文档文本内容
———————————————————————
⽬
录
【专题七：集合与逻辑⽤语】
题型01：集合性质
题型02：集合相等
题型03：⼦集真⼦集与⾮空真⼦集
题型04：集合包含关系判断与应⽤
题型05：集合运算
题型06：Venn 图
题型07：集合参数范围问题综合
题型08：充分与必要条件
题型09：全称量词与存在量词
题型10：命题的否定
题型11：四种命题
题型12：“且”“或”“⾮”
题型13：复合命题及其真假
题型14：命题真假与应⽤
第12⻚（共34⻚）
集合与逻辑⽤语篇—题型01～题型05 答案
⼀．选择题（共52 ⼩题）
1．若1∈{x，x2}，则x＝（
）
A．1
B．﹣1
C．0 或1
D．0 或1 或﹣1
【分析】根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x＝1 或x2＝1，进⽽分类讨论：①x＝1，②x2＝1，然后求出x
的值．并验证是否符合集合中元素的性质，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x＝1 或x2＝1，
进⽽分类讨论：
①、当x＝1 时，x2＝1，不符合集合中元素的互异性，舍去，
②、当x2＝1，解可得x＝﹣1 或x＝1（舍）
当x＝﹣1 时，x2＝1，符合题意，
综合可得，x＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查元素与集合的关系，需要注意集合中元素的互异性．
2．集合{3，x，x2﹣2x}中，x 应满⾜的条件是（
）
A．x≠﹣1
B．x≠0
C．x≠﹣1 且x≠0 且x≠3
D．x≠﹣1 或x≠0 或x≠3
【分析】根据集合元素互异性可得x2﹣2x≠3，且x2﹣2x≠x，且x≠3 解得答案．
【解答】解：集合{3，x，x2﹣2x}中，x2﹣2x≠3，且x2﹣2x≠x，且x≠3
解得：x≠3 且x≠﹣1 且x≠0
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是集合元素的互异性，难度不⼤，属于基础题．
3．集合{2a，a2}中实数a 的取值范围是（
）
A．{a|a＝0，或a＝2}
B．{a|a＝0，且a＝2}
C．{a|a≠0，或a≠2}
D．{a|a≠0，且a≠2}
【分析】根据已知条件，结合集合的互斥性，即可区间．
【解答】解：由题意可知，2a≠a2，解得a≠0 且a≠2，
故所求a 的取值范围为{a|a≠0，且a≠2}．
第13⻚（共34⻚）
故选：D．
【点评】本题考查集合的互异性，属于基础题．
4．设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（
）
A．﹣3 或﹣1 或2
B．﹣3 或﹣1
C．﹣3 或2
D．﹣1 或2
【分析】分别由1﹣a＝4，a2﹣a+2＝4，求出a 的值，代⼊观察即可．
【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3，
∴a2﹣a+2＝14，
∴A＝{2，4，14}；
若a2﹣a+2＝4，则a＝2 或a＝﹣1，
a＝2 时，1﹣a＝﹣1，
∴A＝{2，﹣1，4}；
a＝﹣1 时，1﹣a＝2（舍），
故选：C．
【点评】本题考查了集合的确定性，互异性，⽆序性，本题是⼀道基础题．
5．由实数
所组成的集合，最多含（
）个元素．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【分析】根据绝对值的定义和开平⽅、⽴⽅的⽅法，应对对x 分x＞0，x＝0，x＜0 三种情况分类讨论，
根据讨论结果可得答案．
【解答】解：当x＞0 时，x＝|x|＝
，
＝﹣x＜0，此时集合共有2 个元素，
当x＝0 时，x＝|x|＝
＝
＝﹣x＝0，此时集合共有1 个元素，
当x＜0 时，
＝|x|＝﹣x，
＝﹣x，此时集合共有2 个元素，
综上的，此集合最多有2 个元素，
故选：A．
【点评】本题考查了元素与集合关系的判断及根式的化简求值，其中解答本题的关键是利⽤分类讨论思
想，对x 分三种情况进⾏讨论．
6．若x∈{1，2，x2}，则x 的可能值为（
）
A．0
B．0，1
C．0，2
D．0，1，2
第14⻚（共34⻚）
【分析】对x 的值分情况讨论，集合元素的互异性求解即可．
【解答】解：①当x＝1 时，x2＝1，此时不满⾜元素的互异性，舍去，
②当x＝2 时，x2＝4，此时集合为{1，2，4}，符合题意，
③当x＝x2时，x＝0 或1，
若x＝1，x2＝1，此时不满⾜元素的互异性，舍去，
若x＝0，此时集合为{1，2，0}，
综上所述，x 的可能值为2 或0，
故选：C．
【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，考查了元素的互异性，属于基础题．
7．已知{x|ax2﹣4x+1＝0}＝{b}，其中a，b∈R，则b＝（
）
A．0
B．或
C．
D．
【分析】根据集合相等及⼀元⼆次⽅程的解法可得出所求的参数b 的值．
【解答】解：由题意知：b 为⽅程ax2﹣4x+1＝0 的根，
当a＝0 时，⽅程ax2﹣4x+1＝0 转化为﹣4x+1＝0，解得x＝，所以
；
当a≠0 时，有
，此时
．
故选：B．
【点评】本题考查集合相等的概念及⼀元⼆次⽅程的解法，考查学⽣的数学运算能⼒，属中档题．
8．设集合
，B＝{（x，y）|y＝x2﹣2x+1}，则A∩B＝（
）
A．∅
B．{（1，0），（2，1）}
C．{（2，1）}
D．{（1，0）}
【分析】根据集合的交集运算列式求解．
【解答】解：因为
，则y＝x﹣1（x≠2），
联⽴
，解得
，
所以A∩B＝{（1，0）}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
第15⻚（共34⻚）
9．设Q 是有理数集，集合X＝{x|x＝a+b
，a，b∈Q，x≠0}，在下列集合中：
①{2x|x∈X}；
②{
|x∈X}；
③{
|x∈X}；
④{x2|x∈X}．
与X 相同的集合有（
）
A．①②
B．②③
C．①②④
D．①②③
【分析】对∀x∈X＝{x|x＝a+b
，a，b∈Q，x≠0}，则∃a，b∈Q，使x＝a+b
，且x≠0，则x＝2（
+
），
从⽽证明X⊆{2x|x∈X}，再证明{2x|x∈X}⊆X，即可证明{2x|x∈X}＝X．故①正确；同理可证②③正确；
由﹣1∈X，﹣1∉{x2|x∈X}知④错误．
【解答】解：对∀x∈X＝{x|x＝a+b
，a，b∈Q，x≠0}，
∃a，b∈Q，使x＝a+b
，且x≠0，则x＝2（
+
），
∵
∈Q，∈Q，
+
∈X，x∈{2x|x∈X}，即X⊆{2x|x∈X}；
对∀x∈{2x|x∈X}，∃a，b∈Q，使x＝2（a+b
），且x≠0，
x＝2a+2b
，∵2a∈Q，2b∈Q，x≠0，∴x∈X，即{2x|x∈X}⊆X；
故{2x|x∈X}＝X．故①正确；
＝
＝b+
，
同理可证{
|x∈X}＝X，故②正确；
＝
＝
﹣
，
同理可证{
|x∈X}＝X，故③正确；
x2＝（a+b
）2＝a2+2b2+2ab
，
则﹣1∈X，﹣1∉{x2|x∈X}，故④错误；
故选：D．
【点评】本题考查了集合相等的证明，通常转化为两个集合是彼此的⼦集证明，是中档题．
10．已知集合
，其中b＞0，则实数2a+b＝（
）
A．
B．
C．
D．2
第16⻚（共34⻚）
【分析】根据集合相等的定义，分情况讨论求解即可．
【解答】解：集合
，其中b＞0，
①当a＝2a﹣且
＝b 时，
结合b＞0，解得a＝1，b＝3，
经检验，不符合元素的互异性，舍去；
②当a＝b 且
＝2a﹣时，
结合b＞0，解得a＝b＝
，
经检验，符合题意，
∴实数2a+b＝3
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题．
11．设a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，b}，若P＝Q，则a+b＝（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．2
【分析】由集合中元素的互异性、集合相等的定义可求出结果．
【解答】解：a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，b}，P＝Q，
∴a＝﹣1，b＝1，
则a+b＝0．
故选：C．
【点评】本题考查集合中元素的互异性、集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
12．已知集合A＝{1，m}，B＝{2m﹣2，1}，若A＝B，则实数m＝（
）
A．0
B．1
C．1 或2
D．2
【分析】利⽤集合的确定性和互异性，翻译集合相等这⼀条件即可．
【解答】解：由题意可知m＝2m﹣2，解得m＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合相等条件的应⽤，属于基础题．
13．已知a∈R，b∈R，若集合
，则a2023+b2023的值为（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
【分析】利⽤集合相等，求出b＝0，再根据互异性求出a 的取值情况并检验即可．
第17⻚（共34⻚）
【解答】解：根据题意，a≠0，故
，则b＝0，
则{a，0，1}＝{a2，a，0}，由集合的互异性知a≠0 且a≠1，
故{a，0，1}＝{a2，a，0}，则a2＝1，即a＝﹣1 或a＝1（舍），
当a＝﹣1，b＝0 时，{﹣1，0，1}＝{1，﹣1，0}，符合题意，
所以a2023+b2023＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合相等条件的应⽤，属于基础题．
14．下列集合中表示同⼀集合的是（
）
A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
B．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}
C．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}
D．
【分析】由已知结合集合元素的特征检验各选项即可判断．
【解答】解：根据集合元素的确定性可知：
A：（3，2）与（2，3）为不同的元素，A 不符合题意；
B：集合M＝{（x，y）|x+y＝1}为点集，N＝{y|x+y＝1}为数集，集合对象不同，B 不符合题意；
C：M＝{1，2}，N＝{（1，2）}的对象不同，不符合题意；
D：M＝{y|y＝x2+3}＝{y|y≥3}，N＝{y|y＝
}＝{x|x≥3}，M＝N，D 符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合相等关系的判断，属于基础题．
15．已知a∈R，b∈R，若集合
，则a2019+b2019的值为（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
【分析】根据集合相等的条件及分式
有意义可知
，进⽽求出b＝0，代⼊集合验证可求出
a 的值，进⼀步计算即可．
【解答】解：根据集合相等的条件及分式
有意义可知
，
则b＝0，
代⼊集合得{a，0，1}＝{a2，a，0}，
第18⻚（共34⻚）
则
，得a＝﹣1
因此a2019+b2019＝（﹣1）2019+02019＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查列举法的定义，集合相等的定义，以及集合元素的互异性，属于基础题．
16．已知集合M＝{3，4}，N＝{x|（x﹣3）（x+a）＝0，a∈R}，若M＝N，则a＝（
）
A．3
B．4
C．﹣3
D．﹣4
【分析】利⽤集合相等的定义直接求解．
【解答】解：集合M＝{3，4}，N＝{x|（x﹣3）（x+a）＝0，a∈R}，M＝N，
∴N＝{3，﹣a}＝{3，4}，
则a＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查集合的运算，考查集合相等的定义和性质等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
17．满⾜M⊆{a，b，c，d}且M∩{a，b，c}＝{a}的集合M 的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】由已知结合集合的包含关系及集合的交集运算即可求解．
【解答】解：由题意可得{a}⊆M，b，c∉M．
⼜因为M⊆{a，b，c，d}，
所以M＝{a}或M＝{a，d}．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
18．已知集合A＝{x∈N|x＜4}，B＝{x|x＝n2﹣1，n∈A}，P＝A∩B，则集合P 的⼦集共有（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．8 个
【分析】⾸先⽤列举法表示出集合A、B，即可求出集合P，再求出其⼦集个数．
【解答】解：因为A＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}，⼜B＝{x|x＝n2﹣1，n∈A}，
所以B＝{﹣1，0，3，8}，所以P＝A∩B＝{0，3}，
则集合P 的⼦集共有22＝4 个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
19．已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4}，定义集合：A*B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，则集合A*B 的⾮空⼦集的
第19⻚（共34⻚）
个数是（
）个．
A．16
B．15
C．14
D．13
【分析】先求出集合A*B，再利⽤集合的⾮空⼦集的个数公式求解．
【解答】解：由题意可知，集合A*B＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}，
所以集合A*B 的⾮空⼦集有24﹣1＝15 个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合的⾮空⼦集的个数公式，属于基础题．
20．设集合
，则A∪B 的⼦集个数为（
）
A．8
B．16
C．32
D．64
【分析】先求出集合A，B，进⽽求出A∪B，再利⽤集合的⼦集个数公式求解．
【解答】解：集合A＝{﹣1，20，eln2，
}＝{﹣1，1，2，
}，B＝{1，2，lne3，
}＝{1，2，3，
}，
所以A∪B＝{﹣1，1，2，3，
}，
所以A∪B 的⼦集个数为25＝32．
故选：C．
【点评】本题主要考了对数的运算性质，考查了集合的并集运算，以及集合的⼦集个数公式，属于基础
题．
21．设集合A＝{2，4，5}，B＝{3，5，7}，若集合M＝A∩B，则集合M 的⼦集个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】先求出集合M，再利⽤集合的⼦集个数公式求解．
