文档内容
10.3 实际问题与二元一次方程组（第 1 课时）教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册（以下统称“教材”）第十章“二元一次方
程组”10.3.1 实际问题与二元一次方程组(1)，内容包括：能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程
组解决简单的实际问题．掌握构建二元一次方程组解决简单实际问题的基本步骤.
2.内容解析
本节课设置了较简单的实际探究问题，让学生在探究如何利用二元一次方程组解决实际问题的过程
中，分析问题中的各种数量关系，找出其中的相等关系，引进适当的未知数，列出相应的方程组，检验方
程组的解是否符合实际意义等，从而进一步提高分析问题和解决问题的能力. 本节课的探究一，通过实际
生活中的牛饲料问题，引导学生将实际问题转化为数学模型，运用二元一次方程组来解决，这不仅是对之
前所学知识的深化和应用，更是培养学生数学建模思想和实际问题解决能力的重要载体，也为后续学习更
复杂的实际问题和其他数学模型奠定基础.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单
的实际问题.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.
（2）掌握构建二元一次方程组解决简单实际问题的基本步骤．
（3）通过探究实际问题，进一步体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型、发展模型观念．
2.目标解析
（1）学生需要掌握如何从实际问题中提取关键信息，梳理出数量关系，并能将实际的数量关系转化
为二元一次方程组. 学生在列出方程组后，要运用已学的代入消元法或加减消元法求解. 求出未知数的值
后，要明确其在实际问题中的意义，这才完成了从数学计算到实际应用的转化，让学生体会到数学知识在
解决实际问题中的实用性.
（2）从饲养牛的实际场景到构建二元一次方程组的过程，体现了数学建模思想. 在这个过程中，学生
学会将复杂的现实情境简化为数学语言，理解数学模型是对现实世界的一种近似刻画，通过求解模型来解
决实际问题，为今后解决更复杂的实际问题提供了一种通用的方法和思路.
方程思想贯穿整个解决问题的过程. 当面对牛饲料问题时，学生通过设未知数，将未知量与已知量通
过等式关系联系起来，形成方程. 在此过程中，学生认识到方程是解决含有未知量问题的有力工具.（3）在解决牛饲料问题过程中，学生需要从具体的饲养场景中抽象出数学概念和数量关系，这一过
程培养了学生的数学抽象素养. 学生能够摒弃实际情境中的非本质因素，抓住问题的数学本质，将现实问
题转化为数学问题，这是数学抽象素养的重要体现.
求解二元一次方程组需要学生进行一系列的数学运算，在这个过程中，学生要熟练掌握运算规则，准
确进行计算，以求出方程组的解. 良好的数学运算素养不仅能保证学生正确地解决数学问题，还能提高学
生解决问题的效率.
从分析题目中的数量关系，到列出方程组，再到选择合适的方法求解方程组，整个过程都离不开逻辑
推理. 逻辑推理素养的培养，有助于学生有条理地思考问题，提高分析问题和解决问题的能力，使学生能
够更加理性地面对数学学习和实际生活中的各种问题.
三、教学问题诊断分析
1.提取关键信息与构建方程组困难：部分学生在面对实际问题时，可能难以从冗长的文字描述中准确
提取关键信息，导致不能顺利设出未知数并列出方程.这可能是由于学生缺乏对实际问题的分析经验，不熟
悉如何将生活场景转化为数学语言.
2.求解方程组的运算错误：即使学生成功列出了二元一次方程组，在运用代入消元法或加减消元法求
解时，也容易出现运算错误.这可能是由于学生对运算规则的掌握不够熟练，缺乏细心和耐心.
3.方程思想应用不灵活：部分学生在寻找等量关系时，只局限于题目中明显给出的数量组合，而不能
通过深入分析挖掘出潜在的等量关系.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：从实际情境中抽象出数学模型、准确找到等量关系列出二
元一次方程组.
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题 （2024•深圳）《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房
七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？
（二）合作探究
探究1 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，
这时1天约用饲料940 kg．饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18～20 kg，每头小牛1天需饲料7～8kg．你能通过计算检验他的估计吗？
分析 设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg．
解：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg．根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，
列得方程组
{30x+15 y=675)
42x+20 y=940
{x=20)
解这个方程组，得 ．
y=5
这就是说，每头大牛1天约需饲料 2 0 kg， 每头小牛1天约需饲料 5 kg．因此，饲养员李大叔对
大牛食量的估计 较准确 ，对小牛食量的估计 偏高 ．
（三）典例分析
例1 为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节
能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元．1盏甲型节能灯和1
盏乙型节能灯的售价各是多少元？
解：设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元.根据题意，列得方程组
解得
答：1盏甲型节能灯的售价是5元，1盏乙型节能灯的售价是7元.
