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第十章 二元一次方程组
01 思维导图
目录
【易错题型】.................................................................................................................................................................1
易错题型一 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值................................................................................1
易错题型二 已知二元一次方程的解求参数或代数式的值....................................................................................3
易错题型三 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值................................................................................4
易错题型四 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值....................................................................7
易错题型五 已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值............................................................8
【压轴题型】...............................................................................................................................................................12
压轴题型一 换元法解二元一次方程组..................................................................................................................12
压轴题型二 新定义型二元一次方程组..................................................................................................................19
压轴题型三 二元一次方程(组)中的整数解问题....................................................................................................25
压轴题型四 应用二元一次方程组之销售、利润问题..........................................................................................33
压轴题型五 应用二元一次方程组之方案问题......................................................................................................37
02 易错题型
【易错题型】
易错题型一 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值
例题：（23-24七年级下·四川南充·期中）若 是二元一次方程，则 ，
【答案】
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】本题考查了二元一次方程，根据二元一次方程的定义即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题
的关键．
【详解】解：∵ 是二元一次方程，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
巩固训练
1
学科网（北京）股份有限公司1．（2024七年级下·浙江·专题练习）当方程 是二元一次方程时，则 ， ．
【答案】 3 0
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．二元一次方程
的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．从二元
一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑．
【详解】解： 方程 是二元一次方程，
且 ，
即 ①且 ②，
① ②，得 ，
，
把 代入①， ，
．
故答案为：3，0．
2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若 是关于x，y的二元一次方程，
．
【答案】3
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含
有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数次数为1这一方面考虑．
【详解】根据题意，得 且 ．
解得 或者 ，且 ．
所以 ．
故答案是： ．
3．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知 是关于x、y的二元一次方程，则
．
【答案】
2
学科网（北京）股份有限公司【知识点】二元一次方程的定义、已知字母的值 ，求代数式的值、有理数的乘方运算
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，有理数的乘方，掌握二元一次方程的含有两个未
知数，且所含未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程是解题关键．由二元一次方程的定义，得出
， ，再代入求值即可．
【详解】解： 是关于x、y的二元一次方程，
， ， ，
， ，
，
故答案为： ．
易错题型二 已知二元一次方程的解求参数或代数式的值
例题：（23-24七年级下·吉林·期末）若 是关于 和 的二元一次方程 的一个解，则 的值
为 ．
【答案】2
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、二元一次方程的解
【分析】本题主要考查了二元一次方程解的问题，将二元一次方程的解代入方程求解一元一次方程即．
【详解】解：把 代入方程 中得： ，
解得： ．
故答案为：2．
巩固训练
1．（23-24七年级下·广东珠海·期末）已知 是方程 的一个解，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是解题的关键．
3
学科网（北京）股份有限公司把 代入 ，得 ，求解即可．
【详解】解：把 代入 ，得
，
解得： ，
故答案为：2．
2．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）已知 是方程 的解，则代数式 的值为
【答案】2
【知识点】二元一次方程的解、已知式子的值，求代数式的值
【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值，根据二元一次方程解的定义得到 ，再利
用整体代入求代数式的值即可．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2
3．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知 是二元一次方程 的一个解，则代数式
的值是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【分析】将 代入二元一次方程 得 ，然后将 分解因式，利用整体代入法即
可求解．
本题考查了二元一次方程的解，以及用整体代入法求代数式的值．熟练掌握整体代入法是解题的关键．
【详解】∵ 是二元一次方程 的一个解，
4
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ．
故答案为：
易错题型三 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值
例题：（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）已知方程组 的解是 ，则m，n的值是 ．
【答案】
【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解求参数
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把 代入方程组，得到关于m，n的方程
组，进行求解即可．
【详解】解：把 代入 ，得： ，
解得： ；
故答案为： ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知 是二元一次方程组 的解，则 的值是
