第10章二元一次方程组（大单元教学设计）-（人教版2024）_初中数学_七年级数学下册（人教版）_大单元教学课件+教学设计-U42

第十章 二元一次方程组 大单元教学设计 主备人 课型 新授 时间 课程标准 课题 第10章 二元一次方程组 课时 课时 1. 教材地位与内容结构 本章是初中数学代数领域的重要章节，承上启下：既是对一元一次方程的拓展（从 “单一未知数”到“多元未知数”），也为后续学习三元一次方程组、一次函数及不 等式组奠定基础.教材围绕“二元一次方程（组）的概念→解法（代入法、消元法） →应用”展开，强调从实际问题中抽象数学模型，体现“数学源于生活又服务于生 活”的理念. 大单元主 2. 新课标要求 题背景分 依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本章需聚焦“模型观念”“应用意 析（教材 识”等核心素养，要求学生能通过分析简单实际问题中的数量关系，建立二元一次方 分析） 程组模型，并运用代数方法解决问题. 3. 学情分析 七年级学生已掌握一元一次方程的解法，但对多元方程存在认知断层，易混淆“方 程”与“方程组”的解法逻辑.教学中需通过对比教学（如“对比一元与二元方程的 异同”），引导学生经历“实际问题→数学模型→符号运算→结果检验”的完整过 程. 一、知识与技能 理解二元一次方程（组）及其解的概念，掌握代入消元法和加减消元法. 能根据实际问题列二元一次方程组，并检验解的合理性. 初步感知方程组解的情况（唯一解、无解、无穷多解）与系数的关系. 二、数学思考 通过对比一元与二元方程的解法，体会“消元”思想的核心价值，发展代数推理能 力. 单元教学 在探索方程组解的过程中，培养归纳、类比和符号化表达能力. 的目标 三、问题解决 能用方程组模型解决配套问题、工程问题、行程问题等经典题型. 通过小组合作设计“生活预算方案”（如合理分配零花钱），提升综合建 模能力. 四、情感态度 感受代数方法的普适性，增强对数学应用的信心. 在探究活动中培养耐心与批判性思维（如主动检验方程解的合理性）. 活动一 二元一次方程组 活动二 解二元一次方程组 学习活动 设计 活动三 实际问题与二元一次方程组 活动四 三元一次方程组的解法 1. 过程性评价 课堂观察：记录学生在小组讨论中的参与度（如能否清晰表达“消元”步骤的逻辑）. 作业分析：设计分层作业（基础题：解方程组；拓展题：设计含参数方程组并讨论解 的情况）. 2. 终结性评价 学习评价 单元测试：包含概念理解（如判断方程组类型）、技能应用（如解复杂方程组）、综 设计 合题（如列方程组解决实际问题）. 项目展示：以“我的购物清单”为主题，学生用方程组模型设计最优采购方案，并撰 写报告. 3. 评价量表示例 维度 优秀（4-5分） 待改进（1-3分） 模型建立 准确抽象问题并列出规范方程组 无法将问题转化为数学表达式代数运算 灵活选择消元法且步骤清晰 机械套用公式，符号错误频发 反思能力 主动检验解的合理性并提出优化方案 忽略检验环节，解明显不符合实 际 在实施《二元一次方程组》单元教学后，需从实践反馈中动态优化教学策略.教学 中发现学生易混淆“代入法”与“加减法”的适用场景，对此可设计“方程组特征分 析表”，引导学生通过观察系数特点（如是否含简单系数、相反项或倍数关系）自主 选择解法，而非机械记忆步骤.针对计算过程中频繁出现的符号错误或漏乘项问题，可 引入“分步书写+同桌互查”机制，要求每一步运算标注算理（如“为何此处需乘 反思性教 2？”），并通过错误案例示范强化规范意识.为突破“消元思想”的抽象性，可借助 学改进 “天平平衡”实物模型，将代数运算转化为直观的等量关系操作.此外，需关注学生模 型意识的差异性：对学困生提供“消元法步骤卡”降低认知负荷，对学优生则设置 “含参数方程组解的情况探究”任务拓展思维深度.长期需跟踪学生能否将方程组工具 迁移至函数、不等式等领域，通过“数学建模日记”记录生活实例，形成“问题抽象 —符号建模—结果解释”的完整思维闭环，最终实现从“解题”到“解决问题”的素 养跃升. 单元教学 结构图 教学设计 课题 二元一次方程组 学习活动 教师活动 学生活动 设计意图 设计 新疆是我国棉花的主要产地之一. 教师提问，学生独立思考并举 通过学生熟 近年来，机械化采棉已经成为新疆棉 手回答. 悉的实际问 采摘的主要方式.某种棉大户租用6台 大、小两种型号的采棉机.1 h就完成 题引入，吸 活动一： 了8 hm2棉田的采摘.如果大型采棉机 引学生的课 二元一次 1 h完成 2 hm2棉田的采摘，小型采 方程组 棉机1 h完成1 hm2棉田的采摘，那 堂注意力: 么这个种棉大户租用了大、小型采棉 由浅入深， 机各多少台? 激发学习兴趣. ① 大型采棉机台数+小型采棉 用引言的问 机台数=总台数， 题引入本节 思考1：你能圈出图中重要的数据吗? ② 大型采棉机1h采摘面积+小 课内容，列 思考2：这个问题包含哪些相等关系? 型采棉机1h采摘面积=1h采摘 二元一次方 思考3： 总面积. 若设这个种棉大户租用了 x台大型采 程，为后面 棉机，y台小型采棉机，你能用方程 x+y=6 教学做好了 把这些相等关系表示出来吗？ 思考4: 铺垫. 若设这个种棉大户租用了 x台大型采 棉机，y台小型采棉机，你能用方程 把这些相等关系表示出来吗？ 有两个未知数，未知数的次数 也都是1. 与一元一次方程最大的不同在 从 实 际 出 于未知数的个数有2个. 思考5: 发，引入二 刚才得到的两个方程有什么特点？ 元一次方程 它们与一元一次方程有什么不同？ 的概念，符 方程含有两个未知数，且含有未 合学生的认 知数的式子都是整式，含有未知数的 项的次数都是1，这样的方程叫作二 知过程. 元一次方程. 充分鼓励学 学生独立思考然后讨论列出方 程，教师巡视，选两名学生作 生对于一元 答. 一次方程的 思考：下列方程中哪些是二元一次方 程，哪些不是?如果不是，请说明理 设立. 由. 简单定义完 判断要点：①是否为整式方程；②是 否含两个未知数； 全 应 该 放 ③未知数次数是否为1；④化简后未 根据条件列出关于字母参数的 手. 知数的系数不为0. 式子：含有未知数的项的次数 例1.已知 |m－1| x|m|＋y2n－1 ＝ 3 是 都是 1，且两个未知数的系数 关于 x、y 的二元一次方程，则 m＋ 都不为0．进而得到相应字母 让学生经历 n ＝_____． 参数的值． 合作探究的 过程，通过 刚才问题中得到的两个等量关系，必 类比一元一 须同时满足，也就是未知数x，y必须 次方程得出 同时满足方程 二元一次方 程(组)的概 念；培养学 生 发 现 问 把这两个方程合在一起，写成题，解决问 题和直观想 象能力. 就组成了一个方程组. 含有两个未知数，且含有未知数 的式子都是整式，含有未知数的项的 次数都是1，一共有两个方程，像这 样的方程组叫作二元一次方程组. 通过表格的 形式呈现符 合要求的 x 与y的值， 帮助学生有 教师提出问题，激发学生积极 效观察. 探寻解决问题的办法，通过合 思考：下列方程组中，哪些是二元一 作探究从而解决问题. 次方程组，哪些不是?为什么? 发展抽象能 力和推理能 力，初步培 养模型意识 和观念. 判断要点： ①两个方程是否为整式方程； ②方程组是否含两个未知数； 通过引例进 ③未知数次数是否为1. 一步学习二 元一次方程 的解，通过 满足方程 x+y=6，且符合问题的 学生归纳二 实际意义的x，y 的值有哪些？把它们 元一次方程 填入表中. 的 解 的 特 点，培养学 生的归纳总 结能力. 一般地，使二元一次方程两边的 值相等的两个未知数的值，叫作二元 一次方程的解. 