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专题8.27 二元一次方程组（常考核心知识点分类专题）（培优练）
考点目录：
【考点1】二元一次方程（组）定义；
【考点2】二元一次方程（组）的解；
【考点3】代入消元法解二元一次方程组；
【考点4】加减消元法解二元一次方程组；
【考点5】二元一次方程组的有解、无解、无穷多组解；
【考点6】用整体思想解二元一次方程组；
【考点7】三元一次方程组；
【考点8】错题复原解二元一次方程组；
【考点9】构造二元一次方程组求解；
【考点10】由二元一次方程组的解求参数；
【考点11】同解原理；
【考点12】二元一次方程组的应用（销售利润问题）；
【考点13】二元一次方程组的应用（分配问题）；
【考点14】二元一次方程组的应用（古代问题）；
一、选择题
【考点1】二元一次方程（组）定义
1．我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，每人
出 钱，会多出4钱．设人数为 人，玉石价格为 钱，则可列关于 ， 的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．【考点2】二元一次方程（组）的解
3．若关于x，y的方程组 的解满足 ，则 的值为（ ）
A．8 B． C．6 D．
4．一宾馆有一人间、两人间、三人间三种客房供游客租住，某旅行团共15人准备租用客房共7间，如果
每个房间都住满，租房方案有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
【考点3】代入消元法解二元一次方程组
5．由方程组 可得到 与 的关系式是（ ）
A． B． C． D．
6．用代入法解二元一次方程组 时，将方程①代入方程②，得到结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点4】加减消元法解二元一次方程组
7．如果 是方程组 的解，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．方程组 的解的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点5】二元一次方程组的有解、无解、无穷多组解
9．若关于 和 的方程组 无解，则（ ）
A． B． C． D．10．关于x，y的方程组 的解为整数，则满足这个条件的整数k的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．无数个
【考点6】用整体思想解二元一次方程组
11．已知x，y满足 ，如果 可整体得到 的值，那么 之间的关系式不
正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．解二元一次方程组 用代入消元法整体消去 得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【考点7】三元一次方程组
13．方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
14．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为
420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款
（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
【考点8】错题复原解二元一次方程组
15．两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出 ，乙同学因把c抄错了解得 ，
则a、b、c正确的值应为（ ）
A． B．C． D．
16．解方程组 时，将a看错后得到 ，正确结果应为 ，则 的值应为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点9】构造二元一次方程组求解
17．若 与 的值互为相反数，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
18．已知关于 ， 的二元一次方程 中，若无论 取何值，方程都有一个公
共解，则方程的这个公共解为（ ）
A． B． C． D．
【考点10】由二元一次方程组的解求参数
19．已知关于 的方程组 ，给出下列说法：
当 时，方程组的解也是方程 的解；
当 时， 的值互为相反数；
若 ，则 是方程组的解，其中说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
20．若关于 ， 的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，则 的值为（
）
A． B． C． D．
【考点11】同解原理21．已知方程组 与 有相同的解，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
22．关于x，y的方程组 和 有相同时解，那么 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点12】二元一次方程组的应用（销售利润问题）；
23．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打
折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（ ）
A．200元 B．300元 C．400元 D．500元
24．某班的一个综合实践活动小组去甲、乙两家超市调查去年和今年元旦期间的销售情况，下面是调查
后小明与其他两位同学进行交流的情景．小明说：“去年两家超市销售额共150万元，今年两家超市销
售额共170万元．”小亮说：“今年甲超市销售额比去年增加10%．”小颖说：“今年乙超市销售额比去
年增加20%．”根据他们的对话，得出今年甲超市销售额为（ ）
A．100万元 B．110万元 C．120万元 D．150万元
【考点13】二元一次方程组的应用（分配问题）；
25．一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒
各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（ ）
A． B． C． D．
26．某工厂有 名工人，每个工人每天能加工6个 型零件或者3个 型零件，其中某产品每套由4个
型零件和3个 型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正
好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则 的值为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【考点14】二元一次方程组的应用（古代问题）.