．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【分析】本题考查二元一次方程的解．把 代入方程组 ，求出m，n的值，即可求解．
5
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ 是二元一次方程组 的解，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：
2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知 ，是二元一次方程组 的解，则 的值为
．
【答案】9
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把 代入方程组，得到关于 的二元
一次方程组，求出 的值，代入代数式进行求解即可．
【详解】解：把 代入方程组 ，得： ，
解得： ，
∴ ；
故答案为：9．
3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若 是关于x，y的二元一次方程组 的解，则
的值为 ．
【答案】10
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键．把 ， 的值代
入方程组进行计算，求出 ， 的值，然后再代入式子中进行计算即可解答．
6
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：把 代入 中得：
，
解得： ，
，
故答案为：10．
易错题型四 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值
例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）若方程组 的解满足 ，则 等于 ．
【答案】5
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查已知二元一次方程组的情况求参数，所给两个方程作差可得 ，进而得到关
于k的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：
得： ，
，
，
解得 ，
故答案为：5．
巩固训练
1．（23-24七年级上·全国·单元测试）当 时，方程组 的解互为相反数．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、相反数的定义
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．由方
7
学科网（北京）股份有限公司程组的解互为相反数得到x+ y=0，即 ，代入方程组的解即可求出 的值．
【详解】解：由题意得 ，把 代入方程得 ，
整理得 ，
把②代入①，得
，
∴ 时，原方程组的解互为相反数，
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知关于x，y的方程组 的解的和是k，则
．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数的值，将两个方程相加，根据方程组的解的情况
得到关于 的方程，进行求解即可．
【详解】解： ，
，得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·四川广安·期末）若关于 的方程组 的解满足 ，则
的值为 ．
【答案】2025
8
学科网（北京）股份有限公司【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组；根据方程组中两个方程的特点，两个方程相加可得 的
值，由已知即可求得k的值．
【详解】解：方程两式相加得： ，
即 ；
由于 ，
即 ，
解得： ；
故答案为：2025．
易错题型五 已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值
例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）若关于 的二元一次方程组 的解为整数，则满足
条件的所有 的值的和为 .
【答案】
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法
【分析】把 看作已知数由加减消元法求得 ，由方程组的解为整数，确定出 的值即可．
【详解】解： ，
得，
解得：
∵关于 、 的方程组 的解为整数，
∴ ，
∴满足条件的所有 的值的和为 ．
故答案为： ．
巩固训练
1．（22-23七年级下·江苏南通·期中）a为正整数，已知二元一次方程组 有整数解，则
9
学科网（北京）股份有限公司．
【答案】4
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤和方程
解的定义．先利用加减消元法消去 ，求出 ，根据 为正整数和方程组有整数解，列出关于 的方程，求
出 的值，再把求的 代入②求出 ，最后根据 也是整数，对 的值进行取舍，然后解答后即可．
【详解】解： ，
① ②得： ，
是正整数，
或 ，
解得： 或7，
把 代入②得： ，
把 代入 得 ，
把 代入 得 ，
已知二元一次方程组 有整数解，
不符合题意舍去，
，
，
故答案为：4．
2．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组 （p为实数）．
（1） （用含p的式子表示）；
（2）若方程组的解也是方程 （q为整数，且q不等于0或 ）的解，p也是整数，则q的最小
值为 ．
【答案】
10
学科网（北京）股份有限公司【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据二元一次方程组的解的情况确定参数的取值及分式求值，
正确地求得二元一次方程组的解是解决问题的关键．
（1）两式相加化简即可得出结果；
（2）解方程组 ，用用含p的式子表示 的解，再代入 ，求出
，根据题意即可解答．
【详解】解：（1） ，
两式相加得： ，
，
故答案为： ；
（2） ，
① ②得： ，解得： ，
将 代入②得： ，解得： ，
方程组的解也是方程 的解，
，
，
q为整数，且q不等于0或 ，
或 ，
p是整数，
时， 有最小整数值，则 有最小整数值，
11
学科网（北京）股份有限公司，
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知关于 的方程组
（1）若方程组的解满足 ，则 ．
（2）若方程组的解中 恰为整数， 也为整数， ．
【答案】 / 或 / 或
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法
【分析】本题考查了二元一次方程组的解：
（1）根据 可得 ，代入 求解即可；
（2）利用加减消元法解关于x、y的方程组得到 ，利用有理数的整除性得到 ，从而得到
满足条件的m的值．
【详解】解：（1） ，
，代入 ，
得 ，解得 ，
故答案为： ；
（2） ，
① ②得 ，
解得： ，
12
学科网（北京）股份有限公司为整数， 也为整数，
，
或 ，
故答案为： 或 ．
03 压轴题型
【压轴题型】
压轴题型一 换元法解二元一次方程组
例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组 ，若设
， ，则原方程组可变形为 ，解方程组得 ，所以 ，解方程组
得 ．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)请用这种方法解方程组 ；
(2)已知关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，则关于m、n的二元一次方程组
的解为______．
【答案】(1)
13
学科网（北京）股份有限公司(2)
【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
（1）设 ，则原方程组变形为 ，然后解方程组求出A、B的值进而建立方
程组 ，解方程组即可得到答案；
（2）根据关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，得出 ，解关于m、n的方程组
即可．
【详解】（1）解：设 ，
∴原方程组变形得： ，
整理得： ，
得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
∴ ，
解得： ．
14
学科网（北京）股份有限公司（2）解：∵关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，
∴关于m、n的二元一次方程组 中 ，
解方程组 得： ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组
时，采用了一种“整体换元”的解法．把 看成一个整体，设 ,原方程组可变为
，解得 ，即 ，解得
(1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组：
(2)已知关于x,y的方程组 的解为 ，求关于m，n的方程组
的解．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二元一次方程组的特殊解法、代入消元法
【分析】本题考查的是整体法即换元法解二元一次方程组，熟练的确定整体未知数是解本题的关键.
