专题03方程与方程组（5年汇编）（浙江专用）（答案版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编_2027新好题汇编2022-2026年中考数学真题分类汇编（浙江专用）

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专题03 方程与方程组
5 年真题1 年模拟
考点01 一元一次方程及其应用
1．B
2．
ͻ蟨
͹
3．A
4．
【答案】(1)
(2)解：
͹ݔ
͵ ൌ
Ͷݔെͳ
蟨
൅ͳ，
去分母，得，ʹ ൈ͹ݔൌͶݔെͳ ൅蟨，
移项，得：ͳͶݔെͶݔൌെͳ ൅蟨，
合并同类页，得：ͳͲݔൌͷ，
解得：ݔൌ
ͳ
ʹ．
5．݇݊
6．20
7．
【详解】（1）解：െ蟨ൈ
ʹ
͵ െ
ͳ
ʹ െʹ͵ ൌെ蟨ൈ
ͳ
蟨െͺ ൌെͳ െͺ ൌെͻ；
（2）设被污染的数字为x，
由题意，得െ蟨ൈ
ʹ
͵ െݔെʹ͵ ൌ蟨，解得ݔൌ͵，
所以被污染的数字是3．
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考点02 二元一次方程（组）及其应用
1．
【详解】解：
ݔ൅ʹᗤൌ蟨①
ʹݔ൅ᗤൌͻ②，
①ൈʹ 得，ʹݔ൅Ͷᗤൌͳʹ③，
③െ②得，͵ᗤൌ͵，
解得，ᗤൌͳ，
把ᗤൌͳ 代入②得，ʹݔ൅ͳ ൌͻ，
解得，ݔൌͶ，
因此原方程组的解为ݔൌͶ
ᗤൌͳ ．
2．C
3．
【详解】解：
ʹݔെᗤൌͷ①
Ͷݔ൅͵ᗤൌെͳͲ②
①×3＋②得，ͳͲݔൌͷ
解得ݔൌ
ͳ
ʹ，
把ݔൌ
ͳ
ʹ代入①得ͳ െᗤൌͷ，
解得ᗤൌെͶ
∴
ݔൌ
ͳ
ʹ
ᗤൌെͶ
4．ʹͷ
ͷ
͵
5．B
6．B
7．ͷ ൈͺ ൅͵ݔ൅
ͳ
͵ ᗤൌͳͲͲ
ݔ൅ᗤ൅ͺ ൌͳͲͲ
8．A
9．
【详解】解：ݔ൅ᗤൌ͹①
ʹݔെᗤൌʹ②
①+②，得͵ݔൌͻ．
∴ݔൌ͵．
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把ݔൌ͵ 代入①，得ᗤൌͶ．
∴这个方程组的解是ݔൌ͵
ᗤൌͶ ．
10．C
【分析】根据题中数量关系列出方程即可解题；
【详解】解：由10 张A 票的总价与19 张B 票的总价相差320 元可知，
ͳͲݔെͳͻᗤൌ͵ʹͲ 或ͳͻᗤെͳͲݔൌ͵ʹͲ，
∴ͳͲݔെͳͻᗤൌ͵ʹͲ，
故选：C．
11．A
12．A
13．C
14．
【详解】ݔ൅ʹᗤൌͶ①
ݔ൅͵ᗤൌͷ②．
解：②െ①，得ᗤൌͳ．
把ᗤൌͳ 代入①，得ݔൌʹ．
∴原方程组的解为ݔൌʹ
ᗤൌͳ ．