【解答】解：∵集合A＝{2，4，5}，B＝{3，5，7}，
∴集合M＝A∩B＝{5}，
∴集合M 的⼦集个数为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，考查了集合的⼦集个数公式，属于基础题．
22．已知集合U＝{x∈Z|1≤x≤5}，⾮空集合A⊆U，且A 中所有元素之和为奇数，则满⾜条件的集合A 共有
（
）
A．12 个
B．14 个
C．16 个
D．18 个
【分析】根据集合U 中的元素的奇偶性，分类讨论即可．
【解答】解：U＝{1，2，3，4，5}，其中奇数有1，3，5 三个，偶数有2，4 两个，
第20⻚（共34⻚）
若A 只有1 个元素，则满⾜条件的集合有
＝3 个，
若A 只有2 个元素，则满⾜条件的集合有
个，
若A 只有3 个元素，则满⾜条件的集合有
＝4 个，
若A 只有4 个元素，则满⾜条件的集合有
个，
若A 有5 个元素，则A＝U，满⾜条件，故满⾜条件的集合A 共有16 个．
故选：C．
【点评】本题考查集合的定义，集合的个数，属于基础题．
23．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝ab，a，b∈A}，则集合B 的真⼦集个数是（
）
A．3
B．4
C．7
D．8
【分析】根据题意得到集合B，然后根据集合B 中元素的个数求集合B 的真⼦集个数即可．
【解答】解；由题意得B＝{﹣1，0，1}，所以集合B 的真⼦集个数为23﹣1＝7．
故选：C．
【点评】本题主要考查真⼦集个数的求解，属于基础题．
24．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，C＝A∩B，则集合C 的⼦集个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．8
【分析】根据给定条件，求出集合C 即可得解．
【解答】解：集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，则C＝A∩B＝{0，1}，
所以集合C 的⼦集个数为22＝4．
故选：C．
【点评】本题考查⼦集的应⽤，属于基础题．
25．已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤2}，则集合A 的⾮空真⼦集有（
）个
A．5
B．6
C．7
D．8
【分析】根据题意，得到集合A＝{0，1，2}，结合⾮空真⼦集的概念，即可求解．
【解答】解：由集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤2}＝{0，1，2}，
所以集合A 的⾮空真⼦集为：{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共有6 个．
故选：B．
【点评】本题考查⾮空真⼦集的概念，属于基础题．
26．已知集合
，则集合A 真⼦集的个数为（
）
第21⻚（共34⻚）
A．3
B．4
C．7
D．8
【分析】解出集合A，再由含有n 个元素的集合，其真⼦集个数为2n﹣1 个可得答案．
【解答】解：已知集合
，解得：
＝{x∈Z|﹣3＜x≤0}＝{﹣2，
﹣1，0}，
则集合A 真⼦集的个数为23﹣1＝7 个，
故选：C．
【点评】本题主要考查利⽤集合⼦集个数判断集合元素个数的应⽤，含有n 个元素的集合，其真⼦集个
数为2n﹣1 个．
27．已知集合A＝{﹣1，0}，B＝{1，2}，集合C＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则C 的⼦集的个数为（
）
A．3
B．8
C．7
D．16
【分析】根据题意得到集合C，然后求⼦集个数即可．
【解答】解：由题意得C＝{﹣1，﹣2，0}，
所以集合C 的⼦集的个数为23＝8．
故选：B．
【点评】本题考查⼦集定义等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
28．已知集合A＝{4，2a}，B＝{1，2，4}，若A⊆B，则a 的值为（
）
A．1
B．
C．1 或
D．1 或2
【分析】根据元素与集合的关系列⽅程，解出a．
【解答】解：∵A⊆B，∴2a＝1 或2a＝2，解得
或a＝1，经检验均符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查集合间关系的应⽤，属于基础题．
29．集合A＝{x|x＝n•180°+（﹣1）n•90°，n∈Z}与B＝{x|x＝m•360°+90°，m∈Z}之间的关系是（
）
A．A⫋B
B．B⫋A
C．A＝B
D．A∩B＝∅
【分析】分n＝2k（k∈Z）和n＝2k+1（k∈Z）两种情况讨论，可得集合A，B 的关系．
【解答】解：当n＝2k（k∈Z）时，集合A＝{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；
当n＝2k+1（k∈Z）时，集合A＝{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；
⼜B＝{x|x＝m•360°+90°，m∈Z}，所以A＝B．
故选：C．
【点评】本题考查集合间关系的应⽤，属于基础题．
第22⻚（共34⻚）
30．已知集合A＝{x|x＜﹣1 或x≥3}，B＝{x|ax+1≤0}，若B⊆A，则实数a 的取值范围为（
）
A．{a|﹣≤a＜1}
B．{a|﹣≤a≤1}
C．{a|a＜1 或a≥0}
D．{a|﹣≤a＜0 或0＜a＜1}
【分析】分B＝∅和B≠∅，结合B⊆A 得出a 所满⾜的条件，进⽽可得出所求的答案．
【解答】解：当B＝∅时，ax+1≤0 ⽆解，此时a＝0，满⾜题意．
当B≠∅时，ax+1≤0 有解，即a≠0，
若a＞0 时，则B＝{x|x≤﹣}，
所以要使B⊆A，需满⾜
，解得0＜a＜1；
若a＜0 时，则B＝{x|x≥﹣}，
所以要使B⊆A，需满⾜
，解得﹣≤a＜0．
综上所述，实数a 的取值范围为{a|﹣≤a＜1}．
故答案为：A．
【点评】本题考查集合间的基本关系，考查学⽣的逻辑思维能⼒和运算能⼒，属中档题．
31．已知集合A＝{1，2，3，4}，且A∩B＝A，则集合B 可以是（
）
A．{1，2，3}
B．{x|x2＞1}
C．{x|log2x＞0}
D．{x|2x＞1}
【分析】由A∩B＝A，可得A⊆B，然后结合集合的包含关系检验各选项即可判断．
【解答】解：因为集合A＝{1，2，3，4}，且A∩B＝A，即A⊆B，
A：结合选项可知，A 显然不符合题意；
B：{x|x2＞1}＝{x|x＞1 或x＜﹣1}，不符合题意；
C：{x|log2x＞0}＝{x|x＞1}，不符合题意；
D：{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
32．已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x﹣a＜0}，若A⊆B，则a 的取值范围为（
）
A．（﹣∞，﹣2）
B．（﹣∞，﹣2]
C．（2，+∞）
D．[2，+∞）
【分析】先求出集合A，B，再利⽤集合间的包含关系列出不等式，求出a 的取值范围即可．
第23⻚（共34⻚）
【解答】解：集合A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x﹣a＜0}＝{x|x＜a}，
⼜∵A⊆B，
∴a＞2，
即a 的取值范围为（2，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题．
33．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|﹣1＜x＜5，x∈N}，则满⾜A⫋C⊆B 的集合C 的个数为（
）
A．8
B．7
C．4
D．3
【分析】确定集合A，B 的元素，根据A⫋C⊆B，可判断集合C 等价于集合{0，3，4}的⾮空⼦集，由此
可得答案．
【解答】解：由题意得A＝{1，2}，B＝{0，1，2，3，4}，
⼜A⫋C⊆B，所以1，2∈C，所以集合C 等价于集合{0，3，4}的⾮空⼦集，
所以集合C 的个数为23﹣1＝7．
故选：B．
【点评】本题考查集合间关系的应⽤，属于基础题．
34．已知集合A＝{x|ax＝1，a∈R}，B＝{﹣1，1}，若A⊆B，则所有a 的取值构成的集合为（
）
A．{﹣1}
B．{﹣1，1}
C．{0，1}
D．{﹣1，0，1}
【分析】当a＝0 时，集合A＝{x|ax＝1}＝∅，满⾜A⊆B，当a≠0 时，集合A＝{x|ax＝1}＝{
}，则
＝
﹣1，或
＝1，即可求解．
【解答】解：①当a＝0 时，集合A＝{x|ax＝1}＝∅，满⾜A⊆B，
②当a≠0 时，集合A＝{x|ax＝1}＝{
}，
由A⊆B，B＝{﹣1，1}得，
＝﹣1，或
＝1，
解得a＝﹣1 或a＝1，
综上由a 的取值构成的集合为{0，﹣1，1}，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是集合的包⾕关系判断及应⽤，其中易忽略a＝0 时，集合A＝{x|ax＝1}＝∅，
满⾜A⊆B，⽽错选．
第24⻚（共34⻚）
35．已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{a，0}，且B⊆A，则实数a 的取值范围是（
）
A．[﹣2，2]
B．[﹣2，0）∪（0，2]
C．（﹣2，2）
D．（﹣2，0）∪（0，2）
【分析】根据集合B 是集合A 的⼦集，结合集合B 中元素的互异性求解．
【解答】解：集合A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{a，0}，
B⊆A，则实数a 的取值范围是[﹣2，0）∪（0，2]．
故选：B．
【点评】本题考查集合间关系的应⽤，属于基础题．
36．已知集合A＝{x||x﹣1|≤k，k＞0}，B＝{x|﹣3≤x≤3}，若A⊆B，则k 的最⼤值是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【分析】解出集合A，由集合的包含关系可得出关于实数k 的不等式组，解之即可得出实数k 的最⼤值．
【解答】解：因为k≥0，由|x﹣1|≤k 可得﹣k≤x﹣1≤k，解得1﹣k≤x≤1+k，
即A＝{x|1﹣k≤x≤1+k，k＞0}，
⼜因为B＝{x|﹣3≤x≤3}，A⊆B，则
，解得0＜k≤2，
故k 的最⼤值为2．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于中档题．
37．设全集U＝Z，集合A＝{x|x＝3k﹣1，k∈Z}，B＝{x|x＝6k﹣1，k∈Z}．则（
）
A．A⊆B
B．B⊆A
C．A＝B
D．A∩B＝∅
【分析】化简集合B，与集合A 对⽐，结合选项可得答案．
【解答】解：∵集合A＝{x|x＝3k﹣1，k∈Z}，B＝{x|x＝6k﹣1，k∈Z}＝{x|x＝3×（2k）﹣1，k∈Z}，
∴B⊆A．
故选：B．
【点评】本题考查集合间关系的应⽤，属于基础题．
38．设⾮空集合A＝{x|3﹣m＜x＜3+m}，B＝{x|log2x＜2}若A∪B＝B，则实数m 的取值范围是（
）
A．m≤3
B．m≤1
C．0＜m≤1
D．0＜m≤3
【分析】由题可知A⊆B，从⽽建⽴不等式组即可求解．
【解答】解：由题可知B＝{x|log2x＜2}＝{x|0＜x＜4}，
第25⻚（共34⻚）
⼜A⊆B，∴
，
解得0＜m≤1，
故选：C．
【点评】本题考查集合的基本运算，不等式思想，属基础题．
39．设A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∩B＝B，则实数a 的值不可以为（
）
A．
B．0
C．3
D．
【分析】先求出集合A＝{3，5}，再结合题⽬条件，分B＝∅，B≠∅两种情况讨论，即可确定实数a 的
值．
【解答】解：由题，得A＝{x|x2﹣8x+15＝0}＝{3，5}，
因为A∩B＝B，所以B⊆A，
当a＝0 时，ax﹣1＝0 ⽆解，此时B＝∅，满⾜题意；
当a≠0 时，得
，所以
或
，解得
或
，
综上，实数a 的值可以为
，不可以为3．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的交集运算，属于中档题．
40．已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{﹣t，t}，且B⊆A，则实数t 的取值范围是（
）
A．[﹣2，2]
B．（﹣2，2）
C．（﹣2，0）∪（0，2）
D．[﹣2，0）∪（0，2]
【分析】利⽤集合间的关系，建⽴不等式求解，注意集合B 中元素的互异性．
【解答】解：由题意得A＝{x|﹣2≤x≤2}，所以由B⊆A，
则
，解得﹣2≤t≤2 且t≠0，
所以实数t 的取值范围是[﹣2，0）∪（0，2]．
故选：D．
【点评】本题考查集合间关系的应⽤，属于基础题．
41．已知集合A＝{x|x﹣a≥0}，B＝{x|0≤x≤3}，若B⊆A，则a 的取值范围是（
）
A．{a|a≤0}
B．{a|a＜0}
C．{a|a≤3}
D．{a|a＜3}
第26⻚（共34⻚）
【分析】先求出集合A，再结合B⊆A 列出不等式，求出a 的取值范围即可．
【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣a≥0}＝{x|x≥a}，B＝{x|0≤x≤3}，且B⊆A，
∴a≤0，
即a 的取值范围是{a|a≤0}．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题．
42．已知集合M＝{x∈Z||x﹣1|＜3}，A＝{﹣1，0}，B＝{1，2，3，4}，则（
）
A．A∪B＝M
B．B⊆M
C．∁MA⊆B
D．A∩B≠∅
【分析】根据集合的运算逐⼀检验选项即可．
【解答】解：集合M＝{x∈Z||x﹣1|＜3}＝{x∈Z|﹣2＜x＜4}＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0}，B＝{1，2，
3，4}，
∵A∪B＝{﹣1，0，1，2，3，4}，∴选项A 错误；
∵4∈B，4∉M，∴选项B 错误；
∁MA＝{1，2，3}⊆B＝{1，2，3，4}，选项C 正确；
A∩B＝∅，选项D 错误．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
43．设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝（
）
A．∁U（M∪N）
B．N∪∁UM
C．∁U（M∩N）
D．M∪∁UN
【分析】根据题意，分别算出各选项中的集合，与{x|x≥2}对照即可得到本题的答案．
【解答】解：由M＝{x|x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，
得∁UM＝{x|x≥1}，∁UN＝{x|x≤﹣1 或x≥2}，M∪N＝{x|x＜2}，M∩N＝{x|﹣1＜x＜1}，
所以∁U（M∪N）＝{x|x≥2}，N∪∁UM＝{x|x＞﹣1}，
∁U（M∩N）＝{x|x≤﹣1 或x≥1}，M∪∁UN＝{x|x＜1 或x≥2}．