15
学科网（北京）股份有限公司（1）设 ，原方程组化为： ，求解 ，再求解原方程组的解即可；
（2）设 ， ，原方程组化为： ，可得 ，再解方程组即可.
【详解】（1）解：设 ，
原方程组化为： ，
得： ，即 ③
把③代入①得： ，即 ，
把 代入③得： ，
∴ ，
解得： ；
（2）设 ， ，
原方程组化为： ，
∴ ，
解得： .
2．（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
16
学科网（北京）股份有限公司解方程组 ．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易
出错．如果把方程组中的 看成一个整体，把 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
以下是他的解题过程：
令 ， ．原方程组化为 ，解得 ，
把 代入 ， ，得 ，解得 ，
原方程组的解为 ．
(1)学以致用：
运用上述方法解方程组：
(2)拓展提升：
已知关于x，y的方程组 的解为 ，请直接写出关于m、n的方程组
的解是______．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组：
（1）结合题意，利用整体代入法求解，令 ， 得 ，解得 即 即
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学科网（北京）股份有限公司可求解；
（2）结合题意，利用整体代入法求解，令 ， ，则 可化为
，且解为 则有 ，求解即可．
【详解】（1）解：令 ， ，
原方程组化为 ，
解得 ，
，
解得： ，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：在 中，令 ， ，
则 可化为 ，
∵方程组 解为 ，
∴ ，
18
学科网（北京）股份有限公司，
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考
阅读下列材料，完成后面的任务．
善于思考的李同学在解方程组 时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把 看成一个整体，设 ， ．
原方程组可化为 ，解得 原方程组的解为 ．
任务：
(1)方程组 的解是 ，则方程组 的解是______；
(2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组 ．
【答案】(1)
(2) ．
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元
法”的步骤是解题关键．
19
学科网（北京）股份有限公司（1）根据题意所给材料可得出 ，再解出这个方程组即可．
（2）根据题意所给材料可令 ，则原方程组可化为 ，解出m，n，代入
，再解出关于x，y的方程组即可．
【详解】（1）解：∵方程组 的解是 ，
∴ ，
解得： ；
故答案为： ；
（2）解：对于 ，令 ，
则原方程组可化为 ，
解得： ，
∴ ，
20
学科网（北京）股份有限公司解得： ．
压轴题型二 新定义型二元一次方程组
例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定
．若 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的特殊解法、新定义下的实数运算
【分析】本题主要考查了新定义运算，根据题意列出方程组求解是解题的关键．根据新定义运算的公式，
列出x，y的方程组计算即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
两式相加得： ，
∴ ．
故选：C．
巩固训练
1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）对 、 定义一种运算 ，规定 （其中 、 为
非零常数），如 ，若 ，则 （ ）
A． B．0 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】根据新运算法则可得关于m、n的方程组，再两式相减可得答案.
【详解】解：因为 ，
21
学科网（北京）股份有限公司所以 ，两式相减可得 ，
即 ；
故选：B.
【点睛】本题以新运算为载体，考查了二元一次方程组的解法，正确得出方程组是关键.