二元一次方程的解的特点： (1)二元一次方程的解都是成对的两个 数，一般要用大括号联立表示，如 x=2，y=4是二元一次方程 x+y=6的一 组解，可写为 可以强调二 (2)一般地，二元一次方程有无数组 解，即有无数多对数值满足这个二元 元一次方程 一次方程.但如果对未知数的取值附加 应该有无数 某些限制条件，那么也可能解的数量 是有限的. 组解. (3)在二元一次方程中，只要给定其中 一个未知数的值，就可以相应地求出 二元一次方 另一个未知数的值. 程只有一组 解. 培养学生的 自主学习能力和归纳总 结能力，锻 炼学生的实 践能力. 联系前面的问题可知，这个种棉大户 通过典型例 租用了2台大型采棉机，4台小型采 题让学生巩 棉机. 固新知，培 二元一次方程组的解的特点 养学生逻辑 (1)二元一次方程组的解要用大括号联 思维能力， 立起来，分两行书写，如方程组 锻炼学生的 推理能力. 培养发散思 维能力，完 的解应写成 善学生列方 程组解决实 际问题的认 知结构，从 (2)一般地，二元一次方程组的解只有 而对本章的 一组，但也有特殊情况，如方程组 学习内容、 学习方法和 研究思路有 一个较清晰 无解，方程组 的认识，对 今后学习的 教师提出问题，学生独立思考 多元方程的 并举手回答. 有无数组解. 解法有基本 教师在黑板上展示例题，提示 的思路. 学生仔细审题，找出问题的突 破点.学生思考并尝试解答.教师 例2.判断 讲解完后，询问学生是否理解 每一步的操作，鼓励学生提出 疑问. 是不是二元一次方程组 让学生进一 步巩固所学 知识，加强 的解. 学生对本节 知 识 的 掌 课堂小结 握，培养应 教师和学生一起回顾本节课所 1.本节课你学到了什么？ 用意识，锻 讲的内容. 2.二元一次方程和二元一次方程的解 炼运用能力 和 解 题 能 的概念是什么？ 力. 3.二元一次方程组和二元一次方程组 的解的概念是什么？ 当堂练习 1.下列不是二元一次方程组的是 ( ) 学生独立思考后小组讨论，选派代表作答，教师顺势总结. 2.二元一次方程组 的解是 ( ) 3.《九章算术》中记载了一道数学问 题,其译文为:有大小两种容器,已知5 个大容器和1个小容器的总容量为3 斛(斛是过去的一种量器),1个大容器和 5个小容器的总容量为2斛.大、小容 器的容量分别是多少斛?设大容器的容 量是x斛,小容器的容量是y斛.根据题 意,可列方程组为 . 在上一节中，我们已经看到，直 教师提出问题，学生先独 问题情境 立思考，再举手回答问题． 是上节课的 接设两个未知数:租用了x台大型采棉 生活实际情 机，y台小型采棉机，可以列方程组 境问题，增 二元一次方程组中有两 强求知欲， 对所学知识 个未知数，如果消去其中一个 产 生 亲 切 未知数，那么就可以把二元一 感. 表示本章引言中问题包含的相等关系. 次方程组转化为我们熟悉的一 教 师 元一次方程.我们可以先求出一 以复习的形 式回顾上节 个未知数，然后再求另一个未 课的重点内 活动二： 知数.这种将未知数的个数由多 容，为下面 解二元一 的实际问题 次方程组 化少、逐一解决的思想，叫作 的出现做好 消元思想. 铺垫埋下伏 笔． 思考：如果只设一个未知数: 租用了x 第一步：在已知方程组的两个 台大型采棉机，那么这个问题可以怎 方程中选择一个适当的方程， 组织学生合 么解决？ 将它的某个未知数用含有另一 作探究，重 我们发现，二元一次方程组中第 个未知数的代数式表示出来． 视知识的发 一个方程x+y=6可以写为y=6-x.由于 第二步：把此代数式代入没有 生过程，让 两个方程中的y都表示租用小型采棉 变形的一个方程中，可得一个 学生通过自机的台数，所以可以通过等量代换， 一元一次方程． 己努力归纳 把第二个方程 2x+y=8 中的 y 换为 6- 第三步：解这个一元一次方 结论，更加 x，这个方程就化为一元一次方程 程，得到一个未知数的值． 深刻的理解 2x+(6-x)=8.解这个一元一次方程，得 第四步：回代求出另一个未知 消元思想和 x=2. 把x=2代人y=6-x,得y=4,从而得 数的值，把方程组的解表示出 代入法解二 来． 元一次方程 到这个方程组的解. 第五步：检验(口算或在草稿纸 组． 上进行笔算),即把求得的解代 入每一个方程看是否成立． 合作交流：你从上面的学习中体 体验获得方 会到代人法的基本思路是什么？主要 教师组织学生合作探究，先独 法，分享成 步骤有哪些呢？与你的同伴交流． 立思考，再小组合作充分讨 果 的 满 足 论；每小组挑选一名代表展示 小组讨论结果. 感. 归纳：把二元一次方程组中一个 方程的一个未知数用含有另一个未知 数的式子表示出来，再代入另一个方 程，实现消元，从而求得方程组的 解，这种解方程组的方法叫做代入消 元法，简称代入法． 学生畅所欲言，互相补充，小 把未知的知 组派中心发言人进行总结发 言．最后，由老师出示幻灯 识 交 给 学 片． 生，让他们 在合作学习 的过程中， 代入法求二元一次方程组的技 体会到可以 巧： 用自己的能 用代入法解二元一次方程组时 ， 力去解决新 挑选系数简单的方程变形 . 问题，探索 当方程组中含有用一个未知数表 示另一个未知数的关系式时，直 5−5 y 新方法，从 答：由①得 x= ③ 接代入； 3 而获得成功 当方程组中有未知数的系数为 1 将③代入②得 的喜悦．这 或 -1 时 ，选择系数为 1 或-1 5−5 y 3× −4 y=23 的方程进行变形； 3 样一来又大 当未知数的系数都不是 1 或 -1 解得 大调动了学 时 ，一 般选择未知数系数的绝 y=−2 生的学习热 对值较小的方程变形. 把y=−2代入③ 得 x=5 情，培养和 所以原方程组的解为 思考：你会解下面这个方程组吗？ 提高了学生 {3x+5 y=5 ① { x=5 ． 学习的主动 y=−2 3x−4 y=23 ② 性和合作精 除了代入消元，还有其他的方法吗？ 神，同时又 问题1：观察方程组： 使学生的观 解：①－②得 9 y=−18 察力和语言{3x+5 y=5 ① (消去了未知数x，达到了消元 表达能力得 3x−4 y=23 ② 的目的) 到了锻炼． 解得 y=−2． （1）未知数x的系数有什么特点？ （2）怎么样才能把这个未知数x消 把y=−2代入①， 去？这样做的依据是什么？ 得3x+5×(−2)=5 通过让学生 （3）把两个方程的左边与左边相减， x=5． 操作，培养 右边与右边相减．你得到了什么结 { x=5 所以原方程组的解为 ． 学生动手的 果？ y=−2 能力，并引 例 1. 解 方 程 组 ： 解：①＋②得 7x=14 发学生的思 {3x+7 y=9 ① x=2 4x−7 y=5 ② 把x=2代入①得 6+7 y=9 考，加深对 看一看：y的系数有什么特点？ 本节概念的 3 y= 想一想：先消去哪一个比较方便呢？ 印象．将两 7 用什么方法来消去这个未知数呢？ 所 以 原 方 程 组 的 解 为 个方程相加 {x=2 思考：从上面的解答过程中，你发现 （或相减） 3 了二元一次方程组的新的解法吗？ y= 7 消去一个未 用加减法解二元一次方程组的时 知数，将方 候，什么条件下用加法、什么条件下 程组转化为 用减法？ 一元一次方 当方程组中同一未知数的系数互 程来解．这 为相反数时，我们可以把两方程相 教师组织学生合作探究，先独 加，当方程组中同一未知数的系数相 立思考，再小组合作充分讨论 种解法叫做 等时，我们可以把两方程相减，从而 加 减 消 元 达到消元的目的，进而求得二元一次 方程组的解． 解：方法一：利用加减消元法 法，简称加 像上面这种解二元一次方程组的 消去未知数y． 减法． 