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题型01：平⾯向量概念与单位向量
1．已知平⾯向量，和实数λ，则“
”是“ 与共线”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．下列说法正确的是（
）
A．若
，
，则
B．若
，则2
C．对任意⾮零向量，
是和它同向的⼀个单位向量
D．零向量没有⽅向
3．已知点A（4，3），B（1，﹣1），则与向量
共线的单位向量为（
）
A．（﹣3，﹣4）
B．（3，4）或（﹣3，﹣4）
C．
D．
或
4．下列选项中，与向量（1，2）平⾏的单位向量为（
）
A．（4，2）
B．（﹣2，1）
C．
D．
5．设
都是⾮零向量，下列四个条件，使⽤
成⽴的充要条件是（
）
A．与同向
B．
C．
且
D．
题型02：平⾯向量简单线性运算
6．在梯形ABCD 中，
，AC 与BD 交于点E，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
7．在△ABC 所在平⾯中有⼀点P 满⾜
，且
，则λ＝（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知向量，，在正⽅形⽹格中的位置如图所示．若＝λ +µ （λ，µ∈R），则λ＝（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
9．如图，在平⾏四边形ABCD 中，M 为BC 的靠近点C 的三等分点，AC 与MD 相交于点P，若
，
则xy＝（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则
等于（
）
A．
B．
C．
D．
题型03：平⾯向量基本定理与共线
11．设
是平⾯内的⼀个基底，则下⾯的四组向量不能构成基底的是（
）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
12．下列向量组中，能作为表示它们所在平⾯内所有向量的基底的是（
）
A．
＝（0，0），
＝（
，
）B．
＝（1，3），
＝（3，9）
C．
＝（2，6），
＝（4，9）D．
＝（1，﹣1），
＝（﹣3，3）
13．若
是平⾯内的⼀组基底，则下列四组向量中能作为平⾯向量的基底的是（
）
A．
B．2
C．
D．
14．已知，是不共线的向量，且
＝﹣，
＝2 +m ，
＝4 +3 ，若
与
不能作为平⾯内所
有向量的⼀组基底，则m＝（
）
A．
B．
C．
D．
15．已知，是两个不共线的向量，命题甲：向量t
与
共线；命题⼄：
，则甲是⼄的（
）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
16．已知
不共线，且
，
，那么A，B，C 三点共线的充要条件为（
）
A．λ+µ＝2
B．λ﹣µ＝2
C．λµ＝1
D．λµ＝﹣1
17．已知，是两个不共线的向量，若向量2 +3 ，x ﹣9 共线，则x＝（
）
A．6
B．4
C．﹣4
D．﹣6
18．
是平⾯内不共线两向量，已知
，
，
，若A，B，D 三
点共线，则k 的值为（
）
A．3
B．﹣3
C．﹣2
D．2
19．已知
是两个不共线的向量，
，若与是共线向量，则实数k 的
值为（
）
A．﹣6
B．6
C．
D．
题型04：平⾯向量线性运算与定⽐分点
20．如图，在△ABC 中，D 是BC 延⻓线上⼀点，且BD＝3BC，则
＝（
）
A．4
﹣3
B．3
﹣2
C．
﹣
D．
﹣
21．在△ABC 中，点D 在直线AB 上，且满⾜
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
22．如图，在△ABC 中，
，P 是BN 的中点，若
，则m+n＝（
）
A．
B．1
C．
D．
23．如图，在平⾏四边形ABCD 中，M 是AB 的中点，DM 与AC 交于点N，设
，
，则
＝
（
）
A．
B．
C．
D．
24．如图，在△ABC 中，
