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《数学》三色速记手册
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第一部分 数学学科知识
第一章 中学数学基础知识
【考点一】集合
集合的基本概念
1、集合的含义：由一些对象组成的一个整体称为集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合中的元素的三个特性
确定性，互异性，无序性
3、集合的表示
列举法，描述法，Venn图
集合的基本关系
1、元素与集合的关系
属于∈不属于
2、集合与集合的关系
集合的基本运算
【考点二】简易逻辑
逻辑联结词：或 且 非 p命题：x=0，q命题：y=0
简单命题+逻辑联结词=复合命题
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命题
定义：可以判断真假的陈述句叫做命题。（根据命题可知一个命题不是真命题就是假命题）
命题的四种形式与相互关系：
注：互为逆否命题的两个命题同真同假。
互为逆命题或否命题的两个命题真假互不相关。
充要条件
常用逻辑用语—量词
“任意一个”“一切”等表示整体或全部的含义，这样的词叫做全称量词，表示符号： 。
含有全称量词的命题叫全称命题。
“存在一个”“至少有一个”等表示个别或一部分的含义，这样的词叫做存在量词，表示符
号： 。含有存在量词的命题叫特称命题。
所有正方形都是矩形。
每一个有理数都能写成分数的形式。
有些三角形是直角三角形。
存在一个实数x，使得x2+x-1=0。
全称命题与特称命题的否定（非否命题-注意区分）
技巧：改量词，只否定结论
写出下面命题的否命题
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【考点三】算法初步
程序框图
图形符号 名称 符号表示的意义
起、止框 框图的起始和结束
输入、输出框 数据的输入或者结果的输出
执行框 赋值、执行计算语句、结果的传送
判断框 判断条件是否成立
流程图 连接程序框，表示算法的流程
程序框图的三种基本逻辑结构
顺序结构：是由若干个依次执行的步骤组成的。
条件结构：是指包含条件框，用来判断条件是否成立的结构。
循环结构：是指按照某种条件反复执行某些步骤的结构，在循环结构中反复执行的步骤为
循环体，一般来说，循环结构中心包含有条件结构。
【考点四】函数的概念与性质
一、函数的定义
二、函数的基本性质
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奇偶性
函数y=f（x）中，如果对于函数定义域内任意一个x，有f（-x）=－f（x），则称函数f（x）
为奇函数。
若f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
判断方法：
1、定义法：
a.求出定义
b.判断定义域是否关于原点对称
c.求f（-x）并比较f（-x）与f（x）或f（-x）与-f（x）
2、图形法：
奇函数图形在其定义域内关于原点对称，偶函数图像在其定义域内关于y轴对称。奇偶函数
定义域都关于原点对称。
单调性
定义：设f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
x1，x2，当x1<x2时，都有f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2）），那么就说函数f（x）
在区间D上是增（减）函数。
判断方法：
1、定义法：
A.设x1，x2∈I，且x1<x2
B.作差
C.判断正负号
2、导数方法：
若f（x）在某区间I内有导数，则
在I内为增函数，反之亦然。
周期性
定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做
周期函数， T叫做这个函数的一个周期。
三、反函数
求反函数
1、先求出原函数的值域，因为原函数的值域就是反函数的定义域。（函数的三要素是定义
域，值域，对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步）
2、反解x，也就是用y来表示x。
3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x。
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4、写出反函数及其定义域。
【考点五】基本初等函数
一、指数函数
指数函数图象的特点
指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0＜c＜d＜
1＜a＜b。
在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；
既无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
二、对数函数
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同真数的对数值大小关系如图
三、幂函数
三、幂函数
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞） {x|x∈R且x≠0}
值域 R [0，＋∞） R [0，＋∞） {y|y∈R且y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
x∈[0，＋∞） x∈（0，＋∞）
单调性 增 时，增； 增 增 时，减；
x∈（－∞，0] x∈（－∞，0）
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时，减 时，减
【考点六】三角函数
（一）三角函数的图象与性质
2、三角函数的图象及常用性质
3、三角函数的两种常见变换
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余弦定理的推导——几何法
余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。
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【考点七】导数及公式
【考点八】方程
一元三次方程
由此可得一元三次方程根与系数的关系为：
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【考点九】不等式的证明
基本不等式的几何解释
不等式常用的证明方法
不等式常用的证明方法有比较法、综合法、分析法和反证法。
比较法：做差法和做商法
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b⇔a－b＞0；a＜b⇔a－b＜0；
a＝b⇔a－b＝0。
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论。
综合法：
是从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明
的命题。
思维过程：“执因索果”
适用题型：当所证的不等式的条件形式或不等式两端的形式与不等式的性质、定理有直接
联系时，常常采用综合法证明不等式。
分析法：
分析法是从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立
的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立，或由已知证明成立，从而确定所证的命题
成立的一种方法。
思维过程：“执果索因”
适用题型：当所证的不等式的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明不等式。
反证法
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反证法：有些不等式无法利用题设已知条件直接证明，可以利用反证法去证明，即否定原结
论---导出矛盾---肯定原结论
【考点十】数列
一、等差数列
定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就
叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母d表示。
等差数列的通项公式
二、等比数列
定义
一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于一个常数，那么这
个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用q来表示。
等比数列的判定
三、数列求和的几种常用方法
裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。常用
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裂项形式有：
【考点十一】零点定理及二分法
尝试与发现：如图3-2-6所示，已知A、B都是函数y=f（x’）图像上的点，而且函数图像
是连接A，B两点的连续不断的线，作出3种y=f（x）的可能的图像。
判断f（x）是否一定存在零点，总结出一般规律。
一般地，求x 的近似值，可以通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间来
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实现，具体计算过程可用如下表格表示。
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