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专题10 不等式（组）及其应用
（4 考点40 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点 01 不等式
的性质
基础高频考点，结合无理数估算、生
活对话场景命题，核心考查不等式性
质的理解与变形应用，侧重性质的灵
活迁移与实际场景适配。
情境创新：脱离纯理论考查，结合估
算、生活对话入题；
考法灵活：弱化机械记忆，强化场景
中性质的反向应用与辨析。
考点 02 解一元
一次不等式
核心必考考点，常融合二次根式、分
式方程、象限坐标、函数定义域等命
题，考查不等式求解、解集规范表示，
侧重解题严谨性与知识点综合。
融合创新：联动根式、分式、坐标多
知识点复合考查；
易错点强化：重点考查解集范围的边
界判定与无意义取值规避。
考点 03 一元一
次不等式的应用
核心压轴考点，结合叠放物品、采购
费用、电梯载重、物资运输、方案优
化等真实场景，考查列不等式建模求
解，侧重实际问题转化与方案设计。
情境多元创新：覆盖生活实物、农商
运输、非遗采购等真实场景；
考法升级：新增方案枚举、最值择优、
整数解设计等应用型题型。
考点 04 一元一
次不等式组
基础必考题型，考查不等式组求解、
解集数轴表示，常结合幂运算、根式
计算、分式化简综合命题，侧重解集
公共部分判定与解题规范性。
综合创新：融合多知识点混合运算；
规范强化：重点考查数轴表示的规范
性与解集取法的严谨性，弱化单纯计
算。
考点01 不等式的性质
1．（2026·天津·中考真题）估计1
11
+
的值在（ ）
A．2 和3之间
B．3和4 之间
C．4 和5之间
D．5和6 之间
【答案】C
2 / 22
【分析】先估算出11 的取值范围，再对不等式两边加1，即可得到1
11
+
的范围．
【详解】解：
9 11 16
9
11
16
，即3
11
4
不等式两边同时加1，得3 1 1
11
4 1
+ +
+ ，即4
1
11
5
+
因此1
11
+
的值在4 和5之间．
2．（2026·江苏连云港·中考真题）已知
9
5
p =
+
，以下对p 的值估算正确的是（ ）
A．3
4
p
B．4
5
p
C．5
6
p
D．6
7
p
【答案】C
【分析】先化简p ，再估算无理数5 的取值范围，即可推得p 的范围，得到正确结果．
【详解】解：
9
5
p =
+
，且9
3
=
3
5
p
=
+
，
4
5
9
，即2
5
3
，
不等式三边同时加3，得2
3
3
5
3
3
+
+
+ ，即5
6
p
．
3．（2026·四川广安·中考真题）根据图中对话内容，选择恰当的选项（ ）
A．m
n
，
7
7
m
n
+
+
B．m
n
，7
7
m
n
C．m
n
，7
7
m
n
D．m
n
，
7
7
m
n
+
+
【答案】B
【详解】解：根据图片对话，每天记的英语单词个数可得m
n
，7 天记的英语单词个数可得7
7
m
n
．
考点02 解一元一次不等式
1．（2026·四川内江·中考真题）下列实数中，能使函数
3
y
x
−
=
有意义的x 的值是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】D
【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出x 的取值范围，再判断选项即可．
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【详解】解：由题意得，3
0
x
−
，
3
x
，
∴四个选项中，只有D 选项中的2 满足题意．
2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x 的分式方程2
2
1
3
3
m
x
x
x
−
−=
−
−
的解为正数，那么实数m 的取
值范围是（ ）
A．
5
m
且
8
m
B．
1
m 且
7
m
C．
5
m
D．
5
m
且
4
m
−
【答案】A
【分析】先解分式方程得到x 关于m 的表达式，再结合解为正数、分式分母不为零两个条件，列不等式求
解即可得到m 的取值范围．
【详解】解：原方程2
2
1
3
3
m
x
x
x
−
−=
−
−
，变形得2
2
1
3
3
m
x
x
x
−
−= −
−
−，
方程两边同乘(
)
3
x −
得：(
) (
)
2
3
2
m
x
x
−
−
−
= −
，
展开整理得：
5
x
m
=
−，
∵分式方程分母不能为0，
∴
3
x ，即
5
3
m−
，解得
8
m
，
∵方程的解是正数，∴
0
x
，即
5
0
m−
，解得
5
m
，
综上，实数m 的取值范围是
5
m
且
8
m
．
3．（2026·四川遂宁·中考真题）关于x 的不等式组
2
3
1
x
x
x
k
−
−
+
的解集在数轴上的表示如图所示，则k 的值为
（ ）
A．2
−
B．1
−
C．3
D．4
【答案】B