27．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱48文．甲、
乙两人原来共有多少钱？（ ）
A．36 B．30 C．66 D．60
28．在课题学习《用绳子测量木头长》中，若用一根绳子去量一根木头的长，则绳子还剩余 米；若将
绳子对折再量木头，则木头还剩余 米，问木头长多少米？若设木头长为x米，绳子长为y米，则所列
方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【考点1】二元一次方程（组）定义
29．已知关于 的方程 ，当 时，此方程为二元一次方程．
30．如果 ，那么用含y的代数式表示x，则 ．
【考点2】二元一次方程（组）的解
31．二元一次方程 的正整数解有 组．
32．方程组 的解为 ，则被遮盖的■表示的数为 ．
【考点3】代入消元法解二元一次方程组
33．如图，数轴上A，B，C，D四点对应的数都是整数，若点A对应的数为a，点B对应的数为b，数轴
上每个小格对应一个单位长度，且 ，则点C对应的数为 ．
34．对于平面内的 和 ，若存在一个常数 ，使得 ，则称 为 的k
系补周角．如若 ， ，则 为 的6系补周角，如图，在平面内 ，E是
， 之间的一点，连接 ， ，若 ， 是 的5系补周角，则 的度数为．
【考点4】加减消元法解二元一次方程组
35．已知 、 满足方程组 ，则 的值为 ．
36．若关于x、y的二元一次方程组的解满足 ，那么我们称这个方程组为“友好方程组”．方程
组 是“友好方程组”，则 的值为 ．
【考点5】二元一次方程组的有解、无解、无穷多组解
37．若关于x、y的二元一次方程组： 无解，则a的值为 .
38．若方程组 有无数组解，则 ．
【考点6】用整体思想解二元一次方程组
39．小明对问题“若方程组 的解是 ，求方程组 的解”提出
了这样的想法：这两个方程组之间存在一定的联系，可以尝试用“整体替换”的方法进行求解．按照小
明的想法，可以求出方程组 的解为 ．
40．解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：将方程②变形为 ，即 ③，
把方程①代入③得 ，∴ ，
把 代入①得 ，∴方程组的解为
现已知x，y满足方程组 ，求整式 的值为 ．
【考点7】三元一次方程组
41．方程组 的解是 ．
42．已知关于a，b，c的方程组 ，则 ＝ ．
【考点8】错题复原解二元一次方程组
43．解方程组 时，甲同学正确解得 ，乙同学因把c写错而得到 ，则
， ， ．
44．在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的 ，解得 ，乙看错了方程组中
的 ，解得 ，求出原方程组的正确解 ．
【考点9】构造二元一次方程组求解
45．如图，已知 ，且 ，
则 ．46．已知 ，当 时， ；当 时， ；那么当 时， ．
【考点10】由二元一次方程组的解求参数
47．在解关于 的方程组 时，可以用① ② 消去未知数x，也可以用
消去未知数 ，则 ； ．
48．关于x，y的方程组 的解中，x与y的和不小于4，则k的取值范围为
【考点11】同解原理
49．若关于 的方程组 的解为 ，则关于 的方程组
的解为 ．
50．若关于 ， 的方程组 和 的解相同，则 ．
【考点12】二元一次方程组的应用（销售利润问题）；
51．在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的大棚油桃喜获丰收，去年大棚油桃的利润（利润=收入-
支出）为12000元，今年大棚油桃的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年的利润比去年多
11400元，设小明家去年种植大棚油桃的收入为x元，支出是y元．依题意列方程组 ．
52．为防控新冠疫情，做好个人防护，小君去药店购买口罩．若买 个平面口罩和 个 口罩，则她
所带的钱还剩下 元；若买 个平面口罩和 个 口罩，则她所带的钱还找 元．若只买 个 口
罩，则她所带的钱还缺 元．【考点13】二元一次方程组的应用（分配问题）；
53．中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界．某瓷器厂一车间有14名工人，每名工人每天可以
加工10只茶壶或30只茶杯． 1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间
应安排 名工人加工茶壶．
54．第十四届三国文化旅游周吸引了大量的游客，游客们品读三国文化，赏鉴花都美景，感受许昌盛情，
共赴了一场“许”久“魏”见的美好时光，旅游周期间，一家酒店接待了一个35人的旅游团，酒店的客
房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚140元（说明：三人间
客房可以不住满，但每间每晚仍需支付140元）．已知该旅游团一晚的住宿房费为1740元，则他们租住
了 间一人间．
【考点14】二元一次方程组的应用（古代问题）.