方法，叫做加减消元法，简称加减 ①×3，②×2得 法． 这个问题， {9x−12y=30 ③ 可使学生明 10x+12y=84 ④ 例 2. 解 方 程 组 ： 确使用加减 ③ ＋ ④ 得 {3x−4 y=10 ① 19x=114 法的条件， 5x+6 y=42 ② x=6 体会在某些 问题：直接相加减不能消掉一个未知 把x=6代入②得 数，怎么办？如何把同一未知数的系 30+6 y=42， 条件下使用 数变成一样呢？ y=2． 加减法的优 {x=6 越性，不仅 所以原方程组的解为 ． y=2 思考：能否先消去x再求解？ 强化了学生 方法二：利用加减消元法消去未知数 x． 教师可适当引导学生思考，待 对概念的理 学生充分交流后，教师可选代 解：①×5，②×3，得 解，又培养 表总结，教师补充． {15x−20 y=50 ③ 了学生勤于 15x+18 y=126 ④ 动脑，勤于 ④－③得 38 y=76 y=2 探究的好习 把y=2代入②得 5x+12=42 学生独立思考，再小组交 惯，还可为 x=6 流，最后呈现答案． 之后灵活运 用加减法解{x=6 二元一次方 所以原方程组的解为 ． y=2 程组打下良 当同一未知数的系数即不相等也 好的基础． 不互为相反数，该如何求解呢？ 归纳结论：一般步骤是：(1)方程组的 两个方程中，如果同一未知数的系数 数学史料融 既不互为相反数又不相等，就用适当 入课堂的教 的数去乘方程的两边，使一个未知数 学，一方面 的系数互为相反数或相等；(2)把两个 能创造学生 方程的两边分别相加或相减，消去一 的 学 习 动 个未知数，得到一个一元一次方程； 机，增强学 (3)解这个一元一次方程；(4)将求出 生的学习自 的未知数的值代入原方程组的任意一 信心，有助 个方程中，求出另一个未知数，从而 于学生更好 得到方程组的解． 地理解数学 的本质;另 溯源 通过溯源，让学生了解我国数 一方面通过 我国古代很早就开始对多元 学文化，增强文化自信. 古今方法的 一次方程组进行研究，古代数学 演绎，拓宽 著作《九章算术》中专门设“方 学 生 的 思 程”章讨论多元一次方程组.多元 维，使得学 生通过走近 一次方程组的解法是我国在世界 古人，从而 上领先的重大数学成就之一.我国 走进古人的 古代解多元一次方程组的方法主 心灵，体会 要有直除法和互乘相消法. 深刻的数学 思想. 强调换元法的思想 及时梳理知 识，形成模 —用代入法 解二元一次 方程一般步 第4题参考答案 骤. { 5x+2y=9,① (1) , 10x+ y=12．② 通过小结， 由②得，y=12−10x， 回顾本节课 把y=12−10x代入① 所学新知， 得， 加深印象． 5x+2(12−10x)=9， 例2：解方程组： 15x=15， x=1， 通过练习， 能恰当地应 把x=1代入①得： 用“代入消 5+2y=9， 元法”解方 2y=4， 程组，提高 课堂总结： y=2， 学生逻辑思 1.这节课你学到了哪些知识？ { x=1, 维能力、计 2．解二元一次方程组的基本思路是什 原方程组的解为 y=2． 算能力、解 么？ 决实际问题 3．什么是带入消元法？ 的能力． 4. 加减消元法的基本步骤是什么？ (2)原方程整理为{x−8 y=−5,① , x−2y=1．② 由②得，x=2y+1， 当堂练习 把x=2y+1代入①得， {y=3x−1①, 2y+1−8 y=−5， 1．用代入法解方程组 x−5 y=7②, 6 y=6， 将 方 程 ①代 入 ②， 得 方 程 y= 1， ． 把y=1代入①得： {5x−4 y=m x−8=−5 2．已知方程组 中，x、y 3x+5 y=8 x=3 的值相等，则m等于（ ） { x=3, 原方程组的解为 A．1或−1 y=1． B．1 C．5 D．−5 {x+m=4 3．已知x，y满足方程组 ， y−5=m 则无论m取何值，x，y恒有关系式是 ( ) A． x+ y=1 B． x+ y=−1 C． x+ y=9 D． x+ y=−9 4．用代入法解二元一次方程组： { 5x+2y=9, (1) 10x+ y=12． {3x−4(x−2y)=5, (2) x−2y=1． 5.解下列方程组 (1) {5x+ y=7 ① 3x−y=1 ② (2) {4x−3 y=5 ① 4x+6 y=14 ② (3) {6x+7 y=5 ① 6x−7 y=19 ② {0.5x−3 y=−1 ① (4) 1 − x+5 y=3 ② 2 养牛场原有 30头大牛和 15头小 学生理解情境，认真思考问题. 由同学们熟 牛，1天约用饲料675 kg；一周后又 悉的数学背 购进12头大牛和5头小牛，这时1天 景,激发学 约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每 生的学习热 活动三： 头大牛1天约需饲料18～20 kg，每头 情,感受数 实际问题 小牛1天约需饲料7～8 kg.你能通过 学在生活中 与二元一 计算检验他的估计吗？ 的应用,吸 次方程组 引学生的注 意力,同时 为本课的学 习 做 好 铺垫. 学生举手回答 通过对问题 的思考与交 每头大牛和每头小牛一天各自 流，进一步 大约需用饲料量 认识和理解 用二元一次 思考： (1)30头大牛和15头小牛1天 方程组解决 题目中有哪些未知量？ 需用饲料675kg； 实际问题. 题目中有哪些等量关系？ (2)42头大牛和20头小牛1天 怎样判断李大叔的估计是否正确？ 需用饲料940kg； 设平均每头大牛1天需用饲料x kg ， 激发学生解 (3)12头大牛和5头小牛1天需 每头小牛需用饲料y kg. 决问题的好 你能否将题中信息用表格的形式来呈 用饲料940kg—675kg； 现？ 奇心;提出 问题后,让 求出每头大牛和每头小牛一天 学 生 先 思 各自大约需用饲料量 考,后讨论, 然后找学生 1. 基本思想方法： (1)列方程组解应用题是把“未知”转 说出他的解 化成“已知”的过程；它的关键是把 题思路,写 未知量与已知量联系起来，找出题目 中的等量关系列方程组. 出 解 题 过 程,让学生 (2)一般情况下，有几个未知量就必须 列出几个方程，所列方程必须满足： 讨 论 对 不 ①方程两边表示的是同类量；②同类 学生归纳，教师点评 对,有没有 量的单位要统一；③方程两边的数值 要相等 . 不同的思路 2.估算能力：在生产和生活中估算具 和观点;最 有一定的实用价值的，同学们应该逐 渐具备这种估算能力，但估算通常会 后在学生充 产生一定的误差，通过精准计算可以 分讨论的基 对估算的结果进行检验. 础上进行讲 思考：你能归纳出利用二元一次方程 解. 组分析和解决实际问题的基本过程 吗？ 学生在充分思考后，可适当交 找等量关系的方法： 流，在教师的引导下设出未知 1. 抓住题目中的关键词，常见的关键 数，从而列出方程. 词有：“比”“是”“等于”等； 2.根据常见的数量关系，如体积公 例1. 式、面积公式等，找等量关系； 3. 挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿 同一航线航行，顺风航行与逆风航行 的路程相等； 4. 借助列表格、画线段示意图等方法 找等量关系. 例 1.食堂有一批粮食，若每天用去 例2.140千克，按预计天数计算就少50千 克；若每天用去120千克，那么到期 后还可剩余70千克.估计食堂现有粮 食 700～800 千克，可供应时间为一 周. 通过计算检验估计是否正确？ 例2.果果做拼图游戏时发现：8 个一 样大小的小长方形恰好可以拼成一个 大的长方形，如图1所示. 