【分析】分别解两个不等式得到 x 的取值范围，结合数轴上表示的解集
3
2
x
−
，建立关于 k 的方程
求解即可．
【详解】解：解不等式 2
3
x
x−
，
得
3
x −，
解不等式
1
x
k
−+
，
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移项得
1
x
k
−
−
，
系数化为1 得
1
x
k
−
，
不等式组的解集为3
1
x
k
−
−
，
由数轴可知，不等式组的解集为3
2
x
−
，
1
2
k
−
=
，
解得
1
k = −．
4．（2026·新疆·中考真题）不等式2
3 1
x−的解集为（ ）
A．
1
x
−
B．
1
x −
C．
2
x
D．
2
x
【答案】D
【详解】解：2
3 1
x−
移项得，2
1 3
x + ,
合并同类项得，2
4
x
,
解得
2
x
,
∴不等式的解集为
2
x
．
5．（2026·四川乐山·中考真题）下列各数是不等式
1
0
x−
的解的是（ ）
A．2
B．1
C．0
D．1
−
【答案】A
【详解】解：
1
0
x−
移项可得
1
x ，
∴四个选项中只有A 选项中的数是原不等式的解．
6．（2026·云南·中考真题）若
10
x −
在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围为（ ）
A．
4
x
B．
3
x
C．
3
x
D．
10
x
【答案】D
【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可得到结果．
【详解】解：由题意得：
10
0
x−
，解得
10
x
．
7．（2026·四川遂宁·中考真题）已知点
(
2, 1)
P a +
−
是第三象限内一点，则a 的取值范围是（ ）
A．
2
a
B．
2
a
−
C．
2
a
−
D．
2
a −
【答案】C
【分析】利用第三象限点横纵坐标均为负数的性质，列不等式求解即可得到a 的取值范围.
【详解】解：∵第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，点(
)
2, 1
P a +
−
在第三象限，
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∴
2
0
a +
，
解得
2
a −.
8．（2026·重庆·中考真题）若实数x ，y 同时满足
2
6
x
y
−
+
=
，
2
13
x
y
−
=
，则xy 的值为____．
【答案】21
−
【分析】根据
2
6
x
y
−
+
= 得到
2
6
y
x
+
=
−，由绝对值的非负性推出
6
x
，则可推出
2
13
x
y
=
+
，进而得到
2
2
7
y
y
+
=
+ ，解方程求出y 的值，进而求出x 的值，最后代入求值即可．
【详解】解：∵
2
6
x
y
−
+
= ，
∴
2
6
y
x
+
=
−，
∵
2
0
+
y
，
∴
6
0
x−
，
∴
6
x
；
∵
2
13
x
y
−
=
，
∴
2
13
−
=
x
y
，
∴
2
13
x
y
=
+
，
∴
2
2
13 6
y
y
+
=
+
−，
∴
2
2
7
y
y
+
=
+ ，
∴
2
2
7
y
y
+
=
+ 或
(
)
2
2
7
y
y
+
= −
+
，
解得
5
y = −或
3
y
−
=
，
当
5
y = −时，
(
)
2
5
13
3
6
x =
−
+
= ，此时不满足题意；
当
3
y
−
=
时，
(
)
2
3
13
7
6
x =
−
+
=
，此时满足题意；
∴
(
)
7
3
21
xy = −
= −
．
9．（2026·四川泸州·中考真题）函数
5
y
x
=
−的自变量x 的取值范围是____________．
【答案】
5
x
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式，解不等式即可得到自变量的取值范围
【详解】解：由题意得，
5
0
x−，
解得，
5
x
10．（2026·新疆·中考真题）若
1
x−在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围为____________．
6 / 22
【答案】
1
x
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可得到结果．
【详解】解：若
1
x −在实数范围内有意义，则二次根式的被开方数为非负数，即
1
0
x−
，
解得
1
x ．
11．（2026·山东烟台·中考真题）若
2
1
x
x −在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是__________．
【答案】
1
2
x
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可得被开方数大于0，据此列不等式求解即可.
