文档内容
10.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 和差倍分问题
教学目标
课题 第1课时 和差倍分问题 授课人
1.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程
组．
素养目标 2．学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答．
3．在用二元一次方程组解决实际问题的过程中，培养应用数学的意识，体验数学
的实用性，提高学习数学的兴趣.
教学重点 以方程组为工具，分析、解决含有多个未知数的实际问题．
教学难点 确定解题策略，比较估算与精确计算.
教学活动
教学步骤 师生活动
【回顾导入】
【教学建议】
活动一：
结合之前所学的知识，回答下面的问题．
旧知回顾， 教师可让
(1)解二元一次方程组的基本思想是什么？常见方法有哪些？
新课导入 学生结合教材
解二元一次方程组的基本思想是消元，常见方法有代入消元法
【设计意 P94例4和P97
和加减消元法．
图】
例7，初步探究
复习二元 (2)列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？
列二元一次方
一次方程组 一般步骤是审、设、列、解、验、答．即(1)审清题意，找出
程组解应用题
的解法及列
已知量和未知量；(2)设未知数，并用含未知数的式子表示出相关
一元一次方 与列一元一次
的量；(3)根据题中的相等关系列出方程；(4)解方程；(5)检验所得
程解应用题 方程解应用题
结果是否满足所设方程且具有实际意义；(6)根据提问作答．
的步骤，引
的共性问题．
前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以
入本节课内
容. 及如何解方程组．本节课我们继续探究如何用方程组解决实际问
题．
活动 探究点 和差倍分问题 【教学建议】
二：问题引 例1 (教材P101探究1)养牛场原有30头大牛和15头小牛，1
学生可以
入，自主探
天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1
先独立分析问
究
天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18～20
题中的数量关
【设计意
kg，每头小牛1天需饲料7～8 kg.你能通过计算检验他的估计
图】 系，列出方程
吗？
以教材探 组，得出问题
我们分步来解决这个问题：
究题为例，
的解答，再与
问题1 怎样判断李大叔的估计是否正确？
探讨用二元
根据题中给出的数量关系求出每头大牛和每头小牛1天各约需 同学交流，教
一次方程组
饲料用量，再来判断李大叔的估计是否正确． 师注意规范解
解决实际问
问题2 写出题中的已知量和未知量． 题过程．对于
题的一般步已知量：购进前后大牛和小牛的数量，购进前后每天饲料的用
量．
未知量：大牛1天饲料的消耗量和小牛1天饲料的消耗量．
问题3 设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg.
写出题中的相等关系并用含未知数的等式表示．
学生列出的其
问题4 请将下面的解答过程补充完整． 他正确方程，
设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg. 如12x＋5y＝
根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列得方程组 265，教师可让
学生介绍自己
解这个方程组，得 的想法并予以
这就是说，每头大牛1天约需饲料20 kg，每头小牛1天约需饲
肯定，指出列
料5 kg.
方程组时应尽
问题5 饲养员李大叔的估计正确吗？
骤和方法， 量使用原题中
根据问题4的结果可知，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准
引入和差倍 的数据，如265
确，对小牛的食量估计偏高．
分问题．
应写成940－
归纳总结：列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
675；对于同一
问题的不同解
审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间
审
法，结果应一
的关系
致，若不一
设未知数(分直接设元和间接设元)，用含未知数的式子
设
致，则需仔细
表示出相关量
检查过程是否
列 根据相等关系列出两个方程，组成方程组
有纰漏．
解 解方程组，求出未知数的值
验 检验所求未知数的值是否满足题意和实际意义
答 根据问题作答(包括单位名称)
和差倍分问题中常见的相等关系：
较大量＝较小量＋多余量；总量＝一份的量×倍数；各分量相加
＝总量.
【对应训练】
教材P101练习第1，2，3题.
例2 某瓷器厂共有120名工人，每名工人一天能生产200只
活动三： 【教学建议】
知识延伸，
茶杯或50只茶壶，8只茶杯和1只茶壶为一套．要使每天生产的
学生独立
举一反三 茶杯和茶壶配套，应如何安排生产？
思考作答，解
【设计意 问题1 写出题中的已知量和未知量．
决配套问题的
图】 已知量：工人总数，每名工人一天能生产茶杯或茶壶的数量，
引导学生 组成一套茶具所需茶杯和茶壶的数量． 关键就是找出未知量：生产茶杯的工人数量，生产茶壶的工人数量．(1)审
问题2 应如何设元？
设安排x名工人生产茶杯，y名工人生产茶壶．(2)设
问题3 找出题中的相等关系并用含未知数的等式表示．
(可变形为200x＝8×50y)(3)列
问题4 写出完整的解题过程．
解：设安排x名工人生产茶杯，y名工人生产茶壶． 各部件之间的
根据工人总数，茶杯、茶壶的生产量与配比的数量关系，列方 数量关系，通
程组解这个方程组，得(4)解(5)验
过比例的性质
答：要使每天生产的茶杯和茶壶配套，应安排80名工人生产
将比例式转化
茶杯，40名工人生产茶壶．(6)答
为等积式．在
用二元一次 归纳总结：配套问题中常见的相等关系：
用二元一次方
方程组解决
数量较少量×相应倍数＝数量较多量；
程组解决实际
配套问题.
总量各部分之间的比例＝每一套各部分之间的比例．
问题时，审、
【对应训练】
验这两个步骤
某家具厂接到了一笔定制方桌的订单，下面是两位木匠师傅的
通常是在草稿
对话.
纸上进行．
如何分配木料才能完成这笔订单？这笔订单需要方桌多少张？
解：设用x m3木料做桌面，y m3木料做桌腿.