为CD 的中点，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
25．如图，四边形ABCD 为平⾏四边形，
＝2
，F 为线段BE 的中点，若以
，
为基底表示向量
，
则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
26．在△ABC 中，AB＝1，AC＝2，∠A＝120°．D 为AB 的中点，P 为CD 上⼀点，且
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
题型05：平⾯向量线性运算解答题综合
27．在△ABC 中，点D，E 分别在边BC 和边AB 上，且DC＝2BD，BE＝2AE，AD 交CE 于点P，设
，
．
（1）试⽤，表示
；
（2）在边AC 上有点F，使得
，求证：B，P，F 三点共线．
28．已知⾮零向量，满⾜
，且
．
（1）若向量
与
共线，求实数k 的值；
（2）若向量
与
垂直，求实数k 的值；
29．在平⾏四边形ABCD 中，
，
，AE 和BF 交于点P．
（1）若
，求x 的值；
（2）求
的值．
30．如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上⼀点，且
，若D，E，F 三点共线，且
，
（λ＞0，µ＞0）．
（1）⽤
，
表示
；
（2）求2λ+µ的最⼩值．
31．如图，在△ABC 中，点P 满⾜
，O 是线段AP 的中点，过点O 的直线与边AB，AC 分别交于
点E，F．
（1）若
，求
的值；
（2）若
，
，求
的最⼩值．
32．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，
，
，AC 与EF 交于点G，记
＝，
＝．
（1）试⽤基底{ ，}表示
，
；
（2）记△ABC 的⾯积为S1，△CEG 的⾯积为S2，求
的值．
33．如图，在△ABC 中，已知AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，N 是AC 的中点，
，设AM 与BN 相
交于点P．
（1）求cos∠MPN 的值；
（2）若
，求x+y 的值．
34．如图，在平⾏四边形ABCD 中，点M 为AB 中点，点N，P 在线段BD 上，满⾜
＝
，设
，
．
（1）⽤，表示向量
；
（2）若
，
，
，求
．
35．如图，在等腰直⻆三⻆形ABC 中，
，D，E 是线段BC 上的点，且
．
（1）若
，M 是AB 边的中点，N 是AC 边靠近A 的四等分点，⽤向量
表示
；
（2）求
的取值范围．
36．如图，在矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝1，点E 是线段AB 上的⼀点，且AE＝2EB，点F 是线段BD 上
的⼀点．
（1）若DF＝FB，且
，求x+y 的值；
（2）求
的取值范围．
题型06：平⾯向量数量运算数量积运算
1．已知向量、满⾜
，
，且与夹⻆的余弦值为
，则
＝（
）
A．﹣36
B．﹣28
C．
D．12
2．已知单位向量
，
的夹⻆为120°，则
＝（
）
A．﹣2
B．0
C．1
D．2
题型07：平⾯向量数量运算模的运算
3．已知向量
满⾜
，且
，则
＝（
）
A．
B．2
C．
D．
4．已知
，且与的夹⻆为60°，则
＝（
）
A．1
B．
C．
D．2
5．已知向量
满⾜
，且
，则
＝（
）
A．
B．2
C．
D．
6．已知向量，满⾜| |＝2，| |＝3，•（﹣）＝﹣2，则|2 ﹣|＝（
）
A．1
B．
C．2
D．3
7．若向量，的夹⻆为
，且＝（1，1），|
|＝
，则| |＝（
）
A．
B．2
C．4
D．3
题型08：平⾯向量数量运算夹⻆的运算
8．已知| |＝
，| |＝1，且﹣与+2 互相垂直，则向量与的夹⻆为（
）
A．
B．
C．
D．
9．若⾮零向量，满⾜
，且
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知向量，满⾜，