小颖看见 了，也来试一试，结果拼成了如图 2 体会实际问 所示的正方形，不过中间留下一个空 题的不同思 白，恰好是一个边长为 2 cm 的小正 方形，你能算出每个小长方形的长和 维过程,通 在教师的指导下，学生列方程 宽各是多少吗？ 过比较列一 求解，教师巡视指导； 元一次方程 求解、列二 元一次方程 例3. 组求解的优 （1）两次运输共支出公路的运 缺点,从而 费等于15000元； （2）两次运输共支出铁路的运 感受方程模 费等于97200元 型思想的必 例3. 如图,长青化工厂与A，B两地有 要性和优越 公路、铁路相连，这家工厂从 A地购 买一批每吨1000元的原料运回工厂， 性,并从列 制成每吨8 000元的产品运到B地.已 一元一次方 知公路运价为 1.5 元/（吨·千 米），铁路运价为 1.2元/（吨·千 程和列二元 米），这两次运输共支出公路运费 一次方程组 15000元，铁路运费97200元，这批产 品的销售款比原料费与运输费的和多 的方法中, 多少元？ 领会列二元 一次方程组 思维方式的 简洁明了性 思考1：题目的等量关系是什么？ 和在解一些 思考2：销售款与产品数量有关，原 等量关系较 料费与原材料有关.设制成x吨产品， 购买y吨原料.根据题意填写下表： 例4. 为复杂的应 思考3：如何列出方程组求解？ 设绳索长x尺，竿长y尺， 用题时体现 { x−y=5① 例4.我国古代数学著作《増制算法统 根据题意，得 1 ， 的优越性. 宗》记载“绳索量竿”问题，“一条 y− x=5② 2 竿子一条索，索比竿子长一托，折回 索子却量竿，却比竿子短一托．”.其 由①，得y=x-5③， 1 大意为：现有一根竿和一条绳索，用 将③代入②，得x-5− x=5 在教师的引 绳索去量竿，绳索比竿长 5尺；如果 2 将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 ，得x=20， 导下，学生 5尺.绳索和竿子的长度各多少尺？ 将x=20代入③得y=15， 自主对本节 {x=20 所以，原方程组的解为 课的所学内 y=15 容进行归纳 ． 小结，使所 学的知识及 学生独立完成,然后同桌互批; 时的纳入学 教师鼓励学生到黑板前演示,再 生的认知结走到学生中间对个别学生指导, 构. 在学生完成后组织学生进行交 流、评价和实物投影展示,对于 细节上存在的问题要让学生进 行纠错,必须做到解题规范. 学生总结用二元一次方程组解 决应用题的一般步骤. 总结讨论：用二元一次方程组解决实 际问题有哪些步骤： 1.审题：弄清题意和题目中的数量关 系； 2.设元：用字母表示题目中的未知 数； 3.列方程组：根据2个等量关系列出 方程组； 4.解方程组：利用代入消元法或加减 学生回顾总结学习收获，归纳 本节课所学知识，教师系统归 消元法解出未知数的值； 纳. 5.检验作答：检验所求的解是否符合 实际意义，然后作答. 这节课你学到了什么？ 当堂练习是 列方程组解决实际问题： 为了巩固学 （1）明确题意，并将所给的问题转化 生所学的新 为数学模型； 知，并让学 （2）找出题目中的已知量和未知量， 生学会对新 明确它们之间的关系； 学生认真做课堂练习.通过课堂 知 识 的 正 （3）设出未知数，列出方程组并求 习题练习，进一步理解并掌握 用、逆用、 解. 新知. 变形用的能 1.解：设1辆大车一次运货x 力，加强学 吨，1辆小车一次运货y吨，根 生的计算能 据题意列出方程组得 当堂练习 力和解决问 1.有大小两种货车，2辆大车与3辆小 题能力的培 车一次可以运货15.5吨；5辆大车与 养，同时实 6辆小车一次可以运货35吨.3辆大车 解得x=4，y=2.5 现了优等生 与5辆小车一次可以运货多少吨？ 3x+5y=24.5（吨） 有事做，学 答：3辆大车与5辆小车一次可 困生跟着做 2.计划若干节车皮装运一批货物.如果 以运货24.5吨. 的隐性分层 每节装15.5吨，则有4吨装不下，如 教学. 果每节装16.5吨，则还可多装8吨. 2.解：设x节车皮，y吨货物， 问多少节车皮？多少吨货物？ 根据题意列出方程组得3. 某校团支部发出为贫困地区捐款的 倡议后，全校师生奉献爱心，踊跃捐 解得x=12，y=190 款，已知全校师生共捐款45 000元， 答：有12节车皮，190吨货物. 其中学生捐款数比老师捐款数的2倍 少9 000元，该校老师和学生各捐款 3.解：设该校老师捐款x元， 多少元？ 学生捐款y元， 4.请你阅读下面的诗句：“栖树一群 鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只 没去处，五只栖一树，闲了一棵树， 解得x=18000，y=27000 请你仔细数，鸦树各几何？”求诗句 答：该校老师捐款18 000元， 中谈到的鸦的只数、树的棵数． 学生捐款27 000元． 解：设有x只鸦，y棵树，由题意得 解得x=20,y=5 答：有20只鸦，5棵树． A组 1．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长 短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根 绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问 木长多少尺？设木长 尺，绳子长 尺，则可以列出的方程组为（ ） A． B． 单元作业 设计 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题 的关键．设木长 尺，绳子长 尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5 尺，绳子对折再量长木，长木剩余1尺可得答案．【详解】解：设木长 尺，绳子长 尺， 根据题意有： ， 故选：C 2．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里 参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在 暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲 说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊， 根据题意列出二元一次方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，找准等量关系，是解题的关键．根据我若 得你9只羊，我的羊多你一倍，以及我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多，列 出方程组即可． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，由题意，得： ； 故选B． 3．利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是（ ） A．要消去 ，可以将① ② B．要消去 ，可以将① ② C．要消去 ，可以将① ② D．要消去 ，可以将① ② 【答案】A 【分析】本题主要考查加减消元法，牢记加减消元法的定义（当二元一次方程组的两 个方程中同一 未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减， 就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法）是解题的 关键．