文档内容
10.1 二元一次方程组的概念【9 个必考点】
【人教版2024】
【知识点1 二元一次方程的概念】..........................................................................................................................1
【必考点1 判断二元一次方程的个数】.................................................................................................................1
【必考点2 由二元一次方程的概念求字母的值】.................................................................................................2
【知识点2 二元一次方程的解】..............................................................................................................................2
【必考点3 二元一次方程的解代入求值】.............................................................................................................2
【必考点4 二元一次方程的整数解】.....................................................................................................................3
【知识点3 二元一次方程组的概念】.....................................................................................................................3
【必考点5 判断二元一次方程组的个数】.............................................................................................................3
【必考点6 由二元一次方程组的概念求字母的值】.............................................................................................4
【知识点4 二元一次方程组的解】..........................................................................................................................4
【必考点7 二元一次方程组的解代入求值】.........................................................................................................5
【必考点8 判断二元一次方程组的解的情况】.....................................................................................................5
【必考点9 二元一次方程组的整数解】.................................................................................................................6
【知识点1 二元一次方程的概念】
概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
【易错点剖析】
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
【必考点1 判断二元一次方程的个数】
1
【例1】方程2x− =0，3x+y＝0，2x+xy＝1，3x+y﹣2x＝0，x2﹣x+1＝0中，二元一次方程的个数是（
y
）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2 1
【变式1】下列方程：①x+y＝1；②2x− =1；③x2+2x＝﹣1；④5xy＝1；⑤x− y=2，是二元一
y 3
次方程的是（ ）
A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④【变式2】下列方程中，二元一次方程的个数有（ ）
y x 3 x y 1
①2x− =1；② + =3；③x2﹣y2＝4；④ + =7；⑤2x2＝3；⑥x+ =4．
3 2 y 4 3 y
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】下列方程中，二元一次方程的个数为（ ）
1 x
①xy＝1；②2x＝3y；③x− =2；④x2+y＝3；⑤ =3 y−1．
y 4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【必考点2 由二元一次方程的概念求字母的值】
【例1】已知方程（m+1）x+2y|m|＝0是关于x的二元一次方程，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．0或1
【变式1】若3xm+1+2y2n﹣3＝﹣5是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A．m＝0，n＝2 B．m＝0，n＝﹣2 C．m＝2，n＝﹣2 D．m＝﹣2，n＝1
【变式2】若kx|k﹣1|+（k+1）y＝k是关于x，y的二元一次方程，则k＝ ．
【变式3】若 是关于x、y的二元一次方程，则a+b的值 ．
(a−3)xb+ ya2−8=0
【知识点2 二元一次方程的解】
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
【易错点剖析】
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程
{x＝a¿¿¿¿
的解通常表示为 的形式.
【必考点3 二元一次方程的解代入求值】
{x=−2k)
【例1】已知 是二元一次方程5x﹣4y＝6的解，则k的值为（ ）
y=1
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【变式1】已知关于x，y的二元一次方程●x﹣2y＝4中x的系数让墨迹盖住了，但是知道它一组解是
{ x=2 )
，那么●的值是（ ）
y=−1
A．1 B．3 C．0 D．﹣8{x=2)
【变式2】已知 是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（ ）
y=3
A．14 B．11 C．7 D．4
{x=1)
【变式3】已知 是关于x，y的方程mx﹣ny＝5的一个解，则7﹣m+2n＝（ ）
y=2
A．﹣12 B．﹣2 C．2 D．12
【必考点4 二元一次方程的整数解】
【例1】二元一次方程3x+2y＝12的非负整数解（即x、y都是非负整数）有（ ）对
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】二元一次方程3x+2y＝10的非负整数解的情况是（ ）
A．无解 B．有且只有一组解
C．有两组解 D．有无数组解
【变式2】二元一次方程3x+y＝15的正整数解共有（ ）组．
A．3 B．4 C．5 D．6
{x=2)
【变式3】如果 是方程2ax+by＝13的解，a，b是正整数，则a+b的最小值是（ ）
y=1
A．3 B．4 C．5 D．6
【知识点3 二元一次方程组的概念】
概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程
组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组 .
