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考点巩固卷 10 平面向量（六大考点）
考点01：共线定理
λ+μ=1
定理1：已知 ，若 ，则 三点共线；反之亦然
平面向量共线定理证明
若点 互不重合， 是 三点所在平面上的任意一点，且满足
⃗PC=x⃗PA+y⃗PB ⇔x+y=1
，则 三点共线 .
x+y=1⇒ x+y=1
证明:(1)由 三点共线.由 得
⃗PC=x⃗PA+y⃗PB=x⃗PA+(1−x) ⃗PB⇒ ⃗PC− ⃗PB=x( ⃗PA− ⃗PB)⇒ ⃗BC=x⃗BA
.
⃗BC ⃗BA
即 ， 共线，故 三点共线.⇒x+y=1
(2)由 三点共线 .
⃗BC ⃗BA
由 三点共线得 ， 共线，即存在实数x使得 .
x+y=1
故 .令 ，则有 .
1．已知 是平面内四个互不相同的点， 为不共线向量， ，
，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
2．已知向量 不共线，且 ， ，若 与 同向共线，则实数 的
值为（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或
3．在 中， 为边 上一点且满足 ，若 为边 上一点，且满足
， ， 为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为1 B． 的最大值为
C． 的最大值为12 D． 的最小值为4
4．下列说法中不正确的是（ ）
A．若 ，则 ，且 四点构成平行四边形
B．若 为非零实数，且 ，则 与 共线
试卷第2页，共3页C．在 中，若有 ，那么点 一定在角A的平分线所在直线上
D．若向量 ，则 与 的方向相同或相反
5．如图，已知平行四边形 的对角线相交于点 ，过点 的直线与 ， 所在直
线分别交于点M，N，满足 ， ，（ ， ），若 ，则
的值为 ．
6．如图，已知 ABC为等边三角形，点G是 ABC内一点．过点G的直线l与线段AB交
△ △
于点D，与线段AC交于点E．设 ， ，且 ， ．
(1)若 ，求 ；
(2)若点G是 ABC的重心，设 ADE的周长为 ， ABC的周长为 ．
△ △ △
（i）求 的值；
（ii）设 ，记 ，求 的值域．
7．设 ， 是不共线的两个非零向量.(1)若 ， ， ，求证： ， ， 三点共线；
(2)若 ， ， ，且 ，求实数 的值.
8．如图，在 中，已知 ， ， ， 边上的中点为 ，点
是边 上的动点（不含端点）， ， 相交于点 ．
(1)求 的正弦值；
(2)当点 为 中点时，求 的余弦值．
(3)当 取得最小值时，设 ，求 的值．
9．设 是不共线的两个非零向量．
(1)若 ，求证： 三点共线；
(2)已知 的夹角为 ，问当 为何值时，向量 与 垂直？
10．如图，在 中，AQ为边BC的中线， ，过点P作直线分别交边AB，
AC于点M，N，且 ， ，其中 ， .
(1)当 时，用 ， 表示 ；
(2)求 的值，并求 最小值.
试卷第4页，共3页考点02：投影向量的求算
1、投影向量的定义
如图：如果向量 的起点 和终点 在直线 上的投影分别为 和 ，
那么向量 叫做向量 在直线 上的投影向量（简称为：投影）；
理解：一个向量 在一个非零向量 的方向的投影，就是向量 在向量 的任意一条所在
直线上的投影，因为这些直线都是平行的，所以，向量 在一个非零向量 的方向的投影
是唯一确定的；
特殊地，如图，若两个向量共起点 ；
即： ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，
则 就是向量 在向量 上的投影向量；
2、投影向量的计算公式
以一点 为起点，；
作： ，把射线 、 的夹角称为向量 、向量 的夹角，记作：
；
；
；
，又称向量 垂直，记作 ；（1） （2）
（3）
当 为锐角（如图（1））时， 与 方向相同，
，所以 ；
当 为直角（如图（2））时， ，所以 ；
当 为钝角（如图（3））时， 与方向相反，
所以
所以 ；
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ；
综 上 可 知 ， 对 于 任 意 的 ， 都 有
；
3、数量投影的定义与求法
试卷第6页，共3页据图：如果令 为向量 的单位向量，那么
向量 在向量 方向上的向量投影为： ；
其中，实数 （*）称为向量 在向量 方向上的数量投影；
理解：（1）当 时；实数 （*）大于0；
（2）当 时；实数 （*）等于0；
（3）当 时；实数 （*）小于0；
特别的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相应的数量投影的绝对值是该
投影的模，因此，这个数量投影等于0；
11．向量 与非零向量 的夹角为 ，则 在 上的投影数量为（ ）
A． B． C．1 D．
12．若 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
13．若向量 ， ，则 在 上的投影向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
14．已知向量 ，则 在 上的投影向量
为（ ）
A． B． C． D．15．空间向量 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
16．下列关于向量的说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若单位向量 ， 夹角为 ，则向量 在向量 上的投影向量为
C．若 与 不共线，且 ，则
D．若 且 ，则
17．已知向量 ， ，则向量 在 方向上的投影向量的坐标为
．
18．已知 ， ．
(1)若 且 ，求 在 方向上的投影向量；
(2)若 与 的夹角为钝角，求实数m的取值范围．
19．已知向量 ， ， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 在 上的投影向量（用坐标表示）
20．已知 与 的夹角为 .