根据加减消元法的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、 ，得 ，可以消去 ，符合题意； B、 ，得 ，无法消去 ，不符合题意；C、 ，得 ，无法消去 ，不符合题意； D、 ，得 ，无法消去 ，不符合题意； 故选：A． 4．对于二元一次方程组 ，将①式代入②式，消去y可以得 ，则方程①是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，根据代入消元法解二元一次方程 组的解法计算即可得解． 【详解】解： ， ， ∴ ， 故选：A． 5．下列方程中，不是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义：（1）共有两个未知数；（2）未知数的项 最高次数是1次；（3）都是整式方程．据此逐一判断即可． 【详解】解：A． 未知数的项最高次数是2次，不是二元一次方程，故本选项 符合题意； B． 是二元一次方程，故本选项不符合题意； C． 是二元一次方程，故本选项不符合题意； D． 是二元一次方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 6．已知关于 的方程组 ，若 ，则k的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．利用加减消元法求得，得出 ，解得 ，即可得到答案． 【详解】解： ， 得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， 故选：D． 7．若关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组求参数，涉及解二元一次方程组、一元一次方程 等知识，熟练掌握解二元一次方程组是解决问题的关键．先利用加减消元法得出 ，得出 ，解即可得到答案． 【详解】解： ，得： ， 得： ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， 故选：C． 8．已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解 题的关键．将方程组两个方程相加得到 ，整理得到 ，结 合方程组的解满足 ，得到关于 的方程，解出 的值即可．【详解】解： ， 得， ， 整理得， ， 方程组的解满足 ， ， 解得： ． 故答案为： ． 9．已知代数式 与 是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项，解二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义，代入 法解二元一次方程组，是解题关键．同类项是所含字母相同，相同字母的指数也相同 的项．根据同类项的定义可得一个关于 、 的二元一次方程组，解方程组可得 、 的值，代入 可得． 【详解】解：∵代数式 与 是同类项， ∴ ， ， ∴ ， 由①得： ③， 把③代入②得： ， 解得： ， 把 代入③得： ， ∴原方程组的解为： ， ∴ ． 故答案为： ． 10．请认真观察，想一想，图中的“？”表示的数是 ．【答案】70 【分析】本题主要考查三元一次方程组的应用，能根据题意得到三元一次方程组是解 题的关键．设正方形表示的数为x，圆表示的数为y，三角形表示的数为z，根据题 意，列出三元一次方程组，解出即可． 【详解】解：设正方形表示的数为x，圆表示的数为y，三角形表示的数为z，根据题 意得： ， 由 得： ④， 由 得： ， 解得： ， 由 得： ， 解得： ， 把 ， 代入②得： ， 解得： ， ∴ ， 即图中的“？”表示的数是70． 故答案为：70 11．已知 ．若用含 的代数式表示 ，则 ． 【答案】 / 【分析】本题考查的是用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，把 看作是 已知数求解 即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ； 故答案为： ． 12．已知关于 ， 的二元一次方程 的解是 ，则 的值是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了二元一次方程的解，关键是利用代入法求出方程中的参数． 把 代入 即可得到答案． 【详解】解：把 代入 得， 解得： ， 故答案为： ． 13．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）加减消元法解方程组即可； （2）代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ， ，得： ，解得： ； 把 代入①，得： ，解得： ； ∴方程组的解为： ； （2）原方程组可化为： ， 把 代入②，得： ，解得： ； 把 代入 ，得： ，解得： ； ∴方程组的解为： ． 14．解方程组： (1)(2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解此题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： ， 由 得： ， 解得： ， 将 代入①得： ， 解得： ， ∴原方程组的解为 ； （2）解： ， 由 得： ， 将 代入①得： ， ∴原方程组的解为 ． 19．方程组 的解为 ，求被△和□遮盖的两个数． 【答案】被△和□遮盖的两个数分别为2， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方 程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．将方程组的解代入方程②， 可求出 的值，将方程组的解代入方程①，可求出 的值，此题得解． 【详解】解： ， 将 代入方②得： ， 解得： ，将 代入①得： ， 解得： ， 被△和□遮盖的两个数分别为2， ． 15．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，会熟练运用代入消元法 与加减消元法解方程组是解决问题的关键． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解： 得， ， 将 代入①得， 解得： 所以原方程组的解为： ； （2）解： 原方程组整理为： 得， 解得： ， 将 代入①得， 解得：所以原方程组的解为： B组 1．已知关于x、y的方程组 (1)请写出 的所有正整数解； (2)若方程组的解满足 ，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1) ， (2) (3)整数 的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则 是解本题的关键． （1）把 看作已知数表示出 ，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出 与 的值，进而求出 的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程 ， 确定出整数 的值即可． 【详解】（1）解：方程 ， 解得： ， 当 时， ； 当 ， ； 即方程 的正整数的解为 ， ； （2）解：联立得 ， 解得 ， 代入 得： ， 解得 ；（3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得 ， ； 代入 得， 或 解得： （舍去）或 综上所述，整数 的值为 ． 