55．我国古代《九章算术》中记载这样一个问题：“今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾
七秉，损实二斗五升，当下禾五秉．”翻译后的大致意思是：5捆上等稻子少结1斗1升稻谷，相当于7
捆下等稻子结的稻谷；7捆上等稻子少结2斗5升稻谷，相当于5捆下等稻子结的稻谷，问上等稻子和下
等稻子1捆分别能结多少稻谷（1斗 10升）？设上等稻子和下等稻子1捆分别能结稻谷x升和y升，则
可列方程组为 ．
56．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金
几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两.2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金
多少两？”根据题意，设1头牛值金x两，1只羊值金y两，那么可列方程组为 ．参考答案：
1．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据总的钱数不变，即可得出关于 ， 的二元一
次方程，此题得解，找准等量关系解题的关键．
【详解】解：由题意可得： ，
整理得： ，
故选：B．
2．C
【分析】根据二元一次方程组的条件：由两个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组，进行判断即可．
【详解】解：A、含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意；
B、不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意；
C、符合二元一次方程组条件，是二元一次方程组，符合题意；
D、最高次次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的定义；数量掌握二元一次方程组的概念是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用 得：
，即可得到 ，再将 ，代入即可得到答案．
【详解】解：
得： ，
，
∴
，
∴ ，
∴
，
∴
故选：B．
4．C【分析】设一人间x间，二人间y间，三人间 间，根据旅行团共15人列出方程，解方程即可．
【详解】解：设一人间x间，二人间y间，三人间 间．根据题意得： ，
整理得： ，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ．
∴有4种租房方案：①租一人间3间，二人间0间，三人间4间；②租一人间2间，二人间2间，三人间3
间；③租一人间1间，二人间4间，三人间2间；④租一人间0间，二人间6间，三人间1间．
故选：C．
【点拨】本题是二元一次方程的应用，此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，然后根
据x，y是整数求解，注意分类讨论思想的应用．
5．A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用代入法即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关
键．
【详解】解： ，
把 代入 得， ，
整理得， ，
故选： ．
6．B
【分析】方程组利用代入消元法变形得到结果，即可作出判断．
【详解】解：用代入法解二元一次方程组 时，将方程①代入方程②，得： ，
故选：B．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．C
【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解方程组，根据方程组的解得到关于a、b的方程组，解方程组
得到a、b的值，代入代数式即可得到答案.【详解】解：∵ 是方程组 的解，
∴
①＋②得，
解得 ，
把 代入①得，
解得 ，
∴ ，
故选：C
8．A
【分析】本题考查含绝对值的二元一次方程组，分情况讨论，去绝对值后解二元一次方程组即可．
【详解】解：分4种情况：
当 ， 时，
方程组变形为 ，
解得 ；
当 ， 时，
方程组变形为 ，无解；
当 ， 时，
方程组变形为 ，无解；
当 ， 时，
方程组变形为 ，解得 ，与 矛盾，无解；
综上可知，方程组 的解的个数是：1个，
故选A．
9．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组无解时，即可得出 与 得关系式，解题
的关键是掌握二元一次方程组 ，当 时方程组无解．
【详解】∵关于 和 的方程组 无解，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
10．A
【分析】把k看做常数，求出方程组的解，再根据方程组解是整数，求解整数k 值即可求解．
【详解】解： ，
②-①得：(k-3)y=k，
∴y= ，
把y= 代入①，得x= ，
∵方程组解是整数，
即 和 是整数，k是整数，
∴k=0，2，4，6，共4个,
故选：A．【点拨】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减法解二元一次方程组是解题的关键．
11．C
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系
数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．根据条件整理得到关于 、 的代数式，再根据 、 的系
数列出关于 、 的二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】解： 左边可得， ，
可整体得到 的值，
，
得， ③，
得， ④，
的， ，
解得 ，
将 代入①得， ，
解得 ，
所以，方程组的解是 ， ，
， ， ， ，
选项A、B、D是正确的，C错误．
故选：C．
12．D
【分析】由 可得 ，代入 即可.
