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专题1 两个计数原理
类型一、加法原理
【例1】高二年级一班有女生
人，男生
人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选
取代表的方法有几种．
【解析】
．
【例2】若
、
是正整数，且
，则以
为坐标的点共有多少个？
【解析】
．
【例3】用
到
这
个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由题意知本题要分类来解，
当尾数为2、4、6、8 时，个位有4 种选法，
因百位不能为0，所以百位有8 种，十位有8 种，共有
当尾数为0 时，百位有9 种选法，十位有8 种结果，
共有
根据分类计数原理知共有
故选：
．
【例4】用数字
组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由题意知本题需要分步计数，
2 和4 排在末位时，共有
种排法，
其余三位数从余下的四个数中任取三个有
种排法，
根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有
（个．
故选：
．
【例5】用
这
个数字，可以组成____个大于
，小于
的数字不重复的四位数．
【解析】分四类：①千位数字为3,4 之一时，百十个位数只要不重复即可，有
个；
②千位数字为5 时，百位数字为0,1,2,3 之一时，有
个；③千位数字为5 时，百位数字是4，十位
数字是0,1 之一时，有
个；最后还有5420 也满足题意.
所以，所求四位数共有
个.
故答案为
．
类型二、乘法原理
【例6】公园有
个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．
【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出，
则进门的方法有4 种，出门的方法也有4 种，
则不同的走法有
种
【例7】将
个不同的小球放入
个盒子中，则不同放法种数有_______．
【解析】根据题意，依次对3 个小球进行讨论：
第一个小球可以放入任意一个盒子，即有4 种不同的放法，
同理第二个小球也有4 种不同的放法，
第三个小球也有4 种不同的放法，
即每个小球都有4 种可能的放法，
根据分步计数原理知共有即
不同的放法，
故答案为：64．
【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要
求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种．
【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有
安
排方法，故不同的安排种法有
，
故答案为120．
【例9】高二年级一班有女生
人，男生
人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调
查团，问选取代表的方法有几种．
【解析】
【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？
【解析】每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3 种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，
可得共有不同的报名方法
种．
【例11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？
【解析】由题意，每项比赛的冠军都有
种可能，
因为有3 项体育比赛，所以冠军获奖者共有
种可能
【例12】用，
，
，
，
，
组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，
且和
相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．
【解析】解析：可分三步来做这件事：
第一步：先将3、5 排列，共有
种排法；
第二步：再将4、6 插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有
种排法；
第三步：将1、2 放到3、5、4、6 形成的空中，共有
种排法．
由分步乘法计数原理得共有
（种．
答案为：40
【例13】从集合
中任选两个元素作为椭圆方程
中的
和
，则能组成落在矩
形区域
且
内的椭圆个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】椭圆落在矩形内，满足题意必须有，
，所以有两类，
一类是
，
从
，2，3，
，7，
任选两个不同数字，方法有
令一类是
从9，10，两个数字中选一个，
从
，2，3，
，7，
中选一个
方法是：
所以满足题意的椭圆个数是：
故选：
．
【例14】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么
函数解析式为
，值域为
的“同族函数”共有（ ）
A．
个 B．
个
C．
个
D．
个
【解析】定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有
、1 中的一个和
、3 中的一个，
满足条件的定义有：
，
、
，
、
，
、
，
、
，1，
、
，1，
、
，
，
、
，
，
、
，1，
，
，共9 个．
故选：
．
【例15】某银行储蓄卡的密码是一个
位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数
字（如
）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选
，并且千位、百位上都能取
．这样设
计出来的密码共有（ ）
A．
个
B．
个 C．
个
D．
个
【例16】从集合
中，选出
个数组成子集，使得这
个数中的任何两
个数之和不等于，则取出这样的子集的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】从集合
，
，
，
，0，1，2，3，4，
中，随机选出5 个数组成
子集，共有
种取法，即可组成
个子集，
记“这5 个数中的任何两个数之和不等于1”为事件
，
而两数之和为1 的数组分别为
，
，
，
，
，
，
包含的结果有①只有有一组数的和为1，有
种结果
②有两组数之和为1，有
种，
则
包含的结果共有
种
故答案为：
．
【例17】若
、
是整数，且
，
，则以
为坐标的不同的点共有多少个？
【解析】整数
，
满足
，
则
，
，
，0，1，2，
，
，
，
，
，0，1，
2，3，
，
从
种选一个共有
种方法，从
选一个共有
种方法，
故有
种．
故答案为：
．
【例18】用
，，
，
，
，
这
个数字：
⑴可以组成______________个数字不重复的三位数．
⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．
【解析】（1）根据题意，分2 步分析：
①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5 中任选1 个，则百位有5 种方法，
②、在剩下的5 个数字中任选2 个，安排在十位、个位，有
种选法，
则可以组成
个无重复数字的三位数
（2）分3 步进行分析：
①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5 中任选1 个，则百位有5
种选法，
②、再选十位，十位可以在0、1、2、3、4、5 中任选1 个，则十位有6 种选法，
③、最后分析个位，个位可以在0、1、2、3、4、5 中任选1 个，则个位有6 种选法，
则可以组成
个数字允许重复的三位数；
【例19】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？
【解析】
【例20】将
名教师分配到
所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（ ）种．
A．
B．
C．
D．
【解析】将
名教师分配到
所中学任教，每所中学至少1 名教师，
只有一种结果1，2，
首先从
个人中选
个作为一个元素，
使它与其他两个元素在一起进行排列，
共有
种结果，
故选：
．
类型三、基本计数原理的综合应用
【例21】用
，
，
，
，
排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位
数的个数是_________．（用数字作答）
【解析】按首位数字的奇偶性分两类：
一类是首位是奇数的，有：
；
另一类是首位是偶数，有：
则这样的五位数的个数是：
．
故答案为：
．
【例22】若自然数
使得作竖式加法
均不产生进位现象．则称
为“可连数”．例如：
是“可连数”，因
不产生进位现象；
不是“可连数”，因
产生进位现象．
那么，小于
的“可连数”的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】如果
是良数，则
的个位数字只能是0，1，2，非个位数字只能是0，1，2，3（首位不为
，
而小于1000 的数至多三位，
一位的良数有0，1，2，共3 个
二位的良数个位可取0，1，2，十位可取1，2，3，共有
个
三位的良数个位可取0，1，2，十位可取0，1，2，3，百位可取1，2，3，共有
个．
综上，小于1000 的“良数”的个数为
个
故选：
．
【例23】由正方体的8 个顶点可确定多少个不同的平面？
【解析】依题意，正方体的8 个顶点所确定的平面有：6 个表面，6 个对角面，8 个正三角形平面共
个.