根据题意，得解这个方程组，得
所以50×3.5＝175(张).
答：用3.5 m3木料做桌面、2 m3木料做桌腿即可完成这笔订
单，这笔订单需要方桌175张.
活动四： 例3 为支援抗洪救灾工作，甲、乙两运输队接受了运输20 000 【教学建议】
强化训练， 箱救灾物资的任务，任务要求在15天内(包含15天)完成．已知两 学生独立
学以致用
队共有18辆汽车，甲队每辆车每天能够运输120箱救灾物资，乙
思考作答，教
【设计意
队每辆车每天能够运输100箱救灾物资，前4天两队一共运输了8
师统一答案．
图】
000箱.4天后，乙队临时被调派去执行更为紧急的任务，在规定的
进一步巩 例题需要先根
时间内甲队能否单独完成剩下的运输任务？
固用二元一 据已知条件求
解：设甲队有x辆汽车，乙队有y辆汽车．
次方程组解
出甲、乙两队
结合汽车辆数与所运物资的数量关系，列方程组
应用题的思
所拥有的汽车
解这个方程组，得
想，强化对
则甲队完成剩余运输任务所需时间为(20 000－8 000)÷(120×10) 数，再计算出
列二元一次
＝10(天)． 甲队完成剩余
方程组解应
用题的方法 因为10＋4<15， 任务所需的时所以在规定的时间内甲队能单独完成剩下的运输任务．
【对应训练】
各级教育部门高度重视中小学生安全教育，各学校也时常开展
应急安全防护和撤离的演练．某校有一栋教学大楼，进出这栋大
楼共有五道门，有大小相同的两道正门，大小相同的三道侧门，
经安全检测得知：开启两道正门和一道侧门，每分钟可以通过600
人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过540人．若紧急 间，最后确定
和步骤的掌 情况下，通过正门、侧门的效率均降低为原来的80%，该校要求 是否超出规定
握. 大楼内1 656名全体师生必须通过这五道门紧急撤离．那么全体师
时间．
生全部撤离该栋教学大楼需要多少分钟？
解：设正常情况下，平均每分钟一道正门、一道侧门分别可以
通过x人，y人．
由题意列方程组
解这个方程组，得
1 656÷[(2×220＋3×160)×80%]＝2.25(min)．
答：全体师生全部撤离该栋教学大楼需要2.25 min.
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子(或“随堂作
业”册子)相应课时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回
答以下问题：
1.在结合实际问题列方程组之前我们需要先做哪些工作？
2.列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
活动五： 【知识结构】
随堂训练，
课堂总结
【作业布置】
1.教材P105习题10.3第1，3，4，9题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．
第1课时 和差倍分问题
1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：(1)审，(2)设，(3)
板书设计
列，(4)解，(5)验，(6)答.
2.和差倍分问题.
本节课内容是在学习了二元一次方程组的解法及列方程组
解较简单的应用题的基础上安排的，教学中可让学生经过充分思
教学反思
考和小组讨论之后总结出列方程组解决实际问题的一般步骤，体
会数学建模思想在日常生活中的应用.解题大招 和差倍分
1．列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关
键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．一般来说，设几个
未知数就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；
②同类量的单位要统一．
2．常见的一些相等关系：
(1)和差倍分问题
举个例子，我们来看其中的数字问题，这里找相等关系的关键是注意要正
确的表示两位数：若当十位上的数为a，个位上的数为b时，这个两位数就可表
示为10a＋b.
例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位
上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．
解：设这个两位数十位上的数为x, 个位上的数为y, 则原数为10x＋y.交换
十位上的数与个位上的数后，所得新数为10y＋x.
根据题意，可列方程组解这个方程组，得
答：这个两位数是14.
(2)配套问题中的基本相等关系：总量各部分之间的比例＝每一套各部分之
间的比例．
注意：解决这类问题一般根据下列两个相等关系列方程组：
①(工人数、生产原料等)各分量之和＝总量；
②若m件A产品与n件B产品配成一套，则A产品的数量∶B产品的数量
＝m∶n，即n×A产品的数量＝m×B产品的数量．
例2 某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每2 m的某种布料可做上衣的
衣身3个或衣袖5只,现计划用132 m这种布料生产这批秋装(布料全部用完,不
考虑布料的损耗),应分别用多少米的布料做衣身和衣袖才能使做的衣身和衣袖恰
好配套?注意:不要把倍的关系理解颠倒了.可以分以下步骤进行:
(1)判断配套对象所需数量的多少,如需衣袖的数量多,衣身的数量少;
(2)确定刚好配套的比例﹐如:衣袖数量︰衣身数量=2∶1 ;
(3)数量多的乘“小比”=数量少的乘"大比",如1×衣袖的数量=2×衣身的数量.
(或根据比例的性质:内项的积等于外项的积)
培优点 稍复杂的配套问题
例工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作为侧面或底面,做成如
图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个,恰好使领取的纸板用完.
(1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录:
①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请你判断第几次的记录有误，
并说明理由；
②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？
(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1∶3，请你
求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．
分析：
解：(1)①第二次记录有误，(420＋1 002)÷5＝284.4(个)，纸板个数不是整数．②设领取的纸板做了竖式纸盒x个，横式纸盒y个.
由题意，得解得
答：领取的纸板做了竖式纸盒40个，横式纸盒260个．
(2)设领取的纸板做了竖式纸盒m个，横式纸盒n个，
由题意，得(m＋2n)∶(4m＋3n)＝1∶3，整理，得m＝3n.所以m∶n＝3∶1.
答：利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3∶1.