2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对 、 定义一种新运算 ，规定： （其中 、
均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如： ，若 ，
，则下列结论正确的有 ．
（1） ， ；
（2）若 ， ，则 ；
（3）若 ，则 、 有且仅有2组正整数解；
（4）若 ， ， 对任意有理数 、 都成立，则 ．
【答案】（1）（2）/（2）（1）
【知识点】二元一次方程组的特殊解法、加减消元法、二元一次方程的解
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，由题意联立方程组 ，
求出 、 的值，即可确定（1）正确；由已知，得到 ，求出 即可确定（2）正确；根据
， ， ，可求 、 的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程
，得到 ，由对任意有理数 、 都成立，则 ，即可 确定（4）
不正确．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
解得 ，故（1）正确；
22
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故（2）正确；
∵ ，
∴ ，
当 时，则 不成立，
∴ ，
∴ ，
∵m、n都是整数，
∴ 或 或 ，
∴ 或 或0或 或 或 ，
∴满足题意的m、n的值可以为 ， ， ， ， ， ，故（3）错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 对任意有理数 、 都成立，
∴ ，故（4）错误；
故答案为：（1）（2）．
3．（2023七年级下·江苏·专题练习）对于有理数x，y，定义新运算： ，其
中a，b是常数．已知 ．
(1)求a，b的值；
23
学科网（北京）股份有限公司(2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程 ，求m的值；
(3)若关于x，y的方程组 的解为 ，求关于x，y的方程组
的解．
【答案】(1)
(2)m
(3)
【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法
【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程 求解即可；
（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．
【详解】（1）解：由题意得 ，
解得： ；
（2）解：依题意得 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
24
学科网（北京）股份有限公司（3）解：由题意得： 方程组 的解为 ，
∴由方程组 得方程组 ，
∴方程组 的解满足 ，
解得 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，
找出等量关系列出方程组是解题的关键．
4．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：关于 的方程 与方程 （a、b均为不等
于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程 与方程 互为“反对方程”．
(1)若关于 的方程 与方程 互为“反对方程”，则 ______；
(2)若关于 的方程 与方程 互为“反对方程”，求 、 的值；
(3)若关于 的方程 与其“反对方程”的解都是整数，求整数 的值 ．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【知识点】构造二元一次方程组求解、其他问题(一元一次方程的应用)、方程的解
【分析】此题考查的是新定义，二元一次方程组的应用，方和的解，能够正确理解新定义是解决此题的关
键．
（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案；
（2）根据“反对方程”的定义建立方程组求解可得答案；
（3）根据“反对方程” 与 的解均为整数，可得 与 都为整数，由此可得答案．
【详解】（1）解：由题可知， 与 、 均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，
与方程 互为“反对方程”，
25
学科网（北京）股份有限公司．
（2）解：将 写成 的形式，
∵关于 的方程 与方程 互为“反对方程”，
∴
∴
（3）解： 的“反对方程”为 ，
由 得， ，
当 ，得 ，
与 的解均为整数，
与 都为整数，
也为整数，
当 时， ， ，都为整数，
当 时， ， ，都为整数，
的值为 ．
5．（23-24七年级下·北京海淀·期中）定义：形如关于 的方程 与 的两个方程互为共
轭二元一次方程，其中 ；由这两个方程组成的方程组 ，叫做共轭方程组．
(1)请写出方程 的共轭二元一次方程： ；
(2)若方程 中 的值满足表格：
﹣
x 2
1
26
学科网（北京）股份有限公司y 2 1
求这个方程的共轭二元一次方程；
(3)若共轭方程组 的解是 ，请你求出 的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】加减消元法、代入消元法、新定义下的实数运算
【分析】本题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确
定共轭方程及方程组是解题的关键．
（1）根据共轭二元一次方程的定义即可得到；
（2）根据表格的数据求得 ，即可求得这个方程的共轭二元一次方程；
（3）分别根据代入法或是加减法解方程组，观察解中 与 的关系即可得到答案．
【详解】（1）解：方程 的共轭二元一次方程是 ，
故答案为： ；
（2）解：方程 中，当 时， ；当 时， ，
，
解得 ，
这个方程的共轭二元一次方程是 ；
（3）解： ，
得， ，
得， ，
27
学科网（北京）股份有限公司解得 ，
将 代入 得， ，
解得 ，
，
共轭方程组 的解是 ，
．
压轴题型三 二元一次方程(组)中的整数解问题