，
，
，则cos＜，＞＝（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知
，
，
，则与的夹⻆为（
）
A．
B．
C．
D．
12．设单位向量
，
的夹⻆为60°，则向量3
+4
与向量
的夹⻆的余弦值是（
）
A．
B．
C．
D．
13．单位向量
，
的夹⻆为60°，则向量
与向量
的夹⻆的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
题型09：平⾯向量数量运算平⾏与垂直的运算
14．已知向量＝（λ﹣1，1），＝（2，λ），若（﹣）⊥（+ ），则λ＝（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
15．已知向量
，且
，则m＝（
）
A．8
B．2
C．﹣2
D．﹣8
16．若向量
，则“x＝3”是“
”的（
）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
17．已知平⾯向量
，
，且
，则m＝（
）
A．﹣1
B．1
C．﹣1 或﹣3
D．3
18．已知向量
，＝（2，1），则（
）
A．若
，则
B．若
，则t＝1
C．若
，则
D．若
，则
19．已知向量
，
，若
，则x＝（
）
A．2
B．0
C．1
D．﹣2
20．已知平⾯向量
，
，
，且
，则m＝（
）
A．
B．
C．
D．
21．已知向量
，若
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
22．已知向量＝（﹣1，2），＝（1，﹣1），且（k ﹣）⊥（2 + ），则k＝（
）
A．﹣2
B．
C．
D．2
题型10：平⾯向量数量投影向量的运算
23．已知向量
，
，则向量在向量⽅向上的投影向量的模为（
）
A．
B．
C．
D．
24．已知、满⾜
，且
，则在上投影的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
25．向量与的夹⻆为
，
，
，在上投影数量为（
）
A．2
B．
C．1
D．
26．已知
，
，
，向量在⽅向上的投影是（
）
A．12
B．4
C．﹣8
D．2
27．已知向量，满⾜
，且
，则向量在向量上的投影向量为（
）
A．
B．
C．
D．
28．已知向量
，
，则向量在向量上的投影向量为（
）
A．
B．
C．
D．
29．已知向量
满⾜
，
，则向量在向量⽅向上的投影向量为
（
）
A．
B．
C．
D．
30．已知向量在向量⽅向上的投影为﹣1，向量在向量⽅向上的投影为
，且
，则
＝（
）
A．12
B．4
C．
D．2
31．设平⾯向量，满⾜
，
，
，则在上投影向量的模为（
）
A．
B．
C．3
D．6
32．已知向量
，则向量在上的投影向量的坐标为（
）
A．
B．
C．（﹣2，﹣4）
D．（2，4）
（多选）33．已知向量在向量⽅向上的投影向量为
，向量
，且与夹⻆
，
则向量可以为（
）
A．（0，2）
B．（2，0）
C．
D．
（多选）34．已知向量
，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．向量在向量⽅向上的投影的数量是
D．与向量⽅向相同的单位向量是
题型11：平⾯向量数量运算解答题综合
35．已知向量
，
，
．
（1）求
；
（2）若向量
，试⽤
表示；
（3）若
，求实数k 的值．
36．已知
，且
．
（1）若
，求k 的值；
（2）求与
夹⻆的余弦值．
37．已知向量＝（﹣5，7），＝（﹣1，3），＝（﹣2，2）．
（1）若＝m +n ，求实数m，n 的值；
（2）若（2 +k ）⊥（+ ），求实数k 的值．
38．已知平⾯直⻆坐标系中，向量
．
（1）若
，且
，求向量的坐标；
（2）若与
的夹⻆为锐⻆，求实数λ的取值范围．
39．已知单位向量
、
满⾜
，
．向量
，
，其中
．
（1）若
，⽤反正切值表示⻆α；
（2）设
，若
，求cosθ的值．
40．已知向量与的夹⻆