15．A
16．
【详解】（1）解：原式ൌ蟨ൈ
͵
͵ ൅ͳ െʹ ͵ ൌʹ ͵ ൅ͳ െʹ ͵＝ͳ；
（2）ʹݔെᗤൌͶ  ①
ݔ൅ᗤൌʹ  ②，
①＋②得3x＝6，
∴x＝2，
把x＝2 代入②，得y＝0，
∴原方程组的解是ݔൌʹ
ᗤൌͲ ．
考点03 分式方程的解法与应用
1．ݔൌ͵
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2．
【详解】解：
͵
ݔ൅ͳ െ
ͳ
ݔെͳ ൌͲ
方程两边同时乘以ݔെͳ
ݔ൅ͳ 得：͵ ݔെͳ െݔ൅ͳ ൌͲ，
去括号得：͵ݔെ͵ െݔെͳ ൌͲ，
移项，合并同类项得：ʹݔൌͶ，
系数化为1 得：ݔൌʹ，
检验，当ݔൌʹ 时，ݔെͳ
ݔ൅ͳ്
Ͳ，
∴ݔൌʹ 是原方程的解．
3．͵
4．3
5．【答案】
小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得ݔ൅去ݔെ͵㌳ൌݔെʹ，
去括号，得ʹݔെ͵ ൌݔെʹ，
解得，ݔൌͳ，
经检验：ݔൌͳ 是方程的解．
6．െ
ͳ
ʹ/െͲ㌳ͷ
7．5
8．D
9．4
10．
【详解】解：（1）去ͳ െ
͵ ͺ㌳Ͳ െ
Ͷ
ൌͳ െʹ ൌെͳ
（2）
ݔെ͵
ʹݔെͳ ൌͳ，
去分母：ݔെ͵ ൌʹݔെͳǡ
整理得：ݔൌെʹǡ
经检验：ݔൌെʹ 是原方程的根，
所以原方程的根为：ݔൌെʹ㌳
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11．【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为
蟨ͲൈͲ㌳蟨ܽൌ
͵蟨ܽ元，
答：新能源车的每千米行驶费用为
͵蟨ܽ元．
（2）解：①由题意得：
ͶͲൈͻܽെ
͵蟨ܽൌͲ㌳ͷͶ，
解得ܽ
ൌ蟨ͲͲ，
经检验，ܽ
ൌ蟨ͲͲ 是所列分式方程的解，
则
ͶͲൈͻܽൌ
ͶͲൈͻ
蟨ͲͲ ൌͲ㌳蟨，
͵蟨ܽൌ
͵蟨
蟨ͲͲ ൌͲ㌳Ͳ蟨，
答：燃油车的每千米行驶费用为Ͳ㌳蟨元，新能源车的每千米行驶费用为Ͳ㌳Ͳ蟨元；
②设每年行驶里程为ݔ千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得：Ͳ㌳蟨ݔ൅ͶͺͲͲ Ͷ Ͳ㌳Ͳ蟨ݔ൅͹ͷͲͲ，
解得ݔͶ ͷͲͲͲ，
答：每年行驶里程超过5000 千米时，买新能源车的年费用更低．
考点04 一元二次方程的解法与根的判别式
1．A
2．C
考点05 一元二次方程的实际应用
1．D
2．C