2．阅读下列材料：名句“运筹椎幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算 筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1， 在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时， 个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的 “方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左 向右的符号中，前两个符号分别代表未知数 ， 的系数，据此图2可以列出方程 为： ． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆 盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数 ， 的系数，且图5所表示的方程组 中 的值为4，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数．【答案】（1） ；（2）3 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题 的关键． （1）根据“算筹图”利用图3、图4列方程组成方程组，利用加减消元法解二元一次 方程组； （2）设被墨水所覆盖部分所表示的数是 ，根据图5列二元一次方程组，把x的值 代入解方程组求出m值即可． 【详解】（1）解：由图3得， ①， 由图4得， ②， 将这两个方程组成方程组得， ， 将① ，② ，得， ， 得， ， 将 代入②得， ， 这个方程组的解是： ， 即这两个方程的公共解是 ， ； （2）解：设被墨水所覆盖部分所表示的数是 ， 由题意得，图5中表示的方程组可表示为， ， 由题意可知， ， 将 代入①得， ，解得： ， 将 ， 代入②得， ，解得： ， 被墨水所覆盖部分的符号所表示的数是3． 3．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆 型汽车，3辆 型汽车的进价共计70万元；3辆 型汽车，2辆 型汽车的进价共计105万元． (1)求 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均 有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【答案】(1) 型号的汽车每辆进价为25万元， 型号的汽车每辆进价为15万元 (2)方案一：购买 型号的汽车7台， 型号的汽车5台，方案二：购买 型号的汽车 4台， 型号的汽车10台，方案三：购买 型号的汽车1台， 型号的汽车15台． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的解，理解题意并解 二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组并进行求解即可； （2）根据题意列出二元一次方程，并根据解的情况求出解即可． 【详解】（1）解：设 型号的汽车每辆进价为 万元， 型号的汽车每辆进价为 万 元， ， 解得 ， 答： 型号的汽车每辆进价为25万元， 型号的汽车每辆进价为15万元． （2）解：设购买 型号的汽车 台， 型号的汽车 台， ，即 ， 、 均为正整数， 或 或 ， 方案一：购买 型号的汽车7台， 型号的汽车5台， 方案二：购买 型号的汽车4台， 型号的汽车10台， 方案一：购买 型号的汽车1台， 型号的汽车15台． 4．根据以下素材，探索完成任务． 设计奖项设置和奖品采购的方案 某学校举办七年级数学知识竞赛，需考虑获奖人数以及奖品购买方案 素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元． 素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品． 问题解决任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？ 任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？ 【答案】任务1：一盒水笔120元，一包笔记本80元；任务2：有三种方案，①购买 水笔6盒，笔记本2包；②购买水笔4盒，笔记本5包；③购买水笔2盒，笔记本8 包 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，正确理解题意 列出方程组和方程是解题的关键． 任务1：设一盒水笔为 元，一包笔记本为 元，根据购买2盒水笔和1包笔记本需 要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元建立方程组求解即可； 任务2：设购买水笔 盒，购买笔记本 包，根据总费用为880元可得方程 ，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】解：任务1，设一盒水笔为 元，一包笔记本为 元， 由题意得， ， 解得 ， 答：一盒水笔120元，一包笔记本80元； 任务2，设购买水笔 盒，购买笔记本 包． 由题意得， ， ∴ ， ∵ ， 均为正整数 ∴当 时， ，即购买水笔6盒，笔记本2包． 当 时， ，即购买水笔4盒，笔记本5包． 当 时， ，即购买水笔2盒，笔记本8包． 则有三种方案，分别为①购买水笔6盒，笔记本2包；②购买水笔4盒，笔记本5包 ③购买水笔2盒，笔记本8包； 5．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相 等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）观察发现： 长方形铁片张 正方形铁片张 数 数 1个竖式无盖铁容器 4 1 中 1个横式无盖铁容器 3 2 中 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁 片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片 全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁 片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片； ③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以 加工成多少个铁盒？ 【答案】(1) ， (2)加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； (3)最多可加工铁盒19个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题 的关键． （1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1张；加工1个横 式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2张，即可求解； （2）设加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，根据题意列出方程组求解即可； （3）设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，根据题意列出方程组求 解即可． 