，且
．
（1）求
；
（2）求
与
的夹⻆的余弦值．
41．已知向量
，且
．
（Ⅰ）求向量与的夹⻆；
（Ⅱ）求
的值；
（Ⅲ）若向量
与
互相垂直，求k 的值．
42．已知向量
．
（1）若∥
，且x∈（0，π），求sinx﹣cosx 的值；
（2）设函数
，求函数f（x）的值域．
43．已知平⾯向量，，
，
，且与的夹⻆为
．
（1）求
和
的值；
（2）若
与
垂直，求λ的值．
44．设
为两个不共线的向量，若
．
（1）若
，且与的夹⻆为60°，求
；
（2）若与共线，求实数λ的值．
45．已知| |＝
，| |＝1，与的夹⻆为45°．
（1）求在⽅向上的投影；
（2）求| +2 |的值；
（3）若向量（2 ﹣λ ）与（λ ﹣3 ）的夹⻆是锐⻆，求实数λ的取值范围．
题型12：平⾯向量数量运算⼏何关系与三⻆形形状判断
1．P 是△ABC 所在平⾯上⼀点，满⾜|
|﹣|
|＝0，则△ABC 的形状是（
）
A．等腰直⻆三⻆形
B．直⻆三⻆形
C．等腰三⻆形
D．等边三⻆形
2．已知平⾯向量，，，满⾜
＝
，且| |+| |+| |＝4，则
）的最⼤值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．已知O 是△ABC 所在平⾯内⼀点，向量
满⾜条件
＝
，且
|＝1，则△P1P2P3是（
）
A．等腰三⻆形
B．直⻆三⻆形
C．等腰直⻆三⻆形
D．等边三⻆形
4．若两个⾮零向量、，满⾜
，则向量
与的夹⻆（
）
A．
B．
C．
D．
5．设⾮零向量
满⾜
，则与的夹⻆为（
）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
6．已知⾮零向量
满⾜
，向量
的夹⻆为150°，且
，则向量与
的夹⻆为（
）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
7．已知△ABC 满⾜：
且
，则△ABC 为（
）
A．等腰直⻆三⻆形
B．直⻆三⻆形但不是等腰三⻆形
C．等腰三⻆形但不是等边三⻆形
D．等边三⻆形
8．三棱锥S﹣ABC 中，（
）•（
）＝0，则△ABC 是（
）
A．等腰三⻆形
B．直⻆三⻆形
C．等腰直⻆三⻆形
D．等边三⻆形
9．设向量
满⾜
，
，则当
的最⼤值时，共
起点的向量
的终点所构成的三⻆形为（
）
A．直⻆三⻆形
B．等腰三⻆形
C．等边三⻆形
D．钝⻆三⻆形
10．在△ABC 中，若⾮零向量
与
满⾜
，
，则△ABC 为（
）
A．三边均不相等的三⻆形
B．等腰直⻆三⻆形
C．底边和腰不相等的等腰三⻆形
D．等边三⻆形
题型13：平⾯向量数量运算与基地转化
11．已知直⻆梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝2，点M 在线段BC 上，且
，
则
＝（
）
A．﹣
B．2
C．
D．2
12．在边⻓为2 的正⽅形ABCD 中，E 是AB 的中点，则
＝（
）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
13．在梯形ABCD 中，满⾜AD∥BC，AD＝2，BC＝6，
＝2，则
＝（
）
A．4
B．6
C．10
D．12
14．如图，空间四边形ABCD 的每条边和对⻆线⻓都等于1，点E，F，G 分别是AB，AD，DC 的中点，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
15 ．在边⻓为2 的菱形ABCD 中，M ，N 分别为BC ，CD 的中点，
，则
＝
．
题型14：平⾯向量数量运算与坐标运算
1．已知点A（2，1），B（1，m+1），C（m+2，﹣3），且
，则m＝（
）
A．
B．±2
C．
D．2
2．已知向量
满⾜
，则
＝（
）
A．4
B．﹣4
C．3
D．﹣3
3．已知点O（0，0），向量
，
，点P 是线段AB 的三等分点，则点P 的坐标是
（
）
A．
B．
C．
或
D．
或
4．已知向量
，
，则（
）
A．
B．向量在向量上的投影向量是