例题：（23-24七年级下·重庆·期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程 有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由 ，得
（x，y为正整数）．要使 为正整数，则 为正整数，可知：x为3的倍数，
从而 ，代入 ．所以 的正整数解为 ．
问题：
(1)请你直接写出方程 的正整数解 ；
(2)若 为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ；
(3)若关于x，y的二元一次方程组 的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解．
【答案】(1)
(2)0或
(3)当 时 ；当 时
【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解的情况求参数
28
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解二元一次方程：
（1）先移项，在把x的系数化为1，可得 ，再根据 、 为正整数，即可求解；
（2）根据 为负整数， ，可得 或 或 或
，再根据x为整数即可得到答案；
（3）先求出方程组的解为 ，再根据方程组的解是正整数，可得 或 ，从而得
到k取0或1，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ 、 为正整数，
∴ 是3的倍数，且 ，
∴只有 ， 满足题意，
∴方程 的正整数解为 ；
故答案为： ；
（2）解；∵ 为负整数， ，
∴ 或 或 或 ，
解得 或 （舍去）或 或 （舍去）；
故答案为：0或 ；
（3）解： ，
29
学科网（北京）股份有限公司得： ，解得 ，
把 代入①得： ，解得 ，
∴方程组的解为
∵关于x，y的二元一次方程组 的解是正整数，
∴ 都是正整数，
∴当 为正整数时， 或 或 或 ；
当 为正整数数， 或 ，
∴只有当 或 时 都是正整数，
∴ 或 ，
∴当 时， ；当 时， 。
巩固训练
1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于 的方程组 ，其中 ， 为整数．
(1)若方程组有无穷多组解，求实数 与 的值；
(2)当 时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)没有，理由见详解
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】（1）先把①中 的值代入②，使方程变为只含 的一元一次方程，根据 的系数讨论方程组有无
穷多组解时 的取值即可；
（2）要分类讨论，即 和 ，再结合整数解的问题，进一步分析作答．
本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或
30
学科网（北京）股份有限公司互为相反数时用加减消元法较简单．
【详解】（1）解：依题意，
由①得， ，③
将③代入②得 ，
整理得出 ，④
∵方程组有无穷多组解
∴ 且 时，
即 ，则 ，
∴ ，
（2）解：没有，理由如下：
由（1）得
∵
∴
整理得
①当 时，即 ，
∵
∴此时方程组为
则
∵ 为整数
∴原方程没有整数解
②当 时，即 ，此时 ，
若 时， 显然无解，
31
学科网（北京）股份有限公司若 时， ，代入 得
∵a为整数，
∴ 不可能为整数，
∴原方程无整数解；
综上：原方程没有整数解
2．（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于 的方程组
(1)请直接写出方程 的所有正整数解 ；
(2)无论数 取何值，方程 总有一个固定的解，请求出这个解；
(3)若方程组的解中 恰为整数， 也为整数，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【知识点】二元一次方程的解、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解
是本题的关键．
（1）将 做已知数求出 ，即可确定出方程的正整数解；
（2）由固定的解与 无关，可得 ，代入可得固定的解；
（3）求出方程组中 的值，根据 恰为整数， 也为整数，可确定 的值．
【详解】（1）解：方程 ，
∴ ，
当 时， ；
当 时， ，
32
学科网（北京）股份有限公司方程 的所有正整数解为： ， ．
（2）解： ，
∴ ，
∴当 时， ，
即固定的解为： ．
（3）解： ，
得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ 恰为整数， 也为整数，
∴ 是 的约数，
∴ 或 ，
故 或 ．
3．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组 ．
(1)请直接写出方程 的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足 ，求m的值；
(3)如果方程组有整数解，求整数m的值．
【答案】(1) ，
(2)
33
学科网（北京）股份有限公司(3)整数 的值为 或2
【知识点】二元一次方程的解、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则
是解本题的关键．
（1）把 看作已知数表示出 ，进而确定出方程的正整数解即可；
（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出 与 的值，进而求出 的值；
（3）根据方程组有整数解，确定出整数 的值即可．
【详解】（1）解：方程 ，
解得： ，
当 时， ；
当 ， ；
即方程 的正整数的解为 ， ；
（2）解：联立得 ，
解得 ，
代入 得： ，
解得 ；
（3）解： ，
① ②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
当 ，1， ， ，4， 时， 为整数，此时 ， ， ， ，2， ，
当 时， ，不符合题意；
34
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，不符合题意；
当 时， ，符合题意；
当 时， ，符合题意，
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，不符合题意，
