1+a2+a3+a4＝
．
14．设
，求：
（Ⅰ）a6+a5+a4+a3+a2+a1；
（Ⅱ）a6+a4+a2+a0；
（Ⅲ）64a6+32a5+16a4+8a3+4a2+2a1+a0．
15．已知
且满⾜各项的⼆项式系数之和为256．
（1）求a3的值；
（2）求
的值．
16．设
．
（1）求a3的值；
（2）求|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值．
17．若
．
（1）求a0+a1+a2+a3+⋯+a8+a9+a10的值；
（2）求a0+a2+a4⋯+a10的值；
18．回答下⾯两题：
（1）⼆项式
展开式中所有⼆项式系数和为32，求其⼆项展开式中x 的系数；
（2）已知
，求a2+a4+a6的值．