C．
D．与向量共线的单位向量是
5．已知
是单位向量，且
，则（
）
A．
B．在
上投影向量的坐标为
C．
D．与
的夹⻆为
6．已知向量＝（1，3），＝（2，﹣4），则下列结论错误的是（
）
A．（+ ）⊥
B．|2 + |＝2
C．向量，的夹⻆为
D．在⽅向上的投影是
7．已知向量＝（2cosθ，1），＝（2sinθ，﹣1），其中
．
（1）若
，求⻆θ的⼤⼩；
（2）若| ﹣|＝2| |，求tanθ的值．
8．已知向量
，
．
（1）若
，求实数λ的值；
（2）若
与
的夹⻆为钝⻆，求实数k 的取值范围．
9．已知向量
，
，m∈R．
（1）若m＝3，求
；
（2）若
，求在上的投影向量（⽤坐标表示）．
10．已知平⾯向量＝（1，3），＝（2x﹣1，﹣x）（x∈Z）
（1）若2 + 与﹣2 垂直，求x；
（2）若向量＝（7，﹣1），若+ 与﹣共线，求| ﹣|．
11．已知向量
，
，
．
（1）求
和
；
（2）若函数
的最⼩值为
，求实数λ的值．
题型15：平⾯向量奔驰定理四⼼与⾯积⽐
1．已知O 是△ABC 内的⼀点，若△BOC，△AOC，△AOB 的⾯积分别记为S1，S2，S3，则S1•
+S2•
+S3•
＝．这个定理对应的图形与“奔驰”轿⻋的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，
已知O 是△ABC 的垂⼼，且
+2
+3
＝，则tan∠BAC：tan∠ABC：tan∠ACB＝（
）
A．1：2：3
B．1：2：4
C．2：3：4
D．2：3：6
2．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的⼀点，若△BOC，△AOC，△AOB 的⾯积分别记为S1，S2，S3，则S1•
+S2•
+S3•
＝．“奔驰定理”是平⾯向量中⼀个⾮常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔
驰”轿⻋的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是△ABC 的垂⼼，且
+2
+4
＝，则cosB＝（
）
A．
B．
C．
D．
3．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的⼀点，△BOC，△AOC，△AOB 的⾯积分别为SA，SB，SC，则SA•
+SB•
+SC•
＝．“奔驰定理”是平⾯向量中⼀个⾮常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔
驰”轿⻋的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．设O 为三⻆形ABC 内⼀点，且满⾜
+2
+3
＝3
+2
+
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
4．在⾯上有△ABC 及内⼀点O 满⾜关系式：S△OBC
+S△OAC
+S△OAB
＝即称为经典的“奔驰定
理”，若△ABC 的三边为a，b，c，现有a
+b
+c
＝，则O 为△ABC 的（
）
A．外⼼
B．内⼼
C．重⼼
D．垂⼼
5．已知O 是△ABC 内⼀点，
，若△AOB 与△ABC 的⾯积之⽐为
，则实数m 的值为
（
）
A．
B．
C．
D．
6．O 为等边三⻆形内⼀点，且满⾜
+λ
+（1+λ）
＝，若△AOB 与△AOC 的⾯积之⽐为3：1，则
实数λ的值为（
）
A．
B．1
C．2
D．3
7．已知O 是△ABC 内部的⼀点，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a＝3，b＝2，c＝4，若sinA•
＝，则△AOB 与△ABC 的⾯积之⽐为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知点P 是△ABC 所在平⾯内⼀点，若
，则△ABP 与△ACP 的⾯积之⽐是（
）
A．3：1
B．2：3