【详解】解：∵
2
1
x
x −在实数范围内有意义，
∴2
1
0
x−
，
移项得2
1
x ，
系数化为1得
1
2
x
12．（2026·内蒙古·中考真题）对于一次函数
(
1)
y
k
x
k
=
+
−
（k 是常数，且
1
k −），下列结论：
①点(1,1) 在此函数图象上；
②当
1
k = 且
0
y
时，
1
2
x
；
③当
0
k
时，y 随x 的增大而减小．
其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②
【分析】对三个结论逐一验证判断，①将点的横坐标代入函数解析式，计算纵坐标验证，②代入k 的值得到
函数解析式，解不等式判断结论，③根据一次函数的增减性与一次项系数的符号关系判断结论．
【详解】解：对于①，将
1
x = 代入
(
)1
y
k
x
k
=
+
−
，得
(
)1
1
1
1
y
k
k
k
k
=
+
−
=
+ −
= ，所以点(
)
1,1 在此函数
图象上，故①正确．
对于②，当
1
k = 时，函数解析式为
(
)
1 1
1
2
1
y
x
x
=
+
−=
−，当
0
y
时，得不等式2
1
0
x−
，移项得2
1
x ，
系数化为1得
1
2
x
，故②正确．
对于③，一次函数
(
)1
y
k
x
k
=
+
−
的增减性由一次项系数
1
k + 决定，当
0
k
时，若1
0
k
−
，则
1
0
k +
，
此时y 随x 的增大而增大，只有当
1
0
k +
即
1
k −时，y 才随x 的增大而减小，故③错误．
故正确的结论是：①②．
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13．（2026·江苏连云港·中考真题）不等式
1
0
x−
的解集是___________．
【答案】
1
x
【分析】本题考查了解一元一次不等式，本题是一元一次不等式基础型，只需要进行移项，注意移项时该
项的符号要改变．
【详解】解：
1
0
x−
，
移项，得：
1
x ．
故答案是：
1
x ．
14．（2026·四川攀枝花·中考真题）一个整数x 满足
3
x
，写出一个这样的整数：_______．
【答案】1（答案不唯一，2, 1,0,2
−
−
都正确）
【分析】先根据绝对值的性质解绝对值不等式，得到x 的取值范围，再找出范围内的整数，任选一个作答即
可．
【详解】解：解不等式
3
x
得，3
3
x
−
，
∴该范围内的整数为2, 1,0,1,2
−
−
，
∴写出一个这样的整数：1（答案不唯一）．
15．（2026·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，若点(
)
3,2
−
向右平移m 个单位长度后落在第一象限，
请写出一个满足条件的m 的值_______．
【答案】
4 （答案不唯一，任意满足
3
m
的值均可）
【分析】根据点的平移规律得到平移后点的坐标，结合第一象限内点的坐标特征得到m 的取值范围，即可
写出满足条件的m 的值．
【详解】解：点(
)
3,2
−
向右平移m 个单位长度后，得到的点的坐标为(
)
3
,2
m
−+
，
∵第一象限内点的横坐标大于0 ，纵坐标大于0 ，该点纵坐标为2
0
，
∴可得3
0
m
−+
解得
3
m
取
4
m =
（答案不唯一）．
16．（2026·吉林·中考真题）不等式
2
5
x +
的解集为__________．
【答案】
3
x
【详解】解：
2
5
x +
移项，得
5 2
x −，
8 / 22
合并同类项，得
3
x ，
故解集为
3
x ．
17．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的图象经过点(
)
2, 1
−
−
和(
)
15, ．
(1)求k ，b 的值；
(2)当2
1
x
−
时，对于x 的每一个值，函数
(
)
0
y
mx m
=
的值小于函数y
kx
b
=
+
的值，直接写出m 的取值
范围．
【答案】(1)k 的值为2，b 的值为3
(2) 1
5
2
m
【分析】（1）将两点坐标代入一次函数解析式，构建二元一次方程组，解方程组求出k ，b ；
（2）先写出一次函数解析式，整理不等式
2
3
mx
x
+ ，分
2
m
、
2
m
、
2
m =
三类讨论，结合x 的取值
范围列不等式求解，合并得到m 的范围．
【详解】（1）解：
函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的图象经过点(
)
2, 1
−
−
和(
)
15, ，
2
1
5
k
b
k
b
−
+
= −
+
=
，
解得
2
3
k
b
=
=
，
k
的值为2，b 的值为3；