对照各选项，只有A 符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合的表示法、集合的运算及其应⽤等知识，考查了计算能⼒、逻辑推理能⼒，
属于基础题．
44．已知集合M＝{﹣2，0，1，2}，N＝{x|﹣1＜x＜4}，则M∩N＝（
）
A．{﹣2，0}
B．{0，1，2}
C．{﹣2，0，1，2}
D．{x|1＜x＜4}
第27⻚（共34⻚）
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合M＝{﹣2，0，1，2}，N＝{x|﹣1＜x＜4}，
则M∩N＝{0，1，2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
45．设集合A＝{x|2a＜x＜a+2}，B＝{x|x＜﹣3 或x＞5}，若A∩B＝∅，则实数a 的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由A∩B＝∅，则2a≥a+2 或
，然后求解．
【解答】解：已知集合A＝{x|2a＜x＜a+2}，B＝{x|x＜﹣3 或x＞5}，
⼜A∩B＝∅，
则2a≥a+2 或
，
即a≥2 或a≤﹣5，
则实数a 的取值范围为
．
故选：A．
【点评】本题考查了集合的运算，属中档题．
46．若集合A＝{x||2x﹣3|≤1}，B＝{x|﹣2＜x＜5，x∈N*}，则A∩B 的元素的个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】求出集合A、B，即可求得集合A∩B，即可得解．
【解答】解：由|2x﹣3|≤1 可得﹣1≤2x﹣3≤1，解得1≤x≤2，即A＝{x|1≤x≤2}，
⼜因为B＝{x|﹣2＜x＜5，x∈N*}＝{1，2，3，4}，所以，A∩B＝{1，2}，
故A∩B 的元素的个数是2．
故选：A．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
47．设集合
或x＞1}，集合B＝{x|x2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}，若A∩B 中恰有两个整数，则实数a
的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．（1，+∞）
第28⻚（共34⻚）
【分析】设f（x）＝x2﹣2ax﹣1，（a＞0），分类讨论A∩B 的整数的情况，求出参数的范围．
【解答】解：由题知，⽅程x2﹣2ax﹣1＝0 的两根异号，且两根之积为﹣1．
设f（x）＝x2﹣2ax﹣1，（a＞0），
下分三种情况讨论：
①若A∩B 中恰有两个整数为2，3，则
，解得
；
②若A∩B 中恰有两个整数为﹣1，2，
则
且
，∴a∈∅；
③若A∩B 中有两个整数为﹣1，﹣2，
则
且
，
∴a∈∅；
综上可得
．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算，是中档题．
48．设集合A＝{（x，y）|y＝cos2x}，B＝{（x，y）|y＝x2+1}，则集合A∩B 的元素个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】根据cos2x≤1，⽽x2+1≥1 可知只有⼀个交点（0，1），即可得出结果．
【解答】解：由题意得，集合A 与B 的元素是点，A∩B 的元素是y＝cos2x 与y＝x2+1 的交点，
因为cos2x≤1，⽽x2+1≥1，所以直线y＝cos2x 与y＝x2+1 只有⼀个交点（0，1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图像的交点个数，属于中档题．
49．设集合M＝{﹣1，0，2}，N＝{﹣1，1}，则M∪N＝（
）
A．{0，2}
B．{﹣1，1，2}
C．{﹣1，0，1，2}
D．{﹣1，0，2}
【分析】利⽤并集的定义直接求解即可．
【解答】解：集合M＝{﹣1，0，2}，N＝{﹣1，1}，所以M∪N＝{﹣1，0，1，2}．
故选：C．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
50．集合A＝{﹣4，2a﹣1，a2}，B＝{9，a﹣5，1﹣a}，若A∩B＝{9}，则a＝（
）
第29⻚（共34⻚）
A．﹣3
B．3 或﹣3
C．3
D．3 或﹣3 或5
【分析】分别讨论A 中2a﹣1，a2为9 的情况，再利⽤题意以及集合的互异性可解．
【解答】解：①当A 中2a﹣1＝9 时，a＝5，则此时A＝{﹣4，9，25}，B＝{9，0，﹣4}，则A∩B＝{﹣4，
9}，不符合题意，
②当A 中a2＝9，a＝±3，当a＝3 时，此时A＝{﹣4，5，9}，B＝{9，﹣2，﹣2}不满⾜集合的互异性，故
a≠3，
当a＝﹣3，此时A＝{﹣4，﹣7，9}，B＝{9，﹣8，4}满⾜题意．
故选：A．
【点评】本题考查集合的相关性质，属中档题．
51．已知集合M＝{x|x2﹣2mx﹣3m2≤0}，N＝{x|x2+mx﹣2m2≤0}，定义b﹣a 叫做集合{x|a≤x≤b}的⻓度，若集
合M∩N 的⻓度为4，则M∪N 的⻓度为（
）
A．3
B．4
C．5
D．10
【分析】先求出⼀元⼆次不等式对应⽅程的根，再讨论根的⼤⼩确定两个集合，从⽽可求出两集合的交
集，通过⻓度为4 可求出m 的值，再求两集合的并集及其⻓度．
【解答】解：⽅程x2﹣2mx﹣3m2＝0 的两根为﹣m，3m，x2+mx﹣2m2＝0 的两根为m，﹣2m，
当m＝0 时，M∩N＝{0}，
当m＞0 时，M＝{x|﹣m≤x≤3m}，N＝{x|﹣2m≤x≤m}，则M∩N＝{x|﹣m≤x≤m}，
当m＜0 时，M＝{x|3m≤x≤﹣m}，N＝{x|m≤x≤﹣2m}，则M∩N＝{x|m≤x≤﹣m}，
因为M∩N 的⻓度为4，
所以2m＝4 或﹣2m＝4，
得m＝2 或m＝﹣2，
当m＝2 时，M＝{x|﹣2≤x≤6}，N＝{x|﹣4≤x≤2}，
则M∪N＝{x|﹣4≤x≤6}，
当m＝﹣2 时，M＝{x|﹣6≤x≤2}，N＝{x|﹣2≤x≤4}，
则M∪N＝{x|﹣6≤x≤4}，
所以M∪N 的⻓度为10．
故选：D．
【点评】本题考查了集合的运算，重点考查了分类讨论的数学思想⽅法，属中档题．
52．设M＝{y|y＝x2﹣4x+3，x∈R}，N＝{y|y＝x﹣1，x∈R}，则M∩N＝（
）
A．{y|y＝﹣1 或0}
B．{x|x＝0 或x＝1}
第30⻚（共34⻚）
C．{（0，1），（1，0）}
D．{y|y≥﹣1}
【分析】根据题意，集合M，N 分别为两个函数的值域，分别求出这两个函数的值域，再求交集即可．
【解答】解：M＝{y|y＝x2﹣4x+3，x∈R}＝{y|y＝（x﹣2）2﹣1}＝{y|y≥﹣1}，N＝{y|y＝x﹣1，x∈R}＝R，
∴M∩N＝M＝{y|y≥﹣1}．
故选：D．
【点评】本题考查了函数值域的求法，以及集合交集的求法，做题时要细⼼，值域和定义域要区分清．
⼆．多选题（共1 ⼩题）
（多选）53．下列选项中的两个集合相等的有（
）
A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n+1），n∈Z}
B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N+}
C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x＝
，n∈Z}
D．P＝{x|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1}
【分析】利⽤集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可．
【解答】解：选项A：因为集合P，Q 表示的都是所有偶数组成的集合，所以P＝Q；
选项B：集合P 中的元素是由1，3，5，…，所有正奇数组成的集合，
集合Q 是由3，5，7…，所有⼤于1 的正奇数组成的集合，即1∉Q，所以P≠Q；
选项C：集合P＝{0，1}，集合Q 中：当n 为奇数时，x＝0，当n 为偶数时，x＝1，所以Q＝{0，1}，则
P＝Q；
选项D：集合P 表示的是数集，集合Q 表示的是点集，所以P≠Q；
综上，选项AC 表示的集合相等，
故选：AC．
【点评】本题考查了集合相等的性质，考查了学⽣对集合的元素的理解，属于基础题．
三．填空题（共4 ⼩题）
54．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|x＞a，a∈R}．若A∩B＝∅，则实数a 的取值范围是
[4，+∞）
．
【分析】利⽤不等式性质和交集定义能求出实数a 的取值范围．
【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，A∩B＝∅，
∴a≥4，即实数a 的取值范围是[4，+∞）．
故答案为：[4，+∞）．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意交集性质的合理运⽤．
第31⻚（共34⻚）
55．设m 是实数，已知集合P＝{（x，y）|（x+2）2+（y﹣3）2≤4}，集合Q＝{（x，y）|（x+1）2+（y﹣m）2
＜}，且P∩Q＝Q，则m 的取值范围是
{m|
}
．
【分析】由已知结合集合运算与集合包含关系的转化，圆与圆的位置关系可求．
【解答】解：点集P 表示平⾯上以（﹣2，3）为圆⼼，2 为半径的圆⾯，记为C1，
点集Q 表示以（﹣1，m）为圆⼼，
为半径的圆⾯（不含圆周），记为C2，
由P∩Q＝Q 得Q⊆P，表明C2在C1的内部，
故有
，即4m2﹣24m+31≤0，
得
，
∴所求实数m 的范围是{m|
}．
故答案为：{m|
}．
【点评】本题主要考查集合概念⼦集及集合的运算、圆的⽅程，圆与圆的位置关系、解不等式等基础知
识和基本⽅法，考查综合运⽤所学知识分析问题和解决问题的能⼒．
56．设集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a 的取值范围是
a＞﹣1
．
【分析】根据交集的定义知要使A∩B≠∅则集合B 中必有集合A 中的元素则a＞﹣1
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，A∩B≠∅
∴a＞﹣1
故答案为a＞﹣1
【点评】本题主要考查了交集的定义及其运算，属常考题型，较难．解题的关键是根据交集的定义得出
集合B 中必有集合A 中的元素！
57．已知集合A＝{（x，y）|y＝x+m，m∈R}，集合
，若A∩B 有两个元素，
则实数m 的取值范围是
（1﹣2
，﹣1]
．
【分析】由y＝1﹣
，得（y﹣1）2+x2＝4，x∈[﹣2，2]，y∈[﹣1，1]，是以（0，1）为圆⼼，2 为半
径的下半圆，由A∩B 有两个元素，推导出y＝x+m 介于两条平⾏线l1：y＝x﹣1 和l2：y＝x+（1﹣2
）
之间，由此能求出实数m 的取值范围．
【解答】解：∵集合A＝{（x，y）|y＝x+m，m∈R}，
集合
第32⻚（共34⻚）
∴A∩B＝{（x，y）|
}，
由y＝1﹣
，得（y﹣1）2+x2＝4，x∈[﹣2，2]，y∈[﹣1，1]，是以（0，1）为圆⼼，2 为半径的下
半圆，
∵A∩B 有两个元素，
∴y＝x+m 介于两条平⾏线l1，l2之间，且与线l1，l2平⾏，
∵直线l1过点A（0，﹣1），B（2，1），∴直线l1：y＝x﹣1，
直线l2与圆相切，且CD＝DE＝2，
∴CE＝
，
∴直线l2过E（0，1﹣2
），∴直线l2：y＝x+（1﹣2
），
∴若A∩B 有两个元素，则实数m 的取值范围是（1﹣2
，﹣1]．
故答案为：（1﹣2
，﹣1]．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查圆、直线⽅程等基础知识，考查推理论证能⼒、运算求
解能⼒，考查函数与⽅程思想、数形结合思想，是中档题．
四．解答题（共3 ⼩题）
58．在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B＝∅这三个条件中任选⼀个，补充到本题
第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}．
（1）当a＝2 时，求A∪B；A∩（∁RB）；
（2）若______，求实数a 的取值范围．
【分析】（1）根据集合的基本运算即可求解．
第33⻚（共34⻚）
（2）根据题意，建⽴条件关系即可求出实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2 时，集合A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，
∴∁RB＝{x|x＞3 或x＜﹣1}，
所以A∪B＝{x|﹣1≤x≤5}；A∩（∁RB）＝{x|3＜x≤5}．
（2）若选择①，A∪B＝B，则A⊆B，
当A＝∅时，a﹣1＞2a+1 解得a＜﹣2，
当A≠∅，⼜A⊆B，B＝{x|﹣1≤x≤3}，
所以
，解得0≤a≤1，
所以实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪[0，1]．
若选择②，x∈A 是x∈B 的充分不必要条件，则A⫋B，
当A＝∅时，a﹣1＞2a+1 解得a＜﹣2，
当A≠∅，⼜A⫋B，B＝{x|﹣1≤x≤3}，
则
或
，解得0≤a≤1，
所以实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪[0，1]．
若选择③，A∩B＝∅，
当A＝∅时，a﹣1＞2a+1 解得a＜﹣2，
当A≠∅，⼜A∩B＝∅，
则
，解得a＞4，
所以实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，充分必要条件的应⽤，属于中档题．
59．已知全集U＝R，A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，B＝{
}，C＝{x|x2+（3﹣a）x﹣3a＜0}．
（Ⅰ）求A∩B，A∪B；
（Ⅱ）若（∁UA）⊆C，求实数a 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求得集合A 与B，可得A∩B，A∪B；
（Ⅱ）求得∁UA＝[﹣1，2]，C＝{x|（x+3）（x﹣a）＜0}，结合（∁UA）⊆C 可求得实数a 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），
第34⻚（共34⻚）
B＝{
}＝（﹣2，1），
A∩B＝（﹣2，﹣1），A∪B＝（﹣∞，1）∪（2，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∁UA＝[﹣1，2]，
⼜C＝{x|x2+（3﹣a）x﹣3a＜0}＝{x|（x+3）（x﹣a）＜0}，（∁UA）⊆C，
故a＞2，
即实数a 的取值范围为（2，+∞）．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，考查运算求解能⼒，属于中档题．