C．1：3
D．1：2
9．如图，设P，Q 为△ABC 内的两点，且
，
，则△ABP 的⾯积与△ABQ
的⾯积之⽐为（
）
A．
B．
C．
D．
10．点P 是△ABC 所在平⾯上⼀点，若
，则△ABP 与△ACP 的⾯积之⽐是（
）
A．
B．3
C．
D．
11．已知O 是△ABC 所在平⾯内的⼀点，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a＝3，b＝2，c＝4，若
，过O 作直线l 分别交AB、AC（不与端点重合）于P、Q，若
，
，
若△PAO 与△QAO 的⾯积之⽐为
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
12．设G为等边△ABC的重⼼，过G作直线l分别交AB，AC（不与端点重合）于P，Q，若
，
，
若△PAG 与△QAG 的⾯积之⽐为
，则µ＝（
）
A．
B．
C．
D．
13．已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意⼀点，且EF∥BC，实数x，y 满⾜
，设△ABC，
△PBC，△PCA，△PAB 的⾯积分别为S，S1，S2，S3，记
，
，
，则λ2•λ3取
最⼤值时，3x+y 的值为（
）
A．
B．
C．1
D．2
14．在△ABC 中，⻆A，B，C 所对的边分别为a，b，c，点O，G，P，Q 分别为△ABC 所在平⾯内⼀点，
且
有
，
，
，
，则点O，G，P，Q 分别为
△ABC 的（
）
A．垂⼼，重⼼，外⼼，内⼼
B．垂⼼，重⼼，内⼼，外⼼
C．外⼼，重⼼，垂⼼，内⼼
D．外⼼，垂⼼，重⼼，内⼼
15．已知平⾯上四个点A，B，C，D，其中任意三个不共线．若
，则直线AD ⼀定经过三
⻆形ABC 的（
）
A．外⼼
B．内⼼
C．重⼼
D．垂⼼
16．已知O，N，P 满⾜
，
，
则点O，N，P
依次是△ABC 的（
）
A．重⼼，外⼼，垂⼼
B．重⼼，外⼼，内⼼
C．外⼼，重⼼，垂⼼
D．外⼼，重⼼，内⼼
17．已知G 为△ABC 的重⼼，则（
）
A．
B．
C．
D．
18．在△ABC 中，若动点P 满⾜
，则P 点的轨迹⼀定经过△ABC 的（
）
A．重⼼
B．垂⼼
C．外⼼
D．内⼼
19．在△ABC 中，若动点P 满⾜
，则P 点的轨迹⼀定经过△ABC 的（
）
A．重⼼
B．垂⼼
C．外⼼
D．内⼼
20．O 是△ABC 所在平⾯上⼀点，若
，则O 是△ABC
的（
）
A．重⼼
B．外⼼
C．内⼼
D．垂⼼
21
．
已
知
O
是
△
ABC
所
在
平
⾯
内
⼀
点
，
且
点
O
满
⾜
，则点O ⼀定是△ABC 的
（
）
A．外⼼
B．重⼼
C．内⼼
D．垂⼼
题型16：平⾯向量与绝对值三⻆不等式
22．下列命题错误的是（
）
A．两个向量的和仍是⼀个向量
B．当向量与向量不共线时，+ 与，都不同向，且| + |＜| |+| |
C．当⾮零向量，同向时，+ 与，都同向，且| + |＝| |+| |
D．当⾮零向量，反向时，﹣与或反向，且| ﹣|＝| |﹣| |
23．对于任意向量
，下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
题型17：平⾯向量与物理意义
24．⻢戏表演中，⼩猴⼦模仿⼈类做引体向上运动的节⽬深受观众的喜爱，当⼩猴⼦两只胳膊拉着单杠并
处于平衡状态时，每只胳膊的拉⼒⼤⼩为50N，此时两只胳膊的夹⻆为60°，试估算⼩猴⼦的体重约为
（
）
参考数据：取重⼒加速度⼤⼩为
．
A．9.2kg
B．7.5kg
C．8.7kg
D．6.5kg
25．在⽇常⽣活中，我们会看到两个⼈共提⼀桶⽔或者共提⼀个⾏李包这样的情景．假统⾏李包或者⽔桶
所受重⼒为G，作⽤在⾏李包或者⽔桶上的两个拉⼒分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹⻆为α，
下列结论中正确的是（
）
A．当
时，|F1|＝|G|
B．当
时，
C．当
时，|F1|有最⼩值
D．α越⼩越费⼒，α越⼤越省⼒