【详解】 ，
由②得： ③
把③代入①得：12y= -36，
故选D．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
13．D
【分析】根据加减消元法求解即可．【详解】解： ，
由 得： ，
解得： ．
由 得： ，
解得： ．
由 得： ，
解得： ．
故原方程组的解为 ．
故选D．
【点拨】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键．
14．B
【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，
z的值，即可得到结果．
【详解】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，z元，
根据题意得： ，
得： ，即 ，
∴ ，
则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．
故选：B．
【点拨】此题考查了三元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
15．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键是理解题意得出正确的方程组．把甲的
结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求．
【详解】解：解：把 代入方程组得： ，把 代入 得： ，
联立得： ，解得： ，
由 ，得到 ，
故选：C．
16．C
【分析】将 代入第二个方程，将 代入第二个方程，组成方程组求出 与 的值，将正确解代入
第一个方程求出 即可求解．
【详解】解：将 和 分别代入 得：
解得： ，
将 代入 中得： ，
解得： ，
则 ， ， ，
把 ， ， 代入
故选C．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，熟练
求解二元一次方程组是解题的关键．
17．A
【分析】直接利用非负数的性质得出， ， ，进而利用整体思想得出答案．
【详解】解： 与 的值互为相反数，
∴ ，∵ ， ，
， ，
，
得：
，
故 ．
故选：A．
【点拨】此题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，利用整体思想求解是解题关键．
18．C
【分析】如果当 取一个确定的值时就得到一个方程，这些方程有一个公共解，说明无论 取何值，都不
影响方程，即含 的项的系数相加为 ．
【详解】解：方程整理得： ，
则 ，
解得： ，
故选：C．
【点拨】本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，由于 可取任何数，要想让当 取一个确定的
值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，就需让含 的项的系数相加为 ，此时即可得到关于
和 的方程组．正确理解题意是解题的关键．
19．A
【分析】本题考查解二元一次方程组，方程（组）的解，先解方程组得出，再逐一进行分析，从而得出答
案；熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解： 得 ，当 时，方程组的解 ，则 ，故 正确；
当 时， ，则 ，即 的值互为相反数，故 正确；
∵ ，
∴ ，则有 ， 无解，故 不正确；
故选： ．
20．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，将k看作已知数求出x与y，代入
中计算即可得到k的值．
【详解】解： ，
① ②得： ，
，
将 代入①得： ，
，
，
关于 ， 的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，
，
解得： ．
故选： ．
21．A【分析】本题主要考查了方程组的解的定义，首先求出方程组的解是解决本题的关键．可以首先解方程组
，求得方程组的解，再代入方程组 ，即可求得a，b的值．
【详解】解：解方程组 ，得 ，
把 代入 ，得 ，
解得 ，
故选：A．
22．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把只含 、 的两个方程联立方程组，求出 、 的值，然后
代入另两个方程，求出 、 的值，从而求出代数式的值．熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】解：根据题意得 ，
① ②得， ，
解得 ，
把 代入①得， ，
相同的解为 ，
把 分别代入方程 ， 中得，
，
解得 ，．
故选：D．
23．C
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设打折前每件A商品x元，每件B商品y元，根据“买60件
A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元”列出方程组，解方程组后进
一步计算即可得到答案．
【详解】解：设打折前每件A商品x元，每件B商品y元，
∵买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，
∴ ，
解得 ，
∴打折前每件A商品16元，每件B商品4元，
∵ （元），
∴买500件A商品和500件B商品比不打折少花400元；
故选：C．
24．B