3．【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为ݏൌܽ
㋀mʹ ，变化后长方形的面积为ܽ
൅ͳ
㋀െͳ
mʹ ，
∵ܽ
ൌͷ，边ܣܦ减少ͳm，得到的矩形面积不变，
∴ͷ ൅ͳ
㋀െͳ ൌͷ㋀，
解得㋀ൌ蟨，
故答案为：6．
（2）根据题意，得，起始长方形的面积为ݏൌܽ
㋀mʹ ，变化后长方形的面积为ܽ
൅ͳ
㋀൅ʹ
mʹ ，
∴ʹݏൌܽ
൅ͳ
㋀൅ʹ ，㋀ൌ
ݏܽ，
∴ʹݏൌܽ
൅ͳ
ݏܽ൅ʹ ，
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∴
ʹݏܽ
൅ͳ ൌ
ݏܽ൅ʹ，
∴ʹܽʹ ൅ʹ െݏܽ
൅ݏൌͲ，
∵有且只有一个ܽ
的值，
∴Δ ൌ㋀ʹ െͶܽ䁩ൌʹ െݏʹ െͺݏൌͲ，
∴ݏʹ െͳʹݏ൅Ͷ ൌͲ，
解得ݏͳ ൌ蟨൅Ͷ ʹǡݏʹ ൌ蟨െͶ ʹ（舍去），
故答案为：蟨൅Ͷ ʹ．
4．30%
5．
ʹͲെʹݔ
ʹ
൉ݔ൉ͳͷ ൌ͵蟨Ͳ
一、单选题
1．C
2．B
3．D
4．D
二、填空题
5．ʹ
6．ܤܥ的长或ܣܨ的长
7．5 或െͳ
8．ݔͳ ൌͳ，ݔʹ ൌെʹ ൅
͵，ݔ͵ ൌെʹ െ
͵
9．8
三、解答题
10．【详解】（1）解：因为ܽͷ ൌܽ
͵ ൅ܽ
Ͷ，
所以ܽ
ͷ ൌʹ ൅͵ ൌͷ；
因为ܵͷ ൌܽ
ͳ ൅ܽ
ʹ ൅ܽ
͵ ൅ܽ
Ͷ ൅ܽ
ͷ，
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所以ܵͷ ൌͳ ൅ͳ ൅ʹ ൅͵ ൅ͷ ൌͳʹ．
（2）解：若ܽ
ʹ ൌͶ，
则ܽ͵ ൌܽ
ͳ ൅Ͷ，ܽͶ ൌܽ
ͳ ൅ͺ，ܽͷ ൌʹܽ
ͳ ൅ͳʹ．
由ܵͷ ൌͳͺ 得ܽͳ ൅ܽ
ʹ ൅ܽ
͵ ൅ܽ
Ͷ ൅ܽ
ͷ ൌͳͺ，
所以ܽ
ͳ ൅Ͷ ൅ܽ
ͳ ൅Ͷ ൅ܽ
ͳ ൅ͺ ൅ʹܽͳ ൅ͳʹ ൌͳͺ，
所以ͷܽͳ ൌെͳͲ，
所以ܽ
ͳ ൌെʹ．
11．【详解】（1）解：െ͵ݔʹ ൅蟨ݔ൅ͳͲ
ൌെ͵ ݔʹ െʹݔ൅ͳͲ
ൌെ͵ ݔʹ െʹݔ൅ͳ െͳ ൅ͳͲ
ൌെ͵ ݔെͳ ʹ ൅͵ ൅ͳͲ
ൌെ͵ ݔെͳ ʹ ൅ͳ͵，
∵ݔെͳ ʹ ൒Ͳ，
∴െ͵ ݔെͳ ʹ ൑Ͳ，
∴െ͵ ݔെͳ ʹ ൅ͳ͵ ൑ͳ͵，当且仅当ݔെͳ ൌͲ，即ݔൌͳ 时，等号成立，此时多项式取得最大值为ͳ͵；
（2）解：ݔʹ െʹݔᗤ൅ʹᗤʹ ൅ʹݔെ蟨ᗤ൅ͺ
ൌݔʹ െʹ ᗤെͳ ݔ൅ᗤെͳ ʹ െᗤെͳ ʹ ൅ʹᗤʹ െ蟨ᗤ൅ͺ
ൌݔെᗤെͳ
ʹ െᗤʹ െʹᗤ൅ͳ ൅ʹᗤʹ െ蟨ᗤ൅ͺ
ൌݔെᗤ൅ͳ ʹ െᗤʹ ൅ʹᗤെͳ ൅ʹᗤʹ െ蟨ᗤ൅ͺ