（2）由（1）可得，函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的解析式为：
2
3
y
x
=
+ ，
∵当2
1
x
−
时，对于x 的每一个值，函数
(
)
0
y
mx m
=
的值小于函数
2
3
y
x
=
+ 的值，
∴当2
1
x
−
时，
2
3
mx
x
+ ，即(
)
2
3
m
x
−
，
∵当
2
m
时，
3
2
x
m
−
，
∴
3
2
2
m
−
−
，
解得1
2
2
m
，
∵当
2
m
时，
3
2
x
m
−
，
∴
3
1
2
m
−
，
解得2
5
m
，
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∵当
2
m =
时，(
)
2
2
3
x
−
恒成立，
∴
2
m =
符合题意，
综上所述：1
5
2
m
．
18．（2026·河南·中考真题）按要求解答下列问题：
(1)计算：(
)
0
1
1
3
π
2
4
−
−
−
+
．
(2)解不等式组：3
1
2
2
5
3
x
x
x
−
+
+
①
②
完成以下解答过程．
（ⅰ）解不等式①，得_________．
（ⅱ）解不等式②，得_________．
（ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
（ⅳ）所以，原不等式组的解集是_____．
【答案】(1)1
(2)（i）
1
x （ii）
2
x −
（iii）
（iv）2
1
x
−
【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，然后计算加减即可；
（2）根据解不等式组的步骤作答即可．
【详解】（1）解：原式
1
1
1
2
2
= −
+
1
= ；
（2）略．
19．（2026·天津·中考真题）解不等式组
2
3
3
4
x
x
x
x
−
−
①
②
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得 ；
10 /
(2)解不等式②，得 ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为 ．
【答案】(1)
3
x −
(2)
2
x
(3)如图：
(4) 3
2
x
−
【分析】（1）利用解一元一次不等式的方法求解即可；
（2）利用解一元一次不等式的方法求解即可；
（3）利用两个不等式的解画图即可；
（4）根据数轴即可写出原不等式组的解集．
【详解】（1）解：2
3
x
x−
，
移项，得2
3
x
x
−
−
，
合并，得
3
x −；
（2）解：3
4
x
x
−
，
移项，得3
4
x
x
−
，
合并，得2
4
x
，
系数化为1，得
2
x
；
（3）略
（4）解：由数轴可知，不等式组的解集为3
2
x
−
．
20．（2026·四川攀枝花·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来：2
3
3
2
3
2
x
x
−
−
．
【答案】
0
x
，
【分析】第一步利用不等式的性质，两边同乘分母的最小公倍数6 去分母，注意不等号方向是否改变．去
分母后得到整式不等式，所以接下来按照去括号、移项、合并同类项的步骤化简不等式．化简得到系数不
为1 的一元一次不等式后，将未知数系数化为1，此时系数为负数，需要改变不等号的方向，最终得到解集．得
到解集后，按照数轴表示解集的规则，对应画出解集的范围．
【详解】解：去分母：
(
)
(
)
2 2
3
3 3
2
x
x
−
−
，
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11 /
去括号： 4
6
9
6
x
x
−
−
，
移项： 4
9
6 6
x
x
−
−
+ ，
合并同类项：
5
0
x
−
，
系数化为1：
0
x
，
把解集在数轴上表示不等式的解集略．
21．（2026·江西·中考真题）按要求解答：
(1)计算：
(
)
2
1
1
2
1
2
−+ −
−−
；
(2)解不等式：3
1
2
x
x
−
．
【答案】(1)1
(2)
1
x
【详解】（1）解：原式
1
1
1
2
2
=
+ −
1
= ．
（2）解：去分母得：3
1
2
x
x
−
，
移项得：3
2
1
x
x
−
，
合并同类项：
1
x ．
22．（2026·广西·中考真题）计算和解不等式
(1)计算：
(
)
9
4
2
+ −
；
(2)解不等式：2
1
5
x −
．
【答案】(1)1
(2)
3
x
【详解】（1）解：
(
)
9
4
2
+ −
9 8
= −
1
= ；
（2）解：2
1
5
x −
移项得，2
5
1
x
+ ，