【详解】（1）解：由题意得 如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张， 正方形铁片 张；故答案为： ， ； （2）解：设加工的竖式铁容器有m个，横式铁容器有n个，由题意得 ， 解得 故加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； （3）解：设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，由题意得 解得 ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做 （片）， 9张做正方形铁片可做 （片）， 剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片， 共可做长方形铁片 （片），正方形铁片 （片） ∴可做铁盒 （个） 答：最多可加工铁盒19个． 6．为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶 店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需 230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．奶茶店为了满足市场的 需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加 料． (1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； (2)在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了200元， 请问有几种购买方案？ (3)若小华恰好用了268元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的 ，则B款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出结果） 【答案】(1)A款奶茶的销售单价是8元，B款奶茶的销售单价是10元 (2)有4种购买方案：①购买A种款式的奶茶20杯，购买B种款式的奶茶4杯；②购 买A种款式的奶茶15杯，购买B种款式的奶茶8杯；③购买A种款式的奶茶10杯， 购买B种款式的奶茶12杯；④购买A种款式的奶茶5杯，购买B种款式的奶茶16杯； (3)B款加料的奶茶买了8杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键 是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出 二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据买10杯A款 奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450 元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况 下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，列出二元一次方程， 求出正整数解即可； （3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加 料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了 杯，根据小华恰好用了268元购 买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 由题意得： ， 解得： ， 答：A款奶茶的销售单价是8元，B款奶茶的销售单价是10元； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯， 由题意得： ， 解得： ， 、n均为正整数， ， ， ， ， ∴有4种购买方案： ①购买A种款式的奶茶20杯，购买B种款式的奶茶4杯； ②购买A种款式的奶茶15杯，购买B种款式的奶茶8杯； ③购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶12杯； ④购买A种款式的奶茶5杯，购买B种款式的奶茶16杯； （3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加 料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了 杯，即 杯， 由题意得： ， 整理得： ， ， ， 均为正整数， ， ， 解得： ， ， ， ， 答：B款加料的奶茶买了8杯． C组 1．已知关于 的方程组 ，给出下列说法： ①当 时，方程组的解也是 的解； ②若 ，则 ； ③无论 取何值： 的值不可能互为相反数； ④ 都为自然数的解有2对． 以上说法中正确的是（ ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方 程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质，掌握以上 知识是解题关键． 将 代入原方程组得 ，解得 ，经检验得是 的解，故 ①正确；方程组 两方程相加得 ，根据 ，解得 ，故②正确；设 ，代入 解得 ，故③错误解方程，解得： ，当 时， ， ，当 时， ， ，当 时， ， ，因此存在三对自然数解，④错误； 【详解】解：将 代入原方程组得 ，解得： ，将其代入 ，解得： ， ∴当 时，方程组的解也是 的解，①正确； 方程组 ， 得： ，当 ，解得： ； 故②正确； 设 ，代入 解得 ，此时 ， ，互为相反数，故 ③错误； 解方程 ，解得： ， 当 时， ， ， 当 时， ， ， 当 时， ， ， 因此存在三对自然数解，④错误； 综上所述：①②正确， 故选：A； 2．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图 所示），就是一个三阶“幻方”（如图 所示）．观察图 、图 ，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显 示部分数据的新“幻方”（如图 所示）中，根据寻找出的关系，可推算出 的值为 ．【答案】64 【分析】本题考查了本题主要考查了二元一次方程组的应用，首先根据图 可知： “幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等，再根据图 可以得到关于 、 的二元一次方程组，解方程组即可求出 ， 的值，代入求值即可． 【详解】解：由图 可知： ， ， ， ， ， ， ， ， “幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等， 由图 可知 ， 解得： ， 则 ． 故答案为：64． 3．若一个四位正整数（各个数位均不为0），十位和千位数字相同，个位和百位数字 相同，则称该数为“双生数”例如： 、 都是“双生数”．