ൌݔെᗤ൅ͳ ʹ ൅ᗤʹ െͶᗤ൅͹
ൌݔെᗤ൅ͳ ʹ ൅ᗤʹ െͶᗤ൅Ͷ ൅͵
ൌݔെᗤ൅ͳ ʹ ൅ᗤെʹ ʹ ൅͵，
∵ݔെᗤ൅ͳ ʹ ൒Ͳ，ᗤെʹ ʹ ൒Ͳ，
∴ݔെᗤ൅ͳ ʹ ൅ᗤെʹ ʹ ൅͵ ൒͵，当且仅当ݔെᗤ൅ͳ ൌͲ 且ᗤെʹ ൌͲ 时等号成立，
由ᗤെʹ ൌͲ 可得，ᗤൌʹ，
将ᗤൌʹ 代入ݔെᗤ൅ͳ ൌͲ 可得ݔൌͳ，
故当ݔൌͳ，ᗤൌʹ 时，多项式ݔʹ െʹݔᗤ൅ʹᗤʹ ൅ʹݔെ蟨ᗤ൅ͺ 的最小值为͵．
12．
【详解】（1）解：当݉
ൌͳ，݊
ൌʹ，݇
ൌ͵ 时，此时矩形B 的周长为18，面积为6，
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设矩形B 的长为x，则宽为ͻ െݔ．
根据题意列方程，得：ͻ െݔݔൌ蟨，
∴ݔʹ െͻݔ൅蟨ൌͲ，
解之得：ݔͳ ൌ
ͻെͷ͹
ʹ
，ݔʹ ൌ
ͻ൅ͷ͹
ʹ
；
∴此时命题成立．
（2）成立，
理由：若矩形A 两边长分别为m，n，此时矩形B 的周长为ʹ݇݉
൅݊
，面积为݇݉݊
，设矩形B 的长为
x，则宽为݇݉
൅݊
െݔ．
根据题意列方程，得：ݔ݇݉
൅݊
െݔൌ݇݉݊
，
即ݔʹ െ݇݉
൅݊
ݔ൅݇݉݊
ൌͲ，
根据求根公式得：㋀ʹ െͶܽ䁩ൌ݇
ʹ݉
൅݊
ʹ െͶ݇݉݊
ൌ݇݇݉
൅݊
ʹ െͶ݉݊
，
∵݇
Ͷ ͳ，
∴݇݇݉
൅݊
ʹ െͶ݉݊
Ͷ݉
൅݊
ʹ െͶ݉݊
又݉
൅݊
ʹ െͶ݉݊
ൌ݉
െ݊
ʹ ൒Ͳ，
∴݇݇݉
൅݊
ʹ െͶ݉݊
Ͷ Ͳ，
∴存在矩形B，
∴此命题成立．
13．
【详解】（1）原方程分母不能等于零，即ݔ്
͵，第①步把原方程转化为整式方程后，ݔ的取值可以
为3，产生了原方程的增根．
（2）解：原式ൌ
ʹെݔ൅ͳ
ݔെ͵ ൅ʹ
ൌ
͵െݔ
ݔെ͵ ൅ʹ
ൌെͳ ൅ʹ
ൌͳ
14．
【详解】（1）解：因为题目要求将给定平方数分为两个正有理数的平方和，
ݔൌͲ 不是正有理数，不符合要求，故舍去；
（2）解：设其中一个正有理数的平方为ݔʹ，则另一个正有理数的平方为ͻ െݔʹ．
令ͻ െݔʹ ൌ去݉
ݔെ͵㌳ʹ，其中݉
为整数．
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取݉
ൌʹ，则ͻ െݔʹ ൌ去ʹݔെ͵㌳ʹ，
于是ͻ െݔʹ ൌͶݔʹ െͳʹݔ൅ͻ，
解得ݔͳ ൌͲ（舍去），ݔʹ ൌ
ͳʹ
ͷ ．
所以ݔʹ ൌ
ͳͶͶ
ʹͷ ，ͻ െݔʹ ൌͻ െ
ͳʹ
ͷ
ʹ
ൌ
ͺͳ
ʹͷ，
即ͻ ൌ
ͳͶͶ