合并同类项得，2
6
x
，
系数化成1 得
3
x ．
12 /
考点03 一元一次不等式的应用
1．（2026·四川遂宁·中考真题）值日生小明整理同学们的水杯时发现：把同一款杯子整齐地叠放，4 个杯子
叠放成一摞的总高度为14cm，9 个杯子叠放成一摞的总高度为24cm ，如图所示．请问将50 个这款杯子放
在限高45cm 的摆放区，至少需要叠放________摞．
【答案】3
【分析】设每个杯子的高为cm
a
，每多叠一个杯子增加的高度为cm
b
，根据“4 个杯子叠放成一摞的总高度
为14cm，9 个杯子叠放成一摞的总高度为24cm ”可列二元一次方程组
3
14
8
24
a
b
a
b
+
=
+
=
，求得
8
2
a
b
=
=
，由此可得
n 个杯子叠放的高度公式为
(
)
2
6 cm
h
n
=
+
，再根据高度不超过45cm 列不等式求出n 的最大值即可求解．
【详解】解：设每个杯子的高为cm
a
，每多叠一个杯子增加的高度为cm
b
，根据题意得：
3
14
8
24
a
b
a
b
+
=
+
=
，
解得
8
2
a
b
=
=
，
∴n 个杯子叠放的高度公式为
(
)
2
6 cm
h
n
=
+
，
又每一摞的总高度不超过45cm ，
∴2
6
45
n+
，
解得
19.5
n
，
因为n 是整数，所以一摞最多放19 个杯，
50 19
2
=
（摞）
12 （个），
剩下的12 个还需要1 摞，所以至少需要2 1
3
+ = （摞）．
2．（2026·贵州·中考真题）亚洲体操锦标赛于2026 年6 月18日在贵州遵义举行，“红色旅游+体育赛事”为黔
北地区旅游产业发展带来了机遇．某旅游公司计划购进A ，B 两种以“遵义会议”为主题的纪念品赠送给游
客．已知A 种物品的单价比B 种物品的单价多20 元，用1200元采购A 种物品的数量与用800 元采购B 种物
品的数量相同．
学科网（北京）股份有限公司
13 /
(1)求A ，B 两种物品的单价各是多少元？
(2)该公司计划购进这两种物品共700 个，当购买A 种物品的费用不超过购买B 种物品的费用的2 倍时，A 种
物品最多能购进多少个？
【答案】(1)
A 种物品单价为60 元，B种物品单价为40 元
(2)
A 种物品最多能购进400 个
【分析】（1）设A 种物品单价为x 元，B种物品单价为(
)
20
x −
元，列分式方程求解即可；
（2）设购买A 种物品y 个，则购买B种物品(
)
700
y
−
个，根据购买A 种物品的费用不超过购买B 种物品费
用的2 倍，列不等式求解．
【详解】（1）解：设A 种物品单价为x 元，B种物品单价为(
)
20
x −
元，
根据题意可得：1200
800
20
x
x
=
−
，
解得：
60
x =
，
经检验，
60
x =
是所列分式方程的解，
20
60 20
40
x
−
=
−
=
，
答：A 种物品单价为60 元，B种物品单价为40 元；
（2）解：设购买A 种物品y 个，则购买B种物品(
)
700
y
−
个，
根据题意可得：
(
)
60
2 40 700
y
y
−
，
解得：
400
y
，
答：A 种物品最多能购进400 个．
3．（2026·内蒙古·中考真题）某超市的一部货运电梯的额定载重量为1000 千克，甲、乙两位搬运师傅用这
部电梯搬运货物上楼，两位师傅每次都和货物一起乘梯，已知甲、乙两位师傅的身体质量分别为75 千克和
65 千克．（不考虑空间因素）
14 /
(1)现有一批货物质量共3000 千克，两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要多少次？请说明理由；
(2)若该超市购进大量A，B 两种货物，A 种货物每箱的质量为100 千克，B 种货物每箱的质量为80 千克．为
了尽快搬运上楼，这两位师傅决定满载搬运，有哪几种满载搬运的搭配方案？
【答案】(1)至少需要4 次，理由如下：
设至少需要x 次，由题意得：(
)
1000
75 65
3000
x
−
−
，
解得
21
3 43
x
，
∵x 为正整数，
∴x 取4 ，
答：两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要4 次；
(2)共有2 种满载搭配方案：方案一：A 种货物3 箱，B 种货物7 箱；方案二：A 种货物7 箱，B 种货物2
箱
【分析】（1）设至少需要x 次，根据“ x 次搬运的货物总质量大于等于货物总质量” 建立不等式求解即可；
（2）设搬运A 种货物m 箱，B 种货物n 箱，（
,
m n 为非负整数），根据题意建立二元一次方程，然后求其非
负整数解即可．
【详解】（1）略
（2）解：设搬运A 种货物m 箱，B 种货物n 箱，（
,
m n 为非负整数）