26．若同⼀平⾯内的三个⼒
，
，
作⽤于同⼀个物体，且该物体处于平衡状态．已知|
|＝3，|
|
＝4，且
与
的夹⻆为120°，则⼒
的⼤⼩为（
）
A．37
B．
C．13
D．
27．河⽔的流速为2m/s，⼀艘⼩船想沿垂直于河岸⽅向以10m/s 的速度驶向对岸，则⼩船实际航⾏的速度
⼤⼩为（
）
A．10m/s
B．2
m/s
C．4
m/s
D．12m/s
28．如图，⼀条河的南北两岸平⾏．游船在静⽔中的航⾏速度
的⼤⼩为10km/h，⽔流的速度
的⼤⼩
为4km/h，则游船要从A ⾏到正北⽅向上位于北岸的码头B 处，其航⾏速度的⼤⼩（
）
A．
B．
C．
D．14km/h
29．⼀艘船以4km/h 的速度沿着与⽔流⽅向成120°的⽅向航⾏，已知⽔流速度为2km/h，则经过2h，船的
实际航程为
km．
题型18：平⾯向量建系解决最值问题
1．在平⾏四边形ABCD 中，AB＝1，AD＝2，AB⊥AD，点P 为平⾏四边形ABCD 所在平⾯内⼀点，且
，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知△ABC 中，AC＝1，
，AB＝2，点P，Q 是线段AB 上的动点，则
的取值范围是（
）
A．
B．[0，1]
C．
D．[0，3]
3．已知点A（2，0），B（4，0），P 是直线y＝x 上的动点，B 在直线AP 上的投影为Q，则
的
最⼩值为（
）
A．3
B．
C．4
D．
4．已知△ABC 是边⻓为2 的正三⻆形，点D 满⾜AD＝2，∠BDC＝
，则
的最⼤值为（
）
A．2
B．4
C．2
D．4
5．在等腰△ABC 中，⻆A，B，C 所对应的边为a，b，c，B＝C＝
，a＝2
，P 是△ABC 外接圆上⼀点，
则
•
+
•
+
•
的取值范围是（
）
A．[﹣3，23]
B．[﹣1，33]
C．[﹣2，30]
D．[﹣4，20]
6．已知边⻓为2 的菱形ABCD 中，点F 为BD 上⼀动点，点E 满⾜
，
，则
的
最⼤值为（
）
A．0
B．
C．
D．3
7．如图，在边⻓为2 的正⽅形ABCD 中．以C 为圆⼼，1 为半径的圆分别交CD，BC 于点E，F．当点P
在劣弧EF 上运动时，
的取值范围为（
）
A．[1﹣2
，﹣]
B．[1﹣2
，﹣1]
C．[﹣1，1﹣
]
D．[1﹣2
，1﹣
]
8．如图，在梯形ABCD 中，
且AB⊥AD，P 为以A 为圆⼼AD 为半径的
圆弧上的⼀动点，
则
的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
9．在△OAB 中，∠AOB＝90°，
，D 为AB 的中点，P，Q 是以O 为圆⼼，2 为半径的
圆上的两个动点，线段PQ 过点O，则
可⽤
，
表示为
；
的最
⼩值为
．
10．在边⻓为2 的等边三⻆形ABC 中，点D 为边BC 的中点，点P 在三⻆形ABC 所在的平⾯内，且满⾜|DP|
＝1，则
的最⼤值为
．
题型19：平⾯向量隐圆解决最值问题
1．已知△ABC 是边⻓为
的等边三⻆形，其中⼼为O，P 为平⾯内⼀点，若OP＝1，则
的最⼩
值是（
）
A．﹣11
B．﹣6
C．﹣3
D．﹣15
2．四边形ABCD 是边⻓为4 的正⽅形，点P 是正⽅形内的⼀点，且满⾜
，则
的最⼤值是（
）
A．1+
B．
C．
D．
3．在△ABC 中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，P 为△ABC 所在平⾯内的动点，且PC＝1．则|
|的最⼤
值为（
）
A．2
B．
C．
D．
+1
4．已知△ABC为等边三⻆形，AB＝2，△ABC所在平⾯内的点P满⾜|
﹣
﹣
|＝1，|
|的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
5．设向量
满⾜
，
，
，
，则
的最⼤值等于（
）
A．1
B．2
C．
D．
6．△ABC 为等边三⻆形，且边⻓为2，则
与
的夹⻆⼤⼩为
，若|
|＝1，＝
，则
的最⼩值为
．
7．已知△ABC 是边⻓为