将一个四位正整 数 的百位和十位交换位置后得到一个四位数 ，规定 ．例如：若 ，则 ；计算 ．若一个“双生数” （ ， ，且 ， 为整数），当 能被 6整除时，求满足条件的所有 值中 的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了新定义，整除问题，根据新定义表示要求的式子是解本题的关键． 直接利用新定义计算即可得出结论；把 合并，再用 a、b表示 ，最后计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 当 时， 由题： 为整数， 为 的倍数 或 或 或 或 或 经讨论得： 或 或 或 当 时， 故答案为： ； ． 4．对于两个整数 和 ，定义一种新运算“ ”，若 为偶数，则 ； 若 为奇数，则 ．若对整数 和 ，有 ，且 ，则 的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了列方程组及解二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握分 类讨论解决问题，由题意进行讨论分别列出方程组，并进行求解，再验证即可． 【详解】解：分析第二个方程 1.若 为偶数， 则 , 化简得： ， 2.若 为奇数，则 , 化简得： ， 处理第一个方程 ， 情况1： ， 1.计算内层运算 ， ， 因此， 。 2.计算外层运算 ，和为： 奇偶性分析： 为奇数（因 为奇数)， 为偶数，故和为偶数。 因此，外层运算结果为： ， 根据方程： ，整理得： ， 3.联立方程1和方程3， ， 解得： 。 情况2： ， 1.计算内层运算 ， ， 因此， 。 2.计算外层运算 ，和为： (必为奇数)， 因此，外层运算结果为： ， 根据方程： ， 解得： (非整数，不符合题意)， 综上所述， 的值为3． 5．已知关于 ， 的方程组 ． (1)方程 有一个正整数解 ，还有一个正整数解为________．(2)若方程组的解满足 ，求 的值； (3)无论实数 取何值，关于 ， 的方程 总有一个固定的解，请求出这个 解为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解等知识，熟练掌握二元一 次方程的解的定义是关键． （1）求出二元一次方程的正整数解即可； （2）解 得到 ，再代入 即可求出答案； （3）无论实数 取何值，关于 ， 的方程 总有一个固定的解，与 的 取值无关，则 ，即可求出这个解． 【详解】（1）解： 一个正整数解为 ， 故答案为： （2）由题知 ， 解得 ， 将 代入 ， 解得 （3） 无论实数 取何值，关于 ， 的方程 总有一个固定的解， 与 ∵的取值无关，则 ， ∴则 ∴故答案为 ． 6．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解 ， 满足 ，我 们就说方程组的解 与 具有“友好关系”． (1)方程组 的解 与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组 的解x与y具有“友好关系”，求 的值； (3)未知数为 ， 的方程组 ，其中 与 都是正整数，该方程组 的解 与 是否具有“友好关系”？如果具有，请求出 、 的值；如果不具有，请 说明理由． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2) 或 (3)具有“友好关系”， 或 【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （2）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （3）由方程组可得 ，再根据 都是正整数求出方程组的解，再 根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ① ②得， ， 解得 ， 将 代入②得， ， 解得 ， ∴方程组的解为 ， ，方程组 的解 与 具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解： ， ② ①得， ， ∴ 方程组的解 与 具有“友好关系”， ， 解得 或 ， 的值为 或 ； （3）解： ， ① 得， ， 解得 ， 由②得， ∴ ∵方程组的解具有“友好关系”； ∴ ∴ ∴ 其中 与 都是正整数， ∴ 或 ∴ 或 时，此时方程组的解具有“友好关系”． 7．列方程组解应用题： 越野爱好者吴悠分三次从甲地出发，沿着不同的线路（ 线， 线， 线）去乙地． 在每条线路上，行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登山峰这三种路况，且他 在同种路况下行进的速度不以线路改变而变化．已知他涉水行走 的路程与攀登山峰 的路程相等． 线、 线路程相等，都比 线路程多 ， 线总时间等于 线总时间的 ，他用了 穿越丛林、 涉水行走和 攀登山峰走完 线，在 线中 一共用了 ，其中涉水行走所用时间比 线上升了 ，攀登山峰所用时间也比 线上升了 ．若他用了 穿越丛林、 涉水行走和 攀登山峰走完 线，且 都为正整数，求 ， ， 的值． 【答案】 ， ， 或 ， ， ， 【分析】本题考查了三元一次方程组，难度较大，解题的关键是理解题意，学会利用 参数方程解决问题．设涉水行走的速度为 、攀登的速度为 、穿越丛 林的速度为 ，结合题意建立方程组解题即可． 【详解】解： 他涉水行走 的路程与攀登山峰 的路程相等， 可以假设涉水行走的速度为 、攀登的速度为 、穿越丛林的速度为 ， 由题意得： 整理得： ， 解得： ， ①， ∵ 线总时间等于 线总时间的 ，他用了 穿越丛林、 涉水行走和 攀登山峰 走完 线， ∴ ； 由 消去z得到： ， ∵ ， 是正整数， ∴ ， ， 或 ， ， ， 8．在平面内，对于 和 ，给出如下定义：若存在一个常数 ，使得 ，则称 是 的“ 系数补角”．例如， ， ， 有 ，则 是 的“5系数补角”． (1)若 ，在 ， ， 中， 的“3系数补角”是 ______； (2)在平面内， ，点 为直线 上一点，点 为直线 上一点．如图，点 为平面内一点，连接 ， ， ，若 是 的“6系数补角”，求 的大小． 【答案】(1) (2) 是 或 ； 【分析】此题考查了平行线的性质、二元一次方程组的应等知识，理解新定义的含义 是解题的关键． （1）设 的“3系数补角”是x，根据题意可得 ，解方程即可得到答 案； （2）设 ， ，再根据 的位置，结合 ，再建立方程组，解 方程组即可得到答案； 【详解】（1）解：设 的“3系数补角”是x， ∵ ， ∴ ， 即 ， 解得 ， ∴ 的“3系数补角”是 ； 故答案为： （2）解：设 ， ， 如图，设 与 相交于点H， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ①， ∵ 是 的“6系数补角”， ∴ ， 即 ②， ∴ ， 联立①②得， ， 解得 ，即 是 ； 如图，当 在 之间时，过 作 ，而 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， 即 ①， ∵ 是 的“6系数补角”， ∴ ， 即 ②， 联立①②得， ， 解得 ， ∴ ； 如图，当 在 的下方时， 同理可得： ， 即 ①， ∵ 是 的“6系数补角”， ∴ ， 即 ②， 联立①②得， ，解得： ， 综上： 是 或 ；