60．已知A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2a＜x＜a+4}．
（1）当a＝1 时，求A∩B 和A∪B；
（2）若A∩B＝∅，求实数a 的取值范围．
【分析】（1）a＝1 时，A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2＜x＜5}，由此能求出A∩B，A∪B．
（2）当B＝∅时，2a≥a+4；当B≠∅时，2a＜a+4，则a＜4，由A∩B＝∅，得
或
．由此
能求出a 的取值范围．
【解答】解：（1）a＝1 时，A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2＜x＜5}，
故A∩B＝{x|3≤x＜5}，A∪B＝{x|2＜x≤7}．
（2）∵A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2a＜x＜a+4}．A∩B＝∅，
∴当B＝∅时，2a≥a+4，则a≥4；
当B≠∅时，2a＜a+4，则a＜4，由A∩B＝∅，
得
或
解得a≤﹣1 或
，
综上可知，a 的取值范围是
．
【点评】本题考查交集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注
意交集、并集定义的合理运⽤．
声明：试题解析著作权属菁优⽹所有，未经书⾯同意，不得复制发布⽇期：2024/4/2717:34:21；⽤户：13659236337；邮箱：13659236337；学号：33232166
第14⻚（共39⻚）
集合与逻辑⽤语篇—题型06～题型10 答案
⼀．选择题（共60 ⼩题）
1．⽤集合语⾔表示右图中的阴影部分，正确的是（
）
A．∁UB
B．A∪B
C．A∩（∁UB）
D．A∩B
【分析】根据阴影部分的元素特征直接判断即可．
【解答】解：阴影部分的元素a 满⾜：a∈A 且a∉B，
∴阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
2．“新苗杯”围棋⽐赛准备在24 ⼈中挑选若⼲⼈举⾏⼀次表演赛，并商定挑选到的⼈之间进⾏单循环⽐赛
（即每两个⼈之间进⾏⼀场⽐赛），⼀场⽐赛中胜者得1 分，负者得0 分，平局则各得0.5 分，已知⽐赛
⼈数⾄少有18 ⼈，⽽最终得分不多于6 分的⼈有13 ⼈，那么得7.5 分的⼈数是（
）
A．5
B．4
C．2
D．0
【分析】根据题意求出⽐赛的场次，由每局产⽣1 分可知，所有⽐赛共产⽣的分数为153 分，将最终得
分不多于6 分的⼈有13 个⼈的分数除去后，把剩下的分数分给余下的5 ⼈，即可得出结论．
【解答】解：根据题意，⾄少要举⾏
＝153 场⽐赛，
因为每局⽐赛产⽣1 分，所以⾄少产⽣153 分，
因为最终得分不多于6 分的⼈有13 个，那么这13 ⼈最多有78 分，
所以最少有153﹣78＝75 分需要被剩下的5 ⼈分配，
得分最多者全胜可得17 分，其次是16 分，15 分，14 分，
4 ⼈得分62 分，那最后⼀⼈最少也要得13 分，
不可能得7.5 分，
所以得7.5 分的⼈有0 个，
故选：D．
【点评】本题考查合情推理，考查学⽣的推理能⼒，属于中档题．
第15⻚（共39⻚）
3．某公司共有50 ⼈，此次组织参加社会公益活动，其中参加A 项公益活动的有28 ⼈，参加B 项公益活动
的有33 ⼈，且A，B 两项公益活动都不参加的⼈数⽐都参加的⼈数的三分之⼀多1 ⼈，则只参加A 项不
参加B 项的有（
）
A．7 ⼈
B．8 ⼈
C．9 ⼈
D．10 ⼈
【分析】设A，B 两项公益活动都参加的有x ⼈，得出仅参加A，B 项和两项公益活动都不参加的⼈数，
列出⽅程，即可求解．
【解答】解：如图所示，设A，B 两项公益活动都参加的有x ⼈，
则仅参加A 项的有（28﹣x）⼈，仅参加B 项的有（33﹣x）⼈，
A，B 两项公益活动都不参加的有
⼈，
由题意得
，解得x＝18，
所以只参加A 项不参加B 项的有28﹣18＝10 ⼈．
故选：D．
【点评】本题考查集合的应⽤，属于基础题．
4．设全集U＝Z，A＝{﹣1，0，2，4，7，8}，B＝{﹣2，﹣1，1，3，4，8}，则⻙恩图中阴影部分表示的集
合是（
）
A．{﹣2，0，1，3}
B．{﹣2，1，3，4}
C．{﹣2，1，3}
D．{0，2，7}
【分析】先观察Venn 图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解
【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合B 中，但不在集合A 中．
⼜A＝{﹣1，0，2，4，7，8}，B＝{﹣2，﹣1，1，3，4，8}，
则右图中阴影部分表示的集合是：{﹣2，1，3}．
第16⻚（共39⻚）
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是Venn 图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满⾜的性质
是解答本题的关键
5．某学校⾼三教师周⼀、周⼆、周三开⻋上班的⼈数分别是8，10，14，若这三天中⾄少有⼀天开⻋上班
的职⼯⼈数是20，则这三天都开⻋上班的职⼯⼈数⾄多是（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
【分析】设周三，周⼆，周⼀开⻋上班的职⼯组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C 中元素个数分
别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n
（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）
可得．
【解答】解：设周三，周⼆，周⼀开⻋上班的职⼯组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C 中元素个
数分别为n（A），n（B），n（C），
则n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，
因为n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n
（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），
所以14+10+8﹣20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤
＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了Venn 图表达集合的关系以及运算，属中档题．
6．集合M＝{x|x2﹣x＜0}，N＝{x|2x2﹣ax﹣1＜0}，M⊆N，则实数a 的范围（
）
A．（﹣∞，1]
B．[1，+∞）
C．（0，1）
D．（﹣1，0）
【分析】本题考查集合基本运算及含参不等式的求解⽅法，属于中档题
【解答】解：M＝（0，1），设f（x）＝2x2﹣ax﹣1，要使M⊆N，则f（1）≤0，
所以2﹣a﹣1≤0，因此a≥1，
第17⻚（共39⻚）
故选：B．
【点评】运⽤函数思想求解含参不等式是本题解题的关键．
7．设集合A＝{（x，y）|y＝
}，B＝{x，y|y＝k（x﹣b）+1}，若对任意0≤k≤1 都有A∩B≠∅，则实数
b 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】依题意，可作出集合A 与集合B 中曲线的图形，依题意，数形结合即可求得实数b 的取值范围．
【解答】解：∵集合A＝{（x，y）|y＝
}，B＝{（x，y）|y＝k（x﹣b）+1}，
当0≤k≤1 时，都有A∩B≠∅，作图如下：
集合A 中的曲线为以（0，0）为圆⼼，2 为半径的上半圆，B 中的点的集合为过（b，1）斜率为k 的直线
上的点，
由图知，当k＝0 时，显然A∩B≠∅，
当k＝1，y＝（x﹣b）+1 经过点B（2，0）时，b＝3；
当k＝1，直线y＝（x﹣b）+1 与曲线y＝
相切于点A 时，由圆⼼（0，0）到该直线的距离d＝
＝2 得：
b＝1﹣2
或b＝1+2
（舍）．
∵0≤k≤1 时，都有A∩B≠∅，
∴实数b 的取值范围为：1﹣2
≤b≤3．
故选：C．
【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，考查数形结合思想的应⽤，考查作图与分析运算的能⼒，
属于中档题．
第18⻚（共39⻚）
8．已知A＝{x|
}，B＝{x|x2﹣4x﹣m≥0}，若A⊆B，则实数m 的取值范围（
）
A．[0，+∞）
B．（﹣∞，﹣3]
C．[﹣3，0]
D．（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞）
【分析】把集合A 中的不等式移项右边变为0，左边通分后，转化为x+2 与x﹣2 异号，求出不等式的解
集即可得到集合A，根据A⊆B，得到⼆次函数f（x）＝x2﹣4x﹣m 在区间（0，1）上恒正，即可求出、
得结果．
【解答】解：（1）由集合A 中的不等式：
⇔
⇔0＜x＜1，即A＝{x|0＜x＜1}；
∵A⊆B
∴令f（x）＝x2﹣4x﹣m，则f（1）≥0，
即1﹣4﹣m≥0，解得m≤﹣3．
故选：B．
【点评】此题考查了⼀元⼆次不等式的解法，考查了两集合包含关系的应⽤，体现了转化的数学思想，
是⼀道综合题．属中档题．
9．已知集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x≤a}且A⊆B，则实数a 的取值范围是（
）
A．a＞2
B．a≥2
C．a＜2
D．a≤2
【分析】由集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x≤a}且A⊆B，可得2≤a，由此得到实数a 的取值范围．
【解答】解：∵集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x≤a}且A⊆B，
∴2≤a，即a≥2，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合中参数的取值问题，集合间的关系，属于中档题．
10．已知集合A＝{x|x＜﹣1 或x≥3}，B＝{x|ax+1≤0}，若B⊆A，则实数a 的取值范围为（
）
A．{a|﹣≤a＜1}
B．{a|﹣≤a≤1}
C．{a|a＜1 或a≥0}
D．{a|﹣≤a＜0 或0＜a＜1}
【分析】分B＝∅和B≠∅，结合B⊆A 得出a 所满⾜的条件，进⽽可得出所求的答案．
【解答】解：当B＝∅时，ax+1≤0 ⽆解，此时a＝0，满⾜题意．
当B≠∅时，ax+1≤0 有解，即a≠0，
若a＞0 时，则B＝{x|x≤﹣}，
第19⻚（共39⻚）
所以要使B⊆A，需满⾜
，解得0＜a＜1；
若a＜0 时，则B＝{x|x≥﹣}，
所以要使B⊆A，需满⾜
，解得﹣≤a＜0．
综上所述，实数a 的取值范围为{a|﹣≤a＜1}．
故答案为：A．
【点评】本题考查集合间的基本关系，考查学⽣的逻辑思维能⼒和运算能⼒，属中档题．
11．已知集合A＝{x||x﹣1|≤k，k＞0}，B＝{x|﹣3≤x≤3}，若A⊆B，则k 的最⼤值是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【分析】解出集合A，由集合的包含关系可得出关于实数k 的不等式组，解之即可得出实数k 的最⼤值．
【解答】解：因为k≥0，由|x﹣1|≤k 可得﹣k≤x﹣1≤k，解得1﹣k≤x≤1+k，
即A＝{x|1﹣k≤x≤1+k，k＞0}，
⼜因为B＝{x|﹣3≤x≤3}，A⊆B，则
，解得0＜k≤2，
故k 的最⼤值为2．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于中档题．
12．设集合A＝{x|2a＜x＜a+2}，B＝{x|x＜﹣3 或x＞5}，若A∩B＝∅，则实数a 的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由A∩B＝∅，则2a≥a+2 或
，然后求解．
【解答】解：已知集合A＝{x|2a＜x＜a+2}，B＝{x|x＜﹣3 或x＞5}，
⼜A∩B＝∅，
则2a≥a+2 或
，
即a≥2 或a≤﹣5，
第20⻚（共39⻚）
则实数a 的取值范围为
．
故选：A．
【点评】本题考查了集合的运算，属中档题．
13．若x∈R，下列选项中，使“x2＜1”成⽴的⼀个必要不充分条件为（
）
A．﹣2＜x＜1
B．﹣1＜x＜1
C．0＜x＜2
D．﹣1＜x＜0
【分析】根据题意，x2＜1 等价于﹣1＜x＜1，若所求必要条件对应的范围为A，则（﹣1，1）⫋A，由此
判断即可得到本题的答案．
【解答】解：不等式x2＜1 等价于﹣1＜x＜1，
使“x2＜1”成⽴的⼀个必要不充分条件，对应的集合为A，则（﹣1，1）是A 的真⼦集，
由此对照各项，可知只有A 项符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的解法、充要条件的判断等知识，考查逻辑推理能⼒，属于基础题．
14．已知a，b∈R，则“
”是“a3＞b3”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的性质与幂函数y＝x3的单调性，对两个条件进⾏正反推理论证，即可得到本题的
答案．
【解答】解：若
，则a＞b＞0，可得a3＞b3，充分性成⽴；
若a3＞b3，则a＞b，但不⼀定a、b 都是正数，推不出
，故必要性不成⽴．
综上所述，“
”是“a3＞b3“ 的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查的知识点是不等式的基本性质、充要条件的定义与判断，同时考查了逻辑推理能
⼒，属于基础题．
15．已知曲线C：
＝1（m≠0），则“m∈（0，4）”是“曲线C 的焦点在x 轴上”的（
）
A．充分不必要条件
第21⻚（共39⻚）
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据圆锥曲线的标准⽅程，对两个条件进⾏正反推理论证，即可得到本题的答案．
【解答】解：对于曲线C：
＝1（m≠0），
当m∈（0，4）时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，充分性成⽴；
若曲线C 的焦点在x 轴上，则m＜4 且m≠0，不能推出m∈（0，4），必要性不成⽴．
因此，“m∈（0，4）”是“曲线C 的焦点在x 轴上”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的标准⽅程、充要条件的定义与判断等知识，考查逻辑推理能⼒，属于
基础题．
16．在△ABC 中，“∠ACB 是钝⻆”是“
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充要条件的定义求解．
【解答】解：
等价于
，
平⽅得
，即
，
显然A，B，C 不共线，原条件等价于∠ACB 是钝⻆，
在△ABC 中，“∠ACB 是钝⻆”是“