ʹͷ ൅
ͺͳ
ʹͷ ൌ
ͳʹ
ͷ
ʹ
൅
ͻ
ͷ
ʹ
．
15．【详解】（1）解：由题意，得ܽ
െͳ ൌʹ 且͵ െ്ܽ
Ͳ，解得ܽ
ൌെ͵；
（2）选择方程①
由方程ݔʹ ൅Ͷݔ൅ͳ ൌͲ；得：
ݔʹ ൅Ͷݔൌെͳ，
ݔʹ ൅Ͷݔ൅Ͷ ൌെͳ ൅Ͷ，
去ݔ൅ʹ㌳ʹ ൌ͵，
ݔ൅ʹ ൌേ
͵，
ݔൌെʹ േ
͵，
∴ݔͳ ൌെʹ ൅
͵，ݔʹ ൌെʹ െ
͵；
选择方程②
͵ݔʹ െͷݔ൅ͳ ൌͲ
׶ܽ
ൌ͵，㋀ൌെͷ，䁩ൌͳ，
׵ Δ ൌ㋀ʹ െͶܽ䁩ൌʹͷ െͶ ൈ͵ ൈͳ ൌͳ͵
׵ ݔൌ
െ㋀േΔ
ʹܽ
ൌ
ͷേͳ͵
蟨
，
׵ ݔͳ ൌ
ͷ൅ͳ͵
蟨
，ݔʹ ൌ
ͷെͳ͵
蟨
；
选择方程③
去ݔെͶ㌳ʹ ൌͺ െʹݔ
ݔെͶ ʹ ൌെʹ ݔെͶ
ݔെͶ ʹ ൅ʹ ݔെͶ ൌͲ
ݔെͶ
ݔെͶ ൅ʹ ൌͲ
ݔെͶ
ݔെʹ ൌͲ
׵ ݔെͶ ൌͲ 或ݔെʹ ൌͲ
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׵ ݔͳ ൌͶ，ݔʹ ൌʹ；
（3）׶݉
，݊
是一元二次方程ݔʹ ൅ʹݔെͳ ൌͲ 的两根，
׵代入得：݉
ʹ ൅ʹ݉
െͳ ൌͲ，݊
ʹ ൅ʹ݊
െͳ ൌͲ，且݉
൅݊
ൌെʹ，݉݊
ൌെͳ，
׵݉
ʹ ൅͵݉
൅ͳ݊
ʹ ൅͵݊
൅ͳ
ൌ݉
ʹ ൅ʹ݉
െͳ ൅݉
൅ʹ݊
ʹ ൅ʹ݊
െͳ ൅݊
൅ʹ
ൌ݉
൅ʹ݊
൅ʹ
ൌ݉݊
൅ʹ݉
൅ʹ݊
൅Ͷ
ൌ݉݊
൅ʹ݉
൅݊
൅Ͷ
ൌെͳ ൅ʹ ൈെʹ ൅Ͷ
ൌെͳ．
16．
【详解】（1）解：将ݔͳ ൌͳ 代入得，ᗤͳ ൌെ͵；当ݔʹ ൌʹ 时，ᗤʹ ൌͷ，
所以ᗤͳ ڄ ᗤʹ ൏Ͳ，所以方程的解落在1 和2 之间．
（2）解：׶方程ݔʹ ൅Ͷݔ൅݉
ൌͲ 有两个不同的解，
׵ Δ ൌͶʹ െͶ݉
Ͷ Ͳ，
׵݉
൏Ͷ，
将ݔͳ ൌെͶ，ݔʹ ൌെ͵ 分别代入得ᗤͳ ൌ݉
，ᗤʹ ൌ݉
െ͵，
∵恰有一个解落在െͶ 与െ͵ 之间，
∴ᗤͳᗤʹ ൌ݉݉
െ͵ ൏Ͳ，所以Ͳ ൏݉
൏͵．
17．
【详解】（1）解：12 分钟ൌͲ㌳ʹ 小时，乙比甲晚出发Ͳ㌳ʹ 小时，
ݐൌ
ʹʹ
ͺ ൅Ͳ㌳ʹ ൅Ͳ㌳ʹ ൌ
蟨͵
ʹͲ，
当甲跑步时间ݔൌͲ㌳蟨h 时：甲的路程：ᗤൌͺ ൈͲ㌳蟨ൌͶ㌳ͺ km ，
乙跑步时间为Ͳ㌳蟨െͲ㌳ʹ ൌͲ㌳Ͷ h ，此时两者路程相等，
故ݒൌ
Ͷ㌳ͺ
Ͳ㌳Ͷ ൌͳʹ km h ．
（2）解：由（1）知ܣʹ㌳ͷǡͳͷ ，ܤ
蟨͵
ʹͲǡʹʹ ，
设ᗤൌ݇
ݔ൅㋀，
代入得
ʹ㌳ͷ݇൅㋀ൌͳͷ
蟨͵
ʹͲ݇
൅㋀ൌʹʹ ，