综上所述，整数 的值为 或2．
4．（22-23七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如 ， ， ……都是方程 的解，
但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求 这个二元一次方程的正整数解．
解： ，得： ，
根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道
方程 的正整数解为 或 ．
问题：
(1)若 为非负整数，则满足条件的整数x的值有______个．
(2)直接写出满足方程 的正整数解______．
(3)若要把一根长为 的绳子截成长为 和 两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费
材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．
【答案】(1)6
(2)
(3)共有2种截法，截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；截法2：截成8段3m，2段4m的绳子
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、二元一次方程的解
35
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解一元一次方程：
（1）根据题意可得 或 或 或 或 或 ，解方程即可得到答
案；
（2）先求出 ，再由 都是正整数得到 是正整数，即 或 ，据此可得答案；
（3）设 和 两种规格的绳子分别为x段，y段，由题意得， ，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ 为非负整数，
∴ 或 或 或 或 或 ，
解得 或 或 或 或 或 ，
故答案为：6；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 都是正整数，
∴ 是正整数，即 或 ，
当 时， （不符合题意）；
当 时， 符合题意，
∴ 的正整数解为 ，
故答案为： ；
（3）解：设 和 两种规格的绳子分别为x段，y段，
由题意得， ，
∴ ，
∵x、y都为正整数，
∴ 是正整数，
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学科网（北京）股份有限公司∴x是4的倍数，
∴当 ， ；当 ， ，
∴共有2种截法，截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；截法2：截成8段3m，2段4m的绳子．
压轴题型四 应用二元一次方程组之销售、利润问题
例题：（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化 行动计划”，搭建数字化
校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买 台电子白板和 台平板电脑共需 万元；购买3台
电子白板和4 台平板电脑共需 万元．
(1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？
(2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共 台，其中电子白板不超过 台，某商家给出了
两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买 台电子白板，送 台平板电脑．若购
买电子白板 台和平板电脑所需的费用为 （万元），请根据两种优惠方案分别写出 关于 的函数表达
式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱．
【答案】(1)电子白板的单价是 万元，平板电脑的单价是 万元；
(2)当 时，方案一更省钱；当 时，两种方案花费一样；当 时，方案二更省钱．
【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、函数解析式、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出
方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案．
（1）根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元；
（2）根据题意，分别写出两种方案下， 关于 的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应
选用哪种优惠方案购买更省钱．
【详解】（1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元，
，
解得： ，
答：电子白板的单价是 万元，平板电脑的单价是 万元；
（2）由题意可得，方案一∶ 关于 的函数表达式为∶ ，
方案二∶ 关于a的函数表达式为∶ ，
37
学科网（北京）股份有限公司当 时，得 ，即当 时，选择方案一；
当 时，得 ，即当 时，方案一和方案二花费一样多；
当 ，得 ，即当 时，选择方案二；
综上所述，当 时，方案一更省钱，当 时，两种方案花费一样，当 时，方案二更省钱．
巩固训练
1.（22-23八年级下·辽宁本溪·开学考试）某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融
两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、标价如下表：
冰墩墩 雪容融
进价（元/个） 120 70
标价（元/个） 160 100
(1)求该商场冰墩墩和雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个?
(2)如果商场将冰墩墩毛绒玩具按标价的9折出售，雪容融毛绒玩具按标价的8折出售，那么商场将这两种
毛绒玩具全部售出后会获利多少元?
【答案】(1)该商场冰墩墩毛绒玩具购进60个，雪容融毛绒玩具购进40个.
(2)商场将毛绒玩具全部售出后会获利1840元.