”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查充要条件的应⽤，属于基础题．
17．已知a＞0，b＞0，则“a+b＞2”是“ab＞1”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
第22⻚（共39⻚）
D．既不充分也不必要条件
【分析】通过举例的⽅法，以及基本不等式，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项．
【解答】解：若a＝1.5，b＝0.6，满⾜a+b＞2，但ab＜1，
若a＞0，b＞0，ab＞1，则
，即a+b＞2，
所以“a+b＞2”是“ab＞1”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
18．“φ＝0”是“函数y＝sin（2x+φ）过坐标原点”的（
）
A．充分⽽不必要条件
B．必要⽽不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据正弦函数的图象与性质，对两个条件进⾏正反推理论证，即可得到本题的答案．
【解答】解：若φ＝0，则函数y＝sin（2x+φ）＝sin2x，f（0）＝0，可知函数图象必定经过坐标原点，
可知“φ＝0”是“函数y＝sin（2x+φ）过坐标原点”的充分条件；
若函数y＝sin（2x+φ）的图象过坐标原点，将（0，0）代⼊，可得sinφ＝0，φ＝0+kπ，k∈Z，
可知“φ＝0”不是“函数y＝sin（2x+φ）过坐标原点的”必要条件．
综上所述，“φ＝0”是“函数y＝sin（2x+φ）过坐标原点的充分⽽不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质、充要条件的判断等知识，考查逻辑推理能⼒，属于基础
题．
19．已知a，b∈R，则“a＝b＝0”是“|a+b|＝0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分不必要条件的定义判断．
【解答】解：若a＝b＝0，则|a+b|＝0；
反之，当a＝﹣1，b＝1 时，符合|a+b|＝0，不能得出a＝b＝0，
即“a＝b＝0”是“|a+b|＝0”的充分不必要条件．
第23⻚（共39⻚）
故选：A．
【点评】本题考查充分不必要条件的应⽤，属于基础题．
20．“sinx0＝0“是“函数y＝tanx 的图像关于（x0，0）中⼼对称”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分⼜不必要条件
【分析】分别根据正弦函数和正切函数的图像的对称性，可得对应的x0的值，再由充分必要条件的概念，
得解．
【解答】解：若sinx0＝0，则x0＝kπ，k∈Z，
若函数y＝tanx 的图像关于（x0，0）中⼼对称，则x0＝
，k∈Z，
所以“sinx0＝0“是“函数y＝tanx 的图像关于（x0，0）中⼼对称”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，三⻆函数图像的对称性，考查逻辑推理能⼒和运算能⼒，属于
基础题．
21．设p：x＞0，q：2x＞2，则p 是q 的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】q⇒p，但p 不能推导出q，从⽽p 是q 的必要不充分条件
【解答】解：∵p：x＞0，
q：2x＞2，即x＞1，
∴q⇒p，但p 不能推导出q，
∴p 是q 的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解
能⼒，考查函数与⽅程思想，是基础题．
22．已知⾮零向量
，那么“
”是“
”的（
）
第24⻚（共39⻚）
A．充分⽽不必要条件
B．必要⽽不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】由
可得向量与平⾏且同向即可得到答案
【解答】解：由
及向量的加法法则，可得向量与平⾏且同向，且
可得向
量，平⾏且同向或者反向，
因此“
”是“
”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
23．若a＞0，b＞0，则“
”是“a+b≤1”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】举反例说明充分性不成⽴，⽽根据a＞0，b＞0，a+b≤1 得出0＜a＜1，0＜b＜1，然后即可判断
必要性是否成⽴，从⽽得出正确的选项．
【解答】解：a＝1.1，b＝0.1，满⾜
，得不出a+b≤1，充分性不成⽴；
a＞0，b＞0，a+b≤1 时，得出0＜a＜1，0＜b＜1，所以
成⽴，必要性成⽴，
所以“
”是“a+b≤1”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了充分条件和必要条件的定义，是基础题．
24．若，是平⾯上两个⾮零的向量，则“| + |＝| |+| |”是“|
|＝| || |”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】可知
时，
同向；
时，
同向或反向，然后根
第25⻚（共39⻚）
据充分条件和必要条件的定义即可得解．
【解答】解：若
则与同向，∴
，充分性成⽴；
若
则与同向或反向，反向时，
，必要性不成⽴，
∴
是
的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了向量加法的⼏何意义，向量数量积的计算公式，充分条件和必要条件的定义，是基
础题．
25．“0＜x＜1”是“|x（x﹣1）|＝x（1﹣x）”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充要条件的定义求解．
【解答】解：由“|x（x﹣1）|＝x（1﹣x）”可得：x（x﹣1）≤0，解得0≤x≤1，
则“0＜x＜1”是“|x（x﹣1）|＝x（1﹣x）”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分必要的判断，属于基础题．
26．集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜m}，若x∈B 的充分条件是x∈A，则实数m 的取值范围是（
）
A．（﹣1，2）
B．[2，+∞）
C．（﹣2，2]
D．（2，+∞）
【分析】根据充分条件的定义求解．
【解答】解：由题意，x∈B 的充分条件是x∈A，则实数m 的取值范围是[2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查充分条件的应⽤，属于基础题．
27．已知a∈R，则“0＜a＜1”是“函数f（x）＝（1﹣a）x3在R 上单调递增”的（
）
A．充分⽽不必要条件
B．必要⽽不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】若函数f（x）＝（1﹣a）x3在R 上单调递增，则1﹣a＞0，求得a＜1，再利⽤集合间的包含关
第26⻚（共39⻚）
系判断即可．
【解答】解：若函数f（x）＝（1﹣a）x3在R 上单调递增，
则1﹣a＞0，即a＜1，
因为{a|0＜a＜1}⫋{a|a＜1}，
所以“0＜a＜1”是“函数f（x）＝（1﹣a）x3在R 上单调递增”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数单调性的判断，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
28．已知a＞0，b＞0，则“a+b＞2”是“a2+b2＞2”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据基本不等式与不等式的性质，对两个条件进⾏正反推理论证，即可得到本题的答案．
【解答】解：若a＞0，b＞0，a+b＞2，则a2+b2≥
＞2，充分性成⽴；
若a2+b2＞2，可能a＝
，b＝0.1，此时a+b＜2，所以必要性不成⽴．
综上所述，“a+b＞2”是“a2+b2＞2”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查基本不等式及其应⽤、充要条件的判断等知识，考查了逻辑推理能⼒，属于中档
题．
29．“m＝﹣2”是“直线l1：mx+4y﹣6＝0 与直线l2：x+my﹣3＝0 平⾏”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据直线l1：mx+4y﹣6＝0 与直线l2：x+my﹣3＝0 平⾏，可得：m2﹣4＝0，解出并且经过验证得
出m，进⽽判断出关系．
【解答】解：由直线l1：mx+4y﹣6＝0 与直线l2：x+my﹣3＝0 平⾏，
可得：m2﹣4＝0，
解得m＝±2，经过验证m＝2 时，两条直线重合，舍去．
第27⻚（共39⻚）
∴m＝﹣2，
∴“m＝﹣2”是“直线l1：mx+4y﹣6＝0 与直线l2：x+my﹣3＝0 平⾏”的充要条件，
故选：C．
【点评】本题考查了两条直线平⾏与斜率之间的关系、简易逻辑的判定⽅法，考查了推理能⼒与计算能
⼒，属于基础题．
30．已知a，b∈R．则“a＞0 且b＞0”是“
”的（
）
A．充分⽽不必要条件
B．必要⽽不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进⾏判断即可．
【解答】解：当a＞0 且b＞0 时，
，
则
，当且仅当
，即a＝b 时取等号，
所以充分性成⽴；
当a＜0 且b＜0 时，
，
则
，当且仅当
，即a＝b 时取等号，
所以必要性不成⽴；
所以“a＞0 且b＞0”是“
”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，涉及基本不等式的应⽤，属于基础题．
31．已知向量
，则“x＜3”是“ 与的夹⻆为钝⻆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据两个向量夹⻆为钝⻆的条件，列式算出实数x 的范围，结合充要条件的定义加以判断，即
可得到本题的答案．
第28⻚（共39⻚）
【解答】解：当x＜3 时，若x＝﹣3，则
＝
，与的夹⻆为180°，可知充分性不成
⽴；
若与的夹⻆为钝⻆，则• ＜0 且x≠﹣3，解得x＜3 且x≠﹣3，所以必要性成⽴．
综上所述，“x＜3”是“ 与的夹⻆为钝⻆”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查平⾯向量的夹⻆与数量积、充要条件的判断等知识，考查逻辑推理能⼒，属于中
档题．
32．设
，则“a＞1”是“
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】化简z，求出|z|，由
求得a 的取值范围，由充分必要条件的定义即可得解．
【解答】解：因为
，所以
．
令
，解得a＞1 或a＜﹣1，
故“a＞1”是“
”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分必要条件的判断，复数的运算，考查运算求解能⼒与逻辑推理能⼒，属于基
础题．
33．“（x﹣1）2+y2≤4”是“x2+y2≤1”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】判断出两圆的位置关系，即可求解．
【解答】解：圆x2+y2≤1 内切于圆（x﹣1）2+y2≤4，
故“（x﹣1）2+y2≤4”是“x2+y2≤1”的必要不充分条件．
故选：B．
第29⻚（共39⻚）
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
34．“x2+y2≤1”是“（x﹣1）2+y2≤4”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据圆与圆的位置关系、充分和必要条件的知识确定正确答案．
【解答】解：因为圆x2+y2＝1 内切于圆（x﹣1）2+y2＝4，
所以“x2+y2≤1”是“（x﹣1）2+y2≤4”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
35．已知直线m⊥平⾯α，则“直线n∥α”是“n⊥m”的（
）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分⼜不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义以及线⾯关系判断即可．
【解答】解：当直线m⊥平⾯α时，
由“直线n∥α”能推出“n⊥m”，是充分条件，
反之，“n⊥m”推不出“直线n∥α”，⽐如n 在α上，不是必要条件，
故直线n∥α”是“n⊥m”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查线⾯关系，是基础题．
36．已知a，b 是两条不同的直线，α是平⾯，且a⊄α，b⊂α，则“a∥α”是“a∥b”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分⼜不必要条件
D．充要条件
【分析】根据空间中直线与直线的位置关系以及线⾯平⾏的判定定理，结合必要不充分条件的概念即可
得出结论．
第30⻚（共39⻚）
【解答】解：依题意得，
当a⊄α，b⊂α，a∥α时，直线a 与直线b 的位置关系为平⾏或者异⾯，
当a⊄α，b⊂α，a∥b 时，由线⾯平⾏的判定定理可得a∥α，
综上所述，“a∥α”是“a∥b”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
37．已知a，b∈R，i2＝﹣1，则“a＝b＝1”是“（a+bi）2＝2i”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】“（a+bi）2＝2i”⇔a2﹣b2+2abi＝2i⇔a2﹣b2＝0，2ab＝2⇔a＝b＝±1．即可判断出结论．
【解答】解：“（a+bi）2＝2i”⇔a2﹣b2+2abi＝2i⇔a2﹣b2＝0，2ab＝2⇔a＝b＝±1．
∴“a＝b＝1”是“（a+bi）2＝2i”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、简易逻辑的判定⽅法，考查了推理能⼒与计算能⼒，
属于基础题．
38．若
，则“xcos2x＜1”是“xcosx＜1”的（
）
A．充分⽽不必要条件
B．必要⽽不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据函数的求导和函数的单调性，进⼀步利⽤不等式的性质判断充分条件和必要条件．
【解答】解：由于xcosx＜1⇔cosx＜⇔cosx﹣
，设g（x）＝cosx
，
故
，由于该函数在（0，
）桑单调递减，且
，其
中
，不妨设
，满⾜
，则函数g（x）＝cosx﹣在（0，x0）
单调递增，在（
）单调递减，且g（x0）＝
＝cosx0﹣x0sinx0＝cosx0（1﹣x0tanx0），
第31⻚（共39⻚）