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解得：݇
ൌ
ͳͶͲ
ͳ͵
㋀ൌെ
ͳͷͷ
ͳ͵
，
∴线段ܣܤ所在直线的函数表达式为ᗤൌ
ͳͶͲ
ͳ͵ ݔെ
ͳͷͷ
ͳ͵ ；
（3）解：第一次相遇：ݔൌͲ㌳蟨h，乙跑步时间ൌͲ㌳蟨െͲ㌳ʹ ൌͲ㌳Ͷh；
第二次相遇：乙维修停在ᗤൌͳͷ 处，
∵ͳͷ ൊͺ ൌͳǥǥ͹，
∴甲跑到ᗤൌͳͷ 时，ݔൌͳ ൅Ͳ㌳ʹ ൅
͹
ͺ ൌʹ㌳Ͳ͹ͷ h ，
此时乙总跑步时间为ʹ㌳Ͳ͹ͷ െͲ㌳ʹ ൌͳ㌳ͺ͹ͷ h ；
第三次相遇：ݔͶ ʹ㌳ͷ 时，则ͳʹݔെͳͷ ൌͺݔെͲ㌳ʹ ൈʹ ൈͺ，
解得ݔൌʹ㌳ͻͷh，
此时乙总跑步时间为ʹ㌳ͻͷ െͲ㌳ʹ ൌʹ㌳͹ͷ h ；
综上所述，甲、乙相遇时乙跑步的时间为Ͳ㌳Ͷh，ͳ㌳ͺ͹ͷh，ʹ㌳͹ͷh．
18．【详解】（1）解：小明跑步的速度为
ͳͷ
蟨Ͳ ൌ
ͳ
Ͷ千米/分．
（2）解：小明跑了60 分钟，路程为15 千米，根据图2，得此时二人相距5 千米，
故此时小聪跑的路程为ͳͷ െͷ ൌͳͲ（千米），
故图象经过点蟨ͲǡͳͲ ，
设ܱ
ܦ对应的函数表达式ᗤൌ݇
ݔ，
由题意得图象过点蟨ͲǡͳͲ ，
׵ ͳͲ ൌ蟨Ͳ݇，
解得݇
ൌ
ͳ
蟨．
׵ܱ
ܦ对应的函数表达式ᗤൌ
ͳ
蟨ݔ．
令ᗤൌʹͳ，
解得ݔൌͳʹ蟨．
׵ܽ
的值为126．
（3）解：当Ͳ ൑ݔ൑蟨Ͳ 时，根据题意，得ݏൌ
ͳ
Ͷ ݔെ
ͳ
蟨ݔൌ
ͳ
ͳʹ ݔ，
且s 随x 的增大而增大，
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故ݔൌ蟨Ͳ 时，s 取得最大值，且最大值为ݏൌ
ͳ
ͳʹ ൈ蟨Ͳ ൌͷ（千米）；
当蟨Ͳ൏ݔ൑͹Ͳ 时，根据题意，得小明此时休息，路程保持15 千米，小聪跑的路程表达式为ᗤൌ
ͳ
蟨ݔ，
故ݏൌͳͷ െ
ͳ
蟨ݔ，
且s 随x 的增大而减小，
故ݔൌ蟨Ͳ 时，s 取得最大值，且最大值为ݏൌ
ͳ
ͳʹ ൈ蟨Ͳ ൌͷ（千米）；
此时取不到60，故最大值小于5 千米即ݏ൏ͷ；
小明跑完最后蟨km 所需的时间为蟨ൊ
ͳ
Ͷ ൌʹͶmin．
当͹Ͳ൏ݔ൑ͻͶ 时，根据题意，得小明跑的路程表达式为ᗤൌ
ͳ
Ͷ ݔെ͹Ͳ ൅ͳͷ ൌ
ͳ
Ͷ ݔെʹ㌳ͷ，
小聪跑的路程表达式为ᗤൌ
ͳ
蟨ݔ，
故ݏൌ
ͳ
Ͷ ݔെʹ㌳ͷ െ
ͳ
蟨ݔൌ
ͳ
ͳʹ ݔെʹ㌳ͷ，
且s 随x 的增大而增大，
故ݔൌͻͶ 时，s 取得最大值，且最大值为ݏൌ
ͳ
ͳʹ ൈͻͶ െʹ㌳ͷ ൌ
ͳ蟨