【易错点剖析】
（1）它的一般形式为 （其中 ， ， ， 不同时为零）．
（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．
（3）符号“ ”表示同时满足，相当于“且”的意思．
【必考点5 判断二元一次方程组的个数】
【例1】下列方程组中属于二元一次方程组的是（ ）
{x−3 y=5) {xy+1=0) { x+ y=6 ) { x=6 )
① ，② ，③ ，④ ．
2x= y−1 x= y y+1=z+4 2y+x=3A．①② B．③④ C．①③ D．①④
{ xy=1 ) {x=1)
{1
+
1
=1) { x=2 ) {x+ y=5)
【变式1】在方程组 ， ， x y ， ， 中，是二元一次方程
x+2y=3 y=1 3 y−x=1 y=7+z
x+ y=1
组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
{2x−y=1) { x=2 ) { x+ y=0 ) { xy=1 )
{1
+
1
=1)
【变式2】在方程组 ， ， ， ， x y 中，是二元
y=3z+1 3 y−x=1 3x−y=5 x+2y=3
x+ y=1
一次方程组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
{2x−y=1) {x+2y =1) { xy=2 )
{1
+
1
=1) {x=1)
【变式3】方程组 ， ， ， x y ， 中，是二元一次方程
y=3z+1 3 y−x=4 x+2y=3 y=1
x+ y=1
组的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【必考点6 由二元一次方程组的概念求字母的值】
{ 4x−2y=7 )
【例1】若方程组 是二元一次方程组，则a的值为 ．
y+az+3x=0
【变式1】若{3xa−1+8 y=2，)是关于x，y的二元一次方程组，则ab＝ ．
4x+bz= y，
【变式2】方程组{ y−(a−1)x=5 )是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 ．
y|a|+(b−5)xy=3
【变式3】若方程组{x−(c+3)xy=3)是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是
xa−2−yb+3=4
．
【知识点4 二元一次方程组的解】
概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【易错点剖析】
（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方
程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；
{2x+y=5¿¿¿¿
（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组 无解，而方程组
{x+y=−1¿¿¿¿
的解有无数个.
【必考点7 二元一次方程组的解代入求值】
{x=2) {ax−3 y=1)
【例1】已知 是方程组 的解，则a和b的值分别是（ ）
y=1 x+by=5
A．a＝2，b＝3 B．a＝2，b＝2 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝3，b＝﹣2
{ mx+2y=n ) { x=1 )
【变式1】已知关于x、y的方程组 的解是 ，那么m，n的值为（ ）
4x−ny=2m−1 y=−1
{m=1
)
{m=2) {m=3) {m=3)
A． B． C． D．
n=−1 n=1 n=2 n=1
{ x+my=0 ) {x=1)
【变式2】若关于x、y的方程组 的解为 ，其中y的值被盖住了，不过仍能求出m，则
2x+3 y=8 y=■
m的值为（ ）
1 1 1 1
A．− B． C．− D．
2 2 4 4
{ x+ y=● ) { x=2 )
【变式3】亮亮求得方程组 的解为 ，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数
3x−y=6 y=☆
●和☆，请你帮他找回这两个数，“●”“☆”表示的数分别为（ ）
A．●＝2，☆＝0 B．●＝2，☆＝3 C．●＝0，☆＝2 D．●＝2，☆＝2
【必考点8 判断二元一次方程组的解的情况】
{3x−4 y=5 )
【例1】方程组 的解的情况是（ ）
6x−8 y=12
A．一组解 B．两组解 C．无数组解 D．无解
{ax+3 y=2)
【变式1】已知关于x，y的二元一次方程组 无解，则a的值是（ ）
2x−y=1
A．2 B．6 C．﹣2 D．﹣6
{x−y=1
)
【变式2】二元一次方程组 的解的情况是（ ）
x+2y=3
A．无解 B．有无数组解C．有两组解 D．只有一组解
【变式3】下列方程组中，有无数组解的是（ ）
{2x−y=−2)
A．
x−2y=−1
{y=3x+5)
B．
y=3x−2
{ x−4 y−7=0 )
C．
2x−8 y−14=0
{ y=x−3 )
D．
y=2x−3
【必考点9 二元一次方程组的整数解】
{mx−2y=2)
【例1】若关于x，y的方程组 有正整数解，则正整数m的值为（ ）
x+2y=4
A．1，2，5 B．1，5 C．5 D．2
{x+ky=6−k)
【变式1】方程组 有正整数解，则整数k的个数是（ ）
x−2y=0
A．4 B．3 C．2 D．1
{mx+2y=10)
【变式2】m为正整数，已知二元一次方程组 有整数解，则m2的值为（ ）
3x−2y=0
A．4 B．49 C．4或49 D．1或49
{kx+ y=7)
【变式3】已知关于x，y的二元一次方程组 有正整数解，其中k为整数，则k2﹣1的值为（
3x−y=0
）
A．﹣2 B．3 C．﹣2或4 D．3或15