显然有x0＞1，且有x0tanx0＞tanx0＞tan45°，
所以
，即xcosx＜1 在x
上恒成⽴，另⼀⽅⾯由于xcosx＜1，
所以x•cosx•cosx＜cosx＜1，故xcos2x＜1 恒成⽴．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，函数的求导和函数的单调性的关系，充分条件和必要条
件的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒，属于基础题．
39．已知圆C：x2+y2＝1，直线l：x﹣y+c＝0，则“
”是“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于
”
的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
【分析】根据直线与圆的位置关系，对两个条件进⾏正反推理论证，即可得到本题的答案．
【解答】解：对于圆C：x2+y2＝1，圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于
，
等价于直线l：x﹣y+c＝0 到圆⼼的距离d＝
，解得c＝
．
因此，由“
”可以推出“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于
”，
反之，由“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于
”不能推出“
”．
综上所述，“
”是“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于
”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系、充要条件的定义与判断等知识，属
于中档题．
40．直线l1：（a﹣1）x+y+1＝0，l2：4x+（a+2）y﹣1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的（
）
第32⻚（共39⻚）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据两条直线平⾏与⽅程的关系，对两个条件进⾏正反推理论证，即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，当a＝2 时，直线l1：x+y+1＝0，l2：4x+4y﹣1＝0，
两条直线的斜率都为﹣1，且在y 轴上截距不相等，故l1∥l2，充分性成⽴；
反之，若l1∥l2，则（a﹣1）（a+2）＝4 且﹣（a﹣1）≠4，解得a＝2，必要性成⽴．
因此，“a＝2”是“l1∥l2”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查两条直线平⾏与⽅程的关系、充要条件的判断等知识，考查了计算能⼒、逻辑推
理能⼒，属于基础题．
41．在△ABC 中，“
”是“∠C＝
”的（
）
A．充分⽽不必要条件
B．必要⽽不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】由诱导公式，结合充分必要条件求解．
【解答】解：在△ABC 中，若
，
则
或
，
即
或
，
即不能推出∠C＝
，
若∠C＝
，
则
，
即在△ABC 中，“
”是“∠C＝
”的必要⽽不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了诱导公式，重点考查了充分必要条件，属中档题．
第33⻚（共39⻚）
42．已知直线m：（a﹣2）x+ay﹣2＝0 和直线n：x+3ay+1＝0，则“
”是“m∥n”的（
）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义与两条直线平⾏的条件，对两个条件进⾏正反推理论证，即可得到本
题的答案．
【解答】解：当
时，直线m：x+
y﹣2＝0，直线n：x+7y+1＝0，
两条直线的斜率都等于
，且在x 轴上的截距不相等，所以m∥n，充分性成⽴；
若m∥n，则3a（a﹣2）＝a 且a﹣2≠﹣2，解得
，可知必要性成⽴．
综上所述，“
”是“m∥n”的充分必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查两条直线平⾏与⽅程的关系、充要条件的定义与判断等知识，考查了计算能⼒与
逻辑推理能⼒，属于基础题．
43．已知命题“
+m≤0”是假命题，则m 的取值范围为（
）
A．[﹣2，+∞）
B．（﹣2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）
D．（﹣∞，﹣2]
【分析】∃x∈R，sin2x+2sin（
+x）+m＞0 是真命题，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求
解．
【解答】解：因为命题“
+m≤0”是假命题，
所以∃x∈R，sin2x+2sin（
+x）+m＞0 是真命题，
即∃x∈R，1﹣cos2x+2cosx+m＞0 是真命题，
整理得m+2＞（cosx﹣1）2有解，
所以m+2＞（cosx﹣1）2min＝0，
所以m+2＞0，即m＞﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题真假关系的应⽤，体现了转化思想的应⽤，属于中档题．
44．已知命题“∃x∈R，使（m﹣3）x2+（m﹣3）x+1≤0”是假命题，则实数m 的取值范围为（
）
第34⻚（共39⻚）
A．m＞7
B．3＜m＜7
C．3≤m＜7
D．m≤3
【分析】根据条件，将问题转化成（m﹣3）x2+（m﹣3）x+1＞0 恒成⽴，分m＝3 和m≠3 两种情况讨论，
即可得出结果．
【解答】由题意知，“∀x∈R，使（m﹣3）x2+（m﹣3）x+1＞0”是真命题，
当m﹣3＝0，即m＝3 时，不等式可化为1＞0，符合题意；
当m﹣3≠0，即m≠3 时，则m﹣3＞0 且Δ＝（m﹣3）2﹣4（m﹣3）＜0，解得3＜m＜7，
综上，实数m 的取值范围为3≤m＜7，
故选：C．
【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
45．若∃α∈[0，+∞），cosα＜m 为真命题，则实数m 的取值范围为（
）
A．m≥1
B．m＞1
C．m≥﹣1
D．m＞﹣1
【分析】根据已知条件，推得m＞（cosα）min．再结合三⻆函数的有界性，即可求解．
【解答】解：若∃α∈[0，+∞），cosα＜m 为真命题，则m＞（cosα）min．
因为cosα在[0，+∞）上的最⼩值为﹣1，所以m＞﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
46．若命题“∀x＜2，2x＜a”为真命题，则实数a 的取值范围为（
）
A．（﹣∞，4]
B．（﹣∞，4）
C．[4，+∞）
D．（4，+∞）
【分析】根据已知条件，推得当x＜2 时，2x＜4，即可求出a 的范围．
【解答】解：“∀x＜2，2x＜a”为真命题，当x＜2 时，2x＜4，则a≥4，
故实数a 的取值范围为[4，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
47．若命题“∃x∈R，x2+4x+t＜0“是假命题，则实数t 的最⼩值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
【分析】由已知可得∀x∈R，x2+4x+t≥0，结合⼆次函数的性质即可求解．
【解答】解：若命题∃x∈R，x2+4x+t＜0 是假命题，则∀x∈R，x2+4x+t≥0，
所以16﹣4t≤0，即t≥4，
则实数t 的最⼩值为4．
故选：C．
第35⻚（共39⻚）
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应⽤，属于基础题．
48．命题“∃x∈[﹣2，1]，x2﹣x﹣a＞0”为假命题的⼀个充分不必要条件是（
）
A．
B．a≤0
C．a≥6
D．a≥8
【分析】结合含有量词的命题的真假关系先求出a 的范围，然后结合充分必要条件检验选项即可判断．
【解答】解：若命题“∃x∈[﹣2，1]，x2﹣x﹣a＞0”为假命题，
则∀x∈[﹣2，1]，x2﹣x﹣a≤0 为真命题，
即a≥x2﹣x 对∀x∈[﹣2，1]恒成⽴，
根据⼆次函数的性质可知，当x＝﹣2 时，x2﹣x 取得最⼤值6，
故a≥6．
结合选项可知，则命题“∃x∈[﹣2，1]，x2﹣x﹣a＞0”为假命题的⼀个充分不必要条件是a≥8．
故选：D．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应⽤，属于基础题．
49．若命题“∃x∈[﹣1，2]，x2+1＞m”是真命题，则实数m 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，1）
B．（﹣∞，2）
C．（﹣∞，5）
D．（5，+∞）
【分析】根据题意，转化为不等式m＜x2+1 在x∈[﹣1，2]上有解，求得f（x）＝x2+1，x∈[﹣1，2]的最
⼤值，即可求解．
【解答】解：因为命题“∃x∈[﹣1，2]，x2+1＞m”是真命题，
可得不等式m＜x2+1 在x∈[﹣1，2]上有解，
设f（x）＝x2+1，x∈[﹣1，2]，可得f（x）max＝f（2）＝5，所以m＜5，
所以实数m 的取值范围是（﹣∞，5）．
故选：C．
【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
50．已知函数y＝f（x）的图象是连续不断的，且f（x）的两个相邻的零点是1，2，则“∃x0∈（1，2），f（x0）
＞0”是“∀x∈（1，2），f（x）＞0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】结合函数的单调性，由充分必要条件的判断⽅法求解即可．
第36⻚（共39⻚）
【解答】解：由题意知，f（1）＝f（2）＝0，对任意x∈（1，2），f（x）≠0，
⽽函数y＝f（x）的图象是连续不断的，
由∃x0∈（1，2），f（x0）＞0，可得∀x∈（1，2），f（x）＞0，充分性成⽴，
反之∀x∈（1，2），f（x）＞0，显然可推出∃x0∈（1，2），f（x0）＞0，必要性成⽴，
故∃x0∈（1，2），f（x0）＞0 是∀x∈（1，2），f（x）＞0 的充要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于中档题．
51．若命题“∀x∈[﹣1，2]，m≤x2+1”是真命题，则实数m 的取值范围是（
）
A．[1，+∞）
B．（﹣∞，2]
C．（﹣∞，1]
D．（﹣∞，5]
【分析】根据全称命题为真命题可得m≤（x2+1）min，x∈[﹣1，2]，即可求得实数m 的取值范围．
【解答】解：由“∀x∈[﹣1，2]，m≤x2+1”是真命题可知，
不等式m≤x2+1，x∈[﹣1，2]恒成⽴，因此只需m≤（x2+1）min，x∈[﹣1，2]，
易知函数y＝x2+1 在x∈[﹣1，2]上的最⼩值为1，所以m≤1．
即实数m 的取值范围是（﹣∞，1]．
故选：C．
【点评】本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
52．已知命题p：“∃x∈R，x2﹣ax+3＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意得，∀x∈R，x2﹣ax+3≥0，然后结合⼆次函数的性质即可求解．
【解答】解：因为命题p：“∃x∈R，x2﹣ax+3＜0”为假命题，
所以∀x∈R，x2﹣ax+3≥0，
所以a2﹣12≤0，
解得﹣2
．
故选：D．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
53．若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是假命题，则实数a 的取值范围为（
）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
B．（﹣∞，﹣2]
C．[2，+∞）
D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【分析】根据题意可得Δ＞0，即可求出a 的取值范围．
第37⻚（共39⻚）
【解答】解：∵∀x∈R，x2+ax+1≥0 是假命题，
∴Δ＝a2﹣4＞0
∴a＞2 或a＜﹣2，
∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
故选：A．
【点评】本题考查全称命题的定义，⼀元⼆次不等式的性质，属于基础题．
54．已知命题“
”是真命题，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1）
B．（﹣5，1）
C．（﹣5，+∞）
D．（﹣1，5）
【分析】由已知结合含有量词的命题的真假关系即可求解．
【解答】解：因为命题“
”是真命题，
所以（a﹣2）2﹣9＜0，
解得﹣1＜a＜5．
故选：D．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应⽤，属于基础题．
55．已知命题p：∀x∈R，x3+2x﹣1＞0，则¬p 为（
）
A．∃x0∈R，
B．∃x0∈R，
C．∀x∈R，x3+2x﹣1≤0
D．∀x∈R，x3+2x﹣1＜0
【分析】在给命题取否定时，需要将任意量词和存在量词互相转换，并对结论取否定．
【解答】解：将原命题的任意量词∀x∈R 换成存在量词∃x0∈R，结论中的“＞0”换成“≤0”，
就得到原命题的否定¬p 为：∃x0∈R，
，
从⽽A 正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题．
56．命题“
”的否定为（
）
A．∀x＜﹣1，
B．∀x≥﹣1，
第38⻚（共39⻚）
C．∃x≥﹣1，
D．∃x＜﹣1，
【分析】任意改存在，将结论取反，即可求解．
【解答】解：“
”的否定为：∃x＜﹣1，
．
故选：D．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
57．命题“∀x＜0，﹣x2+5x﹣6＞0”的否定为（
）
A．∀x＜0，﹣x2+5x﹣6＜0
B．∀x＜0，﹣x2+5x﹣6≤0
C．
D．
【分析】原命题是⼀个全称命题，其否定命题⼀定是⼀个特称命题，由全称命题的否定⽅法，我们易得
到答案．
【解答】解：因为命题“∀x＜0，﹣x2+5x﹣6＞0”为全称命题；
故其否定为：∃x0＜0，﹣x02+5x0﹣6≤0．
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，对命题“∃x∈A，P（X）”的否定是：“∀x∈A，￢P（X）”；对命题“∀x∈A，
P（X）”的否定是：“∃x∈A，￢P（X）”，即对特称命题的否定是⼀个全称命题，对⼀个全称命题的否定是
特称命题．
58．已知命题p：“∀x＞0，sinx+1＞0，则p 的否定是（
）
A．∀x≤0，sinx+1＞0
B．∀x≤0，sinx+1≤0
