文档文本内容
专题 01 实数及其运算
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）实数的分类
（1）实数分类
（2）无理数的几种常见类型
√2 2
①开方开不尽的数，如 ， 等；
4
②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 等；
③有特定结构的数，如0.1010010001…等无限不循环小数；
（二）实数的相关概念
（1）绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本
身，也可看成它的相反数， 若 |a|= a ，则 a ≥ 0 ；若 |a|=- a ，则 a ≤ 0。
（2）相反数：实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是
零). 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有
a+b= 0 ， a=- b ，反之亦成立 。
（3）倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。 倒数等于本身的数是 1 和 - 1 。零没有倒数。
（4）数轴：①数轴的三要素为原点、正方向和单位长度，数轴上的点与实数构成一一对应．
②数轴上a，b两点之间的距离=
（三）科学计数法
（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数
（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成 ，
1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）
（四）实数的大小比较
有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
，
，
a a a
>1⇔a>b; =1⇔a=b; <1⇔a<b;
b b b
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
|a|>|b|⇔a<b
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则 。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则
a2 >b2 ⇔a<b
。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
（五）开方运算
（1）平方根、算数平方根：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根，他们
±√a
互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“ ”。
√a
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“ ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（2）立方根：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
3 3
注意：
√−a=−√a
，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
（六）实数运算
常考的运算法则：
（1）乘方：（-2）3=-8
（2）-1的奇偶次幂：（偶次为1，奇次为-1）
（3）零次幂：a0=1（a≠0）
（4）负指数幂：a- n= （按正指数，再倒数）
a （a＞0）
（5）绝对值运算：
a 0 （a=0 ）
-a （a＜0）
（6）特殊角的三角函数：sin30°= 等
实数的运算顺序：
实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，
再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行．
运算律：
（1）加法交换律： a + b = b + a ．
（2）加法结合律： （ a + b ） + c = a + （ b + c ） ．
（3）乘法交换律： ab = ba ．
（4）乘法结合律： （ a b ） c = a （ b c ） ．
（5）分配律： a （ b + c ） = ab + ac ．
模块三 考点一遍过
考点1：实数的分类
典例1：在实数√2，x0（x≠0），cos30°，√38中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】下列各数是负数的是（ ）
1
A．0 B． C．−(−5) D．−√5
2
1
【变式2】四个数－1，0， ，√3中，为无理数的是 ．
2
16
【变式3】在 ，√3，π，−1.6，√25这五个数中，有理数有 个.
3考点2：数轴的相关计算
典例2：实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A．|a|>|b| B．a+b<0
C．a+2>b+2 D．|a−1|>|b−1|
【变式1】如图，数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，则点B表示的数是（ ）
1 1
A．2023 B．−2023 C． D．−
2023 2023
【变式2】如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是−1，点B是AC的中点，线段AB=√2，
则点C表示的数是 ．
【变式3】一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A，点A 表示的数为
1 1
1；第二次从点A 起跳，落点为OA 的中点A；第三次从A 点起跳，落点为0A 的中点A；如此跳
1 1 2 2 2 3
跃下去……最后落点为OA 的中点A .则点A 表示的数为 ．
2019 2020 2020
考点3：相反数
典例3：若x与y互为相反数，z的倒数是−3，则2x+2y−3z的值为（ ）
A．−9 B．−1 C．9 D．1
【变式1】下列各组数中，互为相反数的是（ ）
1
A．|−2024|和−2024 B．2024和
2024
1
C．|−2024|和2024 D．−2024和
2024
【变式2】若a、b互为相反数，c为8的立方根，则2a+2b−c= ．
【变式3】计算：−(−2024)= ．
考点4：绝对值
典例4：已知a，b都是实数，若 ，则 的值是（ ）
(a+2) 2+|b−1|=0 (a+b) 2023A．−2023 B．−1 C．1 D．2023
a b
【变式1】已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 + 的值是（ ）
|a| |b|
A．−2 B．−1 C．0 D．2
3
【变式2】已知实数a，b满是3√a−1+5|b|=9,s=√a−1+ |b|，则w=18s+1的最大值为
2
．
【变式3】已知 ， 都是实数，若 ，则 ．
a b |a+1|+(b−2022) 2=0 ab=
考点5：科学计数法
典例5：我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布
的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆．将30.7万用科学记数法表示为
3.07×10n．则n的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式1】“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存
储、外输等功能于一体，储油量达60000立方米．将60000用科学记数法表示为（ ）
A．6×103 B．60×103 C．0.6×105 D．6×104
【变式2】2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．
地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为 ．
【变式3】2024年政府工作报告提出，我国今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长5％左右，
城镇新增就业1200万人以上……将数“1200万”用科学记数法表示为 ．
考点6：近似数
典例6：用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是（ ）
A．3.142 B．3.141 C．3.14 D．3.1
【变式1】用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位）
C．0.05（精确到千分位） D．0.050（精确到0.001）
【变式2】为了保护人类居住环境，我国的火电企业积极做好节能环保工作．2011年，我国火电企
业的平均煤耗继续降低，仅为330000毫克/千瓦时，用科学记数法表示并保留三个有效数字为
毫克/千瓦时．
【变式3】某省将为义务教育阶段的贫困学生免费发放教科书，预计发放总量为1500万册，发放总
量用科学记数法记为 万册（保留3个有效数字）．考点7：实数的大小比较
典例7：下列各数中，最小的数是（ ）
1
A．−2 B．−(−2) C．− D．−√2
2
【变式1】下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
√6 √3 1 π
A． B．− C． D．
3 3 3 3
【变式2】我国古代数学家张衡将圆周率取值为√10，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为
22 22
．比较大小：√10 （填“>”或“<”）．
7 7
【变式3】写出一个比√3大且比√10小的整数是 ．
考点8：平方根、算术平方根、立方根
典例8：完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．20
【变式1】√81的平方根是（ ）
A．±3 B．3 C．±9 D．9
【变式2】计算： ．
√3 8+(−1) 2024=
【变式3】一个正数a的两个平方根是2b−1和b+4，则a+b的立方根为 ．
考点9：无理数的估算
典例9：矩形相邻两边长分别为√2cm、√5cm，设其面积为Scm2，则S在哪两个连续整数之间
（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
√1
【变式1】设m=5 −√45，则实数m所在的范围是（ ）
5
A．m<−5 B．−5<m<−4 C．−4<m<−3 D．m>−3
【变式2】已知a，b，n均为正整数．
（1）若n<√10<n+1，则n= ；
（2）若n−1<√a<n,n<√b<n+1，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个．
1
【变式3】若两个连续的整数a、b满足a<√13<b，则 的值为 ．
ab
考点10：实数的运算
典例10：计算： ( 1) −1 ( √9) 0
2cos30°+ − +|√3−2|+ 2 +√9
2 4【变式1】计算：
|−2|+
(1) −1
−√9+(sin45°−1) 0−(−1)
3
【变式2】计算：
|−1|+(−2) 2−(π−1) 0+
(1) −1
−tan45°
．
3
【变式3】计算： (1) −1．
√2⋅√6+4|1−√3|sin60°−
2
1 −1
【变式4】计算：2cos45°+(π−3.14) 0+|1−√2|+( ) ．
2
【变式5】计算： ．
√12+(3.14−π) 0−3tan60°+|1−√3|+(−2) −2
tan45° 2
【变式6】计算：(−3) 2+ +(√2−1) 0 −2−1+ ×(−6)．
2 3