【解析】略
25．C
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得
以解决．
【详解】解：设大盒装x瓶，小盒装y瓶，根据题意可列方程组为： ，
故选：C．
26．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设
安排x名工人加工 型零件，则安排 名工人加工B型零件，根据每天加工的零件正好配套，50天恰
好完成1200套，列出出关于二元一次方程组，解之可得出m的值即可求出结论．【详解】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排 名工人加工B型零件，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
则工厂有40名工人，
故选：B．
27．D
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
设甲原有 文钱，乙原有 文钱，，根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共
有钱48文；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱48文，可以列出方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：设甲原有 文钱，乙原有 文钱，
由题意可得， ，
解得： ，
∴甲乙共有 文，
故选：D．
28．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得 ，
故选A．
29．【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义即可求解，掌握二元一次方程的定义
是解题的关键．
【详解】解：∵方程 为二元一次方程，
∴ ，且 ， ，
∴ ，
故答案为： ．
30．
【分析】把y看做已知数求出x即可．
【详解】解：由题意可得， ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．
31．2
【分析】本题考查二元一次方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有整数值，再
求出另一个未知数的值．
【详解】解：二元一次方程 的正整数解有 ， ，共2组，
故答案为：2．
32．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次
方程组的解，熟记定义是解题关键．先将方程组的解代入第二个方程求出 ，从而可得方程组的解，再
将方程组的解代入第一个方程计算即可得．
【详解】解：由题意，将 代入方程 得： ，解得 ，
则方程组的解为 ，将 代入方程 得： ，
即被遮盖的■表示的数为 ，
故答案为： ．
33．0
【分析】本题考查了解二元一次方程组，数轴，观察出点A对应的数a与点B对应的数b之间的关系是解
题的关键；根据数轴可知 ，再结合已知 ，即可求出a、b的值，进而求解即可；
【详解】解：根据数轴可知 ，
，
，
解得： ，
点C对应的数为： ，
故答案为：0；
34． /110度
【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，过E作 ，得 ，又由
是 的5系补周角得到 ，则 ，求得 即可得到答案．
【详解】解：过E作 ，如图，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ 是 的5系补周角，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ，
故答案为：
35．1
【分析】本题考查了二元一次方程组，将两式相减即可得到 的值．
【详解】解： ，
① ②得： ，
故答案为：1．
36． 或
【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，新定义，熟练掌握二元一次方程组的解和解
二元一次方程组是解题的关键．先解方程组求得其解为 ，再代入 中，求解即可．
【详解】
解方程组得 ，
又 ，则 ，
解得 或 ．
故答案为： 或 ．37．-10；
【分析】利用加减消元法消掉未知数x得到关于y的一元一次方程，再根据方程组无解，未知数的系数等
于0列式计算即可得解．
【详解】 ，
②-①×2，得
ay+10y=19，
∴(a+10)y=19，
∵ 无解，
∴a+10=0，
∴a=-10.
故答案为：-10.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，消元得到关于y的方程是解题的关键，难点在于明确方程组无
解，未知数的系数等于0，而常数项不等于0．
38．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，将方程组整理为 ，解之即可
得出结论．
【详解】解： ，
得， ，
所以，当 ，即 时，y可以为任何值，此时方程组有无数组解．
故答案为： ．
39．
【分析】利用整体替代法进行求解即可．
【详解】解：令 ，则： 转化为：
∵方程组 的解是 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握换元法解二元一次方程组，是解题的关键．
40．
【分析】由①得 ③，把③代入②，求得 ，再代入③，进一步计算即可求解.