由题意得，100
80
75 65 1000
m
n
+
+
+
=
，
化简得：5
4
43
m
n
+
=
，
∵
,
m n 为非负整数，
∴解得
3
7
m
n
=
=
或
7
2
m
n
=
=
，
因此共有2 种满载搭配方案：方案一：A 种货物3 箱，B 种货物7 箱；方案二：A 种货物7 箱，B 种货物2
箱．
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15 /
4．（2026·四川广安·中考真题）某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B 两地收到
社会各界人士所捐物资共400 吨．据统计，A 地收到物资吨数的3 倍与B地收到物资吨数的5 倍相等．现
要把这批物资全部运往受灾的C，D 两地．从A 地运往C，D 两地的费用分别为15 元/吨和20 元/吨；从B
地运往C，D 两地的费用分别为12 元/吨和18 元/吨；现C 地需物资180 吨，D 地需物资220 吨．
(1)分别求出A，B两地各收到多少吨物资；
(2)请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用．
【答案】(1)A 地收到250 吨物资，B 地收到150 吨物资．
(2)从A 地运往C 地30 吨，运往D 地220 吨，从B 地运往C 地150 吨，运往D 地0 吨时，总运费最少，最
少费用为6650 元．
【分析】（1）设A 地收到x 吨物资，B 地收到y 吨物资．然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设总费用为W 元，从A 地运往C 地m 吨，则运往D 地(
)
250
m
−
吨，B 地运往C 地(
)
180
m
−
吨，运往
D 地(
)
30
m−
吨，易得
6620
W
m
=
+
、30
180
m
再利用一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设A 地收到x 吨物资，B 地收到y 吨物资．
由题意得：
400
3
5
x
y
x
y
+
=
=
，解得：
250
150
x
y
=
=
．
答：A 地收到250 吨物资，B 地收到150 吨物资．
（2）解：设总费用为W 元，从A 地运往C 地m 吨，则运往D 地(
)
250
m
−
吨，B 地运往C 地(
)
180
m
−
吨，
运往D 地(
)
30
m−
吨，
由题意得：
(
)
(
)
(
)
15
20 250
12 180
18
30
6620
W
m
m
m
m
m
=
+
−
+
−
+
−
=
+
，
0,
250
0
180
0
30
0
m
m
m
m
−
−
−
30
180
m
1
0
k =
∴W 随m 的增大而增大，
当
30
m =
，总费用最少，
30
6620
6650
W =
+
=
元．
16 /
250
220
m
−
=
，180
150
m
−
=
，
30
0
m−
=
答：从A 地运往C 地30 吨，运往D 地220 吨，从B 地运往C 地150 吨，运往D 地0 吨时，总运费最少，
最少费用为6650 元．
5．（2026·山东·中考真题）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和
内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下：
请根据他们的对话解答下列问题：
(1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；
(2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20 个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2 倍，则分别购买多少个
描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？
【答案】(1)描金琉璃瓶单价40 元，内画瓶单价30 元．
(2)购买14 个描金琉璃瓶和6 个内画瓶时总费用最少，为740 元．
【分析】（1）设描金琉璃瓶单价为x 元，内画瓶单价为y 元．根据题干已知等量关系列方程组即可求解；
（2）设购买描金琉璃瓶m 个(
)
20
m
，则内画瓶为(
)
20
m
−
个，得出总费用
10
600
W
m
=
+
，再利用一次函
数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设描金琉璃瓶单价为x 元，内画瓶单价为y 元．根据题意列方程组：