C．∃x＞0，sinx+1＜0
D．∃x＞0，sinx+1≤0
【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定．
【解答】解：p 的否定是“∃x＞0，sinx+1≤0”．
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，⽐较基础．
59．命题“∀x＞1，log3x＞0”的否定是（
）
A．∀x≤1，log3x＞0
B．∀x＞1，log3x≥0
C．∃x≤1，log3x≤0
D．∃x＞1，log3x≤0
第39⻚（共39⻚）
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可．
【解答】解：命题“∀x＞1，log3x＞0”为全称量词命题，其否定是“∃x＞1，log3x≤0”．
故选：D．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，是基础题．
60．命题“∀x＞0，x2＞2x”的否定为（
）
A．∀x＞0，x2≤2x
B．∃x＞0，x2≤2x
C．∀x＜0，x2≤2x
D．∃x＜0，x2≤2x
【分析】直接利⽤全称命题的否定形式判定选项即可．
【解答】解：由全称命题的否定形式可知：命题“∀x＞0，x2＞2x”的否定为“∃x＞0，x2≤2x”．
故选：B．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
声明：试题解析著作权属菁优⽹所有，未经书⾯同意，不得复制发布⽇期：2024/4/2717:58:49；⽤户：13659236337；邮箱：13659236337；学号：33232166
第7⻚（共20⻚）
集合与逻辑⽤语篇—题型11～题型14 答案
⼀．选择题（共26 ⼩题）
1．有下列三个命题：
①“若x+y＝0，则x，y 互为相反数”的否命题；
②“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；
③“若m≤0 或n≤0，则m+n≤0”的逆否命题．
其中真命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】根据否命题的定义写出①②中命题的否命题并判断真假，根据原命题和逆否命题的真假性关系
可得③的真假性．
【解答】解：对于①，“若x+y＝0，则x，y 互为相反数”的否命题为“若x+y≠0，则x，y 不互为相反数”；
由相反数定义可知原命题的否命题为真命题；
对于②“若a＞b，则a2＞b2”的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，
当a＝﹣2，b＝﹣1 时，a2＞b2，
∴原命题的否命题为假命题；
对于③，当m＝﹣1，n＝2 时，m+n＞0，即原命题为假命题，
∴其逆否命题为假命题；
综上所述：真命题的个数为1．
故选：B．
【点评】本题主要考查四种命题，命题真假的判断，属于基础题．
2．有下列四个命题，其中是假命题的是（
）
A．“若x+y＝0，则x，y 互为相反数”的逆命题
B．“全等三⻆形的⾯积相等”的否命题
C．“若q≤1，则x2+2x+q＝0 有实根”的逆否命题
D．“等边三⻆形的三个内⻆相等”逆命题
【分析】根据逆命题、否命题、逆否命题的定义进⾏判断即可．
【解答】解：“x+y＝0，则x，y 互为相反数”的逆命题为：x，y 互为相反数，则x+y＝0，这显然是真命题，
A 正确；
第8⻚（共20⻚）
“全等三⻆形的⾯积相等”的否命题是：不全等三⻆形的⾯积不相等，这显然是假命题，B 错误；
“q≤1，则x2+2x+q＝0 有实根”的逆否命题是：x2+2x+q＝0 没有实根，则q＞1，
由⼀元⼆次⽅程根的判别式得Δ＝4﹣4q＜0⇒q＞1，所以该命题是真命题，C 正确；
“等边三⻆形的三个内⻆相等”逆命题是：三个内⻆相等的三⻆形是等边三⻆形，这显然正确，D 正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查学⽣逻辑推理能⼒，属于基础题．
3．有下列四个命题：
①“若x+y＝0，则x，y 互为相反数”的逆命题；
②“全等三⻆形的⾯积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2+2x+q＝0 有实根”的逆否命题；
④“有些常数数列不是等⽐数列”的否定．
其中真命题为（
）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①③
【分析】根据四种命题的概念，直接进⾏判断．
【解答】解：①原命题的逆命题为：若x，y 互为相反数，则x+y＝0，是真命题；
②原命题的否命题为：若两个三⻆形不全等，则它们的⾯积不相等，是假命题；
③原命题的逆否命题为：若x2+2x+q＝0 没有实根，则q＞1．
∵当Δ＝4﹣4q＜0，即q＞1 时，⽅程没有实根，所以是真命题；
④原命题的否定为：所有的常数数列都是等⽐数列．是假命题．
综上，①③是真命题．
故选：D．
【点评】本题主要考查四种命题的形式，属简单题．
4．设a、b、c∈R，下列四个命题中真命题的是（
）
A．“若a2+b2＝0，则ab＝0”的否命题
B．“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题
C．若（a﹣1）（b﹣2）＝0，则a＝1 且b＝2
D．“若a＞b，则ac2＞bc2”的逆命题
【分析】根据四种命题的定义，依次判断选项中命题的真假，即可求解．
【解答】解：对于A，“若a2+b2＝0，则ab＝0”的否命题为“若a2+b2≠0，则ab≠0“，为假命题，故A 错误；
对于B，当a＝1，b＝﹣1 时，满⾜a＞b，但a2＝b2，
第9⻚（共20⻚）
故若a＞b，则a2＞b2为假命题，其逆否命题也为假命题，故B 错误；
对于C，（a﹣1）（b﹣2）＝0，则a＝1 或b＝2，故C 为假命题，故C 错误；
对于D，若a＞b，则ac2＞bc2”的逆命题为若ac2＞bc2，则a＞b，为真命题，故D 正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查四种命题的真假，属于基础题．
5．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y 互为倒数”的逆命题；
②“⾯积相等的三⻆形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2﹣2x+m＝0 有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题为（
）
A．①②
B．②③
C．④
D．①②③
【分析】写出命题①的逆命题，再判断真假；写出命题②的否命题，再判断真假；判断出命题③是真命
题，得到③的逆否命题也是真命题；判断出命题④是假命题，得到④的逆否命题也是假命题．
【解答】解：①的逆命题为：“若x，y 互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题；
②的否命题为：“⾯积不相等的三⻆形不是全等三⻆形”，是真命题；
命题③：当m≤1 时，Δ＝4﹣4m≥0，则x2﹣2x+m＝0 有实数解，
故③是真命题，所以它的逆否命题也是真命题；
命题④：若A∩B＝B，则B⊆A，故④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．
故选：D．
【点评】本题以命题的真假判断与应⽤为载体，考查的知识点是四种命题，属于中档题．
6．已知命题：
①若ac2＞bc2，则a＞b
②“若b＝3，则b2＝9“的逆否命题
③“若a，b 是偶数，则a+b 是偶数”的逆命题
④“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题
其中真命题的个数有（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】分别对①②③④进⾏真假判断，从⽽得到结论．
【解答】解：①若ac2＞bc2，则a＞b，为真命题．
第10⻚（共20⻚）
②“若b＝3，则b2＝9“的逆否命题为″若b2≠9，则b≠3″是真命题．
③“若a，b 是偶数，则a+b 是偶数”的逆命题为″若a+b 是偶数，则a，b 是偶数″为假命题．
④“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为″若x≠1，则x2+x﹣2≠0″是个假命题．
故真命题的个数为2 个，
故选：C．
【点评】本题重点考查了四种命题的真假判断，属于中档题．
7．已知命题p：若a＜﹣1，则a2＜1．下列说法正确的是（
）
A．命题p 是真命题
B．命题p 的否命题是“若a≥﹣1，则a2≥1”
C．命题p 的逆命题是真命题
D．命题p 的逆否命题是“若a2≥1，则a＜﹣1”
【分析】举例说明命题p 为假命题，求出命题p 的逆命题，否命题，逆否命题逐⼀判断即可得答案．
【解答】解：取a＝﹣2，但（﹣2）2＞1，所以命题p 为假命题，A 不正确；p 的否命题是“若a≥﹣1，则
a2≥1”，故B 正确；
命题p：若a＜﹣1，则a2＜1 的逆命题为：若a2＜1，则a＜﹣1，
取a＝0，但0＞﹣1，所以命题p 的逆命题为假命题，C 不正确；
命题p 的逆否命题是“若a2≥﹣1，则a≥﹣1”，D 不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了命题的真假判断，求出命题p 的逆命题，否命题，逆否命题是关键，是基础题．
8．已知命题p：∃x0∈R，使得lgcosx0＞0；命题q：∀x＜0，3x＞0，则下列命题为真命题的是（
）
A．p∧q
B．p∨（￢q）
C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q
【分析】先判断p，q 的真假，再利⽤复合命题真假性的判定⽅法得出选项．
【解答】解：命题p：∃x0∈R，使得lgcosx0＞0，
∵﹣1≤cosx≤1，
∴lgcosx≤0，
∴命题p 为假命题，
命题q：∀x＜0，3x＞0，是真命题，
∴p∧q 为假命题，p∨（￢q）为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，p∨q 为真命题，
故选：D．
【点评】本题考查符合命题真假性的判断．⼀般化为组成符合命题的基本命题真假性．考查逻辑推理，
第11⻚（共20⻚）
运算求解能⼒．
9．已知命题p：1∈Q，命题q：函数f（x）＝
的定义域是[1，+∞），则以下为真命题的是（
）
A．p∧q
B．p∨q
C．￢p∧q
D．￢p∨q
【分析】推导出命题p 是真命题，命题q 是假命题，从⽽p∧q 是假命题，p∨q 是真命题，￢p∧q 是假
命题，￢p∨q 是假命题．
【解答】解：∵命题p：1∈Q 是真命题，
命题q：函数f（x）＝
的定义域是[1，+∞）是假命题，
∴在A 中，p∧q 是假命题，故A 错误；
在B 中，p∨q 是真命题，故B 正确；
在C 中，￢p∧q 是假命题，故C 错误；
在D 中，￢p∨q 是假命题，故D 错误．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查或、且、⾮及复合命题的真假判断等基础知识，考查运算求解
能⼒，是基础题．
10．已知命题p：∀x∈N，x3＞x2，则命题￢p 为（
）
A．∀x∉N，x3＜x2
B．∃x0∈N，
＜
C．∀x∈N，x3≤x2
D．∃x0∈N，
【分析】根据全称命题的否定⽅法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案．
【解答】解：∵命题p：∀x∈N，x3＞x2，
∴￢p：∃x0∈N，
，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全（特）称命题的否定⽅法是解答的关
键．
11．在⼀次跳伞训练中，甲．⼄两位学员各跳⼀次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“⼄降落在指定
范围”，则命题“两位学员都没有降落在指定范围”可表示为（
）
A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）
C．p∨q
D．（￢p）∧（￢q）
【分析】由命题P 和命题q 写出对应的￢p 和￢q，则命题“两位学员都没有降落在指定范围”即可得到表
示．
第12⻚（共20⻚）
【解答】解：命题p 是“甲降落在指定范围”，则￢p 是“甲没降落在指定范围”，
q 是“⼄降落在指定范围”，则￢q 是“⼄没降落在指定范围”，
据题，两位学员都没有降落在指定范围，可以表示为：￢p∧￢q，
故选：D．
【点评】本题重点考查了事件的表示⽅法，对于逻辑联接词的理解与把握，属于基础题．
12．已知命题p：y＝（3a﹣1）x 是定义域上的增函数，命题q：函数y＝loga（3﹣ax）在[2，4]上是增函数．若
¬p∧q 为真命题，则实数a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，分别求出p、q 为真命题时a 的取值范围，然后根据复合命题的真假判断出p 假q
真，从⽽求出实数a 的取值范围．
【解答】解：若y＝（3a﹣1）x 是定义域上的增函数，则3a﹣1＞1，解得
；
若函数y＝loga（3﹣ax）在[2，4]上是增函数，则
，解得
．
因为¬p∧q 为真命题，所以¬p 为真命题，且q 为真命题，即p 为假命题，且q 为真命题，
因此
且
，可得
，实数a 的取值范围是
．
故选：B．
【点评】本题主要考查指数函数与对数函数的单调性、复合命题的真假判断等知识，属于中档题．
13．已知命题p：f（x）＝+
为奇函数；命题q：∀x∈（0，
），sinx＜x＜tanx，则下⾯结论正确的
是（
）
A．p∧（￢q）是真命题
B．（￢p）∨q 是真命题
C．p∧q 是假命题
D．p∨q 是假命题
【分析】对于命题p：函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，计算f（x）+f（﹣
x）即可判断出奇偶性．命题q：如图，设∠AOT＝x，OA＝1，则MP＝sinx，OM＝cosx，AT＝tanx，由图
可知：S△AOP＜S 扇形OAP＜S△OAT，即可得出结论．
【解答】解：对于命题p：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
且f（x）+f（﹣x）＝+
+
+
＝1+
﹣
＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x）．
∴f（x）为奇函数，命题p 正确．
第13⻚（共20⻚）
命题q：如图，设∠AOT＝x，OA＝1，则MP＝sinx，OM＝cosx，AT＝tanx，
由图可知：S△AOP＜S 扇形OAP＜S△OAT，∴sinx＜x＜tanx，
故命题q 正确．
由复合命题真假的判断⽅法可知：（￢p）∨q 是真命题．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的奇偶性、三⻆函数的单调性、简易逻辑的判断⽅法，考查了推理能⼒与计算