͵ （千米）；
当ͻͶ൏ݔ൑ͳʹ蟨时，根据题意，得小明跑到了终点，路程为21 千米，不变；
小聪跑的路程表达式为ᗤൌ
ͳ
蟨ݔ，
故ݏൌʹͳ െ
ͳ
蟨ݔ，
且s 随x 的增大而减小，
故ݔൌͻͶ 时，s 取得最大值，且最大值为ݏൌʹͳ െ
ͳ
蟨ൈͻͶ ൌ
ͳ蟨
͵ （千米）；
此时取不到94，故最大值小于
ͳ蟨
͵ 千米即ݏ൏
ͳ蟨
͵ ；
׶
ͳ蟨
͵ Ͷ ͷ，
׵当ݔൌͻͶ 时，他们之间相距最远，且为
ͳ蟨
͵ 千米．
19．【详解】（1）解：Ͷ ൈͷ ൈ蟨ൈ͹ ൅ͳ ൌʹͻʹ；
（2）解：①݊݊
൅ͳ݊
൅ʹ݊
൅͵ ൅ͳ ൌ去݊
ʹ ൅͵݊
൅ͳ㌳ʹ；
②小明证明过程中用了换元（整体）思想方法，
证明：原式ൌ݊݊
൅͵݊
൅ͳ݊
൅ʹ
൅ͳ
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ൌ݊
ʹ ൅͵݊݊
ʹ ൅͵݊
൅ʹ ൅ͳ
设ܯൌ݊
ʹ ൅͵݊，则原式ൌܯܯ൅ʹ ൅ͳ ൌܯʹ ൅ʹܯ൅ͳ ൌܯ൅ͳ ʹ，
将ܯൌ݊
ʹ ൅͵݊
代入上式得，
∴݊݊
൅ͳ݊
൅ʹ݊
൅͵ ൅ͳ ൌ去݊
ʹ ൅͵݊
൅ͳ㌳ʹ；
（3）解：根据题意得݊
ʹ ൅͵݊
൅ͳ ൌͳͲͻ，
∴݊
ʹ ൅͵݊
െͳͲͺ ൌͲ，݊
൅ͳʹ݊
െͻ ൌͲ
解得݊
ൌͻ 或݊
ൌെͳʹ（舍去），
∴四个正整数中最小的整数为9．
20．【详解】（1）解：奇数的平方被4 除余数为1，
证明见（2）；
（2）证明：׶整数݉
为奇数时，设݉
ൌʹ݊
൅ͳ（其中݊
为整数），
׵݉
ʹ ൌʹ݊൅ͳ ʹ
ൌͶ݊
ʹ ൅Ͷ݊
൅ͳ
ൌͶ݊
ʹ ൅݊
൅ͳ，
׶݊
是整数，
׵݊
ʹ ൅݊
是整数，
׵ Ͷ݊
ʹ ൅݊
能被Ͷ 整除，
׵݉
ʹ被Ͷ 除所得余数为ͳ；
（3）解：小红的计算结果不正确，理由如下：
由题意得，设整系数一元二次方程为ܽ
ݔʹ ൅㋀ݔ൅䁩ൌͲ（്ܽ
Ͳ，a，b，c 均为整数），
∴Δ ൌ㋀ʹ െͶܽ䁩，
当㋀为偶数时，由题干可得，㋀ʹ能被Ͷ 整除，
∵Ͷܽ䁩是Ͷ 的整数倍，
∴Δ ൌ㋀ʹ െͶܽ䁩能被Ͷ 整除，即Δ被Ͷ 除余数为Ͳ；
当㋀为奇数时，由（2）可知，㋀ʹ被Ͷ 除余数为ͳ，
∵Ͷܽ䁩是Ͷ 的整数倍，
∴Δ ൌ㋀ʹ െͶܽ䁩被Ͷ 除余数为ͳ，
∴任意整系数一元二次方程的判别式被Ͷ 除的余数只能是Ͳ 或ͳ，
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׶ ʹͲʹ蟨ൊͶ ൌͷͲ蟨ڮڮʹ，即2026 被Ͷ 除余数为ʹ，不满足上述结论，
׵小红的计算结果不正确．