文档内容
10.1 二元一次方程组的概念 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册（以下统称“教材”）第十章“二元一次方
程组”10.1 二元一次方程组的概念，内容包括：理解二元一次方程(组)及其解的概念；会检验一对数
值是不是某个二元一次方程(组)的解；能针对具体问题列出二元一次方程(组)．
2.内容解析
本节课内容是方程知识体系的拓展，它丰富了方程的类型，让学生接触到更具一般性和实际应用价值
的方程模型，进一步深化对方程概念的理解. 二元一次方程(组)是进一步学习多元方程(组)、一次函数等知
识的基础. 同时，二元一次方程(组)是解决实际问题的有力工具，通过学习二元一次方程(组)，学生能够更
好地运用数学知识解决实际问题，提高数学应用能力，增强数学学习的实用性和趣味性．
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解二元一次方程(组)及其解的概念.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解二元一次方程(组)及其解的概念；会检验一对数值是不是某个二元一次方程(组)的解；能
针对具体问题列出二元一次方程(组).
（2）体会从实际问题抽象为数学问题的建模思想，在探究二元一次方程(组)的概念过程中，体会类比
思想．
（3）在分析实际问题，列出二元一次方程(组)的过程中，培养数学抽象能力和逻辑推理能力．
2.目标解析
（1）理解二元一次方程（组）及其解的概念是本节课的基础，检验解是对概念的具体应用，能让学
生直观感受方程（组）解的意义. 而根据具体问题列出方程（组），则是将所学知识用于解决实际问题，
培养学生的数学应用能力，是知识的深化与拓展.
（2）建模思想帮助学生学会用数学的眼光观察现实世界，将实际问题转化为数学模型求解，提升学
生分析和解决问题的能力. 类比思想通过对比一元一次方程，引导学生自主发现二元一次方程（组）的特
点和规律，有助于学生构建完整的知识体系，培养学生的自主学习能力和逻辑思维能力.
（3）数学抽象能力使学生能够从具体情境中提炼出数学要素，并用数学语言表达出来. 逻辑推理能力
则帮助学生依据已知条件和数学规则，推导出方程（组），培养学生思维的严谨性和条理性，为学生后续
学习更复杂的数学知识奠定基础.
三、教学问题诊断分析1.概念理解：学生容易混淆二元一次方程和二元一次方程组的概念，对解的唯一性和共同性把握不准.
在学习过程中，需要列举大量的正反实例，让学生对比分析，加深对二元一次方程和二元一次方程组概念
的理解.
2.列方程（组）：在解决实际问题的过程中，学生难以准确分析数量关系，找出等量关系. 在涉及多
个未知量和复杂情境的问题中，学生可能会遗漏关键信息，或者错误地建立等量关系. 在学习过程中，需
要加强分析实际问题的训练，引导学生从问题中的关键语句入手，找出等量关系. 可以采用小组合作学习
的方式，让学生互相交流讨论分析思路，分享解题经验. 同时，多提供一些不同类型的实际问题，如行程
问题、工程问题、销售问题等，让学生在练习中逐步提高分析问题和建立方程（组）的能力.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能针对具体问题列出二元一次方程(组).
四、教学过程设计
（一）情境引入
问题 新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某种
棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1 h就完成了8 hm2棉田的采摘．如果大型采棉机1 h完成2 hm2
棉田的采摘，小型采棉机1 h完成1 hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？
分析 在这个问题中，要求的是两个未知数．如果用一元一次方程来解决，列方程时，要用一个未知
数表示另一个未知数．能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？
（二）合作探究
探究1 列方程要先找到相等关系.问题中包含了哪些必须同时满足的相等关系？
若设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗？
分析 问题包含两个必须同时满足的相等关系：
大型采棉机台数＋小型采棉机台数＝总台数，
大型采棉机1 h采摘面积＋小型采棉机1 h采摘面积＝1 h采摘总面积.
这两个相等关系可以分别用方程x＋y＝6和2x＋y＝8表示．
探究2 这两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？
这两个方程中，①每个方程都含有两个未知数 （x和y）；②含有未知数的式子都是整式；③含有未
知数的项的次数都是1. 像这样的方程叫作二元一次方程.
{ x＋y＝6
把这两个方程合在一起，就组成了一个方程组．
2x＋y＝8
这个方程组中，①含有两个未知数；②含有未知数的式子都是整式；③含有未知数的项的次数都是1.
一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
探究3 满足方程x＋y＝6，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中．一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解．
{x＝1
例如， 是方程x＋y＝6的一个解.
y＝5
追问 表中哪对x，y的值还满足方程2x＋y＝8？
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解．
{x＝4 { x＋y＝6
例如， 是方程组 的解.
y＝2 2x＋y＝8
（三）典例分析
例1 对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.