能⼒，属于中档题．
14．已知命题p：若函数f（x）＝lg（x2+ax+1）的定义域为R，则实数a∈（0，4）；命题q：“2x﹣x2≥0”是“x∈
（0，2）”的充分不必要条件，则下列命题正确的是（
）
A．p∧（￢q）
B．p∧q
C．（￢p）∧q
D．（￢p）∧（￢q）
【分析】先利⽤对数函数的性质判断命题p 的真假，再利⽤充分条件与必要条件的定义判断命题q 的真
假，最后利⽤复合命题的真假判断即可．
【解答】解：若命题p：若函数f（x）＝lg（x2+ax+1）的定义域为R，为真命题，
则有x2+ax+1＞0 恒成⽴，即Δ＝a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，
故命题p 为假命题；
因为2x﹣x2≥0，解得0≤x≤2，
所以“2x﹣x2≥0”是“x∈（0，2）”的必要不充分条件，
故命题q 为假命题，
所以p∧（￢q）为假命题，p∧q 为假命题，（￢p）∧q 为假命题，（￢p）∧（￢q）为真命题．
故选：D．
【点评】本题考查了复合命题及其真假的判断，涉及了对数函数性质的应⽤、充分条件与必要条件的判
断，解题的关键是判断出命题p 和q 的真假．
15．短道速滑队6 名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲、⼄、丙三名队员在内）进⾏冬奥会选拔，记“甲
得第⼀名”为p，“⼄得第⼆名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q 是真命题，p∧q 是假命题，（￢q）∧r 是
真命题，则选拔赛的结果为（
）
A．甲得第⼀名，⼄得第⼆名，丙得第三名
第14⻚（共20⻚）
B．甲得第⼀名，⼄没得第⼆名，丙得第三名
C．甲得第⼀名，⼄得第三名，丙得第⼆名
D．甲得第⼆名，⼄得第⼀名，丙得第三名
【分析】利⽤复合命题的真假关系，判断即可．
【解答】解：∵p∨q 是真命题，p∧q 是假命题，则p 和q ⼀真⼀假，
∵（¬q）∧r 是真命题，则q 是假命题，r 是真命题，
∴p 是真命题，q 是假命题，r 是真命题，
即甲得第⼀名，⼄没得第⼆名，丙得第三名．
故选：B．
【点评】本题主要考查了复合命题真假关系的判断，属于基础题．
16．关于某校运动会5000 ⽶决赛前三名选⼿甲、⼄、丙有如下命题：“甲得第⼀”为命题p；“⼄得第⼆”为命
题q；“丙得第三”为命题r．若p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，（￢p）∧r 为假命题，则下列说法⼀定正
确的为（
）
A．甲不是第⼀
B．⼄不是第⼆
C．丙不是第三
D．根据题设能确定甲、⼄、丙的顺序
【分析】由p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，确定p，q ⼀真⼀假，再结合命题内容，进⾏辨析即可．
【解答】解：∵p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，
∴命题p 与命题q 中，恰有⼀个为真命题，另⼀个为假命题；
（1）若命题p：“甲得第⼀”为真命题，命题q：“⼄得第⼆”为假命题，
则甲得第⼀，⼄未得第⼆，∴⼄得第三，∴命题r：“丙得第三”为假命题，
此时（¬p）∧r 为假命题满⾜题意，前三名的顺序为：甲得第⼀，丙得第⼆，⼄得第三；
（2）若命题p：“甲得第⼀”为假命题，命题q：“⼄得第⼆”为真命题，
则⼄得第⼆，甲未得第⼀，∴甲得第三，∴命题r：“丙得第三”为假命题，
此时（¬p）∧r 为假命题满⾜题意，前三名的顺序为：丙得第⼀，⼄得第⼆，甲得第三．
对于A，第（1）种情况中，甲得第⼀，满⾜题意，故A 说法不正确；
对于B，第（2）种情况中，⼄得第⼆，满⾜题意，故B 说法不正确；
对于C，（1）、（2）两种情况中，丙均不是第三，故C 说法正确；
对于D，（1）、（2）两种情况中，存在两种不同顺序，故根据题设不能确定甲、⼄、丙的顺序，故D 说法
第15⻚（共20⻚）
不正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查复合命题及其真假，考查逻辑推理能⼒，属于中档题．
17．已知函数f（x）+1 为定义在R 上的奇函数，命题p：∃x0，f（x0）＝﹣1，命题q：∀m∈R，f（m）+f
（﹣m）＝﹣2，则下列命题中为真命题的是（
）
A．p∧q
B．（￢p）∧q
C．p∧（￢q）
D．￢（p∨q）
【分析】令g（x）＝f（x）+1，然后根据g（0）以及g（﹣m）＝﹣g（m）可判断出命题p，q 的真假，
由此可判断出复合命题的真假．
【解答】解：令g（x）＝f（x）+1，所以g（x）为定义在R 上的奇函数，
所以g（0）＝f（0）+1＝0，所以f（0）＝﹣1，所以p 为真命题，￢p 为假命题，
⼜因为∀m∈R，g（﹣m）＝﹣g（m），即f（﹣m）+1＝﹣[f（m）+1]，即f（m）+f（﹣m）＝﹣2，所以q
为真命题，￢q 为假命题，
所以p∧q 为真命题，为假命题（￢p）∧q，p∧（￢q）为假命题，￢（p∨q）为假命题．
故选：A．
【点评】本题考查复合命题的真假的判断，属于基础题．
18．已知p：∀x∈R，x2+x﹣1＞0；q：∃x∈R，2x＞3x，则真命题是（
）
A．p∧q
B．p∨（￢q）
C．（￢p）∨q
D．（￢p）∧（￢q）
【分析】根据复合命题以及⼆次函数、指数函数的性质可解．
【解答】解：q：根据指数函数的性质，x＜0 时，2x＞3x，
∴∃x∈R，2x＞3x，为真命题，
p：x2+x﹣1＞0，Δ＝1+4＝5＞0，
∴y＝x2+x﹣1 在＝0 时有解，
∴∀x∈R 不能使x2﹣x﹣1＞0 成⽴，
∴p 为假命题，
∴p∧q 中，p 为假命题，A 不选，故A 错误；p∨（¬q）中，p、¬q 都为假命题，B 不选，故B 错误；（¬p）
∨q 中，两者都是真命题，
∴选C，故C 正确；（¬p）∧（¬q），¬p 为真命题，¬q 为假命题，D 不选，故D 错误．
故选C．
【点评】本题考查利⽤函数性质判断复合命题真假，属于基础题．
19．已知命题p：∃x∈R，sinx＞1；命题q：∀x∈R，e﹣x＜0，则下列命题中为真命题的是（
）
第16⻚（共20⻚）
A．p∧q
B．¬p∧q
C．¬q∧p
D．¬（p∨q）
【分析】根据正弦函数和指数函数的性质，得到命题p，q 都为假命题，再结合复合命题的真假判定⽅
法，逐项判定，即可求解．
【解答】解：由正弦函数的性质，可知：∀x∈R，﹣1≤sinx≤1，所以命题p：∃x∈R，sinx＞1 为假命题，
由指数函数的性质，可得：∀x∈R，e﹣x＞0，所以命题q：∀x∈R，e﹣x＜0 为假命题．
因此，¬p 和¬q 都是真命题，可得p∧q，¬p∧q，¬q∧p，q∨p 为假命题，只有¬（p∨q）为真命题．
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题、复合命题真假的判断、三⻆函数的性质等知识，考查了逻辑推
理能⼒，属于基础题．
20．已知命题
；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（
）
A．p∧q
B．￢p∧q
C．p∧￢q
D．￢（p∨q）
【分析】分别判断出命题p 和q 的真假，即可逐个选项进⾏判断．
【解答】解：命题
是特称命题，
因
时，
，⽆解，
所以命题p 是假命题；
命题q：∀x∈R，e|x|≥1 是全称命题，
因|x|≥0，所以e|x|≥e0＝1，所以命题q 是真命题．
所以¬p 是真命题，¬q 是假命题，
所以p∧q 是假命题，¬p∧q 是真命题，
p∧¬q 是假命题，¬（p∨q）是假命题．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：命题真假的判定，主要考查学⽣的理解能⼒和计算能⼒，属于中档题．
21．命题p：∃x∈R，sinx≥1，命题q：∀x∈（0，+∞），ex＞lnx，则下列命题为真命题的是（
）
A．p∧q
B．（¬p）∧q
C．p∧（¬q）
D．（¬p）∧（¬q）
【分析】先分别判断出命题的真假，再去判断各选项的真假．
【解答】解：取
，则sinx＝1，故命题p 为真，
y＝ex 的图象恒在y＝lnx 的图象上⽅，故命题q 为真，
所以p∧q 为真，（¬p）∧q 为假，p∧（¬q）为假，（¬p）∧（¬q）为假．
第17⻚（共20⻚）
故选：A．
【点评】本题考查了复合命题真假的判断，属基础题．
22．命题p：π＞3，q：⽅程x2﹣x+1＝0 ⽆实根，则下列命题为真命题的是（
）
A．p∧q
B．（¬p）∧q
C．p∧（¬q）
D．（¬p）∧（¬q）
【分析】根据题意，先判断p、q 的真假，再根据逻辑联结词的概念逐⼀判断，即可得到本题的答案．
【解答】解：∵π的近似值为3.14，⼤于3，
∴命题p：π＞3，为真命题，
⼜∵⽅程x2﹣x+1＝0 的根的判别式Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴⽅程x2﹣x+1＝0 ⽆实根，可知命题q 为真．
因此，p∧q 为真，（¬p）∧q 为假，p∧（¬q）为假，（¬p）∧（¬q）为假．
故选：A．
【点评】本题主要考查⼀元⼆次⽅程根的判别式、命题真假的判断及其应⽤，考查计算能⼒与逻辑推理
能⼒，属于基础题．
23．已知命题p：∃x∈（0，2），x3﹣x2﹣x+2＜0；命题q：若x+y＞4，则x＞2，y＞2．下列命题是真命题的
是（
）
A．p∧（¬q）
B．（¬p）∧（¬q）
C．p∧q
D．（¬p）∧q
【分析】判断命题p，q 的真假，再判断复合命题的真假性即可得解．
【解答】解：设f（x）＝x3﹣x2﹣x+2，则f'（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1）．
由f'（x）＞0，得
或x＞1，由f'（x）＜0，得
，
则f（x）在
和（1，+∞）上单调递增，在
上单调递减，
所以f（x）在（0，2）上的最⼩值为f（1）＝1＞0，故命题p 是假命题．
由x＝2，y＝3，得x+y＞4，则命题q 是假命题，
故p∧（¬q），p∧q，（¬p）∧q 都是假命题，
（¬p）∧（¬q）是真命题．
故选：B．
【点评】本题主要考查复合命题及其真假，考查运算求解能⼒与逻辑推理能⼒，属于中档题．
24．已知命题p：若lga+lgb＝0，则ab＝1；命题q：若sinα＝sinβ，则α＝β．则下列是真命题的是（
）
A．p∧q
B．（￢p）∧q
C．p∨q
D．（￢p）∨q
【分析】利⽤对数的运算性质及三⻆函数的值的特点，结合复合命题真假的判断即可求解．
第18⻚（共20⻚）
【解答】解：若lga+lgb＝0，
则lgab＝lg1，
所以ab＝1，
故命题p 为真命题，¬p 为假命题，
当
时，sinα＝sinβ，但α≠β，故命题q 为假命题，
所以p∨q 为真命题；p∧q 为假命题；（¬p）∧q 为假命题；（¬p）∨q 为假命题．
故选：C．
【点评】本题主要考查复合命题及其真假，属于基础题．
25．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题
，则（
）
A．“p∨q”是假命题
B．“p∧q”是真命题
C．“p∨￢q”是假命题
D．“p∧￢q”是真命题
【分析】先判断命题p、命题q 的真假，再根据复合命题的真假判定，结合选项即可求解．
【解答】解：命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，如：当x＝10 时，
不等式8＞lg10＝1 成⽴，所以p 为真命题，¬p 为假命题；
命题
，当x＝﹣2 时，不等式不成⽴，
所以q 为假命题，¬q 为真命题，
故“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，
“p∨¬q”是真命题，“p∧¬q”是真命题．
故选：D．
【点评】本题主要考查复合命题及其真假，属于基础题．
26．下列四个命题中为真命题的是（
）
A．若p∨q 为真命题，则p∧q 为真命题
B．若命题
，则¬p：∀x∉R，x2+2x+1≥0
C．a+b＝0 的充要条件是
D．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝2”的否命题为“若x2﹣3x+2≠0，则x≠2”
【分析】对于A，由复合命题的判断⽅法分析判断，对于B，将特称命题否定为全称命题即可，对于C，
举例判断，对于D，由否命题的定义分析判断即可．
【解答】解：对于A，由p∨q 为真命题可知p，q 中⾄少有⼀个真命题，所以p∧q 不⼀定为真命题，所
第19⻚（共20⻚）
以A 错误；
对于B，命题
，则¬p：∀x∈R，x2+2x+1≥0，所以B 错误；
对于C，若a＝b＝0，则满⾜a+b＝0，⽽
⽆意义，所以C 错误；
对于D，命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝2”的否命题为“若x2﹣3x+2≠0，则x≠2”，所以D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题的真假判断，属于基础题．
四．解答题（共2 ⼩题）
27．已知命题p：x∈[1，3]；命题q：m＜x≤2m+3．
（1）若命题p 是命题q 的充分条件，求m 的取值范围；
（2）当m＝2 时，已知p 且q 是假命题，p 或q 是真命题，求x 的取值范围．
【分析】（1）根据已知列出不等式组，求解即可得出答案；
（2）由已知可得q：2＜x≤7，命题p 与命题q ⼀真⼀假．分为p 真q 假，以及p 假q 真，分别求解，即
可得出答案．
【解答】解：（1）由已知可得，
，解得0≤m＜1，即m 的取值范围是[0，1）；
（2）当m＝2 时，命题q：2＜x≤7．
因为p 且q 是假命题，p 或q 是真命题，
所以，命题p 与命题q ⼀真⼀假．
当p 真q 假时，
有
或
，
所以有1≤x≤2；
当p 假q 真时，
有
或
，
所以有3＜x≤7．
综上所述，x 的取值范围是[1，2]∪（3，7]．
【点评】本题考查命题真假的应⽤，属于基础题．
28．已知命题p：∀x∈{x|0≤x≤1}，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+a+2＝0，若命题p，q ⼀真⼀假，求实
数a 的取值范围．
第20⻚（共20⻚）
【分析】先分别求出p，q 为真命题时a 的范围，然后结合复合命题的真假关系即可求解．
【解答】解：由p：∀x∈{x|0≤x≤1}，x2﹣a≥0 为真命题，
则a≤x2对任意x∈{x|0≤x≤1}恒成⽴，所以a≤（x2）min，即a≤0，
由命题q：∃x∈R，x2+2ax+a+2＝0 为真命题，则⽅程x2+2ax+a+2＝0 有实数解，
即Δ＝4a2﹣4（a+2）≥0，所以a≤﹣1 或a≥2．
因为命题p，q ⼀真⼀假，
（1）p 真q 假时，
，解得，﹣1＜a≤0，
（2）p 假q 真时，
，解得，a≥2，
综上，实数a 的取值范围{a|﹣1＜a≤0 或a≥2}．
【点评】本题主要考查了复合命题真假关系的应⽤，属于基础题．
声明：试题解析著作权属菁优⽹所有，未经书⾯同意，不得复制发布⽇期：2024/4/2718:14:46；⽤户：13659236337；邮箱：13659236337；学号：33232166