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设该商场冰墩墩毛绒玩具购进 个，雪容融毛绒玩具购进 个，根据某商场购进2022年冬奥会吉祥
物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，列出二元一次方程组，解方
程组即可；
（2）由题意列式计算即可．
【详解】（1）设该商场冰墩墩毛绒玩具购进 个，雪容融毛绒玩具购进 个，
由题意得： ，
解得： ，
答：该商场冰墩墩毛绒玩具购进60个，雪容融毛绒玩具购进40个；
（2） （元 ，
答：商场将这两种毛绒玩具全部售出后会获利1840元．
2.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某学年计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标
38
学科网（北京）股份有限公司价，帽子单价是50元，手套单价为 元，并且学年用于购进帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一
件，一副手套为一件）．
(1)第一次购进的帽子和手套共 件，求第一学年购买帽子和手套各多少件？
(2)第二次购买时从商场得知，帽子 件起售，超过 件的部分每件打八折，不超过 件的部分不予以
优惠；手套50件起售，超过50件的部分，每件优惠2元，不超过50件的部分不予以优惠，经过学年统计，
此次需购买帽子超过 件，购买手套也超过50件，且第二次购买帽子和手套共 件，则该学年第二次
需准备多少资金用来购买手套和帽子．
【答案】(1)帽子 件，手套 件
(2) 元
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设第一次购买 顶帽子， 副手套，由题意得 ，即可求解；
（2）设第二次购买了 顶帽子， 副手套，由题意得：
，求出 即可求解；
【详解】（1）解：设第一次购买 顶帽子， 副手套，
由题意得： ，
解得： ，
故：第一学年购买帽子 件，手套 件
（2）解：设第二次购买了 顶帽子， 副手套，
由题意得： ，
解得： ，
∴学校需要准备资金： （元）
39
学科网（北京）股份有限公司3.（24-25八年级上·福建福州·开学考试）古田水蜜桃有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点．当季是
水蜜桃成熟的季节，市场上水蜜桃的销量也与日俱增，某水蜜桃种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的
水蜜桃，对总计1000斤的水蜜桃进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：礼盒装每箱8斤，售价100元；
简易装每箱18斤，售价180元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤水蜜桃（箱数为整数且两
种方式至少各有一箱）．
(1)若这批水蜜桃全部售完，销售总收入10700元，请问礼盒装共包装了多少箱，简易装共包装了多少箱？
(2)若水蜜桃种植大户留下 箱礼盒装水蜜桃送人，其余水蜜桃全部售出，应该如何分配两种打包方
式才能使销售总收入达到11420元，求此时a的值．
【答案】(1)礼盒装共包装了35箱，简易装共包装了40箱；
(2)礼盒装共包装了116箱，则简易装共包装了4箱，此时a的值为9．
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】此题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述
的意思，转化为方程思想求解．
（1）设礼盒装共包装了 箱，则简易装共包装 箱，根据等量关系可得出方程组，解出即可；
（2）设礼盒装共包装了 箱，则简易装共包装了 箱，根据等量关系可得出关于 的方程，根据
， 都是正整数，据此求解即可．
【详解】（1）解：设礼盒装共包装了 箱，简易装共包装了 箱，由题意，得：
，
解得： ，
答：礼盒装共包装了35箱，简易装共包装了40箱；
（2）解：设礼盒装共包装了 箱，则简易装共包装了 箱，
由题意，得： ，
解得： ，
40
学科网（北京）股份有限公司∵ ， 都是正整数，且 ，
∴ 且 ，
∴ ，
∵ ， ， 都是正整数
∴ ，
∴ ， ，
答：礼盒装共包装了116箱，则简易装共包装了4箱，此时a的值为9．
压轴题型五 应用二元一次方程组之方案问题
例题：（24-25八年级上·全国·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人
们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如
下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润 （售价 进价） 销售量]
A B
进价/（万元/辆） 15 12
售价/（万元/辆） 16.5 14
(1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？
(2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用
完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？
【答案】(1)购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆
(2)共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号
的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列
出二元一次方程（组）．
（1）设购买A型号的汽车a辆，B种型号的汽车b辆，根据题意列二元一次方程组，即可求解；
（2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为240万元列出二元一次方程，进而分析
得出购买方案．
【详解】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，
41
学科网（北京）股份有限公司由题意可得 ，
解得 ，
答：购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆；
（2）解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，
由题意可得 ，
∴ ，
∵ ， ，m和n均为整数，
∴ 或 或 ．
答：共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型
号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆．
巩固训练
1.（24-25八年级上·山东德州·开学考试）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解
1辆 型新能源汽车和3辆 型新能源汽车的进价共计55万元；4辆 型新能源汽车和2辆 型新能源汽
车的进价共计120万元．
(1)求 ， 两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元；
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你
通过计算帮该公司求出全部的购买方案．
【答案】(1) ， 两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为 ， 万元
(2)该公司共有三种购买方案：方案一：购买 型新能源汽车 辆， 型新能源汽车 辆；方案二：购买
型新能源汽车 辆， 型新能源汽车10辆；方案三：购买 型新能源汽车 辆， 型新能源汽车 辆
【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应
用)
【分析】本题考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元
一次方程组以及二元一次方程是解此题的关键．
（1）设 ， 两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为 ， 万元，根据“1辆 型新能源汽车和3辆