2
100
3
4
240
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
40
30
x
y
=
=
，
答：描金琉璃瓶单价40 元，内画瓶单价30 元．
（2）设购买描金琉璃瓶m 个(
)
20
m
，则内画瓶为(
)
20
m
−
个．
(
)
2 20
m
m
−
，
解得
14
m
（m 为整数）．
设总费用为W ，则
(
)
40
30 20
10
600
W
m
m
m
=
+
−
=
+
．
因10
0
，则W 随m 增大而增大，故当
14
m =
时，W 最小．
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17 /
10 14 600
740
W =
+
=
（元）
此时内画瓶数量为6 ，最少费用为740 元．
答：购买14 个描金琉璃瓶和6 个内画瓶时总费用最少，为740 元．
6．（2026·广东深圳·中考真题）为激发学生对科技的兴趣，某校计划购买甲、乙两种型号的机器人用于科技
节展示．已知用200 万元购买甲型机器人的数量，是用120 万元购买乙型机器人数量的2 倍，且每台乙型
机器人比每台甲型机器人贵5 万元．小丽和小亮分别提出了不同的解题思路：
学生
设未知量
所列方程
小丽
设甲型机器人的数量
为x 台
200
120
5
1
2
x
x
=
−
小亮
设每台甲型机器人的
价格为y 万元
（请补充）
(1)请写出小亮所列的方程；
(2)若购买甲、乙两种型号的机器人共16 台，且总费用不超过420 万元，则最多可购买乙型机器人多少台？
【答案】(1) 200
120
2
5
y
y
=
+
；
(2)最多可购买乙型机器人4 台
【分析】（1）根据“总价单价=数量”，结合题干中甲型数量和乙型数量的倍数关系，即可列出小亮的方程；
（2）先求解第一问的方程得到甲、乙两种型号的机器人的单价，再设购买乙型机器人的数量，根据总费用
不超过420 万元列出一元一次不等式，求解后取最大正整数解即可得到结果．
【详解】（1）解：∵设每台甲型机器人的价格为y 万元，且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵5万元，
∴每台乙型机器人的价格为(
)
5
y +
万元，
∵用200 万元购买甲型机器人的数量，是用120 万元购买乙型机器人数量的2 倍，
∴可得方程：200
120
2
5
y
y
=
+
；
（2）解：由（1）得，200
120
2
5
y
y
=
+
解得
25
y =
，
经检验
25
y =
是原方程的解，且符合题意，
则
5
25
5
30
y +
=
+
=
，
∴每台甲型机器人25 万元，每台乙型机器人30 万元，
18 /
设购买乙型机器人m 台，则购买甲型机器人(
)
16
m
−
台，
根据题意得
(
)
30
25 16
420
m
m
+
−
，
解得
4
m
，
∵m 是非负整数，
∴m 的最大值为4 ，
答：最多可购买乙型机器人4 台．
7．（2026·云南·中考真题）问题提出
云南某地是天然的蓝莓优质产区，昼夜温差大，日照时间长，紫外线照射强，霜冻期短．这里出产的蓝莓
果粒大，果味香，果肉甜脆．近期，某蓝莓销售公司搭上了快递专线，工人们需要将分装好的蓝莓装进特
制的蓝莓保鲜盒内，保鲜盒外粘贴专用介绍贴纸．
该公司印制专用介绍贴纸，需要考虑如何使印制费用最低．
问题解决
在保证相同质量的情况下，甲、乙两家印制公司都按公司优惠价格收取印制费用．具体收费方案为：
甲印制公司的收费方案是：收1350 元制版费，每张专用介绍贴纸再收0.2 元印制费；
乙印制公司的收费方案是：不收制版费，每张专用介绍贴纸收0.35 元印制费．
根据以上信息，印制这种专用介绍贴纸，应该选择甲印制公司，还是乙印制公司？
【答案】
当印制贴纸数量小于9000 张时，选择乙印制公司；当印制贴纸数量等于9000 张时，选择甲、乙两家印制
公司费用相同；当印制贴纸数量大于9000 张时，选择甲印制公司
【分析】设印制x 张专用介绍贴纸，根据收费方案，列出代数式，分3 种情况，列出方程或不等式进行求解
即可.
【详解】解：设印制x 张专用介绍贴纸，
由题意，甲印制公司所需费用为(
)
1350
0.2x
+
元，乙印制公司所需费用为0.35x 元，
当1350 0.2
0.35
x
x
+
=
时，解得
9000
x =
；
当1350 0.2
0.35
x
x
+
时，解得
9000
x
；
当1350 0.2
0.35
x
x
+
时，解得
9000
x
；
综上：当印制贴纸数量小于9000 张时，选择乙印制公司；当印制贴纸数量等于9000 张时，选择甲、乙两
家印制公司费用相同；当印制贴纸数量大于9000 张时，选择甲印制公司.