的正三⻆形，点P 是△ABC 所在平⾯内的⼀点，且满⾜
，
则
的最⼩值是
．
8．已知平⾯向量
满⾜
，
，且
，若向量
，
的夹⻆为60°，则
的最⼤值是
．
平⾯向量——题型20
1．如图，BC，DE 是半径为1 的圆O 的两条直径，
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
2．半径为2 的圆O 上有三点A、B、C 满⾜
，点P 是圆内⼀点，则
的取值
范围为（
）
A．[﹣4，14）
B．（﹣4，14]
C．[﹣4，4）
D．（﹣4，4]
3．正三⻆形ABC 的边⻓为3，点D 在边AB 上，且
，三⻆形ABC 的外接圆的⼀条弦MN 过点D，
点P 为边BC 上的动点，当弦MN 的⻓度最短时，
的取值范围是（
）
A．[﹣1，5]
B．[﹣1，7]
C．[0，2]
D．[1，5]
4．如图，在半径为1 的扇形AOB 中，∠AOB＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P，则
•
的最
⼩值是（
）
A．﹣4
B．﹣
C．﹣
D．﹣
5．已知正⽅形ABCD 的⾯积为2，点P 在边AB 上，则
•
的最⼤值为（
）
A．
B．
C．2
D．
6．如图，已知正⽅形ABCD 的边⻓为2，若动点P 在以AB 为直径的半圆上（正⽅形ABCD 内部，含边界），
则
的取值范围为（
）
A．（0，4）
B．[0，4]
C．（0，2）
D．[0，2]
7．在直⻆梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2AB＝2BC＝2，点P 为梯形ABCD 四条边上的⼀个
动点，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．[﹣1，4]
D．
8．在△ABC 中，点E，F 分别是线段AB，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的⾯积为4，则
的最⼩值是（
）
A．2
B．
C．4
D．
9．⻘花瓷（blue and white porcelain），⼜称⽩地⻘花瓷，常简称⻘花，是中国瓷器的主流品种之⼀，属釉
下彩瓷．原始⻘花瓷于唐宋已⻅端倪，成熟的⻘花瓷则出现在元代景德镇的湖⽥窑．图⼀是⼀个由波涛
纹和葡萄纹构成的正六边形⻘花瓷盘，已知图⼆中正六边形的边⻓为2，圆O 的圆⼼为正六边形的中⼼，
半径为1，若点M 在正六边形的边上运动，动点A，B 在圆O 上运动且关于圆⼼O 对称，则
的
取值范围是（
）
A．[2，4]
B．
C．[2，3]
D．
10．已知平⾯向量
满⾜
，则
的最
⼤值是（
）
A．
B．5
C．
D．
11．如图，在平⾯四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA＝3，OC＝5，若
•
＝﹣7，则
•
的值
是
．
12．如图，在平⾏四边形ABCD 中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，AD 边上的中
点，则
•
等于
．
13．已知△OAB 的⾯积为1，AB＝2，动点P，Q 在线段AB 上滑动，且|PQ|＝1，则
的最⼩值
为
．
14．在⾯积为2 的平⾏四边形中ABCD 中，
，点P 是AD 所在直线上的⼀个动点，则
的最⼩值为
．
题型21：平⾯向量绝对值三⻆不等式解决最值问题
1．已知平⾯向量
满⾜
，则
的最
⼤值是（
）
A．
B．5
C．
D．
2．已知与都是单位向量，且
，若向量满⾜
，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知直线l：ax﹣y+2＝0 与圆M：x2+y2﹣4y+3＝0 的交点为A、B，点C 是圆M 上的⼀动点，设点P（0，
﹣1），
的最⼤值为（
）
A．12
B．10
C．9
D．8
4．已知平⾯上的向量
、
满⾜|
|2+|
|2＝4，|
|＝2，设向量
＝2
+
，则|
|的最⼩值是（
）
A．1
B．2
C．
D．3