型新能源汽车的进价共计55万元；4辆 型新能源汽车和2辆 型新能源汽车的进价共计120万元”列出
42
学科网（北京）股份有限公司二元一次方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设购买 型新能源汽车 辆， 型新能源汽车 辆，根据“该公司计划正好用200万元购进以上两种
型号的新能源汽车”列出二元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：设 ， 两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为 ， 万元，
由题意得： ，
解得： ，
∴ ， 两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为 ， 万元；
（2）解：设购买 型新能源汽车 辆， 型新能源汽车 辆，
由题意得： ，
整理得： ，
∵ 、 均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴该公司共有三种购买方案：方案一：购买 型新能源汽车 辆， 型新能源汽车 辆；方案二：购买
型新能源汽车 辆， 型新能源汽车10辆；方案三：购买 型新能源汽车 辆， 型新能源汽车 辆．
2.（23-24八年级上·全国·单元测试）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质
脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载
满脐橙一次可运走 ；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走 ，现有脐橙 ，计划同时租
用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨?
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少
租车费．
【答案】(1)1辆A 型车载满脐橙一次可运送 ，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送
(2)一共有3种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；方
案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆
43
学科网（北京）股份有限公司(3)最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．
（1）设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送 ，1辆B 型车载满脐橙一次可运送 ，根据2辆A型车和1辆
B型车载满脐橙一次可运走 ，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走 ，列出方程组，解方
程组即可；
（2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送 ，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送 ，现有脐橙 ，列出
二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可；
（3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案．
【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送 ，1辆B 型车载满脐橙一次可运送 ，依题意得：
解得： ，
答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送 ，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送 ；
（2）解：依题意得： ，
∵a，b均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴一共有3种租车方案：
方案一：租A型车1辆，B型车7辆；
方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；
方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆．
（3）解：方案一所需租金为： （元）；
方案二所需租金为： （元）；
方案三所需租金为： （元）；
∵ ，
∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元．
3.（22-23七年级下·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人
44
学科网（北京）股份有限公司们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够
的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．
生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新
工人每月可以安装22辆新能源汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？
(2)如果工厂招聘n（ ）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，
那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
(3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月
发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资
总额W（元）尽可能少？
【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车
(2)工厂有3种新工人的招聘方案：①新工人9人，熟练工2人；②新工人6人，熟练工3人；③新工人3
人，熟练工4人
(3)应招聘6名新工人
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到
等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值．
（1）设每名熟练工每月可以安装 辆电动汽车，每名新工人每月可以安装 辆电动汽车．根据“1名熟练
工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车”和“2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽
车”列方程组求解．
（2）设工厂有 名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据 ， 都是正整
数和 ，进行分析 的值的情况；
（3）根据总费用 熟练工人的费用 新工人的费用列出代数式，分别代入（2）中方案，计算比较即可得
出结论．
【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装 辆电动汽车，每名新工人每月可以安装 辆电动汽车．
根据题意得： ，
解得： ．
答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：设工厂有 名熟练工．
根据题意，得 ，
，
，
又 ， 都是正整数， ，
所以 ，6，3．
即工厂有3种新工人的招聘方案：
① ， ，即新工人9人，熟练工2人；
② ， ，即新工人6人，熟练工3人；
③ ， ，即新工人3人，熟练工4人．
（3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的数量多于熟练工，则 ， 或 ， ；
根据题意得： ．
当 时， （元）
当 时， （元）
，
当 ， 时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总
额 （元）尽可能少．
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