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19 /
考点04 一元一次不等式组
1．（2026·北京·中考真题）解不等式组：
(
)
3
1
3
3
4
1
2
x
x
x
x
+
−
−
−
．
【答案】3
2
x
−
【详解】解：原不等式组为
(
)
3
1
3
3
4
1
2
x
x
x
x
+
−
−
−
①
②
解不等式①，得
3
x −
解不等式②，得
2
x
．
所以原不等式组的解集为3
2
x
−
．
2．（2026·山东德州·中考真题）解答
(1)解不等式：
1
2
5
2
1
1
3
2
x
x
x
x
−
−
−
+
+
(2)化简：
(
)
2
2
1
1
1
1
a
a
a
−
−
−
−
【答案】(1)
2
5
x
(2)
1
2
a −
【详解】（1）解：{
𝑥−1 > −2𝑥+ 5①
2𝑥−1
3
<
𝑥+1
2 ②
由不等式①，得
2
x
；
由不等式②，得
5
x
∴原不等式组的解集为2
5
x
；
（2） 解：原式
2
1
1
1
1
1
(
2)
a
a
a
a
a
−
−
−
−
−
=
−
2
2
1
1 (
2)
a
a
a
a
−
−
−
−
=
1
2
a−
=
．
3．（2026·山东·中考真题）按要求完成下列各题：
(1)计算：
2
2
16
( 3)
−
−−
；
20 /
(2)解不等式组：
1
2
1
1
2
3
x
x
x
x
−
−
+
．
【答案】(1)3
(2)2
3
x
【详解】（1）解：
2
2
16
( 3)
−
−−
4 4 3
= −+
3
= ；
（2）
1
2
1
1
2
3
x
x
x
x
−
−
+
①
②
解不等式①得：
2
x
，
解不等式②得：
3
x ，
∴不等式组的解集为2
3
x
．
4．（2026·四川成都·中考真题）计算、解不等式组：
(1)
1
1
8
2cos60
1
2 2
3
−
−
+
+
−
(2)
(
)
3
2
2
5
1
2
3
x
x
x
x
−
+
+
①
②
【答案】(1)3
(2) 1
3
x
−
【分析】（1）根据负整数指数幂的法则、算术平方根的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的定义把算式
中各部分计算出来，再根据运算法则进行计算；
（2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】（1）解：
1
1
8
2cos60
1
2 2
3
−
−
+
+
−
1
1
1
2 2
2
2 2
1
2
1
3
=
−
+
+
−
3 2 2 1 2 2 1
= −
+ +
−
3
= ；
（2）解：
(
)
3
2
2
5
1
2
3
x
x
x
x
−
+
+
①
②
，
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21 /
解不等式①：(
)
3
2
2
5
x
x
+
+ ，
去括号得：3
6
2
5
x
x
+
+ ，
移项得：3
2
5 6
x
x
−
−，
合并同类项得：
1
x −，
解不等式②：
1
2
3
x
x
−
，
去分母得：(
)
3
1
2
x
x
−
，
去括号得：3
3
2
x
x
−
，
移项得：3
2
3
x
x
−
，
合并同类项得：
3
x ，
不等式组的解集为1
3
x
−
．
5．（2026·四川自贡·中考真题）解不等式组：
(
)
2
2
3
1
6
x
x
x
+
+
①
②．
【答案】
1
2
x
【详解】解：
(
)
2
2
3
1
6
x
x
x
+
+
①
②，
解不等式①得
2
x
，
解不等式②，(
)
3
1
6
x+
，
3
3
6
x+
，
3
3
x ，
解得
1
x ，
不等式组的解集为1
2
x
．
6．（2026·福建·中考真题）解不等式组：
(
)
2
1
3
5
2
1
x
x
x
−
−
+
①
②
【答案】3
7
x
【详解】解：
(
)
2
1
3
5
2
1
x
x
x
−
−
+
①
②
解不等式①，得
3
x ，
解不等式②，得
7
x
，
22 /
所以原不等式组的解集为3
7
x
．
7．（2026·湖南·中考真题）解不等式组：
(
)
2
1
2
1
4
x
x
−
+
①
②
【答案】
3
x
【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终
解集．
【详解】解：解
2
1
x−
移项得
1 2
x +
解得
3
x
解(
)
2
1
4
x +
两边同时除以2 得
1
2
x+
移项得
2 1
x
−
解得
1
x
根据“同大取大”，取两个解集的公共部分得
3
x
因此原不等式组的解集为
3
x ．
8．（2026·江苏苏州·中考真题）解不等式组：
2
1
3
5
1
1
2
3
6
x
x
x
x
−
−
+
−
【答案】2
4
x
−
【详解】解：解不等式2
1
3
5
x
x
−
−，得
4
x
．
解不等式
1
1
2
3
6
x
x
+ −
，得
2
x
−
．
∴不等式组的解集是2
4
x
−
．