故答案为：
【例24】分母是385 的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．
【解析】因为
，在
这385 个自然数中，5 的倍数有
（个，
7 的倍数有
（个，11 的倍数有
（个，
的倍数有
（个，
的倍数有
（个，
的倍数有
（个，385 的倍数有1 个．
由容斥原理知，在
中能被5、7 或11 整除的数有
（个，
而5、7、11 互质的数有
（个．即分母为385 的真分数有240（个．
如果有一个真分数为
，则必还有另一个真分数
，即以385 为分母的最简真分数是成对出现的，
而每一对之和恰为1．故以385 为分母的240 最简分数可以分成120 时，它们的和为
．
【例25】用
，，
，
，
，
这
个数字，可以组成_______个大于
，小于
的数字不重复的
四位数．
【解析】分四类：①千位数字为3,4 之一时，百十个位数只要不重复即可，有
个；
②千位数字为5 时，百位数字为0,1,2,3 之一时，有
个；③千位数字为5 时，百位数字是4，十位
数字是0,1 之一时，有
个；最后还有5420 也满足题意.
所以，所求四位数共有
个.
故答案为
．
【例26】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“
”到“
”共
个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“
”或“
”的一律作为“优
惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
个号码中不含4、7 的有
，
“优惠卡”的个数为
，
故选：
．
【例27】同室
人各写张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿张别人送出的贺年卡，则
张贺年卡
不同的分配方式有（ ）
A．
B．
种 C．
种 D．
种
【解析】设四人分别为
、
、
、
，写的卡片分别为
、
、
、
，
由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故
有三种拿法，
不妨设
拿了
，则
可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，
和
只能有一种拿法，
所以共有
种分配方式，
故选：
．
【例28】某班新年联欢会原定的6 个节目已排成节目单，开演前又增加了3 个新节目，如果将这3 个节目
插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
由题意知将这3 个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，
三个新节目一个一个插入节目单中，
原来的6 个节目形成7 个空，在这7 个位置上插入第一个节目，共有7 种结果，
原来的6 个和刚插入的一个，形成8 个空，有8 种结果，同理最后一个节目有9 种结果
根据分步计数原理得到共有插法种数为
，
故选：
．
【例29】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3 种不同的树苗，从中取出5 棵分别种植在排成
一排的5 个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5 个树坑只能种甲种树苗的种法共（ ）
A．15 种
B．12 种
C．9 种
D．6 种
【解析】
同种树苗不相邻且第一个树坑和第5 个树坑只能种甲种树苗，
只有中间三个坑需要选择树苗，当中间一个种甲时，第二和第四个坑都有2 种选法，共有4 种结果，
当中间一个不种甲时，则中间一个种乙或丙，
当中间这个种乙时，第二和第四个位置树苗确定，
当中间一个种丙时，第二和第四个位置树苗确定，
共有2 种结果，
总上可知共有
种结果，
故选：
．
【例30】用
到
这
个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由题意知本题要分类来解，
当尾数为2、4、6、8 时，个位有4 种选法，
因百位不能为0，所以百位有8 种，十位有8 种，共有
当尾数为0 时，百位有9 种选法，十位有8 种结果，
共有
根据分类计数原理知共有
故选：
．
【例31】足球比赛的计分规则是：胜一场得3 分，平一场得1 分，负一场得0 分，那么一个队打14 场共得
19 分的情况有( )
A．
种 B．
种
C．
种
D．
种
【解析】得3 分最多6 场，则1 分的1 场，剩余的场次均得0 分；若3 分的共5 场，则1 分的共4 场；若3
分的共4 场，则1 分的共7 场；若得3 分的共3 场，则1 分的共9 场；若得3 分的2 场，则1 分的13 场，不
合题意，故选B.