【详解】解： ，
由①得， ，即 ③，
把③代入②得： ，
解得： ，
把 代入③得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了解高次方程组、解二元一次方程组和二元一次方程组的解等知识点，能够整体代入是
解此题的关键．41．
【解析】略
42．9
【解析】略
43． 0.25/ 0.75/
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法
的应用是关键．首先根据题意，可得： ，据此求出c的值，然后根据乙同学因把c写错而得
到 ，可得 ，所以 ，应用加减消元法，求出a、b的值即可．
【详解】解：∵解方程组 时，甲同学正确解得 ，
∴ ，
解得 ，
∵乙同学因把c写错而得到 ，
∴ ，
∴ ，
，可得 ，
解得 ，
把 代入②，可得： ，
解得 ，∴原方程组的解是 ，
∴ ．
故答案为：0.25，0.75， ．
44．
【分析】把 代入②， 代入①得到关于a，b的方程组，求出a，b，代入原方程即可求解．
【详解】解：解方程组
把 代入②， 代入①得
解得
原方程组为
解得
原方程组的正确解是： ．
【点拨】此题主要考查加减消元法的应用，解题的关键是把方程的解代入原方程．
45． /100度
【分析】本题考查求角度，涉及平行线判定与性质、角度之间和差倍分关系、解方程组等知识，设
，数形结合，表示角度之间的和差倍分关系，联立方程组求解即可得到答案，数形结
合，准确表示出各个角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键．
【详解】解：过 作 ，过 作 ，如图所示：，
，
， ，
设 ，
，
，
，
，
，
，即 ，
联立 ，解得 ，
．
故答案为：
46．5
【分析】先根据题意列出方程组求得表达式，再将 代入表达式即可求解；
【详解】解：将当 时， ；当 时， 两组值代入 得，
，解得： ，
∴ ，将 代入 得， ．
故答案为：5．
【点拨】本题主要考查解二元一次方程组及求代数式的值，正确求出表达式是解题的关键．
47． 2 5
【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，根据已知条件列出 的方程组即可求解．
【详解】 可以消去未知数
化简得：
被消去
同理： 可以消去未知数
化简得：
被消去
解得：
故答案为： ； ．
48．
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式知识点是解题的关键．
把两个方程相减，可得 ，x与y的和不小于4，即可求出答案．
【详解】解：把两个方程相减，可得
x与y的和不小于4，解得：
k的取值范围为 ．
故答案为 ．
49．
【分析】本题考查换元法解方程组，设 ，将 转化为
，再由同解方程组直接得到 ，解二元一次方程组即可得到答案，熟练掌握同
解方程组的定义及解二元一次方程组的方法是解决问题的关键．
【详解】解：设 ，
，
关于 的方程组 的解为 ，
的解为 ，解得 ，
故答案为： ．
50．2
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解一定能使方程左右相等是解题的
关键．
首先把 和 组成方程组求得x、y的值，再把x、y的值代入 ， 可得
关于a、b的方程组，进而完成解答．【详解】解：解方程组 ，解得 ．
将 代入方程 得 ①，
将 代入方程 得 ②，
可得： ．
故答案为：2．
51．
【分析】审题，明确等量关系，建立方程组．
【详解】解：由题意知，今年收入为 ，今年支出 ，故
故答案为：
【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意明确等量关系是解题的关键．
52．20
【分析】设平面口罩的单价为 元， 口罩的单价为 元，小君带的钱数为 元，根据题意列出方程组，
根据加减消元法得出 即可求解．
【详解】解：设平面口罩的单价为 元， 口罩的单价为 元，小君带的钱数为 元，
依题意，得： ，
② ①，得： ，
，
即若只买 个 口罩，则她所带的钱还缺 元，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
53．6
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意找出合适的等量关系，列出方程组求解即可.
【详解】解：设 名工人加工茶杯， 名工人加工茶壶，根据题意得： ，
解得： ，
故8名工人加工茶杯，6名工人加工茶壶．
故答案为：6．
54．2
【分析】设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间，利用该旅游团一晚的住宿房费=100×租住一人间的间
数+140×租住三人间的间数，可得关于x，y的二元一次方程，结合x均为自然数且 ，即可得出结论；
【详解】设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间，依题意
，
，
又 ，
此时只有 符合题意，
所以他们租住了2间一人间；
故答案为：2
【点拨】本题考查了二元一次方程整数解得应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程是解题的关键．
55．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次
方程组是解题的关键．根据“ 捆上等稻子少结 斗 升稻谷，相当于 捆下等稻子结的稻谷； 捆上等稻子
少结 斗 升稻谷，相当于 捆下等稻子结的稻谷”，即可列出关于 ， 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解： 捆上等稻子少结 斗 升稻谷，相当于 捆下等稻子结的稻谷，
；
捆上等稻子少结 斗 升稻谷，相当于 捆下等稻子结的稻谷，
．
根据题意可列方程组 ．故答案为： ．
56．
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应
的方程组.根据“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两”，得到2个等量关系，即可列
出方程组．
【详解】解：设1头牛值金x两，1只羊值金y两，，
由题意可得， ，
故答案为： ．