(1)求 在 方向上的投影向量；
试卷第8页，共3页(2)求 的值.
考点03：奔驰定理解决三角形面积比问题
奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.
已知 的顶点 ， ， ，则△ABC 的重心坐标为
.
注意：（1）在 中，若 为重心，则 ．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理： ，则 、 、 的面
积之比等于
奔 驰 定 理 证 明 ： 如 图 ， 令 ， 即 满 足
， ， ，故 .
21．点 在 的内部，且满足： ，则 的面积与 的面积之
比是（ ）
A． B．3 C． D．2
22．设点O是 所在平面内一点，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则O为 的重心；
B．若 ，则O为 的垂心；C．若 ，则 为等边三角形；
D．若 ，则△BOC与△ABC的面积之比为 ．
23．已知 为 所在平面内的一点，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 且 ，则
B．
C． 与 的面积之比为
D． 与 的面积之比为
24． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，其外接圆半径为 ，下列结论正确
的有（ ）
A．若 是 的重心，则
B． 是 所在平面内一点，若 ，则 的面积是 的面
积的2倍
C．若 ，则 是等腰三角形
D．若 ， ，则 的外接圆半径
25． 的内角 的对边分别为 ，其外接圆半径为 ，下列结论正确的有
（ ）
A．若 是 的重心，且 ，则
B． 是 所在平面内一点，若 ，则 的面积是 的面
积的2倍
试卷第10页，共3页C．若 ，则 是等腰三角形
D．若 ，则 的外接圆半径
26．下列说法中正确的是（ ）
A．在 中， ， ， ，若 ，则 为锐角三角形
B．已知点 是平面上的一个定点，并且 ， ， 是平面上不共线的三个点，动点
满足 ，则点 的轨迹一定通过 的内心
C．已知 ， ， 与 的夹角为锐角，实数 的取值范围是
D．在 中，若 ，则 与 的面积之比为
27．在 中，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是等腰三角形
B．若 ， ，则 为等边三角形
C．若点 是边 上的点，且 ，则 的面积是 面积的
D．若 分别是边 中点，点 是线段 上的动点，且满足 ，则
的最大值为
28．对于 ，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则符合条件的 有两个
C．若点 为 所在平面内的动点，且 ，则点 的轨迹经过 的垂心
D．已知 是 内一点，若 分别表示
的面积，则
29．若M是 内一点，且满足 ，则 与 的面积之比为
．
30．已知在 中，角 所对的边分别为 ，若 的面积 ，
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，且 ，求 的面积.
考点04：平面向量之三角形四心问题
一、四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离
相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
二、三角形四心与推论：
（1） 是 的重心： ．
（2） 是 的内心： ．
（3） 是 的外心：
．
试卷第12页，共3页（4） 是 的垂心：
．
【方法技巧与总结】
（1）内心：三角形的内心在向量 所在的直线上.
为 的内心.
（2）外心： 为 的外心.
（3）垂心： 为 的垂心.
（4）重心： 为 的重心.