（1）某村乡村振兴项目计划把28 t黄桃加工成罐头，刚开始每天加工2 t， 后在技术顾问的指导下
改进加工方法，每天加工4 t，前后共用8天完成全部加工任务．这个项目改进加工方法前、后各用了多少
天？
分析 问题包含两个必须同时满足的相等关系：
改进加工方法前的工作天数＋改进加工方法后的工作天数＝总天数，
改进加工方法前的工作量＋改进加工方法后的工作量＝总工作量.
设这个项目改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天：
这两个相等关系可以分别用方程x＋y＝8和2x＋4y＝28表示．
小组讨论 如何找出方程组的解呢？
解：设这个项目改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，由题意得：
{ x+ y＝8
2x+4 y＝28
当x=2，y=6时，x+y=8且2x+4y=28.
答：这个项目改进加工方法前用了2天，改进加工方法后用了6天.
（2）在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队在10场比赛
中得到16分，这个队的胜、负场数分别是多少？
分析 问题包含两个必须同时满足的相等关系：胜场数＋负场数＝总场数，
胜场积分＋负场积分＝总积分.
设这个队的胜场数是x，负场数是y：
这两个相等关系可以分别用方程x＋y＝10和2x＋y＝16表示．
解：设这个队的胜场数是x，负场数是y，由题意得：
{ x+ y＝10
2x+ y＝16
当x=6，y=4时，x+y=10且2x+y=16.
答：这个队的胜场数是6，负场数是4.
设计意图：在列方程解决实际问题时，让学生从不同角度思考问题，探索多种解题路径，这样做可以
激发思维活力，培养创新思维.在合作交流方面，讨论为学生提供了交流平台，分享方法和思路时，能相
互学习、拓宽视野，培养合作精神. 而且不同方法代表不同思考过程，讨论中，学生可对比分析，深化对
知识的理解，掌握不同解题策略，强化知识运用能力.
（四）巩固练习
1. 下列式子中，是二元一次方程的是（A）
A．x+y＝1 B．2x﹣1＝x C．x2+y2＝4 D．y＝2x2
2. 填表，使上下每对x，y的值是方程3x+y＝5的解．
{ x+6 y＝4
3. 方程组 的解是（C）
3x−y＝2.5
{ x＝2 {x＝−5.5 { x＝1 { x＝−1
A. B. C. D.
y＝−0.25 y＝4 y＝0.5 y＝−0.5
{x＝1 { x＝0
4. 和 都是方程ax﹣y＝b的解，则a﹣b的值是（C）
y＝3 y＝−2
A．﹣3 B．2 C．3 D．7
5.已知（ a ﹣ 2 ） ݔ ܽ(cid:2) y ＝ 1 是一个二元一次方程，则a的值为（B）
2
A．±2 − 3 B．﹣2 C．2 D．无法确定
+
6.已知方程(m2﹣1)x2+(m+2)x+(m+1)y＝m+3，当m＝ - 1 时，该方程是一元一次方程；当m＝ 1
时，该方程是二元一次方程．
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知
的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.（五）归纳总结
（六）感受中考
1.（2023•无锡）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（D）
ݔ ݔ ݔ ݔ
A． B． C． D．
ݕ ݕ ݕ ݕ
=1 =2 =0.5 =−2
=2 =0 =3 =4
{x＝1
2.（2022•雅安）已知 是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 1 ．
y＝2
{x＝2
3.（2021•金华）已知 是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是 2 .
y＝m
ݔ ݕ
ݕݔ
4.（凉山州）下列方程组中是二元一次方程组的是（D A） ． B．
ݔ ݕ ݕ
=1
ݔ5 −2 =3
1
ݕ ݔ ݔ ݕ ݔ+ ݖ=2 ݔ+ =3
A． B． C． D．ݔ ݕ
ݔ ݕ ݕ ݔ ݕ
=1 ݔ5 −2 =3 2 + =0 =5
1 1
ݔ+ ݖ=2 ݔ+ =3 3 − = 5 2 + 3 =7
5.（C毕．节）已知关于x，y的方程Dx2．m-n-ݔ2+4yݕm+n+1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（A）
ݔ ݕ
2 + =0 =5
1
A．m3＝−1，n=＝﹣1 B．m＝+﹣=1，7 n＝1
5 2 3
C．ܽ(cid:3) ，ܽ(cid:4) D．ܽ(cid:3) ，ܽ(cid:4)
1 4 1 4
= =− =− =
3 3 3 3
{ x＝2
6.（盐城）若一个二元一次方程的一个解为 ，则这个方程可能是 x + y =1 ．
y＝−1
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.（七）小结梳理
设计意图：运用思维导图将本节课主要知识点清晰呈现，同时体现二元一次方程(组)与一元一次方程
的类比关系. 以一元一次方程的研究思路为参照，让学生提前了解后续学习方向，为新课学习做好心理和
知识准备，增强学习的主动性与连贯性.
（八）布置作业
1.必做题：习题10.1 第3题，第4题.
2.探究性作业：习题10.1 第5题.
五、教学反思