例2 学校图书馆分两次购买了相同版本的《西游记》和《水浒传》供学生借阅. 第一次买了2套《西
游记》和3套《水浒传》，共花费151元；第二次买了4套《西游记》和2套《水浒传》，共花费178元．
每套《西游记》和《水浒传》的价格分别是多少元？
解：设每套《西游记》和《水浒传》的价格分别为x元，y元.根据题意，列得方程组
解得答：每套《西游记》和《水浒传》的价格分别为29元，31元.
例3 某公司前两年产生的餐厨垃圾、建筑垃圾的质量都基本没变，但支付的餐厨垃圾处理费和建筑垃
圾清运费的总和由7 020元上升为8 520元， 原因是餐厨垃圾处理费的收费标准由 240元/t上调为300
元/t，建筑垃圾清运费的收费标准由150元/t上调为180元/t．这家公司去年的餐厨垃圾和建筑垃圾各有多
少吨？
解：设这家公司去年的餐厨垃圾为x t，建筑垃圾为y t. 根据题意，列得方程组
解得
答：这家公司去年的餐厨垃圾为8 t，建筑垃圾为34 t.
问题解决 （2024•深圳）《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房
七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？
解：设李三公家的店有x间客房，来了y个房客.根据题意，列得方程组
解得
答：李三公家的店有8间客房，来了63个房客.
设计意图：例1例2难度较低，能让学生快速上手，巩固基础知识，如根据简单数量关系列出方程，
增强自信心. 例3难度稍有上升，可引导学生深入思考. 最后，解决引课问题可让学生前后知识贯通，明
确知识的关联性与应用场景，形成完整知识体系，还能强化本节课重点，攻克难点，提高学生解决实际问
题的能力.
（四）巩固练习
1. 一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒各
装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（C）
{3x+2y=76
)
{3x+4 y=76
)
A． B．
3x+4 y=108 2x+3 y=108{3x+4 y=108) {3x+2y=76
)
C． D．
2x+3 y=76 2x+4 y=108
2. 学校计划采购一批白色和彩色无尘粉笔，若购买白色无尘粉笔 3盒、彩色无尘粉笔2盒，共需34元；
若购买白色无尘粉笔 2 盒、彩色无尘粉笔 3 盒，共需 36 元，通过设适当的未知量可列出方程组
{3x+2y=34①)
若用①﹣②可得x﹣y＝﹣2，下列关于“x﹣y＝﹣2”的意义解释正确的是（C）
2x+3 y=36②
A．每盒白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔贵2元
B．白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔多买了2盒
C．每盒白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔便宜2元
D．白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔少买了2盒
3.“践行垃圾分类•助力“双碳”目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：
“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”
如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为
（A）
A．{ x−y=7 ) B．{ x−y=7 )
2(x−8)= y+8 x−8=2(y+8)
C．{ x−y=7 ) D．{ y−x=7 )
2(x−8)= y x+8=2(y−8)
4.为增强学生体质，舒缓学习压力，培养团队意识，增进班级凝聚力．某校初三年级组织了一场拔河比
赛，并为获得一等奖和二等奖共8个班级购买奖品，共花费600元，其中一等奖奖品每班100元，二等奖
奖品每班60元，求获得一等奖和二等奖的班级分别有多少个？
解：设获得一等奖和二等奖的班级分别有x个和y个.根据题意，列得方程组
解得
答：获得一等奖和二等奖的班级分别有3个和5个.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知
的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
（五）归纳总结（六）感受中考
1.（2024•赤峰）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型
钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少
块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（C）
{3x+2y=40) {3x+5 y=40)
A． B．
4x+5 y=58 4x+2y=58
{3x+5 y=58) {3x+4 y=58)
C． D．
4x+2y=40 5x+2y=40
2.（2023•益阳）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，
A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面
列出的方程组中正确的是（A）
{ x+ y=145 ) { x−y=145 )
A． B．
10x+12y=1580 10x+12y=1580
{ x+ y=145 ) { x−y=145 )
C． D．
12x+10 y=1580 12x+10 y=1580
3.（2024•天津）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳
度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还
剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可
以列出的方程组为（A）
{ y−x=4.5 ) { y−x=4.5)
A． B．
x−0.5 y=1 x+0.5 y=1
{x+ y=4.5) {x+ y=4.5)
C． D．
x−y=1 y−x=1
4.（2024•安徽）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，
采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农
作物的种植面积各多少公顷？
解：设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植面积是y公顷，根据题意得：
{4x+3 y=24)
，
8x+9 y=60
解得：
{x=3)
．
y=4
答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷．
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题10.3 第1，2，4题.
2.探究性作业：习题10.3 第8题.
五、教学反思