31．已知 为三角形 内一点，且满足 和 ，
则角 为（ ）
A． B． C． D．
32．已知 ， ， ， 是平面上的4个定点， ， ， 不共线，若点 满足
，其中 ，则点 的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
33．已知 ，向量 ， ， 满足条件 ， ．则
是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
34．已知点P在 所在平面内，若 ，则点P
是 的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心35．已知在 中， 为 的垂心， 是 所在平面内一点，且 ，
则以下正确的是 （ ）
A．点 为 的内心 B．点 为 的外心
C． D． 为等边三角形
36．设点O是 所在平面内任意一点， 的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，已知点O不在 的边上，则下列结论正确的是（ ）
A．若点O是 的重心，则
B．若点O是 的垂心，则
C．若 ，则点O是 的外心
D．若O为 的外心，H为 的垂心，则
37．在 中，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若 ，则 为锐角三角形
B． 内一点 满足 ，则 是 的重心
C．若 ，则 的形状为等腰三角形
D．若 ，则 必为 的垂心
38．下列说法中，正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．在平行四边形 中，
C．在 中，若 ，则 是钝角三角形．
D． 内有一点 ，满足 ，则点 是三角形的重心
试卷第14页，共3页39．点O是平面 上一定点，A，B，C是平面 上 的三个顶点， ， 分别是
边AC，AB的对角.有以下四个命题：
①动点P满足 ，则 的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足 ，则 的内心一定在满足条件的P点集
合中；
③动点P满足 ，则 的重心一定在满足条件
的P点集合中；
④动点P满足 ，则 的垂心一定在满足条件
的P点集合中.其中正确命题的个数为 .
40． 中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是 所在平面内的动点，满足
.射线BP与边AC交于点D.若 ，则
面积的最小值为 .
考点05：极化恒等式解决向量数量积问题
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则 ，
①②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得： ————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”
与“差对角线”平方差的 .
②三角形模式： （M为BD的中点）
A
B M C
41．在平行四边形ABCD中， ， ， ，点P在CD边上，
，则 （ ）
A．0 B． C． D．1
42．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八
边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形
的边长为2，P是正八边形 八条边上的动点，则 的最大
值为（ ）
试卷第16页，共3页A． B． C． D．
43．已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，且
，当 时，则 （ ）
A． B． C． D．
44．在 中，已知 ， ，若点 为 的外心，点 满足
的点，则 （ ）
A． B． C． D．3
45．已知在边长为2的菱形 中， ，点 满足 ，则
.
46．已知复数 在复平面内对应的点为 ，且满足 ， 为原点， ，求
的取值范围 ．
47．如图，在梯形 中， .点 在阴影区域（含边界）中运动，
则 的取值范围为 .48．如图所示，在边长为3的等边三角形 中， ，且点 在以 的中点
为圆心， 为半径的半圆上，则 的最大值为 ．
49．如图，在△ABC中， ， ， ，则
．
50．如图，已知网格小正方形的边长为1，点 是阴影区域内的一个动点（包括边界），
O，A在格点上，则 的取值范围是 .
试卷第18页，共3页考点06：等和线解决平面向量系数和问题
题型一： 问题（系数为1）
题型二： 问题（系数不为1）
题型三： 问题
（1）平面向量共线定理
已知 ，若 ，则 三点共线；反之亦然。
（2）等和线
平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点 在直线
上或者在平行于 的直线上，则 （定值），反之也成立，我们把直线 以
及与直线 平行的直线称为等和线。
①当等和线恰为直线 时， ；
②当等和线在 点和直线 之间时， ；
③当直线 在点 和等和线之间时， ；
④当等和线过 点时， ；
⑤若两等和线关于 点对称，则定值 互为相反数；
B
1
B
P
Q l
O
A A
1
51．如图，在 中，若 为 上一点，且满足 ，
则 （ ）A． B． C． D．
52．如图，在正方形 中， , 和 相交于点G，且F为 上一点（不
包括端点），若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．15
53．如图，在 中， 是 上的一点，若 ，则实
数 的值为（ ）
A． B． C． D．
54． 的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若 ，
试卷第20页，共3页（ ），则xy的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
55．在 中，点 是线段 上一点，点 是线段 上一点，且 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
56．已知 是边长为1的正三角形， 是 上一点且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．1
57．已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），点Q在对角线BD上（不
包括端点B，D），若 ， ，记 的最小值为m，
的最小值为n，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
58．如图，在三角形 中，M、N分别是边 、 的中点，点R在直线 上，且
（x， ），则代数式 的最小值为（ ）A． B． C． D．
59．如图所示， 是 的中点， 是平行四边形 内（含边界）的一点，
且 ，则当 时， 的范围是 .
60．如图，已知平行四边形 的对角线相交于点 ，过点 的直线与 ， 所在直
线分别交于点M，N，满足 ， ，（ ， ），若 ，则
的值为 ．
试卷第22页，共3页
